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Questions and Answers
Quelle est la condition nécessaire pour qu'une suite de fonctions $f_n(x)$ converge simplement ?
Quelle est la condition nécessaire pour qu'une suite de fonctions $f_n(x)$ converge simplement ?
Quelle méthode n'est pas appropriée pour établir la convergence uniforme d'une suite de fonctions ?
Quelle méthode n'est pas appropriée pour établir la convergence uniforme d'une suite de fonctions ?
Que signifie la condition lim $g_n = 0$ pour une suite de fonctions ?
Que signifie la condition lim $g_n = 0$ pour une suite de fonctions ?
Quel est l'effet de la non-continuité de $f_n$ sur la convergence uniforme ?
Quel est l'effet de la non-continuité de $f_n$ sur la convergence uniforme ?
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Qu'est-ce qui est nécessaire pour prouver que $ orall n
i g_n o 0$ implique que la suite converge uniformément ?
Qu'est-ce qui est nécessaire pour prouver que $ orall n i g_n o 0$ implique que la suite converge uniformément ?
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Si lim $f_n(x) = ±∞$, que peut-on conclure ?
Si lim $f_n(x) = ±∞$, que peut-on conclure ?
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Quel est le rôle du supremum $g_n = sup|f_n(x) - f(x)|$ dans l'évaluation d'une suite de fonctions ?
Quel est le rôle du supremum $g_n = sup|f_n(x) - f(x)|$ dans l'évaluation d'une suite de fonctions ?
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Pourquoi une suite de fonctions $f_n$ pourrait ne pas être uniformément convergente sur un intervalle non borné ?
Pourquoi une suite de fonctions $f_n$ pourrait ne pas être uniformément convergente sur un intervalle non borné ?
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Study Notes
Suites de fonctions 𝑓𝑛 (𝑥)
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Convergence Simple (CVS)
- Se produit lorsque la limite de 𝑓𝑛(𝑥) lorsque n tend vers l'infini est différente de ±∞.
- Vérification par Développement Limité (DL): Utilisez le développement limité pour déterminer la limite.
- Sous-intervalles: Pour chaque sous-intervalle, faire tendre n vers l'infini pour trouver la limite de 𝑓𝑛(𝑥) et vérifier si elle est égale à 𝑓(𝑥).
- Condition nécessaire: Pour obtenir une CVS, 𝑓(𝑥) doit être différent de l'infini.
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Pas CVS (non-convergence simple)
- Se produit lorsque la limite de 𝑓𝑛(𝑥) lorsque n tend vers l'infini est ±∞.
- L'intervalle comprend des sous-intervalles où la limite est infinie.
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Convergence Uniforme (CVU) par calcul
- Se produit lorsque la limite de la norme infinie de 𝑓𝑛 − 𝑓 sur l'intervalle I est égale à 0 lorsque n tend vers l'infini.
- Condition nécessaire: Si la suite n'est pas CVS, elle ne peut pas être CVU.
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Calcul de la norme infinie:
- Définir 𝑔𝑛 = ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖∞,𝐼 = sup|𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| pour tout n ∈ ℕ.
- Calculer ℎ𝑛 (𝑥) = |𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)|, en utilisant les étapes suivantes:
- Simplifier ℎ𝑛 (𝑥) pour identifier sa parité (paire ou impaire). Si ℎ𝑛 (𝑥) est impaire, vous pouvez restreindre l'intervalle I à ℝ+.
- Calculer la dérivée de ℎ𝑛 (𝑥).
- Créer un tableau de signes de ℎ𝑛′ (𝑥).
- Créer un tableau de variations de ℎ𝑛 (𝑥).
- Déterminer le suprémum de ℎ𝑛 (𝑥) dans l'intervalle. Si ℎ𝑛 (𝑥) n'est pas bornée, la suite n'est pas CVU.
- Résoudre l'équation 𝑔𝑛 = sup|ℎ𝑛 (𝑥)| pour trouver la valeur de 𝑔𝑛.
- Condition suffisante: Si lim 𝑔𝑛 = 0 lorsque n tend vers l'infini, la suite est CVU, ce qui implique que 𝑓𝑛 (𝑥) converge vers 𝑓(𝑥) sur l'intervalle I. Si lim 𝑔𝑛 ≠ 0, la suite n'est pas CVU.
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Convergence Uniforme (CVU) par majoration
- Se produit lorsque la norme infinie de 𝑓𝑛 − 𝑓 sur l'intervalle I peut être majorée par une quantité 𝑎𝑛 indépendante de x et qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
- Condition suffisante: Si sup|𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝑎𝑛 pour tout x ∈ I, avec 𝑎𝑛 une quantité indépendante de x et tendant vers 0, la suite est CVU.
- Implication: La CVU implique que 𝑓𝑛 (𝑥) converge vers 𝑓(𝑥) sur l'intervalle I.
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Pas CVU (non-convergence uniforme)
- Cas non-continus: Si 𝑓𝑛 n'est pas continue, la suite n'est pas CVU.
- Cas non-bornés: Si |𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| n'est pas bornée sur un intervalle, la suite n'est pas CVU.
- Limite non nulle: Si la limite de la norme infinie de 𝑓𝑛 − 𝑓 sur l'intervalle I est différente de 0 lorsque n tend vers l'infini, la suite n'est pas CVU.
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Convergence Uniforme sur tout Compact (CVUC)
- Se produit lorsque la suite converge uniformément sur tout intervalle fermé et borné (compact).
- Méthode: Prenez x appartenant à un intervalle fermé et borné [a, b] et appliquez les méthodes de CVU pour déterminer si la suite converge uniformément sur cet intervalle.
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Description
Ce quiz porte sur les différentes types de convergence des suites de fonctions, y compris la convergence simple et uniforme. Vous apprendrez à vérifier la convergence à l'aide du développement limité et à identifier les conditions nécessaires pour chaque type de convergence. Testez vos connaissances sur ce sujet essentiel en analyse.
