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Universidad Nacional del Litoral
2016
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Matemática - 2do año Prof. Maumary, Carina Prof. Ruiz, María Laura Maumary Carina Profesora en Matemática. Título otorgado por FHUC. UNL Especialista en Docencia Universitaria. Título otorgado por UNL Prof. Titular en la Escuela Industrial Superior de la ciudad de Santa...
Matemática - 2do año Prof. Maumary, Carina Prof. Ruiz, María Laura Maumary Carina Profesora en Matemática. Título otorgado por FHUC. UNL Especialista en Docencia Universitaria. Título otorgado por UNL Prof. Titular en la Escuela Industrial Superior de la ciudad de Santa Fe Prof. Titular en la E.E.T.P. N° 479 “D. M Pizarro” de la ciudad de Santa Fe. Ruiz María Laura Profesora en Matemática.Título otorgado por FHUC. UNL Especialista en Docencia Universitaria. Título otorgado por UNL. Prof. Titular en la Escuela Industrial Superior de la ciudad de Santa Fe Maumary, Carina Matemática II / Carina Maumary ; María Laura Ruíz ; Rebeca Cardozo. - 1a ed. adaptada. - Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2016. Libro digital, PDF Archivo Digital: descarga ISBN 978-987-692-098-8 1. Matemática. 2. Educación Secundaria. 3. Material Auxiliar para la Enseñanza. I. Ruíz, María Laura II. Cardozo, Rebeca III. Título CDD 371.33 Prólogo Este libro fue elaborado como soporte didáctico para trabajar en el aula con alumnos de segundo año. Cada unidad del mismo comienza con situaciones problemáticas donde se retoman contenidos y se generan necesidades para abordar nuevos; algunos de los aportes teóricos están pensados para que los alumnos los vayan completando con las deducciones que van obteniendo en la resolución de las situaciones planteadas. Desde diversas actividades se intentan establecer relaciones con otras asignaturas como ser con Física y Dibujo Técnico; se producen argumentos para validar determinadas afirmaciones y se valora el lenguaje matemático para modelar situaciones de la vida cotidiana. Se espera que el alumno pueda desarrollar sus capacidades relacionadas con el área, conozca y comprenda los conceptos matemáticos para resignificarlos en la resolución de problemas. Las Autoras 1 Índice Capítulo 1 Números Reales (1º parte) 5 Capítulo 2 Funciones 21 Capítulo 3 Razones y Proporciones 53 Capítulo 4 Sistema de Ecuaciones 87 Capítulo 5 Números Reales (2º parte) 99 Capítulo 6 Polinomios 115 Bibliografía 142 Capítulo 1: Números Reales (Primera parte) No es N definir a lo R Los conjuntos numéricos N, Z basándose en lo Q, y Q. porque si te olvidas de El conjunto de los Irracionales lo i no estás mirando el mundo z. El conjunto de los reales Autor desconocido Intervalos en R Inecuaciones 5 En la antigüedad sólo se conocían los números naturales y fraccionarios, los primeros se utilizaron desde que el hombre tuvo la necesidad de contar y los segundos, cuando necesitó fragmentar, dividir la unidad en la que estaba trabajando para realizar mediciones o simplemente repartir sus objetos. Sin embargo, había segmentos, como la diagonal de un cuadrado de lado 1, cuya longitud no era ningún número conocido hasta el momento. Los griegos llamaron inconmensurables a estos segmentos. Y así... nacieron los números irracionales. Revisemos las propiedades de los conjuntos numéricos: Naturales, Enteros y Racionales Los conjuntos numéricos N, Z y Q El siguiente cuadro, sintetiza las características esenciales de los conjuntos numéricos que ya conoces. NNNNNNNNNNN LOS NATURALES NNNNNNNNNNN Para identificar este conjunto se utiliza la letra N N = 1,2,3,4,......... Es un conjunto ordenado. Esto significa que podemos establecer qué número es A todo número natural le corresponde un punto mayor o menor que otro. Siempre es mayor, en la recta. ¿A cualquier punto de la recta le el que se encuentra a la derecha en la recta corresponde un natural? numérica. Es un conjunto discreto. Esto significa que entre Tiene primer elemento, el 1; pero no dos números naturales cualesquiera existe una último. cantidad finita de números naturales. Todo número natural tiene un Repasa las operaciones y sus propiedades consecutivo. ¿Y, todos tienen un anterior? ZZZZZZZZZZZZZZ LOS ENTEROS Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Para identificar este conjunto se utiliza la letra Z Z = ... 3,2,1,0,1,2,3,4,... A todo número entero le corresponde un punto en Es un conjunto ordenado. ¿Cómo se la recta. ¿Todo punto de la recta puede identificarse establece el orden entre los enteros? con un entero? No tiene primero, ni último elemento. Z es un conjunto discreto. Cada número tiene un antecesor y un sucesor. Repasa las operaciones y sus propiedades. 7 QQQQQQQQQQQQ LOS RACIONALES Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Los números racionales son aquellos que Tiene infinitos elementos; pero no tiene ni primero se pueden expresar como cociente de dos ni último. números enteros, es decir como una razón, Es un conjunto denso. Esto significa que entre a dos números racionales cualesquiera existen con b 0. Para identificarlos se utiliza la b infinitos racionales. Como consecuencia: no puede letra Q. hablarse de racionales consecutivos. Los números racionales pueden Es un conjunto ordenado. ¿Cómo comparas dos escribirse como expresiones decimales números racionales? finitas o periódicas. Toda expresión decimal finita o periódica puede expresarse como una A todo número racional le corresponde un punto fracción. sobre la recta numérica, pero no a todo punto le corresponde un racional. Repasa las operaciones y sus propiedades. ACTIVIDADES 1.1 1) Completa colocando o =, según corresponda. Dedícale 2 tiempo a las a) ……. 0,6 b) -2,6 ……. -2,5 c) 0,16 ……. 0,16 actividades 3 propuestas; 11 trabaja en tu d) 3,5 ……. 3,49 e) ……. 1,2 f) -0,5 ……. 0,5 9 carpeta y se prolijo! 2) Resuelve las siguientes operaciones expresando el resultado como fracción irreducible. 1 4 1 a) 0,16 1 2,1 : 1 b) 0, 2 1 5 3 2 2 1 18 0 1 1 3 c) 3 7 2 1 d) 3 1 0,875 2 Presta 4 7 5 4 atención al 1 e) 0,3 : 0,3 1,3 1 0,9 4 5 separar 2 los términos. 175 31 9 1 Rtas: a) b) c) 0 d) e) 81 18 2 2 8 3) Indica cuáles de estos razonamientos son correctos y cuáles no lo son. Justifica tus respuestas. 4 15 4 19 35 8 a) 5 b) 5 8 13 3 3 3 7 4 15 4 20 35 8 c) 5 d) 5 8 40 3 3 3 7 4) Justifica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) Si sumo dos números racionales, la suma es mayor que cada sumando. b) Si multiplico un número racional positivo por 3, el producto es mayor o igual que 3. c) Si divido el número 20 por un número racional positivo, el cociente es menor o igual que 5. d) Si elevo al cuadrado un número racional, la potencia es mayor o igual que ese número. 5) Gasté 1/5 de lo que llevaba en la panadería. De lo que me quedaba aparté $8 para viajar y con el resto compré 4 helados de $10 cada uno. ¿Cuánto llevaba? Rta: $60 6) Un frutero vende su provisión de naranjas de la siguiente forma: la mitad a $7,20 la docena; la quinta parte de lo que queda a $9 la docena, y el resto a $6 la docena, recibiendo en total $503,70. ¿Cuántas docenas de naranjas vendió? Rta: 73 docenas 7) Entre los alumnos que fueron a revisión médica esta mañana, el 40% ya tenía detectada alguna dificultad visual. Entre los que tenían dificultad, el 70% usaba anteojos y el 30% restante, lentes de contacto. Si esta mañana fueron a revisión médica 21 alumnos con anteojos, ¿Cuántos alumnos fueron en total? Rta: 75 alumnos 8) Un comerciante anuncia el 20% de descuento sobre el precio presentado, pero antes cambia los precios marcados en las etiquetas y los aumenta un 20%. ¿Hizo algún descuento? Si es así, ¿de cuánto? 9) Se quieren pintar todas las caras de un cubo. La suma de las longitudes de todas sus aristas es de 3 6 [m]. Si se necesita un litro de pintura por cada 6 [m2], ¿cuántos litros de 5 5 pintura deben comprarse? Rta: 1,8 [l] 10) ABCG es un rectángulo de 72 [cm] de perímetro. H E es la altura del triángulo DEF. a) Sabiendo que A B = 3 B C , plantea y resuelve una ecuación para saber cuánto miden los lados del rectángulo. Rta: 9 [cm] y 27 [cm] 9 b) Teniendo en cuenta ahora que F D = A B y H E = 2 B C , calcula el área de la figura de vértices ABCDEFG. Rta: 486 [cm2] c) En el mismo gráfico, dibuja la circunferencia circunscripta al triángulo FHE. Explica cómo la construiste. ¿Qué nombre recibe el centro de la circunferencia que dibujaste? 11) Ordena de menor a mayor 0; 1, y las siguientes potencias de 10: 102; 10-3; 106; 10-1; 104. 12) Completa con las potencias sucesivas de 10, entre qué están ubicados los siguientes números. a) 10….< 4,5.10-2< 10…. c) 10….< 2.10-1< 10…. e) 10….< 450< 10…. b) 10….< 2,3.102< 10…. d) 10….< 1,2< 10…. f) 10….< 0,23< 10…. 13) Escribe los siguientes números en notación científica, resuelve las operaciones entre ellos y expresa el resultado en notación científica: 0,0028 : 1400 0,000025 14) Observa las siguientes expresiones decimales: a1 = 4,1234567891011121314... a2 = 0,101001000100001000001000000... a3 = -25,308877888777888877778888877777... Descubre cuál es la ley que siguen las cifras de estos números y agrega alguna más. ¿Son números racionales? El conjunto de los Irracionales FORMATO DE PAPEL - DIN 476 La norma DIN 476 del Instituto Alemán de Normalización (Deutsches Institut für Normung en alemán), editada en 1922, trata de los formatos de papel y ha sido adoptada por la mayoría de los organismos nacionales de normalización europeos. Su contenido es equivalente al de la norma internacional ISO 216. El formato de papel de dibujo de la serie-A se basa en los siguientes principios: 10 Los distintos tamaños de papel tienen que tener la misma proporción1 entre su lado mayor y menor. Dos tamaños de papel sucesivos tienen que ser uno el doble de superficie que el otro, de modo que cortando un formato se obtienen dos iguales del formato siguiente. El A0 tiene una superficie de un metro cuadrado. Verifica el primer principio completando la siguiente tabla, redondeando a los milésimos: L Hoja A (ancho en cm) L (largo en cm) A A4 21 29,7 A5 14,85 21 A6 10,5 14,85 A7 7,425 10,5 A8 5,25 7,425 Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que: b 2a a b Esto es: b 2 2a 2 b2 2 a2 2 b 2 a b 2 a El resultado del cociente b/a, ¿es un número entero? ¿Por qué?, ¿es un número racional? ¿Por qué? Si la proporción entre el lado mayor y el lado menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva. 1 El concepto de proporción se desarrolla en el capítulo 3. 11 La irracionalidad de la raíz cuadrada de dos Si elegimos cualquier fracción irreducible, verás que SIEMPRE es equivalente a un número entero, o a un número decimal exacto, o un decimal periódico puro, o un decimal periódico mixto. Vamos ahora a demostrar que el número 2 no es racional, o sea que no puede expresarse como una fracción irreducible. Demostración: El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto, al inicio, era falso. La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 es racional y acabará en algo contradictorio. Si es racional debe ser igual a una fracción que suponemos irreducible, así: p 2 con q0 q En esta fracción, p y q no tienen factores comunes y por tanto son primos entre sí. Elevamos al cuadrado y operando queda: p2 2 2q 2 p 2 2 q Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos: 2q 2 2k 2 q 2 2k 2 Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común. Esa es la contradicción que buscábamos. Conclusión: 2 no es racional. Como vimos la raíz cuadrada de dos y los números a1, a2 y a3 del ítem 14 de las ACTIVIDADES 1.1, no podemos considerarlos racionales dado que no podemos expresarlos como una fracción. A estos números los llamaremos irracionales. 12 I I I I I I I I I I IRRACIONALES I I I I I I I I I I Un número es irracional cuando no puede Es un conjunto denso. Esto significa expresarse como una fracción. que entre dos números irracionales Tienen infinitas cifras decimales no periódicas. cualesquiera existen infinitos Algunos ejemplos de ellos son: irracionales. Como consecuencia: no = 3,141592654... 2 = 1,4142135... puede hablarse de irracionales e = 2,718281828... consecutivos. Para identificar el conjunto de números irracionales se utiliza la letra I. Tiene infinitos elementos; no tiene ni primero ni último elemento. Es un conjunto ordenado. Una representación particular de un número irracional en la recta numérica Para ubicar 2 en la recta numérica, podemos construir un triángulo rectángulo isósceles con catetos de igual longitud que la unidad. Aplicando Pitágoras, la longitud de la hipotenusa del triángulo es 2. Con un compás, y con centro en cero, marcamos un arco de circunferencia de radio igual a la hipotenusa, y así trasladamos su medida a un punto de la recta. De igual manera pueden representarse otros números irracionales como ser 3 ; 1+ 5 , pero éste procedimiento no permite representar todos los números irracionales. Sí podemos asegurar que cada número irracional ocupa un punto de la recta numérica. Esos puntos son “lugares libres” que no están ocupados por racionales. Con esta incorporación la recta numérica queda completa. ACTIVIDADES 1.2 1) Se pueden construir números irracionales escribiendo dígitos que sigan alguna regla no periódica. Descubre qué regla siguen los dígitos de los siguientes números irracionales y agrega algunos más siguiendo la regularidad. a) 1,1121231234123..... b) 2,454554555..... c) 0,3331331133111331111..... d) 1,23571113.... 2) Tanto a = 0,01011011101111..... como b = 0,98988988898888.... son números irracionales, ¿cuánto vale la suma a + b, sabiendo que se mantiene la ley de formación para cada uno de ellos? 13 3) Dada la siguiente representación en la recta numérica, indica que número corresponde al punto a y que número corresponde al punto b. 4) Representa utilizando los elementos de geometría, con la mayor exactitud posible, los siguientes números en la recta numérica. 3 1 1 3 3, , 10 , 17 , 0,3 , 2 , 3 2 , 11 , 2 4 2 5) Justifica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) Si a es un número irracional y b racional, entonces (a + b) es racional. b) Si a es un número irracional y b racional, entonces (a. b) es irracional. c) Si a y b son números irracionales, entonces (a + b) es racional. d) Si a y b son números irracionales, entonces (a. b) es irracional. 6) Observa la siguiente sucesión de triángulos rectángulos llamada Espiral de Arquímedes. a) Construye tres triángulos más en la sucesión. b) ¿En qué pasos del procedimiento la hipotenusa tiene como longitud un número natural? 7) La Sucesión de Fibonacci es aquella sucesión de números en la que cada término es igual a la suma de los dos términos precedentes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así sucesivamente. Esta sucesión fue descubierta por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Los números de Fibonacci tienen interesantes propiedades y se utilizan mucho en matemática. Las estructuras naturales, como el crecimiento de hojas en espiral en algunos árboles, presentan con frecuencia la forma de la sucesión de Fibonacci. a) Calcula siete términos más de la sucesión de Fibonacci. b) Utiliza los quince primeros términos de la sucesión y escribe (usando calculadora) los ocho primeros dígitos de la expresión decimal del cociente entre cada término y el 1 2 3 5 8 inmediato anterior, es decir, de , , , , ,... 1 1 2 3 5 14 1 2 3 5 8 c) Observa que los valores de , , , , ,... se van acercando cada vez más al valor 1 1 2 3 5 del “número de oro” . Cuánto más se avanza por la sucesión de Fibonacci, los cocientes se acercan más al número de oro. 1 5 1,61803398... 2 Busca y mira en internet, videos explicativos donde aparezca el número de oro y/o sus aplicaciones. Te sugerimos: Pato Donald en el mágico mundo de las matemáticas RECUERDA Aproximación por truncamiento: Directamente se eliminan las cifras siguientes a la última que se quiere considerar. Aproximación por redondeo: Si la cifra que se encuentra a la derecha de la posición elegida para aproximar: es mayor que 5 se suma uno a la cifra anterior, y se eliminan todas las cifras siguientes; es menor que 5 queda igual la cifra anterior, eliminándose las siguientes. es igual a 5 debemos observar si la cifra anterior es par o impar, si es par ésta se mantiene igual y si es impar se le suma uno, y en ambos casos se eliminan las cifras siguientes. 8) Aproxima estos números a los milésimos por truncamiento y a los centésimos por redondeo. Por truncamiento Por redondeo Nº a aproximar a los milésimos a los centésimos 2 3 3 17 5 1 22 0,4157 15 9) Calcula el recorrido que realiza la hormiga, para cada caso. Considera que ambos cubos tienen aristas de 1 unidad de longitud. El conjunto de los Reales R R R R R R R R LOS REALES R R R R R R R R El conjunto formado por todos los números R completa la recta numérica. racionales y todos los números irracionales se Esto significa que a cada número real le llama conjunto de números reales y lo identificamos corresponde un punto en la recta con la letra R. numérica y que a cada punto de la recta Es un conjunto con infinitos elementos. numérica le corresponde un número No tiene ni primero ni último elemento. real. Por eso decimos que el conjunto de Es un conjunto ordenado. los números reales es continuo. Es un conjunto denso. Intervalos en R Resuelve las siguientes situaciones: a) Rebeca tiene 8 años menos que Carina. Si las edades de ambas suman menos de 70, ¿Cuántos años como máximo podría tener Rebeca? b) Un corredor de comercio recibe un salario conformado de la siguiente manera: Sueldo fijo: $600 más 17% de comisión por las ventas realizadas. ¿A cuánto deben ascender sus ventas para que su ingreso sea superior a $1500? c) En un bar antes de entrar al colegio 10 alumnos desayunan café con leche y medialunas. Uno de ellos pagó por todos con un billete de $100 y le dieron vuelto. En otra mesa, 4 personas consumieron lo mismo y quisieron pagar con $20 el total y no les alcanzó. Obtiene entre qué valores se encuentra el precio del desayuno. 16 Con las inecuaciones podemos indicar un conjunto de números que cumplen con determinadas condiciones. Veamos otra forma de expresarlo, cuando trabajamos en el conjunto de números reales. En la situación (a), si x representa la edad de Rebeca se podría plantear la siguiente inecuación: x x 8 70 Resolviendo nos queda que: x 31 Si consideramos la edad como una variable continua, la edad de Rebeca puede ser cualquier número real mayor que 0 y menor que 31. Simbólicamente: 0 x 31 Al conjunto formado por todos los números reales comprendidos entre 0 y 31 lo llamamos: Intervalo abierto (0 ; 31) Su representación en la recta numérica es: Los números 0 y 31 son los extremos del intervalo, pero en este caso no pertenecen a él. Por eso, es un intervalo abierto, y lo simbolizamos con paréntesis. Si los extremos de un intervalo pertenecen a éste, lo llamamos intervalo cerrado y lo simbolizamos con corchetes. Por ejemplo: Al conjunto formado por todos los números reales x comprendidos entre 2 y 5 inclusive 2 x 5 lo llamamos: Intervalo cerrado [2 ; 5] Su representación en la recta numérica es: Si uno de los extremos de un intervalo pertenece a éste y el otro no, lo llamamos intervalo semiabierto o semicerrado. Por ejemplo: Al conjunto formado por todos los números reales x que cumplen -3 < x 0,5 lo llamamos: Intervalo semiabierto ( -3 ; 0,5] Su representación en la recta numérica es: 17 Formas de expresar un intervalo Siendo a y b números reales ( a < b ) Intervalo Coloquialmente Por comprensión En la recta numérica x pertenece a los números reales; x es [a; b] {x/x R a x b} menor o igual que b y mayor o igual que a. x pertenece a los números reales; x es [a; b) {x/x R a x < b} menor que b y mayor o igual que a. x pertenece a los números reales; x es (a; b] {x/x R a < x b} menor o igual que b y mayor que a. x pertenece a los números reales; x es (a; b) {x/x R a < x < b} menor que b y mayor que a. x pertenece a los (a; ∞) números reales; x es {x/x R a < x } mayor que a. x pertenece a los (- ∞;b) números reales; x es {x/x R x < b} menor que b x pertenece a los [b; ∞) números reales; x es {x/x R x ≥ b} mayor o igual que b. x pertenece a los (- ∞;a] números reales; x es {x/x R x a} menor o igual que a. x pertenece a los (- ∞;∞) {x/x R} números reales ACTIVIDADES 1.3 1) Representa los siguientes conjuntos de números reales en la recta numérica e indica el intervalo o la inecuación que corresponda en cada caso. a) 1 x 3 c) 3 x 2 e) 4 x 2 b) 0; 3 d) 5;0 f) 2;1 18 2) Una mañana Nicolás escuchó por la radio que, en ese momento, la temperatura era de 4 [ºC] y que durante el día no variaría más de 5 [ºC]. Expresa con un intervalo el conjunto de valores que habría podido tomar la temperatura durante ese día en caso de que el pronóstico se hubiera cumplido. 3) Escribe cada uno de los siguientes intervalos por comprensión y represéntalo en la recta numérica. 3 a) ; 2 c) ; e) ;0 g) 2;5 1 1 b) 2; d) ; 2 f) 0, 3; 4 h) 1,9;3 4 4) A un campamento concurren 48 alumnos: 26 saben cocinar, 16 saben armar carpas y 12 no saben ni cocinar ni armar carpas. a) ¿Cuántos alumnos realizan las dos actividades? b) ¿Cuántos alumnos saben cocinar y no saben armar carpas? c) ¿Cuántos alumnos saben armar carpas y no saben cocinar? 5) En un club, el 50% de los socios juega al fútbol, el 40% juega al tenis y el 10% juega al fútbol y al tenis. ¿Qué porcentaje de los socios no juega ni fútbol ni tenis? 6) Resuelve y representa las siguientes operaciones entre intervalos reales. : Unión entre conjuntos a) ;5 10;0 = d) 5;3 1;8 = : Intersección entre b) 2;0 0;5 = e) ; 2 2; = conjuntos c) ;1 7; = f) 5; ; 4 = 7) Dados los siguientes conjuntos, exprésalos como intervalos si es posible y represéntalos en la recta numérica. a) a N 0 a 6 f) z R 5 z 0 b) b Z 3 b 4 g) m Z 2 m 3 1 c) c R c 3 h) w R w 3 d) d R d 1 i) u R u 1 e) e N 5 e 6 j) t R 8) Para cada una de las siguientes inecuaciones: I) Encuentra el conjunto de números reales que la verifica. II) Expresa coloquialmente el conjunto solución. III) Expresa la solución como intervalo real. 19 IV) Representa la solución en la recta numérica. V) Indica tres números que la verifiquen (uno entero, uno decimal periódico y uno irracional). VI) Indica un número real que no la verifique. 1 3 a) 3. 0,8 x 2 2 . 0, 6 x c) 2b 1 2 3. b 0, 3 e) 2 3. 9 w 1 1, 3w 5 1 a5 b) 8. r r 4 2r d) 2. d 1 1 1, 2 d f) 1, 3 1 a 2 3 25 3 9 41 Rtas III: a) ; b) 0; c) ; d) ; e) 6; f) ; 9 2 5 40 9) Escribe como intervalo el conjunto de números reales que verifica la siguiente inecuación: a) 2+0,5-2 x 1,2x 0, 6 b) 4 w 0,05 0,3 1 w 1 25 2 5b 10 3a 1 1 836 : 87 5 c) d) 2 5 0, 2a 5 4 1 e) –3 (x - 0,1 ) > x : 2 - 3 f) 2 x 1 5x 1 6 3 5 g) 2 x 2,9 0,5 20 4 x 0 h) 8x 6 1,5 4 x 1 4 3 25 6 41 4 Rtas: a) ; b) ; c) ;10 d) ; e) ; 12 175 11 21 98 f) ; g) ; h) no tiene solución 5 10) Justifica si cada uno de los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) El número 2 3 es mayor que 1. b) El siguiente del número 3,5 es el número 3,6. c) El conjunto de números enteros es denso. d) El conjunto de números racionales completa la recta numérica. e) A = {x/x Z -3 < x -2} es un conjunto vacío. 11) En la siguiente recta numérica, ubica justificando el procedimiento, los puntos que corresponden a los siguientes números: 5 y 1+ 2. 20 Capítulo 2: Funciones Sistemas de Referencia Interpretación de gráficos Funciones: directa e inversamente proporcional, lineal. 18 Sistemas de Referencia La Tarjeta de Coordenadas es un método sencillo y efectivo que brinda más seguridad a la hora de operar por Internet; la misma está compuesta de números en forma de grilla, con 9 columnas que van desde la letra “A” hasta la letra “I” y 9 filas de la “1” a la “9”. Además, cada tarjeta posee un número de serie que la identifica y la hace única. Este es un sistema de seguridad innovador para prevenir los dolores de cabeza que causan los robos informáticos. Es sólo uno de los elementos necesarios para la autenticación de las operaciones que se realicen a través de la Banca Internet. Si para autentificar una transacción se solicita las coordenadas B1 y H7, ¿qué números deben escribir? La situación anterior es un ejemplo de un sistema de referencia. Un Sistema de Referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder ubicar objetos en el plano o en el espacio tridimensional. ¿Qué otros sistemas de referencias conoces? Sistema de Coordenadas Cartesianas. En el Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonales, en el plano, se fijan dos ejes perpendiculares que dividen al plano en cuatro cuadrantes. El eje horizontal se denomina eje x o eje de abscisas y el eje vertical se denomina eje y o eje de ordenadas. El punto de intersección de los ejes se llama origen de coordenadas. Cada eje puede tener su propia escala, dependiendo de las situaciones planteadas. Una vez fijado el sistema de referencia, cada punto del plano (cualquiera sea) tiene asignado un par ordenado de números que son sus coordenadas: el primero es su abscisa (es, en valor absoluto, la distancia del punto al eje y) y el segundo es su ordenada (es, en valor absoluto, la distancia del punto al eje x). Ejemplo: El punto que pertenece al I cuadrante está a 3 unidades del eje de ordenadas y a 4 del eje de las abscisas, esto se denota: (3 ; 4). Escribe el par ordenado que se corresponde con los puntos A, B y C. El mundo que nos rodea es tridimensional y a veces es necesario designar los puntos en dicho espacio tridimensional. El sistema cartesiano en el plano (x ; y) puede extenderse hacia tres dimensiones añadiendo una tercera coordenada z. Con el mismo criterio se fijan tres ejes: eje x; eje y; eje z; que se cortan perpendicularmente dos a dos, en un punto, que es el origen de coordenadas. Si (x ; y) es un punto en un plano, entonces el punto (x ; y ; z) es un punto en el espacio tridimensional. En el espacio, un punto se determina mediante: su distancia al plano yz (primer coordenada), su distancia al plano xz (segunda coordenada) y su distancia al plano xy (tercer coordenada). Observa cómo se indica el punto P en este sistema P (3 ; 4 ; 5) Sistema de Coordenadas Polares Además de las coordenadas cartesianas, existe otra forma de determinar la posición de un punto en un plano: es el sistema de coordenadas polares. En este sistema se fijan un punto llamado polo y una recta llamada eje polar. 24 Para ubicar un punto A en este sistema de referencia se determina: la distancia entre el punto A y el polo O, que está indicada en el gráfico con r. y el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj (antihorario), que forma el eje polar y el segmento AO , este ángulo está indicado en el gráfico con la letra griega α. Entonces al punto A lo podemos ubicar en este sistema con dos coordenadas: A ( r ; α) Ejemplo: Ubicamos el punto A en un sistema de coordenadas polares. Observa cómo se indica la posición del punto A en este sistema de coordenadas polares. Uso frecuente de coordenadas polares: Las pantallas de radar muestran la presencia y el movimiento de objetos fuera del alcance de la vista, lo que resulta especialmente útil en la navegación. El equipo electrónico registra el comportamiento de las ondas de radio proyectadas por el barco. Las ondas que no chocan con ningún objeto se dispersan, mientras que las reflejadas denotan la forma y posición de los objetos en el campo de barrido. ACTIVIDADES 2.1 1) Ubica en un mismo sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los puntos: (-3 ; 1), (2 ; 3), (0 ; 7), (5/2 ; 0), (-4 ; -8/3) y (4 ; -7/2). 2) Ubica los puntos (2; 5; 8) y (5; 4; -3) en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional. 3) Ubica los puntos (3; 45º) y (5; 120º) en un sistema de coordenadas polares. 4) a) Indica las coordenadas cartesianas de los vértices del cuadrilátero ABCD. 25 b) Halla la longitud de cada lado. (Redondea los resultados a centésimos) c) Clasifica el cuadrilátero dado. d) Dibuja un cuadrilátero simétrico a ABCD con respecto al eje de las abscisas. 5) Dados los puntos P1 = (x1 ; y1) y P2 = (x2 ; y2) deduce la fórmula que permite calcular la distancia entre dos puntos en el plano. 6) Obtiene la distancia entre los siguientes puntos: a) (-3 ; -1) y (4 ; 2) b) (1/2 ; 7/4) y (8/3 ; 15/2) c) (103 ; 420) y (105 ; 428). 7) Justifica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) El punto P (5,2 ; -2) pertenece al segundo cuadrante. b) En el eje de abscisas se debe utilizar la misma escala que en el eje de ordenadas. c) Si dos puntos tienen la misma ordenada entonces pertenecen al mismo cuadrante. d) Si la abscisa de un punto es 0, entonces el punto pertenece al eje x. e) En un sistema de coordenadas cartesianas el punto (3 ; -2) coincide con el punto (-2 ; 3). f) La distancia entre los puntos (-1 ; -3) y (-2 ; 2) es aproximadamente 5,1. Interpretación de gráficos 4,5 El gráfico muestra un 4,15 4,11 4 Altura del Río Paraná (metros) estudio realizado sobre la 3,5 3,81 3,76 3,49 3,24 3,25 2,85 2,86 altura o profundidad 3 2,59 2,5 promedio del río Paraná, 2,5 2 2,18 con datos registrados 1,5 desde el año 1900 hasta 1 el 2009 en el hidrómetro 0,5 0 del puerto local. Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Set Oct Nov Dic Tiempo Fuente: Diario El Litoral Responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué variables se relacionan? b) ¿En qué etapa del año la altura del río crece? c) ¿Cuál es la altura promedio mínima registrada? 26 d) En mayo del 2009 se decía que la navegación en la zona podría verse afectada dado que la profundidad del río era 1,79 metros. ¿Cuál es la profundidad promedio registrada en esa época, según el estudio realizado?, ¿Cuántos metros por debajo estaba el río? e) En invierno, ¿la altura del río está en ascenso o descenso? En la situación anterior se relacionan las variables tiempo (expresado en meses) y altura del río (en metros). Entre estas dos variables hay una relación de dependencia: la altura depende del tiempo en que se haga el registro. Al tiempo lo llamamos variable independiente; mientras que a la altura la llamamos variable dependiente. A la variable independiente se la representa en el eje horizontal, mientras que a la variable dependiente en el vertical. En los gráficos, generalmente, es más fácil analizar el comportamiento de las variables. Eugenia cuando compra el alimento para su gato, tiene dos opciones: comprarlo suelto a $20 el kilogramo o envasado en bolsas de 1[kg] a $30 cada una. a) ¿Eugenia podrá gastar $60 en cada opción?, ¿Y $100? ¿Por qué? b) Si se considera como variable independiente a la cantidad de alimento, ¿qué valores puede tomar dicha variable en cada opción? ¿Qué costos son posibles en cada opción? c) Representa cada caso en los siguientes sistemas de coordenadas cartesianas. 27 ACTIVIDADES 2.2 1) El siguiente gráfico representa la cantidad de gasoil que hay en el tanque de un coche a lo largo de un viaje de 320 [km]. a) ¿Cuáles son las variables? b) ¿Cuántos litros tenía el depósito a la salida? ¿Y a la llegada? c) ¿En qué kilómetro se encontraba cuando tenía 30 litros? d) ¿Qué sucedió en el kilómetro 100? ¿Y a los 250 [km]? e) ¿A qué distancia cargó mayor cantidad de gasoil? f) ¿Cuántos litros consumió durante el viaje? g) ¿Cuál fue el consumo medio (litros por cada 100 [km]) en este viaje? 2) El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo, en segundos, y el volumen, en decibeles, de una guitarra en una grabación determinada. El oído humano percibe sonidos a volúmenes mayores de 0 [dB]. En dicha grabación por encima de los 50 [dB] suena distorsionado. a) ¿Cuáles fueron los momentos en que la guitarra se escuchó distorsionada? b) ¿De cuántos decibeles fue el mayor volumen? ¿En qué momento se alcanzó? c) ¿En qué instantes el sonido de la guitarra no fue audible? 28 3) La existencia de un nivel de ruido seguro depende esencialmente de dos cosas: del nivel (volumen) del ruido; y durante cuánto tiempo se está expuesto al ruido. El nivel de ruido que permiten las normas sobre ruido de la mayoría de los países es, por lo general, de 85-90 [dB] durante una jornada laboral de ocho horas. Se puede tolerar la exposición a niveles superiores de ruido durante períodos inferiores a ocho horas de exposición como muestra la siguiente tabla. Generalmente a los trabajadores se Tiempo de exposición [h] Nivel de ruido [dB] les debe facilitar protección para los 8 90 oídos y deben rotar, saliendo de las 6 92 zonas de ruido. Aunque se debería 4 95 hacer lo posible para disminuir el 3 97 ruido utilizando controles mecánicos. 2 100 a) Representa gráficamente los datos de la tabla considerando como 1,5 102 variable independiente el Tiempo. 1 105 b) ¿Durante cuánto tiempo puede 1/2 110 estar expuesto un trabajador a 1/4 o menos 115 niveles de ruido superiores a 95 [dB]? c) ¿Resulta un gráfico de trazo continuo o de puntos aislados? ¿Por qué? d) ¿Qué otra información puedes extraer del gráfico? Información extraída de: http://actrav.itcilo.org/osh_es/m%F3dulos/noise/noiseat.htm Funciones A un grupo de estudiantes se les preguntó por la preferencia a ciertas asignaturas y contestaron lo siguiente: Lucía prefiere Lengua y Biología, Pilar no tiene preferencias, Franco prefiere Matemática, Agustín prefiere Historia, Biología y Física, y Lisandro prefiere Lengua y Física. A la relación "...tiene preferencia por..." la podemos representar como se muestra: 29 Otra forma de representarla sería la siguiente: Considerando a cada alumno como elemento de un conjunto (A) y a las asignaturas como elementos de otro conjunto (B): a) ¿Todos los elementos del conjunto Alumnos está relacionado con algún elemento del conjunto Asignatura? b) Con respecto a los elementos del conjunto A que tienen relación con alguno del B, ¿es única? Hemos analizado casos, en donde, dos variables se relacionan de modo que una depende de la otra. Por ejemplo, en el gráfico de la situación inicial, relacionamos el tiempo con la altura del río, y observamos que para cada mes del año le corresponde una única altura. En todos los casos vimos que podemos analizar el conjunto de valores que puede tomar cada variable y ver también si a cada valor de la variable independiente le corresponde uno, varios o ningún valor de la variable dependiente. Es importante cuando se establece una relación entre dos conjuntos identificar, cuáles son dichos conjuntos y si se cumple con una u otra característica de las destacadas últimamente. Una relación definida de un conjunto A en otro conjunto B es función si, y sólo si, a cada elemento del conjunto A le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto B. Conjunto A: son los valores de la variable independiente. Conjunto B: son los posibles valores de la variable dependiente. Establece relaciones entre dos conjuntos, algunas que sean funcionales y otras que no lo sean. Para estudiar la relación funcional f entre dos conjuntos A y B, es necesario definirlos. 30 El conjunto A es el dominio de la función, y lo anotaremos Dom y el conjunto B es su codominio. El conjunto de elementos del codominio que están relacionados con algún elemento del dominio es el conjunto imagen y lo anotaremos C.I. Para designar una función, se suelen utilizar letras como f, g, h, etc, Simbólicamente: f : A B para indicar una función f definida de A a B Para determinar si una relación es función, además de analizar la relación establecida es importante examinar entre qué conjuntos se la define. Es decir, siempre debemos expresar cuál es el dominio, codominio y la relación que se establece. Determina el dominio, codominio y conjunto imagen de las relaciones que sean funciones, trabajadas en el tema Interpretación de gráficos. Analiza si las siguientes relaciones son o no funciones: a) Considerando los conjuntos A = {1,2,3,4}, B = {1,2,4,6,7,8,9} y la relación "es la mitad de". b) Considerando los conjuntos A = {1,2,3}, B = {1,2,4,7,8,9} y la relación "es divisor de". c) Considerando los conjuntos A = {11,20,35}, B = {2,7,8,9} y la relación "es múltiplo de". Observación: De ahora en adelante nos ocuparemos del estudio de funciones definidas en conjuntos numéricos, es decir donde las variables que intervienen en la relación son numéricas. Generalmente, sino se expresa lo contrario, se considerarán funciones definidas de R R o subconjuntos de ellos. Cabe aclarar que debemos prestar atención a la definición del Dominio y Codominio cuando estamos estudiando modelos matemáticos asociados a situaciones de la vida real. Funciones definidas por ecuaciones Muchas veces una función cuyo Dominio y Codominio son conjuntos numéricos puede definirse a través de una ecuación o ley de formación que relaciona sus variables. Por ejemplo el perímetro “p” de un cuadrado en función de la longitud de su lado “x”: Dom = R+ Cod = R+ Relación: p(x) = 4.x Si llamamos p a la función, podríamos escribirla simbólicamente así: p : / p( x ) 4.x Para realizar el gráfico en el plano cartesiano registramos en una tabla algunos pares de valores de la función, para luego representarlos en los ejes cartesianos, teniendo presente siempre que la variable independiente se representa sobre el eje de abscisas y la variable dependiente sobre el eje de ordenadas. 31 Veamos otros ejemplos: Ejemplo 1 Función f: A cada número real le corresponde su cuadrado. ¿Por qué es función? Expresión simbólica: f : R R / y x 2 Variable independiente: x = “un número real” Variable Dependiente: y = “el cuadrado del número x” Dom: ; C.I: 0; Tabla de valores: Gráfico cartesiano: x y = x2 -2 (-2)2=4 -1 (-1)2=1 0 02=0 1 12=1 2 22=4 Ejemplo 2 Función g: A cada número entero le corresponde su módulo, ¿Por qué es función? Expresión simbólica: g: Z R / g ( z ) z Variable independiente: z = “un número entero” Variable Dependiente: g = “el módulo del número entero z” Dom: Z C.I: N0 Tabla de valores: Gráfico cartesiano: z g(z) = z -2 2 2 -1 1 1 0 0 0 1 1 1 Un último ejemplo para analizar: “La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo depende del número de lados del polígono” Definimos la función que determina esta relación de la siguiente manera: 32 S: A B / y = S(n) = 180º(n - 2) donde A = n / n N n 3 y B = y / y N y 180 y: es la variable dependiente n: es la variable independiente S: es el nombre que se le da a la función S(n) se lee: “S de n” y está indicando que según la relación S, a el elemento n le corresponde el elemento y. Si n = 4 y = S(4) = 180º(4 - 2) = 360º, decimos que a n = 4 le corresponde y = 360, o lo que es lo mismo, la imagen de 4 es 360. n S (n)= 180.(n-2) (nº de lados del polígono) (suma de las amplitudes de los ángulos interiores del polígono medido en grados) 3 S(3) = 180º 4 S(4) = 360º 5 S(5) = 540º 6 S(6) = 720º …… ………….. Completa el gráfico con los datos de la tabla anterior De la tabla y la gráfica podemos extraer algunas conclusiones: La imagen de 5 es 540º. El punto (3; 180º) pertenece a la función. La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un hexágono convexo es 720º. El gráfico de la función es un conjunto de puntos aislados. Dom = n / n N n 3 y CI = y / y 180.( n 2) n N n 3 33 ACTIVIDADES 2.3 1) El tiempo que tarda un automóvil (a velocidad Velocidad Tiempo constante y sin detenerse) en llegar a Rosario (240 [km]) depende ( en km/h) (en horas) 20 de la velocidad que lleva. 30 Supongamos que el automóvil lleva una velocidad no menor a 20 40 [km/h] y no mayor a 120 [km/h] 60 a) Completa la tabla, que muestra algunos valores, y grafica la 80 relación entre la velocidad y el tiempo en un sistema de ejes 120 cartesianos. b) ¿Resulta un gráfico con trazo continuo o con puntos aislados? Justifica tu respuesta. c) ¿Qué conclusiones puedes extraer al observar el gráfico? 2) Indica el dominio y una fórmula que defina cada una de las siguientes funciones si se sabe que todas tienen como codominio el conjunto de números reales. Registra en una tabla de valores algunos pares de elementos correspondientes y representa gráficamente. Establece el conjunto imagen. a) A cada número natural le corresponde su triple. b) A cada número real le corresponde el cuadrado de su mitad. c) A cada número real le corresponde como imagen la diferencia entre 4 y el doble del número dado. 3) Un tanque de agua se llena con una bomba en tres horas. El gráfico describe cómo lo hace. a) Indica qué valores toman t (tiempo en horas medido en el eje x) y v (volumen en m 3 medido en el eje y). b) ¿Qué capacidad tiene el tanque? c) ¿Cuántos metros cúbicos por hora se llenan con la bomba? d) Expresa la fórmula que define la función v(t) =………... e) Completa de modo que resulte verdadero: v( 1,5) = ………. v (……..) = 9 v( 2) = ……….. v(………) = 5 4) Un vendedor de aires acondicionados obtiene una comisión de $240 por cada aparato vendido y un sueldo fijo por mes de $4000. a) Escribe una ecuación que permita encontrar el salario total por mes, del vendedor, de acuerdo a la cantidad de aires acondicionados vendidos. b) Si en el mes de enero de 2013 el vendedor obtuvo un sueldo total de $6160, ¿cuántos aparatos de aire acondicionados vendió dicho mes? 34 5) Representa gráficamente la siguiente función y expresa su conjunto imagen. t: 4; 3 R / t ( x ) y 2 x 6) Indica para cada uno de los siguientes enunciados si es verdadero o falso. Justifica tu respuesta. a) Si g: R R / g(w) = 2 w3 6 w , entonces g(-1) = -8. 5 5 b) El punto ( -1; 3) pertenece a la gráfica de función f : R R / f ( x) x 3 3 7) Con fósforos armamos el siguiente esquema: a) Completa la siguiente tabla que relaciona el número de cuadrados (c) con la cantidad de fósforos (f). c 1 2 3 4 5 13 27 f 5 b) Obtiene la ecuación que relaciona la cantidad de fósforos en función de la cantidad de cuadrados. Función de proporcionalidad directa – Función de proporcionalidad inversa I) La relación entre la base y la altura de los rectángulos que tienen 12 [cm2] de área. Si se considera la altura (a) en función de la base (b), se puede definir la siguiente función: a:............../ a(b) ........ , Completa la siguiente tabla de valores y realiza la gráfica correspondiente. Vble Ind. Vble Dep. Base (en cm) Altura (en cm) Su gráfica es una rama de hipérbola. 2/3 1 2 3 4 10 35 II) La relación entre un número real y su cuádruple. Si llamamos f a la función, podríamos escribirla simbólicamente así: f : R R / f ( x) y 4 x , su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas y en su tabla observamos algunas relaciones. x y = 4x -2 -8 -1 -4 0 0 1 4 2 8 3 12 III) La relación entre dos números reales cuyo producto es -30. Si llamamos f a la función, podríamos escribirla simbólicamente así: f : R {0} R / f ( x) y 30 : x x -15 -10 -5 2 5 6 y 2 3 6 -15 -6 -5 La gráfica es una hipérbola. En el ejemplo II) obtuvimos gráficamente una En los ejemplos I) y III) obtuvimos gráficamente recta que pasa por el origen de coordenadas o una hipérbola o puntos de la misma (en caso puntos de la misma (en caso de ser un de que sean puntos aislados o tramos de segmento o puntos aislados). Si xi e yi son hipérbola). valores correspondientes podemos observar Si xi e yi son valores correspondientes que: podemos observar que: y1 y2 y3 x1. y1 x2. y2 x3. y3 ...... a (nº real constante) .... a (nº real constante) x1 x2 x3 a y ax y con x 0 x Funciones cuya ecuación es: Funciones cuya ecuación es: y ax , con a R , a y con a R y x 0 se llaman funciones de proporcionalidad x directa y su gráfica es una recta que pasa por se llaman funciones de proporcionalidad el origen de coordenadas o puntos de la inversa y su gráfica es una hipérbola o puntos misma. de una hipérbola. 36 a) Construye una tabla de valores y representa gráficamente la función f : 0 / f ( x) y 10 / x b) Construye una tabla de valores y representa gráficamente la función f : R R / f ( x) y 0,5 x Utiliza un graficador de funciones (sugerencia: geogebra, graph, graphmatica) y grafica las funciones anteriores para verificar tus representaciones gráficas. Matemática en contexto R. Boyle estudió el efecto de la presión sobre los volúmenes de los gases. En la siguiente tabla se muestran resultados experimentales de cómo varía el volumen de 4 [g] de helio cuando se someten a diferentes presiones a una temperatura constante de 0º [C]. p [atm] v [L] 1,000 22,4 0,809 27,7 0,685 32,7 0,539 41,6 0,355 63,1 a) Observa cómo varían las magnitudes y su representación gráfica. b) ¿Qué ocurre con el producto de los valores que toman las variables, al redondearlo a los décimos? Boyle llegó a la conclusión de que el volumen de una masa dada de cualquier gas a temperatura constante varía de forma inversamente proporcional a la presión a la que se somete. Es decir, el producto de la presión y el volumen de los gases se mantiene constante. p.v k k : constante k p v Investiga cómo se relacionan las variables involucradas en la Ley de Ohm. 37 ACTIVIDADES 2.4 1) Las siguientes tablas muestran valores pertenecientes a funciones. Indica cuál de ellas corresponden a funciones directamente proporcionales. En las que lo sean, halla la constante de proporción y escribe la ecuación correspondiente. a) x y b) x y c) x y d) x y 2 3 10 60 1 2 6 10 4 6 5 30 2 3 12 20 6 8 20 120 3 4 18 20 8 12 15 90 4 5 24 40 2) Representa gráficamente las siguientes funciones. a) f : Z Z / f ( x ) 5.x x b) f : / f ( x) 6 3) Las siguientes tablas muestran valores pertenecientes a funciones. Indica cuál de ellas corresponden a funciones inversamente proporcionales. En las que lo sean, halla la constante de proporción y escribe la fórmula correspondiente. a) x y b) x y c) x y d) x y 2 18 20 16 2 1250 10 7 6 6 40 8 10 250 20 5 4 9 60 6 5 500 30 4 3 6 80 4 25 100 40 3 4 4) Representa gráficamente la siguiente función: f : Z 0 Q / f ( x ) x 5) a) La siguiente tabla se asocia a una b) La siguiente tabla se asocia a una función función directamente proporcional. inversamente proporcional. Complétala con los Complétala con los números que números que correspondan: correspondan: x y x y 15 12 6,3 45 40 4 200 12,6 1,5 3 10 7 90 2,625 6) Determina si las magnitudes: ángulo de visión y distancia focal, son directa, inversamente proporcional o ninguna de las dos anteriores. 38 7) Completa los siguientes enunciados de modo que resulten verdaderos. En un circuito eléctrico, según la ley de Ohm: a) La diferencia de potencial, V, es …………… proporcional a la resistencia, R. b) La intensidad, I, es ………………….. proporcional a la resistencia, R. Ordenada al origen y ceros de una función La ordenada al origen es el valor de la función cuando la variable independiente es 0 (cero). Gráficamente, es la ordenada del punto donde la gráfica de la función corta al eje de ordenadas. Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente para los cuales la función es 0 (cero). Gráficamente, son las abscisas de los puntos donde la gráfica corta al eje de abscisas. Ejemplos: 1) Sea f : R R / f ( x) y 2 x 3 Ordenada al origen: y = f(0) = 2.0+3 = 3, Por lo tanto, la ordenada al origen de f(x) es y = 3. Ceros o raíces: 0 = f(x) Intersección con el eje y: (0 ; 3) 0 = 2x+3 Ordenada al origen: y = 3 -3 = 2x Intersección con el eje x: (-3/2 ; 0) 3 Raíz: x = -3/2 =x 2 ¿Cómo reconocemos en la tabla de valores la ordenada al origen y los ceros de la función? x y = f(x) = 2x+3 0 3 (ordenada al origen) -3/2 (cero de la función) 0 Para la ordenada al origen buscamos un punto del gráfico que esté en el eje y, es decir donde x = 0, entonces esa columna de la tabla nos lo estará indicando. Para los ceros o raíces buscamos los puntos del gráfico que estén sobre el eje x, es decir donde y = 0, entonces las columnas donde y sea 0 nos dirán los valores de x buscados. 39 1 2 2) Sea g: R R / g ( x) y x 2 2 Ordenada al origen: 1 y =g(0) = 02 – 2 = - 2 2 Entonces, la ordenada al origen de g(x) es y = - 2 Ceros o raíces: 0 = g(x) 1 0= x2 – 2 2 1 2 = x2 2 4 = x2 4 x Luego, los ceros o raíces de g(x) son x = -2 y x = 2. En la tabla: 1 x y= x2 – 2 2 -2(cero de la función) 0 0 -2(ordenada al origen) 2(cero de la función) 0 ACTIVIDAD 2.5 Justifica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. En (a) y (b) grafica aún en el caso de no ser necesario para dar la respuesta. x2 a) Las funciones f : R R / f ( x) y y g: R R / g ( x) y x 1 , tienen la misma 2 ordenada al origen. b) La gráfica de la función f : R R / f ( x) y 2 x 2 1 , no tiene ceros o raíces. c) La función h: Z R / h( x) y 2 x 3 , no tiene ceros o raíces. 5 d) x es un cero o raíz de la función h: N R / h( x) y 2 x 5 2 Incrementos El símbolo Δ (delta) es una letra griega que se utiliza para indicar “cambio” o “incremento”, por ejemplo si t es tiempo entonces Δt representa la variación del tiempo que también llamaremos “incremento de t”. Si v es la velocidad, Δv representa la variación de la velocidad, que llamaremos “incremento de v”. En general, Δx significará cambio de la variable x o incremento de x, y también, Δy significará cambio de la variable y o incremento de y. 40 En las actividades anteriores dos de las funciones trabajadas fueron: x2 1 f : R R / f ( x) y , cuya fórmula podríamos escribir también como y x 1 y la 2 2 función f : R R / f ( x) y 2 x 2 1 Sus gráficas y tablas con algunos pares de valores correspondientes son respectivamente las siguientes: 1 x y= x+1 x y= 2x2 + 1 2 -2 9 -3 -1/2 -1 3 -2 0 0 1 -1 1/2 1 3 0 1 2 9 1 3/2 Observamos que en el primer caso que cada vez que x se incrementa en 1 unidad, el incremento de y es constante e igual a 1/2, es decir: El incremento de la variable y se mantiene constante ante el incremento de una unidad de la variable x, no sucede así en el segundo caso. Si construimos una tabla que muestre la relación entre los incrementos observamos que hay una relación de proporcionalidad directa entre ellos, es decir la razón entre los mismos es x y y constante = 1/2, esto es el cociente de los incrementos es x 1 1/2 constante. 2 1 Este valor es precisamente el que aparece en la ecuación de la 3 3/2 función como coeficiente de x. 4 2 Podemos observar entonces que: *La fórmula de la función es de la forma y = a x + b con a = 1/2 y b=1 41 *La gráfica de la función son puntos alineados, en este caso es de trazo continuo y es una recta. *La relación entre los incrementos en la variable independiente ( x) y los incrementos en la y 1 / 2 1 3 / 2 2 1 variable dependiente ( y) es = ...... 0,5 es constante, por x 1 2 3 4 2 lo que podemos asegurar que los incrementos son directamente proporcionales. Matemática en contexto Un móvil que parte desde Santa Fe hacia la ciudad de San Cristóbal (a 180 [km] de Santa Fe aproximadamente) mantiene una velocidad constante de 100 [km/h]. a) Completa la siguiente tabla, donde t representa el tiempo (en minutos) y x la posición del móvil (en kilómetros): t 20 40 60 80 100 x b) ¿Cuánto demora en llegar a San Cristóbal? c) Realiza un gráfico posición - tiempo que represente la situación. Explica tu sistema de referencia. d) Escribe una ecuación que modelice la situación, si se considera al tiempo la variable independiente. Supone que otro móvil sale de la ciudad de Laguna Paiva (a 40 [km] de Santa Fe) con la misma velocidad hacia San Cristóbal a la misma hora que el anterior: e) Realiza un gráfico posición - tiempo que represente la situación en el mismo sistema de coordenadas cartesianas usado en (c). f) ¿Cuánto demora en llegar a San Cristóbal? g) Escribe una ecuación que modelice esta nueva situación. h) Indica dominio y codominio para que las ecuaciones anteriores se correspondan con funciones. i) Ambas, ¿son funciones directamente proporcionales? ¿Por qué? j) ¿Qué sucede con los cocientes x/t en ambos casos? Relaciona con las ecuaciones y gráficos anteriores. Realiza la representación, en un sistema de coordenadas cartesianas, de la posición de un objeto con respecto al tiempo si el mismo lleva velocidad constante v y parte de una posición inicial x0. Escribe la ecuación correspondiente. 42 Función lineal Estamos estudiando un tipo particular de funciones a la que se denomina función lineal. Una función lineal es aquella que se puede definir a través de una ecuación del tipo: f ( x) y ax b donde a y b son números reales cualesquiera. Si la función está definida en el conjunto de los números reales, es decir f : R R , su gráfica es una recta y la ecuación y ax b se llama ecuación explícita de la recta. ¿Cómo sería la gráfica de una función lineal cuando el dominio no es el conjunto de los números reales? Es importante tener presente, en una función lineal, que: *Como su representación gráfica es una recta (o puntos de la misma), con sólo dos puntos que pertenezcan a la función se la podrá representar, conviene tomar un tercero para verificar la gráfica. *Su ordenada al origen será b, ya que y = f (0) = a.0 + b = b, en el ejemplo b = 1 y * = a, en el ejemplo a = 1/2 y se llama pendiente de la recta. x Teorema Enunciado: Dada la función lineal definida por la fórmula: f ( x) y ax b , el cociente entre, los incrementos de la variable dependiente y su correspondiente incremento de la variable independiente, es igual al parámetro “a”. Hipótesis: x1; x2 dos números reales distintos cualesquiera y sea f(x1) = y1, f(x2) = y2 las imágenes de dichos números correspondientes a la función f(x) ( x1 ; y1 ) y (x2 ; y2) son puntos pertenecientes a la función. Tesis: Demostración: f f f ( x2 ) f ( x1 ) ax2 b (ax1 b) a x x x2 x1 x2 x1 ax2 b ax1 b ax2 ax1 a ( x2 x1 ) a x2 x1 x2 x1 x2 x1 43 ACTIVIDADES 2.6 1) Sabiendo que en una función con dominio real, al aumentar 3 unidades la variable independiente, la variable dependiente aumenta 1 unidad: a) Representa un gráfico de infinitos puntos y una tabla con algunos pares de valores que pertenecen a la función. b) Responde las siguientes preguntas: i) ¿Cómo resultan esos puntos? ii) ¿Cuántas gráficas puedes realizar? c) Compara tu gráfica con la de tus compañeros ¿cómo resultan entre sí? d) Si además, la gráfica debe intersecar al eje de ordenadas en el punto (0 ; -2), ¿Cuál sería el gráfico ahora? ¿Puedes obtener la fórmula de cada correspondencia? 2) Genera una tabla de valores que corresponda a una función lineal, verifica con la representación gráfica y obtiene la fórmula. 3) A medida que nos acercamos al centro de la Tierra la temperatura aumenta, por lo tanto, las aguas termales tienen mayor temperatura si provienen de fuentes más profundas. Si cada 30 metros de profundidad aproximadamente, la temperatura asciende 1 [ºC]. a) Completa la siguiente tabla, basándote en la información que en una determinada época del año la temperatura del agua en la superficie (en un lugar específico) es de 15 [ºC]: X (metros de Y(temperatura del profundidad) agua) 0 15º 30 …… 60 …… 1500 …… …… 80 b) Deduce la ecuación que relaciona las variables. 4) Representa gráficamente la función g: R R cuya gráfica pasa por el punto (0 ; 2), la razón de incrementos es constante y y = -3 cuando x = 0,5. Escribe la ecuación de la función. 5) Representa gráficamente la función lineal definida de R en R cuya gráfica pasa por el punto (2 ; -1), la razón de incrementos es constante y y = 5 cuando x = 2. Escribe simbólicamente la función. 6) a) Completa la siguiente tabla correspondiente a una función f : R R sabiendo que: I) Los pares (4 ; 7) y (7 ; 9) pertenecen a la gráfica de f. 44 II) A incrementos iguales de la variable independiente “x” corresponden incrementos iguales de la variable dependiente “y”. x 0 1 2 4 7 y 7 9 10 12 b) Representa gráficamente la función y obtiene su fórmula. Pendiente y ordenada al origen Observemos los gráficos de las siguientes funciones lineales, f : R R / y = f(x)= a.x + b y veamos de qué modo influyen los parámetros a y b en la representación gráfica. f1 (x) = x f2 (x) = ½ x f3 (x) = 3x Conclusiones: *Cuando b = 0, las rectas pasan por el origen de coordenadas. *El parámetro a nos indica la variación que se produce en el eje y (eje de las ordenadas) para cierta variación en el eje x (eje de las abscisas). Gráficamente mide la inclinación de la recta respecto al eje de las abscisas, por ello a éste parámetro se lo llama pendiente. y Recuerda que: a x f1 (x) = -3x +2 f2 (x) = -3x +0,6 f3 (x) = -3x -1 *Por ser el parámetro a igual en las tres funciones lineales, las tres rectas tienen igual inclinación con respecto al eje de abscisas y por ello podemos afirmar que son paralelas. Dos o más rectas, que representen funciones lineales son paralelas, cuando tienen la misma pendiente. *Por ser a < 0, a medida que aumenta x disminuye y, por ello diremos que las funciones lineales son decrecientes en su dominio. 2 f1 (x) = x +2 3 2 f2 (x) = x +0,6 3 2 f3 (x) = x -1 3 45 *Por ser a > 0, a medida que aumenta x, aumenta y, por ello diremos que las funciones lineales son crecientes en su dominio. * Las rectas son paralelas. Un caso particular: Cuando el parámetro a es igual a cero, la función f : R R / y = f(x) = b, con b R cuyo gráfico es una recta paralela al eje x, se llama función constante. Para cualquier valor de x, la imagen de la función es b, por ello CI = b Ejemplo: g: R R / y = g(x) = -1/2, su gráfica es: Representación de una función lineal usando su pendiente y su ordenada al origen Si conocemos la fórmula y = a x + b, ¿cómo podemos representar gráficamente una función lineal con sólo determinar su pendiente y ordenada al origen? Para contestar a esta pregunta, analizamos la siguiente función lineal: 2 f : R R / y = f(x) = 3 x -1 a) Determina sus parámetros: ordenada al origen y pendiente. b) ¿Cuál es la mínima cantidad de puntos que necesitas para graficarla? Justifica. c) La ordenada al origen nos permite ubicar el primer punto en el sistema de ejes cartesianos, este es ( … , …). Ubícalo en el siguiente sistema de ejes. y d) Ten en cuenta también, el significado y el valor de la pendiente ( a ). Ahora ubica el x segundo punto necesario para dibujar la recta. 46 ACTIVIDADES 2.7 1) Miguel está haciendo la tarea de matemática. Su profesora le pidió que representara gráficamente la función cuya fórmula es 2x + 3y = 5; con dominio en el conjunto de números reales. a) ¿Podrá Miguel obtener una recta en su representación gráfica? b) Si es así ¿cuál es su pendiente? c) Como Miguel participa mucho en clase, además le dijo a la profesora que es una función creciente. ¿Qué te parece que le dijo la profe, lo felicitó o le pidió que vuelva a estudiar un poco más? 2) Indica cuáles de las siguientes ecuaciones definen funciones lineales en R, justifica: I) y 3 x 1 II) 2 1,5 x 4 y III) 3x.x y 2 IV) 2x + y = 0 a) Representa gráficamente la que corresponda a una función lineal. b) Indica la pendiente, la ordenada al origen y el cero de la función. 2 x 3) Dada la función f: / f ( x) 3 a) ¿Se puede afirmar que es una función lineal? Justifica. b) ¿Es creciente o decreciente? ¿Por qué? c) Representa gráficamente. d) Halla f( -2) e) Halla analíticamente su cero o raíz. 4) Investiga si entre las siguientes, hay ecuaciones que correspondan a rectas paralelas. Justifica tu respuesta. a) y = - 3x + 8 b) 3x + 2y = -6 c) 6x + 2y = 8 d) y = -3 (x + 1) +x + 2 e) 2x + y = 5 5) Varios amigos deciden ir a un camping y llevan una cuerda para delimitar su territorio. Se colocan junto a un riachuelo por lo que el sector rectangular que forman con los 50 [m] de cuerda sólo tiene tres lados. Observa la figura de análisis donde a es el ancho e y es el largo del sector. a) Si deciden formar un sector de 15 [m] de ancho, ¿cuál será su longitud? b) ¿Cómo cambia la longitud cuando varía el ancho? c) Realiza una tabla con algunos valores que indiquen como varía la longitud cuando varía el ancho. d) Representa en ejes cartesianos los pares de puntos obtenidos en el inciso anterior. Responde: ¿Es una gráfica de puntos aislados?. ¿Por qué? e) Define la función asociada a la representación del ítem (d). f) Dicha función, ¿es función lineal? ¿Por qué? 47 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1) Una empresa de venta de computadoras ofrece a sus vendedores dos opciones de contrato salarial: Opción A: Un sueldo fijo de $ 3500 mensuales. Opción B: Un sueldo fijo de $2000 mensuales, más una comisión de $ 250 por cada computadora vendida. a) Encuentra la fórmula que permite obtener el sueldo mensual del vendedor, en función de la cantidad de computadoras vendidas, para cada opción. b) Si vende 8 computadoras en un mes, ¿qué opción le conviene a los vendedores? c) Un vendedor ha cobrado este mes $ 4750. ¿Cuántas computadoras ha vendido? d) Representa gráficamente las dos situaciones en un mismo sistema de ejes coordenados. e) ¿A partir de qué número de computadoras vendidas, le interesa a un vendedor la segunda opción? 2) Señala cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta definida por cada función: I) f : R R / f(x) = y = -2x +3 a) (0 ; 0) b) (-3 ; 9) c) (0 ; 3) d) (0,5 ; -1) e) (3/4 ; 3/2) II) f : R R / f(x) = y = -3 a) (0 ; -3) b) (-3 ; 0) c) (-3 ; -3) 3) Halla la pendiente de las funciones lineales asociadas a las rectas que contienen a los lados del triángulo ABC. 4) ¿Cuál es la fórmula de la función lineal graficada en el siguiente sistema de coordenadas? Ecuación Punto - Pendiente de la función lineal y - y1 = a(x - x1) a: pendiente (x1 ; y1) coordenadas de un punto de la función Esta forma de expresar la función puede transformarse a la forma explícita. 5) Calcula el valor de la pendiente de la recta y=ax+3, si el área del triángulo sombreado en la figura, es 12 [m2]. 6) La Ley de Hooke (más conocida como Ley del Resorte) establece la relación que existe entre la fuerza “F” aplicada a un resorte y el estiramiento “e “producido en éste. La siguiente tabla de valores responde a dicha Ley para un resorte determinado: F [dyn] 10 15 20 45 50 e [cm] 2 3 4 9 10 48 I) Responde: a) ¿Las magnitudes son directamente proporcionales?, ¿Por qué? b) ¿La relación entre dichas magnitudes se corresponde con un modelo lineal?, ¿Por qué? II) Escribe la ecuación que relaciona la fuerza aplicada y el estiramiento, considerando como variable independiente a este último. 7) La siguiente tabla muestra algunos valores de la relación entre la cantidad de litros de agua de un tanque que ha sufrido una fisura y el tiempo: tiempo (días) 1 3 7 8 10 cant. de agua (litros) 280 240 160 140 100 a) Obtiene la ecuación que modelice la relación planteada. b) Indica dominio y codominio para que la ecuación anterior se corresponda con una función donde la variable independiente sea el tiempo. c) Responde: i) ¿La función definida en b) es inversamente proporcional? ¿Por qué? ii) ¿La función definida en b) es lineal? ¿Por qué? iii) ¿Cuál es la pérdida (litros por día) originada por la fisura? iv) ¿Cuántos litros tenía el tanque antes de originarse la fisura? v) ¿Cuántos días pasan hasta que se vacíe el tanque? d) Representa la función en un sistema de coordenadas cartesianas e indica el conjunto imagen. 8) Un ciclista sale a pasear describiendo una trayectoria en línea recta. Algunas de las medidas que se tomaron durante 2 [h] a cerca de su posición en diferentes instantes de tiempo se muestran en la siguiente tabla: Posición: x [km] 3 7 19 35 Tiempo. t [min] 20 30 60 100 I) Responde: a) ¿El ciclista realiza un M.R.U.? ¿Por qué? b) ¿Cuál es su velocidad? c) ¿Cuál es su posición transcurridos 12 [min]? d) ¿Las magnitudes Posic
