Mathématiques 1 pour LEP - Chapitre 3 - PDF

MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP CHAPITRE 3 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ET SYSTÈMES INÉQUATIONS LINÉAIRES Prof. A. RACHID & Y. BENSLIMANE Départ. Math. Info. ENS – Casablanca | Université Hassan II de Casablanca  Contenu PARTIE 1 → EQUATIONS LIN...

MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP CHAPITRE 3 : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ET SYSTÈMES INÉQUATIONS LINÉAIRES Prof. A. RACHID & Y. BENSLIMANE Départ. Math. Info. ENS – Casablanca | Université Hassan II de Casablanca  Contenu PARTIE 1 → EQUATIONS LINÉAIRES → DÉFINITIONS → SYSTÈME À SOLUTION UNIQUE: MÉTHODE DE GAUSS → SYSTÈME À SOLUTION UNIQUE: MÉTHODE DE CRAMER PARTIE 2 → INÉQUATIONS LINÉAIRES → TABLES DES SIGNES → RÉSOLUTION GÉOMÉTRIQUE → INTRODUCTION À LA PROGRAMMATION LINÉAIRE A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |2  Équations linéaires DÉFINITION (ÉQUATION LINÉAIRE) Une équation linéaire à 𝑛 inconnues 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , est une équation qui s’écrit sous la forme: 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 Où les 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 sont des constantes réelles Exemples d’équations linéaires Exemples d’équations non linéaires 2𝑥 + 3 = 0 − 𝑥 + 3y = 0 3𝑥 2 − 𝑦 + 3𝑧 = 1 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 2 4𝑥 − 𝑧 = 1 3 VS 3𝑥 + 𝑦𝑧 − 𝑦2𝑧 = 3 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 + 2 𝑧 + 𝑈 = 21 4 sin (𝑥) − 𝑧 = 1 2 3𝑎 + 𝜋𝑏 = 2 7𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 𝑢 + 𝑡 = 4 𝐿𝑜𝑔 2 𝑥 − 𝑢 + 𝑡 = 4 𝑥−𝑦 𝑧−𝑡 =2 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |3  Équations linéaires DÉFINITION (ÉQUATION LINÉAIRE) Une équation linéaire à 𝑛 inconnues 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , est une équation qui s’écrit sous la forme: 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 Où les 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 sont des constantes réelles Remarques sur d’équations non linéaires Exemples d’équations non linéaires On remarque que les équations non linéaires − 𝑥 + 3y = 0 contiennent: 3𝑥 2 − 𝑦 + 3𝑧 = 1 Des inconnues sous le radical 3𝑥 + 𝑦𝑧 − 𝑦2𝑧 = 3 Des puissances d’inconnues supérieures ou 4 sin (𝑥) − 𝑧 = 1 inférieures à 1 7𝐿𝑜𝑔 𝑥 − 𝑢 + 𝑡 = 4 Des fonctions trigonométriques ou 𝑥−𝑦 𝑧−𝑡 =2 logarithmiques appliquées aux inconnues …etc A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |4  Systèmes linéaires DÉFINITIONS ▪ Un système d’équations linéaires est simplement un ensemble de plusieurs équations linéaires. ▪ La solution d’un système est les valeurs des inconnues pour lesquelles les équations sont toutes vérifiées simultanément. ▪ L’ensemble des solutions est l’ensemble de toutes les solutions d’un système ▪ Deux systèmes sont équivalents s’ils ont le même ensemble des solutions A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |5  Systèmes à solution unique: opérations élémentaires Pour passer d’un système donné à un autre système qui lui soit équivalent, on définit des opérations élémentaires sur les équations du système OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES 1) Multiplier une équation par une constante non nulle 2) Ajouter à une équation un multiple non nul d’une autre équation 3) Permuter deux équations A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |6  Systèmes à solution unique: opérations élémentaires En appliquant au premier système une suite de transformations élémentaires, nous sommes arrivés à un système de forme triangulaire où l’on peut remarquer un ensemble de zéros sous la diagonale. Ce type de système est, en général, facile à résoudre A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |7  Systèmes à solution unique: matrice augmentée Par la suite, nous proposons un langage permettant de suivre les opérations sur les lignes d’un système d’équations et à ne pas répéter constamment l’écriture de 𝑥, 𝑦 𝑜𝑢 𝑧 : Transformer un système linéaire en un tableau qu’on appellera une matrice augmentée On représente le système par le tableau de nombres précédent où l'on note uniquement les coefficients des inconnues et les constantes des seconds membres On peut alors décrire les opérations successives sur le système d'une façon plus économique A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |8  Systèmes à solution unique: matrice augmentée On peut alors décrire les opérations successives sur le système d'une façon plus économique. Cette méthode porte le nom de Gauss en l'honneur du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP |9  Systèmes à solution unique: Méthode de Gauss DÉFINITION ( MÉTHODE DE GAUSS) Soit le système 𝑎11 𝑋1 + ⋯ + 𝑎1𝑁 𝑋𝑁 = 𝑏1 𝑎21 𝑋1 + ⋯ + 𝑎2𝑁 𝑋𝑁 = 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ = ⋮ 𝑎𝑁1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑁𝑛 𝑋𝑛 = 𝑏𝑁 La méthode de Gauss transforme ce système, à l’aide des opérations élémentaires, en un système triangulaire équivalent sous la forme: 𝐴11 𝑋1 + 𝐴12 𝑋2 + 𝐴13 𝑋3 + ⋯ +𝐴1𝑁−1 𝑋𝑁−1 + 𝐴1𝑁 𝑋𝑁 = 𝐵1 0 + 𝐴22 𝑋2 + 𝐴23 𝑋3 + ⋯ + 𝐴2𝑁−1 𝑋𝑁−1 + 𝐴2𝑁 𝑋𝑁 = 𝐵2 0 + 0 + 𝐴33 𝑋3 + ⋯ + 𝐴3𝑁−1 𝑋𝑁−1 + 𝐴3𝑁 𝑋𝑁 = 𝐵3 ⋮ 𝑋1 + ⋮ 𝐴1 ⋮ + ⋮ 𝐴1 𝑋1 + ⋯ + ⋮ 𝐴1 𝑋𝑁−1 + ⋮ 𝑋𝑁 = ⋮ 0 + 0 + 0 + ⋯ + 𝐴𝑁−1 𝑋𝑁−1 + 𝐴𝑁−1𝑁 𝑋𝑁 = 𝐵𝑁−1 0 + 0 + 0 +⋯ +0 +𝐴𝑁𝑁 𝑋𝑁 = 𝐵𝑁 𝐵 Pour résoudre ce système, on commence par la dernière ligne qui permet de poser 𝑋𝑁 = 𝐴 𝑁. 𝑁𝑁 En remontant, on retrouve successivement les valeurs des autres inconnues. A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 10  Systèmes à solution unique: Exercices Exercice 1 𝑥 +𝑦 +𝑧 = 6 Résoudre le système linéaire suivant: (E1 ) ቐ 2𝑥 −𝑦 +3𝑧 = 0 −𝑥 +3𝑦 −5𝑧 = 2 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 11  Systèmes à solution unique: Exercices Exercice 2 𝑥 +𝑧 = 2 Résoudre le système linéaire suivant: (E2 ) ቐ 𝑦 −6𝑧 = −3 2𝑥 +𝑦 −2𝑧 = 2 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 12  Systèmes à solution unique: Exercices Exercice 3 𝑥 +2𝑦 +3𝑧 = 6 Résoudre le système linéaire suivant: (E3 ) ቐ 𝑥 +4𝑦 +𝑧 = 6 3𝑥 +𝑦 +10𝑧 = 20 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 13  Systèmes à solution unique: Exercices Exercice 4 2𝑥 −𝑦 = 8 Résoudre le système linéaire suivant: (E4 ) ቐ𝑥 +𝑦 +𝑧 = −3 𝑦 −4𝑧 = −1 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 14  Systèmes à solution unique: Méthode de Cramer DEUX ÉQUATIONS ET DEUX INCONNUES EXEMPLE La solution d’un système de deux équations à deux inconnues Pour résoudre de système 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 1 ቊ 3𝑥 + 2𝑦 = −1 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 2 ቊ 5𝑥 − 2𝑦 = 9 peut se faire moyennant la méthode de Cramer comme suit : On calcule le déterminant de (2): 1. On calcule le déterminant du système 1 , noté Δ, comme suit: 3 2 Δ= = −6 − 10 = −16. 𝑎 𝑏 5 −2 Δ= = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑏 𝑐 𝑑 → Si Δ = 0, alors le système ne possède pas de solution. (on a fini) Puisque Δ ≠ 0, alors le système (2) admet une solution unique → Si Δ ≠ 0 alors le système possède une solution unique (𝑥, 𝑦). ( On passe (𝑥, 𝑦) où: à 2) −1 2 3 −1 𝑒 𝑏 Δ𝑥 = = 𝑒𝑑 − 𝑓𝑏 𝑥 = 9 −2 et 𝑦= 5 9 𝑓 𝑑 Δ Δ 2. On pose 𝑎 𝑒 2 − 18 27 − (−5) Δ𝑦 = 𝑐 𝑓 = 𝑎𝑓 − 𝑐𝑒 = = −16 −16 =1 = −2 Δ𝑥 Δ𝑦 Alors la solution de 1 se calcule comme suit: 𝑥 = et 𝑦 =. Δ Δ A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 15  Systèmes à solution unique: Méthode de Cramer TROIS ÉQUATIONS ET TROIS INCONNUES Une formule analogue permet de calculer la solution d'un système 3 × 3. 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 𝑧 = 𝑒1 ቐ 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 = 𝑒2 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑒3 Ce système a une solution unique si et seulement si son déterminant 𝚫 est non nul. 𝑎1 𝑎2 𝑎3 Δ = 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ≠ 0 𝑐1 𝑐2 𝑐3 Si c'est le cas les coordonnées de la solution s'écrivent encore comme des rapports de déterminants. 𝑒1 𝑎2 𝑎3 𝑎1 𝑒1 𝑎3 𝑎1 𝑎2 e1 𝑒2 𝑏2 𝑏3 𝑏1 𝑒2 𝑏3 𝑏1 𝑏2 𝑒2 𝑒3 𝑐2 𝑎3 𝑐1 𝑒3 𝑎3 𝑐1 𝑐2 𝑒3 𝑥= 𝑦= 𝑧=. Δ Δ Δ Comment calculer le déterminant d’un système 3 × 3? A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 16  Systèmes à solution unique: Méthode de Cramer A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 17  Systèmes à solution unique: Méthode de Cramer Exemple 𝑥 +𝑧 = 2 Résoudre le système linéaire suivant: (E2 ) ቐ 𝑦 −6𝑧 = −3 2𝑥 +𝑦 −2𝑧 = 2 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 18  Inéquations linéaires DÉFINITION Une inéquation du premier degré est une expression de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏᪄ ≤ 0 avec 𝑎 ≠ 0 où 𝑥 est l'inconnue. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 1) Lorsque l’on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif, on ne change pas le sens de l’inégalité. 2) Lorsque l’on multiplie ou on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. EXEMPLE → 2𝑥 + 3 > 0 ⟺ 2𝑥 > −3 → 3 − 5𝑥 ≥ 0 ⟺ −5𝑥 ≥ −3 3 3 ⟺𝑥>− ⟺x≤ 2 5 3 3 ⟺ 𝒮 = − ; +∞ ⟺ S = −∞; 2 5 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 19  Tableaux de signes (ax + b) A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 20  Tableau de signe d’un produit EXEMPLE DE PRODUIT A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 21  Tableau de signe d’un quotient EXEMPLE DE QUOTIENT A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 22  Résolution géométrique d’une inéquation à deux inconnues EXEMPLE Résoudre géométriquement SOLUTION GÉOMÉTRIQUE l’inéquation: Soient a, b et c trois réels tels que 𝑎 ; 𝑏 ≠ 0 ; 0. Dans un 3𝑥 + 4𝑦 > 6 repère, (𝐷) est la droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. ▪ L’ensemble des points 𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ) tels que 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 est un demi-plan de frontière (𝐷) , qui ne contient pas (𝐷). ▪ L’autre demi-plan, la frontière (𝐷) étant exclue, est l’ensemble des points 𝑀 (𝑥 ; 𝑦) tels que 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0. A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 23  Système d’inéquations linéaires à deux inconnues DÉFINITION Résoudre graphiquement un système d’inéquations linéaires à deux inconnues, c’est représenter dans un repère l’ensemble des points M dont les coordonnées (𝑥; 𝑦) vérifient simultanément toutes les inéquations du système. EXEMPLE On considère- le système d’inéquations suivant: 𝑥1 − 𝑥2 ≤ 1 3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 −𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 1 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 24  Système d’inéquations linéaires à deux inconnues EXEMPLE On considère le système suivant: 2𝑥1 − 𝑥2 ≤ 1 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3 −𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0 A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 25  La programmation linéaire On considère le problème linéaire suivant: 𝑚𝑎𝑥 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2 Fonction objective 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 𝑥1 ≤4 𝑥2 ≤ 2 Contraintes 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 ETAPES DE RÉSOLUTION Pour résoudre un problème de programmation linéaire, il faut suivre les étapes suivantes: 1. Tracer l’ensemble des contraintes (toutes les inéquations attachées au problème 2. Déterminer les coordonnées des sommets de polygone obtenu, 3. Déterminer la valeur de la fonction objective aux sommets du polygone, 4. Choisir la plus grande (resp petite) valeur obtenue s’il s’agit d’un problème de maximisation (resp. minimisation). A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 26  Exemple d’application EXEMPLE On considère le problème de programmation linéaire suivant: 𝑚𝑎𝑥 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 𝑥1 ≤4 𝑥2 ≤ 2 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 RÉSOLUTION 1. Le polygone de contraintes est la figure hachurée en bleu. 0 0 2 4 4 2. 𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 et 𝐸 sont les sommets 0 2 2 1 0 de polygone de contraintes. 3. 𝑧(𝐴) = 0, 𝑧(𝐵) = 2, 𝑧(𝐶) = 4, 𝑧(𝐷) = 5 𝑒𝑡 𝑧(𝐸) = 4 CONCLUSION La valeur maximale de la fonction objectif z=5 et elle est obtenue au sommet D A. RACHID & Y. BENSLIMANE | ENS - Casablanca | Université Hassan II de Casablanca MATHÉMATIQUES 1 POUR LEP | 27