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Introdução Secção 1: Introdução - 10 de Setembro de 2024 A Electrodinâmica Clássica é a jóia da coroa da física do século XIX e sustenta grande parte da tecnologia do século XXI. Os gregos antigos já conheciam algumas propriedades electromagnéticas da matéria, incluindo relâmpagos e a atracção...

Introdução Secção 1: Introdução - 10 de Setembro de 2024 A Electrodinâmica Clássica é a jóia da coroa da física do século XIX e sustenta grande parte da tecnologia do século XXI. Os gregos antigos já conheciam algumas propriedades electromagnéticas da matéria, incluindo relâmpagos e a atracção e repulsão de ímanes na- turais. No entanto, só no século XVIII a electromagnetismo começou a desenvolver-se como uma disciplina. O progresso notável no estudo da electricidade e do magnetismo pode ser traçado às experiências de Cavendish por volta de 1771 e às experiências de Coulomb em 1785. Em 1831, as experiências de Faraday revelaram os efeitos das correntes variáveis no tempo e dos campos magnéticos, e em 1846, após a descoberta do efeito Faraday, ele sugere que a luz pode ser de natureza electromagnética. Maxwell compreendeu a relação entre ondas electromagnéticas e luz em 1861 e desenvolveu uma versão inicial das suas famosas equações entre 1861 e 1865. Em 1884, Heaviside, simultaneamente com Gibbs e Hertz, desenvolveu a notação do cálculo vectorial e introduziu as equações de Maxwell na forma utilizada hoje. Hertz publicou a sua descoberta de ondas electromagnéticas transversais que se propagam à velocidade da luz e colocou a teoria de Maxwell numa base experimental sólida numa série de experiências entre 1888 e o início da década de 1890. Ou seja, uma caracterização expe- rimental e uma descrição quantitativa do electromagnetismo foram desenvolvidas em cerca de 100 anos. Mais tarde, no século XX, com Einstein, Lorentz e a teoria da relatividade, o quadro da Electrodinâmica Clássica foi completamente desenvolvido. A partir da década de 1940, após a revolução quântica, foi desenvolvida a Electrodinâmica Quântica (QED). A Electrodinâmica Clássica é o limite da QED para pequenas transferências de momento e energia e grandes números médios de fotões. Hoje, a Electrodinâmica Clássica (e a sua contraparte quântica mais geral) desempe- nha um papel central na física, fornecendo uma estrutura abrangente para a compreensão dos fenómenos electromagnéticos e sendo uma parte integrante da descrição unificada das partículas e interacções que é o Modelo Padrão. O Modelo Padrão fornece uma descrição coerente quântico-mecânica das interacções electromagnéticas, fracas e fortes com base em constituintes fundamentais. A Electrodinâmica também estabelece as bases para muitos avanços tecnológicos que moldam o nosso quotidiano, incluindo o desenvolvimento de comunicações sem fios, técnicas de imagiologia médica e computação. O campo da Electrodinâmica Clássica tem fascinado cientistas durante séculos e continua a fazê-lo hoje. Neste curso, aprenderemos como os campos eléctrico e magnético são parte de uma única entidade que se revela sob diferentes formas e dá origem a uma vasta gama de fenómenos naturais. Estudaremos como a radiação electromagnética é produzida e como se propaga em diferentes meios. Como resultado disso, compreenderemos a física por detrás da luz azul do céu durante o dia e porque se torna vermelha ao final do dia, as fundações da física dos semicondutores e do plasma, e porque a electrodinâmica desempenha um papel crucial na descoberta da física por detrás dos objectos astrofísicos e fenómenos mais extremos do universo................................................................................................................................. 5  Subsecção 1.1: Conjunto Principal de Equações As equações principais com que lidaremos são as equações de Maxwell: r · D = ⇢, (1.1) @B r⇥E= , (1.2) @t r · B = 0, (1.3) @D r⇥H = J, (1.4) @t onde E e B são os campos eléctrico e magnético, ⇢ e J são as densidades de carga e corrente e, para fontes externas no vácuo, D = ✏0 E e B = µ0 H, com ✏0 e µ0 a permitividade eléctica e a permeabilidade magnética do vácuo, respectivamente. Estas equações estão escritas em unidades SI, o sistema de unidades electromagnéticas a ser utilizado nestes apontamentos. As fontes das equações de Maxwell são ⇢(r, t) e J(r, t), que são tipicamente assumidas como distribuições contínuas em r. Ao mesmo tempo, as cargas pontuais são restritas a valores discretos, sendo a unidade básica de carga a magnitude da carga do electrão e = 1.602 ⇥ 10 19 C. (1.5) Note-se a falta de simetria na aparência dos termos fonte em Eq. (1.1)-(1.4), isto é, não há cargas nem correntes magnéticas, nem há monopólos magnéticos. A combinação da derivada temporal da primeira equação com a divergência da última leva à equação de continuidade para as densidades de carga e corrente: @⇢ + r · J = 0. (1.6) @t A força exercida pelos campos eléctrico e magnético numa partícula com carga q é dada pela equação de Lorentz: F = q(E + v ⇥ B). (1.7) No vácuo, onde ⇢ = J = 0, os campos eléctrico e magnético obedecem à equação de onda: @E @B = c2 r2 E, = c2 r2 B, (1.8) @t @t p onde c = µ0 ✏0 ' 3 ⇥ 108 m/s é a velocidade da luz no vácuo. A relação e as consequências destas leis para os fenómenos electromagnéticos serão dis- cutidas e analisadas ao longo deste curso................................................................................................................................. Subsecção 1.2: Validade da Electrodinâmica Clássica Embora muitos dos avanços da nossa tecnologia dependam da validade da electrodinâmica clássica, como o nome indica, existe outro tipo de electrodinâmica que não é clássica—isto é, a electrodinâmica quântica. Na electrodinâmica quântica, em vez de ondas com posição e velocidade definidas, temos fotões, flutuações de campo e relações de incerteza. Passar de uma para a outra envolve a quantização do campo de radiação, operadores de criação e aniquilação, emissão e absorção de fotões, e covariância relativista e antipartículas. 6  Tal como em mecânica clássica vs mecânica quântica, a teoria quântica da radiação pode ser ignorada se a não-comutatividade das variáveisp dinâmicas, [a, a+ ] = 1, puder ser ignorada. Como tais elementos são da ordem de n, com n sendo o número de fotões por unidade de volume, a descrição dos fenómenos físicos com base na electrodinâmica clássica é fiável quando o número de fotões por unidade de volume é muito superior a um. Por exemplo, para uma estação de rádio FM que transmite a uma frequência de 90 MHz, ou um comprimento de onda de = c/f = 3.33 m, com uma potência de P = 105 W, o número de fotões por segundo que chegam a 10 quilómetros de distância da antena é a quantidade total de energia lá dividida pela energia de um único fotão, isto é, P/hf = 105 /(6.6 ⇥ 10 34 ⇥ 90 ⇥ 106 ) = 1.6 ⇥ 1030 s 1. Assumindo uma onda esférica, obtemos os fotões por volume n = 1.6 ⇥ 1030 /(4⇡r2 c) = 1.6 ⇥ 1030 /(4⇡ ⇥ 108 ⇥ 3 ⇥ 108 ) = 1012 m 3 , o que é muito maior que um. Ou seja, em aplicações comuns como ondas de rádio, a aproximação clássica da electrodinâmica clássica é extremamente boa. Outra forma de chegar a este resultado é notar que, em mecânica quântica, o quadrado da média do operador de campo eléctrico tem o valor esperado num comprimento L de hc/L4 , enquanto na electrodinâmica clássica esta é a densidade de energia da onda electromagnética que pode ser estimada como a densidade de energia de cada fotão vezes o número de fotões nhc/L, com o número de fotões por unidade de volume. Portanto, a descrição clássica deve ser válida se n L 3. A física de hoje utiliza a descrição unificada das interacções electromagnéticas, fracas e fortes chamada modelo padrão. Do ponto de vista do modelo padrão, a electrodinâmica clássica é um limite da electrodinâmica quântica. Além disso, a electrodinâmica quântica é uma consequência da quebra espontânea de simetria de uma teoria mais geral. Mesmo os campos E e B são uma noção clássica. Eles são o limite clássico de uma descrição quântica em termos de fotões reais ou virtuais. Tal descrição quântica é necessária, por exemplo, na emissão espontânea de radiação por átomos, ou por qualquer sistema que inicialmente careça de fotões e tenha apenas um pequeno número de fotões presentes finalmente. Enquanto o comportamento médio pode ser descrito classicamente, e faremos isso, uma descrição precisa da dinâmica requer electrodinâmica quântica. Os campos E e B podem ser vistos como a troca de fotões (descrição quântica) ou como campos de força vectoriais (descrição clássica). Uma propriedade importante das equações de Maxwell no vácuo é a sua linearidade em E e B, o que leva ao princípio de superposição linear. No mundo real, isto é explorado em, por exemplo, centenas de conversas telefónicas diferentes sendo realizadas num único enlace de microondas. Em matéria, podem ocorrer algumas não-linearidades, como em materiais magnéticos e cristais que respondem a feixes de laser intensos. Há, claro, não-linearidade no mundo quântico. O princípio da incerteza permite a cri- ação de um par electrão-posítron por dois fotões que mais tarde podem ser recombinados novamente em dois fotões com direcções e vectores de onda diferentes. Na primeira ordem em h, a electrodinâmica quântica leva à seguinte relação não-linear entre D e E: X e4 h Di = ✏0 ✏ik Ek , ✏ik = ik + 4 c7 [2(E 2 c2 B 2 ) ik + 7c2 Bi Bk ] +... (1.9) k 45⇡m Estes são frequentemente chamados de efeitos de polarização do vácuo que podem causar pequenos deslocamentos nos níveis de energia atómicos. Tais efeitos podem ser vistos, por exemplo, quando duas cargas são colocadas muito próximas uma da outra, levando a campos extremamente elevados. 7 Electrostática Griffiths Ch. 2, 4 A electrostática diz respeito ao estudo de fenómenos envolvendo distribuições de carga e campos independentes do tempo. Aqui, compilaremos o mínimo teórico para determinar o potencial electrostático (r) e o campo eléctrico E(r), onde r é o vector posição, a partir de distribuições de carga volumétrica, superficial e linear fornecidas. Secção 2: Electrostática - 10 de Setembro de 2024................................................................................................................................ Subsecção 2.1: Lei de Coulomb Como quase toda a electrostática pode ser derivada da lei de Coulomb, começaremos aqui. Numa impressionante série de experiências em 1785, Coulomb caracterizou a força entre dois pequenos corpos carregados em repouso um em relação ao outro. A lei de Coulomb pode ser escrita como a força F sobre uma carga pontual q localizada em r devido a outra carga pontual q1 localizada em r1. qq1 r r1 F= , (2.1) 4⇡✏0 |r r1 | 3 onde a unidade SI de carga é o coulomb (C) e o valor da permitividade eléctrica do vácuo é ✏0 = 8.854 ⇥ 10 12 A2 s4 /kg m3. Como podemos observar a partir da Eq. (2.1), a força varia directamente com a magnitude de cada carga, aponta na direcção que une as cargas e varia inversamente com o quadrado da distância entre elas |r r1 |. Um conceito importante que é útil introduzir e que usaremos consideravelmente é o campo elétrico E devido a um corpo carregado, que é a força por unidade de carga actuando num determinado ponto com essa carga q e está relacionado com a força F por F = qE. (2.2) O campo eléctrico devido a uma carga pontual q1 no ponto r1 é então escrito como q1 r r1 E= (2.3) 4⇡✏0 |r r1 | 3 e é medido em volts por metro (V/m). O princípio, experimentalmente observado, da superposição de forças devido a várias cargas indica que podemos escrever o campo eléctrico para um sistemaPNde N cargas como a soma vetorial de cada campo individual Ei , de forma que E = i Ei. Note que a superposição linear das forças (ou campo eléctrico) é válido porque a força é linearmente proporcional à carga fonte. Quando as cargas são tão pequenas e numerosas que podem ser descritas por uma den- sidade de carga ⇢, a soma é substituída pelo integral 1 r r0 ˆ E(r) = ⇢(r0 ) dV 0 , (2.4) 4⇡✏0 |r r0 |3 onde dV 0 = dr0 = d3 r0 = dx0 dy 0 dz 0 é o elemento de volume 3D em r0. 8................................................................................................................................ Subsecção 2.2: Função de Dirac P A distribuição de cargas pontuais pode ser descrita pela densidade volumétrica ⇢(r) = i qi (r ri ) onde qi é a magnitude da i-ésima carga, ri é o vector posição da i-ésima carga e (r ri ) é a função delta de Dirac. Embora a definição matematicamente correta de (r a) exija uma generalização do conceito usual de uma função, aqui, vamos apenas tirar proveito das seguintes propriedades da função ( 0, se r 6= a, (r a) = (x ax ) (y ay ) (z az ) = (2.5) 1, se r = a, ( f (a), se a está dentro do volume V , ˆ f (r) (r a)dV = (2.6) 0, se a está fora do volume V , @ @f (a) ˆ f (x) (x a)dx = , (2.7) @x @a onde f é uma função contínua. Usando análise de Fourier, podemos obter uma representação útil para a função ˆ 1 1 1 1 ˆ (x) = ikx e dk = cos(kx)dx. (2.8) 2⇡ 1 ⇡ 0 A função pode também ser entendida como o limite impróprio ↵ ! 0 da função gaussiana (x2 +y 2 +z 2 )/2↵2 e (x) = lim. (2.9) ↵!0 (2⇡)3/2 ↵3 Esta identidade é particularmente útil para converter uma representação integral numa re- presentação diferencial dos campos, como veremos a seguir, ✓ ◆ ✓ ◆ 1 r r0 r 2 0 = 4⇡ (r r ) = r · , (2.10) |r r0 | |r r0 |3 onde r representa a derivada em relação a r e não r0. Para ilustrar a origem de Eq. (2.10), integraremos Eq. (2.10) sobre um volume e mos- traremos que é zero, excepto num ponto particular. Sem perda depgeneralidade, definimos r0 = 0. Primeiro, consideremos o gradiente do módulo r = |r| = x2 + y 2 + z 2 do vector posição r = (x, y, z) 1 r r =. (2.11) |r| |r|3 Derivando componente a componente e somando-as, verificamos que a divergência de r/r3 se anula, o que é o próprio gradiente de 1/r, levando a 1 r2 = 0. (2.12) |r| 9 No entanto, integrando sobre uma esfera centrada em 0 e de raio a com vector normal n = r(a)/a e área diferencial dA = a2 sin ✓d d✓, e usando o teorema de Gauss, obtemos ✓ ◆ ˆ ˆ ⇡ ˆ 2⇡ 1 r r 2 ˆ r·r = 3 · ndA = r sin ✓d✓d = 4⇡. (2.13) |r| r 0 0 r3 Isto é estranho! O integrando deveria ser zero de acordo com Eq. (2.12). Isto acontece porque, na nossa derivação anterior, não considerámos o ponto r = 0, onde toda a carga está concentrada. Tendo isso em conta, a expressão é zero, excepto naquele ponto, ou seja, 1 r2 = 4⇡ (r), (2.14) |r| o que é facilmente generalizável para r0 finito, substituindo r por r r0................................................................................................................................. Subsecção 2.3: Lei de Gauss Integrando a lei de Coulomb generalizada para distribuições, Eq. (2.4), sobre uma super- fície fechada, encontramos a lei de Gauss na sua forma integral XN qi ˛ E · n dS = (2.15) ✏ i=1 0 P onde S é uma superfície fechada, q = N i qi é a carga total encapsulada por essa superfície e n é o vector normal unitário perpendicular à superfície. Para uma distribuição de densidade de carga contínua ⇢(r), a lei de Gauss escreve-se ⇢ ˛ ˆ E · n dS = dV. (2.16) ✏0 As formas ¸ diferencial´ e integral da lei de Gauss estão relacionadas pelo teorema da di- vergência E · n dS = r · E dV. Isto leva à forma diferencial da lei de Gauss (uma das equações de Maxwell) ⇢ r·E=. (2.17) ✏0 Outra forma de derivar Eq. (2.17) é aplicar a divergência directamente em Eq. (2.4). Como o operador r aplica apenas derivadas de r, isto leva a ✓ ◆ 1 r r0 1 ⇢ ˆ ˆ r·E= 0 ⇢(r )r · 0 3 dV = (r r0 )⇢(r0 )dV =. (2.18) 4⇡✏0 |r r | ✏0 ✏0................................................................................................................................ Subsecção 2.4: Potencial Electrostático A partir da lei de Coulomb generalizada para distribuições Eq. (2.4), e aplicando o gradiente ao escalar 1/|r r0 | 1 r r0 r = , (2.19) |r r0 | |r r0 | 3 10 encontramos ✓ˆ ◆ 1 ⇢(r0 )dV E(r) = r. (2.20) 4⇡✏0 |r r0 | Vemos que o campo eléctrico (um vector) é dado pelo gradiente de um escalar. Esta função escalar é muitas vezes mais conveniente e é definida como o potencial electrostático pela equação 1 ⇢(r0 )dV 0 ˆ E= r , =. (2.21) 4⇡✏0 |r r0 | Notem que, no caso de distribuições de carga superficial ou linear, o integral no volume em Eq. (2.21) deve ser substituído pelo correspondente integral de superfície ou linear. Na electrostática (mas não no caso de campos que variam no tempo), devido ao facto de E poder ser escrito como o gradiente de uma função e do rotacional de um gradiente ser zero, obtemos que r ⇥ E = 0, (2.22) o que é uma das equações de Maxwell em campos estáticos. As equações diferenciais para podem ser encontradas combinando r · E = ⇢/✏0 e E = r , levando à equação de Poisson ⇢ r2 =. (2.23) ✏0 No vácuo, onde ⇢ = 0, a equação de Poisson reduz-se à equação de Laplace r2 = 0. A relação entre Eqs. (2.21) and (2.23) pode ser encontrada a partir da identidade Eq. (2.10). Numa superfície carregada que separa as regiões 1 e 2, as derivadas normais de são descontínuas através daquela superfície de modo que @ 1 @ 2 E2n E1n = = , (2.24) @n @n ✏0 onde , medida em C/m2 , é a densidade superficial de carga................................................................................................................................. Subsecção 2.5: Energia e Força Electrostática O trabalho W realizado ao mover uma carga da posição A para a posição B pode ser calculado usando a força sobre a carga F = qE como ˆ B ˆ B ˆ B W = F · dl = q E · dl = q r dl = q( B A ), (2.25) A A A de modo que q pode ser interpretado como a energia potencial da carga de teste no campo electrostático. O facto de, para ¸um caminho´ fechado, E · dl = ( B B ) = 0 é uma ¸ aplicação do teorema de Stokes E · dl = S (r ⇥ E) · ndS = 0, pois, na electrostática, r ⇥ E = 0. A energia potencial U produzida por um conjunto de cargas qi nas posições ri pode ser escrita como a soma de cada energia potencial 1X U= qi i (r). (2.26) 2 i 11 O factor 1/2 decorre de que, ao somar a contribuição de cada carga sobre outra, não queremos contar a mesma carga duas vezes. A energia potencial total para o caso de uma distribuição contínua pode ser escrita como 1 ˆ U= ⇢ dV. (2.27) 2 Usando a equação de Poisson r2 = ⇢/✏0 e integrando por partes (negligenciando o termo de condição fronteira), leva ao seguinte resultado para a energia de um campo electrostático ✏0 ˆ U= |E|2 dV. (2.28) 2 Isto leva naturalmente à identificação da densidade de energia como ✏0 2 we = |E|. (2.29) 2................................................................................................................................ Subsecção 2.6: (Extra) Expansões Multipolares Em geral, quando estamos interessados em calcular o campo eléctrico ou a energia elec- trostática em um dado sistema, a avaliação directa do integral em Eq. (2.21) pode ser difícil. Muitas vezes é conveniente expandir Eq. (2.21) em potências de x/r ou x0 /r e depois integrar termo a termo, a chamada expansão multipolar. Em coordenadas cartesianas, quando r > a (a é a distância máxima das cargas em relação à origem), expandindo o denominador de Eq. (2.21) em potências de 1/r, obtemos  ✓ ◆ 1 1 r · r0 q p 1 ' 1+ 2 , ' · r , (2.30) |r r0 | r r 4⇡✏0 r 4⇡✏0 r onde q = ⇢dV é a carga total e p = ⇢(r)rdV é o momento dipolar. ´ ´ Em coordenadas esféricas, a expansão multipolar resulta em 1 X l ✓ ◆1/2 ( X 4⇡ l+1 , se r > r , 1 0 = Qlm Ylm ⇥ r l (2.31) l=0 m= l 2l + 1 r , se r < r0 , onde Qlm é o momento multipolar e Ylm as harmónicas esféricas. Para os nossos objectivos, a expansão multipolar é útil para introduzir o conceito de um momento dipolar eléctrico ˆ p(r) = r0 ⇢(r0 )dV 0 , (2.32) tal que o potencial electrostático devido à carga total q = ⇢dV e ao momento dipolar pode ´ ser escrito como q p·r = + (2.33) 4⇡✏0 r 4⇡✏0 r3 e o campo eléctrico devido a um dipolo p no ponto r0 com o vector unitário n apontando de r0 até r 3n(p · n) p 1 E= 3 p (r r0 ), (2.34) 4⇡✏0 |r r0 | 3✏0 12 com o integral de volume EdV = p/3✏0 , onde V é o volume sobre uma esfera que ´ encapsula a densidade de carga. A energia electrostática W = ⇢ dV (que iremos derivar ´ numa secção posterior) pode ser expandida de forma semelhante em torno da origem E(0) = E(r0 ), resultando em W = q (0) p · E(0) +... (2.35)................................................................................................................................ Subsecção 2.7: Meios macroscópicos, conductores e dieléctricos Ao estudar campos eléctricos em materiais—sólidos, líquidos, gases e plasmas—precisamos de considerar que estas substâncias respondem a campos electrostáticos de maneiras dife- rentes. Na maioria dos casos, podemos dividi-los em duas classes: conductores e dieléctricos (ou isolantes). Quando considerámos o cálculo de campos electrostáticos e potenciais na presença de cargas e conductores, não fizemos distinção entre campos microscópicos e ma- croscópicos. No entanto, num dieléctrico, que é um material isolante, a resposta eléctrica do meio tem de ser levada em conta. Em particular, o meio poderá tornar-se polarizado na presença de um campo eléctrico aplicado, causando campos eléctricos internos que reduzem o campo total no interior do material. Esta propriedade, quantificada pela permitividade eléctrica, torna os dieléctricos cruciais em muitos dispositivos eléctricos, incluindo conden- sadores, onde aumentam a carga armazenada, e em linhas de transmissão e antenas, onde afectam a propagação de ondas electromagnéticas. Em substâncias simples, sem campo aplicado, os momentos multipolares são todos zero. No entanto, num meio com um grande número de átomos ou moléculas, as cargas ligadas em cada molécula responderão a um campo aplicado e levarão a perturbações. Os momentos multipolares serão então diferentes do que eram na ausência do campo. O multipolo mole- cular dominante é o dipolo. Este leva a uma polarização eléctrica P (momento dipolar por unidade de volume), quando calculada como a média sobre o meio, X P= Ni hpi i , (2.36) i com pi o momento dipolar e Ni o número médio por unidade de volume do i-ésimo tipo de molécula no meio. Considerando o meio numa perspectiva macroscópica, podemos agora calcular o potencial ou o campo de acordo com a superposição linear das contribuições individuais. Somando Eq. (2.33) para a quantidade total de dipolos, substituindo a soma pelo integral, usando a identidade em Eq. (2.19), e aplicando uma integração por partes, encontramos 1 ⇢(r0 ) r · P(r0 ) 0 ˆ (r) = dV , (2.37) 4⇡✏0 |r r0 | que é a expressão usual para o potencial, mas para uma distribuição de carga ⇢ r · P. Usando E = r , podemos então escrever a divergência do campo eléctrico (primeira equação de Maxwell) como 1 r · E = (⇢ r · P). (2.38) ✏0 Observamos que, se a polarização não for uniforme no meio, a sua divergência induzirá uma carga não nula dentro de qualquer pequeno volume. 13  Definindo o vector de deslocamento eléctrico ou vector de indução eléctrica D como D = ✏0 E + P (2.39) leva à familiar versão macroscópica da primeira equação de Maxwell r·D=⇢ (2.40) onde ⇢ é a densidade de cargas livres (em oposição às cargas ligadas) no dieléctrico. A densidade de cargas ligadas ⇢b é expressa em termos do vector de polarização P como ⇢b = r · P. Uma relação entre D e E, também chamada de relação constitutiva, é necessária para obter uma solução para os campos e potenciais. Aqui, assumimos que a resposta é linear. Uma simplificação adicional é frequentemente usada, onde o meio é considerado isotrópico, de modo que P é paralelo a E P = ✏0 e E, (2.41) com e a susceptibilidade eléctrica do meio. Para dielétricos isotrópicos e campos sufici- entemente pequenos (onde temos uma relação linear), o deslocamento D é proporcional a E D = ✏E, (2.42) onde ✏ = ✏0 (1 + e ). A permitividade eléctrica relativa, também referida como constante dielétrica, é definida como ✏ ✏r = = 1 + e. (2.43) ✏0 Se, além disso, o dieléctrico for uniforme, ou seja, ✏ é uma constante independente da posição, então r · E = ⇢/✏. Observamos que a energia potencial no meio, generalizada a partir de Eq. (2.28), é 1 ˆ U= D · E dV. (2.44) 2 Se existem diferentes meios justapostos, não necessariamente lineares nas suas respos- tas, devemos considerar as condições de fronteira de D e E na interface entre os meios. Numa fronteira com densidade superficial de carga (não incluindo a carga de polarização) separando dois dieléctricos diferentes, as condições de fronteira são E1k = E2k , D2? D1? = , (2.45) onde k e ? referem-se às direcções paralela e perpendicular à superfície de fronteira, respec- tivamente. Estas condições também podem ser escritas como @ 1 @ 2 1 = 2, ✏1 ✏2 =. (2.46) @n @n Para cargas ligadas, a densidade superficial é dada por b = P1n P2n. Em termos do vector n normal à superfície, apontando da região 1 para a região 2, as condições de fronteira podem também ser escritas como (D2 D1 ) · n = , (E2 E1 ) ⇥ n = 0. (2.47) 14 Magnetostática Loureiro (ECla) Ch. 1, Griffiths Ch. 5, 6 Na secção anterior, revimos diferentes aspectos da electrostática (isto é, os campos e inte- racções eléctricas entre cargas de origem estacionária). Agora vamos concentrar-nos no caso em que as cargas estão em movimento, mas as correntes que estas produzem estão em estado estacionário, gerando campos magnéticos constantes no tempo; a teoria das correntes esta- cionárias é chamada de Magnetostática. Aqui, iremos compilar o mínimo teórico necessário para determinar como as correntes produzem campos magnéticos, bem como a força e o potencial associados a esses campos. Secção 3: Magnetostática - 12 de Setembro de 2024................................................................................................................................ Subsecção 3.1: Força magnética e correntes estacionárias A força magnética experienciada por uma partícula de carga q movendo-se com velocidade v num campo magnético B é F = q v ⇥ B. (3.1) É uma força muito interessante que dá origem ao movimento ciclotrónico de partículas car- regadas ao redor de um campo magnético uniforme e perpendicular, mas também a muitas outras trajetórias peculiares na presença de campos não uniformes. Uma importante implicação do facto de a força magnética ser perpendicular à velocidade das partículas é que as forças magnéticas não realizam trabalho! Isto pode ser facilmente observado ao calcular o trabalho realizado pela força magnética ao longo do deslocamento de uma partícula carregada ˆ ˆ ˆ W = F · dl = q (v ⇥ B) · dl = q (v ⇥ B) · vdt = 0. (3.2) Ao lidar com sistemas com um grande número de partículas carregadas em movimento, é mais conveniente considerar a corrente I, que é a quantidade de carga por unidade de tempo que passa num dado ponto e é medida em unidades SI de C/s, ou amperes (A). Outra quantidade muito útil é a densidade de corrente J = ⇢v, que corresponde à quantidade de carga que atravessa a unidade de área por unidade de tempo, medida em unidades SI de C/(m2 s) ou A/m2 , e tem uma direcção definida pelo movimento das partículas carregadas. A conservação da carga implica que a densidade de carga em qualquer ponto está relaci- onada com a densidade de corrente pela equação de continuidade @⇢ + r · J = 0. (3.3) @t Esta equação expressa o facto de que uma mudança na carga dentro de um pequeno volume com o tempo deve corresponder a um fluxo de carga para fora da superfície desse pequeno volume. Como o fenómeno magnético estacionário é caracterizado pela ausência de mudanças na densidade total de carga, na magnetostática temos r · J = 0. (3.4) 15................................................................................................................................ Subsecção 3.2: Lei de Biot-Savart Biot e Savart, primeiro, e Ampère, mais tarde, estabeleceram experimentalmente as leis básicas que relacionam o campo magnético com a corrente. O campo magnético elementar dB devido a um elemento de corrente Idl a uma distância r é dado por µ0 I dl ⇥ r dB = , (3.5) 4⇡ |r|3 onde a unidade SI de campo magnético é o tesla (T) e µ0 = 4⇡⇥10 7 N/A2 é a permeabilidade magnética no vácuo. Devido ao princípio da sobreposição, o campo magnético total num dado ponto é o integral de Eq. (3.5) sobre todos os elementos de corrente µ0 Idl ⇥ r0 ˆ B(r) = , (3.6) 4⇡ |r0 |3 onde dl é um elemento de comprimento ao longo do caminho da corrente e r0 = r l o vector de deslocamento total da distância l ao longo do elemento de fio até à posição r em que o campo está a ser calculado. Esta equação corresponde à lei de Biot-Savart na forma integral. Tal como na electrostática, os campos são uma abstração extremamente útil que usamos para calcular as forças e determinar o movimento de diferentes objectos. A força elementar experienciada por um elemento de corrente Idl na presença de uma indução magnética B é dada por dF = Idl ⇥ B. (3.7) Em termos de densidade de corrente J, encontramos que a força total numa distribuição de corrente é ˆ F = J ⇥ BdV. (3.8) De modo semelhante, o torque total é ⌧ = r ⇥ (J ⇥ B)dV. ´ A partir da lei básica de indução magnética Eq. (3.5), podemos escrever a expressão geral para calcular o campo magnético a partir da densidade de corrente µ0 r r0 ˆ B(r) = J(r0 ) ⇥ dV 0. (3.9) 4⇡ |r r0 |3 Notem que esta expressão para o campo magnético é o análogo de Eq. (2.4) para o campo eléctrico. Esta comparação torna claro o papel da densidade de corrente como fonte de campo magnético — na electrostática, a densidade de carga é a fonte de campos eléctricos. Usando a identidade em Eq. (2.19), podemos ainda escrever µ0 J(r0 ) ˆ B= r⇥ 0 dV 0. (3.10) 4⇡ |r r | Uma vez que a divergência de um rotacional é zero, chegamos à terceira equação de Maxwell r · B = 0. (3.11) 16  Por analogia com a electrostática, podemos agora chegar à quarta equação de Maxwell ao aplicar o rotacional de B, aplicando as identidades que usámos anteriormente para |r r0 | envolvendo funções , integrando por partes e lembrando que para fenómenos estáticos r·J = 0, conduzindo a r ⇥ B = µ0 J. (3.12) A sua correspondente formulação integral (lei de Ampère) pode ser encontrada usando o teorema de Stokes, conduzindo a ˛ ˆ B · dl = µ0 J · n dS = µ0 I. (3.13)................................................................................................................................ Subsecção 3.3: O Potencial Vector A partir de Eq. (3.11), podemos escrever o campo magnético B como o rotacional de um campo vectorial A, ao qual chamamos potencial vector B = r ⇥ A. (3.14) Usando Eq. (3.10), descobrimos que a forma mais geral do potencial vector é µ0 J(r0 ) ˆ A(r) = dV 0. (3.15) 4⇡ |r r0 | É importante notar que, devido à forma de Eq. (3.14), o potencial vector pode ser livremente transformado de acordo com A ! A + r , onde é uma função escalar arbitrária. Esta transformação é conhecida como transformação de gauge e permite-nos fazer com que r · A tenha qualquer forma conveniente, incluindo r · A = 0. De facto, utilizando este gauge conveniente e substituindo Eq. (3.14) em Eq. (3.12), obtemos r2 A = µ0 J. (3.16) No vácuo, onde J = 0, temos r⇥B = 0, e, portanto, B pode ser escrito como o gradiente de um escalar, B = r , o que, devido à restrição r · B = 0, conduz à equação de Laplace para o potencial: r2 = 0. (3.17) No entanto, notamos que pode não ser uma função univalente................................................................................................................................. Subsecção 3.4: Distribuição de corrente localizada Consideremos uma distribuição de corrente geral que está localizada numa pequena região em relação à distância ao ponto de observação. Para uma corrente linear, faz-se a substituição JdV 0 ! Idl0. A grandes distâncias da distribuição de corrente, de forma semelhante ao método dos multipolos que explorámos para a electrostática, a solução para A é µ0 m ⇥ r A= , (3.18) 4⇡ |r|3 onde 1 ˆ m= r0 ⇥ J(r0 )dV 0 (3.19) 2 17 é o momento magnético. Para um laço de corrente, o momento dipolar magnético é definido como m = ⇡Ia2 n, (3.20) onde I é a corrente no laço, a é o seu raio, ⇡a2 a sua área, e n o vector unitário ao longo do seu eixo. Para um laço arbitrário, o momento magnético é dado por I ˛ m= r ⇥ dl. (3.21) 2 Como |r ⇥ dl| = 2dS, onde dS é a área diferencial, a magnitude do momento magnético é |m| = I⇥ Área. O campo magnético B devido a um momento magnético m pode ser calculado avaliando o rotacional de ?? e é dado por µ0 3n(n · m) m 2µ0 B= + m (r), (3.22) 4⇡ |r|3 3 onde n é o vector unitário na direcção de r. Se a distribuição de corrente for fornecida por várias partículas carregadas com cargas qi e massas Mi em movimento com velocidades vi , a densidade de corrente J e o momento magnético m tornam-se X 1X X qi J= qi vi (r ri ), m = qi (ri ⇥ vi ) = Li , (3.23) i 2 i i 2M i onde Li é o momento angular orbital da partícula. A contribuição de m para a força sobre uma distribuição de corrente localizada num campo magnético externo B é F = r(m · B), (3.24) levando à energia potencial U de um dipolo (ou de um momento magnético permanente) num campo externo como U = m · B................................................................................................................................. Subsecção 3.5: Equações macroscópicas e condições de fronteira Até agora, revimos o mínimo teórico para o campo magnético em regime estacionário com base em equações microscópicas. Nesses casos, assumimos que a corrente microscópica está bem descrita. No entanto, ao lidar com sistemas macroscópicos, frequentemente não é esse o caso. Podemos ter fluctuações microscópicas complexas que não são bem caracterizadas, e estamos principalmente interessados em entender as propriedades médias de um sistema sobre algum volume macroscópico. De forma semelhante, podemos ter muitos momentos magnéticos intrínsecos de electrões atómicos que dão origem a campos de dipolo que variam significativamente em escalas microscópicas. Ao lidar com sistemas macroscópicos, estamos interessados em fazer a média sobre essas pequenas propriedades para obter uma descrição macroscópica. É importante clarificar a notação a seguir neste contexto. Em alguns livros, B é chamado o vector de campo magnético, enquanto outros reservam H para o campo magnético. Embora 18 possamos argumentar que os campos fundamentais são E e B, os campos macroscópicos que têm ⇢ e J como fontes são os campos D e H, mesmo que sejam mais uma conveniência para resolver as equações de maneira mais simples. Aqui, ao discutir apenas campos no vácuo, chamamos B ao campo magnético, e, quando falamos sobre meios materiais, chamamos B à indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) e H o vector de campo magnético. Ao fazer a média das equações de Maxwell microscópicas, chegamos às suas equivalentes macroscópicas r⇥H=J (3.25) e r · B = 0. (3.26) Em meios diamagnéticos e paramagnéticos isotrópicos, B = µH, onde µ é a perme- abilidade magnética do meio. Num material, a magnetização média devido à densidade de correntes moleculares, quando colocado num campo magnético, é dada pelo vector de magnetização M, com corrente efectiva JM = r ⇥ M, levando à relação B = µ0 (H + M). (3.27) Em meios ferromagnéticos, a relação entre B e H é não linear e pode não ser sequer univalente. A solução dos problemas de magnetostática neste caso torna-se muito mais difícil. No entanto, ao discutir ímanes permanentes no contexto de ferromagnéticos ideais, assume-se normalmente uma relação linear B = µ(H + M0 ), com M0 uma constante. Além disso, os grandes valores da permeabilidade relativa entre materiais ferromagnéticos podem, às vezes, simplificar os cálculos sobre as condições de fronteira. O integral das equações de Maxwell para magnetostática conduz às seguintes condições de fronteira: n · (B2 B1 ) = 0, n ⇥ (H2 H1 ) = i, (3.28) onde i é a densidade de corrente de superfície e n a normal direccionada da primeira região para a segunda. Se a distribuição de corrente for axialmente simétrica, então a forma integral da equação de Maxwell é ˛ H · dl = I. (3.29)................................................................................................................................ Subsecção 3.6: Energia e Auto-Inductância A energia do campo magnético, de forma semelhante ao caso da electrostática, é dada por 1 1 ˆ ˆ W = H · BdV = J · AdV, (3.30) 2 2 onde o volume V é onde o campo magnético está localizado. Equivalentemente, podemos escrever 1 ˆ W = J · AdV, (3.31) 2 onde, neste caso, a integração é realizada sobre o volume ocupado pelas correntes. No caso de um condutor que transporta uma corrente I, a energia magnética pode ser expressa em termos da auto-inductância L do condutor W = LI 2 /2. 19  A energia de interacção entre dois condutores que transportam corrente é ˆ ˆ W12 = H1 · B2 dV = J1 · A2 dV, (W12 = W21 ), (3.32) onde o primeira integral é avaliado sobre todo o espaço e o segundo sobre o volume de um dos conductores. 20 Formalismo do Electromagnetismo Loureiro (ECla) Ch. 3, Griffiths Ch. 7, 8 Nas secções anteriores, revimos os casos específicos dos campos elétricos e magnéticos em estado estacionário, que foram tratados de forma independente. Agora introduzimos o for- malismo geral para campos eletromagnéticos variáveis no tempo e as correspondentes leis de conservação. Secção 4: Formalismo do Electromagnetismo - 12 de Setembro de 2024................................................................................................................................ Subsecção 4.1: Lei de Indução de Faraday Ao revermos a teoria electrostática, vimos que, para campos estacionários, r ⇥ E = 0. A primeira descrição quantitativa de campos eléctricos e magnéticos variáveis no tempo foi feita pelas experiências de Faraday em 1831. Ele observou que uma corrente é induzida num circuito se: 1. a corrente constante que flui num circuito adjacente é ligada ou desligada; 2. o circuito adjacente com corrente constante for movido em relação ao primeiro circuito; 3. um íman permanente for introduzido ou retirado do circuito. O fluxo de corrente, como Faraday notou, pode ser atribuído a uma variação do fluxo mag- nético ligado ao circuito, induzindo um campo eléctrico com um integral de linha fechada não-nulo. Tal integral de linha fechada não-nulo é chamado de força electromotriz E. Em termos matemáticos, definindo o fluxo de B como ˆ = B · n dS, (4.1) e a força electromotriz em torno do circuito como ˛ E = E · dl, (4.2) onde E é o campo eléctrico no elemento de circuito dl, a observação de Faraday pode ser escrita como d E=. (4.3) dt Usando o teorema de Stokes, podemos escrever a lei de Faraday na forma diferencial @B r⇥E=. (4.4) @t Notem que esta é a generalização de r ⇥ E dependente do tempo, correspondente à segunda equação de Maxwell................................................................................................................................. Subsecção 4.2: Generalização para Campos Variáveis no Tempo As quatro equações de campo do electromagnetismo que derivámos até agora ainda são inconsistentes para campos variáveis no tempo. Isto deve-se ao facto de que a lei de Ampère foi derivada no caso estacionário de r · J = @⇢/@t = 0. Em 1865, Maxwell modificou 21 esta equação para torná-la consistente e aplicável a quaisquer fenómenos, incluindo campos variáveis no tempo. Um raciocínio simples para o termo extra que deveria aparecer na lei de Ampère r ⇥ H = J é o facto de, combinando a equação da continuidade e a lei de Coulomb, podemos escrever ✓ ◆ @⇢ @D r·J+ =r· J+ = 0, (4.5) @t @t levando à generalização de J ! J + @D @t. A lei de Ampère tornou-se então @D r⇥H=J+. (4.6) @t O termo @D@t foi chamado por Maxwell de corrente de deslocamento. Isto conclui a generalização das quatro equações de Maxwell para campos variáveis no tempo. Reescrevemos as quatro equações aqui: r · D = ⇢, (4.7) @D r⇥H = J, (4.8) @t r · B = 0, (4.9) @B r⇥E=. (4.10) @t Analisando a Eq. (4.7) e Eq. (4.9), vemos que a fonte do fluxo do campo eléctrico é a densidade de carga, mas não há fontes de fluxo do campo magnético. Ou seja, não existem cargas magnéticas de densidade ⇢m das quais saiam linhas de força do campo B. Isto significa que as linhas de força do campo magnético são fechadas. Examinando a Eq. (4.10), vemos que o campo eléctrico tem fontes de circulação onde o campo magnético varia no tempo. A Eq. (4.8) diz-nos que há fontes de circulação do campo magnético onde existe densidade de corrente J e onde o campo eléctrico varia no tempo. É a interdependência espaço-temporal entre E e B, evidente em Eq. (4.10) e Eq. (4.8), que dá origem à propagação do campo eletromagnético como uma onda................................................................................................................................. Subsecção 4.3: Potenciais e Transformações de Gauge Como escrevemos o campo eléctrico em termos de potenciais, agora que temos campos variáveis no tempo? Aqui, usamos B = r ⇥ A e r ⇥ E = @B @t e encontramos que r ⇥ E + @t = 0 deve ter o rotacional nulo. Assim, pode ser escrito como o gradiente de um @A potencial escalar , levando a @A E= r. (4.11) @t Por agora, vamos restringir-nos à solução das equações de Maxwell no vácuo, onde ✏ = ✏0 e µ = µ0 , mas permitindo a presença de distribuições de cargas ⇢ e J em algum lugar no espaço. As equações de Maxwell não-homogéneas podem então ser escritas em termos dos potenciais e A como @ ⇢ r2 + r · A = , (4.12) @t ✏0 ✓ ◆ 1 @ 2A 1@ r2 A 2 2 r r·A+ 2 = µ0 J. (4.13) c @t c @t 22 Embora tenhamos reduzido as quatro equações de Maxwell de primeira ordem para apenas duas equações de segunda ordem, Eqs. (4.12) and (4.13) ainda acoplam e A em ambas as equações. O desacoplamento pode ser feito explorando a liberdade na definição dos potenciais. Os campos reais B e E não são alterados pelas seguintes transformações de gauge B = r ⇥ A, A ! A + r⇤, (4.14) @A @⇤ E= r , ! , (4.15) @t @t o que significa que podemos escolher um conjunto de potenciais tal que o termo extra na Eq. (4.13) envolvendo possa ser anulado, satisfazendo o que é conhecido como a condição de gauge de Lorenz: 1@ r·A+ 2 = 0. (4.16) c @t Se escolhermos este gauge, as Eqs. (4.12) and (4.13) reduzem-se a duas equações de onda não-acopladas: 1 @2 ⇢ r2 = , (4.17) c2 @t2 ✏0 1 @ 2A r2 A = µ0 J. (4.18) c2 @t2 O conjunto de Eqs. (4.16) to (4.18) forma um conjunto de equações equivalentes às equações de Maxwell. A equação de escolha Eq. (4.16) é chamada de gauge de Lorenz. Outra opção é considerar r · A = 0, o que é chamado de gauge de Coulomb. No entanto, nesse caso a equação de onda para A não será desacoplada de , mas a equação de onda para será. É um gauge útil se não houverem fontes presentes e se = 0. O conjunto de Eqs. (4.14) and (4.15) são chamadas de transformações de gauge, e a invariância dos campos sob tais transformações é chamada invariância de gauge. Podemos também ver a partir das Eqs. (4.14) and (4.15) que o campo ⇤, para cumprir a Eq. (4.16), deve satisfazer a condição 1 @ 2⇤ r2 ⇤ = 2 2. (4.19) c @t................................................................................................................................ Subsecção 4.4: Conservação de Energia Electromagnética: Teorema de Poyn- ting A taxa total dW/dt de realização de trabalho W pelos campos electromagnéticos num volume finito é dada por dW d d ˆ ˆ ˆ ˆ = F · dl = q(E + v ⇥ B) · vdt = ⇢v · EdV = J · E dV, (4.20) dt dt dt onde o último termo representa a potência associada à conversão de energia electromagnética em energia mecânica ou térmica pelo efeito Joule. Esta é uma generalização para distribui- ções de corrente do facto da´ força sobre ´ uma partícula carregada ser F = q(E + v ⇥ B), de modo que o trabalho W = F · dl = F · vdt leva a uma taxa de trabalho dW/dt = qv · E. O campo magnético não realiza trabalho pois é sempre perpendicular à velocidade. 23  Usando as equações de Maxwell para eliminar J no último termo da Eq. (4.20), usando a identidade vectorial r · (E ⇥ H) = H · (r ⇥ E) E · (r ⇥ H), (4.21) e usando a lei de Faraday, encontramos @w +r·S= J · E, (4.22) @t que é a lei de conservação de energia, ou o teorema de Poynting. Aqui S=E⇥H (4.23) é o vector de Poynting e 1 w = (E · D + B · H), (4.24) 2 é a densidade de energia electromagnética. Notem que nas secções anteriores, já vimos que a densidade de energia do campo na eletrostática é E · D/2, enquanto na magnetostática é dada por B · H/2. A lei de conservação da Eq. (4.22) diz-nos que a taxa de variação da energia electromag- nética dentro de um dado volume são as perdas devidas ao aquecimento por efeito Joule (trabalho realizado pelos campos sobre as fontes dentro desse volume) mais as perdas de- vidas à energia que flui para fora do volume através das suas superfícies de fronteira. Esta mesma lei de conservação (teorema de Poynting) pode ser formulada em forma integral, integrando-a sobre um volume V que inclua os campos e as fontes. Denotando a energia total das partículas como Wmec temos dWmec ˆ = J · EdV. (4.25) dt Além disso, usando, de forma a ser mais claro, Wf ields em vez de W para a energia nos campos e aplicando o teorema da divergência, temos dWf ields dWmec ˛ + = S · n dS. (4.26) dt dt Podemos facilmente ver que para um sistema fechado, isto é, se nenhuma energia eletro- magnética sair de um dado volume, então dWf ields /dt = dWmec /dt. É instrutivo comparar a Eq. (4.26) com a equação obtida a partir da integração da equação da continuidade Eq. (3.3) dq ˛ = J · n dS. (4.27) dt Por analogia, vemos que o vector de Poynting representa a densidade de "corrente"electromagnética. Baseado nesta interpretação, a energia electromagnética comporta-se como um fluido e o vec- tor de Poynting é a densidade de corrente desse fluido. O vector de Poynting aponta assim ao longo da direcção de fluxo da energia electromagnética................................................................................................................................. 24  Subsecção 4.5: Conservação do Momento Electromagnético Generalizando a força total sobre uma partícula carregada para uma distribuição de partículas, podemos escrever a segunda lei de Newton para o momento de todas as partículas Pmec como dPmec ˆ = (⇢E + J ⇥ B)dV. (4.28) dt Como fizemos para o teorema de Poynting, usando as equações de Maxwell para eliminar ⇢ e J, adicionando c2 B(r · B) = 0, e identificando o momento electromagnético total Pf ield no volume V como E⇥H S ˆ ˆ Pf ield = 2 dV = dV, (4.29) c c2 encontramos a seguinte lei de conservação do momento d ˆ (Pmec + Pf ield ) = ✏0 [E(r · E) E ⇥ (r ⇥ E) + c2 B(r · B) c2 B ⇥ (r ⇥ B)]dV dt ˆ ˛ = r · TdV = T · ndS, onde T é chamado o tensor de tensões de Maxwell com componentes  E 2 + c2 B 2 Tij = ✏0 Ei Ej + c2 Bi Bj ij. (4.30) 2 Aqui i e j referem-se às coordenadas x, y e z e o delta de Kronecker ij é 1 se os índices forem os mesmos e zero caso contrário. Por enquanto, ainda não vamos lidar com o cálculo tensorial. Vamos discuti-lo em detalhe numa fase posterior. Por agora, podemos pensar em Tij como uma matriz com a coluna i e a linha j que são funções do vector posição r e que tem um total de nove componentes. 25