Mathematik für Ökonomen Kapitel 1. Grundlagen PDF

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Mathematik für Ökonomen Kapitel 1. Grundlagen Dr. M. Seifert Ruhr-Universität Bochum Wintersemester 2024/25 Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 1 / 26  1. Grundlagen Vorlesungsthemen 1. Grundlagen 2. Funktionen: Definition und Eigenschaften 3. Wichtige Funktionen 4. Folgen, Reihen, Grenzwerte, Stetigkeit 5. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen 6. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen 7. Optimierung 8. Approximation 9. Integralrechnung 10. Matrizen und Determinanten 11. Matrizeninversion und lineare Gleichungssysteme 12. Definite Matrizen, Hesse-Matrix und Anwendungen Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 2 / 26  1. Grundlagen 1.1 Mengen, Mengenrelationen und -operationen Unter einer Menge M versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten, welche Elemente von M genannt werden. Mengen bezeichnet man meist mit großen und Elemente mit kleinen lateinischen Buchstaben. Schreibweise: a ∈ M für a ist Element von M“, a ∈ / M für a ist kein Element von M“. ” ” Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge, geschrieben ∅ oder {}. Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 3 / 26  1. Grundlagen 1.1 Mengen, Mengenrelationen und -operationen Definition: Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Schreibweise: A ⊆ B. Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn A ⊆ B und B ⊆ A. Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 4 / 26  1. Grundlagen 1.1 Mengen, Mengenrelationen und -operationen Definition: Unter der Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B (oder zu beiden) gehören: A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} Unter der Schnittmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören: A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} (dabei steht ∨ für das logische oder“ (lateinisch: vel“) und ∧ für das logische und“). ” ” ” Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist: A ∩ B = ∅. Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 5 / 26  1. Grundlagen 1.1 Mengen, Mengenrelationen und -operationen Definition: Unter der Differenzmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören (sprich: A ohne B“): ” A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B)}. Sei Ω eine Grundmenge. Dann versteht man unter dem Komplement der Menge A (bezüglich Ω) die Menge aller Elemente aus Ω, die nicht zu A gehören: A = {x ∈ Ω | x ∈ / A} Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 6 / 26  1. Grundlagen 1.1 Mengen, Mengenrelationen und -operationen Definition: Unter dem kartesischen Produkt zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a ein Element aus A und b ein Element aus B ist: A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)} Schreibweisen: A2 = A × A = {(x, y ) | x, y ∈ A} 3 A = A × A × A = {(x, y , z) | x, y , z ∈ A} allgemein: An = A × A ×... × A = {(x1 , x2 ,... , xn ) | xi ∈ A für i = 1, 2,... , n} | {z } n-mal Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 7 / 26  1. Grundlagen 1.2 Zahlenmengen Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Menge der natürlichen Zahlen mit Null: N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Menge der ganzen Zahlen: Z = {... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} Menge der rationalen Zahlen: Q = {r | r = qp , p ∈ Z, q ∈ N} Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 8 / 26  1. Grundlagen 1.2 Zahlenmengen Erweitern und Kürzen von Brüchen: p a·p = , a ∈ Z \ {0} q a·q p q Der Kehrwert von q ist p (p, q ̸= 0). Rechnen mit Brüchen: Addition: Brüche werden addiert, indem man sie durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner bringt und die neuen Zähler addiert. Subtraktion: entsprechend. Multiplikation: Brüche werden multipliziert, indem jeweils Zähler und Nenner miteinander multipliziert werden. Division: Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert wird. Doppelbrüche: werden als Division zweier Brüche aufgefasst. Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 9 / 26  1. Grundlagen 1.2 Zahlenmengen Unter der Menge R der reellen Zahlen versteht man die Vereinigungsmenge aus der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der sogenannten irrationalen Zahlen. Schreibweisen: R+ = {a ∈ R | a > 0} = Menge der positiven reellen Zahlen R− = {a ∈ R | a < 0} = Menge der negativen reellen Zahlen R+ 0 + = R ∪ {0} R∗ = R \ {0} In dieser Vorlesung beschränken wir uns auf reelle Zahlen. Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 10 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.1 Grundrechenregeln und Binomische Formeln Satz: Für das Rechnen mit reellen Zahlen gilt: Alle vier Grundrechenarten (abgesehen von der Division durch 0) sind uneingeschränkt ausführbar. Addition und Multiplikation sind kommutativ und assoziativ. Kommutativgesetz: a + b = b + a, a·b =b·a Assoziativgesetz: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c Die Addition hat das neutrale Element 0, d.h. a + 0 = a. Die Multiplikation hat das neutrale Element 1, d.h. a · 1 = a. Die Multiplikation ist distributiv bzgl. der Addition. Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c. Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 11 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.1 Grundrechenregeln und Binomische Formeln Die Binomischen Formeln bieten die Möglichkeit, quadratische Klammerausdrücke aufzulösen: 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 (a, b ∈ R) 2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b 2 (a, b ∈ R) 2 2 3. (a + b) · (a − b) = a −b (a, b ∈ R) Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 12 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Um Summen gleichartiger Terme einfacher schreiben zu können, führt man das P Summenzeichen ein: n X ai = am + am+1 +... + an , i=m (ai ∈ R, i = m, m + 1,... , n, wobei m, n ∈ Z mit m ≤ n). Sprich: Summe der ai für i gleich m bis n“. ” Dabei heißt i der Summationsindex. Beispiel: 4 X i 2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 i=1 Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 13 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Satz (Rechenregeln für das Summenzeichen): Seien a, c, ai , bi ∈ R, i = m, m + 1,... , n, wobei k, m, n ∈ Z mit m ≤ n. (1) Summe gleicher Summanden: Xn a = a + a +... + a = (n − m + 1) · a | {z } i=m (n − m + 1)-mal (2) Ausklammern eines konstanten Faktors: Xn n X c · ai = c · am + c · am+1 +... + c · an = c · (am + am+1 +... + an ) = c · ai i=m i=m Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 14 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Satz (Rechenregeln für das Summenzeichen): Seien a, c, ai , bi ∈ R, i = m, m + 1,... , n, wobei k, m, n ∈ Z mit m ≤ n. (3) Aufspaltung von Summen: Xn (ai ± bi ) = (am ± bm ) + (am+1 ± bm+1 ) +... + (an ± bn ) i=m n X n X = (am + am+1 +... + an ) ± (bm + bm+1 +... + bn ) = ai ± bi i=m i=m (4) Indexverschiebung: X n n+k X ai = ai−k i=m i=m+k Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 15 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Der Summationsindex kann beliebig bezeichnet werden: Xn n X ai = aj i=m j=m Bei Doppelsummen mit Summationsgrenzen m1 , n1 , m2 , n2 ∈ Z können die Summenzeichen vertauscht werden: n1 n2 n2 n1 X X X X aij = aij i=m1 j=m2 j=m2 i=m1 Bei Abhängigkeiten der Summationsgrenzen gilt dies nicht: 3 X 3 3 Xj X X aij = a11 + a12 + a13 + a22 + a23 + a33 = aij i=1 j=i j=1 i=1 Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 16 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Q Analog zum Summenzeichen definiert man das Produktzeichen : n Y ai = am · am+1 ·... · an i=m (ai ∈ R, i = m, m + 1,... , n, wobei m, n ∈ Z mit m ≤ n). Sprich: Produkt der ai für i gleich m bis n“. ” Beispiel: Y6 (i − 2) = (3 − 2) · (4 − 2) · (5 − 2) · (6 − 2) = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 i=3 Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 17 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Satz (Rechenregeln für das Produktzeichen): Seien a, c, ai , bi ∈ R, i = m, m + 1,... , n wobei k, m, n ∈ Z mit m ≤ n. (1) Produkt gleicher Faktoren: Yn a = a| · a ·{z... · a} = an−m+1 i=m (n − m + 1)-mal (2) Separieren eines konstanten Faktors: Yn (c · ai ) = c · am · c · am+1 ·... · c · an n i=m Y = |c · c ·{z... · c} · (am · am+1 ·... · an ) = c n−m+1 · ai (n − m + 1)-mal i=m Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 18 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.2 Summen- und Produktzeichen Satz (Rechenregeln für das Produktzeichen): Seien a, c, ai , bi ∈ R, i = m, m + 1,... , n wobei k, m, n ∈ Z mit m ≤ n. (3) Aufspaltung von Produkten: Yn (ai · bi ) = (am · bm ) · (am+1 · bm+1 ) ·... · (an · bn ) i=m Yn n Y = (am · am+1 ·... · an ) · (bm · bm+1 ·... · bn ) = ai · bi i=m i=m (4) Indexverschiebung: Yn n+k Y ai = ai−k i=m i=m+k Dr. M. Seifert (Lehrstuhl Quantitative Analyse) Mathematik für Ökonomen RUB Wintersemester 2024/25 19 / 26  1. Grundlagen 1.3 Rechnen mit reellen Zahlen 1.3.3 Ordnungsrelation, Beträge und Intervalle Die Menge R der reellen Zahlen lässt sich durch die Zahlengerade veranschaulichen. Liegt der zur reellen Zahl a gehörende Punkt links von dem zur reellen Zahl b gehörende Punkt, so heißt a < b (sprich:a kleiner b) Satz: Für die Ordnungsrelation < gelten die folgenden Regeln (a, b, c, d ∈ R): (1) a < b ∧ b < c ⇒ a b · c, insbesondere gilt: a < b ⇔ −a > −b 1 1 (4) 0 < a < b ⇔ 0< b < a (5) a < b ∧ c < d ⇒ a+c