Math 3 Lit - Secondary School Textbook PDF

‫ﺍﻝﺠﻤﻬﻭﺭﻴﺔ ﺍﻝﺠﺯﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻝﺩﻴﻤﻘﺭﺍﻁﻴﺔ ﺍﻝﺸﻌﺒﻴﺔ‬ ‫ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﺔ ﺍﻝﻭﻁﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﺴﻨﺔ ﺍﻝﺜﺎﻝﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻝﺜﺎﻨﻭﻱ ﺍﻝﻌﺎﻡ ﻭﺍﻝﺘﻜﻨﻭﻝﻭﺠﻲ‬ ‫ﺍﻝﺸﻌﺏ‪:‬‬ ‫
ﺁﺩﺍﺏ ﻭﻓﻠﺴﻔﺔ‬ ‫
ﻝﻐﺎﺕ ﺃﺠﻨﺒﻴﺔ‬...

‫ﺍﻝﺠﻤﻬﻭﺭﻴﺔ ﺍﻝﺠﺯﺍﺌﺭﻴﺔ ﺍﻝﺩﻴﻤﻘﺭﺍﻁﻴﺔ ﺍﻝﺸﻌﺒﻴﺔ‬ ‫ﻭﺯﺍﺭﺓ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﺔ ﺍﻝﻭﻁﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﺴﻨﺔ ﺍﻝﺜﺎﻝﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻝﺜﺎﻨﻭﻱ ﺍﻝﻌﺎﻡ ﻭﺍﻝﺘﻜﻨﻭﻝﻭﺠﻲ‬ ‫ﺍﻝﺸﻌﺏ‪:‬‬ ‫
ﺁﺩﺍﺏ ﻭﻓﻠﺴﻔﺔ‬ ‫
ﻝﻐﺎﺕ ﺃﺠﻨﺒﻴﺔ‬ ‫ﺇﺸﺭﺍﻑ ﻭ ﺘﺄﻝﻴﻑ‬ ‫ﻤﻔﺘﺵ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻝﺘﻜﻭﻴﻥ‬ ‫ﺠﻤﺎل ﺘﺎﻭﺭﻴﺭﺕ‬ ‫ﺍﻝﻤﺅﻝﻔﻭﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﻔﺘﺵ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻝﺘﻜﻭﻴﻥ‬ ‫↵ ﻤﺤﻤﺩ ﻓﺎﺘﺢ ﻤﺭﺍﺩ‬ ‫ﻤﻔﺘﺵ ﺍﻝﺘﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻝﺘﻜﻭﻴﻥ‬ ‫↵ ﻤﺤﻤﺩ ﻗﻭﺭﻴﻥ‬ ‫ﺃﺴﺘﺎﺫ ﺍﻝﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻝﺜﺎﻨﻭﻱ‬ ‫↵ ﻋﺒﺩ ﺍﻝﺤﻔﻴﻅ ﻓﻼﺡ‬ ‫ﺃﺴﺘﺎﺫ ﺍﻝﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻝﺜﺎﻨﻭﻱ‬ ‫↵ ﻋﺒﺩ ﺍﻝﻤﺅﻤﻥ ﻤﻭﺱ‬ ‫ﺃﺴﺘﺎﺫ ﺍﻝﺘﻌﻠﻴﻡ ﺍﻝﺜﺎﻨﻭﻱ‬ ‫↵ ﻏﺭﻴﺴﻲ ﺒﻠﺠﻴﻼﻝﻲ‬ ‫ﺍﻝﺩﻴﻭﺍﻥ ﺍﻝﻭﻁﻨﻲ ﻝﻠﻤﻁﺒﻭﻋﺎﺕ ﺍﻝﻤﺩﺭﺴﻴﺔ‬ ‫‪2007‬‬  ‫ﺑﺴﻢ ﺍﷲ ﺍﻟﺮﺣﻤﺎﻥ ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ‬ ‫ﻤﺩﺨل‬ ‫ﺃﻋﺩ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻜﺘﺎﺏ ﺍﺴﺘﺠﺎﺒﺔ ﻝﻤﺘﻁﻠﺒﺎﺕ ﺍﻝﻤﻨﻬﺎﺝ ﺍﻝﺠﺩﻴﺩ ﺍﻝﺨﺎﺹ ﺒﺎﻝﺴﻨﺔ ﺍﻝﺜﺎﻝﺜـﺔ ﻤـﻥ ﺍﻝﺘﻌﻠـﻴﻡ‬ ‫ﺍﻝﺜﺎﻨﻭﻱ ﺍﻝﻌﺎﻡ ﻭ ﺍﻝﺘﻜﻨﻭﻝﻭﺠﻲ ﺍﻝﺨﺎﺹ ﺒﺸﻌﺒﺘﻲ ﺍﻵﺩﺍﺏ ﻭ ﺍﻝﻔﻠﺴﻔﺔ ﻭ ﺍﻝﻠﻐﺎﺕ ﺍﻷﺠﻨﺒﻴﺔ ﺍﻝﺫﻱ ﺸـﺭﻉ‬ ‫ﻓﻲ ﺘﻁﺒﻴﻘﻪ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺍﻝﺩﺨﻭل ﺍﻝﻤﺩﺭﺴﻲ ‪. 2008 – 2007‬‬ ‫ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﺇﻝﻰ ﺍﻻﺤﺘﺭﺍﻡ ﺍﻝﺘﺎﻡ ﻝﻠﻤﻨﻬﺎﺝ ﻓﻘﺩ ﺤﺎﻭﻝﻨﺎ ﺍﻝﻌﻤل ﺒﻤﺨﺘﻠﻑ ﺍﻝﺘﻭﺠﻴﻬﺎﺕ ﺍﻝﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻴـﻪ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﺤﺭﺼﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺘﺠﺴﻴﺩ ﺍﻝﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﺒﺎﻝﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻝﺘﻲ ﺒﻨﻲ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺃﻨﺸﻁﺔ ﻤﻨﺎﺴـﺒﺔ‬ ‫ﺴﻭﺍﺀ ﻋﻨﺩ ﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻤﺨﺘﻠﻑ ﺍﻝﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺃﻭ ﻋﻨﺩ ﺇﺩﻤﺎﺠﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﺤﻅﻲ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘﻜﻨﻭﻝﻭﺠﻴﺎﺕ ﺍﻹﻋﻼﻡ‬ ‫ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل ﺒﺎﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺍﻝﻼﺯﻡ‪.‬‬ ‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺍﻝﻜﺘﺎﺏ ﻋﻠﻰ ﺴﺘﺔ )‪ (6‬ﺃﺒﻭﺍﺏ ﺘﻤﺕ ﻫﻴﻜﻠﺘﻬﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻝﻜﻴﻔﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻨﺤﻭ ﺍﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬ ‫ ﻋﺭﺽ ﻝﻠﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻝﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ﺇﻀﺎﻓﺔ ﺇﻝﻰ ﻨﺒﺫﺓ ﺘﺎﺭﻴﺨﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﺍﻝﺩﺭﺱ‪.‬‬ ‫ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻭ ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻝﺔ‪.‬‬ ‫ ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ‪.‬‬ ‫ ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ‪.‬‬ ‫ ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺴﺎﺌل‪.‬‬ ‫ ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ‪.‬‬ ‫ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺠﻌل ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻜﺘﺎﺏ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﻋﻤل ﻤﻤﺘﻌﺔ ﻭ ﻨﺎﺠﻌﺔ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪ ،‬ﻨﺘﻤﻨﻰ ﺃﻥ‬ ‫ﻴﺴﻤﺢ ﻝﻜﻡ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﺤﻀﻴﺭ ﺍﻝﺠﻴﺩ ﻻﻤﺘﺤﺎﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻝﺴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻜﻭﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻌﻤل ﺇﻨﺠﺎﺯﺍ ﺒﺸﺭﻴﺎ ﻓﺈﻨﻪ ﻻ ﻴﺨﻠﻭ ﻤﻥ ﺍﻝﻨﻘﺎﺌﺹ‪ ،‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺭﺤﺏ‪ ،‬ﺒﻜل ﺍﻫﺘﻤـﺎﻡ‪،‬‬ ‫ﺒﺎﻨﺘﻘﺎﺩﺍﺕ ﺍﻝﻘﺭﺍﺀ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻬﺩﻑ ﺇﻝﻰ ﺇﺜﺭﺍﺀ ﻭ ﺘﺤﺴﻴﻥ ﺍﻝﻜﺘﺎﺏ ﻭ ﻫﻡ ﻤﺸﻜﻭﺭﻭﻥ ﻤﺴﺒﻘﺎ ﻋﻠﻰ ﺫﻝﻙ‪.‬‬  ‫‪.1‬ﺍﻝﺩﻭﺍل‪:‬‬ ‫‪.I‬ﺘﻤﺜﻴل ﺩﺍﻝﺔ ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﺩﺍﻝﺔ ‪ f‬ﺍﻝﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℝ‬ﺒـ ‪f ( x ) = x3 − x 2 − 2 :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪. II‬ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻝﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ α‬ﻝﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻝﻤﻨﺤﻨﻲ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻝﻔﻭﺍﺼل‪:‬‬ ‫ﺍﻀﻐﻁ ﻤﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻋﻠﻰ‬ ‫‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺃﻜﺒﺭ‬ ‫‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل‬ ‫‬ ‫‬ ‫ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪α ≈ 1, 6956208‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ α‬ﺜﻡ ﺍﻨﻘﺭ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻓﺎﺼﻠﺔ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﻥ ‪α‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﻨﻘﺭ‬ ‫‪.2‬ﺍﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺸﻜل )‪un = f (n‬‬ ‫ ﻨﻤﺜل ﺍﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) ‪ (un‬ﺍﻝﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℕ‬ﺒـ‪un = 2n 2 − n − 3 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫ﻭ ﻝﻜﺘﺎﺒﺔ ‪n‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﻭﻨﺤﺩﺩ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ‪seq‬‬ ‫‬ ‫ﻭ ﻨﺘﻤﻤﻡ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Y max = 100 ، Y min = −5‬‬ ‫ﻭ ‪Y scl = 5‬‬  ‫‪.3‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﻌﻼﻗﺔ ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ﻨﻤﺜل ﺍﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) ‪ (un‬ﺍﻝﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ℕ‬ﺒـ‪ u0 = 5 :‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪un = un −1 + 1 ، n ≥ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻝﻨﺎﻓﺫﺓ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫ﻭﻨﺨﺘﺎﺭ ‪web‬‬ ‫ﺜﻡ‬ ‫ﻭﻨﺤﺩﺩ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ‪،seq‬‬ ‫‪،‬ﻝﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ u‬ﻨﻀﻐﻁ‬ ‫ﺜﻡ ‪7‬‬ ‫‪.4‬ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ‪:‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﺴﻠﺴﻠﺔ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻝﻜﺘﻠﺔ )‪(g‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪700‬‬ ‫ﺍﻝﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪40‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪57‬‬ ‫ﺍﻨﻘﺭ‬ ‫‬ ‫ﻹﻅﻬﺎﺭ ﺴﻠﺴﻠﺔ‬ ‫‬ ‫ﻹﺘﻤﺎﻡ ﺍﻝﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻹﺠﻤﺎﻝﻲ‬ ‫‬ ‫‪EDIT‬‬ ‫‬ ‫ﻓﺘﺴﺠل ﺍﻝﻨﺘﺎﺌﺞ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻓﻲ ‪، L4‬‬ ‫ﻓﻲ ‪: L3‬‬ ‫ﻭ ﺍﺘﻤﻡ ﺍﻝﻘﻭﺍﺌﻡ‬ ‫ﺍﻝﻌﻤﻭﺩ ‪L4‬‬ ‫ﺤﺩﺩ ‪ L4‬ﺜﻡ‬ ‫‪MATH5‬‬ ‫‪(L2)2‬‬ ‫‪ (L3)3‬ﺜﻡ )‪(1‬‬ ‫‪(L2) 2‬‬ ‫)(‪Sum‬‬ ‫‪.5‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻝﻤﻘﺎﻴﻴﺱ‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪1 (CALC‬‬ ‫‬ ‫ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪ Q1 ، σ X ، X‬ﻭ ‪Q3‬‬ ‫‪L2 ، L1‬‬  ‫ﺍﻝﺼﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﻷﺒﻭﺍﺏ‬ ‫ﺍﻝﺼﻔﺤﺔ‬ ‫ﺍﻷﺒﻭﺍﺏ‬ ‫ﺍﻝﺒﺎﺏ‪ :4‬ﺍﻝﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺍﻝﺒﺎﺏ‪ :1‬ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪ℤ‬‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪68.................................................‬‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪8..................................................‬‬ ‫ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ‪70....................................‬‬ ‫ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ‪10....................................‬‬ ‫ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪76........................................‬‬ ‫ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪18.........................................‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ‪78.....................................‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ‪20......................................‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ‪80..................................................‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ‪22...................................................‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ ‪86.....................................‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ ‪28......................................‬‬ ‫ﺍﻝﺒﺎﺏ‪ :5‬ﺍﻝﺩﻭﺍل ﺍﻝﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﺒﺎﺏ‪ :2‬ﺍﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎﺕ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪88.................................................‬‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪30.................................................‬‬ ‫ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ‪90....................................‬‬ ‫ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ‪32....................................‬‬ ‫ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪94........................................‬‬ ‫ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪40.........................................‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ‪96.....................................‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ‪42......................................‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ‪98..................................................‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ‪44...................................................‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ ‪104...................................‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ ‪48......................................‬‬ ‫ﺍﻝﺒﺎﺏ‪ :6‬ﺍﻹﺤﺼﺎﺀ ﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻝﺒﺎﺏ‪ :3‬ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻝﺔ‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪106...............................................‬‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪50.................................................‬‬ ‫ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ‪108..................................‬‬ ‫ﺩﺭﻭﺱ ﻭ ﻁﺭﺍﺌﻕ ‪52....................................‬‬ ‫ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪116.......................................‬‬ ‫ﺃﻋﻤﺎل ﻤﻭﺠﻬﺔ ‪56.........................................‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ‪118....................................‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻝﻠﺒﻜﺎﻝﻭﺭﻴﺎ ‪58......................................‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ‪120.................................................‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ‪60...................................................‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ ‪128....................................‬‬ ‫ﺍﺨﺘﺒﺭ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺘﻙ ‪66......................................‬‬  ‫ﺍﻝﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻝﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺤﺎﺼل ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻭ ﺒﺎﻗﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩ ﺒﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﻴﻥ ﻝﻌﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺘﻭﺍﻓﻕ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻝﻬﺎ ﻓﻲ ﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻝﺘﺭﺍﺠﻊ ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺼﺤﺔ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ا‪ :‬ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻹﻨﺴﺎﻥ ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ ) ‪ (CRY PTOGRAPHIE‬ﻤﻨﺫ ﻨﺤﻭ ﺃﻝﻔﻲ ﻋﺎﻡ ﻗﺒل ﺍﻝﻤﻴﻼﺩ ﻝﺤﻤﺎﻴﺔ‬ ‫ﺭﺴﺎﺌﻠﻪ ﺍﻝﺴﺭﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺒﻠﻎ ﻫﺫﺍ ﺍﻻﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺫﺭﻭﺘﻪ ﻓﻲ ﻓﺘﺭﺍﺕ ﺍﻝﺤﺭﻭﺏ ﺨﻭﻓ ﹰﺎ ﻤﻥ ﻭﻗﻭﻉ ﺍﻝﺭﺴﺎﺌل ﺍﻝﺤﺴﺎﺴﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺃﻴﺩﻱ ﺍﻝﻌﺩﻭ‪.‬ﻭﻗﺎﻡ ﻴﻭﻝﻴﻭﺱ ﻗﻴﺼﺭ ﺒﺘﻁﻭﻴﺭ ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺘﻪ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﺍﻝﻤﻌﺭﻭﻓﺔ ﺒﺎﺴﻡ ﺸﻔﺭﺓ ﻗﻴﺼﺭ ﺍﻝﺘﻲ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﻨﺼ‪‬ﺎ ﻤﺸﻔﱠﺭﹰﺍ ﻝﺘﺄﻤﻴﻥ ﺍﺘﺼﺎﻻﺘﻪ ﻭﻤﺭﺍﺴﻼﺘﻪ ﻤﻊ ﻗﺎﺩﺓ ﺠﻴﻭﺸﻪ‪.‬‬ ‫ﺍﻋﺘﻤﺩ ﺍﻝﻘﻴﺼﺭ ﻓﻲ ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﻜل ﺤﺭﻑ ﺒﺤﺭﻑ ﺁﺨﺭ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺨﻁﻴﺔ ﻝﻜل ﺍﻝﺤﺭﻭﻑ‪.‬ﻓﻤﺜﻼ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﺤﺭﻭﻑ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻋﻭﻀﻨﺎ ﺍﻝﺤﺭﻑ ﺍ‬ ‫ﺒﺎﻝﺤﺭﻑ ﺩ‪ ،‬ﻨﻌﻭﺽ ﺍﻝﺤﺭﻑ ﺏ ﺒﺎﻝﺤﺭﻑ ﻫـ‪ ،‬ﺍﻝﺤﺭﻑ ﺝ ﺒﺎﻝﺤﺭﻑ ﻭ ﺇﻝﺦ‪...‬‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻡ‬ ‫ل‬ ‫ﻙ‬ ‫ﻱ‬ ‫ﻁ‬ ‫ﺡ‬ ‫ﺯ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻩ‬ ‫ﺩ‬ ‫ﺝ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺃ‬ ‫ﻑ‬ ‫ﻉ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻡ‬ ‫ل‬ ‫ﻙ‬ ‫ﻱ‬ ‫ﻁ‬ ‫ﺡ‬ ‫ﺯ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻩ‬ ‫ﺩ‬ ‫ﻍ‬ ‫ﻅ‬ ‫ﺽ‬ ‫ﺫ‬ ‫ﺥ‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺕ‬ ‫ﺵ‬ ‫ﺭ‬ ‫ﻕ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﻑ‬ ‫ﻉ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺝ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺃ‬ ‫ﻍ‬ ‫ﻅ‬ ‫ﺽ‬ ‫ﺫ‬ ‫ﺥ‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺕ‬ ‫ﺵ‬ ‫ﺭ‬ ‫ﻕ‬ ‫ﺹ‬ ‫
ﻓﻙ‪ ،‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺸﻔﺭﺓ ﻗﻴﺼﺭ‪ ،‬ﺍﻝﺭﺴﺎﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪ :‬ﺩ ﺱ ﻕ ﻉ ﺱ ﻉ ﺭ ﺫ ﺩ ﻙ ﺩ ﺱ ﻑ ﻭ ﺩ ﻙ‪.‬‬ ‫ﺃﻜﺘﺏ‪ ،‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺸﻔﺭﺓ ﻗﻴﺼﺭ‪ ،‬ﺭﺴﺎﻝﺔ ﺇﻝﻰ ﺼﺩﻴﻘﻙ‪.‬‬ ‫
‬ ‫‪7‬‬  ‫اط ا
ول‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ : 1‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻨﻪ ﺘﺎﻡ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻝﻤﺠﻤﻭﻉ ﻜل ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﺍﻝﻤﻭﺠﺒﺔ ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ﻨﻔﺴﻪ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ‪ 6‬ﻋﺩﺩ ﻜﺎﻤل ﻷﻥ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﺍﻝﻤﻭﺠﺒﺔ ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ ‪ 3 ، 2 ، 1‬ﻭ ‪ 6‬ﻭ ﻝﺩﻴﻨﺎ ‪. 1 + 2 + 3 = 6‬‬ ‫‪.1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 28‬ﻭ ‪ 496‬ﻜﺎﻤﻼﻥ‪.‬‬ ‫‪.2‬ﻗﺎﺭﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 27‬ﻭ ‪ 30‬ﺒﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ﺍﻝﻤﻭﺠﺒﺔ ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ﻨﻔﺴﻪ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ : 2‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﺃﻨﻬﻤﺎ ﻤﺘﺤﺎﺒﺎﻥ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻝﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻝﻤﻭﺠﺒﺔ ﻷﺤﺩﻫﻤﺎ ﻤﺎ ﻋﺩﺍ ﻨﻔﺴﻪ‬ ‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻝﻶﺨﺭ ﻭ ﺍﻝﻌﻜﺱ‪.‬‬ ‫‪.3‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 220‬ﻭ ‪ 284‬ﻤﺘﺤﺎﺒﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﻫل ﺘﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻲ " ﻝﻴﻴﻭﻨﺎﺭﺩ ﺃﻭﻝﺭ" ﻗﺩ ﺒﺭﻫﻥ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻹﻋﻼﻡ‬ ‫ﺍﻵﻝﻲ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 2305843008139 952128‬ﻋﺩﺩ ﻤﺜﺎﻝﻲ‪.‬‬ ‫" ﻝﻴﻴﻭﻨﺎﺭﺩ ﺃﻭﻝﺭ" ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﺍﻝﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻝﺫﻴﻥ ﻋﺭﻓﻬﻡ ﺍﻝﺘﺎﺭﻴﺦ ‪ ،‬ﺍﺴﺘﻘ ‪‬ﺭ ﻓﻲ ﺍﻝﺒﺩﺍﻴﺔ ﺒﹻ‬ ‫ﺴﺎﻥ ﺒﻴﺘﺭﺴﺒﻭﺭﻕ ﺜﻡ ﻓﻲ ﺒﺭﻝﻴﻥ ﺴﻨﺔ ‪ 1741‬ﺤﻴﺙ ﺘﺭﺃﺱ ﺃﻜﺎﺩﻴﻤﻴﺔ ﺍﻝﻌﻠﻭﻡ ﺇﻝﻰ‬ ‫ﻏﺎﻴﺔ ‪. 1766‬‬ ‫   ا  ‪ ،‬ا  ء و ا ت و ه ‪ %#‬أ ‪'( !"#‬ع‬ ‫ا ' ‪*0‬ت ا ‪ ( .-‬ا ‪ *,-‬ا ‪ )*+‬و ا ‪3‬د‪1‬ت ا ‪. *0)-‬‬ ‫‪EULER Leonhard‬‬ ‫‪Suisse, 1707-1783‬‬ ‫اط ا ‬ ‫‪137‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.1‬ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﻤﻨﻬﺠﻴﺔ ﺍﻝﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪b‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﺤﺎﻝﺘﻴﻥ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∗ ‪ a = 676‬ﻭ ‪. b = 13‬‬ ‫∗ ‪ a = 312‬ﻭ ‪، b = 46‬‬ ‫ ها‪137 = 12 ×11 + 5 :‬‬ ‫‪.2‬ﺃﺤﺼﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﺒﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﻴﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪b‬‬ ‫  ‪ 12  137‬ه ‪.11‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﺤﺎﻝﺘﻴﻥ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫  ‪ 12  137‬ه ‪.5‬‬ ‫∗ ‪ a = 2007‬ﻭ ‪. b = 16‬‬ ‫∗ ‪ a = 170‬ﻭ ‪، b = 29‬‬ ‫‪.3‬ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 660‬ﻭ ‪ 366‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 660‬ﻭ ‪ 366‬أ ان د ‪ 7‬و  ] ‪. 660 ≡ 366 [ 7‬‬ ‫ه ا دان ‪ 153‬و ‪"# 2008‬ا!ن د ‪ 5‬؟‬ ‫ ‬ ‫ه ا دان ‪ 274‬و ‪"# 69‬ا!ن د ‪ 3‬؟‬ ‫ ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a = 234‬ﻭ ‪ b = 146‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﺎﻥ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪. n = 11‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a − b‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬؟‬ ‫ ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a = 174‬ﻭ ‪ b = 109‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﺎﻥ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪. n = 13‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a − b‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬؟‬ ‫ ‬ ‫ﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻨﺎ‪.‬‬ ‫‪8‬‬  ‫اط ا ‬ ‫ﻨﺫﻜﺭ ﺃﻥ ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻹﻨﺠﺎﺯ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻝﺤﺴﺎﺏ ﺃﺩﻨﺎﻩ ﺍﺘﺒﻊ ﺍﻝﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫∗ ﺒﻌﺩ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻭ ﺤﺠﺯﻩ ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ ، D 2‬ﺃﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺘﻴﻥ ‪ A 2‬ﻭ ‪ B 2‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻭ ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺘﻴﻥ ‪ G 2‬ﻭ ‪ H 2‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺁﺨﺭﻴﻥ ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫∗ ﻝﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ A 3‬ﺃﺤﺠﺯ )‪ = MOD (A 2; D 2‬ﺜﻡ ﻭﺍﺼل ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻝﻜﻴﻔﻴﺔ‪...‬‬ ‫∗ ﺒﻌﺩ ﺤﺠﺯ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ p‬ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ ، E 2‬ﺃﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ = PUISSANCE(A2;E2) : G 5‬ﺜﻡ ﻭﺍﺼل ‪...‬‬ ‫‪.1‬ﻻﺤﻅ ﻤﺨﺘﻠﻑ ﺍﻝﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﺴﻁﺭ‪ 6‬ﺒﻌﺩ ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ c ، b ، a‬ﻭ ‪ d‬ﻭ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ‬ ‫ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ‪ n‬ﻭ ‪ p‬ﻭﻓﻕ ﺍﻝﺸﺭﻭﻁ ﺍﻝﻤﺤﺩﺩﺓ ﺃﻋﻼﻩ‪.‬‬ ‫‪b‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪.2‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a + c‬ﻭ ‪ b + d‬؟ ‪ a × c‬ﻭ ‪ b × d‬؟ ‪ a‬ﻭ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪.3‬ﺨﻤﻥ ﺒﻌﺽ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻝﻨﺸﺎﻁ ﺍﻝﺭﺍﺒﻊ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺩﻴﻡ ﻜﺎﻥ ﺍﻝﻴﻭﻨﺎﻥ ﻴﺘﻌﺎﻤﻠﻭﻥ ﺠﻴﺩﺍ ﻤﻊ ﺍﻝﻤﺭﺒﻊ ﺍﻝﺘﺎﻡ ﻝﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭ ﻗﺩ ﺘﻭﺼﻠﻭﺍ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻜﻠﻤﺎ ﺠﻤﻌﻨﺎ ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻭ ﺒﺎﻝﺘﺘﺎﺒﻊ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺭﺒﻊ ﺘﺎﻡ ﻝﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ‪ 1:‬ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 1 + 3 = 4 ،1‬ﻭ ‪ 4‬ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 1 + 3 + 5 = 9 ،2‬ﻭ ‪ 9‬ﻤﺭﺒﻊ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪... ،3‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻨﺠﺯ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻝﺤﺴﺎﺏ ﺍﻝﻤﻘﺎﺒﻠﺔ ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﺍﻝﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻤﻭﺩ ‪ B‬ﻭ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀ ﻤﻥ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ B 2‬ﺃﺤﺠﺯ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻔﺭﺩﻴﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻝﻰ ‪.49‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ C 3‬ﺃﺤﺠﺯ ‪ = B 2 + B 3‬ﻭﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ C 4‬ﺃﺤﺠﺯ ‪= C 3 + B 4‬‬ ‫ﺜﻡ ﺍﺴﺤﺏ ﺇﻝﻰ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﻊ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪. C 4‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪. S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 :‬‬ ‫‪. S ′ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 21 + 23‬‬ ‫‪. S ′′ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 47 + 49‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫‪ (3‬ﺨﻤﻥ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ 1 + 3 + 5 +... + ( 2n −1‬ﺒﺩﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫‪ (4‬ﺒﻔﺭﺽ ﺍﻝﺘﺨﻤﻴﻥ ﺍﻝﺴﺎﺒﻕ ﺼﺤﻴﺢ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n ≥ 1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺼﺤﺘﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n + 1‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺨﺎﺼﻴﺔ ) ‪ P ( n‬ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻨﻬﺎ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n + 1‬‬ ‫ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪9‬‬  ‫↵ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪ℤ‬‬ ‫‪.1‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻓﻲ ‪ℤ‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ a :‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ ‪ b‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬ﺍﻝﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻴﻌﻨﻲ ﻭﺠﻭﺩ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺤﻴﺙ‪. a = kb :‬ﻨﻘﻭل ﻜﺫﻝﻙ ﺃﻥ ‪ b‬ﻗﺎﺴﻡ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺃﻭ ﺃﻥ ‪ a‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. b‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪ b a‬ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪ b‬ﻴﻘﺴﻡ ‪. a‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ 48 = 8× 6‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪6 48‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪ 48 = (−8)×(−6‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪(−6) 48‬‬ ‫ ‪ (−65) = (−13)×5‬ﻭ ﻤﻨﻪ )‪5 (−65‬‬ ‫ ‪ (−65) = (−13)×5‬ﻭ ﻤﻨﻪ )‪(−13) (−65‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻝﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ −a‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﻘﻭﺍﺴﻡ ﻓﻲ ‪ a = kb ) ℤ‬ﻴﻌﻨﻲ ‪( −a = (−k )b‬‬ ‫‪.2‬ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪ℤ‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ a‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ، b‬ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﻭﺤﻴﺩﺓ ) ‪ (q, r‬ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ﺤﻴﺙ‪ a = bq + r :‬ﻭ ‪. 0 ≤ r < b‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻝﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻝﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ) ‪ (q, r‬ﺒﺎﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. b‬ﻴﺴﻤﻰ ‪ q‬ﻭ ‪ r‬ﺒﻬﺫﺍ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ ﺤﺎﺼل ﻭ ﺒﺎﻗﻲ‬ ‫ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. b‬‬ ‫ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ‪ :‬ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺇﻤﺎ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﹻ ‪ b‬ﻭ ﺇﻤﺎ ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻝﹻ ‪ b‬ﺃﻱ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ q‬ﻭﺤﻴﺩ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ qb ≤ a < (q + 1) b‬ﻭ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺃﻥ ‪. 0 ≤ a − qb < b‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ r = a − qb‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ a = bq + r‬ﻤﻊ ‪. 0 ≤ r < b‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺩﻴﺩ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻝﻌﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ‪. b‬‬ ‫‪. 0≤r < b‬‬ ‫ﻭﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪ a = bq + r‬ﻭ‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪ 7‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ 37‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻭ ‪ 2‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 37‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫ ‪. 37 = 5× 7 + 2‬‬ ‫ﻭ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 35 ≤ 37 < 40‬ﺃﻱ )‪ 5× 7 ≤ 37 < 5×(7 + 1‬ﻭ ‪. 37 − 35 = 2‬‬ ‫‪ 13‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ 95‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻭ ‪ 4‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 95‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬‬ ‫ ‪. 95 = 7 ×13 + 4‬‬ ‫ﻭ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 91 ≤ 95 < 98‬ﻭ ‪. 95 − 91 = 4‬‬ ‫‪ 16‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ 192‬ﻋﻠﻰ ‪ 12‬ﻭ ‪ 0‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 192‬ﻋﻠﻰ ‪. 12‬‬ ‫ ‪. 192 = 12×16‬‬ ‫ﻭ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 192 ≤ 192 < 204‬ﻭ ‪. 192 −192 = 0‬‬ ‫‪ −8‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ −39‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻭ ‪ 1‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ −39‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫ ‪. −39 = 5×(−8) + 1‬‬ ‫ﻭ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ −40 ≤ −39 < −35‬ﻭ ‪. −39 − (−40) = 1‬‬ ‫‪10‬‬  ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪:1‬ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺢ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، b‬ﺜﻡ ﺃﺤﺼﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺒﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﻴﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻝﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺤﺎﻻﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ a = −7361.3‬ﻭ ‪. b = 47‬‬ ‫‪ a = 725.2‬ﻭ ‪. b = 91‬‬ ‫‪ a = 8159.1‬ﻭ ‪. b = 52‬‬ ‫ﺤل‪ 156. 8159 = 52×156 + 47.1 :‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ 8159‬ﻋﻠﻰ ‪ 52‬ﻭ ‪ 47‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 8159‬ﻋﻠﻰ ‪. 52‬‬ ‫‪ 52×156 ≤ 8159 < 52×157‬ﺃﻱ ‪. 8112 ≤ 8159 < 8164‬‬ ‫‪ 7. 725 = 91× 7 + 88.2‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ 725‬ﻋﻠﻰ ‪ 91‬ﻭ ‪ 88‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 725‬ﻋﻠﻰ ‪. 91‬‬ ‫‪ 91× 7 ≤ 725 < 91×8‬ﺃﻱ ‪. 637 ≤ 725 < 728‬‬ ‫‪ − 157. −7361 = 47 ×(−157) + 18.3‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ‪ −7361‬ﻋﻠﻰ ‪ 47‬ﻭ ‪ 18‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪ −7361‬ﻋﻠﻰ ‪ 47 ×(−157) ≤ −7361 < 47 ×(−156). 47‬ﺃﻱ ‪. −7379 ≤ −7361 < −7332‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ a :2‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﻪ ﻋﻠﻰ ‪ 10‬ﻫﻭ ‪. 6‬‬ ‫‪.2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ 2‬؟‬ ‫‪.1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬؟‬ ‫‪ a = 10k + 6‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫‪ a = 10k + 5 + 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ a = 5 (2k + 1) + 1‬ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪. 1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫)‪ a = 2(5k + 3‬ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪. 0‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ :3‬ﺤﻠل ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 1372‬ﺇﻝﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻝﻴﺔ ﻭ ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻤﻪ ‪.‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺘﺤﻠﻴﻠﻪ ﺇﻝﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻝﻴﺔ ‪ n = a1α1 × a2α 2 ×... × a p p‬ﻫﻭ ‪:‬‬ ‫)‪(α1 + 1) × (α 2 + 1) ×... × (α p + 1‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ ﺠﺩﺍﺀ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﺤل‪. 1372 = 22 × 73 (1:‬ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ 1372‬ﻫﻭ ‪. ( 2 + 1)( 3 + 1) = 12‬ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 1372‬ﻴﻘﺒل ﺇﺫﻥ ‪ 12‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻝﺘﻜﻥ ‪ D1372‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪. 1372‬ﻹﻴﺠﺎﺩ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ D1372‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻝﺸﺠﺭﺓ ﺍﻵﺘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7×7=49‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7×49=343‬‬ ‫‪2×7=14‬‬ ‫‪21 2‬‬ ‫‪2×7×7=98‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2×7×49=686‬‬ ‫‪4×7=28‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪1; 2; 4;7;14; 28; 49;98;‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4×49=196‬‬ ‫‪D1372 = ‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 1372‬ﻫﻲ ﺇﺫﻥ ‪‬‬ ‫‪196;343; 686;1372 ‬‬ ‫‪4×343=1372‬‬ ‫‪11‬‬  ‫↵ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪ℤ‬‬ ‫‪.1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬ﺍﻝﻘﻭل ﺃﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﺎﻥ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪n‬‬ ‫ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻨﺭﻤﺯ ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ﻨﻘﺭﺃ ‪ a‬ﻴﻭﺍﻓﻕ ‪ b‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪. n‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪. −59 ≡ −3 ، −20 ≡ 1[7 ] ، 24 ≡ 3[7 ] ، 12 ≡ 34 ، 27 ≡ 92 :‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪. x ≡ 0 ، x‬‬ ‫‪.2‬ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪ a :‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬ﻴﻜﻭﻥ ﻝﹻ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ a − b‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ‪ :‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﻝﹻ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ‪ r‬ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻨﻀﻊ ‪ a = nq + r‬ﻭ ‪ b = nq '+ r‬ﺤﻴﺙ ‪ q‬ﻭ ' ‪ q‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ ‪. 0 ≤ r < n‬‬ ‫ ‪a − b = nq ′′‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )' ‪. a − b = nq + r − nq '− r = n (q − q‬ﺒﻭﻀﻊ ' ‪ q ′′ = q − q‬ن‬ ‫‪  q ′′ 7#‬د ‪.8*,‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻫﻜﺫﺍ ﺃﻥ ‪ a − b‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝـ ‪. n‬‬ ‫ﻋﻜﺴﻴﺎ ‪ :‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ a − b‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝـ ‪. n‬ﻴﻭﺠﺩ ﺇﺫﻥ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺤﻴﺙ ﺃﻥ ‪. a − b = k n‬‬ ‫ﻝﻴﻜﻥ ‪ r‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ‪ b = nq + r‬ﺤﻴﺙ ‪ q‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ‪. 0 ≤ r < n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. a = b + k n = nq + r + k n = ( q + k ) n + r‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ q + k‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ‪ 0 ≤ r < n‬ﻓﺈﻥ ‪ r‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻝﹻ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ‪ a :‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬ﻴﻜﻭﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﻴﻥ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫‪ a − b‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻝـ ‪. n‬‬ ‫ﺨﺎﺼﻴﺔ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪. (n ≥ 2) 1‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ a‬ﻴﻭﺍﻓﻕ‪ ،‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ ، n‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﻪ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ a :‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ‪ r‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﻪ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ‪ a = nq + r‬ﺤﻴﺙ ‪ q‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻭ ‪. 0 ≤ r < n‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪. a − r = nq‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ‪ a − r‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝِـ ‪. n‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ r‬ﻫﻭ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪. 0 ≤ r < n‬ﻓﻤﺜﻼ ]‪ 16 ≡ 6 [5‬ﻭ ‪ 6‬ﻝﻴﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 16‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫ﻷﻥ ‪. 6 ≥ 5‬ﺃﻤﺎ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻬﻭ ‪ 1‬ﻷﻥ ]‪ 16 ≡ 1[5‬ﻭ ‪. 0 ≤ 1 < 5‬‬ ‫‪12‬‬  ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ :1‬ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺃﺫﻜﺭ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻝﺨﺎﻁﺌﺔ‪:‬‬ ‫‪58 ≡ −5[7 ] (4‬‬ ‫؛‬ ‫‪478 ≡ 32 (3‬‬ ‫؛‬ ‫‪−32 ≡ 18 (2‬‬ ‫؛‬ ‫‪26 ≡ 11 (1‬‬ ‫‪483 ≡ 36 [7 ] (8‬‬ ‫؛‬ ‫‪1312 ≡ 25 (7‬‬ ‫؛‬ ‫‪144 ≡ 11 (6‬‬ ‫؛‬ ‫‪632 ≡ 14 (5‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ‪ :‬ﻝﻠﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ‪ a − b‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝِـ ‪ n‬ﺃﻭ ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ ﻝﹻ ‪ a‬ﻭ ‪b‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫‪ 26 −11 = 15 (1‬ﻭ ‪. 15 = 3×5‬ﺇﺫﻥ ]‪ 26 ≡ 11[5‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ −32 −18 = −50 (2‬ﻭ ‪. −50 = (−5)×10‬ﺇﺫﻥ ]‪ −32 ≡ 18[10‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 478 − 32 = 446 (3‬ﻭ ‪. 446 = 89× 5 + 1‬ﺇﺫﻥ ]‪ 478 ≡ 32 [5‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ‪.‬ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ]‪. 478 ≡ 32 [5‬‬ ‫‪ 58 + 5 = 63 (4‬ﻭ ‪. 63 = 9× 7‬ﺇﺫﻥ ] ‪ 58 ≡ −5[7‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪. 632 = 3969 (5‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 632‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ﺇﺫﻥ ‪ 4‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 14‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ﻜﺫﻝﻙ ‪ 4‬ﻓﺈﻥ‬ ‫]‪ 63 2 ≡ 14 [5‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 144 = 19× 7 + 11 (6‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 144‬ﻴﻭﺍﻓﻕ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ 19‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﻪ ﻋﻠﻰ ‪ 19‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‬ ‫]‪ 144 ≡ 11[19‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 131 2 = 1430×12 + 1 (7‬ﻭ ‪ 25 = 2×12 + 1‬ﺘﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 12‬ﺇﺫﻥ‬ ‫]‪ 131 2 ≡ 25[12‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ 48 3 = 15799× 7 + 6 (8‬ﻭ ‪ 36 = 5× 7 + 1‬ﻝﻡ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﺇﺫﻥ‬ ‫] ‪ 483 ≡ 36 [7‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ] ‪. 483 ≡ 36 [7‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ :2‬ﻋﻴﻥ ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻝﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺤﺎﻻﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ )] ‪ ( a ≡ b [ n‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪b‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ ، n‬ﺜﻡ ﺃﺫﻜﺭ ﺼﺤﺔ ﺃﻭ ﺨﻁﺄ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪158 ≡ 39 [17 ] (4‬‬ ‫؛‬ ‫‪471 ≡ 30 (3‬‬ ‫؛‬ ‫‪−322 ≡ 78[ 4] (2‬‬ ‫؛‬ ‫‪262 ≡ 927 (1‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫‪ 262 = 5×52 + 2 (1‬ﻭ ‪ 927 = 5×185 + 2‬ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 262‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪927‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 262‬ﻭ ‪ 927‬ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﺇﺫﻥ ]‪ 262 ≡ 927 [5‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ −322 = 4×(−81) + 2 (2‬ﻭ ‪ 78 = 4×19 + 2‬ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ −322‬ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫‪ 78‬ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ −322‬ﻭ ‪ 78‬ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﺇﺫﻥ ]‪ −322 ≡ 78[ 4‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ 471 = 8×58 + 7 (3‬ﻭ ‪ 30 = 8×3 + 6‬ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 471‬ﻋﻠﻰ ‪ 8‬ﻫﻭ ‪ 7‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 30‬ﻋﻠﻰ ‪ 8‬ﻫﻭ ‪6‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 471‬ﻭ ‪ 30‬ﻝﻴﺱ ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 8‬ﺇﺫﻥ ]‪ 471 ≡ 30[8‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ]‪. 471≡ 30 [8‬‬ ‫‪ 158 = 17×9 + 5 (4‬ﻭ ‪ 39 = 17 × 2 + 5‬ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 158‬ﻋﻠﻰ ‪ 17‬ﻫﻭ ‪ 5‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 39‬ﻋﻠﻰ ‪17‬‬ ‫ﻫﻭ ‪ 5‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 158‬ﻭ ‪ 39‬ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 17‬ﺇﺫﻥ ] ‪ 158 ≡ 39[17‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫↵ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪ℤ‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪ :1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ a‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‪. a ≡ a [ n ] :‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ :‬ﻝﺩﻴﻨﺎ ‪ a − a = 0 × n‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ a − a‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪ a :2‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻓﺈﻥ ] ‪. b ≡ a [ n‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ :‬إذا آن ﻝﹻ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ﻝﹻ ‪ b‬ﻭ ‪ a‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. n‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪) 3‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﻌﺩﻱ( ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪ b ، a.‬ﻭ ‪ c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪ ( b ≡ c [ n‬ﻓﺈﻥ ] ‪. a ≡ c [ n‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ b ، a :‬ﻭ ‪ c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺤﻴﺙ ) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪.( b ≡ c [ n‬‬ ‫) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪ ( b ≡ c [ n‬ﻴﻌﻨﻲ ) ‪ a − b = k n‬ﻭ ‪ k )( b − c = k ' n‬ﻭ ' ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ (‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻭ ﺒﺎﻝﺠﻤﻊ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪. a − c = ( k + k ') n‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ' ‪ k + k‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﺈﻥ ] ‪. a ≡ c [ n‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪) 4‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﻼﺅﻡ ﻤﻊ ﺍﻝﺠﻤﻊ( ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪ c ، b ، a.‬ﻭ ‪ d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪ ( c ≡ d [ n‬ﻓﺈﻥ ] ‪. a + c ≡ b + d [ n‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ c ، b ، a :‬ﻭ ‪ d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺤﻴﺙ ) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪.( c ≡ d [ n‬‬ ‫) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪ ( c ≡ d [ n‬ﻴﻌﻨﻲ ) ‪ a − b = k n‬ﻭ ‪ k )( c − d = k ' n‬ﻭ ' ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ (‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻭ ﺒﺎﻝﺠﻤﻊ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ‪. (a + c ) − (b + d ) = (k + k ') n‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ' ‪ k + k‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﺈﻥ ] ‪. a + c ≡ b + d [ n‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪) 5‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﻼﺅﻡ ﻤﻊ ﺍﻝﻀﺭﺏ( ‪ n :‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪ c ، b ، a.‬ﻭ ‪ d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪ ( c ≡ d [ n‬ﻓﺈﻥ ] ‪. a ×c ≡ b ×d [ n‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ c ، b ، a :‬ﻭ ‪ d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺤﻴﺙ ﺃﻥ) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪.( c ≡ d [ n‬‬ ‫) ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻭ ] ‪ ( c ≡ d [ n‬ﻴﻌﻨﻲ ) ‪ a − b = k n‬ﻭ ‪ k )( c − d = k ' n‬ﻭ ' ‪ k‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ (‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ‪a c − b d = a c − ad + ad − b d = a (c − d ) + d (a − b) = a k ' n + d k n = ( a k '+ d k ) n‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ a k '+ d k‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﺈﻥ ] ‪. a c ≡ b d [ n‬‬ ‫‪ :()*+‬ﻴﺘﻡ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻝﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﺩﺓ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪ n :6‬ﻭ ‪ p‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﻴﻥ‪ a.‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ] ‪ a ≡ b [ n‬ﻓﺈﻥ ] ‪. a p ≡ b p [ n‬‬ ‫ا‪%‬هن‪ :‬ﻴﻤﻜﻨﻙ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻝﺘﺭﺍﺠﻊ ) ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻝﺘﻤﺎﺭﻴﻥ (‪.‬‬ ‫‪14‬‬  ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ :1‬ﻝﺘﻜﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ b = 837 ، a = 255 :‬ﻭ ‪. c = 3691‬‬ ‫‪.1‬ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ b ، a‬ﻭ ‪ c‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. 11‬‬ ‫‪.2‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ‪. a ×b × c ، a 2 ، a + b + c ، a × c ، a + b‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫‪.1‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ b ، a‬ﻭ ‪ c‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﺩﺩ‪ 11‬ﻫﻲ ‪ 6 ، 1 ، 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫]‪a ≡ 2 [11‬‬ ‫‪ ‬ﻭ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ]‪ a + b ≡ 3[11‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ‪.3‬‬ ‫‪.2‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫]‪b ≡ 1[11‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ]‪ a ≡ 2[11‬ﻭ ]‪. c ≡ 6 [11‬ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﻀﺭﺏ ﻨﺠﺩ ]‪ ac ≡ 12 [11‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ]‪12 ≡ 1 [11‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻪ ﺒﺎﻝﺘﻌﺩﻱ ]‪ ac ≡ 1[11‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ‪.1‬‬ ‫]‪a ≡ 2 [11‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ‪ b ≡ 1 :‬ﻭ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ ]‪ a + b + c ≡ 9[11‬ﻭ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪. 9‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪ c ≡ 6 [11‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ‪ a ≡ 2 :‬ﻭ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ 6‬ﻨﺠﺩ ]‪ a ≡ 2 [11‬ﺃﻱ ]‪ a ≡ 4[11‬ﻭ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪. 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪a ≡ 2[11‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪ b ≡ 1[11‬ﻭ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﻀﺭﺏ ﻨﺠﺩ ]‪ a ×b × c ≡ 1× 2× 6[11‬ﺃﻱ ]‪a ×b × c ≡ 12 [11‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪ c ≡ 6[11‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻭ ]‪ 12 ≡ 1[11‬ﻭ ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﻌﺩﻱ ﻨﺠﺩ ]‪ a ×b × c ≡ 1[11‬ﻭ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪.1‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ a :2‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﺤﻴﺙ ]‪ a ≡ 3 [5‬ﻭ ]‪. b ≡ 4 [5‬‬ ‫‪.1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 2a + b‬ﻴﻘﺒل ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫‪.2‬ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 2a 2 + b 2‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫‪.3‬ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ]‪. b ≡ −1 [5‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b 2007‬ﻭ ‪ b 1428‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫]‪2a ≡ 1 [5‬‬ ‫]‪2a ≡ 6 [5‬‬ ‫]‪a ≡ 3 [5‬‬ ‫‪ ‬ﻷﻥ ]‪. 6 ≡ 1 [5‬ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺠﻤﻊ ﻨﺤﺼل‬ ‫‪ ‬ﺃﻱ‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪.1‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‬ ‫]‪ b ≡ 4 [5‬‬ ‫]‪ b ≡ 4 [5‬‬ ‫]‪b ≡ 4 [5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‪ 2a + b ≡ 5 :‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ]‪ 5 ≡ 0 [5‬ﻓﺈﻥ ]‪. 2a + b ≡ 0 [5‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2a + b‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪. 0‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻫﻜﺫﺍ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 2a + b‬ﻴﻘﺒل ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫]‪2a 2 ≡ 3 [5‬‬ ‫]‪ 2a 2 ≡ 2×9 [5‬‬ ‫]‪a ≡ 3 [5‬‬ ‫‪  2‬ﻷﻥ ]‪ 18 ≡ 3 [5‬ﻭ ]‪. 16 ≡ 1 [5‬‬ ‫‪  2‬ﺃﻱ‬ ‫‪ ‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪.2‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪b ≡ 1‬‬ ‫[‬ ‫‪5‬‬ ‫]‬ ‫‪b ≡ 16‬‬ ‫[‬ ‫‪5‬‬ ‫]‬ ‫]‪b ≡ 4 [5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺠﻤﻊ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‪. 2a + b ≡ 4 :‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 2a + b‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ﺇﺫﻥ ‪. 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.3‬ﻤﻥ ﺍﻝﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ]‪ 4 ≡ −1 [5‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﻌﺩﻱ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ]‪. b ≡ −1 [5‬‬ ‫)‪ b 2007 ≡ ( −1‬ﻭ ]‪ b 1428 ≡ 11428 [5‬ﺃﻱ ]‪ b 2007 ≡ −1[5‬ﻭ ]‪. b 1428 ≡ 1[5‬‬ ‫ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪ 6‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ]‪[5‬‬ ‫‪2007‬‬ ‫ﻫﻭ ‪ 4‬ﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b 1428‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪. 1‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ]‪ −1 ≡ 4 [5‬ﻓﺈﻥ ]‪. b 2007 ≡ 4 [5‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b 2007‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫‪15‬‬  ‫↵ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻝﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫‪.1‬ﻤﺒﺩﺃ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻝﺘﺭﺍﺠﻊ‬ ‫ﻤﺴﻠﻤﺔ‪ P ( n) :‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻭ ‪ n0‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻝﻠﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ )‪ P ( n‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ n0‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪.1‬ﻨﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n0‬ﺃﻱ ) ‪. P ( n0‬‬ ‫‪.2‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻜﻴﻔﻲ ‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ n0‬ﺃﻱ ) ‪P (n‬‬ ‫) ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺍﻝﺘﺭﺍﺠﻊ( ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n + 1‬ﺃﻱ )‪. P (n + 1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫ﺍﻝﺨﻼﺼﺔ‪:‬‬ ‫)‪P (n + 1‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪P ( n‬‬ ‫) ‪P ( n0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ n‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪n0‬‬ ‫)‪ P ( n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ‪2‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ‪1‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻷﻭﻝﻰ ﺘﺘﻤﺜل ﻓﻲ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺘﺤﻘﻕ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﻻ ﺘﻁﺭﺡ ﺃﻱ ﻤﺸﻜل ﺇﻻ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺒﻘﻰ ﻀﺭﻭﺭﻴﺔ ﻷﻨﻪ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ﻭ ﻝﻜﻥ ﺨﺎﻁﺌﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‪ ":‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ 3n ، n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ‪ " 5‬ﺨﺎﻁﺌﺔ ﺭﻏﻡ ﺃﻨﻬﺎ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ‪.‬ﺒﺎﻝﻔﻌل‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 3n‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻝﻠﻌﺩﺩ‪ 5‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺒﺤﻴﺙ ‪. 3n = 5k‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ﺇﺫﻥ ) ‪ 3n +1 = 3 × 3n = 3 ( 5k ) = 5 ( 3K‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 3n +1‬ﻫﻭ ﺍﻵﺨﺭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ‪.5‬‬ ‫‪.2‬ﻤﺜﺎل‬ ‫)‪n ( n + 1‬‬ ‫= ‪" 1 + 2 + 3 +... + n‬‬ ‫ﻝﻨﺜﺒﺕ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪ " :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1× 2‬‬ ‫= ‪ 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. n = 1‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻷﻭﻝﻰ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n = 1‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ﺍﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ) ﺍﻝﻭﺭﺍﺜﺔ (‪:‬‬ ‫)‪n ( n + 1‬‬ ‫= ‪. 1 + 2 + 3 +... + n‬‬ ‫ ﻨﻔﺭﺽ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪ n ≥ 1‬ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪. 1 + 2 + 3 +... + n + ( n + 1‬‬ ‫ ﻝﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n + 1‬ﺃﻱ‪( n + 1)( n + 2 ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪n ( n + 1‬‬ ‫= )‪1 + 2 + 3 +... + n + ( n + 1) = (1 + 2 + 3 +... + n ) + ( n + 1‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ‪+ ( n + 1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪n ( n + 1) + 2 ( n + 1) ( n + 1)( n + 2‬‬ ‫= )‪. 1 + 2 + 3 +... + n + ( n + 1‬‬ ‫=‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪n ( n + 1‬‬ ‫= ‪" 1 + 2 + 3 +... + n‬‬ ‫ﺍﻝﺨﻼﺼﺔ‪ " :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬  ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪:1‬ﺃﺜﺒﺕ‪ ،‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻝﺘﺭﺍﺠﻊ‪ ،‬ﺃﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ n3 − n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. 3‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ " ‪ n3 − n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ " 3‬ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻝﺘﺭﺍﺠﻊ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ‪ :1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ 03 − 0 = 0 = 3× 0 ، n = 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 03 − 0‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪.3‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. n = 0‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺭﺤﻠﺔ ‪ :2‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺤﻴﺙ ‪n ≥ 0‬‬ ‫ﺃﻱ‪ n3 − n :‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪.3‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ n3 − n = 3k‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪.‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪n3 = 3k + n‬‬ ‫ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n + 1‬ﺃﻱ ‪ (n + 1) − ( n + 1)‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪.3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(n + 1) −(n +1) = n3 + 3n 2 + 3n +1− n −1 = (3k + n) + 3n 2 + 2n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(n + 1) −(n +1) = 3k + 3n2 + 3n = 3(k + n2 + n‬‬ ‫ﻭ ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ )‪ 3( k + n 2 + n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ )‪ (n + 1) − ( n + 1‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻝﺨﻼﺼﺔ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n3 − n ، n‬ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪. 3‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل‪ :2‬ﻨﺭﻤﺯ ﺒﹻ )‪ P (n‬ﺇﻝﻰ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪ " :‬ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 4n + 1‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ"‪.‬‬ ‫‪.1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ )‪ P ( n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺘﻜﻭﻥ )‪ P ( n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪.2‬ﻫل ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ )‪ P ( n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬؟ ﺍﺸﺭﺡ‪.‬‬ ‫ﺤل‪:‬‬ ‫‪.1‬ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ P (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻜﻴﻔﻲ ‪ n‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 4n + 1‬ﻭ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻥ‬ ‫ﺫﻝﻙ ﺒﻭﻀﻊ ‪ 4n + 1 = 3k‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﻝﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ )‪ P ( n +1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. 4n +1 + 1‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ‪ 4n +1 + 1 = 4 × 4n + 1‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ) 4n = 3k − 1‬ﻤﻥ ﺍﻝﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ( ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪4n +1 + 1 = 4 ( 3k − 1) + 1‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ﺇﺫﻥ ‪ 4n +1 + 1 = 4 × 3k − 4 + 1 = 3 ( 4k ) − 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ )‪. 4n +1 + 1 = 3 ( 4k − 1‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ﺇﺫﻥ ‪ 4n +1 + 1 = 3k ′‬ﻤﻊ ‪ k ′ = 4k − 1‬ﻭ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. 4n +1 + 1‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﺎﻝﺨﺎﺼﻴﺔ )‪ P (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪.2‬ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ )‪ P (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﻼﺒﺩ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺠل ‪ n = 0‬ﻷﻥ ﻭﺭﺍﺜﻴﺔ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﺘﺒﻘﻰ ﻏﻴﺭ ﻜﺎﻓﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n = 0‬ﻷﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻻ ﻴﻘﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻭ ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﻓﻬﻲ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪17‬‬  ‫ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻝﺘﺂﻝﻔﻲ‬ ‫ﻴﺴﺘﻌﻤل ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ ﻹﺨﻔﺎﺀ ﺍﻝﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻝﻤﺭﺍﺴﻼﺕ ﻭ ﻗﺩ ﺸﺎﻉ ﻓﻲ ﺃﻴﺎﻤﻨﺎ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻤﺼﻁﻠﺢ‪.‬‬ ‫ﺘﺘﻠﺨﺹ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻝﺘﺂﻝﻔﻲ ﻓﻲ ﺇﺭﻓﺎﻕ ﻜل ﺤﺭﻑ ﺃﺒﺠﺩﻱ ﻤﺭﻗﻡ ﺒﻌﺩﺩ ‪ ) x‬ﺤﻴﺙ ‪ 0 ≤ x ≤ 27‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ ﺍﻝﻌﺭﺒﻴﺔ (‬ ‫ﺒﺎﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ y‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a x + b‬ﻋﻠﻰ ‪ 28‬ﺃﻱ ﺍﻝﻤﻌﺭﻑ ﺒﹻ ]‪ y ≡ ax + b [ 28‬ﺤﻴﺙ ‪ ( a ≠ 0 ) a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻝﻤﺭﺴل ﻭ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﺒل‪.‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻝﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ) ‪ ( a ;b‬ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻝﺸﻔﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪.1‬ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ a = 3‬ﻭ ‪ b = 7‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺠﺩﻭل ﺍﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻡ‬ ‫ل‬ ‫ﻙ‬ ‫ﻱ‬ ‫ﻁ‬ ‫ﺡ‬ ‫ﺯ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻫـ‬ ‫ﺩ‬ ‫ﺝ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺃ‬ ‫ﺍﻝﺤﺭﻑ‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻕ‬ ‫ﻉ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻱ‬ ‫ﺯ‬ ‫ﺩ‬ ‫ﺃ‬ ‫ﺽ‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺭ‬ ‫ﻑ‬ ‫ﻥ‬ ‫ﻙ‬ ‫ﺡ‬ ‫ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ‬ ‫ﻍ‬ ‫ﻅ‬ ‫ﺽ‬ ‫ﺫ‬ ‫ﺥ‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺕ‬ ‫ﺵ‬ ‫ﺭ‬ ‫ﻕ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﻑ‬ ‫ﻉ‬ ‫ﺱ‬ ‫ﺍﻝﺤﺭﻑ‬ ‫‪27‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻫـ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﻅ‬ ‫ﺥ‬ ‫ﺵ‬ ‫ﺹ‬ ‫ﺱ‬ ‫ل‬ ‫ﻁ‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺝ‬ ‫ﻍ‬ ‫ﺫ‬ ‫ﺕ‬ ‫ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻝﻜﻠﻤﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﺸﻔﻴﺭﻫﺎ " ﻙ ﺡ ﻱ " ‪ " ،‬ﺡ ﻡ ﻥ ﺽ ﺡ ﺯ ﻁ "‬ ‫ ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺘﺸﻔﻴﺭﺍ ﻝﻠﻌﺒﺎﺭﺓ " ﺨﻤﺴﺔ ﺠﻭﻴﻠﻴﺔ ﻋﻴﺩ ﺍﻻﺴﺘﻘﻼل "‬ ‫ ‬ ‫‪.2‬ﺘﻁﺒﻴﻕ‪:‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ) ‪ ( 3;5‬ﻹﻨﺸﺎﺀ ﺠﺩﻭل ﻤﻤﺎﺜل ﻝﻠﺴﺎﺒﻕ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ) ‪ ( 3;5‬ﻝﻔﻙ ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ ﻭ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻝﺭﺴﺎﻝﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪ ":‬ﻭﺵ ﻙ ﻑ ﺵ ﺽ ﻥ ﻁ ﺯ ﺙ ﻩ ﺱ ﻭ ﻙ ﻉ ﺵ ﺯ "‬ ‫ ‬ ‫ﻗﻡ ﺒﺘﺸﻔﻴﺭ ﺤﻜﻤﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﺤﻜﻡ ﺍﻝﺸﻬﻴﺭﺓ ﻭ ﺍﻁﻠﺏ ﻤﻥ ﺯﻤﻴﻠﻙ ﻓﻜﻬﺎ ﻭ ﻗﺭﺍﺀﺘﻬﺎ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪.3‬ﻤﻼﺤﻅ ﻫﺎﻤﺔ‬ ‫ﻨﺄﺨﺫ ﺍﻵﻥ ‪ a = 7‬ﻭ ‪b = 3‬‬ ‫‪. 7 × 9 + 3 ≡ 7 ×1 + 3‬‬ ‫]‪[ 28‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ﻤﺜﻼ ﺃﻥ‬ ‫ ‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻠﺤﺭﻓﻴﻥ ﺏ ﻭ ﻱ ﻤﻥ ﺍﻝﺤﺭﻭﻑ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ ؟‬ ‫ ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﺤﺭﻭﻑ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ‪ ،‬ﺤﺭﻓﻴﻥ ﺃﻭ ﺃﻜﺜﺭ ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺘﺸﻔﻴﺭ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻝﺤﺭﻭﻑ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﺸﻔﻴﺭﻫﺎ ‪. 3‬‬ ‫ ‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺤﺎﻝﺔ ﻤﺜﻼ ﺘﻭﺠﺩ ﺤﺭﻭﻑ ﻴﺘﻡ ﺘﺸﻔﻴﺭﻫﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻝﺤﺭﻑ ﻤﻤﺎ ﻴﺴﺒﺏ ﺼﻌﻭﺒﺎﺕ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻜل ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺭﺴل‬ ‫ﻭ ﺍﻝﻤﺴﺘﻘﺒل‪.‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ) ‪. PGCD ( a ; 28‬ﻫل ﺍﻝﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ 28‬ﺃﻭﻝﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ؟‬ ‫ ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻌﺎﻤﺔ ﻭ ﺘﺠﻨﺒﺎ ﻝﻠﻭﻗﻭﻉ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻝﻠﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ a‬ﺃﻭﻝﻴﺎ ﻤﻊ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 28‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﺤﺭﻭﻑ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪18‬‬  ‫ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﺍﻝﺫﻱ ﻴﺼﺎﺩﻑ ﺘﺎﺭﻴﺨﺎ ﻤﻌﻴﻨﺎ‬ ‫ﺼﺎﺩﻑ ﺃﻭل ﺠﺎﻨﻔﻲ ‪ 2007‬ﻴﻭﻡ ﺍﻻﺜﻨﻴﻥ ‪.‬ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﺍﻝﺫﻱ ﻴﺼﺎﺩﻑ ﺃﻱ ﻴﻭﻡ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻝﺴﻨﻭﺍﺕ ﺍﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻭ ﺍﻝﻘﺎﺩﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﺭﻴﺩ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻝﻴﻭﻡ ﻨﺭﻴﺩ ﺍﻝﺫﻱ ﺼﺎﺩﻑ ﺨﻤﺴﺔ ﺠﻭﻴﻠﻴﺔ ‪.1962‬‬ ‫ـ ﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﻴﺎﻡ ‪ n‬ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻔﺼل ﺒﻴﻥ ﺃﻭل ﺠﺎﻨﻔﻲ ‪ 2007‬ﻭ ﺨﻤﺴﺔ ﺠﻭﻴﻠﻴﺔ ‪ ) 1962‬ﻻ ﻴﺤﺴﺏ ﺇﻻ‬ ‫ﺃﺤﺩ ﺍﻝﺘﺎﺭﻴﺨﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻉ ﻜﻤﺎ ﺘﺄﺨﺫ ﺍﻝﺴﻨﺔ ﺍﻝﻜﺎﺒﺴﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﻋﺩﺩ ﺃﻴﺎﻤﻬﺎ ‪. ( 366‬‬ ‫ـ ﺒﻘﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﻭﺠﻭﺩ ﺴﺎﺒﻘﺎ ﻋﻠﻰ ‪ ، 7‬ﺃﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺍﻷﺴﺎﺒﻴﻊ ‪ q‬ﺍﻝﺘﻲ ﻤﺭﺕ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﺘﺎﺭﻴﺨﻴﻥ‪.‬‬ ‫ـ ﻋﻴﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ r‬ﻝﻸﻴﺎﻡ ﺍﻝﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ﺒﻌﺩ ﻤﺭﻭﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺴﺎﺒﻴﻊ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﺘﺎﺭﻴﺨﻴﻥ‪.‬ﺃﻜﺘﺏ ‪ n‬ﺒﺩﻻﻝﺔ ‪ q‬ﻭ ‪. r‬‬ ‫ـ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﺍﻝﺫﻱ ﺼﺎﺩﻑ ﺨﻤﺴﺔ ﺠﻭﻴﻠﻴﺔ‪.1962‬‬ ‫‪ (2‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻝﻁﺭﻴﻘﺔ ﻋﻴﻥ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﺍﻝﺫﻱ ﻴﺼﺎﺩﻑ ﺃﻭل ﻨﻭﻓﻤﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻝﺴﻨﺔ ﺍﻝﻘﺎﺩﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﺍﻝﺫﻱ ﻴﺼﺎﺩﻑ ﺍﻻﺤﺘﻔﺎل ﺒﻤﺭﻭﺭ ﻗﺭﻥ ﻋﻥ ﺘﺎﺭﻴﺦ ﺍﻻﺴﺘﻘﻼل ؟‬ ‫‪ (4‬ﻋﻴﻥ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﺍﻝﺫﻱ ﺼﺎﺩﻑ ﺃﻭل ﻨﻭﻓﻤﺒﺭ‪ 1954‬؟‬ ‫‪ # (5‬ه" ا "م ا ‪/‬ي ‪-‬دف ر* ‪)#‬دك ؟‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﻗﻭﻯ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻋﻠﻰ ﺁﺨﺭ‬ ‫ﻨﻬﺩﻑ ﺇﻝﻰ ﺘﻌﻴﻴﻥ‪ ،‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫‪.1‬ﻭﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻥ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻝﻤﺠﺩﻭل‬ ‫ﺃﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻤﻭﺩ ‪ A‬ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ 0‬ﺇﻝﻰ ‪. 27‬ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ B 2‬ﺃﺤﺠﺯ‬ ‫‪ = 2A 2‬ﺜﻡ ﺍﺴﺤﺏ ﺇﻝﻰ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﻌﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ‪.‬ﻓﻲ ﺍﻝﺨﻠﻴﺔ ‪ C 2‬ﺃﺤﺠﺯ‬ ‫) ‪ = MOD ( B 2;5‬ﺜﻡ ﺍﺴﺤﺏ ﺇﻝﻰ ﺍﻷﺴﻔل ﺒﻌﺩ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟ ﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻨﺎ‪.‬‬ ‫‪.2‬ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺼﺤﺔ ﺍﻝﺘﺨﻤﻴﻥ‬ ‫]‪. 24 ≡... [5‬‬ ‫و‬ ‫]‪23 ≡... [5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫]‪22 ≡... [5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫]‪21 ≡... [5‬‬ ‫ﺃﻨﻘل ﺜﻡ ﺃﺘﻤﻡ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪. 1 ≤ n ≤ 4‬‬ ‫ ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ 24 k ≡ 1 ، k‬ﺜﻡ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺃ ﺃﺘﻤﻡ ) ﺒﻌﺩ ﻨﻘﻠﻬﺎ ( ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫]‪. 24 k +3 ≡... [5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫]‪24 k + 2 ≡... [5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫]‪24 k +1 ≡... [5‬‬ ‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n = 4k + 2 ، n = 4k + 1 ، n = 4k‬ﻭ ‪ n = 4k + 3‬؟‬ ‫ ‬ ‫‪.3‬ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﻜل ﻤﻥ ‪ 21428‬ﻭ ‪ 22007‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫ ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫‪2 × 250 − 3 × 22000 + 283‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ‬ ‫ ‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ]‪ 2007 ≡ 2 [5‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2007 2008‬ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫ ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﻴﻘﺒل ‪ 3 ×122002 − 3 × 2007 2000 + 2 × 422003‬ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪19‬‬  ‫ﻤﻭﻀﻭﻉ ﻤﺤﻠﻭل‬ ‫‪.1‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪. 6‬‬ ‫‪ %*.2‬ا? اد ا >‪ n ,*,‬ا ‪ -‬ن ‪ %#‬أ‪ 3 ! ( n − 4 ) @A‬د ‪. 6‬‬ ‫‪.3‬ﻋﻴﻥ ا? اد ا >‪ n ,*,‬ا ‪ -‬ن ‪ %#‬أ‪ 3 ! ( n + 2 ) @A‬د ‪. 6‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫= ‪.a‬‬ ‫‪.4‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻨﺎﻁﻕ ‪ a‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪n −4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.a = 1+‬‬ ‫ ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺼﺤﻴﺢ ‪ n‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪، 4‬‬ ‫‪n −4‬‬ ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ n‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ‪.‬‬ ‫‪n −4‬‬ ‫= ‪.b‬‬ ‫‪.5‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻨﺎﻁﻕ ‪ b‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪n +2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.b = 1−‬‬ ‫ ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺼﺤﻴﺢ ‪ n‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪، 2‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ n‬ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﺎﻝﻴﻕ‬ ‫ﺤل ﻤﺨﺘﺼﺭ‬ ‫‪ FG 1 -‬أ‪ %**3G B- HI‬ا!‪ 6 B‬ﻓﻲ ‪. ℤ‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺫﺍ ﺭﻤﺯﻨﺎ ﺇﻝﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ 6‬ﻓﻲ ‪ ℤ‬ﺒﹻ ‪D 6‬‬ ‫ﻓﺈﻥ } ‪D 6 = {−6; − 3; − 2; − 1;1; 2;3;6‬‬ ‫‪ -‬إ  ‪D 6‬‬ ‫‪ 3‬أن ) ‪( n − 4‬‬ ‫‪ 3 B! ( n − 4 ) (2‬د ‪6‬‬ ‫‪. n = n ′ + 4 3‬‬ ‫‪n − 4 = n′ -‬‬ ‫‪n −4‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ -‬إ  ‪D 6‬‬ ‫‪ 3‬أن ) ‪( n + 2‬‬ ‫‪6 3 B! ( n + 2 ) (3‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪. n = n ′ − 2 3‬‬ ‫‪n + 2 = n′ -‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n −4+6 n +2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ (4‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪KLJ -‬ت أن ‪ % x = y‬أن ‪y %# MNG‬‬ ‫‪n −4‬‬ ‫‪n −4‬‬ ‫‪n −4‬‬ ‫ل إ  ‪. x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪a = 1+‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪n −4‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺇﺫﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) ‪ِ ! ( n − 4‬ـ ‪6‬‬ ‫‪ QR-I 3-I -‬ا "ال ا ‪.P .‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ } ‪{−2 ;1; 2;3;5; 6; 7;10‬‬ ‫ﺃﻱ ‪n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n +2−6 n −4‬‬ ‫‪ B3I -‬أن ‪ 3‬د ‪ %‬ا >‪ −6 %*,*,‬و ‪F)I 6‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ (5‬ﻝﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫ا ‪T‬ا!‪ S# ( B‬ا? اد ا >‪. ℤ ,*,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪b = 1−‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪n +2‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺇﺫﻥ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) ‪ِ ! ( n + 2‬ـ ‪6‬‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ } ‪{−8 ; − 5; − 4; − 3; − 1;0;1; 4‬‬ ‫ﺃﻱ ‪n‬‬ ‫‪20‬‬  ‫ﻤﻭﻀﻭﻉ ﻤﻊ ﺇﺭﺸﺎﺩﺍﺕ‬ ‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﺭﻗﻡ ﺍﻝﺤﺴﺎﺏ ﺍﻝﺠﺎﺭﻱ ﻹﺤﺩﻯ ﺍﻝﺒﻨﻭﻙ ﻤﻥ ‪ 15‬ﺭﻗﻤﺎ ‪ ،‬ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻴﺴﺎﺭ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻴﻤﻴﻥ ‪ ،‬ﻴﺘﻡ ﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻜل‬ ‫ﻤﺸﺘﺭﻙ ﻭﻓﻕ ﺍﻝﻨﻤﻁ ﺍﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻝﺭﻗﻡ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ﺇﻤﺎ ‪ 1‬ﻭ ﺇﻤﺎ ‪ 2‬ﺤﺴﺏ ﺠﻨﺱ ﺍﻝﻤﺸﺘﺭﻙ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﻝﺭﻗﻤﺎﻥ ﺍﻝﻤﻭﺍﻝﻴﺎﻥ ﻫﻤﺎ ﺍﻝﺭﻗﻤﺎﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺍﻥ ﺍﻝﻤﻭﺠﻭﺩﺍﻥ ﻓﻲ ﺴﻨﺔ ﻤﻴﻼﺩﻩ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﻝﺭﻗﻤﺎﻥ ﺍﻝﻤﻭﺍﻝﻴﺎﻥ ﻴﻌﻴﻨﺎﻥ ﺸﻬﺭ ﻤﻴﻼﺩﻩ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﻝﺭﻗﻤﺎﻥ ﺍﻝﻤﻭﺍﻝﻴﺎﻥ ﻫﻤﺎ ﺭﻤﺯ ﻭﻻﻴﺔ ﺇﻗﺎﻤﺘﻪ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻝﺴﺘﺔ ﺍﻝﻤﻭﺍﻝﻴﺔ ﻫﻲ ﺭﻗﻡ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻪ ﺍﻝﻭﻁﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﺍﻝﺭﻗﻤﺎﻥ ﺍﻷﺨﻴﺭﺍﻥ ﻫﻤﺎ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ) ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺃﻭل ﺍﻝﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ (‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ﻴﺘﻡ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ) ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻝﻤﺭﺍﻗﺒﺔ ( ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ﻫﻭ ‪ 97 − r‬ﺤﻴﺙ ‪ r‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻝﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﺍﻷﻭﻝﻰ ﻋﻠﻰ ‪. 97‬‬ ‫‪.1‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻝﻤﺭﺍﻗﺒﺔ ﺍﻝﺨﺎﺹ ﺒﺭﻗﻡ ﺍﻝﺤﺴﺎﺏ ‪. 2 85 05 33 565 001 89‬‬ ‫‪.2‬ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺇﺠﺭﺍﺀ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺴﺤﺏ ﺘﻡ ﺤﺠﺯ ﺨﻁﺄ ﺍﻝﺭﻗﻡ ‪ ) 2 85 05 33 569 001 89‬ﺨﻁﺄ ﻓﻲ ﺍﻝﺭﻗﻡ ﺍﻝﻌﺎﺸﺭ (‪.‬‬ ‫ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻥ ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻝﻤﺭﺍﻗﺒﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺤﺎﻝﺔ ﻴﺴﻤﺢ ﻤﻥ ﺍﻜﺘﺸﺎﻑ ﻭﺠﻭﺩ ﺨﻁﺄ‪.‬‬ ‫‪.3‬ﻝﻴﻜﻥ ‪ B‬ﺭﻗﻡ ﺤﺴﺎﺏ ﻭ ﻝﻴﻜﻥ ‪ A‬ﺍﻝﻌﺩﺩ ﺍﻝﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺍﻝﺜﻼﺜﺔ ﻋﺸﺭ ﺍﻷﻭﻝﻰ ﻝﻠﻌﺩﺩ ‪ ) B‬ﺩﻭﻥ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ(‪.‬‬ ‫ ﺃﻜﺘﺏ ﺍﻝﻌﺩﺩ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻜل ‪ H ×106 + L‬ﺤﻴﺙ ‪. ( B = 2 85 05 33 565 001 89 ) 0 ≤ L < 106‬‬ ‫ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ] ‪ 106 ≡ 27 [97‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﻝﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ 27H + L‬ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 97‬‬ ‫ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻝﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻝﻤﺭﺍﻗﺒﺔ ﺍﻝﺨﺎﺹ ﺒﺭﻗﻡ ﺍﻝﺤﺴﺎﺏ ‪. 2 85 05 33 565 001 89‬‬ ‫ ﺃﺫﻜﺭ ﻤﺜﺎﻻ ﻝﺨﻁﺄ ﻻ ﻴﺴﻤﺢ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ﻤﻥ ﺍﻜﺘﺸﺎﻑ ﻭﺠﻭﺩﻩ‪.‬‬ ‫ﺇﺭﺸﺎﺩﺍﺕ‬ ‫‪.1‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2 85 05 33 565 001‬ﻋﻠﻰ ‪ 97‬ﻫﻭ ‪ 8‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ﻫﻭ ‪. 97 − 8 = 89‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺘﺴﻤﺢ ﻤﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﻤﺜل ‪. casio 89‬‬ ‫‪.2‬ﺍﻝﻤﻔﺘﺎﺡ ﻫﻭ ‪. 66‬‬ ‫‪.3‬ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ) ‪ 106 = (102‬ﺜﻡ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻝﻤﻭﺍﻓﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﺄﺨﺫ ﺭﻗﻤﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﻝﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺠﺯﺀ ‪ H‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ﻝﺠﺯﺃﻴﻬﻤﺎ ‪ L‬ﻭ ‪L ′‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺒﺎﻗﻲ ﻓﻲ ﺍﻝﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 97‬‬ ‫ﻨﺫﻜﺭ ﻋل ﺴﺒﻴل ﺍﻝﻤﺜﺎل ﺍﻝﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 2 85 05 33 565 001 89‬ﻭ ‪. 2 85 05 33 565 098 89‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ 10‬ﻋﻴ‪‬ﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ x‬ﺍﻝﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻝﻌﺩﺩ‬ ‫‪,‬ر ‪.(%-,.‬‬ ‫‪ x − 5‬ﻤﻀﺎ?