Llenguatge algebraic. Equacions de primer i segon grau PDF

## 5 Llenguatge algebraic. Equacions de primer i segon grau ### Introducció * El quadre Exercici complicat va ser pintat per Bogdanov-Belski el 1895. * Il·lustra una classe en què el mestre ha plantejat un exercici numèric per resoldre mentalment. * El mestre va escollir els números a propòsit per...

## 5 Llenguatge algebraic. Equacions de primer i segon grau ### Introducció * El quadre Exercici complicat va ser pintat per Bogdanov-Belski el 1895. * Il·lustra una classe en què el mestre ha plantejat un exercici numèric per resoldre mentalment. * El mestre va escollir els números a propòsit perquè compleixen una propietat curiosa: $10^2+11^2+12^2+13^2 + 14^2 = 365$ ### Expressions algebraiques #### 1. Expressions algebraiques. Valor numèric * Les matemàtiques necessiten un llenguatge per expressar els raonaments i les conclusions. * Aquest llenguatge s'anomena algebraic. * Està format per expressions algebraiques, que són combinacions de nombres, lletres i signes. * **Valor numèric**: El valor numèric d'una expressió algebraica és el nombre que resulta d'operar després de substituir les lletres per determinats valors. #### 2. Monomis * Un monomi és una expressió algebraica formada per un producte de nombres i lletres. * No conté cap altra operació. * Exemples: $xy$, $5x²za$, $-ab$, $h²$, $16$. ##### 2.1 Elements d'un monomi * **Coeficient**: El nombre situat al principi del monomi. * **Part literal**: El conjunt de lletres juntament amb els seus exponents. * **Grau**: La suma dels exponents de la part literal. ##### 2.2 Operacions amb monomis * **Suma i resta**: Els monomis semblants es sumen o resten sumant o restant els seus coeficients i mantenint la mateixa part literal. * **Producte i quocient**: Els monomis es multipliquen o divideixen multiplicant o dividint els seus coeficients i aplicant les propietats de les potències a la part literal. * **Potència**: Els monomis s'eleven a una potència elevant el coeficient a aquesta potència i aplicant les propietats de les potències a la part literal. #### 3. Polinomis * Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis. * **Terme**: Cada un dels monomis d'un polinomi. * **Terme independent**: El terme de grau 0. * **Grau**: El grau més gran dels seus termes. ##### 3.2. Operacions amb polinomis * **Suma i resta**: Sumar i restar polinomis consisteix en sumar o restar els monomis semblants que puguem trobar. * **Multiplicació per un monomi**: Per multiplicar un polinomi per un monomi, multipliquem cada un dels seus termes per aquest monomi. * **Multiplicació de polinomis**: Per multipicar dos polinomis, multipliquem cada un dels termes del primer pel segon polinomi. * **Extracció de factor comú**: De la mateixa manera que es pot extreure un factor comú d'una col·lecció de sumands, també es pot fer-ho d'un polinomi. El factor comú serà un monomi, el coeficient del qual serà el màxim comú divisor dels coeficients dels termes del polinomi, i la part literal del qual seran les variables comunes a tots els termes amb l'exponent més petit. ##### 3.3 Operacions amb polinomis: identitats notables Les identitats notables són diverses fórmules que ens permeten trobar potències o productes de polinomis de manera ràpida i eficac.  * **Quadrat d'una suma**: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * **Quadrat d'una diferència**: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ * **Suma per diferència**: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ #### 4 Equacions * **Igualtat**: Equivalència entre dues quantitats o expressions. * **Igualtat numèrica**: Només està formada per nombres. * **Igualtat algebraica**: Conté variables. * **Identitat**: És certa sempre independentment del valor de les seves variables. * **Equació**: Només és certa per a alguns valors de les variables. ##### 4.1 Elements d'una equació * **Membre**: Cada una de les parts d'una equació separades pel signe "=". * **Terme**: Els sumands de cada membre. * **Incògnita**: Les diferents lletres. * **Grau**: El grau més gran dels seus termes. * **Solució**: Valor o valors de les incògnites que, sustituïts a l'equació, fan certa la igualtat. ##### 4.2 Equacions equivalents * Unes equacions equivalents són aquelles que tenen les mateixes solucions.  * Es poden obtenir sumant o restant als dos membres de l'equació un mateix monomi.  * També es poden obtenir multiplicant o dividint per un mateix nombre (diferent de zero) als dos membres de l'equació.  ##### 5. Equacions de primer grau * Un cop coneixem les transformacions admeses per aconseguir equacions equivalents, resoldrem equacions de primer grau de manera progressiva. ##### 5.1. Equacions senzilles * Agrupem els termes amb incògnites en un membre i els termes únicament numèrics en l'altre. * Operem als dos membres per obtenir un únic terme a cada un * Aïllem la incògnita (és a dir, la deixem sola) dividint els dos membres pel seu coeficient, obtenim la solució de l'equació. ##### 5.2 Equacions amb parèntesis * Traiem els parèntesis aplicant la propietat distributiva. * Obtenim una equació senzilla que resoldrem com en l'apartat anterior. ##### 5.3. Equacions amb denominadors * Transformem els termes dels dos membres i els reduïm a comú denominador. * Multiplicant els dos membres per aquest denominador comú, obtenim una equació equivalent i sense denominadors. ##### 5.4. Equacions amb parèntesis i denominadors * Primer realitzarem els parèntesis, aplicant la propietat distributiva. * Transformem els termes dels dos membres i els reduïm a comú denominador. * Obtenim i resolem una equació equivalent sense denominadors. ##### 6. Equacions de segon grau * **Equació de segon grau**: Escriu-se com ax²+bx+c=0, en que "a" no pot ser 0. * **Resoldre una equació de segon grau**: Es pot fer amb la fórmula o amb procediments algebraics. ##### 6.1 Forma general * Mitjançant les transformacions que ja hem estudiat, tota equació d'aquest tipus es pot escriure en la **forma general**, ax²+bx+c = 0 ##### 6.2 Resolució d'equacions de segon grau completes o incompletes amb fórmula * La fórmula per resoldre equacions de segon grau es pot aplicar a équacions completes o incompletes. ##### 6.3. Resolució d'equacions de segon grau incompletes sense fórmula * **Tipus ax²+c = 0:** Es resol aïllant x² i després fent l'arrel quadrada. * **Tipus ax²+bx = 0**: Es resol traient factor comú a x i resolent posteriorment dues equacions de primer grau. ##### 7. Problemes resolubles mitjançant equacions * **Com resoldre problemes amb equacions**: 1. Identificar les dades rellevants. 2. Plantegar una equació, especificant sempre què representa la incògnita. 3. Resoldre l'equació. 4. Resoldre el problema.