Damped Torsional Oscillations PDF

‫الدوران ّي ُة‬ ‫ُ‬ ‫االهتزازات الجيب ّي ُة ّ‬ ‫تخامد‬ ‫الم‬ ‫نواس‬ ‫الفتل ُ‬ ‫ّ‬ ‫ِ‬ ‫غير ُ‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻫﺪاف‪:‬‬ ‫نواس الفتل‪.‬‬ ‫يتعر ُ‬ ‫ف ّ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫تأثير عزوم القوى في‬ ‫٭ ٭يُبي ّ ُن َ‬ ‫الحركة الدورانيّة‪.‬‬ ‫نواس‬ ‫٭ ٭يُو ّ‬ ‫ض ُ‬ ‫ح طبيعةَ حركة ّ‬ ‫الفتل‬ ‫نواس‬ ‫٭٭‬ ‫ُ‬ ‫يستنتج عالقةَ د...

‫الدوران ّي ُة‬ ‫ُ‬ ‫االهتزازات الجيب ّي ُة ّ‬ ‫تخامد‬ ‫الم‬ ‫نواس‬ ‫الفتل ُ‬ ‫ّ‬ ‫ِ‬ ‫غير ُ‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻫﺪاف‪:‬‬ ‫نواس الفتل‪.‬‬ ‫يتعر ُ‬ ‫ف ّ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫تأثير عزوم القوى في‬ ‫٭ ٭يُبي ّ ُن َ‬ ‫الحركة الدورانيّة‪.‬‬ ‫نواس‬ ‫٭ ٭يُو ّ‬ ‫ض ُ‬ ‫ح طبيعةَ حركة ّ‬ ‫الفتل‬ ‫نواس‬ ‫٭٭‬ ‫ُ‬ ‫يستنتج عالقةَ دور ّ‬ ‫الفتل تجريبيّاً‪.‬‬ ‫نواس‬ ‫تحو َل الطاقة في ّ‬ ‫٭ ٭يُبي ّ ُن ّ‬ ‫الفتل‪.‬‬ ‫تحوال ِ‬ ‫ت الطاقة‪.‬‬ ‫٭ ٭يُو ّ‬ ‫ض ُ‬ ‫ح بيانيّاً ّ‬ ‫ف التطبيقا ِ‬ ‫ت الحياتيّةَ‬ ‫يتعر ُ‬ ‫٭٭ ّ‬ ‫لنواس الفتل غير المتخامد‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫٭ ٭يُعطي أمثلةً من حياته اليوميّة‬ ‫لنواس الفتل غير المتخامد‬ ‫ّ‬ ‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﻴﺔ‪:‬‬ ‫٭ ٭نواس الفتل‬ ‫٭ ٭سلك الفتل‬ ‫٭ ٭ثابت فتل السلك‬ ‫٭ ٭مزدوجة الفتل‬ ‫٭ ٭المطال الزاوي‬ ‫٭ ٭السعة الزاوية‬ ‫‪20‬‬ ‫ـي كمــا فــي الشــكل‪.‬‬ ‫الســاعات فــي عملهــا علــى حركــة نابـ ٍ‬ ‫تعتمـ ُد بعـ ُ‬ ‫ض لولبـ ٍّ‬ ‫ـض ّ‬ ‫ـح كتلـة ٌ بحركـ ٍـة دورانيّـ ٍـة بيــن موضعيــن زاويّيــن متناظرين‪.‬‬ ‫إذْ تتأرجـ ُ‬ ‫ـق ســا ٍ‬ ‫ق متجانسـ ٍـة مــن‬ ‫وأقـ ُ‬ ‫ـرب مثــا ٍل علــى تلــك الحركــة الدورانيّــة هــو تعليـ ُ‬ ‫ت ِ‬ ‫مركزهــا إلــى ســل ِ‬ ‫ـمى نـ ّـواس الفتــل‪.‬‬ ‫ـل فــوالذيٍّ ثاب ـ ُ‬ ‫ك فتـ ٍ‬ ‫فتلــه ‪ k‬ويُسـ ّ‬ ‫أجرب وأستنتج‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫نواس الفتل المخبريّة‪.‬‬ ‫المواد الالزمة‪ :‬حقيبة ُ ّ‬ ‫تجربة (‪)1‬‬ ‫خطوات التجربة‪:‬‬ ‫ضح جانباً‪.‬‬ ‫نواس الفتل‬ ‫المخبري المو ّ‬ ‫ّ‬ ‫‪1 .1‬أركّب جهاز ّ‬ ‫ّ‬ ‫ُ‬ ‫أفقي‪.‬‬ ‫‪2.2‬أح ّددُ القوى الخارجيّة المؤثرة في الساق المتوازنة في مست ٍو ّ‬ ‫‪3.3‬أُديـ ُـر الســاق عــن وضــع توازنهــا األفقــي بزاويــة ‪ i‬و أتركُهــا دو َن سـ ٍ‬ ‫ـرعة‬ ‫ّ‬ ‫ابتدائيّــة‪.‬‬ ‫‪4 .4‬أُح ّددُ القوى الخارجيّةَ المؤثّر َة في الساق أثناء َ الحركة‪.‬‬ ‫محصلة العزوم للقوى المؤثّرة في الساق‪.‬‬ ‫‪5.5‬أُح ّددُ‬ ‫ّ‬ ‫‪θ‬‬ ‫أستنتج‬ ‫ـي حــولَ ســل ِ‬ ‫•إنّ الســاقَ المعلّقـة َ بســل ِ‬ ‫ـاقولي بتأثيــر عــزم ِ مزدوجـ ِـة‬ ‫ك الفتـلِ تهتـ ُّز فــي مســت ٍو أفقـ ٍّ‬ ‫ك الفتـلِ الشـ ِّ‬ ‫الفتلِ ‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫نواس الفتل‪:‬‬ ‫دراسة‬ ‫‪1.‬‬ ‫حركة ّ‬ ‫ِ‬ ‫قوة‬ ‫قوة الثقل ‪ّ ، w‬‬ ‫•القوى الخارجيّة المؤثّرة في الساق‪ّ :‬‬ ‫التوت ّر ‪T‬‬ ‫•عندمــا نُديــر الســاق زاويــة ‪ i‬عــن وضــع توازنهــا فــي مســت ٍو‬ ‫ـي تنشــأ فــي الســلك مزدوج ـة ُ فتــل ‪ h‬تقــاوم عمليّــة الفتــل‬ ‫أفقـ ٍّ‬ ‫تعمــل علــى إعــادة الســاق إلــى وضــع توازنهــا عزمُهــا هــو عــزم ُ‬ ‫إرجــاع يتناســب طــردا ً مــع زاويــة الفتــل ‪ i‬ويعاكســها باإلشــارة‬ ‫‪C h /T = - k i‬‬ ‫الدورانــي (نظريــة‬ ‫•بتطبيــق العالقــة األساســيّة فــي التحريــك‬ ‫ّ‬ ‫ـزاوي) حــول محــور ‪ T‬منطب ـ ٍق علــى ســلك الفتــل‬ ‫التســارع الـ‬ ‫ّ‬ ‫الشــاقولي‪:‬‬ ‫ِّ‬ ‫‪Δ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫`‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ θ‬ﻣﺰﺩﻭﺟﺔ ﺍﻟﻔﺘﻞ‬ ‫‪W‬‬ ‫‪| CT = IT a‬‬ ‫حيث ‪ I T‬عزم ُ عطالة السا ِ‬ ‫الزاوي‬ ‫ق حو َل محور الدوران ‪( T‬السلك) ‪ a‬التسارع‬ ‫ّ‬ ‫)‪C w /T + C T /T + C h /T = I T a fff (1‬‬ ‫منطبق على محور الدوران ‪. T‬‬ ‫وقوة التوت ّر ‪ T‬معدوم ٌ أل ّن حام َل ك ٍّل منهما‬ ‫ٌ‬ ‫قوة الثقل ‪ّ w‬‬ ‫•إ ّن عزمَ ك ٍّل من ّ‬ ‫•عزم ُ مزدوجة الفتل‪C h /T = - k i .‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪0 + 0 - k i = IT a‬‬ ‫‪-k i = I T ( i )mt‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪( i )mt = - I i fff (2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫المعادلة ُ )‪ (2‬هي معادلة ٌ تفاضليّة ٌ من المرتبة الثانية تقبل ّ‬ ‫حل ً جيبيّا ً من الشكل‪i = i max cos (~ 0 t + { ) :‬‬ ‫مرتين بالنسبة بالزمن‪:‬‬ ‫وللتّثبّت من الح ّل‬ ‫ّ‬ ‫نشتق ّ‬ ‫) { ‪( ~ = ( i )lt = - ~ 0 i max sin (~ 0 t +‬تابع السرعة الزاويّة)‬ ‫الزاوي)‬ ‫) { ‪( a = ( i )mt = - ~ 02 i max cos (~ 0 t +‬تابع التسارع‬ ‫ّ‬ ‫)‪(i)mt = - ~ 20 i fff (3‬‬ ‫بموازنة العالقتين )‪ (2‬و )‪ (3‬نجد‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪~ 20 = I fff (4‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪~0 = I 2 0‬‬ ‫‪T‬‬ ‫الزمني من الشكل‪:‬‬ ‫نواس الفتل جيبيّة دورانيّة تابعها‬ ‫وهذا ممكن أل ّن ‪ I T ، k‬موجبان أي أ ّن حركة ّ‬ ‫ّ‬ ‫) { ‪i = i max cos (~ 0 t +‬‬ ‫‪ : i‬المطال‬ ‫الزاوي في اللحظة ‪ t‬واحدته ‪rad‬‬ ‫ّ‬ ‫‪ : i max‬المطال‬ ‫الزاوي األعظمي (السعة الزاويّة) واحدته ‪rad‬‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ : ~ 0‬النبض‬ ‫الخاص بالحركة واحدت ُه ‪rad.s‬‬ ‫ّ‬ ‫{ ‪ :‬الطور االبتدائي للحركة واحدت ُه ‪. rad‬‬ ‫أجرب وأستنتج‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫ّ‬ ‫نواس الفتل المخبريّة‪.‬‬ ‫المواد الالزمة‪ :‬حقيبة ّ‬ ‫تجربة (‪)1‬‬ ‫خطوات التجربة‪:‬‬ ‫ــق ســاقاً مع ِدنيّــةً متجانســةً طول ُهــا ‪ ، l‬كتلتُهــا‬ ‫‪1 .1‬أُعل ّ ُ‬ ‫‪ m‬مــن منتصفهــا إلــى‬ ‫ت فتلــه ‪. k‬‬ ‫ســلك فتــل‬ ‫شــاقولي ثابــ ُ‬ ‫ٍّ‬ ‫ـي وأتركُهــا لتهتـ ّز‬ ‫‪2.2‬أُديـ ُـر الســا َق زاويــة ‪ i 1‬عــن وضــع توازنهــا فــي مســت ٍو أفقـ ٍّ‬ ‫دون ســرعة ابتدائيّــة‪.‬‬ ‫أقيس زمن ‪ 10‬نوسات‪.‬‬ ‫‪ُ 3.3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ٍ‬ ‫نوسة واحدة‪ ،‬وليكن ‪. T01 = N‬‬ ‫أحسب زمن‬ ‫‪4 .4‬‬ ‫ُ‬ ‫‪5.5‬أُعي ُد التجربةَ السابقةَ مع زاوية ‪. i 2 2 i 1‬‬ ‫زمن النوسة الواحدة‪.‬‬ ‫‪6.6‬‬ ‫ُ‬ ‫أحسب َ‬ ‫أستنتج‬ ‫ِ‬ ‫السعة الزاويّة للحركة‪.‬‬ ‫لنواس الفتل بتغيّ ِر‬ ‫•ال تتغيّ ُر قيمة ُ ال ّدو ِر‬ ‫ِّ‬ ‫الخاص ّ‬ ‫‪22‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫تجربة (‪) 2‬‬ ‫خطوات التجربة‪:‬‬ ‫الســاق كتلتيــن نقطيّتيــن متســاويتين‪ ،‬وعلــى بعديــن متســاويين‬ ‫‪1 .1‬أُثب ّـ ُ‬ ‫ت علــى ّ‬ ‫وأديرهــا زاويــة ‪. i‬‬ ‫مــن ســلك التعليــق‬ ‫ُ‬ ‫‪2.2‬أحسب زمن النوسة الواحدة‪ ،‬وليكن ‪. T02‬‬ ‫‪3.3‬أقار ُن ‪ T01‬مع ‪ ، T02‬ماذا أستنتج؟‬ ‫‪θ‬‬ ‫أستنتج‬ ‫لنواس الفتل بزيادة عزم عطالة الجملة‪.‬‬ ‫الدور‬ ‫ُّ‬ ‫•يزدادُ‬ ‫الخاص ّ‬ ‫ُ‬ ‫تجربة (‪)3‬‬ ‫خطوات التجربة‪:‬‬ ‫وأديرها زاوية‬ ‫‪1 .1‬أجع ُل طو َل سلك الفتل نصف ما كان عليه‬ ‫ُ‬ ‫‪2.2‬أقار ُن ‪ T01‬مع ‪. T03‬‬ ‫وأحسب زمن النوسة الواحدة ‪. T03‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ُ‬ ‫أستنتج‬ ‫لنواس الفتل بنقصان طول سلك الفتل‪.‬‬ ‫الدور‬ ‫ينقص‬ ‫الخاص ّ‬ ‫ُ‬ ‫ُّ‬ ‫• ُ‬ ‫نواس الفتل‪:‬‬ ‫‪2.‬دو ُر ّ‬ ‫•وجدنا أنّ‪:‬‬ ‫‪ID‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪IT‬‬ ‫= ‪~0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪IT‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫= ‪T0‬‬ ‫‪T 0 = 2r‬‬ ‫‪23‬‬ ‫أستنتج‬ ‫لنواس الفتل‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫الخاص ّ‬ ‫أنّ الدورَ‬ ‫•ال يتعل ّ ُق بالسعة الزاويّة للحركة ‪. i max‬‬ ‫النواس حول محور الدوران (سلك الفتل)‪.‬‬ ‫يتناسب طرداً مع الجذر‬ ‫•‬ ‫التربيعي لعزم عطالة جملة ّ‬ ‫ُ‬ ‫ّ‬ ‫التربيعي لثابت فتل السلك‪.‬‬ ‫يتناسب عكساً مع الجذر‬ ‫•‬ ‫ُ‬ ‫ّ‬ ‫‪(2r) 4‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ت فتل السلك بالعالقة‪:‬‬ ‫مالحظة‪ :‬يُعطى ثاب ُ‬ ‫إذْ‪ kl :‬ثابت يتعلّق بنوع مادّة السلك‪ 2r ،‬قطر السلك‪ l ،‬طول السلك‪.‬‬ ‫‪k = kl‬‬ ‫ونواس الفتل‪:‬‬ ‫التشابه‬ ‫‪3.‬‬ ‫ُ‬ ‫النواس المرن ّ‬ ‫الشكلي بين ّ‬ ‫ُّ‬ ‫النوّ اس المرن‬ ‫السرعة ‪v = ( x )lt‬‬ ‫التسارع‬ ‫‪a = ( x )mt‬‬ ‫كتلة ‪m‬‬ ‫السرعة الزاويّة‬ ‫‪w = ( i )lt‬‬ ‫التسارع الزاويّ‬ ‫‪a = ( i )mt‬‬ ‫عزم عطالة ‪I T‬‬ ‫الطاقة الكامنة المرونية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E p = 2 k x2‬‬ ‫الطاقة الحركية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ek = 2 m v2‬‬ ‫الطاقة الميكانيكية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E = 2 k X max‬‬ ‫الطاقة الكامنة المرونية‬ ‫عزم اإلرجاع ‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E p = 2 k i2‬‬ ‫الطاقة الحركية‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ek = 2 I w2‬‬ ‫الطاقة الميكانيكية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E = 2 k i max‬‬ ‫حركة جيبيّة‬ ‫انسحابيّة‬ ‫المطال ‪x‬‬ ‫نوّ اس الفتل حركة جيبيّة دورانيّة مطال زاويّ ‪i‬‬ ‫قوّ ة اإلرجاع‬ ‫‪F‬‬ ‫النوّ اس المرن ثابت الصالبة ‪k‬‬ ‫نوّ اس الفتل‬ ‫ثابت الفتل ‪k‬‬ ‫مت‬ ‫تع َّل ُ‬ ‫• ّنواس الفتل‪ :‬جسم صلب متجانس معلق من مركزه إلى سلك فتل شاقولي ثابت فتله ‪. k‬‬ ‫•عزمُ اإلرجاع‪:‬‬ ‫‪C=-ki‬‬ ‫ويعاكسه باإلشارة‪.‬‬ ‫الزاوي‬ ‫يتناسب طرداً مع المطال‬ ‫ّ‬ ‫ُ‬ ‫•طبيعة ُ حركة ّنواس الفتل‪ :‬جيبيّة ٌ دورانيّة ٌ من الشكل‬ ‫دور ّنواس الفتل‪:‬‬ ‫• ُ‬ ‫نبض الحركة‪:‬‬ ‫• ُ‬ ‫‪24‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ID‬‬ ‫‪IT‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪T0 = 2r‬‬ ‫= ‪ ~ 0‬أو‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪~0 = T‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) { ‪i = i max cos (~ 0 t +‬‬