رياضيات أولى ثانوي (السمستر الأول) PDF
Document Details
Uploaded by ClearedProtagonist
2023
محمد ميالد الشراني
Tags
Summary
هذا المستند هو نص رياضيات ليبي لموضوع المجموعات لطلاب السنة الأولى ثانوي. يتضمن شرحًا للتعريفات، وأنواع المجموعات , وطرق كتابتها.
Full Transcript
دولــــة لــيــبــيــا ريـاضـيــات سـنـة أولـى ثــانـوي إعداد أ.محمد ميالد الشراني تاريخ اإلعداد2023-09-17 : الـبـاب األول المـجـمـوعـــات المجموعة- : هي تجم...
دولــــة لــيــبــيــا ريـاضـيــات سـنـة أولـى ثــانـوي إعداد أ.محمد ميالد الشراني تاريخ اإلعداد2023-09-17 : الـبـاب األول المـجـمـوعـــات المجموعة- : هي تجمع من األشياء المتشابهة أو المترابطة ِب َبعضها البعض بخاصية مشتركة. مالحظات: ▪ األشياء التي تتكون منها المجموعة تسمى عناصر. ▪ يمكن أن تكون هذه العناصر أرقاماً ،أحرفاً ،كلما ٍ ت أو أي شيء آخر. ▪ ترتيب عناصر المجموعة ليس له أهمية (تأثير). ▪ ال يسمح بتكرار العناصر في المجموعة ،أي أن كل عنصر يظهر في المجموعة مرة واحدة فقط. ▪ عدد عناصر المجموعة يرمز له بالرمز ن. تمثيل المجموعة- : يتم تمثيل المجموعة بقوسين من هذا النوع } { وفصل عناصرها بفواصل. مثالً إذا كانت لدينا هذه الكلمات: أسد ،فلسطين ،ليبيا ،نمر ،صقر ،مصر ،السعودية. فيمكن تصنيف هذه الكلمات ضمن مجموعتين: المجموعة األولى تمثل أسماء دول وسنرمز لها بالحرف أ. ▪ أ = } فلسطين ،ليبيا ،مصر ،السعودية{. المجموعة الثانية تمثل أسماء حيوانات وسنرمز لها بالحرف ب. ▪ ب = } أسد ،نمر ،صقر{. طرق كتابة المجموعة- : هناك طريقتان لكتابة المجموعة: .1طريقة القائمة أو الحصر: هي عبار عن ذكر أو سرد عناصر المجموعة. مثال: اكتب مجموعة األعداد الزوجية المحصورة بين 10،1بطريقة القائمة. الحل أ = } .{8 ،6 ،4 ،2 .2طريقة الوصف أو القاعدة: هي عبارة عن كتابة جملة تصف عناصر المجموعة. مثال: اكتب مجموعة األعداد الزوجية المحصورة بين 10،1بطريقة الوصف. الحل أ = } س :س األعداد الزوجية المحصورة بين .{10،1 أو أ = } س :س األعداد الزوجية >1 ،س >.{ 10 1 مثال: اكتب المجموعات التالية بطريقتي الوصف والقائمة. )1مجموعة الحروف األبجدية المحصورة بين أ ،جـ. )2مجموعة األعداد الفردية المحصورة بين .5 ، 1 )3أسماء فصول السنة. )4مجموعة عوامل العدد .16 )5مجموعة األحرف المكونة لكلمة "عدد". الحــل )1س = } ل :ل األحرف األبجدية المحصورة بين أ ،جـ{ →.طريقة الوصف. س = } ب ،ت ،ث{ →.طريقة القائمة. )2م = } ي :ي األعداد الفردية المحصورة بين →.{5 ، 1طريقة الوصف. م = } →. {3طريقة القائمة. )3ب = } ض :ض أسماء فصول السنة{ →.طريقة الوصف. ب = } صيف ،خريف ،شتاء ،ربيع{ →.طريقة القائمة. )4ر = } د :د عوامل العدد →.{16طريقة الوصف. ر = } →.{16 ،8 ،4 ،2 ،1طريقة القائمة. )5ت = } ف :ف األحرف المكونة لكلمة "عدد"{ →.طريقة الوصف. ت = } د ،ع{ →.طريقة القائمة. كما ذُك َِر سابقا أن عناصر المجموعة تجمعها خاصية مشتركة وبالتالي يمكن أن تأخذ المجموعات هذا الشكل: أ = { (.} )3 ، 2( ، )2 ، 2( ، )3 ، 1( ، )2 ، 1 ب = { {.} }10{ ، }7 ، 5 ، 3 ، 0{ ، }1 ، 1-{ ، }6 ، 4 ، 2 االنتماء وعدم االنتماء ∈ :∉ ، يستخدم لوصف عالقة العنصر بالمجموعة.مهم. الرمز ∈ يعني أن عنصر ما ينتمي لمجموعة معينة فمثال إذا كانت أ = } {3 ، 2 ، 1فإن ∈ 1أ. ▪ الرمز ∉ يعني أن عنصر ما ال ينتمي لمجموعة معينة فمثال إذا كانت أ = } {3 ، 2 ، 1فإن ∉ 5أ. ▪ أنواع المجموعات- : المجموعة الخالية ∅- : ▪ هي مجموعة ال تحتوي على أي عناصر ،ويرمز لها بالرمز ∅ أو } {. مثال: اكتب مجموعة األعداد الصحيحة بين 4 ، 1تقبل القسمة على .6 الحل أ = } { أو ∅. مثال: أي من المجموعات التالية تدل على المجموعة الخالية: ④ جميع اإلجابات خاطئة }{0 ③ ② 0 ① }∅{ 2 المجموعة المنتهية- : ▪ هي مجموعة تحتوي على عدد نهائي من العناصر. مثال: اكتب مجموعة أيام األسبوع. الحل أ = }الجمعة ،السبت ,األحد ،االثنين ،الثالثاء ،اإلربعاء ،الخميس {. المجموعة الالنهائية (الغير منتهية)- : ▪ هي مجموعة تحتوي على عدد ال نهائي من العناصر. مثال: اكتب مجموعة األعداد الزوجية األكبر من صفر. أ = }.{… ، 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2 وتوجد مجموعات أعداد غير منتهية ،محددة برمز خاص وهي: .1مجموعة األعداد الطبيعية (ط) = { .}... ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 .2مجموعة األعداد الكلية (ك) = { .}... ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0 .3مجموعة األعداد الصحيحة (ص) = { .}... ، 5 ± ، 4 ± ، 3 ± ، 2 ± ، 1 ± ، 0 ،أ،ب ∈ ص ،ب ≠ .} 0 .4مجموعة األعداد القياسية (ق) = { أ ب المجموعات الجزئية ⊂ - :⊆ ، ▪ هي مجموعة تحتوي على بعض أو كل عناصر المجموعة األساسية ،وال تحتوي على عناصر إضافية. يمكن أن تكون المجموعة الجزئية فارغة أو تحتوي على عنصر أو أكثر من عنصر أو كل العناصر. فمثالا إذا لدينا مجموعتين أ و ب فإنه: إذا كانت جميع عناصر المجموعة أ تنتمي إلى المجموعة ب ،وبعض عناصر المجموعة ب ال تنتمي إلى المجموعة أ ،يقال في هذه الحالة أن أ مجموعة جزئية فعلية من المجموعة ب ،وتكتب أ ⊂ ب. إذا كانت جميع عناصر المجموعة أ تنتمي إلى المجموعة ب ،وجميع عناصر المجموعة ب تنتمي إلى المجموعة أ ،يقال في هذه الحالة أن أ مجموعة جزئية من المجموعة ب ،وتكتب أ ⊆ ب. أما إذا كانت أ ليست مجموعة جزئية أو ليست مجموعة جزئية فعلية من المجموعة ب فتكتب أ ⊄ ب. تنبيه هام: يربط الرمز ⊂ أو ⊆ بين مجموعتين. مثال: ً في كل حالة من الحاالت اآلتية أيّا من المجموعات جزئية أم ال. ب = { .}10 ، 7 ، 3 ، 2 ، 0 )1أ = { }3 ، 2 ، 1 ص = { م ،ت ،ر}. )2س = {ل :ل حروف كلمة "رقرق"} ط = { .}... ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 )3ع = { }... ، 7 ، 5 ، 3 ، 1 ن = مجموعة حروف كلمة "رقم". )4م = مجوعة حروف كلمة "قمر" د = { {.} ∅ ، }0{ ، }5 ، 1 * )5هـ = ∅ 3 الحل اكتب المجموعات بطريقة القائمة للمساعدة في الحل. )1أ ⊄ ب ص={م،ت،ر} و )2س = { ر ،ق } س⊄ص )3ع ⊂ ط ن={ر،ق،م} و )4م = { ق ،م ،ر } م⊆ط )5هـ ⊄ د المجموعات المتساوية = -: ▪ هي مجموعات تحتوي على نفس العناصر ،ويرمز لها بالرمز =. إذا كانت أ ⊆ ب ،ب ⊆ أ فإن أ = ب. فمثال إذا كانت المجموعة أ = { }20 ، 8 ، 1والمجموعة ب = { }8 ، 1 ، 20فإن أ = ب ،ألن لهما نفس العناصر. المجموعات المتكافئة ≡ - : ▪ هي مجموعات تحتوي على نفس عدد العناصر ،وليس بالضرورة نفس العناصر ،ويرمز لها بالرمز ≡. ▪ فمثال إذا كانت المجموعة أ = { }4 ، 3 ، 2 ، 1والمجموعة ب = { أ ،ف ،ر ،ق} فإن أ ≡ ب ،ألن ن(أ) = ن(ب) = ،4أي أن لهما نفس عدد العناصر. المجموعة الشاملة ش - : ▪ هي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر تحت الدراسة ويرمز لها بالرمز ش. فمثال إذا كانت المجموعة أ = { ، } 3 ، 2 ، 1ب = { ، } 5 ، 4 ، 3جـ = { } 7 ، 3فنقول أن المجموعة ش = { } 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1ألنها تحتوي على جميع عناصر المجموعات األخرى. يبل ▪ عدد المجموعات الجزئية لمجموعة معطاة- : عدد المجموعات الجزئية لمجموعة معطاة = 2ن ،حيث ن عدد عناصر المجموعة المعطاة. توضع المجموعات الجزئية ضمن مجموعة تسمى مجموعة المجموعات الجزئية ويرمز لها بالرمز ق(س) ،حيث س تمثل اسم المجموعة المعطاة. مالحظة: المجموعة األصلية تعتبر مجموعة جزئية للمجموعة نفسها. المجموعة الخالية ∅ تعتبر مجموعة جزئية من أي مجموعة. مثال: أوجد عدد عناصر المجموعات الجزئية ومن ثم أوجد المجموعات الجزئية للمجموعتين أ ،ب: ) 1أ = { .} 5 ، 2 )2أ = { .} 6 ، 3 ، 1- 4 الحل فإن: وأن ن(أ) = ، 2ن(ب) = 3 2ن ، ∵ عدد المجموعات الجزئية لمجموعة = )1عدد المجموعات الجزئية للمجموعة أ = 4 = 22مجموعات جزئية. ق(أ) = { {.} ∅ ، }5{ ، }2{ ، }5 ، 2 )2عدد المجموعات الجزئية للمجموعة ب = 8 = 32مجموعات جزئية. ق(ب) = { {.} ∅ ، }6{ ، }3{ ، }1-{ ، }6 ، 3{ ، }6 ، 1-{ ، }3 ، 1-{ ، }6 ، 3 ، 1- أشـكــال ڨـن- : هي مجموعة من األشكال الهندسية المتداخلة (مربع ،مستطيل ،دائرة )...،تستخدم لتوضيح العالقة بين المجموعات. يستخدم المستطيل لتمثيل المجموعة الشاملة (ش). تستخدم الدائرة لتمثيل مجموعة معاطاة. مثال: مثّل كال من المجموعات التالية بأشكال ڨن: )1إذا كانت أ = { } 20 ، 12 ، 6 ، 5 ، 1و ب = { .} 10 ، 9 ، 2 ، 0 )2إذا كانت أ = { } 6 ، 5 ، 1و ب = { .} 8 ، 7 ، 4 ، 1 )3إذا كانت ش = { }8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1و أ = { }6 ، 5 ، 1و ب = {.}8 ، 7 ، 4 ، 1 الحل )1ر مجموعات منفصلة )2ر مجموعات متداخلة )3ر 5 العمليات على المجموعات- : ❖ عملية االتحاد ∪ - : االتحاد بين مجموعتين هو المجموعة التي تحتوي على العناصر في كال المجموعتين بدون تكرارا ،ويرمز له بالرمز ∪. تمثيل عملية االتحاد باستخدام الوصف: أ ∪ ب = { س :س ∈ أ أو س ∈ ب }. تمثيل عملية االتحاد بأشكل ڨن: مجموعات متداخلة مجموعات منفصلة فمثال إذا كانت أ = { } 10 ، 6- ، 0و ب = { .} 5 ، 6- ، 11 ، 1 فإن أ ∪ ب = { .} 11 ، 10 ، 5 ، 1 ، 0 ، 6- ❖ عملية التقاطع ∩ - : التقاطع بين مجموعتين هو المجموعة التي تحتوي فقط على العناصر المشتركة بين المجموعتين ،ويرمز له بالرمز ∩. تمثيل عملية التقاطع باستخدام الوصف: أ ∩ ب = { س :س ∈ أ و س ∈ ب }. تمثيل عملية التقاطع بأشكل ڨن: فمثال إذا كانت أ = { } 10 ، 6- ، 0و ب = { .} 5 ، 6- ، 11 ، 1 فإن أ ∩ ب = { .} 6- ❖ عملية الفرق - : - الفرق بين مجموعتين هو المجموعة التي تحتوي على العناصر الموجودة في المجموعة األولى وغير موجودة في المجموعة الثانية ،ويرمز له بالرمز .- تمثيل عملية الفرق باستخدام الوصف: أ -ب = { س :س ∈ أ و س ∉ ب }. تمثيل عملية الفرق بأشكل ڨن: 6 فمثال إذا كانت أ = { } 10 ، 6- ، 0و ب = { .} 5 ، 6- ، 11 ، 1 فإن أ -ب = { .} 10 ، 0 ❖ عملية التكميل - : / التكميل لمجموعة ما هي المجموعة التي تحتوي على العناصر الموجودة في المجموعة الشاملة وغير موجودة في المجموعة المراد تكميلها ،ويرمز له بالرمز ./ أي بمعنى أ = /ش – أ تمثيل عملية التكميل باستخدام الوصف: أ { =/س :س ∈ ش و س ∉ أ }. تمثيل عملية التكميل بأشكل ڨن: فمثال إذا كانت ش = { } 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1و أ = { .} 4 ، 2 ، 1 فإن أ.} 5 ، 3 { = / أمثلة متنوعة- : ( )1أيا ا من العبارات التالية يقال عنها مجموعة وأيها ليست مجموعة ،مع ذكر السبب: أ.} 4 ، √2 ، 1 {. ب ، 1 {.ق ،ت .} 0 ، 4 ، ت }.تفاح ،مشمش ،موز ،عنب{. ث {.مروان ،ي ،ر ،مفتاح ،محمود }. الحل ألن جميع العناصر تتميز مجموعة { .} 4 ، √2 ، 1 أ. بخاصية مشتركة وهي أعداد. ألن العناصر ال تتميز بخاصية مشتركة فهي خليط من األعداد ليست مجموعة X ب ، 1 {.ق ،ت .} 0 ، 4 ، واألحرف ألن جميع العناصر تتميز مجموعة ت }.تفاح ،مشمش ،موز ،عنب{. بخاصية مشتركة وهي فواكه. ألن العناصر ال تتميز بخاصية مشتركة فهي خليط من أسماء ليست مجموعة X ث {.مروان ،ي ،ر ،مفتاح ،محمود }. وأحرف 7 ( )2بين أيا ا من العبارات اآلتية صحيحة أم ال: ت.} 1 ، 0 { ⊂ {0{. ب.} ∅ ، }0،1{ { ⊂ {∅{. .}1 ، 0{ ∈ 0 أ. ح.∅ = { {. ج.}1 ، 0{ ⊂ ∅. ث.}1 ، 0{ ∈ ∅. ذ.} 1 ، 0 { ⊂ } 1 ، 0 {. { ∅ }.} ∅ { ⊆. د. خ.} {1} ، }0{ { ∈ {0{. الحل ت. ب. أ. ألن العالقة بين العنصر ألن العالقة بين مجموعتين عالقة ألن العالقة بين مجموعتين عالقة جزئية. جزئية. والمجموعة انتماء. ح. ج. ثX. ألن العالقة بين مجموعتين ألن العالقة بين مجموعتين عالقة ألن المجموعتان اللتان لديهما نفس العناصر عالقتها تساوي. جزئية. عالقة جزئية. ذX. د. خ. ألنها نفس المجموعة فنقول مجموعة فنقول المجموعة نفس ألنهما العنصر بين العالقة ألن مجموعة جزئية وليس، جزئية. والمجموعة انتماء. مجموعة جزئية فعلية. ( )3أوجد المجموعات الجزئية لكل من المجموعات التالية: أ.س = { .} 2 ، 1 ب.ص = { ر ،ص ،ع }. ت.ز = ∅ . ث.ف = { ل }. الحل 22أ ∵.ن(س) = ⟸ 2عدد المجموعات الجزئية = = 4مجموعات جزئية. ∴ ق(س) = { {.} ∅ ، }2{ ، }1{ ، }2 ، 1 32 ب ∵.ن(ص) = ⟸ 3عدد المجموعات الجزئية = = 8مجموعات جزئية. ∴ ق(ص) = { {ر ،ص ،ع} { ،ر ،ص} { ،ر ،ع} { ،ص ،ع} { ،ر} { ،ص} { ،ع} .} ∅ ، 02 ت ∵.ن(ز) = ⟸ 0عدد المجموعات الجزئية = = 1أي مجموعة جزئية واحدة. ∴ ق(ز) = { ∅ }. 12 ث ∵.ن(ف) = ⟸ 1عدد المجموعات الجزئية = = 2أي مجموعتين جزئيتين. ∴ ق(ف) = { {ل} .} ∅ ، 8 ( )4بين أيا من العبارات متساوية وأيا ا منها متكافئة: أ.}3 ، 2 ، 1 {. ب.} 2 {. ت.حروف كلمة قلب. ث }.س :س عدد أولي أقل من .{ 10 ج.} 7 ، 5 ، 3 ، 2 {. ح }.س :س ∈ ط ،محصورة بين .{ 3 ، 1 خ }.س :س حروف كلمة لبق {. د }.س :س ∈ ط ≥1 ،س ≥.{ 3 الحل سنكتب المجموعات بطريقة القائمة لتَميِيزها. أ = { .}3 ، 2 ، 1 ب = { .} 2 ت = { ق ،ل ،ب}. ث = { .} 7 ، 5 ، 3 ، 2 ج = { .} 7 ، 5 ، 3 ، 2 ح = { .} 2 خ = { ل ،ب ،ق}. د = { .}3 ، 2 ، 1 العبارات المتساوية: ،ث = ج. ت=خ ، أ=د ،ب=ح العبارات المتكافئة: خ ≡ د. ت≡د ، أ≡ت ،أ≡خ ، ( )5إذا كانت أ = { ، } 4 ، 3 ، 2 ، 1ب = { ،} 6 ، 5 ، 4 ، 3ش = } س :س ∈ ط ≥1 ،س ≥{ 10 فأوجد اآلتي: أ.أ ⋂ ب ،أ ⋃ ب ،ب – أ. ب.أ ، /ب./ ت.ش – (أ ⋃ ب). ث.ش – (أ ⋂ ب). ج(.أ ⋂ ب) ⋃ (أ ⋂ ب). ومن ثم ظلل المنطقة التي بشكل ڨن في كل فقرة. 9 الحل أ={،}4،3،2،1ب={}6،5،4،3 ش= { .} 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 أ. ب–أ أ⋃ب أ⋂ب {}2،1 {}6،5،4،3،2،1 {}4،3 ب. ب/ أ/ ب = /ش – ب = { }10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 2 ، 1 أ = /ش -أ = { } 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ت.ش – (أ ⋃ ب) = { } 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 { - } 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 = { .} 10 ، 9 ، 8 ، 7 ث.ش – (أ ⋂ ب) = { } 4 ، 3 { - } 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 = { .} 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 2 ، 1 10 ج(.أ ⋂ ب) ⋃ (أ ⋂ ب) = { .} 4 ، 3 { = } 4 ، 3 { ⋃ } 4 ، 3 ( )6إذا كانت أ = { } 0 ، 7 ، 1 ، 5و ب = { ، 0 ، 5 ، 7س } وأن أ = ب فأوجد قيمة س. الحل شرط تساوي المجموعات يجب أن تكون المجموعات لها نفس العناصر بالضبط. ومن الشكل نجد أن س = .1 ( )7ي 11