Mouvement Circulaire Uniforme Et Mouvement Curviligne PDF

1. Mouvement circulaire uniforme Mouvement curviligne © Wolfilser Shutterstock.com Sommaire 1 Grandeurs cinématiques............................................................................................................ 1 1.1 Vecteur position...............

1. Mouvement circulaire uniforme Mouvement curviligne © Wolfilser Shutterstock.com Sommaire 1 Grandeurs cinématiques............................................................................................................ 1 1.1 Vecteur position................................................................................................................ 1 1.2 Vecteur vitesse instantanée.............................................................................................. 1 1.3 Vecteur accélération instantanée..................................................................................... 2 2 Mouvement circulaire uniforme (MCU).................................................................................... 4 2.1 Repérage d’un point sur un cercle.................................................................................... 4 2.2 Période et fréquence......................................................................................................... 5 2.3 Vitesse linéaire.................................................................................................................. 5 2.4 Vitesse angulaire............................................................................................................... 5 2.5 Équations horaires............................................................................................................. 6 2.6 Accélération centripète..................................................................................................... 7 2.7 Force centripète................................................................................................................ 8 3 Mouvement curviligne............................................................................................................. 10 3.1 Abscisse curviligne........................................................................................................... 10 3.2 Rayon de courbure.......................................................................................................... 10 3.3 Relation entre vitesse et abscisse curviligne................................................................... 11 3.4 Accélération tangentielle et accélération normale......................................................... 11 4 Pour en savoir plus................................................................................................................... 13 4.1 « Force » centrifuge......................................................................................................... 13 4.2 Établissement des expressions des accélérations tangentielle et normale.................... 14 5 Exercices................................................................................................................................... 15 1 Grandeurs cinématiques 1.1 Vecteur position ⃗⃗ d’un mobile relie l’origine 𝑂 d’un repère à la position 𝑀 du mobile1. Le vecteur position 𝒓 Il faut trois coordonnées pour repérer un mobile dans l’espace. Dans le repère cartésien (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ ), elles sont notées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. = T Le vecteur position est donné par : 𝑥 𝑥 𝑟⃗ = 𝑥 𝑖⃗ + 𝑦 𝑗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗ respectivement 𝑟⃗ (𝑦) ou 𝑟⃗ |𝑦 𝑧 𝑧 Sa norme s’écrit : 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Les coordonnées dépendent en général du temps : 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) et 𝑧 = 𝑧(𝑡). Les relations exprimant 𝑥, 𝑦 et 𝑧 en fonction du temps sont appelées les équations horaires ou équations paramétriques de la position du mobile. 1.2 Vecteur vitesse instantanée ⃗⃗ est égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps : Le vecteur vitesse instantanée 𝒗 Δ𝑟⃗ d𝑟⃗ 𝑣⃗ = lim = = f(t) Δ𝑡→0 Δ𝑡 d𝑡 L’unité SI de vitesse est le mètre par seconde (m/s). D’après la définition du vecteur vitesse instantanée : d𝑟⃗ 𝑣⃗ = d𝑡 d = (𝑥 𝑖⃗ + 𝑦 𝑗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗ ) d𝑡 - ~ d𝑥 d𝑦 d𝑧 = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ d𝑡 d𝑡 d𝑡 = 𝑣𝑥 𝑖⃗ + 𝑣𝑦 𝑗⃗ + 𝑣𝑧 𝑘⃗⃗ 1 Tant qu’on ne s’intéresse qu’au mouvement du mobile dans son ensemble, ignorant ses mouvements propres (p.ex. rotation autour d’un de ses axes), on peut assimiler le mobile à un point mobile M qui représente le centre de masse du mobile, affecté de la masse totale du mobile. 1-1 On écrit encore : d𝑥 𝑣𝑥 = = 𝑥̇ | d𝑡 d𝑦 𝑣⃗ 𝑣𝑦 = = 𝑦̇ | d𝑡 d𝑧 𝑣𝑧 = = 𝑧̇ d𝑡 Norme du vecteur vitesse instantanée : 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 Figure pour un mouvement s’effectuant dans le plan 𝑥𝑂𝑦 : S Vx = v. COSO sin G Vy V. = 10 coso : E)vx = V. Cost 1.3 Vecteur accélération instantanée ⃗⃗ est égal à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au Le vecteur accélération instantanée 𝒂 temps : Δ𝑣⃗ d𝑣⃗ 𝑎⃗ = lim = Δ𝑡→0 Δ𝑡 d𝑡 L’unité SI d’accélération est le mètre par seconde carrée (m/s2 ). Remarque : Comme le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur accélération est égal à la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps : dérivée seconde d𝑣⃗ d d𝑟⃗ d2 𝑟⃗ - 𝑎⃗ = = ( )= 2 d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡 1-2 D’après la définition du vecteur accélération instantanée : d𝑣⃗ 𝑎⃗ = d𝑡 d = (𝑣𝑥 𝑖⃗ + 𝑣𝑦 𝑗⃗ + 𝑣𝑧 𝑘⃗⃗ ) d𝑡 d𝑣𝑥 d𝑣𝑦 d𝑣𝑧 = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘⃗⃗ d𝑡 d𝑡 d𝑡 = 𝑎𝑥 𝑖⃗ + 𝑎𝑦 𝑗⃗ + 𝑎𝑧 𝑘⃗⃗ On écrit encore : d𝑣𝑥 d2 𝑥 𝑎𝑥 = = 𝑣̇𝑥 = 2 = 𝑥̈ | d𝑡 d𝑡 d𝑣𝑦 d2 𝑦 𝑎⃗ 𝑎𝑦 = = 𝑣̇𝑦 = 2 = 𝑦̈ d𝑡 d𝑡 | d𝑣𝑧 d2 𝑧 𝑎𝑧 = = 𝑣̇𝑧 = 2 = 𝑧̈ d𝑡 d𝑡 Norme du vecteur accélération instantanée : 𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 Figure pour un mouvement s’effectuant dans le plan 𝑥𝑂𝑦 : As-tu compris ? 1. Un point 𝑀 se déplace en ligne droite. L’équation horaire de sa coordonnée sur l’axe est donnée par 𝑥(𝑡) = 7 𝑡 − 3 𝑡 2 , où 𝑥 est exprimé en mètres et 𝑡 est exprimé en secondes. a. Déterminer les équations horaires de la vitesse et de l’accélération de 𝑀. b. Calculer la vitesse et l’accélération de 𝑀 en 𝑡 = 4 s. 2. Le vecteur position d’un mobile 𝑀 est donné par les équations horaires suivantes : 𝑥 =2𝑡 𝑟⃗ | (unités SI) 𝑦 = −2 𝑡 2 + 4 𝑡 + 4 a. Déterminer le vecteur vitesse 𝑣⃗ et le vecteur accélération 𝑎⃗ de 𝑀. b. Calculer la norme des vecteurs 𝑟⃗, 𝑣⃗ et 𝑎⃗ à l’instant 𝑡 = 2 s. c. Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire. Quelle est sa forme ? d. Représenter la trajectoire de 𝑀 dans un repère cartésien entre 𝑡 = 0 et 𝑡 = 3 s. Y ajouter les vecteurs vitesse et accélération à l’instant 𝑡 = 2 s. 1-3 · S = 0 8 = r I L S S 1 ' = = const. = (thetas ru C E ! rz 34 1m 6 r = me ↓ 0 = = , r = q = 35m angle en radiant 2 = 0 , 28 périmètre = s :F=2 · vitesse angulaire : W [w) = rad vitesse linéaire : v = S = At T * E P on a : At = G 2 2 : r DS = donc Es v = w - Es v = w - r w = + = J w DE AS et : At = V I or : f = I v = 2 f + = 2 Mouvement circulaire uniforme (MCU) Un mobile est animé d’un mouvement circulaire uniforme (MCU), lorsqu’il se déplace sur une trajectoire circulaire et si la norme de sa vitesse demeure constante. La pointe de l’aiguille des minutes d’une montre ou la nacelle d’une grande roue effectuent par exemple un MCU. Nous allons nous limiter au cas où le mobile se déplace toujours dans le même sens et fixer un sens de parcours positif dans le sens du mouvement. 2.1 Repérage d’un point sur un cercle Considérons un point mobile 𝑀 qui se déplace sur un cercle de centre O et de rayon 𝑟 : Il peut être repéré à l’aide de : ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 dans un repère cartésien d’origine O ; la mesure algébrique de l’arc de cercle entre un point de référence A et le point mobile 𝑀. C’est l’abscisse curviligne 𝒔 ; la mesure algébrique de l’angle au centre balayé par le rayon 𝑂𝑀 entre une position de référence 𝐴 et la position 𝑀 du mobile. Cet angle est l’abscisse angulaire 𝜽 et forme ensemble avec le rayon 𝑟 les coordonnées polaires du mobile. Les coordonnées polaires sont reliées aux coordonnées cartésiennes par les relations : 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 et à l’abscisse curviligne par la relation2 : 𝑠=𝑟𝜃 dans laquelle il faudra exprimer l’abscisse angulaire 𝜃 en radians. 2 𝑠 En effet, les abscisses curviligne et angulaire sont proportionnelles : 𝑠 ~ 𝜃 ⟺ = constant. Lorsque M a parcouru un 𝜃 𝑠 2𝜋 𝑟 tour complet, 𝑠 = 2𝜋 𝑟 et 𝜃 = 2𝜋. La constante de proportionnalité vaut donc = = 𝑟. C’est le rayon du cercle. 𝜃 2𝜋 1-4 2.2 Période et fréquence La période 𝑻 d’un MCU est la durée d’un tour complet : - Δ𝑡 Δ𝑡 : durée nécessaire 𝑇= I 𝑁 𝑁 : nombre de tours L L’unité SI de période est la seconde (s). ↓ La fréquence 𝒇 d’un MCU est le nombre de tours effectués par unité de temps : - 𝑁 𝑁 : nombre de tours 𝑓= Δ𝑡 I Δ𝑡 : durée nécessaire L’unité SI de fréquence est le hertz (Hz). On a : 1 Hz = 1 s-1 Par conséquent : 1 1 𝑓= ou 𝑇 = 𝑇 𝑓 2.3 Vitesse linéaire Pour un mobile en MCU, la norme de la vitesse instantanée 𝑣⃗ est constante et égale à la vitesse moyenne. La distance parcourue pendant un intervalle de temps Δ𝑡 est égale à la variation Δ𝑠 de l’abscisse curviligne et on a : Δ𝑠 𝑣= (1) Δ𝑡 Pour un tour complet ∆𝑠 = 2𝜋 𝑟 et ∆𝑡 = 𝑇. Ainsi : 2π 𝑟 𝑣= (2) 𝑇 S’il y a risque de confusion de cette vitesse avec la vitesse angulaire (voir prochaine section), on l’appelle plus précisément vitesse linéaire. 2.4 Vitesse angulaire La vitesse angulaire 𝝎 indique l’angle au centre balayé par unité de temps. L’unité SI de vitesse angulaire est le radian par seconde (rad/s). Pour un mobile en MCU, la vitesse angulaire instantanée 𝜔 est constante et égale à la vitesse angulaire moyenne. L’angle balayé pendant un intervalle de temps Δ𝑡 est égal à la variation Δ𝜃 de l’abscisse angulaire et on a : 𝜔= Δ𝜃 Δt im Pour un tour complet, Δ𝜃 = 2𝜋 et ∆𝑡 = 𝑇. Ainsi : 2π 𝜔= = 2𝜋 𝑓 (3) 𝑇 1-5 En comparant (2) dans (3), on obtient une relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire : 𝑣 =𝑟𝜔 À titre d’exemple, considérons un disque vinyle en rotation sur un tourne-disque. Un point situé au bord du disque parcourt une plus grande distance durant la même durée qu’un point situé plus au centre et aura donc une plus grande vitesse linéaire. En revanche, tous les points du disque balaient le même angle au centre pendant la même durée et auront donc la même vitesse angulaire. Lorsqu’un disque tourne, un point plus loin du centre Une coccinelle deux fois plus éloignée du centre se parcourt une plus grande distance dans le même déplace deux fois plus vite temps et avec une vitesse linéaire plus élevée. As-tu compris ? 3. La longueur de l’aiguille des heures d’une montre mesure la moitié de celle des minutes. Le rapport entre les vitesses linéaires des pointes respectives vaut : A. 120 B. 120-1 C. 12 D. 24-1 E. Aucune des réponses précédentes 4. Un disque tourne à raison de 15 tours par minute. Déterminer sa fréquence de rotation et sa vitesse angulaire en unités SI. 2.5 Équations horaires Considérons un mouvement circulaire uniforme avec les conditions initiales que l’abscisse curviligne 𝑠 = 𝑠0 et que l’abscisse angulaire 𝜃 = 𝜃0 à l’instant 𝑡 = 0. Δ𝑠 𝑠−𝑠0 En partant de l’expression de la vitesse linéaire 𝑣 = Δ𝑡 = 𝑡 , on trouve l’équation horaire de l’abscisse curviligne : 𝑠(𝑡) = 𝑣 𝑡 + 𝑠0 Se Δ𝜃 𝜃−𝜃0 En partant de l’expression de la vitesse angulaire 𝜔 = Δ𝑡 = 𝑡 , on trouve l’équation horaire de l’abscisse angulaire : 𝜃(𝑡) = 𝜔 𝑡 + 𝜃0 to = 0 Pour un MCU, l’abscisse curviligne et l’abscisse angulaire augmentent linéairement avec le temps. = DO = WA w 10 - 00) = 20. (t- to > 1-6 0 = w. (t - tx) + 5 to = 03 Résumé v(t) = X(t) w = w = = a(t) = v'(t) = x "(t) w = 2if = f = F N At f = T = V = w. p xt N S(t) = v (t - to) + So 0 = ~ OCtS = 2(t-to) + %. Si to = Os to = O rad f(t) t = c - Accélération centripête (p. 1-7) ~ Y M mouvement circulaire uniforme (MCU) · T ân L 10(t) O X O(t) = wet (to = Os ;G = 0) c = const vecteur position : X = r. cosE(t) = r. Cos (w t) · i = M y = r. sinO(t) = r - sin (c t) - vecteur vitesse : VX sin (w t) - = r w -.. - J = j' Vy = r. w. Cos (c-t) acceleration : 2. ax = - r. w cos (lot) a = T ay = -r. w ? sin (wts ax = - wa. r - cos(wt) - A ay = - w2 r · sin (wt) = T a = - wa - accélération normale : w = Il Il = a = an = war = =  Effect d'me force : 2.6 Accélération centripète Pour un MCU, la norme du vecteur vitesse ne change pas. Cependant, la direction du vecteur vitesse change en permanence. Comme toute variation temporelle du vecteur vitesse constitue une accélération, un mobile en MCU est accéléré ! Considérons un mobile animé d’un MCU de rayon 𝑟, de vitesse linéaire 𝑣 et de vitesse angulaire 𝜔 : 9 ↑ Soit 𝜃 l’abscisse angulaire du mobile avec la condition initiale que 𝜃 = 𝜃0 = 0 à l’instant 𝑡 = 0. L’équation horaire de l’abscisse angulaire s’écrit : 𝜃(𝑡) = 𝜔 𝑡 Vecteur position en coordonnées cartésiennes : 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 𝑟 cos(𝜔 𝑡) 𝑟⃗ | ↑ () 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 𝑟 sin(𝜔 𝑡) Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes : 𝑣𝑥 = 𝑥̇ = −𝑟 𝜔 sin(𝜔 𝑡) 𝑣⃗ | 𝑣𝑦 = 𝑦̇ = 𝑟 𝜔 cos(𝜔 𝑡) Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes : D 𝑎𝑥 = 𝑥̈ = −𝑟 𝜔2 cos(𝜔 𝑡) = −𝜔2 𝑥 = 𝑎⃗ | Es 𝑎𝑦 = 𝑦̈ = −𝑟 𝜔2 sin(𝜔 𝑡) = −𝜔2 𝑦 D’où : 𝑎⃗ = −𝜔2 𝑟⃗ = 𝑎⃗𝑛 F Le mouvement étant uniforme, l’accélération ne comporte pas de composante tangentielle au mouvement. Elle ne comporte qu’une composante 𝑎⃗𝑛 normale au mouvement qui assure le changement de direction du vecteur vitesse. Puisque l’accélération montre toujours vers le centre de la trajectoire circulaire, on l’appelle encore accélération centripète. La norme de l’accélération centripète d’un MCU s’écrit : 𝑣2 𝑎 = 𝑎𝑛 = 𝜔2 𝑟 = 𝑟 (4) Logiciel de courbes paramétrique 3D : https://www.math3d.org/motion 1-7  2.7 Force centripète D’après le principe fondamental de la dynamique, l’accélération centripète d’un mobile de masse 𝑚 en MCU est causée par une résultante de forces extérieures 𝐹⃗𝑟𝑒𝑠 qui est également centripète : 𝐹⃗𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 𝑎⃗ = 𝑚 𝑎⃗𝑛 = 𝐹⃗𝑛 C’est cette force centripète, notée 𝐹⃗𝑛 , qui oblige le mobile à rester sur une trajectoire circulaire. En utilisant l’expression (4), la norme de la force centripète s’écrit : 𝑣2 𝐹𝑛 = 𝑚 𝜔2 𝑟 = 𝑚 𝑟 où 𝑟 est le rayon de la trajectoire circulaire, 𝜔 la vitesse angulaire du mobile et 𝑣 sa vitesse linéaire. in La force centripète n’est pas une force fondamentale de la nature, mais elle désigne toute force qui est dirigée vers le centre d’une trajectoire circulaire : Lorsqu’on fait tourner une boîte dans un plan horizontal, la force centripète correspond à la tension (supposée également horizontale) du fil. - La force centripète qui contraint la Lune à rester sur son orbite (approximativement) circulaire autour de la Terre correspond à la force de gravitation exercée par la Terre sur la Lune. La force centripète qui contraint les électrons à suivre une trajectoire circulaire autour du noyau atomique correspond à la force électrique exercée par le noyau sur les électrons. force centripède = g Lorsqu’une voiture prend un virage, la force centripète qui assure la courbure de sa trajectoire correspond à la force de frottement que la route exerce sur les pneus de la voiture. Dans une machine à laver, le tambour tourne à grande vitesse et exerce une force centripète sur les vêtements mouillés, leur imposant une trajectoire circulaire. Les trous dans le tambour empêchent l’action de cette même force sur l’eau : elle s’échappe tangentiellement par les trous. 1-8 Exercice résolu Une bille en acier de masse 80 g est fait tourner à l’aide d’un fil de longueur 60 cm dans un plan horizontal. Le fil est alors incliné d’un angle de 30° par rapport à la verticale. Calculer : a. la vitesse linéaire de la bille b. la norme de la force centripète Solution : a. Bilan des forces extérieures : 𝑃⃗⃗ : poids de la bille ⃗⃗ : tension du fil 𝑇 D’après le PFD : 𝐹⃗𝑟𝑒𝑠 = 𝑚 𝑎⃗ Puisqu’il s’agit d’un MCU, 𝐹⃗𝑟𝑒𝑠 = 𝐹⃗𝑛 et 𝑎⃗ = 𝑎⃗𝑛 et il vient : 𝑃⃗⃗ + 𝑇 ⃗⃗ = 𝑚 𝑎⃗𝑛 Projection sur l’axe vertical : −𝑃 + 𝑇 cos 𝜃 = 0 ⟺ 𝑇 cos 𝜃 = 𝑚𝑔 (∗) Projection sur l’axe radial : 𝑣2 𝑇 sin 𝜃 = 𝑚 (∗∗) 𝑟 En divisant (**) par (*) : 𝑣2 tan 𝜃 = ⟺ 𝑣 2 = 𝑔 𝑟 tan 𝜃 𝑔𝑟 En utilisant que 𝑟 = 𝐿 sin 𝜃 et en prenant la racine carrée, il vient : 𝑣 = √𝑔 𝐿 sin 𝜃 tan 𝜃 m A.N. : 𝑣 = √9,81 ⋅ 0,60 ⋅ sin 30° ⋅ tan 30° = 1,30 s b. Force centripète : 𝑣2 𝑣2 (1,30)2 𝐹𝑛 = 𝑚 =𝑚 = 0,080 kg ⋅ = 0,45 N 𝑟 𝐿 sin 𝜃 0,60 ⋅ sin 30° 1-9 3 Mouvement curviligne 3.1 Abscisse curviligne Lorsque la trajectoire d’un mobile est connue d’avance, la position du mobile peut être définie par rapport à la trajectoire. Le concept de l’abscisse curviligne qu’on a déjà introduit pour un mouvement circulaire se laisse généraliser : L’abscisse curviligne 𝒔 d’un mobile est la mesure algébrique du chemin parcouru sur la trajectoire entre une origine A et la position du point mobile M : ⏜ s = 𝐴𝑀 L’origine A et le sens de parcours positif peuvent être choisis arbitrairement. Application pratique : Une voiture en panne sur l’autoroute peut être repérée en connaissant le point kilométrique auquel elle se trouve. 3.2 Rayon de courbure La courbure d’une trajectoire renseigne sur la façon dont la forme de la trajectoire dévie d’une ligne droite. Pour caractériser la courbure de la trajectoire en un point M, on peut considérer le rayon du cercle qui s’approche le mieux à la forme de la trajectoire en M. Ce cercle porte le nom de cercle de courbure ou cercle osculateur3. Son centre et son rayon, noté 𝜌, sont respectivement appelés centre de courbure et rayon de courbure. Le rayon de courbure en un point est d’autant plus petit que la trajectoire y est incurvée. Si la trajectoire est rectiligne, le rayon de courbure est infini. Si le mouvement est circulaire, le rayon de courbure est égal au rayon de la trajectoire circulaire. As-tu compris ? 5. Considérer la trajectoire du wagon passant par les points A, B, C, D et E. a. La trajectoire est-elle plus incurvée en B ou en D ? Justifier. b. En quelle point la trajectoire est- elle la moins incurvée ? Justifier. 3 Du nom latin circulus osculans donné par Gottfried Leibniz, littéralement le cercle qui embrasse [la courbe]. 1-10 3.3 Relation entre vitesse et abscisse curviligne Puisque le vecteur vitesse instantanée 𝑣⃗ est porté par la tangente à la trajectoire, on peut écrire : 𝑣⃗ = 𝑣𝜏 𝜏⃗ où 𝑣𝜏 désigne la coordonnée tangentielle de la vitesse et 𝜏⃗ un vecteur unitaire4 tangentiel au mouvement et orienté dans le sens positif de la trajectoire. La coordonnée 𝑣𝜏 est une grandeur algébrique : 𝑣𝜏 = 𝑣 > 0 si le mobile se déplace dans le sens positif de la trajectoire ; 𝑣𝜏 = −𝑣 < 0 si le mobile se déplace dans le sens contraire. Ainsi |𝑣𝜏 | = 𝑣. Par généralisation de l’expression (1) à un mouvement non uniforme se poursuivant dans un sens quelconque de la trajectoire, il vient : Δ𝑠 d𝑠 𝑣𝜏 = lim = = 𝑠̇ Δ𝑡→0 Δ𝑡 d𝑡 La valeur algébrique de la vitesse est égale à la dérivée de l’abscisse curviligne par rapport au temps. 3.4 Accélération tangentielle et accélération normale Comme vu en classe de 2e, le vecteur accélération instantanée 𝑎⃗ possède en général une composante 𝑎⃗𝜏 tangentielle au mouvement (colinéaire au vecteur vitesse 𝑣⃗) et une composante 𝑎⃗𝑛 normale au mouvement (perpendiculaire au vecteur vitesse 𝑣⃗) : En introduisant des vecteurs unitaires τ⃗⃗ et 𝑛⃗⃗ qui sont respectivement tangentiel et normal au mouvement, le vecteur accélération s’écrit : 𝑎⃗ = 𝑎⃗𝜏 + 𝑎⃗𝑛 = 𝑎τ τ⃗⃗ + 𝑎𝑛 𝑛⃗⃗ (5) L’accélération tangentielle renseigne sur la variation de la valeur algébrique de la vitesse. Elle est égale à la dérivée de la coordonnée tangentielle de la vitesse par rapport au temps : d𝑣𝜏 𝑎𝜏 = = 𝑣̇𝜏 d𝑡 Si 𝑎𝜏 = 0, la valeur algébrique de la vitesse a atteint un maximum ou un minimum ou elle est constante (Mouvement uniforme). Si 𝑎𝜏 > 0, alors 𝑣𝜏 augmente. Si 𝑎𝜏 < 0, alors 𝑣𝜏 diminue. Pour un mouvement qui se poursuit dans le sens positif de la trajectoire, 𝑣𝜏 peut être remplacé par la norme 𝑣 du vecteur vitesse. 4 Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. En l’occurrence, ||𝜏⃗|| = 1. 1-11  Si 𝑎𝜏 et 𝑣𝜏 ont même signe, 𝑎⃗𝜏 et 𝑣⃗ sont de même sens et la norme 𝑣 du vecteur vitesse augmente. (Mouvement accéléré) Si 𝑎𝜏 et 𝑣𝜏 sont de signes opposés, 𝑎⃗𝜏 et 𝑣⃗ sont de sens opposés et la norme 𝑣 du vecteur vitesse diminue. (Mouvement décéléré / retardé) Comme la coordonnée tangentielle de vitesse est égale à la dérivée de l’abscisse curviligne par rapport au temps, l’accélération tangentielle est égale à la dérivée seconde de l’abscisse curviligne par rapport au temps : d2 𝑠 𝑎𝜏 = 𝑣̇𝜏 = 𝑠̈ = 2 d𝑡 L’accélération normale renseigne sur la variation de la direction de la vitesse. Elle s’écrit : 𝑣2 𝑎𝑛 = 𝜌 Si 𝑎𝑛 = 0, la direction de la vitesse reste constante ; le rayon de courbure 𝜌 est infini. (Mouvement rectiligne) Si 𝑎𝑛 > 0, la direction de la vitesse change. Pour une norme de vitesse donnée, 𝑎𝑛 est d’autant plus grand que 𝜌 est petit c.-à-d. que la trajectoire est incurvée. (Mouvement curviligne) Pour 𝜌 donné, 𝑎𝑛 est d’autant plus grand que la norme 𝑣 du vecteur vitesse est grande. Cas particuliers : Lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV), l’accélération n’a qu’une composante tangentielle puisque seule la norme de la vitesse varie, la direction de la vitesse demeurant constante : Lors d’un mouvement circulaire uniforme (MCU), l’accélération n’a qu’une composante normale puisque seule la direction de la vitesse varie, la norme de la vitesse demeurant constante. En d’autres mots, l’accélération d’un mobile en MCU est centripète. Le rayon de courbure étant égal au rayon de la trajectoire circulaire, on a : 𝑣2 𝑣2 𝑎 = 𝑎𝑛 = = 𝜌 𝑟 en accord avec la relation (4) p. 7. As-tu compris ? 6. Sous quelle condition l’accélération tangentielle est-elle nulle ? 7. Sous quelle condition l’accélération normale est-elle nulle ? 1-12  - 4 Pour en savoir plus 4.1 « Force » centrifuge Lorsqu’un bus s’arrête brusquement, un passager debout trébuche vers l’avant. Il a l’impression de subir une force accélératrice. Pourtant, il n’y a aucune vraie force qui le tire vers l’avant. D’après le principe d’inertie, le passager trébuche vers l’avant à cause de l’absence de force qui le retiendrait (qui serait exercée par une ceinture de sécurité). Similairement, un observateur à l’intérieur d’un système en rotation sent une force apparente qui le tire vers l’extérieur, appelée force centrifuge. Par exemple, si on se trouve dans une voiture qui prend un virage brusque vers la gauche, on a l’impression d’être poussé vers la droite. Or, un observateur lié au sol terrestre conclut qu’il n’y a pas de force centrifuge qui nous tire vers la droite, mais absence d’une force centripète dirigée vers la gauche qui nous maintiendrait sur la trajectoire circulaire. De même, lorsqu’on fait tourner une canette au bout d’une corde sur une trajectoire circulaire, une force centripète exercée par la corde tire la canette vers le centre de la trajectoire circulaire. Aucune force centrifuge ne tire la canette vers l’extérieur. Lorsque la corde rompt, la canette s’envole en ligne droite, tangentiellement à la trajectoire circulaire. Supposons qu’une coccinelle se trouve à l’intérieur de la canette. La canette exerce contre les pieds de la coccinelle une poussée qui constitue la force centripète et qui la maintient sur la trajectoire circulaire. D’après le principe d’action-réaction, la coccinelle pousse à son tour contre le sol de la canette. Dans le référentiel terrestre, nous n’identifions aucune force centrifuge sur la coccinelle. Dans le référentiel accéléré de la canette, les choses paraissent différentes. La coccinelle y apparait au repos. La résultante des forces qu’elle subit devant être nulle, elle conclut qu’elle subit à la fois une force centripète (exercée par la canette) et une force centrifuge de même norme qui l’attire vers le fond de la canette. La coccinelle ressent la force centrifuge comme une force toute aussi réelle que le poids. Il y a cependant une différence fondamentale entre la force centrifuge et le poids de la coccinelle. Le poids est une interaction entre sa masse et celle de la Terre. La force centrifuge n’a en revanche pas de contrepartie en interaction. L’effet centrifuge ressenti n’est pas causé par une force réelle, mais par l’inertie – la tendance d’un corps en mouvement à suivre une trajectoire rectiligne. Pour cette raison, les physiciens appellent la force centrifuge une force inertielle. 1-13 4.2 Établissement des expressions des accélérations tangentielle et normale En utilisant la définition du vecteur accélération et le fait que la vitesse s’écrit 𝑣⃗ = 𝑣𝜏 τ⃗⃗, on obtient pour le vecteur accélération : d𝑣⃗ d(𝑣𝜏 𝜏⃗) d𝑣𝜏 d𝜏⃗ 𝑎⃗ = = = 𝜏⃗ + 𝑣𝜏 (6) d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡 Le vecteur τ⃗⃗ étant unitaire, on a : ⃗⃗ d𝜏 𝜏⃗2 = 1 ⟹ 2 𝜏⃗ ⋅ d𝑡 = 0. ⃗⃗ d𝜏 Le produit scalaire entre les deux vecteurs 𝜏⃗ et étant nul, on a : d𝑡 d𝜏⃗ ⊥ 𝜏⃗ (7) d𝑡 Puisque 𝜏⃗ est dirigé perpendiculairement au rayon de courbure 𝜌, les vecteurs 𝑛⃗⃗ et 𝜏⃗ tournent avec la même vitesse angulaire 𝜔. D’où : d𝜏⃗ 𝑣 ‖ ‖=𝜔= (8) d𝑡 𝜌 En utilisant (7) et (8), on conclut que : d𝜏⃗ 𝑣 = 𝑛⃗⃗ (9) d𝑡 𝜌 En remplaçant dans (6) et en supposant que le déplacement se poursuit dans le sens positif de la trajectoire de sorte que 𝑣𝜏 = 𝑣, il vient finalement : d𝑣𝜏 𝑣2 𝑎⃗ = ⃗τ⃗ + 𝑛⃗⃗ d𝑡 𝜌 1-14 5 Exercices 1. Le vecteur position d’un mobile 𝑀 est donné par les équations horaires suivantes : 𝑥 = 4 cos(2 𝑡) 𝑟⃗ | (unités SI) 𝑦 = 4 sin(2 𝑡) a. Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération de 𝑀. b. S’agit-il d’un mouvement uniforme ? Justifier. c. Représenter la trajectoire de 𝑀 entre 𝑡 = 0 et 𝑡 = 2π s. 𝜋 3𝜋 Y ajouter les vecteurs vitesse et accélération aux instants 𝑡 = 0 s, 2 s, 𝜋 s, 2 s et 2𝜋 s. 2. Lorsqu’on double la période de rotation, la vitesse angulaire… A. double B. est réduite de moitié C. reste constante D. aucune des réponses précédentes 3. Le moteur d’une foreuse tourne à 2700 tours/min. Calculer : a. sa fréquence b. sa période c. sa vitesse angulaire 4. Un disque LP, de diamètre 35 cm, tourne à raison de 33 tours par minute. a. Calculer sa vitesse angulaire de rotation en rad/s. b. Calculer la vitesse linéaire d’un point situé à la périphérie du disque. c. Déterminer la norme de l’accélération de ce même point. 5. Deux points 𝑀 et 𝑁 d’un disque qui tourne à fréquence constante sont situés tels que le rapport de leurs distances au centre vaut 2. a. Quelle affirmation concernant leur vitesse linéaire 𝑣 et leur vitesse angulaire 𝜔 est correcte ? 𝑣 𝜔 A la même la même B différentes la même C la même différentes D différentes différentes b. Quel est le rapport entre l’accélération de N et l’accélération de M. 1 1 D. 4 A. B. C. 2 4 2 6. Dans lequel des exemples de MCU suivants l’accélération centripète du point mobile est-elle la plus grande ? Justifier. La flèche représente à chaque fois le vecteur vitesse. 1-15 7. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. a. Dans un mouvement circulaire, le vecteur accélération est toujours dirigé vers le centre du cercle décrit. b. Lors d’un mouvement uniforme, on a toujours 𝑎⃗ = ⃗0⃗. faux ! c. Si le centre de gravité d'un solide est animé d'un mouvement circulaire uniforme, alors la valeur de sa vitesse est constante et son vecteur accélération est nul. d. Lors d’un mouvement circulaire, le vecteur accélération tangentiel 𝑎⃗𝜏 peut être dirigé en sens inverse du mouvement. e. Un mouvement pour lequel le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont constants est impossible. 8. Un enfant est assis sur un manège qui tourne uniformément à raison de 6 tours par minute. Le centre de rotation O du manège se trouve à 4 m de l’enfant. On assimile l’enfant à un point mobile M. a. Calculer la vitesse linéaire et la vitesse angulaire. b. Calculer la norme de l’accélération centripète. c. Écrire l’équation horaire de l’abscisse angulaire 𝜃, sachant que 𝜃(𝑡 = 0) = 𝜃0 = 45°. 9. Une voiture de course sur une piste circulaire horizontale reste sur la route grâce au frottement entre les pneus et la route. Si la vitesse de la voiture double, la force de frottement nécessaire A. est identique B. double C. diminue de moitié 8 D. est quatre fois plus grande 10. Une pierre repose sur une plateforme horizontale qui tourne avec une vitesse angulaire constante autour de son axe vertical passant par son centre. Le frottement empêche la pierre de glisser. a. Représenter sur une figure toutes les forces qui agissent sur la pierre. b. Identifier la force centripète. 11. Mêmes questions pour une pierre maintenue sur une trajectoire circulaire horizontale grâce au frottement avec la paroi intérieure du tambour en rotation rapide. 12. Calculer la force de frottement qui maintient une personne de 75 kg au bord d’une plateforme horizontale en rotation lorsque la personne est assise à 2 m du centre de la plateforme et a une vitesse linéaire de 3 m/s. 13. Un avion effectue un virage en parcourant un cercle dans un plan horizontal à une vitesse constante de 540 km/h. À cet effet, il incline ses ailes à un angle de 30° par rapport à l’horizontale. L’air exerce une force appelée portance aérodynamique perpendiculairement aux ailes. a. Quelles sont les forces qui agissent dans la direction du mouvement de l’avion ? Quelle relation vectorielle existe entre ces forces ? b. Représenter sur un schéma la portance à l’aide d’une flèche de longueur 4 cm. Décomposer cette force en une composante verticale et une composante normale. Représenter également le poids de l’avion sur ce schéma et identifier la force centripète. c. Calculer le rayon de la trajectoire en km. 1-16 Crédits Photos © Wolfilser / Shutterstock.com (219615730) – page titre (chaises volantes) Crédits Illustrations Des remerciements particuliers sont adressés à Paul G. HEWITT. Les illustrations sont, sauf indication contraire, l’œuvre de Paul G. Hewitt et des auteurs du cours. Les illustrations de Paul G. HEWITT ont été retravaillées par Laurent HILD, avec l’autorisation écrite et personnelle de l’auteur. Les illustrations originales sont des livres : © HEWITT, Paul G., Conceptual physics, 2015, Pearson © HEWITT, Paul G., SUCHOCKI John, Conceptual physical science – Practice Book, 2012, Pearson © EPSTEIN Lewis C., HEWITT, Paul G., Thinking Physics – 1981, Insight Press 1-17 1-18