M151 Note (5) Kin OF Motion PDF
Document Details
Uploaded by SuperAnecdote
M.Elyamany
Tags
Summary
These notes cover kinematics of motion, a subfield of classical mechanics. The document discusses displacement, velocity, and acceleration, and includes examples and problems for solving. It is a useful resource for students studying mechanics and physics.
Full Transcript
Assistant Dr/Mustafa Kinematic Of Motion ** ايه هي الـ ـ ـ "... "Kinematics of motion Kinematics of motion is a subfield of classical mechanics that describes the motion of a particle without considering the forces th...
Assistant Dr/Mustafa Kinematic Of Motion ** ايه هي الـ ـ ـ "... "Kinematics of motion Kinematics of motion is a subfield of classical mechanics that describes the motion of a particle without considering the forces that causes to move. ** ممكن نقول إن ال ـ ـ " "Kinematic of motionهي فرع من فروع "المكانيكا القديمة" اللي بتدرس حركة الجسم بس مش بتعتمد يف دراسة الحركة على الـ ـ "قوة" اللي سببت الحركة دي ....... ** دلوقتي بما أننا بنتكلم على "حركة "Motionيبقى يهمنا جدا نتكلم على 3 3حاجات ،ايه هم بقى ؟؟؟؟ ال ـ ـ "ازاحة "displacementوالـ ــ"سرعة "Velocityوال ـ ــ"عجلة .... "acceleration بص يا سيدي كده ....... ** هانرمز لل ــ"ازاحة "displacementبال ـ ـ " "xأو ال ـ ـ " "yعلى حسب اتجاه الحركة.. ويف الغالب الـ ـ " "xأو ال ــ" "yهايكونوا " "functionيف ال ـ "...... "t ودلوقتي عاوزين نجيب حاجتين مهمين ،ايه هم ؟؟؟!!!! ** عاوزين نجيب ال ــ"سرعة "Velocityوالـ ـ "عجلة ..... "acceleration طب ازاي ؟؟؟!!؟!؟!؟!؟؟!؟!؟! M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 1 Displacement )𝑡(𝑓 = 𝑥 OR )𝑡(𝑓 = 𝑦 Velocity 𝑥𝑑 𝑦𝑑 =𝑣 = 𝑣 Or 𝑡𝑑 𝑡𝑑 Acceleration 𝑣𝑑 𝑣𝑑 𝑣𝑑 =𝑓 𝑦𝑑 𝑣 = 𝑓 Or 𝑓 = 𝑣 𝑑𝑥 Or 𝑡𝑑 ** اعتبر نفسك ساكن يف عمارة فيها " 3أدوار" ....والدور األول فيه ال ــ" "fوالدور التاين فيه الـ ــ" "vوالدور التالت فيه الـ ـ " "xأو ال ــ" "yعلى حسب أنت شغال ""x وال " ، "yوعاوز توصل من الدور األول لألخير أو من الدور األخير لألول ،هاتعمل ايه ؟! Differentiation 𝑦 𝑥 or Integration تفاضل تكامل 𝑣 𝑓 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 2 ** ايه هي أنواع المسائل اللي بتقابلنا عشان نشتغل ؟؟؟!!!! * *1النوع األول -:بيبقى عندنا " "displacementيعني الـ ـ " "xومطلوب مننا نجيب الـ ـ "سرعة "velocityيعني الـ ـ " "vوالـ ـ "عجلة "accelerationيعني ال ـ ـ ""f ساعتها هانلجأ للـ ـ "تفاضل ...... "Differentiation * *2النوع الثاين -:بيبقى عندنا الـ ـ "عجلة "accelerationيعني الـ ـ " "fومطلوب مننا نجيب الـ ـ "سرعة "velocityوالـ ـ "ازاحة "displacementيعني الـ ـ " "xأو الـ""y ساعتها هانلجأ للـ ـ "تكامل ...... "Integration ** عندنا دلوقتي شوية مصطلحات الزم نعرفها عشان نعمل "اشارة "Sign الـ ـ "سرعة "Velocityوالـ ـ "عجلة ..... "Acceleration Velocity Acceleration o o ** أي كلمة تدل على إن الـ ـ " "vأو ال ــ" "fيف اتجاه الـ ـ ""origin خد بالك 😉 هتبقى "سالب "negativeلو عكس اتجاه الــ" "originهاتبقى"موجب "positive M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 3 ** عندنا بعض المصطلحات المعروفة ،هانعرف منها الـ ـ " "velocityأو الـ ـ ""acc هاتكون "موجبة "positiveأو "سالبة ...... "negative -ve +ve )(Negative )(Positive ”** Towards “o ”** Forwards from “o ”** in the direction to “o ”**in opposite direction to “o ** Decreasing ** increasing ** Reducing ** Upwards ** Downwards ** repulsive ** Attractive ”** Starting from “o ** بص يا سيدي ،أغلب المسائل بيكون عندنا ال ـ " "fومطلوب مننا نجيب الـ ـ ""v أو الـ ـ " ، "xيبقى كده هانحتاج نعمل "تكامل .... "Integration "" بما أننا هانعمل " "integrationيبقى الزم نكتب ال ــ" "cاللي هو بيكون عبارة عن "ثابت التكامل ..... " constant of integration ** هنا بقى يف مسائل ميكانيكا الزم دايما نحسب الـ ـ " "cونعرف هو بكام ؟؟؟؟!!! ** تعاىل معايا بقى نشوف بنحسب الـ ـ " "cازاي ؟؟؟؟؟!!! M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 4 ? How to determine the constant of integration ** ايه هي طريقة تعيين ثابت التكامل ؟؟؟؟؟!!!!! ** عشان نجيب "ثابت التكامل "Constant of integrationهانلجأ لـ ـ "شروط البداية ، "initial conditionsايه هي بقى ؟؟؟!!!! ** ال ــ" "initial conditionsعبارة عن معلومات بتبقى يف المسألة عن حركة ال ـ ــ"جسم " particleيف البداية ،هانستخدمها عشان نعرف ال ــ" "cبكام ...... ** دلوقتي هانقول شوية مصطلحات لما نشوفها نقدر نقول دي ""initial cond. ** ال ـ ـ " "initial conditionبنستخدمها عشان نحسب ال ــ".. "c خد بالك 😉 خد بالك 😉 ** دائما ً لما بنحسب ال ـ " "xبتعتمد على بعدنا عن الـ ـ ""origin يعني مثال ً لو الجسم اتحرك من الـ ـ ""originيبقى ال ــ"... "𝑥 = 0 ** دائما ً لما بنحسب ال ـ " "tبتعتمد على "وقت التحرك" مش خد بالك 😉 بيعتمد على المكان يعني مثال ً لو الجسم لسه هايتحرك "يبقى ال ــ" "t = 0مهما كانت ايه هي الـ ـ "نقطة "pointاللي اتحرك من عندها .... M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 5 خد بالك 𝑣=0 اتحرك من السكون دائما ً الـ ـ " "tيف البداية ب ـ ""zero 𝑥=0 اتحرك من نقطة األصل 𝑡=0 بدأ التحرك 𝑡=0 𝑋=𝑥 اتحرك من الموضع اللي فيه ال ــ"ازاحة" كانت " "Xوالسرعة ""V 𝑉=𝑣 ماتنساش تسأل على مراجعات الميدترم ( بحتة – ميكانيكا – فيزياء ) سنتر Green ت/واتساب 01203232358 : M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 6 ** عاوزين نشوف بقى أنواع المسائل بتاعتنا اللي بنشتغل عليها ..... ** بص يا سيدي ...لما يبقى عندي الـ ـ " "fويطلب مني الـ ـ " "vأو ال ـ ـ " "xيبقى الزم نعمل "... "integrationبس لألسف الـ ـ " "fلها صورتين ...فالزم نعرف هانشتغل بأنه صورة فيهم يف كل مسألة ... 𝑣𝑑 𝑣𝑑 = 𝑓 " أو " 𝑥𝑑 𝑣 = 𝑓 " الـ ـ " "fلها صورتين اللي هم " افتكر 𝑡𝑑 ** على حسب شكل الـ ـ " "fاللي بيديهايل يف المسألة ،على حسب الصورة بتاعة الـ ــ" "fاللي هاستخدمها ،عندنا 3احتماالت للـ ـ " "fاللي بيديهايل يف المسألة .... ** تعاىل نشوف ايه هي االحتماالت دي ......... )𝑓 (acceleration ) 𝑥(𝑓 = 𝑓 If )𝑣( 𝑓 = 𝑓 If )𝑡( 𝑓 = 𝑓 If لو الــ" "fدالة يف ""x لو الــ" "fدالة يف ""v لو الــ" "fدالة يف ""t Ex Ex 𝑥𝑒 = 𝑓 3 Ex 𝑓 = 𝑣5 𝑓 = 𝑡4 use هنا بقى على حسب هو طالب مننا نحسب use ايه هانستخدم أنه صورة من االتنين 𝑣𝑑 𝑣𝑑 𝑣=𝑓 لو طلب " "displacementاستخدم لو طلب " "timeاستخدم =𝑓 𝑥𝑑 𝑡𝑑 𝒗𝒅 𝒗𝒅 𝒗=𝒇 =𝒇 𝒙𝒅 𝒕𝒅 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 7 (1) A particle moves in a straight line such that the displacement is given by “𝑥 = 𝑡 3 − 4𝑡 2 + 5𝑡 − 2” Find (a) The displacement when its velocity vanishes()يتالشى "v=0" " هاتكون بكام لما الـ ـx" ** هنا عاوز يعرف ال ـ ـ (b) The position of the particle when its acceleration vanishes "f=0" " هاتكون بكام لما الـ ـx" ** هنا عاوز يعرف ال ـ ـ (c) The acceleration of the particle when the velocity becomes equal to “8 m/s ”. "v=8" " هاتكون بكام لما الـ ـf" ** هنا عاوز يعرف ال ـ ـ Solution "v" ** لو ركزنا على الحاجات اللي طالبها هاناليق أنه عاوز يجيب الـ ـ... "diff يبقى الزم هاعمل "تفاضل... "x"" مع العلم أنه عندي ال ــf" وكمان الـ ـ We’ve 𝑥 = 𝑡 3 − 4𝑡 2 + 5𝑡 − 2 𝑑𝑥 𝑣= = 3𝑡 2 − 8𝑡 + 5 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑓= = 6𝑡 − 8 𝑑𝑡 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 8 (a)To find displacement when acceleration vanishes,Put 𝑣 = 0 We’ve 𝑣 = 3𝑡 2 − 8𝑡 + 5 → 3𝑡 2 − 8𝑡 + 5 = 0 5 Then 𝑡 = 3 & 𝑡 = 1 & 𝑥 ȁ𝑡=5 = − 27 4 Then 𝑥ȁ𝑡=1 = 0 3 (b) To find displacement when velocity vanishes, Put f = 0 We’ve f = 6t − 8 → 6t − 8 = 0 4 Then 𝑡 = 3 4 3 4 2 4 2 Then 𝑥ȁ𝑡=4 = ቀ3ቁ − 4 ቀ3ቁ + 5 ቀ3ቁ − 2 = − 27 3 (c)To find acceleration when velocity equal to 8 , Put v = 8 We’ve 𝑣 = 3𝑡 2 − 8𝑡 + 5 → 3𝑡 2 − 8𝑡 + 5 = 8 3𝑡 2 − 8𝑡 − 3 = 0 −1 Then 𝑡 = 3 &𝑡 =3 1 (𝑡 = − 3 refused )مرفوضة عشان مفيش زمن سالب Then 𝑥ȁ𝑡=3 = (3)3 − 4(3)2 + 5(3) − 2 = 4 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 9 (2)A particle moves in a positive direction of the “𝑥 − 𝑎𝑥𝑖𝑠” with an acceleration “12𝑡 + 8 𝑚/𝑠 2 ”. If the particle starts motion with velocity “10 𝑚/𝑠” from a point at distance “28 m” from the origin. Find the velocity of the particle after “5 sec”. When and where the velocity of the particle becomes 50 𝑚/𝑠 ? then find the acceleration. Solution "Integ" هانعمل، "v" " وعاوزين نجيب ال ـ ـf" ** عندنا دلوقتي الـ ـ..... "Find Velocity" عشان قايل هنا "time"** كمان عاوز يعرف ال ــ "initial Cond" عندنا شوية معلومات يف البداية ممكن نطلع منها الـ ـ خدبالك **Initial condition** ** Starts → 𝒕 = 𝟎 ** Starts motion with velocity → 𝒗 = 𝟏𝟎 ** Starts at a distance from the origin 𝒙 = 𝟐𝟖 "Constant" " بنستخدمها عشان نحسب الـ ـInitial conditions" الـ ـ-: ** افتكر..... "integration اللي بيطلع من ال ــ"تكامل ** 𝑓 = 12𝑡 + 8 𝑑𝑣 ** 𝑓 = 𝑑𝑡 = 12𝑡 + 8 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 10 𝑡𝑑 )(12𝑡 + 8 = 𝑣𝑑 ** 12𝑡 2 =𝑣 + 8𝑡 + 𝑐1 → 𝑣 = 6𝑡 2 + 8𝑡 + 𝑐1 2 ** هنا بقى لما عملنا " "Integrationظهر عندنا " ..... "c1 عاوزين نعرف الـ ـ " "c1بكام دلوقتي ،هانلجأ للـ ـ ""Initial conditions )يف البداية( ** Initially 𝑡 = 0 & 𝑣 = 10 , then 𝑐1 = 10 Hence 𝑣 = 6𝑡 2 + 8𝑡 + 10 𝑠𝑣ȁ𝑡=5 = 6(5)2 + 8(5) + 10 = 200 𝑚/ ** هنا كمان طالب كمان -: When and where the velocity of the particle becomes 50 m/s ** يعني عاوز يعرف الـ ـ "جسيم "Particleهايبقى مكانه فين ،يعني الـ ـ " "xبكام لما كانت الـ ـ " "v = 50كمان الـ ـ " "tبكام لما ال ـ ـ ".... "v = 50 𝑥𝑑 = 𝑣 ** = 6𝑡 2 + 8𝑡 + 10 𝑡𝑑 𝑡𝑑൫6𝑡 2 + 8𝑡 + 10൯ = 𝑥𝑑 6𝑡 3 8𝑡 2 =𝑥 3 + 2 + 10𝑡 + 𝑐2 → 𝑥 = 2𝑡 3 + 4𝑡 2 + 10𝑡 + 𝑐2 ** هنا كمان لما عملنا " "Integrationظهر عندنا " ..... "c2 عاوزين نعرف الـ ـ " "c2بكام دلوقتي ،هانلجأ للـ ـ ""Initial conditions )يف البداية( ** Initially 𝑡 = 0 & 𝑥 = 28 , then 𝑐1 = 28 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 11 Hence 𝑥 = 2𝑡 3 + 4𝑡 2 + 10𝑡 + 28 ** عاوزين نعرف الـ ـ " "tبكام لما كانت الـ ـ ".... "v = 50 ** at 𝑣 = 50 → 6𝑡 2 + 8𝑡 + 10 = 50 6𝑡 2 + 8𝑡 − 40 = 0 3𝑡 2 + 4𝑡 − 20 = 0 (3𝑡 + 10)(𝑡 − 2) = 0 10 )𝑡 = − 3 (refused , t=2 ** كمان عاوزين نعرف الـ ـ " "xبكام لما كانت الـ ـ ".... "v = 50 طب الـ ـ " " 𝑥 = 2𝑡 3 + 4𝑡 2 + 10𝑡 + 28عالقتها بالـ ـ " "tوبما إن الـ ـ ""t = 2 لما كانت الـ ـ "...... "v = 50 ** يبقى هانعوض عن الـ ـ " "t = 2يف الـ ـ ""x ** 𝑥ȁ𝑡=2 = 2(2)3 + 4(2)2 + 10(2) + 28 = 80 m ** كمان عاوز ال ــ" "accelerationلما ال ــ""v = 50 ** 𝑓 ȁ𝑡=2 = 12(2) + 8 = 32 𝑚/𝑠 2 ماتنساش تسأل على مراجعات الميدترم ( بحتة – ميكانيكا – فيزياء ) سنتر Green ت/واتساب 01203232358 : M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 12 (3) A particle starts motion from rest at the origin in the positive (+ve) direction of x-axis. If the acceleration of the particle is given by “𝑓 = 𝑘𝑒 −𝑛𝑡 ”, where “k,n” are constant. Prove that “𝑛𝑥 = (𝑛𝑡 − 1)𝑣 + 𝑓𝑡” Solution **Initial condition** ** Starts → 𝒕 = 𝟎 ** Starts motion from rest → 𝒗 = 𝟎 ** Starts at the origin 𝒙 = 𝟎 "Constant" " بنستخدمها عشان نحسب الـ ـInitial conditions" الـ ـ-: ** افتكر..... "integration اللي بيطلع من ال ــ"تكامل "relation " وعاوز اثبت "عالقةf" دلوقتي عندي الـ ـ، ** بص معايا كده.. "v"" والــx"" عشان اجيب ال ــIntegration" " يبقى الزم اعملx" " والـ ـv" فيها الـ ـ !!!" ؟؟؟؟f" ** طب هاستخدم أنه صورة للـ ـ "function of “t”" " على صورةf" = 𝑓" ألن الـ ـ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 " ** هانستخدم الصورة دي & 𝑓 = 𝑘𝑒 −𝑛𝑡 𝑑𝑣 ** 𝑓 = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑘 𝑑𝑡 = 𝑘𝑒−𝑛𝑡 → = 𝑣𝑑 − 𝑛 −𝑛𝑒 −𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑘 𝑣 = − 𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑐1.... "initial conditions" هانستخدم الـ ـ، 𝑐" بكام1 " ** عاوزين نجيب الـ ـ M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 13 )يف البداية( Initially 𝑘 𝑛 = 𝑡 = 0 & 𝑣 = 0 → 𝑐1 Then 𝑘 𝑘 𝑛 ** 𝑣 = − 𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 + ** كده جبنا ال ـ " "vبكام .... ** عاوزين نجيب الـ ـ " ، "xهانعمل ايه ؟؟؟؟!!! 𝑥𝑑 𝑘 𝑘 = 𝑣 ** 𝑛 & 𝑣 = − 𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑡𝑑 𝑥𝑑 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑡𝑑 ቀ− 𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑛ቁ = 𝑥𝑑 → 𝑛 = − 𝑛 𝑒 𝑛𝑡 + 𝑡𝑑 𝑘 𝑘 𝑡𝑑 𝑛 −𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑𝑥 = 𝑛2 𝑘 𝑘 𝑥 = 𝑛2 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑛 𝑡 + 𝑐2 ** عاوزين نجيب الـ ـ " "𝑐2بكام ،هانستخدم الـ ـ ".... "initial conditions )يف البداية( Initially 𝑘− = 𝑡 = 0 & 𝑥 = 0 , then 𝑐2 𝑛2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑥 = 𝑛2 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑛 𝑡 − 𝑛2 ** كده جبنا ال ـ ـ " "xوالـ ـ ".... "vنروح نعوض بقى يف ال ـ " "relationونشوف هاتتحقق وال أل ..... 𝑘 𝑘 )** 𝑛𝑥 = 𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑘 𝑡 − 𝑛 → (1 𝑘 𝑘 𝑡 ) 𝑡𝑛** (𝑛𝑡 − 1)𝑣 + 𝑓𝑡 = (𝑛𝑡 − 1) ቂ− 𝑛 𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑛ቃ + (𝑘𝑒 − 𝑘 𝑘 = )𝑒 −𝑛𝑡 + 𝑘 𝑡 − 𝑛 → (2 𝑛 From (1) & (2), we get 𝑛𝑥 = (𝑛𝑡 − 1)𝑣 + 𝑓𝑡 # M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 14 (4) The acceleration of the particle which is moving vertically downwards is given by “𝑓 = 𝑔 − 𝑘𝑣”. If the time is measured ( )يقاسfrom the moment at which the particle was descending with velocity “𝑉” and “𝑌” is measured at the same position. (a) Find “𝑣&𝑦” as functions of time. (b) Find the relation between “𝑣&𝑦”. Solution **Initial condition** ** If the time is measured from the moment → 𝒕 = 𝟎 ** The moment at which the particle was descending with velocity “𝑽” → 𝒗 = 𝑽 ( 𝑽 is a constant ) ** and y at the same position → 𝒚 = 𝒀 ( 𝒀 is a constant) "Constant" " بنستخدمها عشان نحسب الـ ـInitial conditions" الـ ـ-: ** افتكر..... "integration اللي بيطلع من ال ــ"تكامل !!** هنا يف المسـألة دي طلب حاجتين ؟؟؟ -: ايه هم "t" " بداللة الـ ـv&y" عاوز ال ـ ـ: األوىل..... "v&y" " بين الـ ـRelation عاوز "عالقة: التانية M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 15 يف المسألة هنا الـ ـ "𝒗𝒌 "𝒇 = 𝒈 −يعني الزم احدد الصورة اللي خدبالك هاشتغل بيها على حسب المطلوب ايه يف المسألة = 𝒇" يف المطلوب ") "(aهانستخدم الــ" "fعلى صورة " خدبالك 𝒗𝒅 يف المطلوب ") "(bهانستخدم الــ" "fعلى صورة "𝒚𝒅 𝒗 = 𝒇" خدبالك 𝑣𝑑 = 𝑓 ** 𝑣𝑘 & 𝑓 = 𝑔 − 𝑡𝑑 𝑣𝑑 𝑣𝑘 = 𝑔 − 𝑡𝑑 1 𝑡𝑑 = 𝑣𝑑 𝑣𝑘 𝑔− 1 𝑘− 𝑡𝑑 = 𝑣𝑑 𝑣𝑘 𝑔− 𝑘 − 1 − lnห𝑔 − 𝑘𝑣ห = 𝑡 + 𝑐1 𝑘 )يف البداية( Initially −1 = 𝑡 = 0 & 𝑣 = 𝑉 → 𝑐1 𝑘 lnห𝑔 − 𝑘𝑉ห Then 1 1 ** − lnห𝑔 − 𝑘𝑣ห = 𝑡 − lnห𝑔 − 𝑘𝑉ห 𝑘 𝑘 ** ((خدبالك)) هنا الـ ـ " 𝑉 "𝑔, 𝑘,عبارة عن " ، "Constantsالـ ـ " "variableالوحيد اللي هنا هو ال ـ "𝑣" فقط اللي هو الـ ـ ""velocity ** دلوقتي بقى عاوزين نجيب الـ ـ "𝑣" ونوضح هي بكام ...يبقى الزم تطلع من جوا الـ ـ "... "lnهانضرب الطرفين يف "𝑘 "−ونجمع ال ـ ـ " "lnمع بعض ... M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 16 𝑡𝑘lnห𝑔 − 𝑘𝑣ห − lnห𝑔 − 𝑘𝑉ห = − 𝑣𝑘𝑔− 𝑡𝑘ln ቀ𝑔−𝑘𝑉 ቁ = − 𝑣𝑘𝑔− 𝑡𝑘= 𝑒 − 𝑉𝑘𝑔− 𝑡𝑘𝑔 − 𝑘𝑣 = ൫𝑔 − 𝑘𝑉൯𝑒 − 𝑡𝑘−𝑘𝑣 = −𝑔 + ൫𝑔 − 𝑘𝑣൯𝑒 − 𝒈 𝑽𝒌𝒈− 𝒗=𝒌− 𝒌 𝒕𝒌𝒆− 𝑉𝑘𝑔− " كل ده عبارة عن "..... "Constant ((خدبالك)) هنا الـ ـ " 𝑘 ** دلوقتي عاوزين نجيب الـ ـ " "xكمان بداللة الـ ـ "... "tيبقى هانشيل ال ـ ـ " "vونحط 𝑦𝑑 مكانها الـ ـ " 𝑡𝑑 " ...... 𝑔 𝑉𝑘𝑔− 𝑥𝑑 ** 𝑣 = 𝑘 − = 𝑣 & 𝑡𝑘𝑒 − 𝑘 𝑡𝑑 𝑦𝑑 𝑔 𝑉𝑘𝑔− 𝑡𝑑 = 𝑘 − 𝑘 𝑡𝑘𝑒 − 𝑔 𝑉𝑘𝑔− ቀ𝑘 − = 𝑦𝑑 𝑡𝑑 𝑒 −𝑘𝑡 ቁ 𝑘 𝑔 𝑉𝑘𝑔− 𝑑𝑡 − 𝑘 = 𝑦𝑑 𝑘 𝑡𝑑 𝑡𝑘 𝑒 − 𝑔 𝑉𝑘𝑔− 𝑑𝑡 + 𝑘 = 𝑦𝑑 𝑘2 𝑡𝑑 𝑡𝑘 −𝑘 𝑒 − 𝑔 𝑉𝑘𝑔− 𝑦 = 𝑘𝑡+ 𝑒 −𝑘𝑡 + 𝑐2 𝑘2 ** عاوزين نحسب دلوقتي ال ـ ـ " "𝑐2هايبقى عن طريق الـ ـ ""initial conditions )يف البداية( Initially 𝑣𝑘𝑔− 𝑡 = 0 & 𝑦 = 𝑌 → 𝑐2 = 𝑌 − 𝑘2 Then 𝒈 𝑽𝒌𝒈− 𝒗𝒌𝒈− 𝒚 = 𝒌𝒕+ 𝒆−𝒌𝒕 + 𝒀 − )# (a 𝟐𝒌 𝟐𝒌 M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 17 𝑣𝑑 **عشان نقدر نجيب "( ")bهانستخدم صورة الــ" "fدي "𝑦𝑑 𝑣 = 𝑓" 𝑣𝑑 𝑣𝑘 ** 𝑓 = 𝑣 𝑑𝑦 & 𝑓 = 𝑔 − 𝑣𝑑 𝑣𝑘 𝑣 𝑑𝑦 = 𝑔 − 𝑣 𝑦𝑑 = 𝑣𝑑 𝑣𝑘 𝑔− ** بص يا سيدي ،لما تيجي تعمل " "integrationويكون الـ ـ "درجة "degree بتاعو اللي فوق "بسط "numeratorهي نفس ال ـ "درجة "degreeبتاعة الـ ـ "مقام "denominatorيبقى الزم تعدل اللي فوق وتخليه شبه اللي تحت ... 1 𝑔𝑔−𝑘𝑣− 𝑘− 𝑦𝑑 = 𝑣𝑑 𝑣𝑘𝑔− 1 𝑣𝑘𝑔− 1 𝑦𝑑 = 𝑔−𝑘𝑣 𝑑𝑣ቃ 𝑔 𝑔−𝑘𝑣 𝑑𝑣 −− 𝑘 ቂ 1 𝑔 𝑘 𝑦𝑑 = 𝑔−𝑘𝑣 𝑑𝑣ቃ 𝑘 𝑑𝑣 +− 𝑘 ቂ 1 𝑔 − 𝑘 ቂ𝑣 + 𝑘 lnห𝑔 − 𝑘𝑣หቃ = 𝑦 + 𝑐3 ** كده جبنا ال ـ ـ "عالقة "relationبين الـ ـ " "yوالـ ـ " "vبس محتاج اعرف الـ ـ " "𝑐3 بكام (...طبعا عارفين هانستخدم ايه عشان نجيبه 😉 ) )يف البداية( Initially 1 𝑔 𝑦 = 𝑌 & 𝑣 = 𝑉 → 𝑐3 = −𝑌 − 𝑘 ቂ𝑉 + 𝑘 lnห𝑔 − 𝑘𝑉หቃ 1 𝑔 1 𝑔 − ቂ𝑣 + lnห𝑔 − 𝑘𝑣หቃ = 𝑦 − 𝑌 − ቂ𝑉 + lnห𝑔 − 𝑘𝑉หቃ 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝟏 𝒈 𝟏 𝒈 )𝒚 = 𝒀 + 𝒌 ቂ𝑽 + 𝒌 𝐥𝐧ห𝒈 − 𝒌𝑽หቃ − 𝒌 ቂ𝒗 + 𝒌 𝐥𝐧ห𝒈 − 𝒌𝒗หቃ #(b M.YAM Assist. Tel & Whats : 01203232358 Page 18
