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Département de Physique-Chimie Année universitaire : 2023 – 2024 RAPPORT DE STAGE PRATIQUES PEDAGOQIQUES ACCOMPAGNEES ET DE RESPONSABILITE (SPPAR) Réalisé Par : Encadré...

Département de Physique-Chimie Année universitaire : 2023 – 2024 RAPPORT DE STAGE PRATIQUES PEDAGOQIQUES ACCOMPAGNEES ET DE RESPONSABILITE (SPPAR) Réalisé Par : Encadré par : Dehbi Chaimae MR.ABDELKRIM OUKERROUM École Normale Supérieure, Route d’El Jadida Km 9, BP: 50069, Ghandi Casablanca-Maroc Tel : +212 5 22 25 38 97 - Fax : +212 5 22 23 58 14 www.ens.univcasa.ma Magnétostatique Sommaire Introduction I. LE MAGNÉTISME........................................................................................................................ 6 1. HISTORIQUE - RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX............................................................................... 6 1.1 HISTORIQUE.................................................................................................................................... 6 1.2 MISE EN ÉVIDENCE DU MAGNÉTISME............................................................................................. 6 1.3 LA FORCE MAGNÉTIQUE : FORCE DE LAPLACE – FORCE DE LORENTZ.......................................... 7 2. LOI DE LAPLACE............................................................................................................................. 8 2.1 ÉNONCE DE LA LOI DE LAPLACE.................................................................................................... 8 2.2 AUTRES ÉCRITURES DE LA FORCE DE LAPLACE............................................................................. 8 3. PROPRIÉTÉS DE LA FORCE MAGNÉTIQUE...................................................................................... 9 3.1 TRAVAIL D’UNE FORCE MAGNÉTIQUE............................................................................................ 9 3.2 RELATIVITÉ GALILÉENNE............................................................................................................... 9 4. APPLICATIONS............................................................................................................................... 10 4.1 ROUE DE BARLOW........................................................................................................................ 10 4.2 EFFET HALL.................................................................................................................................. 11 II. LE CHAMP MAGNÉTIQUE.................................................................................................... 15 1. LOI DE BIOT ET SAVART............................................................................................................... 15 1.1 ÉNONCÉ DE LA LOI DE BIOT ET SAVART...................................................................................... 15 1.2 DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE COURANTS.................................................................................. 15 1.3 CHARGE EN MOUVEMENT............................................................................................................. 15 1.4 EXEMPLE : CHAMP CRÉE PAR UN FIL FINI..................................................................................... 16 2. PROPRIÉTÉ DU CHAMP MAGNÉTIQUE.......................................................................................... 18 2.1 SYMÉTRIE DES CHAMPS MAGNÉTIQUES....................................................................................... 18 2.2 LIGNE ET TUBE DE CHAMP MAGNÉTIQUE..................................................................................... 19 2.3 DIVERGENCE DU CHAMP MAGNÉTIQUE........................................................................................ 21 2.4 FLUX DE CHAMP MAGNETIQUE..................................................................................................... 22 2.5 ÉQUATION DE PASSAGE DU CHAMP MAGNÉTIQUE....................................................................... 23 Conclusion References CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 2 Magnétostatique Liste des figures Figure 1 :L’orientation du courant au sein d’un fil conducteur 8 Figure 2 : La roue de Barlow 10 Figure 3 : Schéma de la roue de Barlow avec les orientations considérées 10 Figure 4 : plaquette parallélépipédique sous l’effet hall 12 Figure 5 : schéma du champ magnétique crée par un fil fini au un point M de l’espace 16 Figure 6 : Symétrie des champs magnétiques 18 Figure 7 : Une ligne de champ magnétique au un point M 19 Figure 8 : Tube de champ magnétique 20 Figure 9 : Les lignes de champ pour un dipôle magnétique 21 Figure 10 : Flux de champ magnétique à travers une surface fermée S 22 Figure 11 : schéma indiquant l’orientation de la surface de séparation de deux régions 23 Figure 12 : schéma indiquant l’orientation de la surface de séparation de deux régions 24 CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 3  Magnétostatique Introduction De la terre elle-même, qui génère un champ magnétique protecteur, aux technologies de pointe telles que la résonance magnétique nucléaire (IRM) et les dispositifs de stockage de données, le champ magnétique joue un rôle crucial dans les avancées scientifiques et technologiques. Le champ magnétique est l’un des principes essentiels à la compréhension de la physique, ayant des implications profondes dans de nombreux aspects de la science et de la technologie moderne. En physique classique, les champs magnétiques sont issus de courants électriques. Au niveau microscopique, un électron en « orbite » autour d'un noyau atomique peut être vu comme une minuscule boucle de courant, générant un faible champ magnétique et se comportant comme un dipôle magnétique. L'une des lois fondamentales régissant le champ magnétique est la loi de Biot-Savart, nommée en l'honneur des physiciens français Jean-Baptiste Biot et Félix Savart. Cette loi énonce comment un courant électrique génère un champ magnétique autour de lui. Elle est d'une importance primordiale dans de nombreux domaines de la physique, de l'électromagnétisme à l'électrodynamique en passant par la physique des particules. Dans ce rapport de stage, nous explorerons en profondeur le concept du champ magnétique, en mettant particulièrement l'accent sur la loi de Biot-Savart et ses applications pratiques. Nous examinerons les principes fondamentaux du champ magnétique, les lois et forces qui le régissent, ainsi que les applications de la loi de Biot- Savart. Ce rapport de stage comprend trois chapitres, tout en commençant par le premier chapitre qui illustre le concept du magnétisme en allant de l’historique jusqu’aux applications. Le second chapitre met en lumière le champ magnétique et la loi de Boit et Savart, qui se finit par l’étude d’un cas de figure. Et finalement, nous terminons le rapport par l’étude des propriétés du champ magnétique à savoir la symétrie, la divergence et le flux, avant de passer à une conclusion générale. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 4 Magnétostatique Chapitre I Le magnétisme CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 5 Magnétostatique I. Le magnétisme 1. Historique - Résultats expérimentaux 1.1 Historique Les aimants sont connus depuis l’Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué. Au XVIIIème siècle, Franklin découvre la nature électrique de la foudre (1752). Or, il y avait déjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention sur des faits étranges : La perturbation des boussoles par les orages. La foudre frappant un navire aimante tous les objets métalliques. Franklin en déduisit « la possibilité d’une communauté de nature entre les phénomènes électriques et magnétiques ». Coulomb (1785) montre la décroissance en 1 /𝑟 ! des deux forces. Mais il faut attendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse, la théorie de l’électromagnétisme. L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d’une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie en raison inverse de la distance. De ces expériences, Laplace déduisit ce qu’on appelle aujourd’hui la loi de Biot et Savart. Une question qui s’est ensuite immédiatement posée fut : si un courant dévie un aimant, alors est-ce qu’un aimant peut faire dévier un courant ? Ceci fut effectivement prouvé par Davy en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arc électrique était dévié dans l’entrefer d’un gros aimant. 1.2 Mise en évidence du magnétisme Tout commença avec l’expérience de Oersted en 1820. Il plaça un fil conducteur au- dessus d’une boussole et y fit passer un courant. En présence d’un courant l’aiguille de la boussole est effectivement déviée, prouvant sans ambiguïté un lien entre le courant électrique et le champ magnétique. Par ailleurs, il observa : Si on inverse le sens du courant, la déviation change de sens. La force qui dévie l’aiguille est non radiale. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 6 Magnétostatique Le magnétisme engendre l’ensemble de phénomènes physiques dans lesquels les objets exercent des forces attractives ou répulsives sur d'autres matériaux. Les courants électriques et les moments magnétiques des particules élémentaires fondamentales sont à l’origine du champ magnétique qui engendre ces forces. Tous les matériaux sont influencés, de manière plus ou moins complexe, par la présence d'un champ magnétique, et l’état magnétique d'un matériau dépend de plusieurs paramètres tels que la température, la pression, le champ magnétique extérieur…De sorte qu'un matériau peut présenter différentes formes de magnétisme. Les aimants permanents possèdent des moments magnétiques permanents à l’origine du ferromagnétisme. Cependant, la plupart des matériaux ne possèdent pas de moments permanents. Parmi ces derniers, certains sont attirés par la présence d’un champ magnétique « paramagnétisme » ; D'autres sont au contraire repoussés par celui-ci « diamagnétisme » ; D'autres encore ont une relation beaucoup plus complexe avec un champ magnétique appliqué « antiferromagnétisme ». Les substances qui sont affectées de façon négligeable par les champs magnétiques sont considérées comme étant des substances non-magnétiques, dites « amagnétiques ». 1.3 La force magnétique : Force de Laplace – Force de Lorentz a. Force de Lorentz Soit une particule de charge q et de vitesse &&&⃗ 𝑣 mesurée dans un référentiel galiléen, la force électromagnétique subie par la particule : &𝐹⃗ = 𝑞 (𝐸 &&&⃗ + &&&⃗ 𝑣 ∧ &&𝐵&⃗) On appelle cette force la force de Lorentz, On peut la mettre sous la forme : &⃗ = 𝑞 &&𝐸&⃗ 𝐹 &⃗ = &𝐹⃗ + 𝐹 𝐹 &⃗ 𝑜𝑢 2 # # $ &𝐹⃗ = 𝑞𝑣 &&&⃗ $ &&&⃗ ∧ 𝐵 Où &𝐹⃗ est la composante électrique et 𝐹 # &⃗ la composante magnétique. $ b. Force de Laplace La force de Laplace est la force électromagnétique qu'exerce un champ magnétique extérieur sur un conducteur parcouru par un courant. Il s’agit de montrer ici que, dans un champ magnétique, la force de Laplace s’exerçant sur un conducteur parcouru par un courant n’est rien d’autre que la version macroscopique de la force de Lorentz qui s’exerce au niveau microscopique sur les particules chargées. On considère un tronçon de conducteur de section S et de longueur élémentaire dl, parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique extérieur &&𝐵&⃗ (crée par un autre circuit ou des aimants) figure 1 On fait la somme des actions mécaniques sur chaque électron contenu dans ce tronçon en notant N le nombre d’électrons qu’il contient : CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 7 Magnétostatique $$⃗ = ' −𝑒 $$$⃗ 𝑑𝐹 𝑣 ∧𝐵 $$$⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑁 = 𝑛𝑆𝑑𝑙 " Donc : $$⃗ = −𝑛𝑆𝑑𝑙𝑒𝑣 𝑑𝐹 $$$⃗ $$$⃗ ∧ 𝐵 Tous les électrons traversant une section S de conducteur pendant l’intervalle de temps dt se trouvent dans un cylindre de section S et de longueur vdt. On a alors : 𝐼 = 𝑛 𝑆 𝑣 𝑒. On définit enfin un déplacement élémentaire $$$⃗𝑑𝑙 = 𝑑𝑙 𝑢 $⃗ pris dans le sens du courant I, et donc en sens inverse de la vitesse, ce qui permet finalement d’écrire : 𝑑𝐹 $$$⃗ ∧ $$$⃗ $$⃗ = 𝐼𝑑𝑙 𝐵 Cette force appliquée aux électrons est transmise au réseau cristallin du métal, donc au tronçon de fil conducteur qui se déplace alors. Figure 1 :L’orientation du courant au sein d’un fil conducteur 2. Loi de Laplace 2.1 Énonce de la loi de Laplace Un conducteur rectiligne de longueur ℓ parcouru par un courant électrique constant d’intensité I, placé dans un champ magnétique uniforme $$$⃗ 𝐵 , est soumis à la force de Laplace 𝐹 d’expression : $$⃗ $⃗ ∧ 𝐵 𝐹 = 𝐼ℓ $$$⃗ 2.2 Autres écritures de la force de Laplace Dans le cas d'un volume infiniment petit (𝑑𝜏) de particules chargées et avec j la densité de courant le traversant : $$$$$⃗ = 𝐽⃗𝑑𝜏 ∧ $$$⃗ 𝑑𝐹 𝐵 CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 8 Magnétostatique On peut réécrire cette relation en introduisant la notion de l’élément de courant $$$$$⃗ 𝑑𝐶 définie par : $$$$$⃗ = 𝐼⃗ 𝑑𝑙 pour un fil linéaire, ou I est le courant linéique. 𝑑𝐶 $$$$$⃗ = 𝚥$$$⃗# 𝑑𝑆 pour une surface, ou 𝑗# est le courant surfacique. 𝑑𝐶 $$$$$⃗ = 𝚥$⃗ 𝑑𝑉 pour un volume ,ou 𝑗 est le courant volumique. 𝑑𝐶 On a ainsi une expression générale : $$$$$⃗ 𝑑𝐹 = 𝑑𝐶$$$$$⃗ ∧ $$$⃗ 𝐵 3. Propriétés de la force magnétique 3.1 Travail d’une force magnétique Soit un circuit (C) filiforme parcouru par un courant d'intensité I placé dans une région où règne un champ magnétique $$$⃗ 𝐵. Un élément de longueur $$$$⃗ 𝑑ℓ du circuit est soumis à une force de Laplace : $$$$$⃗ = 𝐼 $$$$$⃗ 𝑑𝐹 𝑑ℓ ∧ 𝐵 $$$⃗ Au cours d'un déplacement élémentaire 𝑑𝑟 $$$$⃗ du circuit, la force de Laplace à laquelle est soumis le circuit effectue le travail : 𝑑𝜏 = $$⃗ $$$⃗ = 𝐼 ?($$$$$⃗ 𝐹. 𝑑𝑟 𝑑ℓ ∧ 𝐵$$$⃗). 𝑑𝑟 $$$⃗ $ 𝑑𝑟 ∧ $$$$$⃗ = 𝐼 ?($$$$$⃗ 𝑑ℓ). 𝐵$$$⃗ $ 𝑑𝑟 ∧ $$$$$⃗ Or: ($$$$$⃗ 𝑑ℓ). $$$⃗ 𝐵 =𝐵 𝑑𝑟 ∧ $$$$$⃗ $$$⃗. ($$$$$⃗ 𝑑ℓ) n’est autre que le flux élémentaire 𝑑𝜙$ coupé par l’éléments du circuit lors de son déplacement. Donc : 𝑑𝜏 = 𝐼𝑑𝜙$ = 𝑑𝜙 𝑑𝜙 désigne la variation de 𝜙 dans le déplacement $$$$$⃗ 𝑑𝑟 du circuit. 3.2 Relativité galiléenne Des théories électromagnétiques non relativistes cohérentes sont étudiées en mettant l'accent sur les exigences de la relativité galiléenne. On montre que les équations de Maxwell admettent deux limites non relativistes possibles, prenant en compte respectivement les effets électriques et magnétiques. Une théorie galiléenne est alors construite, combinant ces deux théories et pouvant incarner une large classe de faits expérimentaux. Il en résulte que plusieurs effets dits « relativistes » nécessitent une réévaluation, ou du moins, une discussion plus approfondie. Il est enfin montré précisément comment la formulation démodée de CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 9 Magnétostatique la théorie électromagnétique en termes d'intensités de champ et d'excitations de champ se heurte à la relativité galiléenne uniquement dans ses équations constitutives, conduisant à l'idée d'un cadre de référence privilégié (l'éther) ou à l'idée d'un système de référence einsteinien. 4. Applications 4.1 Roue de Barlow La roue de Barlow était l'une des premières démonstrations d'un moteur homopolaire , conçue et construite par le mathématicien et physicien anglais Peter Barlow en 1822. Elle consiste en une roue en forme d'étoile, libre de tourner, suspendue au-dessus d'un creux de mercure métallique liquide , avec les pointes plongeant dans le mercure, entre les pôles d'un aimant en fer en U. Un courant électrique continu passe du moyeu de la roue, traverse la roue, pénètre dans le mercure et ressort par un contact électrique plongeant dans le mercure. La force de Lorentz du champ magnétique sur les charges en mouvement dans la roue fait tourner la roue. (Figure 2) En effet, la roue de Barlow permet de mettre en évidence des mouvements de rotation continus créés par les forces électromagnétiques. La démonstration consiste à faire passer un courant électrique dans les rayons de la roue verticale, en reliant l'axe de la roue et le bain de mercure à un générateur à courant continu. La roue se met alors à tourner. Si l'on inverse les pôles de la pile, la roue tourne dans le sens inverse et plus l'intensité du courant est élevé, plus la roue tourne vite. Le champ magnétique, horizontal et normal au plan de la roue, exerce sur l'élément de courant vertical une force perpendiculaire à la fois au champ et au courant. Les rayons se suivent ainsi les uns après les autres dans la solution et l’ensemble tourne dans le sens de 𝐹, ce qui maintient une rotation continue. La roue de Barlow est donc une préfiguration du moteur électrique. Figure 3 Figure 2 : La roue de Barlow Figure 3 : Schéma de la roue de Barlow avec les orientations considérées CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 10 Magnétostatique On considère la roue de Barlow de centre O et de rayon R, Placé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan de la roue. Cette roue n’est en contact avec le mercure qu’en un point M. En admettant que le courant ne traverse la roue que suivant le rayon OM.(figure3) La force de Laplace résultante qui s’exerce sur la roue : $$$$$⃗ = 𝐼 $$$$$⃗ 𝑑𝐹 𝑑ℓ ∧ 𝐵$$$⃗ La force résultante est perpendiculaire à OM et donc $$⃗ = 𝐼𝑅𝐵 𝑒𝑥 𝐹 $$$$⃗ Le moment de la force de Laplace par rapport O : 𝑅 $$$⃗%⃗/( = $$$$$⃗ ℳ 𝑂𝑃 ∧ 𝐹 $$⃗ = 𝐹$$$$$⃗ 𝑒𝑧 2 ) 𝐼𝐵𝑅 $$$⃗ ⃗ = ℳ $$$$$⃗ 𝑒𝑧 2 %/( Le travail de la force de Laplace pendant une rotation 2𝜋 : 𝐼𝐵𝑅 ) 𝒲 = ℳ%⃗/(. ∆𝜙 =. 2𝜋 = 𝐼𝜋𝐵𝑅 ) 2 Le travail de la force de Laplace pendant n rotations : 𝒲 = 𝐼𝑛𝜋𝐵𝑅 ) La puissance de la force de Laplace de n rotation pendant 1s : 𝒲 𝒫= = 𝐼𝑛𝜋𝐵𝑅 ) 𝑡 4.2 Effet Hall En 1879, « Edwin Hall » a placé un échantillon conducteur, parcouru par un courant, dans un champ magnétique et a découvert qu’on peut mesurer une différence de potentiel transversale à la direction du courant et du champ magnétique, cet effet, appelé l’Effet Hall, était une des premières expériences indiquant que la charge des porteurs de courant était négative. L’Effet Hall se considère l’un des effets d’interaction ou encore « phénomènes galvanomagnétiques », qui sont dus aux actions communes des champs électrique magnétique. On considère un conducteur métallique (ou semi-conducteur) soumis à un champ électrique, qui donne naissance au mouvement des électrons, et est placé dans un champ magnétique **𝐵*⃗. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 11 Magnétostatique Le PFD appliqué à un porteur de charge : !"#⃗ #⃗ !" & ( 𝑚 %%⃗ + %%⃗𝑣 ∧ 𝐵 = 𝑞(𝐸 %%⃗) − 𝑘𝑣⃗ soit + 𝑣⃗ = (%%⃗ 𝐸 + %%⃗ 𝑣∧𝐵%%⃗) !% !% ' ) La figure 4 suivante précise la géométrie du conducteur utilisé : c'est une plaquette parallélépipédique, de longueur L Figure 4 : plaquette parallélépipédique sous l’effet hall Le champ magnétique extérieur est $$$⃗ 𝐵 = 𝐵 𝑢𝑧$$$$⃗ Le champ électrique créé par le générateur et mettant en mouvement les porteurs $$$$⃗. de charge est noté 𝐸𝑒 En régime permanent, les électrons se déplacent à la vitesse $$$⃗ 𝑣 = 𝑣𝑢 $⃗* 𝜏𝑞 $$$⃗ 𝑣= $$$⃗ + $$$⃗ (𝐸 𝑣∧𝐵$$$⃗) 𝑚 𝑣 ∧ $$$⃗ Le terme magnétique 𝑞 $$$⃗ 𝐵 est dirigée selon OX. Il apparaît donc un champ électrique dit champ de Hall $$$$$⃗ 𝐸+ , tel que : 𝐸$⃗ = 𝐸𝑒 $$$$⃗ + $$$$$⃗ 𝐸+ Avec : $$$$$⃗ 𝑣 ∧ $$$⃗ 𝐸+ + $$$⃗ 𝐵 = $0⃗ ,- Donc la vitesse des porteurs devient : $$$⃗ 𝑣= $$$$⃗ 𝐸𝑒. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 12 Magnétostatique Ce champ de Hall est dû aux déplacements d'électrons pendant un bref instant (durée du régime transitoire) vers la paroi (2), créant ainsi une dissymétrie de charges et donc un champ électrique dirigé de la paroi (1) vers la paroi (2). Le champ électrique de Hall vaut : $$$$$⃗ 𝐸 𝑣 ∧ $$$⃗ + = −$$$⃗ 𝐵 = −𝑣𝐵𝑢 $⃗/ La tension de Hall ∆𝑉+ s'obtient en exprimant la circulation de ce champ : ∆𝑉+ = 𝑉𝐵𝑏 = 𝑉0 − 𝑉) L'intensité du courant est : 𝐼 = 𝑗. 𝑎. 𝑏 = 𝑛. 𝑞. 𝑉. 𝑎𝑏 Ainsi : 𝐼 ∆𝑉+ = 𝐵 𝑛. 𝑞. 𝑎 Soit donc la constante de Hall : 𝐼 𝑅+ = 𝑛. 𝑞 La mesure de 𝑅+ est donc un moyen important de mesure de la concentration en porteurs de charges libres dans un matériau. On voit ainsi que la tension de Hall est proportionnelle au champ magnétique appliqué. Les sondes à effet Hall permettent de mesurer cette tension et d'en déduire ensuite le champ magnétique. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 13 Magnétostatique Chapitre II Le champ magnétique CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 14  Magnétostatique II. Le champ magnétique 1. Loi de Biot et Savart Les physiciens Biot et Savart détermine en 1820 le champ magnétique infinitésimal $$$$$⃗ 𝑑𝐵 généré par un segment de fil infinitésimal $$$$$⃗ 𝑑𝑙 parcouru par un courant électrique I à un endroit P. Cependant, cette expression n’est valide que lorsque les charges électriques en mouvement se déplacent lentement, ce qui est le cas lorsqu’il y a un courant électrique qui circule dans un fil conducteur. 1.1 Énoncé de la loi de Biot et Savart Un circuit filiforme décrivant la courbe C parcouru par un courant continu d'intensité I crée en tout point $$⃗𝑟 de l'espace extérieur à C un champ magnétique : 𝜇1 𝐼 $$$$$⃗ 𝑑𝑙 ∧ ($$⃗𝑟 − $$⃗′ 𝑟 ) $$$⃗ 𝐵 (𝑟⃗) = X 4𝜋 3 |$$⃗𝑟 − $$⃗′ 𝑟 |2 Ou 𝜇1 est la perméabilité magnétique du vide. 1.2 Distribution volumique de courants Þ Dans le cas d'une densité surfacique de courant$$$⃗ 𝚥 4 existant sur la surface ∑ $$$$$⃗ = $$$⃗ Le vecteur élément de courant est définit par : 𝑑𝐶 𝚥 4 𝑑𝑠 5 8 " (99999⃗ 999⃗ ;< )∧(99⃗? ; 99⃗< ; ) Le champ magnétique créé s'écrit : $$$⃗ 𝐵 (𝑟⃗) = 67! ∬∑ 𝑑𝑠 |99⃗? ; |# ; 99⃗< Þ Dans le cas d'une densité volumique de courant $$$$⃗ 𝚥 existant sur le volume 𝑉 $$$$$⃗ = $$$⃗ Le vecteur élément de courant est définit par : 𝑑𝐶 𝚥 𝑑𝜏 5 8 99999⃗ 999⃗ ( ;< )∧(99⃗? ; 99⃗< ; ) Le champ magnétique créé s'écrit : $$$⃗ 𝐵 (𝑟⃗) = 67! ∭B |99⃗? ; |# ; 99⃗< 𝑑𝑉 1.3 Charge en mouvement Soit une charge ponctuelle q en mouvement à la vitesse v, le vecteur élément de - $$$$$⃗ = 𝑞. $$$⃗ courant est définit par : 𝑑𝐶 𝑣 et $$$⃗ 𝚥 = 𝜌. $$$⃗ 𝑣 = C, $$$⃗ 𝑣 CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 15 Magnétostatique Le champ magnétique pour une charge ponctuelle en mouvement : 𝜇1 𝑞. $$$⃗ 𝑣 ∧ ($$⃗𝑟 − $$⃗′ 𝑟 ) $$$⃗(𝑟⃗) = 𝐵 4𝜋 |$$⃗𝑟 − $$⃗′ 𝑟 |2 Cette expression est en réalité une approximation, qui n'est valide que pour des vitesses très petites devant la vitesse de la lumière C. L'expression exacte du champ magnétique créé par une charge en mouvement est donnée par la formule de Liénard-Wiechert. 1.4 Exemple : Champ crée par un fil fini Soit un conducteur filiforme rectiligne AB confondu avec l’axe (Oz), parcouru par un courant d’intensité I (Figure 5) 𝛼! 𝛼 𝛼" Figure 5 : schéma du champ magnétique crée par un fil fini au un point M de l’espace En appliquant la loi de Biot et Savart, le champ magnétique crée par le courant I en un point quelconque M de l’espace s’écrit : 𝜇1 𝐼 $$$$$⃗ 𝑑𝑙 ∧ $$$$$$⃗𝑃𝑀 $$$$$⃗ = 𝑑𝐵 4𝜋 a𝑃𝑀 2 $$$$$$⃗ a CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 16 Magnétostatique Avec : $$$⃗ 𝑑𝑙 = 𝑑𝑧 $$$$⃗ $$$$$$⃗ = 𝑃𝐻 𝑢𝑧 et 𝑃𝑀 $$$$$$⃗ + 𝐻𝑀 $$$$$$$⃗ = (𝑧. − 𝑧D )𝑢𝑧 $$$$⃗ + 𝑟 $$$$⃗ 𝑢𝑟 Donc : $$$$$⃗ $$$$$$⃗ = 𝑑𝑧 𝑢𝑧 𝑑𝑙 ∧ 𝑃𝑀 $$$$⃗ ∧ ((𝑧. − 𝑧D )𝑢𝑧 $$$$⃗ + 𝑟 𝑢𝑟 $$$$⃗) = 𝑟𝑑𝑧 𝑢𝜑 $$$$$⃗ Ainsi : 2 2 $$$$$$⃗a = ((𝑧. − 𝑧D )) + 𝑟 ) )) a𝑃𝑀 Donc : 𝜇1 𝐼 𝑟𝑑𝑧 $$$$$⃗ 𝑑𝐵 = 4𝜋 2 $$$$$⃗ 𝑢𝜑 ((𝑧. − 𝑧D )) + ) 𝑟 )) $$$$$$$⃗ 𝑃 Nous introduisant un angle 𝛼 ≡ ( 𝐻𝑀 $$$$$$⃗ ̂ 𝑀) tel que : +E ;# 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = FE et 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = # ((G% ?G& )' H; ' )' 2 𝑟2 ((𝑧. − 𝑧D )) + 𝑟 ) )) = (1) 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 G% ?G& ?CG& 0 Ainsi : 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ; donc d𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ; = $I4 ' J 𝑑𝛼 ;' 𝑟𝑑𝑧 = − $I4 ' J 𝑑𝛼 (2) L’expression du champ, en remplaçant les termes (1) et (2), se réécrit : 𝑟) 𝑐𝑜𝑠 𝜇1 𝐼 ) 𝛼 𝑑𝛼 𝜇1 𝐼 𝑐𝑜𝑠𝛼 $$$$$⃗ 𝑑𝐵 = − 𝑢𝜑 $$$$$⃗ = − 𝑑𝛼 𝑢𝜑 $$$$$⃗ 4𝜋 𝑟2 4𝜋 𝑟 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 𝜇 1 𝐼 𝛼2 $⃗ = − 𝐵 ? 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝛼 𝑢𝜑 $$$$$⃗ 4𝜋 𝑟 𝛼1 𝜇1 𝐼 $⃗ = 𝐵 (𝑠𝑖𝑛 𝛼0 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼0 )𝑢𝜑 $$$$$⃗ 4𝜋 𝑟 CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 17  Magnétostatique 2. Propriété du champ magnétique 2.1 Symétrie des champs magnétiques La raison de symétrie permette de déterminer les directions des champs magnétiques (ainsi électriques) crées par des distributions des charges ou des courants. La formule de Biot et Savart citée auparavant, montre que le champ magnétique se transforme comme un produit vectoriel. On dit que le champ magnétique est un vecteur axial ou pseudo-vecteur. En présence d'un plan de symétrie, un vecteur normal(polaire) se transforme comme dans un miroir. En conséquence, le produit vectoriel de deux vecteurs normaux ne se transforme pas comme dans un miroir. Sur la figure, on voit que $⃗ se transforme ainsi : 𝐵 Symétrie Symétrie M ⟶ M’ (⃗ (M) et 𝐵 (⃗ (M) ⟶ −sym𝐵 En vertu du principe de Curie, si la distribution de courant est invariante par symétrie, l'opération de la symétrie ne doit pas changer la valeur du champ magnétique. (figure 6) Par conséquent : (⃗(𝑀’) = −𝑠𝑦𝑚𝐵 𝐵 (⃗ (𝑀) Figure 6 : Symétrie des champs magnétiques Cette propriété implique que pour tout point M situé dans un plan de symétrie, le champ magnétique est obligatoirement perpendiculaire au plan de symétrie. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 18  Magnétostatique On dit que la distribution présente un plan d'antisymétrie 𝒫′ lorsque la distribution de courant est invariante par l'opération de symétrie de plan 𝒫′ suivi de l'inversion du sens des courants. Dans ce cas, en un point M de l'espace, le champ magnétique ne doit pas varier lorsque l'on effectue cette transformation (principe de Curie). Détaillons la transformation : Symétrie Inversion 𝑀 ⟶ M’ ⟶ 𝑀’ Symétrie Inversion 𝐵(⃗(M) (⃗(M) ⟶ sym𝐵 ⟶ −sym𝐵 (⃗(M) On en déduit que : (⃗ (𝑀’) = 𝑠𝑦𝑚𝐵 𝐵 (⃗ (𝑀) Cette propriété implique que pour tout point M situé dans un plan d'antisymétrie, le champ magnétique est obligatoirement contenu dans ce plan. 2.2 Ligne et tube de champ magnétique Une ligne de champ est l’ensemble des points de telle sorte que le champ magnétique est tangente en ces points (figure 7) ; il se traduit par : (⃗ (M) ∧ 𝑑𝑙 𝐵 (((⃗ = (0⃗ Équation de ligne de champ : 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = = 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Figure 7 : Une ligne de champ magnétique au un point M CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 19 Magnétostatique Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ qui s’appuient sur le même contour (figure 8) : Figure 8 : Tube de champ magnétique Pour un dipôle magnétique, l’équation de ligne de champ : C; ;CL C; )$I4L CL )C4MNL K; = KL donne ; = 4MN L = 4MN L Donc : 𝑙𝑛 𝑟 = 𝑙𝑛 𝑟1 𝑠𝑖𝑛) 𝜃 donne 𝑟 = 𝑟1 𝑠𝑖𝑛) 𝜃 Pour différentes valeur de l’angle 𝜃 : 𝜃 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 6 4 3 2 r 0 𝑟1 𝑟1 3𝑟1 𝑟1 4 2 4 Pour chaque 𝑟1 il y a plusieurs ligne de champ on aura donc la figure 9 : CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 20 Magnétostatique Figure 9 : Les lignes de champ pour un dipôle magnétique 2.3 Divergence du champ magnétique Dans le contexte d’une distribution filiforme traité précédemment, nous avons montré que : 𝜇1 𝐼 $$$$$⃗ 𝑑𝑙 ∧ 𝑢 $⃗ $$$⃗ 𝐵 (𝑀) = X 4𝜋 3 𝑟) On cherche à calculer la divergence de $$$⃗ 𝐵 , c’est-à-dire : 𝜕𝐵/ 𝜕𝐵* 𝜕𝐵G $$$⃗(𝑀) = 𝑑𝑖𝑣 𝐵 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Où l’on dérive par rapport aux coordonnées de M. Dans la formule de Biot et Savart, l’intégrale ne concerne pas le point M, on peut donc intervertir l’ordre des opérations : 𝜇1 𝐼 𝐼$$$$$⃗ 𝑑𝑙 ∧ 𝑢 $⃗ 𝜇1 𝐼 $$$$⃗ ∧ 𝑢 𝑑𝑙 $⃗ 𝑑𝑖𝑣 $$$⃗ 𝐵 (𝑀) = 𝑑𝑖𝑣 oX p = X 𝑑𝑖𝑣 o p 4𝜋 3 𝑟) 4𝜋 $ 𝑟) Utilisons maintenant l’identité : 𝑑𝑖𝑣q$$$$⃗ 𝐴 ∧ 𝐵$⃗s = 𝐵 $⃗ $$$$$$$⃗ 𝑟𝑜𝑡 $$$$⃗ 𝐴 − $$$$⃗ 𝐴 $$$$$$$⃗ 𝑟𝑜𝑡 𝐵 $⃗ On écrit donc : 𝜇1 I u $⃗ u $⃗ div $$$⃗ 𝐵 (M) = rot. $$$$$⃗ yX ) $$$$$$⃗ rot o ) p. $$$$$⃗ 𝑑𝑙 − X $$$$$$⃗ 𝑑𝑙 ~ 4𝜋 O r O r CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 21 Magnétostatique La première intégrale est nulle, car 𝑑ℓ$$$$⃗ ne dépendant pas de M ,on a : 9P⃗ 𝑟𝑜𝑡. $$$$$⃗ $$$$$$$⃗ 𝑑𝑙 = $0⃗ La seconde intégrale est également nulle car : $$$$$$⃗ rot ' € = $0⃗ Q 9P⃗ En effet, est un gradient , et le rotationnel d’un gradient est nul! Q' Finalement, on établit la relation : $$$⃗(M) = $0⃗ div 𝐵 Il s’agit de l’équation de Maxwell-Thomson qui restera valide en régime variable. 2.4 Flux de champ magnétique Considérons une surface fermée S quelconque, s’appuyant sur une courbe C fermée et orientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface 𝑑𝑆$$$$⃗ = 𝑑𝑆𝑛$⃗ dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention). (figure 10) Figure 10 : Flux de champ magnétique a travers une surface fermée S Rappelons que le flux magnétique à travers cette surface S est la quantité : $$$⃗. 𝑑𝑆𝑛$⃗ = ‚ div $$$⃗ 𝜙K = 𝐵 𝐵 𝑑𝜏 = 0 # R $$$⃗ est un champ vectoriel à flux conservatif. Ainsi contrairement à la On dit que 𝐵 situation que l’on peut observer en électrostatique, les lignes du champ $$$⃗𝐵 ne CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 22 Magnétostatique peuvent pas toutes sortir d’une surface fermée; certaines doivent y entrer pour produire un flux net rigoureusement nul. Soit donc : $$$⃗. 𝑑𝑆𝑛$⃗ = ƒ $$$⃗ 𝜙K = 𝐵 $$$⃗. 𝑑𝑆𝑛$⃗ 𝐵. 𝑑𝑆(−𝑛$⃗) = ƒ 𝐵 # #0 #) Alors : ƒ $$$⃗ $$$⃗. 𝑑𝑆𝑛$⃗ 𝐵. 𝑑𝑆𝑛$⃗ = ƒ 𝐵 #0 #) Le flux magnétique ne dépend que du champ magnétique et de la forme du contour. 2.5 Équation de passage du champ magnétique a) Continuité de la composante normale Soit une surface de séparation S contenant un courant superficiel $$$⃗ 𝚥 4 séparant deux régions. (figure 11) Figure 11 : schéma indiquant l’orientation de la surface de séparation de deux régions **⃗. 𝑑𝑆𝑛*⃗ = 1 div **𝐵*⃗ 𝑑𝜏 = 0 𝜙" = - 𝐵 # $ 7 𝐵 ****⃗ + 7 **𝐵*⃗. 𝑑𝑆 **⃗. 𝑑𝑆 ****⃗ + 7 ****⃗ = 0 **⃗. 𝑑𝑆 𝐵 #%&' #( #)*' Lorsqu’on fait tendre 𝑆MNS et 𝑆T/S vers 𝑆E on aura : ƒ $$$⃗ $$$$⃗ = 0 𝐵. 𝑑𝑆 #E CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 23 Magnétostatique Donc : ƒ $$$⃗. $$$$⃗ 𝐵 𝑑𝑆 + ƒ $$$⃗ $$$$⃗ = 0 𝐵. 𝑑𝑆 #MNS #T/S Or : $$$$$$$$$$⃗ 𝑑𝑆 $$$$$$$$$$⃗ UNS = −𝑑𝑆T/S = 𝑑𝑆. 𝑛 $⃗ Donc : $$$⃗ − $$$$$$$$⃗ (𝐵 𝐵T/S ) 𝑛$⃗ = 0 MNS La composante normale du champ magnétostatique est continue lors de la traversée d’une nappe de courant. b) Discontinuité de la composante tangentielle Soit une surface contenant un courant superficiel séparant les deux régions 1et 2.(figure12) Figure 12 : schéma indiquant l’orientation de la surface de séparation de deux régions Le théorème d’Ampère s’écrit alors : X $$$⃗ 𝐵 $$$$⃗ 𝚥 $$$$⃗ 𝑑𝑙 = 𝜇1 ƒ $$$⃗ 𝑑𝑆 = 𝜇1 ƒ $$$⃗ 𝚥 𝑑𝑆. 𝑢 $⃗ Avec 𝑢$⃗ est le vecteur unitaire de la surface du contour. 𝑢 $⃗ = 𝑛$⃗0) ∧ 𝑢 $⃗VK En utilisons le théorème d’Ampère : $$$⃗ $$$$⃗ X𝐵 𝑑𝑙 = ? $$$⃗ 𝑑𝑙 + ? $$$⃗ 𝐵 ) $$$$⃗ 𝑑𝑙 + ? $$$⃗ 𝐵 $$$$⃗ 𝐵 0 $$$$⃗ $$$⃗ $$$$⃗ 𝑑𝑙 + ? 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇1 ƒ $$$⃗ 𝚥 𝑑𝑧. 𝑑𝑙. 𝑢 $⃗ 𝐴2𝐵2 𝐵2𝐵1 𝐵1𝐴1 𝐴1𝐴2 CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 24 Magnétostatique Quand : 𝐴0 , 𝐴) → 𝐴 𝑒𝑡 𝐵0 , 𝐵) → 𝐵 : ****⃗ 𝐵 *****⃗ ****⃗ *****⃗ 𝑑𝑙 = : 𝐵 𝑑𝑙 = 0 /0/1 "1"0 On choisit AB petit et on néglige les variations de B sur 𝐴0 𝐵0 et 𝐴) 𝐵) $$$$⃗) − 𝐵 (𝐵 $$$$⃗0 ) 𝐴𝐵 $$$$$$⃗ = 𝜇1 ($$$⃗ 𝚥 4. 𝐴𝐵). 𝑢 $⃗ $$$$⃗) − 𝐵 (𝐵 $$$$⃗0 ) 𝐴𝐵 $$$$$$⃗ = 𝜇1 (𝑛$⃗0) ∧ $$$$$$⃗ 𝐴𝐵 ). $$$⃗ 𝚥4 $$$$⃗) − $$$$⃗ (𝐵 𝐵0 ) $$$$$$⃗ 𝐴𝐵 = 𝜇1 ($$$⃗ $$$$$$⃗ 𝚥 4 ∧ 𝑛$⃗0) )𝐴𝐵 Donc : $$$$$$⃗ 𝐵 $$$$$$⃗ $$$⃗ $⃗0) )S − 𝐵0S = 𝜇1 𝚥 4 ∧ 𝑛 Donc la composante tangentielle subit donc une discontinuité. On recapitule : À la traversée d'une nappe de courant stationnaire, le champ magnétique présente une continuité de sa composante normale et une discontinuité de sa composante tangentielle que l'on peut résumer par : $$$⃗ − 𝐵 𝐵 $$$⃗ = 𝜇1 ($$$⃗ 𝚥 4 ∧ 𝑛$⃗0) ) ) 0 CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 25 Magnétostatique Conclusion En conclusion, le champ magnétique est un élément fondamental de la physique, crucial pour comprendre une multitude de phénomènes naturels et technologiques. Au cours de cette présentation, nous avons exploré : Les principes de base du champ magnétique : Nous avons défini ce qu'est un champ magnétique et examiné ses propriétés essentielles. La loi de Biot-Savart : Nous avons étudié cette loi fondamentale qui permet de calculer le champ magnétique créé par des courants électriques. La loi de Biot-Savart nous offre un outil précieux pour analyser et comprendre la distribution des champs magnétiques dans divers systèmes. Les applications pratiques : Nous avons vu comment ces concepts théoriques sont appliqués dans la pratique tel que la roue de Barlow et l’effet Hall.` La compréhension du champ magnétique et de la loi de Biot-Savart ne se limite pas à la théorie. Elle ouvre des portes vers l'innovation technologique et la résolution de problèmes complexes dans divers domaines, de l'ingénierie à la médecine. En maîtrisant ces concepts, nous pouvons non seulement mieux appréhender le monde qui nous entoure, mais aussi contribuer au développement de nouvelles technologies et solutions qui amélioreront notre quotidien. Le champ magnétique, bien que invisible à l'œil nu, est omniprésent et joue un rôle déterminant dans notre compréhension de l'univers. CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 26 Magnétostatique Références Pérez, J. P., Carles, R., & Fleckinger, R. Électromagnétisme fondements et applications.Dunod. Cantin-Rivière, S., Pailler-Mattei, C., Perrot, F., & Valette, A.-L. (2015). Maxi fiches de Physique, 2e édition. Dunod. LAMLOUMI, J., & BEN BRAÏEK, M. Physique - électricité : TC1. Université Virtuelle de Tunis Ferreira, J. (2001-2002). Cours de Magnétostatique. Université Joseph Fourier CHAMP MAGNÉTIQUE - LOI DE BIOT ET SAVART 27