Fiche de synthèse n°9 : Les Lois de Newton - Terminale STL - PCM - PDF

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Terminale STL – PCM Fiche de synthèse n°9 : les lois de Newton Fiche de synthèse 9 Les lois de Newton 1. Énoncé des lois de Newton (rappel de 1ère) Les deux premières lois de Newton telles que nous les abordons au lycée ne sont valables que dans certains référentiels appelés les référentiels galiléens. C’est une notion complexe qui n’est pas exigible. Mais retenons que : – pour des expériences de laboratoire usuelles, les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique peuvent être considérés comme galiléens ; – tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen. 1.1. La première loi de Newton ou principe d’inertie Dans un référentiel galiléen :  Si un système est soumis à des forces qui se compensent, alors son centre d’inertie est au repos ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme.  Réciproquement : si un système est au repos ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme, il est soumis à des forces qui se compensent. Remarque : La notion de référentiel galiléen est introduite dans l’activité 1 de la séquence 7. Il s’agit d’une notion complexe qui n’est pas exigible en 1ère. On retiendra que. Notion de « forces qui se compensent » Mathématiquement, l’expression « les forces se compensent » signifie que la somme vectorielle ou résultante des forces exercées sur le système est égale au vecteur nul, ce que l’on peut écrire symboliquement : ⃗⃗ ∑ 𝐹⃗ = 0 Énoncé synthétique de la première loi de Newton On peut donc écrire la première loi de Newton sous la forme condensée : ∑ 𝐹⃗ = ⃗0⃗ ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐺 constant 1.2. La 2ème loi de Newton ou relation fondamentale de la dynamique Dans un référentiel galiléen : la résultante des forces exercées sur le système est égale au produit de sa masse et du vecteur-accélération de son centre d’inertie : ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ Sens physique de la 2ème loi de Newton : – La deuxième loi énonce que des forces de résultante non nulle engendrent une accélération du système, soit une modification de son vecteur vitesse. Elle complète donc la première loi. – La présence de la masse dans le terme de droite indique que pour des forces données, l’accélération est d’autant plus faible que la masse du système est élevée. Ceci correspond à l’affirmation « les effets d’une force sont d’autant moins grands que le système sur lequel elle s’exerce est grande ». Page 1 Terminale STL – PCM Fiche de synthèse n°9 : les lois de Newton 1.3. La 3ème loi de Newton ou principe des actions réciproques Si un système 𝐴 exerce une force sur un systèe 𝐵, alors récipriquement, 𝐵 exerce sur 𝐴 une force de même valeur, même direction mais de sens opposé. On peut écrire cette sous la forme mathématique suivante : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐴⁄𝐵 = −𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⁄𝐴 2. Étude newtonienne du mouvement plan de chute libre 2.1. Définition de la chute libre et modélisation de la situation étudiée Définition de la chute libre : On appelle chute libre le mouvement d’un système soumis à une seule force : son poids. Une chute libre n’est pas forcément verticale. Si le système en chute possède une vitesse initiale, son mouvement sera plan : c’est ce cas que nous étudions en terminale. Situation étudiée : On étudie le mouvement d’un système en chute libre, représenté par son centre d’inertie : – possédant, à la date 𝑡 = 0, une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 inclinée d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale ; – dont la position initiale a une altitude ℎ. Les positions du centre d’inertie 𝐺 sont étudiées dans un repère (𝑂, 𝑥, 𝑦) défini ainsi : Conditions initiales : Initialement, le vecteur-vitesse du point étudié a pour coordonnées : 𝑣𝑥0 = 𝑣0 cos 𝛼 𝑣⃗(0) ( 𝑣 = 𝑣 sin 𝛼 ) 𝑦0 0 Initialement, le vecteur-position du point étudié a pour coordonnées : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥(0) = 0 𝑂𝐺 (0) ( ) 𝑦(0) = ℎ 2.2. Accélération d’un système en chute libre L’application de la 2ème loi de Newton au système en chute libre donne : ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ (énoncé de la deuxième loi de Newton) 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ (car le système est en chute libre) 𝑚𝑔⃗ = 𝑚𝑎⃗ (en tenant compte de l’expression du poids) 𝑔⃗ = 𝑎⃗ (en simplifiant par 𝑚) Le vecteur accélération du corps en chute libre (qu’il possède ou non une vitesse initiale) est donc constant et a pour coordonnées : 𝑎𝑥 = 0 𝑎⃗ (𝑎 = −𝑔) 𝑦 Page 2 Terminale STL – PCM Fiche de synthèse n°9 : les lois de Newton 2.3. Lois horaires de la vitesse ⃗⃗ à partir de celles de 𝒂 Expressions des coordonnées de 𝒗 ⃗⃗ Les coordonnées du vecteur-vitesse sont des fonctions primitives des coordonnés du vecteur accélération, donc : 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝐶1 𝑣𝑦 (𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝐶2 𝐶 et 𝐶′ étant des constantes indépendantes du temps. Prise en compte des conditions initiales :  coordonnée 𝑣𝑥 à la date 𝑡 = 0 :  coordonnée 𝑣𝑦 à la date 𝑡 = 0 : 𝑣𝑥 (0) = 𝑣0 cos 𝛼 → condition initiale 𝑣𝑦 (0) = 𝑣0 sin 𝛼 → condition initiale = 𝐶1 → relation précédente = 0 + 𝐶2 → relation précédente Donc 𝐶1 = 𝑣0 cos 𝛼 Donc 𝐶2 = 𝑣0 sin 𝛼 On en déduit les expressions en fonction du temps des coordonnées du vecteur-vitesse, appelées « lois horaires de la vitesse » : 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼 𝑣⃗(𝑡) ( ) 𝑣𝑦 (𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼 Analyse physique du résultat obtenu Les lois obtenues montrent que : – la coordonnée horizontale du vecteur vitesse est constante : le système en chute libre conserve va vitesse initiale horizontale ; – la coordonnée verticale du vecteur vitesse est une fonction affine du temps et de coefficient directeur −𝑔. évolutions temporelles des coordonnées du vecteur-vitesse. La date 𝑡𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒𝑡 est la date à laquelle la coordonnée verticale de 𝑣⃗ change de signe : 𝑣⃗ est alors horizontal, le système est donc au sommet de sa trajectoire. 2.4. Lois horaires de la position Expressions des coordonnées du vecteur-position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝑶𝑮 à partir de celles de 𝒗 Les coordonnées du vecteur-position sont des fonctions primitives des coordonnés du vecteur-vitesse, donc : 𝑥(𝑡) = (𝑣0 cos 𝛼) 𝑡 + 𝐶3 1 𝑦(𝑡) = − 𝑔𝑡 2 + (𝑣0 sin 𝛼)𝑡 + 𝐶4 2 𝐶3 et 𝐶4 étant des constantes indépendantes du temps. Prise en compte des conditions initiales : coordonnée 𝑥 à la date 𝑡 = 0 : coordonnée 𝑣𝑦 à la date 𝑡 = 0 : 𝑥(0) = 0 → condition initiale 𝑦(0) = ℎ → condition initiale = 0 + 𝐶3 → relation précédente = 0 + 𝐶4 → relation précédente Donc 𝐶3 = 0 Donc 𝐶4 = ℎ On en déduit les expressions en fonction du temps des coordonnées du vecteur-position, appelées « lois horaires de la position » : Page 3 Terminale STL – PCM Fiche de synthèse n°9 : les lois de Newton 𝑥(𝑡) = (𝑣0 cos 𝛼) 𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑡) ( 𝑂𝐺 1 ) 𝑦(𝑡) = − 𝑔𝑡 2 + (𝑣0 sin 𝛼)𝑡 + ℎ 2 3. Étude newtonienne d’une chute verticale avec frottement visqueux 3.1. Étude qualitative du mouvement La Situation étudiée et sa modélisation Le système étudié et un objet en mouvement de chute dans un fluide visqueux, sans vitesse initiale. Son mouvement est étudié dans un repère (𝑂𝑦), vertical et orienté vers le bas, dont l’origine coïncide avec la position initiale de son centre d’inertie. Forces exercées sur le système Comme le système étudié est en mouvement dans un fluide visqueux, celui-ci exerce à la fois une poussée d’Archimède et une force de frottement. Nous envisageons le cas où la force de frottement a une valeur proportionnelle à celle de la vitesse du système, ce qui est réaliste lorsque le fluide est suffisamment visqueux et le mouvement suffisamment lent. 3.2. Régime transitoire et régime permanent La valeur de la force de frottement exercée par le fluide augmente proportionnellement à la vitesse du système en mouvement. Celui-ci peut donc être décomposé en deux phases :  une phase de mouvement accéléré, appelé régime transitoire, obtenue tant que l’ensemble frottement + poussée d’Archimède ne compense pas le poids du système ;  un phase de mouvement uniforme, appelée régime permanent, obtenue lorsque la force frottement a atteint une valeur telle que l’ensemble frottement + poussée d’Archimède compense le poids du système. La vitesse alors atteinte est appelée vitesse limite et notée 𝑣𝑙𝑖𝑚. La constante de temps 𝝉 : La constante de temps 𝜏 est une estimation du temps caractéristique qui s’écoule entre le début du mouvement et l’établissement du régime transitoire. On peut le mesurer graphiquement par deux méthodes : – c’est la durée au bout de laquelle la vitesse atteint 63% de sa valeur limite ; – c’est l’abscisse du point où la tangente à la courbe 𝑣𝑦 (𝑡) à la date 𝑡 = 0 coupe la droite horizontale d’ordonnée 𝑣𝑙𝑖𝑚. Page 4 Terminale STL – PCM Fiche de synthèse n°9 : les lois de Newton 3.3. Étude quantitative du mouvement à l’aide des lois de Newton Expressions des forces exercées sur le système : Selon les hypothèses énoncées en (3.1) le système est soumis à : – son poids 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑔⃗ de coordonnée verticale 𝑃𝑦 = 𝑚𝑔 – la poussée d’Archimède ⃗Π⃗⃗ = −𝜌𝑉𝑔⃗ de coordonnée verticale Π𝑦 = −𝜌𝑉𝑔 𝜌 étant la masse volumique du fluide visqueux et 𝑉 le volume de l’objet en mouvement ; – la force de frottement visqueux 𝑓⃗ = −𝑘𝑣⃗ de coordonnée verticale 𝑓𝑦 = −𝑘𝑣𝑦 𝑘 étant une constante qui dépend du fluide et de la forme de l’objet en mouvement. Application des lois de Newton On cherche à établir la loi satisfaite par la coordonnée 𝑣𝑦 du vecteur-vitesse du système. Dans ce but, énonçons la deuxième loi de Newton : ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⃗⃗ + 𝑓⃗ = 𝑚𝑎⃗ 𝑃⃗⃗ + ⃗Π Projetons à présent cette relation sur l’axe vertical 𝑂𝑦 en exprimant tous les termes qui en dépendent en fonction de 𝑣𝑦 : 𝑚𝑔 − 𝜌𝑉𝑔 − 𝑘𝑣𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 𝑑𝑣𝑦 𝑚𝑔 − 𝜌𝑉𝑔 − 𝑘𝑣𝑦 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑦 𝑘 𝜌𝑉 + 𝑣𝑦 = 𝑔 (1 − ) 𝑑𝑡 𝑚 𝑚 On obtient une équation différentielle de la forme : 𝑑𝑣𝑦 𝑣𝑦 𝑣𝑙𝑖𝑚 + = 𝑑𝑡 𝜏 𝜏 Le cours de mathématiques a montré qu’une telle équation différentielle admet pour solution, avec comme condition initiale 𝑣𝑦 (0) = 0 : 𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 −𝑡⁄𝜏 ) Par identification on obtient les expressions de la constante de temps et de la vitesse limite : 𝑚 𝑚𝑔 𝜌𝑉 𝜏= et 𝑣𝑙𝑖𝑚 = (1 − ) 𝑘 𝑘 𝑚 Autre méthode pour calculer la valeur de 𝒗𝒍𝒊𝒎 : à partir de l’équation différentielle 𝑑𝑣𝑦 En régime permanent, la vitesse est, par définition, constante, donc = 0. L’équation différentielle devient donc : 𝑑𝑡 𝑘 𝜌𝑉 𝑣𝑙𝑖𝑚 = 𝑔 (1 − ) 𝑚 𝑚 𝑚𝑔 𝜌𝑉 𝑣𝑙𝑖𝑚 = (1 − ) 𝑘 𝑚 Page 5