Matemática Ensino Médio PDF

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO Este livro é público - está autorizada a sua reprodução total ou parcial.  Governo do Estado do Paraná Roberto Requião Secretaria de Estado da...

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO Este livro é público - está autorizada a sua reprodução total ou parcial.  Governo do Estado do Paraná Roberto Requião Secretaria de Estado da Educação Mauricio Requião de Mello e Silva Diretoria Geral Ricardo Fernandes Bezerra Superintendência da Educação Yvelise Freitas de Souza Arco-Verde Departamento de Ensino Médio Mary Lane Hutner Coordenação do Livro Didático Público Jairo Marçal Depósito legal na Fundação Biblioteca Nacional, conforme Decreto Federal n.1825/1907, de 20 de Dezembro de 1907. É permitida a reprodução total ou parcial desta obra, desde que citada a fonte. SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Avenida Água Verde, 2140 - Telefone: (0XX) 41 3340-1500 e-mail: [email protected] 80240-900 CURITIBA - PARANÁ Catalogação no Centro de Editoração, Documentação e Informação Técnica da SEED-PR Matemática / vários autores. – Curitiba: SEED-PR, 2006. – p. 216 ISBN: 85-85380-39-X 1. Matemática. 2. Ensino médio. 3. Ensino de matemática. 4. Números e Álgebra. 5. Funções. 6. Geometrias. 7. Tratamento da informação. I. Folhas. II. Material de apoio pe- dagógico. III. Material de apoio teórico. IV. Secretaria de Estado da Educação. Superinten- dência da Educação. V. Título. CDU 51+373.5 2ª. Edição IMPRESSO NO BRASIL DISTRIBUIÇÃO GRATUITA  Autores Alice Kazue Takahashi Lopes Claudia Vanessa Cavichiolo Daisy Maria Rodrigues Donizete Gonçalves da Cruz Loreni Aparecida Ferreira Baldini Marcia Viviane Barbetta Manosso Mírian Longaretti Neusa Idick Scherpinski Roberto José Medeiros Junior Equipe técnico-pedagógica Claudia Vanessa Cavichiolo Donizete Gonçalves da Cruz Fabiana Anciutti Orreda Lisiane Cristina Amplatz Marcia Viviane Barbetta Manosso Renata Cristina Lopes Assessora do Departamento de Ensino Médio Agnes Cordeiro de Carvalho Coordenadora Administrativa do Livro Didático Público Edna Amancio de Souza Equipe Administrativa Mariema Ribeiro Sueli Tereza Szymanek Técnicos Administrativos Alexandre Oliveira Cristovam Viviane Machado Consultor Carlos Roberto Vianna Leitura Crítica Valdeni Soliani Franco – UEM Colaboradoras Anne Eloise Stelmachuck Silvia Regina Alcântara Consultor de direitos autorais Alex Sander Hostyn Branchier Revisão Textual Luciana Cristina Vargas da Cruz Renata de Oliveira Projeto Gráfico e Capa Eder Lima / Ícone Audiovisual Ltda Editoração Eletrônica Ícone Audiovisual Ltda 2007  Carta do Secretário Este Livro Didático Público chega às escolas da rede como resultado do trabalho coletivo de nossos educadores. Foi elaborado para atender à carência histórica de material didático no Ensino Médio, como uma iniciativa sem precedentes de valorização da prática pedagógica e dos saberes da professora e do professor, para criar um livro público, acessível, uma fonte densa e credenciada de acesso ao conhecimento. A motivação dominante dessa experiência democrática teve origem na leitura justa das necessidades e anseios de nossos estudantes. Caminhamos fortalecidos pelo compromisso com a qualidade da educação pública e pelo reconhecimento do direito fundamental de todos os cidadãos de acesso à cultura, à informação e ao conhecimento. Nesta caminhada, aprendemos e ensinamos que o livro didático não é mercadoria e o conhecimento produzido pela humanidade não pode ser apropriado particularmente, mediante exibição de títulos privados, leis de papel mal-escritas, feitas para proteger os vendilhões de um mercado editorial absurdamente concentrado e elitista. Desafiados a abrir uma trilha própria para o estudo e a pesquisa, entregamos a vocês, professores e estudantes do Paraná, este material de ensino-aprendizagem, para suas consultas, reflexões e formação contínua. Comemoramos com vocês esta feliz e acertada realização, propondo, com este Livro Didático Público, a socialização do conhecimento e dos saberes. Apropriem-se deste livro público, transformem e multipliquem as suas leituras. Mauricio Requião de Mello e Silva Secretário de Estado da Educação  Aos Estudantes Agir no sentido mais geral do termo significa tomar ini- ciativa, iniciar, imprimir movimento a alguma coisa. Por constituírem um initium, por serem recém-chegados e ini- ciadores, em virtude do fato de terem nascido, os homens tomam iniciativa, são impelidos a agir. (...) O fato de que o homem é capaz de agir significa que se pode esperar de- le o inesperado, que ele é capaz de realizar o infinitamente improvável. E isto, por sua vez, só é possível porque cada homem é singular, de sorte que, a cada nascimento, vem ao mundo algo singularmente novo. Desse alguém que é singular pode-se dizer, com certeza, que antes dele não havia ninguém. Se a ação, como início, corresponde ao fa- to do nascimento, se é a efetivação da condição humana da natalidade, o discurso corresponde ao fato da distinção e é a efetivação da condição humana da pluralidade, isto é, do viver como ser distinto e singular entre iguais. Hannah Arendt A condição humana Este é o seu livro didático público. Ele participará de sua trajetória pelo Ensino Médio e deverá ser um importante recurso para a sua formação. Se fosse apenas um simples livro já seria valioso, pois, os livros re- gistram e perpetuam nossas conquistas, conhecimentos, descobertas, so- nhos. Os livros, documentam as mudanças históricas, são arquivos dos acertos e dos erros, materializam palavras em textos que exprimem, ques- tionam e projetam a própria humanidade.  Mas este é um livro didático e isto o caracteriza como um livro de en- sinar e aprender. Pelo menos esta é a idéia mais comum que se tem a res- peito de um livro didático. Porém, este livro é diferente. Ele foi escrito a partir de um conceito inovador de ensinar e de aprender. Com ele, como apoio didático, seu professor e você farão muito mais do que “seguir o li- vro”. Vocês ultrapassarão o livro. Serão convidados a interagir com ele e desafiados a estudar além do que ele traz em suas páginas. Neste livro há uma preocupação em escrever textos que valorizem o conhecimento científico, filosófico e artístico, bem como a dimensão his- tórica das disciplinas de maneira contextualizada, ou seja, numa lingua- gem que aproxime esses saberes da sua realidade. É um livro diferente porque não tem a pretensão de esgotar conteúdos, mas discutir a reali- dade em diferentes perspectivas de análise; não quer apresentar dogmas, mas questionar para compreender. Além disso, os conteúdos abordados são alguns recortes possíveis dos conteúdos mais amplos que estruturam e identificam as disciplinas escolares. O conjunto desses elementos que constituem o processo de escrita deste livro denomina cada um dos tex- tos que o compõem de “Folhas”. Em cada Folhas vocês, estudantes, e seus professores poderão cons- truir, reconstruir e atualizar conhecimentos das disciplinas e, nas veredas das outras disciplinas, entender melhor os conteúdos sobre os quais se debruçam em cada momento do aprendizado. Essa relação entre as dis- ciplinas, que está em aprimoramento, assim como deve ser todo o pro- cesso de conhecimento, mostra que os saberes específicos de cada uma delas se aproximam, e navegam por todas, ainda que com concepções e recortes diferentes.  Outro aspecto diferenciador deste livro é a presença, ao longo do tex- to, de atividades que configuram a construção do conhecimento por meio do diálogo e da pesquisa, rompendo com a tradição de separar o espaço de aprendizado do espaço de fixação que, aliás, raramente é um espaço de discussão, pois, estando separado do discurso, desarticula o pensamento. Este livro também é diferente porque seu processo de elaboração e distribuição foi concretizado integralmente na esfera pública: os Folhas que o compõem foram escritos por professores da rede estadual de en- sino, que trabalharam em interação constante com os professores do De- partamento de Ensino Médio, que também escreveram Folhas para o li- vro, e com a consultoria dos professores da rede de ensino superior que acreditaram nesse projeto. Agora o livro está pronto. Você o tem nas mãos e ele é prova do valor e da capacidade de realização de uma política comprometida com o pú- blico. Use-o com intensidade, participe, procure respostas e arrisque-se a elaborar novas perguntas. A qualidade de sua formação começa aí, na sua sala de aula, no traba- lho coletivo que envolve você, seus colegas e seus professores.  Ensino Médio Sumário Apresentação Geral.......................................................................10 Conteúdo Estruturante: Números e Álgebra Introdução...................................................................................12 1 – Um; dois; três; 4,5;...; 27?........................................................15 Conteúdo Estruturante: Funções Introdução...................................................................................26 2 – Energia Elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga...........................................................29 3 – Condomínio Horizontal ou Loteamento Fechado?................................39 4 – Riscos de acidentes e expectativa de vida.........................................53 5 – Matemática, música e terremoto, o que há em comum?.......................65 6 – $$$ Quem mexeu no meu bolso? $$$............................................77  Matemática 7 – Qual é o próximo número?.............................................................93 8 – A rede e o ser...........................................................................107 9 – Venha navegar por outros mares!...................................................121 10 – Rodando a roda.........................................................................137 Conteúdo Estruturante: Geometrias Introdução.................................................................................150 11 – A beleza das formas....................................................................153 12 – Se ficar, o cupim come... se tirar, a casa cai?...................................165 13 – Qual matemática está presente no resgate do barco?.........................179 Conteúdo Estruturante: Tratamento da Informação Introdução.................................................................................192 14 – Leitura, Imagem e Informação.......................................................195 15 – Arte de Contar...........................................................................207 16 – Sonho Assegurado?....................................................................223  Ensino Médio A Ao longo de todos esses anos, você tem estudado Matemática e, p provavelmente, consegue reconhecer algumas situações em que ela é fundamental e está mais evidente. Diante das situações vivenciadas no cotidiano de seus estudos e pesquisas, você já se questionou sobre: O que é Matemática? Para que ela serve? Quando vou usá-la? r Parece difícil pensar respostas em poucas palavras porque a im- pressão que temos é que sempre poderemos complementá-las. Isto se deve ao fato da Matemática ter sido construída ao longo da história da e humanidade e quase sempre relacionada com outras áreas do conhe- cimento. E você faz parte dessa história de construção! Alguma vez vo- cê já pensou sobre isso? A matemática é uma ciência que provém da construção humana, s seus conceitos surgiram da necessidade do homem resolver situações- problema. Essas situações normalmente estão relacionadas com outras áreas, mas nem sempre, em momentos que ficamos diante de uma si- e tuação real, percebemos que estamos usando conceitos matemáticos, mas eles estão presentes. Afinal, a matemática não é apenas uma disci- plina, é uma forma de pensar que deve estar ao alcance de todos. Sen- do assim, somos capazes de aprender matemática, independente do n meio social que estamos inseridos, uma vez que ela é parte integrante de nossas raízes culturais. Contemplamos neste livro os conteúdos estruturantes – Números t e Álgebra, Funções, Geometrias e Tratamento da Informação –, os quais não se esgotam nas abordagens escolhidas pelos autores, sendo possíveis muitas outras. Optamos por não apresentar, sempre que possível, as definições e a demonstrações das relações matemáticas, para que você, aluno, parti- cipe da construção das mesmas e que, dessa forma, a matemática lhe possibilite leituras de mundo, contribuindo na formação do seu pen- ç samento matemático crítico, o qual influi nas tomadas de decisões em diversas ações do cotidiano. E por que essa concepção para se abor- dar conteúdos de matemática? Isso se deve ao fato de que no ensino da Matemática escolar tem se ã enfatizado métodos que se fundamentam no rigor das demonstrações matemáticas. Essa prática favorece o caráter meramente utilitário, que o 10 Apresentação  Matemática cria condições para o manejo mecânico do objeto matemático de for- ma a resolver situações-problema, sem a devida preocupação de bus- M car a validade e aceitação científica. Elaboramos esses textos com o objetivo de que você, estudante, conceba a Matemática como uma ciência a ser experienciada. Assim, é possível vivenciá-la por meio de situações-problema do seu cotidiano, A possibilitando a exploração dos conceitos matemáticos através de ati- vidades, pelas quais possa entender os seus significados. Nessa concepção, valorizam-se as distintas maneiras de manifes- tação do conhecimento matemático, ou seja, as quantidades e as for- T mas espaciais como meio para produzirmos um raciocínio e uma ló- gica matemática a partir das situações ligadas às nossas experiências pessoais e coletivas. Essas idéias aqui defendidas nos permitem pensar em uma prática E de ensino de matemática numa perspectiva crítica, que articula o co- nhecimento matemático com as outras áreas, contribuindo na solução de problemas presentes no meio social, político, econômico e históri- co no qual nos inserimos. M No ensino da Matemática, a abordagem experienciada pelo valor formativo possibilita a você, estudante, criar no seu imaginário, uma heurística que, por meio da elaboração de hipóteses, oriente a busca de soluções para as situações-problema. Uma abordagem interessante para nós é a que leva em consideração o valor estético. Esta, possibili- Á ta por meio da geometria, intervir na mudança do espaço onde circu- lamos e vivemos, resultado do espírito inventivo do ser humano, que faz a pessoa perceber a beleza através da apreciação, sensibilidade e, por conseguinte, de estados emocionais diversos. T As produções que fazem parte deste Livro Didático Público da Dis- ciplina de Matemática, procuram partir de situações de nossa vivên- cia e consideram a investigação matemática como fundamento teóri- co-metodológico para direcionar a prática docente. Sendo assim, ao I C resolver um problema matemático, pensamos nos estudantes usando etapas, tais como: a observação, a exploração, a formulação de conjec- turas, a pesquisa teórica, a confirmação das conjecturas e, finalmente, a validação ou refutação das conjecturas. A 11  Ensino Médio I Números e Álgebra n Você já deve ter se perguntado: quando surgiram os Números? Quando surgiu a Álgebra? Houve uma data que demarcou o início t desses conhecimentos matemáticos? Os números estão presentes na vida do homem desde tempos remotos. Esses tempos são denominados Idade da Pedra e Paleolítico. Nesse período, o homem vivia em condições semelhantes à dos animais, r sendo que sua atividade principal era recolher alimentos para sua sobrevivência. No transcorrer de sua história, passou a fabricar alguns instrumentos utilizados na caça e na pesca e desenvolveu linguagens que possibilitavam a comunicação. A partir do momento que o homem o passou da simples coleta de alimento para a produção do mesmo, ou seja, além da caça e da pesca, começou a utilizar a agricultura, ocorreram progressos no conhecimento de valores numéricos e passaram a conhecer noções de relações espaciais. d A produção do alimento por meio da atividade agrícola foi uma transformação fundamental e a ação do homem sobre a natureza passou de passiva à ativa, isto é, os homens caçadores e pescadores foram substituídos pelos homens agricultores – iniciou-se assim, um u novo período da Idade da Pedra, o Neolítico. A agricultura criou um novo modo de vida. As idéias de contagem se desenvolveram, outros povos adotaram os conceitos e criaram seus sistemas de numeração, entre eles, citamos os sumérios, babilônios, ç egípcios, gregos, romanos, hebraicos, maias, chineses, indianos e árabes. Sem dúvida, a invenção do sistema de numeração conhecido hoje, que parece uma aptidão inata no homem, tem uma história excitante que varou séculos. ã A Álgebra, importante capítulo da ciência Matemática, desenvolveu- se sob influências de várias culturas. Há registros na literatura da História da Matemática que os babilônios, por volta de 2000 a.C., acumulavam razoável quantidade de material que hoje pode ser classificada como o 12 Introdução  Matemática M Álgebra elementar. São as primeiras considerações que a humanidade fez a respeito de idéias que se originaram de simples observações, A T provenientes da capacidade humana de reconhecer configurações físicas e geométricas, comparar formas, tamanhos e quantidades. As idéias algébricas evoluíram e pode-se mencionar a Álgebra egípcia, babilônica, pré-diofantina, diofantina, chinesa, hindu, arábica e da E cultura européia renascentista. Cada Álgebra evidenciou elementos característicos que expressam o pensamento algébrico de cada cultura. Tais idéias se desenvolveram e configuraram a Álgebra como importante meio para as pessoas resolverem problemas. M Dessa forma, somar, subtrair, multiplicar, dividir, agrupar, desagrupar, algebrizar são termos que se fazem presentes no dia-a-dia. Desde os primeiros dias de vida, os números fazem parte de nossa vida: “nasceu dia 05 de dezembro, às 19h55min, com 47 cm e 3,375 kg”. Você sabia que até nota de 0 a 10 os recém nascidos recebem? Então, por que, às vezes parece que a matemática é tão distante e sem sentido? A intenção é que você perceba a matemática como uma construção decorrente da ação humana, fazendo com que regras e definições sejam Á construídas pelos atores principais da ação: você e seu professor, uma dupla que tem muito a ensinar e muito a aprender. No Folhas Um; dois; três; 4,5;... ; 27 ? aborda-se de forma histórica a necessidade que o homem tem e teve de resolver problemas nas mais T diversas situações que experienciou. Experiência é necessário para pôr em ação as interações entre você e seu professor, para familiarizá- lo, ao processo de aquisição de novas informações e conhecimentos — um processo que tem vários aspectos, entre eles: a aprendizagem, I descoberta, criação e compreensão. Pois bem, mãos à obra e vamos às descobertas! C A 13  Ensino Médio 14 Números e Álgebra  Matemática 1 Um; dois; três; 4,5;...; 27? Roberto José Medeiros Junior1 ocê já parou para pensar so- bre a origem dos números? Já refletiu sobre o fato de, pratica- mente, tudo que está a sua volta ter, em algum lugar, números? Colégio Estadual Conselheiro Zacarias - EFM -Curitiba - PR 1 Um; dois; três; 4,5;...; 27? 15  Ensino Médio Olhe a tira em quadrinhos abaixo: Fonte:Prova do ENEM 2003 Que recado Mafalda quis transmitir? Você já ouviu falar no tal “indicador de desemprego”? Qual a relação entre o “dedo indicador” e o número três mil? Como você acha que está o desemprego nos países de primeiro mundo? Você conhece alguém que foi procurar trabalho fora do Brasil? Você já ouviu falar da PME? É a Pesquisa Mensal de Emprego. Ela fornece indicadores de mercado de trabalho e acompanha a dinâmica conjuntural de emprego e desemprego. No início do ano 1930, os livros para alunos das séries iniciais tra- tavam os desempregados como “desocupados”. Hoje o fenômeno do desemprego é considerado estrutural, isso significa que não é possí- vel criar emprego para todas as pessoas, que o mundo está organizado (ou estruturado) de uma maneira tal que cada vez fica mais difícil con- seguir empregos, e as exigências vão se tornando maiores. ATIVIDADE No gráfico ao lado, a sigla PO – Distribuição da PO por grupamento de atividade Pessoas Ocupadas – indica a parte segundo a cor ou raça nas seis RMs Branca da população economicamente ati- % va: pessoas que, num determinado Preta/Parda período de referência, trabalharam ou tinham trabalho. As PO são classificadas em: em- pregados, conta-própria, emprega- dores e não remunerados. As RMs – Regiões Metropolita- 18,7 14,9 10,3 20,3 20,7 15,0 11,2 17,7 13,0 11,2 16,4 17,9 nas – analisadas para obter os dados 5,9 5,4 que geraram este gráfico foram: Re- Indústria Construção Comércio Serv. Saúde Serv. Outros cife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Prest. Educação Domésticos Serviços Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. Empresas Adm. Pub. Que informações o gráfico traz? Fonte: Pesquisa Mensal de Emprego – PME – março de 2004 - IBGE 16 Números e Álgebra  Matemática PESQUISA Você sabe o que significa a sigla IBGE? Quais as causas do desemprego no Brasil? Como se constrói esse indicador? Comparando a charge da Mafalda e o gráfico da PME, vemos que são mencionados números que têm características diferentes. Talvez a mais notável seja a existência de vírgulas indicando números decimais. Você acha que somente com esses tipos de números poderíamos ex- pressar todas as situações no mundo de hoje? Sabe como são chama- dos esses “tipos” de números? Com o tempo, vamos transformando cada vez mais nosso modo de comunicação. Isso significa que tanto o alfabeto quanto os núme- ros, como os modos de utilização destes recursos, estão em constante transformação. Alguns acham que isso é um “progresso”, uma “evolu- ção”; outros gostariam que as coisas não mudassem tanto. Por acaso, você já se comunicou através de conexões on-line pela internet? Ou já teve a oportunidade de ler alguma coisa escrita em internetês? (linguagem utilizada na internet baseada na simplificação informal da escrita). Oie :-) td baum? blz e vc? =] hauihauiha kkkkkkkkkk o q foi? nada, to vendo a foto de um bafão que dei! hihihihihi eh?! manda pra mim ;-) eh... hehehehe lol... depois t mando, agora to curtindo uma house music [=) vo nessa bjus! As coisas mudam, há uns vinte anos esse dialeto não seria entendi- do. Do mesmo modo, a linguagem e a forma dos números em Mate- mática foram mudando com o tempo, novas representações numéricas foram aparecendo para dar conta das necessidades das sociedades. Se escrevermos o internetês é porque existe uma língua padrão na qual nos baseamos. Ou seja, o internetês é uma forma de comunicação “de- rivada” da língua portuguesa. Um; dois; três; 4,5;...; 27? 17  Ensino Médio Números em transformação Contar é preciso! A Matemática surgiu inicialmente da necessidade de contar e registrar números. Até onde sabe- mos nunca houve uma sociedade sem algum processo de contagem ou fala numérica (isto é, associando uma cole- ção de objetos com algumas marcas facilmente manipulá- veis, seja em pedras, nós ou inscrições, tais como marcas em madeira ou ossos). O objeto mais antigo, utilizado pelo homem para fa- zer registros de contagem, é o bastão de Ishango, um osso encontrado no Congo (África) em 1950, datado de 20000 a.C., possui marcas compatíveis a um sistema de numera- ção de base 10, é 18 mil anos mais antigo do que a mate- mática grega. PESQUISA Que tal você pesquisar um pouco mais sobre a Pré-História? Elabore um pequeno texto sobre os principais períodos da pré-história e o modo como as civilizações foram se adap- tando às novas realidades. O que seria de nós sem os números e o calendário? Você já imagi- nou viver sem saber em que ano, mês, dia e hora está? Quantos dias têm um ano? Você já percebeu algum padrão nos dias da semana? Co- mo é possível saber em que dia da semana cai o seu aniversário no ano de 2020? Segundo contam os historiadores, somente após a chegada das ati- vidades comerciais houve uma evolução significativa da escrita e da linguagem. As palavras, até então, exprimiam coisas muito concretas e pouco abstratas, mas, o que pensar sobre os habitantes da selva da África do Sul e de algumas tribos existentes até mesmo no Paraná, que contam “um, dois e muitos?”. Até a língua inglesa ainda guarda um res- quício desse estágio na palavra thrice, que tanto pode significar “três vezes” como “muito” ou “extremamente”. Os Sumérios, povos que habitaram o Oriente Médio, desenvolveram o mais antigo sistema numérico conhecido. A Suméria era uma região situada ao sul da Mesopotâmia e seu povo, provavelmente, foi o primeiro a habitar esta localidade, por volta do quarto milênio a. C. O sistema sumério era posicional e utilizava a base 60 e em vez dos dez algarismos 0, 1, 2, 3,..., 9, utilizado hoje, este sistema tinha apenas dois símbolos que representam unidades e dezenas. Os símbolos utilizados eram para as unidades e para as dezenas. 18 Números e Álgebra  Matemática Uma aplicação do sistema de numeração sexagesimal é encontrado na contagem de tempo: uma hora é dividida em 60 minutos e o dia e a noite têm 12 horas (12 é a quinta parte de 60). Já na geometria, o círculo tem 360o, que é seis vezes 60. Percebeu a influência dos números nas civilizações? Pois então, a esses números utilizados para contar, chamamos de Números Naturais ( ). = {0, 1, 2, 3, 4,..., 3000,...} Você poderia perguntar: Mas, o zero é utilizado para contar? Como contar nada? Historicamente o zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Sabemos que o zero apareceu para representar no sistema de- cimal/posicional a dezena, centena, milhar, ou seja, números cada vez maiores utilizando um tipo de sistema mais adequado às necessidades do homem. Os documentos mais antigos co- nhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III a.C. Ao que se sabe, os maias foram um dos poucos povos a adotar o algarismo zero, que tinha a forma oval ou de um olho, seu sistema de numeração era posicional e usava a base 20. Um dos grandes proble- mas matemáticos do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solu- ção para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. O sistema numérico Indo-Árábico e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a ba- se dez, isto porque, aparentemente, o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos da mão de um indivíduo normal. Para este sistema de numeração torna-se habitual a contagem pelos dedos, não é por menos que a palavra dígito vem do latim digitus que sig- nifica dedo. Na Base 10, cada dez unidades são representadas por uma dezena, que é formada pelo algarismo um e pelo algarismo zero, ou simples- *Sabe-se muito pou- mente, 10. Este antigo símbolo hindu era comumente usado em inscri- co sobre Pitágoras. Alguns ções e manuscritos para assinalar um espaço não preenchido, que era chegam a dizer que ele não existiu e que seu nome te- chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou ria sido criado para unificar para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o os adeptos de uma seita filo- latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200. Essas suces- sófico-religiosa. Sua vida foi sivas mudanças, passaram também por zeuero, zepiro e cifre, levaram envolvida em aspectos mito- as nossas palavras “cifra” ou “zero”. lógicos, teria recebido a filo- O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao sofia por uma revelação di- símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu vina (filho de Apolo) e seria que tinham o sistema decimal com o zero, mas paravam nas unidades, onipresente. Deixou duas não usando casas decimais. Para as frações usavam notação com dois doutrinas célebres: a divin- símbolos, semelhantes ao numerador e denominador. dade do número e a cren- Para os problemas matemáticos enfrentados pelos povos primitivos ça na migração das almas bastavam os números naturais. Porém, através do desenvolvimento das de corpo em corpo. Pregava civilizações surgiram novas necessidades, exigindo uma investigação so- que os números constituem bre a natureza e propriedade dos números. Destas necessidades, nas- a essência de todas as coi- ceu a Teoria dos Números, por volta de 600 a.C., quando Pitágoras* e os sas, são a verdade eterna e seus discípulos começaram a estudar as propriedades de outro conjunto o princípio de tudo. numérico, atualmente classificado como Números Inteiros ( ). Um; dois; três; 4,5;...; 27? 19  Ensino Médio Inteiros por que não são quebrados? Isso mesmo, servem para re- presentar quantias exatas e ainda podem ser utilizados para solucionar questões como: de dez tirei vinte, com quanto fiquei? Se preferir 10 – 20 = ? = {..., -n,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., n,...} ou -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Os pitagóricos acreditavam que os números eram “realidades pri- mordiais do universo” (CARAÇA, 2002, p.67), que tudo no universo es- tava relacionado com números ou razões entre eles. Analogamente ao que aconteceu com o zero, que só foi usado mui- to tempo depois dos outros naturais, também a notação para as frações num sistema posicional só foi retomada com a separação entre a par- te inteira e a parte fracionária no século XVI. Esse tipo de notação está presente no conjunto dos Números Racio- nais ( ). Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número in- teiro (b), com b 0, obtemos um número racional. Que tal um exemplo: Se a = 8 e b = 4, obtemos o número racional 2,0. Se a =1 e b = 4, obtemos o número racional 0,25. Ambos têm um número finito de ca- sas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, se na razão a/b, a = 1 e b = 9 nos dá o número racional 0,1111111111... É a chamada dízima periódica. O que aconteceria se essa seqüência continuasse? Preencha a tabela: Existe algum padrão nessa tabela? O que acontece quando os nú- a b a/b meros vão aumentando infinitamente? Você saberia demonstrar que to- do número racional pode ser representado por uma dízima periódica? 2 9 3 9 Podemos considerar os números racionais como aqueles que po- dem ser representados como um número fracionário de quociente exa-... 9 to ou periódico. Englobam os números naturais e os números inteiros. n 9 Mas, inteiros e racionais têm as mesmas propriedades? = {x = a/b, com a ,b eb 0} -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2 -1 0 1 2 2,5 3 3,5 4 5 ATIVIDADE Que tal você pegar uma folha e desenhar um quadrado, sendo a medida do lado um número inteiro positivo. Feito o quadrado, o que se pode dizer sobre o valor da medida da diagonal? 20 Números e Álgebra  Matemática Você acha que o valor da diagonal será um número inteiro? Para ilustrar essa situação vamos utilizar um quadrado cuja medida do lado é igual a 1. Qual será a medida do lado maior do triângulo retângu- lo? Será possível representar tal valor por meio de uma razão de números inteiros? Vamos supor que existisse uma fração irredutível a tal que 2 = a. Uti- b b lizando alguns recursos aritméticos, você chegará na igualdade a2 = 2b2, o que dizer sobre a2 ? Será um número par? Se for, o mesmo é verda- deiro para a, isto é, a = 2r, sendo r outro número inteiro. Substituindo a = 2r em a2 = 2b2, obtemos, b2 = 2r2. Mas esta última relação nos diz que b2 é número par, logo b também é par. Chegamos a um absurdo, pois a é fração irredutível, não sendo possível que a e b sejam ambos b pares. Somos, assim, forçados a rejeitar a suposição inicial de que 2 seja um número racional na forma a. b Com essa análise os pitagóricos consideraram quebrada a harmo- nia do universo, já que não podiam aceitar a raiz quadrada de dois co- mo um número, mas, não podiam negar que esta raíz era a medida da diagonal de um quadrado unitário, um número cujo valor aproxima- do é 1,414213562373... Como poderia isto ser um número? Tal mons- truosidade feria a harmonia Divina, ficou escondida por muito tempo, para então anunciar ao mundo a presença de um novo conjunto nu- mérico: os Números Irracionais, números que não podem ser expres- sos pela razão (divisão) na forma a/b com b 0. Já parou para pensar o porquê do b 0? ATIVIDADE Que tal um desafio: verifique você mesmo que 2 + 3 é irracional! Como calcular o comprimento de uma circunferência sabendo so- mente o diâmetro? Um fato importante notado pelos geômetras da antiguidade foi que “quanto maior o diâmetro, maior o comprimen- to”, (usando este princípio, os gregos conseguiram resolver diversos problemas envolvendo o que hoje chamamos de “limite”) mais ain- da, que o comprimento da circunferência é proporcional ao seu diâ- metro. Se indicarmos por C o comprimento e por d o diâmetro, isto significa que o quociente C/d é constante, qualquer que seja a cir- cunferência considerada. Medidas experimentais mostravam que esta constante era um pouco maior do que 3. Os geômetras antigos usa- ram, com muito sucesso, valores aproximados para esta constante co- mo, por exemplo, 22. 7 Um; dois; três; 4,5;...; 27? 21  Ensino Médio Hoje sabemos que tal constante é um número irracional de valor bem definido chamado pi [ ], que é a inicial da palavra grega periferia e, segundo a revista Science News, de setem- bro de 1989, David e Gregory Chudnovsky já o calcularam com um bilhão de algarismos de- cimais exatos após a vírgula. David e Gregory Chudnovsky nasceram em Kiev, Ucrânia, depois da Segunda Guerra Mun- dial, e pertencem a uma classe de teóricos muito singulares. Juntos já escreveram 154 artigos e 12 livros, a maioria sobre a teoria dos números. Gregory Chudnovsky publicou seu primeiro artigo com 16 anos! Projetaram e construíram, em seu apartamento, um computador com peças compradas pelo correio, com o qual calcularam o valor de pi com a maior precisão de dígitos possível, batendo, assim, um recorde tão sonhado por inúmeros matemáticos. Os irmãos David e Gregory Chudnovsky ficaram muito famosos, e foram protagonizados em um filme chamado Pi, de Darren Aronofsky. O roteiro é centrado em Max Cohen, que após quase ficar cego ao olhar para o sol, aos seis anos de idade, emerge dessa experiência com um dom incomum para Matemática. Apesar de aplicá-lo mais constantemente na solução de sim- ples multiplicações para a garotinha que é sua vizinha, Max se dedica em empregar seu dom para identificar padrões matemáticos na natureza, a ponto de ter construído, dentro de casa, um supercomputador para auxiliá-lo em seus estudos. ATIVIDADE Que tal obter experimentalmente o valor de pi? Por exemplo, vamos experimentalmente encontrar o valor de pi em um objeto circular (poderia ser a tampa de uma panela, prato ou lixeira). Material necessário: 1. Revistas para recortar (podem ser substituídas por espetinhos de churrasco de madeira); 2. Barbante ou cadarço; 3. Objetos circulares (prato, tampa de lixeira, de margarina etc.); 4. Esquadro escolar (de madeira ou plástico); 5. Cola de madeira ou cola branca; 6. Grampeador; 7. Fita adesiva; Eis o que pretendemos: Reta qualquer perpendicular à reta r r 22 Números e Álgebra  Matemática Desenvolvimento da atividade: 1º Passo: construir os dois pares de retas perpendiculares. Para isso você pode enrolar quatro canudos feitos com folhas de re- vista, ou adquirir palitos de churrasco. Fonte: imagem do autor, 2007. 2º Passo: acertar os ângulos entre os canudos para que se aproxi- mem dos 90º. Feito isso, podemos fixar os canudos com o ângulo de- sejado com grampos métricos ou fita adesiva. Fonte: imagem do autor, 2007. 3º Passo: com o objeto circular em mãos, passamos a determinação do centro do objeto empiricamente (a imagem que segue é um exem- plo do posicionamento dos pontos de tangência). Fonte: imagem do autor, 2007. Um; dois; três; 4,5;...; 27? 23  Ensino Médio Em um objeto circular, teríamos o centro e o diâmetro como os apresentados: Fonte: imagem do autor, 2007. Note que os canudos, se in- terceptam de um ponto que é, aproximadamente, o centro do prato. Partindo daí, temos que: a) Encontrar o comprimento (perímetro) da circunferência, para isso basta contornar a tampa com um barbante, es- tique o barbante na régua e anote a medida encontrada. Fonte: imagem do autor, 2007. b) Encontrar o diâmetro da circunferência. Mas o que é mesmo diâmetro? A igualdade d = 2r lembra algo? Bem uma definição de diâmetro seria “segmento de reta que une dois pontos de uma circunferência, passan- do pelo centro”. Mas cadê o centro do prato? Uma técnica interessante é primeiramente traçar duas cordas não paralelas à circunferência. Se- gundo: marcar as mediatrizes dos segmentos e por esses pontos traçar retas perpendiculares. A interseção das retas será o centro da tampa. O caso é que o prato das imagens não permite que sejam traçados seg- mentos para que sejam traçadas mediatrizes. Por isso optamos por re- tas perpendiculares já estabelecidas. O que aconteceria se transladasse a estrutura de canudos para dentro do prato? Perderíamos a localização do centro da circunferência? c) Medir o comprimento do diâmetro na régua e, então, dividir o valor de C por d (C é comprimento da circunferência e d é o diâmetro) o resultado dessa divisão deve ser um valor próximo de 3,14… valor de pi. Fica como sugestão dinamizar esse translado (ou mesmo o valor de pi) no software de geometria dinâmica Geogebra. 24 Números e Álgebra  Matemática ATIVIDADE Agora um desafio: se a e b são números irracionais positivos, pode a potência ab ter valor racional? Analise o caso ( 2 ) , trata-se de um número racional ou irracional? As letras , e são, Concluindo, da união dos números Racionais com os Irracio- respectivamente, as iniciais nais surgem os números Reais, ou seja, os números do mundo das palavras número (ou na- real. Simbolicamente representados por = I, e de forma re- tural), quociente e real. A le- sumida,. tra é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão. Obras Consultadas ÁVILA, G. Objetivos do ensino da Matemática. Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, no. 27, SBM, p. 1-9, 1995. BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1974. CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984. COSTA, M. A. As idéias fundamentais da Matemática e outros ensaios. São Paulo: EDUSP, 1971. DEVLIN. K. J. Os Problemas do Milênio, sete grandes enigmas matemáticos do nosso tempo. Rio de Janeiro: Record, 2004. EVES, H. História da Matemática. São Paulo: Ed. da UNICAMP, 1996. GARBI, G.O. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997. MEDEIROS, A. & MEDEIROS, C. Números negativos: uma história de incertezas. Rio Claro: Bolema, ano 7, no. 8, p. 49 a 59, 1992. STRUIK, D. J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1989. Obras Consultadas ONLINE MIRAGLIA, F. ; JUBRAN, S. Panorama da Cultura Árabe: Contribuição dos Árabes ao Conhecimento. Disponível em:. Acesso em: 20 nov. 2007. Um; dois; três; 4,5;...; 27? 25  Ensino Médio Funções I É muito comum usarmos conceitos matemáticos em nosso cotidiano sem nos darmos conta disso, como é o caso do conceito de função. As funções matemáticas permitem representar situações reais, passíveis de serem matematizadas, facilitando a sua resolução. n A proposta destes textos é trazer não só a aplicabilidade de funções que tradicionalmente são trabalhadas de maneira formal, mas o de propor problemas instigantes e significativos que te leve a perceber que uma situação-problema de matemática pode ser tão divertida t quanto jogos em rede ou tão desafiador quanto realizar seus sonhos. Nos textos são exploradas as linguagens gráficas por essas constituírem uma das formas de conhecer e transmitir informações em nosso mundo atual. r O texto Energia Elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga fala de como podemos calcular o consumo de energia elétrica em nossas casas. Vale lembrar que, por meio do estudo de função afim, é possível utilizar o consumo de energia como meio para o abordar este conteúdo. A produção sobre Condomínios Horizontais ou Loteamentos Fechados apresenta questionamentos de algumas famílias que estão à procura de um imóvel. Como a matemática pode auxiliar na escolha do tamanho d da casa e no valor do condomínio? Os centros urbanos enfrentam a migração de um crescente número de trabalhadores rurais. Como eles vivem nas cidades? Serão abordados alguns temas sobre o Estatuto da Cidade, as leis federais e estaduais. u O texto Risco de acidentes e expectativa de vida mostra como podemos resolver problemas e prever resultados em situações que são expressas por funções exponenciais. Um exemplo é fazer previsões de crescimento populacional de uma região, e, outro exemplo, calcular os riscos de ç acidentes provocados pelo consumo de bebida alcoólica ao dirigir, calculando qual é o limite de consumo de álcool para não correr riscos de acidentes. Em funções logarítmicas, temas como a música e som são abordados, ã e questões atuais, como os desastres naturais, também são exploradas. Um exemplo foi o terremoto, ocorrido no Paquistão em outubro de 2005, onde morreram mais de 39 mil pessoas. O texto Matemática, música e terremoto, o que há em comum? trata de como estes dois assuntos, o aparentemente sem ter nada em comum, estão relacionados com os logaritmos. Fatos que envolverarm uma crise política que o país passou são destacados em paralelo com os fatos que marcaram a história no texto de $$$Quem mexeu no meu bolso?$$$. A produção vem transmitir os 26 Introdução  Matemática conceitos de progressões aritméticas de um contexto social, correlatado à realidade brasileira. A produção Qual é o próximo número? busca na história da matemática sua fonte problematizadora. Assim, é possível notar que a matemática M se desenvolveu pelo espírito criativo das pessoas. Aborda a presença de um conceito matemático em diferentes contextos. Faz uma relação interdisciplinar que possibilita perceber que tal conceito contribui para resolver problemas em várias atividades humanas. Este conceito A T se manifesta no desenvolvimento de alguns vegetais, e podemos enxergá-lo inserido na beleza de elementos da natureza. Não sabemos se esse conhecimento matemático contribuirá para explicações sobre o desenvolvimento de espécies vegetais, isso é tarefa para a pesquisa científica, e, quem sabe um dia, teremos alguma resposta nesse sentido. O que nos importa agora é, por meio da observação das regularidades no desenvolvimento de alguns vegetais, poder conhecer mais sobre esse assunto matemático. E O Folhas A Rede e o Ser discute que as promessas de ganhar dinheiro através de negócio em rede pode não ser tão fácil como se diz. Pelo contrário, autonomia, alta rentabilidade, possibilidade de ser o próprio patrão, ter sucesso nos negócios, ganho em grupo de forma que consiga M morar em uma casa própria, dirigir o carro de seus sonhos, viajar ao redor do mundo, como normalmente a propaganda comenta, pode ser uma falácia. Os cálculos matemáticos e a relação interdisciplinar dessa produção possibilitam levantar idéias e discussões em torno de Á assuntos muito presentes em nosso cotidiano, tais como: desemprego, formação das grandes redes comerciais e industriais e a desvalorização da pessoa no mundo capitalista globalizado. No texto Venha navegar por outros mares, você é convidado a fazer T uma viagem astronômica começando pelo século II a. C. até os dias atuais, onde as medidas astronômicas entre planetas e astros são calculadas através de recursos tecnológicos avançados. Também trata da importância da Trigonometria na era dos descobrimentos, em que as rotas das navegações eram traçadas em função da distância do navio I às estrelas, as quais eram usadas como pontos de referência. O Folhas Rodando a Roda apresenta as funções trigonométricas, através do estudo do movimento descrito por uma roda gigante, mostra- se as aplicações da função seno durante a trajetória do passeio. Você C poderá conhecer a evolução da trigonometria que inicialmente era utilizada para auxiliar os cálculos na astronomia até o momento em que ela se torna um conteúdo onde outras associações são possíveis além daquelas relacionadas ao estudo de ângulos e lados de um triângulo. A Afinal, o que você entende por funções? 27  Ensino Médio 28 Funções  Matemática 2 ENERGIA ELÉTRICA: CÁLCULOS PARA ENTENDER O QUANTO SE GASTA E O QUANTO SE PAGA Alice Kazue Takahashi Lopes1 ocê sabe quanta energia elétrica está gastando em sua residência e como é efetuado o cálculo da conta que se paga? Você já imaginou como seria o mundo sem eletricidade? Pensar em um mundo sem eletricidade é um desafio. Com cer- teza, seria completamente diferente deste em que vivemos. Isso nos leva a perceber a importância da eletricidade para o nosso modo de vida. Para responder a pergunta, é interessante conhecer sobre eletricidade, entender como ela é gerada, como os apa- relhos transformam a energia elétrica em outra forma de energia e sua interferência em nossas vidas. Colégio Estadual Vital Brasil - EFM - Vera Cruz do Oeste - PR 1 Energia elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga. 29  Ensino Médio O homem, desde que se reconheceu como ser social, criou maneiras de se comunicar com seus semelhantes e viver confortavelmente. Das primeiras tecnologias até os modernos processos na construção de uma televisão, de um computador, do funcionamento da internet, foi percorrido um longo caminho. A eletricidade contribuiu e contribui de modo decisivo para essas e outras invenções que são grandes conquistas. Podemos dizer que o uso da eletricidade, de certa forma, aproxima os indivíduos, pois o mundo está interligado por redes que dependem da eletricidade para seu funcionamento. Exemplo, redes de computadores. As distâncias parecem ter encurtado devido à facilidade de comunicação entre lugares longínquos. Por exemplo, a televisão, por meio de seus programas, nos mostra o que acontece no mundo, muitas vezes em tempo real, ocorrendo o mesmo com a internet. É possível curtir as emoções ao vivo, sem sair de casa. Hoje, o desenvolvimento científico e tecnológico depende da produção de energia elétrica e isso afeta o nosso modo de vida, visto que somos seres dependentes dos avanços possibilitados por tal energia. Obtemos a energia elétrica através de um gerador, que transforma outras modalidades de energia em energia elétrica, como: usinas hidroelétricas, termoelétricas, até pilhas e baterias. PESQUISA É evidente, que a eletricidade traz conforto e contribui significativamente para a nossa qualidade de vida; no entanto, devemos estar atentos para as seguintes questões: a) Como a energia elétrica chega até as residências? b) Como é gerada? c) Quais são as fontes alternativas de energia elétrica? d) Que impactos ambientais são decorrentes da produção da energia elétrica? São questões que merecem atenção de nossa parte, pois as construções de usinas hidroelétricas e termoelétricas, por um lado, nos trazem conforto; mas, por outro, podem nos trazer conseqüências por conta das alterações no meio ambiente. 30 Funções  Matemática ATIVIDADE Buscando respostas para nosso problema, vamos desenvolver uma atividade interessante. Com a conta de luz de sua casa em mãos, analise os gastos dos últimos cinco meses que constam na fatura. Para entender melhor, suponha que os últimos 5 meses sejam: janeiro, fevereiro, março, abril e maio. Complete o quadro a seguir: Quadro1 Mês Consumo (Kwh) Valor mensal (R$) Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Observando o quadro 1, responda: a) Como está o consumo de energia elétrica em sua casa? É possível economizar? b) Qual o preço do kwh? O que significa esse valor? c) Compare a sua conta de luz com a de seus colegas. Existe diferença entre a conta de sua casa e a de seus colegas? d) Na mesma cidade, muda o valor pago pelo kwh de um bairro para outro? E qual o valor na zona rural? E nas indústrias? Ainda em relação ao quadro 1, responda: É possível alterar o valor mensal em reais, sem alterar o consumo (kwh)? ( ) SIM ( ) NÃO. Justifique. Que valores dependem um do outro? Desafio: Escreva a expressão matemática que a companhia de luz utiliza para calcular o valor mensal, em reais, de cada residência em função do consumo (kwh). PESQUISA Mas o que é quilowatt-hora? Como ele é obtido? Você sabe como funciona o mecanismo de um relógio medidor do consumo de energia elétrica? Como se calcula o consumo de um eletrodoméstico? Energia elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga. 31  Ensino Médio Os aparelhos eletrodomésticos são os receptores da corrente elétrica, eles transformam a energia elétrica em funções mecânicas ou térmicas, na sua grande maioria. Cada aparelho indica sua potência, conforme o fabricante, em watt (w), que é a razão entre a quantidade de energia em joule (J) e o intervalo de tempo em segundos (s). Assim temos: Mas, o que é potência? Trata-se da energia transferida ao sistema na unidade de tempo. Pois 1 w significa que ao sistema chega 1 J de energia por segundo, que pode ser calor, como os exemplos das principais funções de um ferro elétrico ou chuveiro. Num ferro elétrico, por exemplo, o fabricante indica que o ferro possui uma potência de 1 200 w, e uma pessoa utiliza esse aparelho por uma hora (3 600 s), o consumo de energia elétrica (E) será igual a 1 200 vezes 3 600, podemos escrever da seguinte forma: E = 1 200. 3 600 E = 4 320 000 J Para uma residência, a unidade Joule (J) é considerada pequena, assim utiliza-se o Kwh, como unidade de energia, que vai ser um pouco maior para medir esse consumo de energia elétrica. Podemos observar a letra k nessa unidade. Quem é ela e o que ela representa? A letra k (letra grega) equivale a quantidade 1000, e faz com que a unidade de energia em Kwh represente uma unidade ainda maior. Como exemplo: 1 kwh = 1. 103 w. 1h = 103 w. 3 600 s = 103 w. 3,6. 103 s = 3,6. 106 J PESQUISA Faça um levantamento dos aparelhos elétricos existentes em sua casa, observe qual a potência em watt. Partindo da hipótese que o tempo, em horas, que o aparelho fica ligado é de um mês, calcule o consumo mensal em kwh. Devemos ainda considerar outras informações, como alguns aparelhos eletrodomésticos que não utilizam a sua potência total 24 horas por dia, porém permanecem ligados todo o tempo, exemplo, a geladeira. E daí, como fazemos? Além de todas essas informações, devemos verificar a tarifa de cobrança utilizada pela companhia de energia elétrica. 32 Funções  Matemática ATIVIDADE Após obter as informações da pesquisa, vamos fazer os cálculos? Quadro 2 Tempo (horas) em Consumo Aparelhos elétricos Potência (watts) um mês mensal (kwh) Observando o quadro 2, responda: a) Qual o aparelho elétrico que mais consome energia? b) Expresse uma equação matemática que represente o valor a ser pago, no final de um mês, pelo consumo de um aparelho. c) Através da equação obtida no item (b), calcule o valor a ser pago de cada aparelho descrito no quadro 2. d) Ao realizar os cálculos do item (c), pode-se observar que existe uma relação de dependência entre as variáveis, onde o valor a ser pago de cada aparelho depende do consumo mensal, ou seja, trata-se de uma função. Construa um gráfico de segmentos no plano cartesiano onde o eixo x representa o consumo mensal de energia e o eixo y, o valor a ser pago. e) Observando o gráfico, responda se esta função é crescente ou decrescente. Justifique. Até agora, você pôde perceber o quanto gasta cada aparelho elétrico. Isso aponta para a possibilidade, se for o caso, de economizar energia, podendo evitar futuros problemas, por exemplo, apagões. Você já ouviu falar do apagão? Trata-se de uma crise de energia elétrica que ocorreu no Brasil em 2001 e 2002, afetando seu fornecimento e distribuição. Foi denominado de “apagão” por gerar interrupções de energia elétrica, com períodos de cortes forçados, principalmente nas grandes cidades, deixando a população, literalmente, “no escuro”. Nesse sentido o governo se preocupa em evitar que a energia elétrica seja utilizada pela população ao mesmo tempo, adotando assim o horário de verão. O conceito matemático que estamos tratando pode ser vivenciado em muitas situações de nosso cotidiano. Uma situação possível de abordá-lo é a saída de água das torneiras. PESQUISA Faça uma pesquisa sobre a crise do “apagão” registrando as principais informações. Energia elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga. 33  Ensino Médio ATIVIDADE Suponhamos que, por uma torneira, passem 10 litros de água por minuto. Baseado nessa informação, complete o quadro 3, considerando que o tempo 0 (zero) equivale ao momento de abertura da torneira. Quadro 3 Tempo 0 1 2 3 4 5 6 10 15 20 30 (minuto) Volume (litros) Com base nas informações do quadro 3, responda: a) O que ocorre com o volume de água que passa pela torneira a medida que o tempo aumenta? As duas grandezas envolvidas, volume e tempo, são proporcionais? Direta ou inversamente? Por quê? b) Nesta situação, a relação entre as grandezas volume e tempo definem uma função? Justifique. Observe, que a idéia de função entre grandezas que estamos tratando se encontra presente em outras situações na nossa vida. É comum no nosso dia-a-dia vivenciarmos essas situações, como: o preço a pagar por uma ligação telefônica; a dose de um remédio, que é dado em função do peso da criança ou do adulto; no sapato que a pessoa compra, que está em função do tamanho dos pés; e, também, na tarifa de água dada, em função do volume consumido. Uma forma importante de se representar o conteúdo que estamos estudando, ou seja, função matemática, é através da representação gráfica. Os gráficos estão sendo utilizados não só na matemática como em outras áreas do conhecimento. Diariamente nos deparamos com tabelas e gráficos através de jornais, revistas, livros e empresas que, de forma simples, ilustram fatos do cotidiano. Os gráficos, para certas ocasiões, facilitam ler os dados de um texto que se apresentam, por exemplo, na forma de uma tabela. ATIVIDADE a) Faça um gráfico referente ao quadro 3. b) Que informações você pode obter da função representada através desse gráfico? 34 Funções  Matemática DEBATE a) Será que há outras funções como estas, que também têm como gráfico uma reta? b) Todo gráfico é gráfico de uma função? Justifique. Para realizar uma interpretação gráfica vamos buscar uma situação onde se aborda conceitos químicos. Sabemos que nós e outros seres vivos dependemos da água para sobreviver. Até podemos ficar algumas semanas sem comida, mas sem água não resistimos por muito tempo. Precisamos dela para limpar nossas casas, lavar roupas, irrigar plantações, dissolver produtos químicos, gerar energia, etc. A água mantém as atividades do nosso corpo e, muitas vezes, a tomamos em soluções. Em química, soluções são misturas homogêneas de duas ou mais substâncias, ou seja, ficam totalmente dissolvidas umas nas outras. Por exemplo, o melado é uma mistura homogênea de açúcar e água. As moléculas de açúcar estão dispersas e misturadas completamente com a água, de modo que não se podem ser vistas regiões ou partículas separadas (ATKINS, p. 80). Mas muitas vezes, quando vamos preparar uma bebida adoçada, como um suco, pode ser que ao adicionar uma certa quantidade de açúcar, uma parte não se dissolva, ficando depositada no fundo do copo. Por que isso acontece? Ao adicionarmos 20g de glicose (C6A12O6) - açúcar - a 100ml de água (H2O) à temperatura ambiente, toda glicose se dissolve. Porém, aumentando a quantidade de glicose para 200g, à mesma temperatura, parte da glicose permanece não-dissolvida (Fig. 1). Como a quantidade de água é predominante, dizemos que a água é o solvente, sendo a glicose, menor quantidade, o soluto. Solubilidade do açúcar na água Quando usamos o termo Recipiente 1 Recipiente 2 100g de H2O + 20g de C6A12O6 100g de H2O + 200g de C6A12O6 dissolver, queremos dizer o processo de produzir uma solução. Geralmente o componente da solução presente em grandes quantidades é chamada de 20oC 20oC solvente e as substâncias Figura 1 dissolvidas são os solutos (ATKINS, p. 80). Energia elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga. 35  Ensino Médio Mas como compreender os mecanismos da dissolução? Por que algumas substâncias se misturam perfeitamente e outras não? Bem, isso depende do grau de solubilidade de cada substância. Grau de solubilidade é a quantidade necessária de uma substância, o solvente, para dissolver outra, o soluto. Quando isso ocorre, dizemos que a mistura torna-se uma solução saturada ou que atingiu o ponto de saturação, que depende do solvente, do soluto e das condições físicas, isto é, a temperatura também influência. A maioria das substâncias dissolve mais depressa a temperaturas mais altas, porém existem casos em que ocorre exatamente ao contrário. Neste caso, pode dizer que o grau de solubilidade das substâncias ocorre em função da temperatura. Uma das formas de representar o grau de solubilidade das substâncias químicas é a utilização de gráficos – curvas de solubilidade, muito úteis para comparar a solubilidade de vários compostos e analisar o comportamento da mesma com a variação da temperatura, relacionando-as entre si. Princípios de Química 250 AgNO3 KI Solubilidade (g soluto/100 g solvente) 200 NaNO3 150 100 Na2SO4 50 NaC Li2SO4 0 0 20 40 60 80 100 Temperatura (oC) ATIVIDADE Observando o gráfico anterior, responda: a) Qual é a relação de dependência entre a temperatura e a solubilidade de AgNO3, KI e NaNO3? b) Qual das substâncias é representada pela função y = ax + b? c) Qual das substâncias tem a sua solubilidade aumentada mais rapidamente, a medida que aumenta a temperatura? E mais lentamente? d) Descreva o que ocorre com a solubilidade de Na2SO4 e Li2SO4, em relação à temperatura? 36 Funções  Matemática Obras Consultadas ATKINS, P.; JONES, L. Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio ambiente. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução: GOMIDE, E. F. 2a. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. LAGES, E.L. et all. A Matemática do Ensino Médio. 5a. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2000. TIPLER, P. A. Física: eletricidade e magnetismo. Tradução: HORÁCIO, M. v. 3, 3a. ed. Rio de janeiro: ABDR, 1995. ANOTAÇÕES Energia elétrica: cálculos para entender o quanto se gasta e o quanto se paga. 37  Ensino Médio 38 Funções  Matemática 3 CONDOMÍNIO HORIZONTAL OU LOTEAMENTO FECHADO? Marcia Viviane Barbetta Manosso1 s anúncios de loteamento fe- chado ou de condomínio ho- rizontal despertam o sonho de consumo de muitas famí- lias brasileiras, porque esses es- paços visam a maior segurança dos moradores e também oferecem opções ao proprietário de escolher o terreno e construir a própria casa. Mas na hora da compra, surgem alguns questionamentos desse imóvel: “qual será a possível área da casa?” e “qual é a taxa do condomínio?”. Es- ses questionamentos serão abordados na seqüência. Como a matemática pode auxiliar nessa escolha? 1 Colégio Estadual do Paraná - EM - Curitiba - PR Condomínio Horizontal ou Loteamento Fechado? 39  Ensino Médio O grande crescimento populacional das áreas urbanas, resultado do crescimento natural de sua população – aliado ao processo de mi- gração do campo para a cidade – e do modelo de desenvolvimen- to capitalista, contribuiu para um crescente número de trabalhadores não-profissionalizados, fazendo com que a economia formal não des- se conta de absorver esse contingente de trabalhadores como mão-de- obra. Aqueles que não conseguem um trabalho com carteira assinada, o setor informal, muitas vezes, oferece oportunidades econômicas, só que sem direitos trabalhistas, como: férias remuneradas, décimo tercei- ro salário, etc. A economia informal tem outros agravantes, pois não paga impostos, dificultando, assim, investimentos públicos. As cidades, com a escassez de recursos, não conseguem atender às demandas de saúde, habitação, educação, segurança, lazer e trabalho. Foto: Icone Audiovisual O crescimento desordenado das cidades brasileiras pode ser cons- tatado na irregularidade do uso do solo através da presença de lote- amentos clandestinos, das invasões de área de proteção de manan- ciais ou terrenos alagados e da formação de favelas; esses fatos são realidades até mesmo das cidades menores. Esses espaços são conhe- cidos como cidade informal ou ilegal, devido a sua construção não ser legalizada. DEBATE Quais outros problemas que podem ocorrer em uma cidade em função do crescimento desor- denado? Mas como resolver esses problemas? O Estatuto da Cidade, lei fe- deral nº 10.257, de julho de 2001, tem como objetivo garantir o direito à terra urbana, à moradia, ao saneamento ambiental, à infra-estrutura urbana, ao transporte e aos serviços públicos, ao trabalho e ao lazer, para as presentes e futuras gerações, dentre outros. Essa lei ficou um período de 11 anos em discussão no Congresso Nacional até ser regu- lamentada no “Estatuto da Cidade” os artigos 182 e 183 da Constitui- ção Federal de 1988. 40 Funções  Matemática PESQUISA Pesquise o Estatuto da Cidade no site: http://www.paranacidade.org.br/estatuto_cidade/estatuto_ cidade.php, e descreva como ela pode contribuir para a melhoria das condições de moradia da popu- lação urbana. No Estado do Paraná, o governo estadual somente firma convênios de financiamento de obras de infra-estrutura e serviços, com municí- pios que seguem o Estatuto da Cidade e disponham de Planos Direto- res, conforme apresenta o Decreto Estadual nº 2581, de 17 de feverei- ro de 2004. A Legislação Urbana, ou as leis que tratam das políticas de planeja- mento e desenvolvimento do espaço urbano, é constituída por outras medidas legais, entre elas, temos: Lei de Parcelamento do Solo para Fins Urbanos; Lei do Perímetro Urbano e da Expansão Urbana; Lei de Uso e Ocupação do Solo Urbano (Zoneamento); Lei do Sistema Viário; Código de Obras; Código de Posturas. Antes de adquirir o imóvel, deve-se observar se o loteamento ou o condomínio têm o projeto viabilizado e aprovado na prefeitura. Mas, como é feito esse processo? Deve-se buscar inicialmente as normas e restrições de um lotea- mento urbano na Lei Federal 6766/79 sobre o parcelamento do solo, que também tem de cumprir a disposição da Lei Municipal. PESQUISA Obtenha informações da Lei Federal nº 6766, de 19 de dezembro de 1979, e de suas alterações no site http://www.paranacidade.org.br/leg_urbana/leg_urbana.php. Identifique qual a relação entre es- ta lei e os loteamentos urbanos. Condomínio Horizontal ou Loteamento Fechado? 41  Ensino Médio Muitas construtoras já esclarecem ao futuro comprador que ele po- de financiar uma parte do imóvel e também utilizar 30% de sua ren- da familiar na prestação. Pode-se escolher um terreno no condomínio horizontal, como o exemplo a seguir, através da planta do loteamen- to que visualiza a distribuição de todos os lotes, das áreas de lazer e as ruas. Parque de recreação Um dos motivos de escolha, de uma família, em optar por um “con- domínio horizontal” é porque ele já oferece o projeto e construção da casa, porém tem a obrigatoriedade em pagar a taxa de condomínio. Seja qual for a opção de comprar um terreno, se deve ter um projeto da planta da casa. No loteamento fechado, a construtora disponibiliza alguns mode- los de planta e estabelece algumas normas e padrões para a casa. A área útil da casa a ser construída não pode ultrapassar 50% do terreno e planeja a quantidade de material de construção evitando o desperdí- cio. Deve-se ter um engenheiro que desenhe a planta da casa, estime o material a ser comprado e execute o projeto. 42 Funções  Matemática Qual será a possível área da casa? Algumas casas podem ser construídas observando a relação entre as diversas áreas e perímetros com diferentes formatos. Para melhor com- preensão dessas relações vamos resolver a atividade a seguir, onde tra- rá opções de escolha para o formato da casa. ATIVIDADE A seguir veremos alguns quadriláteros, com suas dimensões em metros, visualizando a relação en- tre algumas áreas e um mesmo perímetro. O perímetro será representado por “P” e a área por “A”. 4 3 2 9 8 7 P = 22m e A = 18m2 P = 22m e A = 24m2 P = 22m e A = 28m2 a) Continue você agora! 5 5,5 6 5,5 P= e A= P= e A= b) Em um sistema cartesiano, desenhe os retângulos de mesmo perímetro, de modo a base de ca- da retângulo fique apoiada sobre o eixo x, com um de seus vértices coincidindo com a origem. Em seguida, una os pontos formados pelos vértices opostos ao vértice que está na origem. y x c) Qual é a sentença que relaciona a medida da base com a altura de todos os retângulos de mes- mo perímetro? Condomínio Horizontal ou Loteamento Fechado? 43  Ensino Médio Os fatores importantes na execução do projeto são: análise topo- gráfica do terreno, área útil da casa, dimensões da casa, materiais utili- zados na obra. Seguindo alguns padrões, pode-se ter uma construção segura, estável, econômica e com qualidade. As forças que atuam na estrutura podem comprometer a construção, devido: ao peso das paredes e do telhado; à variação da temperatura que faz com que dilate a estrutura. A distribuição dessas forças devem ser incluídas no projeto. O tamanho da casa necessita de um planeja- mento que distribua as colunas e vigas que a sustentarão. Inicialmente, deve-se tomar uma decisão sobre o formato e a área dessa casa. ATIVIDADE Suponha que a área se mantenha sempre com 64 m2. Desenhe alguns retângulos com base e altura diferentes. a) Preencha a tabela: Retângulo Base (m) Altura (m) Área (m2) Perímetro (m) A B C D E b) Observe a tabela e descreva como as medidas dos lados desses retângulos variam entre si. c) Construa, em um plano cartesiano, esses quadriláteros, com a base apoiada no eixo x e a altu- ra no eixo y, com um vértice que coincida com a origem do sistema. Nenhum retângulo deve to- talmente recobrir o outro. Depois, una todos os vértices opostos ao vértice que está na origem. y(m) x(m) d) Qual é a sentença que relaciona a medida da base com a altura de todos os retângulos de mesma área? e) No gráfico, ao observar a união dos vértices opostos ao da origem, podemos identificar a linha que representa a relação entre as grandezas. Essa linha indica grandezas diretamente ou inver- samente proporcionais? 44 Funções  Matemática DEBATE O que podemos concluir em relação ao perímetro e área, conforme variam os lados dos quadriláteros? A possível área da casa é uma escolha entre muitas possibilidades. Ao verificar a variação da área e o perímetro dos quadriláteros, perce- be-se que a área máxima obtida é quando temos um quadrado. Se o objetivo é economizar material, o quadrado é o formato ideal, aprovei- tando maior área. Após a decisão pelo formato e área da casa, pode-se planejar as dimensões das paredes externas e as divisões internas. Essas divisões internas deverão ser posicionadas de maneira que se obtenha uma economia de material e se tenha os principais cômodos de uma casa, como quarto, sala, cozinha e banheiro. Veja, a seguir, um modelo: ATIVIDADE a) Quais são as expressões algébricas que representam a área dos cômodos da casa do modelo ante- rior? Cômodo Lado Lado área Banheiro Quarto 1 Quarto 2 Sala e cozinha Condomínio Horizontal ou Loteamento Fechado? 45  Ensino Médio b) Somando as áreas de cada cômodo da casa, teremos a área total da casa. Qual é essa área? Sala e cozinha + Quarto1 + Quarto 2 + banheiro = x.x + + + =