Libro del Estudiante de Matemáticas - Sexto Grado - PDF

El Libro del Estudiante de Matemáticas – Sexto grado del Segundo Ciclo de Educación Básica, es propiedad de la Secretaría de Estado en el Despacho de Educación de Honduras, C.A. Presidencia de la República de Honduras Secretaría de Estado en el Despacho de Educación...

El Libro del Estudiante de Matemáticas – Sexto grado del Segundo Ciclo de Educación Básica, es propiedad de la Secretaría de Estado en el Despacho de Educación de Honduras, C.A. Presidencia de la República de Honduras Secretaría de Estado en el Despacho de Educación Sub Secretaría de Asuntos Técnico Pedagógicos Sub Secretaría de Asuntos Administrativos y Financieros Dirección General de Formación Profesional Esta obra fue elaborada por el Proyecto Mejoramiento de la Enseñanza Técnica en el Área de Matemática (PROMETAM Fase I y II), que ejecutó la Secretaría de Educación en coordinación con la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán (UPNFM), con el apoyo técnico de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). La última revisión se realizó en la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán, en el Marco del Programa de Educación Primaria e Integración Tecnológica en el año 2014. Equipo Técnico de Matemáticas Donaldo Cárcamo/Secretaría de Educación Fernando Amílcar Zelaya Alvarenga/Secretaría de Educación Gustavo Alfredo Ponce/ Secretaría de Educación José Orlando López López/Secretaría de Educación Luis Antonio Soto Hernández/ Universidad Pedagógica Nacional Francisco M. Revisión Técnico Gráfico y Pedagógico 2016 Dirección General de Tecnología Educativa Subdirección General de Educación Básica © Secretaría de Educación, Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán, Agencia de Cooperación Internacional del Japón. 1ª Calle entre 2ª y 4ª avenida, Comayagüela, M.D.C., Honduras, C.A. www.se.gob.hn Matemáticas, Sexto grado, Libro del Estudiante Edición revisada 2014 Se prohíbe la reproducción total o parcial de este Libro por cualquier medio, sin el permiso por escrito de la Secretaría de Educación de Honduras. DISTRIBUCIÓN GRATUITA- PROHIBIDA SU VENTA  ORIENTACIONES SOBRE EL USO DEL LIBRO DEL ESTUDIANTE Queridos niños, niñas y jóvenes: La Secretaría de Estado en el Despacho de Educación de Honduras con mucha satisfacción le entrega este Libro del Estudiante, para que lo use todo el año en el aprendizaje de las Matemáticas. El mismo pertenece a su centro educativo; por lo tanto, debe apreciarlo, cuidarlo y tratarlo con mucho cariño para que pueda ser utilizado en años posteriores. Para cuidarlo le sugerimos lo siguiente: 1. Forre el Libro del Estudiante con papel y/o plástico, y sobre el forro escriba su nombre, grado, sección a la que pertenece, el nombre del docente y del centro educativo. 2. Evite rayar, manchar o romper las partes internas o externas del Libro, para que al devolverlo el mismo esté en buenas condiciones. 3. Todos los ejercicios propuestos en el Libro debe desarrollarlos en su cuaderno de Matemáticas. 4. Está permitido llevar a su casa el Libro, cuidando que otras personas que conviven con usted no se lo manchen, rayen o rompan. 5. Recuerde llevar el Libro al centro educativo todos los días que tenga la clase de Matemáticas. 6. Antes de usar el Libro, por favor lávese y séquese las manos, evite las comidas y bebidas cuando trabaje en él; asimismo, limpie muy bien la mesa o el lugar dónde lo utilice. 7. Tenga cuidado de usar su Libro como un objeto para jugar, evite tirarlo o sentarse en él. 8. Al pasar las hojas o buscar el tema en el Libro, debe tener cuidado de no doblarle las esquinas, rasgarlas o romperlas; también cuide que no se desprendan las hojas por el mal uso. Recuerde que este Libro es una herramienta de apoyo para usted, por lo que debe conservarlo muy bonito, aseado y sobre todo evitar perderlo, porque no lo encontrará a la venta. ESTIMADO DOCENTE: POR FAVOR EXPLIQUE A SUS ESTUDIANTES LA FORMA DE CUIDAR Y CONSERVAR EL LIBRO DEL ESTUDIANTE, YA QUE PERTENECE AL CENTRO EDUCATIVO.  PRESENTACIÓN El presente Libro del Estudiante ha sido diseñado con el propósito de ayudarles en el aprendizaje de las matemáticas de una forma fácil y divertida, esperando que el área de Matemáticas se convierta en una de sus preferidas y que todas y todos puedan decir con mucha alegría ¡Me gusta Matemática! Este Libro que tienen en sus manos, está diseñado de manera sencilla, en él se consideran al máximo sus experiencias diarias y sus conocimientos previos, con el fin de aprovecharlos como base para el aprendizaje de los contenidos mediante el desarrollo de actividades, juegos, resolución de problemas y ejercicios, más la orientación oportuna de sus docentes y el apoyo de su padre, madre y/o tutor, para contribuir al logro de una educación de calidad en cada uno de ustedes, ya que es un derecho universal que les asiste y que lo tienen bien merecido porque son el tesoro más preciado de nuestra querida Patria. Es deseo de la Secretaría de Educación, que este Libro del Estudiante que hoy se les entrega, se convierta en una valiosa herramienta de aprendizaje, para que sus metas educativas se cumplan y sean hombres y mujeres de bien para nuestra nación que tanto los necesita. Secretaría de Estado en el Despacho de Educación  Indice Unidad 1: Divisibilidad de números 2-7 Unidad 6: Sólidos geométricos 50-63 Lección 1: Encontremos las reglas de Lección 1: Construyamos modelos de divisibilidad.................................. 2 sólidos geométricos.................... 50 Lección 2: Calculemos el M.C.D. y el Lección 2: Analicemos las características m.c.m........................................... 5 de los sólidos.............................. 56 Ejercicios..................................................... 7 Lección 3: Representemos sólidos Nos divertimos............................................. 7 en el plano.................................. 58 Intentémoslo............................................... 59 Unidad 2: Ángulos 8-9 Lección 4: Obtengamos sólidos por la revolución de figuras...................60 Lección 1: Construyamos la bisectriz de Nos divertimos.............................................62 un ángulo................................… 8 Intentémoslo.................................................62 Ejercicios......................................................63 Unidad 3: Números decimales 10-25 Intentémoslo............................................... 63 Lección 1: Hagamos conversión entre fraccio- Unidad 7: Multiplicación y división de nes y números decimales.......... 10 Fracciones 64-81 Lección 2: Multipliquemos por números decimales................................... 11 Lección 1: Representemos el cociente Ejercicios 1……................……….……...…. 17 con fracción................................ 64 Lección 3: Dividamos entre números Lección 2: Multipliquemos y dividamos decimales................................... 18 fracciones....................................66 Ejercicios 2................................................. 24 Lección 3: Multipliquemos fracciones...........68 Lección 4: Dividamos fracciones...............…76 Unidad 4: Área 26-39 Ejercicios...................................................... 81 Lección 1: Calculemos el área de polígonos Unidad 8: Volumen 82-101 regulares................................…. 26 Intentémoslo............................................... 28 Lección 1: Comparemos el volumen............ 82 Lección 2: Calculemos el área de Lección 2: Calculemos el volumen de círculos....................................... 31 prismas y cilindros...................... 85 Intentémoslo …........…….............................32 Intentémoslo............................................... 94 Ejercicios............................................... 38 Intentémoslo............................................... 96 Intentémoslo............................................... 39 ¿Sabías que...?........................................... 97 Ejercicios...................................................... 98 Unidad 5: Adición y sustracción de Intentémoslo...............................................101 fracciones 40-49 Lección 1: Sumemos fracciones.................. 41 Lección 2: Restemos fracciones.................. 45 Lección 3: Propiedades de la adición.......... 48 Ejercicios………….…………………......…… 49  Indice Unidad 9: Sistema de numeración Unidad 12: Cantidad por unidad 130-147 de los mayas 102-109 Lección 1: Conozcamos los números Lección 1: Conozcamos la media.............130 mayas................................…... 102 Lección 2: Encontremos la cantidad por Lección 2: Sumemos y restemos unidad.....................................137 números mayas.............…..…. 104 Lección 3: Comparemos la velocidad......141 Nos divertimos........................................... 109 Ejercicios..................................................146 Unidad 10: El calendario de los Unidad 13: Transformaciones 148-159 mayas 110-123 Lección 1: Conozcamos el calendario Lección 1: Construyamos figuras que tienen de los mayas....………….……. 110 simetría reflexiva entre sí.......148 ¿Sabías que...?..........................................113 Intentémoslo............................................151 ¿Sabías que...?..........................................115 Nos divertimos...................................... 151 ¿Sabías que...?..........................................117 Lección 2: Construyamos figuras que Intentémoslo..............................................118 tienen simetría rotacional.......152 Nos divertimos.......................................... 119 Lección 3: Construyamos figuras que tienen simetría rotacional Unidad 11: Cantidad de veces 124-129 entre sí..................................156 Ejercicios.................................................158 Lección 1: Expresemos la relación de Nos divertimos...................................... 159 cantidades...............................124 Repaso 160-163 vamos a disfrutar el viaje al mundo matemático ¿Listos? ¡En marcha!  MC mc D m Unidad 1 Divisibilidad de números Recordemos Utilice su cuaderno para resolver 1. Escriba los divisores de 12. 2. Escriba cinco múltiplos de 7. 3. Entre los siguientes números, encuentre los que son múltiplos de 2, 3, 5 y 10: 235, 360, 487, 564, 681, 792, 854, 904 Lección 1: Encontremos las reglas de divisibilidad A Vamos a encontrar la regla de divisibilidad entre 9. 1 Haga las siguientes tablas y llénelas con los residuos de la división entre 9. ¿Qué observa? Dividendo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Residuo Dividendo 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Residuo Dividendo 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Residuo Dividendo 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Residuo Dividendo 1, 10, 100, 1000 2, 20, 200, 2000 3, 30, 300, 3000 4, 40, 400, 4000 5, 50, 500, 5000 Residuo 1 2 3 4 5 Dividendo 6, 60, 600, 6000 7, 70, 700, 7000 8, 80, 800, 8000 9, 90, 900, 9000 Residuo 6 7 8 0 El residuo de la división de un número de la forma 000... 0 entre 9, coincide con el residuo de la división ÷ 9. Ejemplo: 10 ÷ 9 = 1 residuo 1 400 ÷ 9 = 44 residuo 4 coincide coincide 1 ÷ 9 = 0 residuo 1 4 ÷ 9 = 0 residuo 4 2 2 ¿Cuánto es el residuo de 413 ÷ 9? Adivine aprovechando la observación de A1. 413 = 400 + 10 + 3 = (múltiplo de 9) + (4 + 1 + 3) El residuo es 8. residuo El residuo de la división de un número entre 9 es igual al residuo de la división de la suma de las cifras del número entre 9. Un número es un múltiplo de 9 si la suma de las cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: (1) 524 (2) 6795 5 + 2 + 4 = 11 6 + 7 + 9 + 5 = 27 11 ÷ 9 = 1 residuo 2 27 ÷ 9 = 3 11 no es múltiplo de 9 por lo tanto 27 es múltiplo de 9 por lo tanto 524 no es un múltiplo de 9. 6795 es un múltiplo de 9 y es divisible por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Esta regla es semejante a la de la divisibilidad entre 3, ¿verdad? 1 Entre los siguientes números, encuentre los que son múltiplos de 9: 273, 364, 576, 783, 865, 4753, 6588, 8514, 9325 B Vamos a encontrar la regla de divisibilidad entre 11. 1 Haga las siguientes tablas y llénelas con los residuos de la división entre 11. ¿Qué observa? Dividendo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Residuo Dividendo 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Residuo Dividendo 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Residuo Dividendo 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Residuo 3  Dividendo 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Residuo 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Dividendo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Residuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 En el caso de los primeros nueve múltiplos de una decena o de una unidad de millar, el residuo es igual a la resta de 11 menos la cifra en la posición superior, ejemplo: (11 - 1 = 10), (11 - 2 = 9), (11 - 3 = 8), etc. (1) 20 (2) 5000 11 - 2 = 9 11 - 5 = 6 Residuo es 9. Residuo es 6. En el caso de los primeros nueve múltiplos de una unidad y de una centena, el residuo es igual a la cifra en la posición superior, ejemplo: (En 1 y 100 el residuo es 1), (En 2 y 200 el residuo es 2), (En 3 y 300 el residuo es 3), etc. (1) 3 Residuo es 3. (2) 800 Residuo es 8. 2 ¿Cuánto es el residuo de 5836 ÷ 11? Adivine aprovechando la observación de B1. 5836 = 5000 + 800 + 30 + 6 = (Múltiplo de 11) + (11 - 5) + 8 + (11 - 3) + 6 = (Múltiplo de 11) + (8 + 6) - (5 + 3) = (Múltiplo de 11) + 6 El residuo es 6. Un número es múltiplo de 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones de las unidades, centenas, etc. y la suma de las cifras en las decenas, unidades de millar, etc. es un múltiplo de 11. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras de cada dos posiciones es múltiplo de 11. Ejemplo: (1) 5 2 1 8 (2) 3 6 5 0 9 5+1=6 3 + 5 + 9 = 17 2 + 8 = 10 6+0=6 10 - 6 = 4 17 - 6 = 11 4 no es múltiplo de 11 por tanto 11 es múltiplo de 11 por tanto 5218 no es un múltiplo de 11. 36509 es un múltiplo de 11. 5218 no es divisible por 11. 36509 es divisible por 11. 2 Entre los siguientes números encuentre los que son múltiplos de 11: 4 1493, 2827, 3190, 4723, 5192, 6795, 7204, 8426, 9235, 396, 483, 48719  Recordemos 1. ¿Qué es un número primo? 2. (1) Escriba los divisores comunes de 12 y 18. (2) Escriba tres múltiplos comunes de 12 y 18. 3. Si un número es un múltiplo de otro número, ¿cuál es la relación entre la descomposición en factores primos de estos números? 4. (1) Descomponga los siguientes números en factores primos: 56 y 126 (2) ¿Cuál es el Máximo Común Divisor de 56 y 126? (3) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 56 y 126? Lección 2: Calculemos el MCD y el mcm A1 Encuentre el Máximo Común Divisor (MCD) de 24, 36 y 60. Piense si se puede aplicar la manera para dos números aprendido en 5to grado. Manera I. Buscar los divisores comunes de 36 y 60 entre los divisores de 24 que es el número menor, empezando por su divisor mayor. Divisores de 24 24 12 ¿Divisores de 36? No Sí El MCD de 24, 36 y 60 es 12 ¿Divisores de 60? No Sí Manera II. Utilizar la descomposición en factores primos. 24 = 2 x 2 x 2 x 3 36 = 2 x 2 x3x3 Se toman todos los factores comunes. 60 = 2 x 2 x3 x5 MCD = 2 x 2 x3 = 12 Los divisores comunes de 24, 36 y 60 son los divisores del MCD 5  2 Encuentre el mínimo común múltiplo (mcm) de 24, 36 y 60. Manera I. Buscar los múltiplos comunes de 24 y 36 entre los múltiplos de 60 que es el número mayor, empezando por su múltiplo menor. Múltiplos de 60 60 120 180 240 300 360 ¿Múltiplos de 24? No Sí No Sí No Sí ¿Múltiplos de 36? No No Sí No No Sí El mcm de 24, 36 y 60 es 360. Manera II. Utilizar la descomposición en factores primos. 24 = 2 x 2 x 2 x 3 36 = 2 x 2 x3x3 60 = 2 x 2 x3 x5 mcm = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 Se toman todos los factores que aparecen. = 360 Los múltiplos comunes de 24, 36 y 60 son los múltiplos del mcm. 1 Encuentre el MCD y el mcm de los siguientes números. (1) 15, 21 y 63 (2) 12, 56 y 84 (3) 9, 14 y 55 (4) 21, 22 y 45 (5) 6, 15, 21 y 33 6 Ejercicios 1 Entre los números siguientes encuentre los que son múltiplos de 2, 3, 5, 9, 10 y 11: 84, 225, 264, 480, 582, 585, 603, 825, 2502, 4842, 5061, 5918, 7865 2 Encuentre el MCD y el mcm de los siguientes números. (1) 12, 16 y 28 (2) 18, 30 y 42 (3) 30, 40 y 70 (4) 35, 56, 77 y 84 3 (1) Hay 18 cuadernos, 24 lápices y 42 hojas de papel. Si se quiere repartir equitativamente entre varios niños, ¿a cuántos niños se pueden repartir? (2) Hay varios prismas rectangulares iguales cuyas aristas miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. Colocándolos de la misma manera se va a formar un cubo, el más pequeño que se pueda. ¿Cuánto medirá la arista de este cubo? (3) De una ciudad salen autobuses a las ciudades A, B y C cada 3, 4 y 5 días, respectivamente. Si los tres buses salen juntos un mismo día, ¿dentro de cuántos días volverán a salir juntos? Nos divertimos ¿En qué día de la semana cae? El cumpleaños de Aída es el 26 de mayo. La fecha cayó miércoles en el año 2004. ¿En qué día de la semana caerá en el año 2005? Del día 27 de mayo del 2004 hasta el día 26 de mayo del 2005 hay 365 días, porque el año 2005 no es bisiesto. Hay 7 días en una semana. 365 ÷ 7 = 52 residuo 1. Por lo tanto el día 26 de mayo del 2005 caerá Jueves. [Problema] Del 2000 al 2010, ¿en qué año cae domingo el cumpleaños de Aída? Los años bisiestos entre 2000 y 2010 son 2000, 2004 y 2008. 7  Unidad 2 Ángulos Utilice su cuaderno para resolver Recordemos 1. ¿Cómo se llaman los siguientes ángulos? (1) (2) (3) (4) 2. Mida los siguientes ángulos. 3. Construya en el cuaderno un ángulo que mida 120º. (1) (2) (3) Lección 1: Construyamos la bisectriz de un ángulo A Osvaldo está haciendo el diseño de una casita para su perrito. Él terminó de dibujar las paredes y empezó a dibujar el techo. Él quiere trazar una línea recta de modo que el ángulo de cada pieza del techo mida la mitad del ángulo total del techo. POPI Vamos a pensar en la forma de trazar esta línea recta. 1 ¿Cómo es la recta que quiere trazar? Es la recta que divide al ángulo en dos partes A iguales. C Esta recta se llama bisectriz de un ángulo. La recta OC es la bisectriz del ángulo AOB. O B O sea, los ángulos AOC y BOC 2 Haga la bisectriz de un ángulo con el papel. son iguales, ¿verdad? C A D A D A D E B C B B C Obtener un ángulo Doblar el papel de modo Aparece la bisectriz cortando el papel. que los lados BA y BC se BE del ángulo ABC. 8 sobrepongan.  PROFESOR DENIS SUAZO 3 Dibuje en el cuaderno dos ángulos sin importar la medida y construya la bisectriz de cada uno de diferentes formas. A Usando el transportador. 51o A A A o 50 60 12 70 0 1 80 10 1 00 90 10 0 1 80 10 70 1 60 20 50 13 0 Ángulo AOB mide 51 50 60 12 70 0 1 80 10 1 00 90 10 0 1 80 10 70 1 60 20 50 13 0 25.5o C 30 30 14 14 51÷ 2 = 25.5 40 40 0 0 1 1 40 40 40 40 15 15 30 30 01 01 0 0 30 30 15 15 160 160 20 20 20 20 160 160 170 170 La mitad es 25.5o 10 10 10 10 170 170 O B O B O B Medir el ángulo. Encontrar la medida Medir la mitad Trazar la de la mitad del ángulo del ángulo AOB. bisectriz OC. AOB. B Usando el compás. D D D F F H F H O E O E O E G G G Trazar sobre los Trazar dos arcos Trazar la bisectriz OH. lados del ángulo con la misma abertura DOE un arco con (un poco más que la centro en el vértice mitad del ángulo DOE), O para obtener los con centro en F y G puntos F y G. respectivamente, para obtener el punto H. No se necesita medir ni calcular el ángulo B con la forma B. ¡Qué fácil e interesante! 4 Encuentre la bisectriz de un ángulo del entorno. 1 Calque en el cuaderno los siguientes ángulos y construya su bisectriz con el compás. O (1) A (2) (3) (4) F B E O G O H O C D 2 Dibuje en el cuaderno un triángulo y construya con el compás la bisectriz de cada ángulo. Puedes pintarlo con colores. 9  Unidad 3 Números decimales Utilice su cuaderno para resolver Recordemos 1. Convierta los números decimales en fracciones y las fracciones en números decimales. (1) 2.3 (2) 4.6 (3) 0.5 (4) 3 (5) 4 (6) 4 1 10 5 2 Lección 1: Hagamos conversión entre fracciones y números decimales A Exprese los siguientes números decimales en fracciones. (1) 0.01 (2) 1.17 (3) 0.001 (4) 4.284 1 (1) 0.01 = porque la unidad está dividida en 100 partes iguales 100 y se ha tomado una. (2) 1.17 = 1 17 100 1 (3) 0.001 = 1000 porque la unidad está dividida en 1000 partes iguales y se ha tomado una. 284 dividir tanto el numerador como el denominador (4) 4.284 = 4 1000 entre 4 para reducirla a su mínima expresión. = 4 71 250 Siempre expresemos las fracciones en su mínima expresión. Los decimales hasta las centésimas o milésimas se pueden representar como fracciones cuyos denominadores son divisores de 100 ó 1000 respectivamente. 1 Convierta los siguientes números decimales en fracciones. (1) 0.23 (2) 0.35 (3) 2.48 (4) 0.275 (5) 0.584 B Exprese las siguientes fracciones en números decimales. (1) 3 (2) 137 (3) 1 7 20 250 8 3 3x5 137 137 x 4 7 7 x 125 (1) = (2) = (3) 1 = 1 20 20 x 5 250 250 x 4 8 8 x 125 15 548 875 = = =1 100 1000 1000 10 = 0.15 = 0.548 = 1.875  2 Convierta las siguientes fracciones en números decimales. (1) 3 (2) 23 (3) 3 307 (4) 1 33 (5) 4 71 4 50 500 40 125 Recordemos 1. Calcule. (1) 1.2 x 4 (2) 2.43 x 17 (3) 1.85 x 4 (4) 0.002 x 5 2. Encuentre las parejas que tienen el mismo resultado. (1) 25 x 3 (2) 250 x 3 (3) 25 x 30 (4) 250 x 30 (5) 2500 x 30 (6) 250 x 300 Lección 2: Multipliquemos por números decimales A Están trazando la línea central en la carretera. Se usan 2 l de pintura para trazar 1 m de línea. 1 ¿Cuántos litros de pintura se necesitarán para trazar 3 m de línea? 1l 1l 1l 1l m m 0 1 2 3 0 1 2 3 PO: 2 x 3 = 6 2 ¿Cuántos litros de pintura se necesitarán para trazar 2.3 m de línea? 1l 1l 1l 1l m m 0 1 2 0 1 2 2.3 2.3 (1) Escriba el PO. PO: 2 x 2.3 Porque se trata de encontrar la cantidad total sabiendo la cantidad para una unidad de medida (1 m). (2) Compare las siguientes ideas para encontrar el resultado. Juan: Pensé usando la gráfica. 1l 1l Hay 2 x 2 = 4 de 1 l 1l 1l y 2 x 3 = 6 de 0.1 l m En total hay 4.6 l 0 1 2 2.3 11  María: Me fijé en la cantidad de pintura que se usa en 0.1 m de línea. 2.3 m es 23 veces 0.1 m. 2l 2l La cantidad de pintura para 0.1 m: 2 ÷ 10 = 0.2 (l) La cantidad de pintura para 2.3 m: 0.2 x 23 = 4.6 (l) O sea que 2 x 2.3 = 2 ÷ 10 x 23 m = 4.6 0 1 2 2.3 Carlos: Consideré la cantidad de pintura que se necesita para 23 m de línea. 2l 23 m es 10 veces 2.3 m La cantidad de pintura para 23 m: 2 x 23 = 46 (l) La cantidad de pintura para 2.3 m: 46 ÷ 10 = 4.6 (l) O sea que 2 x 2.3 = 2 x 23 ÷ 10 = 4.6 m 0 10 20 2.3 m 23 2 x 2.3 = 4.6 Vamos a analizar la x10 x10 ÷10 manera de Carlos. 2 x 23 = 46 De esta manera se puede convertir la multiplicación por un número decimal en la multiplicación por un número natural. 1 Si se usan 3 l de pintura para trazar 1 m de línea, ¿cuántos litros de pintura se usan para trazar 1.4 m de línea? 1l HONDURAS VERDE 1l 1l 0 1 1.4 m 12 B Si se usan 2.1 l de pintura para trazar 1 m de línea, ¿cuántos litros de pintura se necesitarán para trazar 2.3 m de línea? 0.1 l 0.1 l 1l 1l 1l m 1l 0 1 2 2.3 m 0 1 2 2.3 1 Escriba el PO. PO: 2.1 x 2.3 2 Encuentre el resultado colocando los números adecuados en las casillas. 2.1 x 2.3 = x x x ÷ 21 x 23 = PO: 2.1 x 2.3 = 4.83 R: 4.83 l 3 Vamos a pensar en la manera del cálculo vertical de 2.1 x 2.3 2.1 x10 21 x 2.3 x10 x 23 Al multiplicar por 10 resulta que el punto 63 63 decimal cambia una posición a la derecha. 42 42 x100 Al multiplicar por 100 resulta que el punto 4.8 3 483 decimal cambia dos posiciones a la derecha. ÷ 100 Cálculo vertical de 2.1 x 2.3 2.1 una cifra (1) Se calcula como si fueran números naturales sin x 2.3 una cifra hacer caso de los puntos decimales. 63 (2) Se coloca el punto decimal en el resultado de modo 42 que haya tantas cifras al lado derecho del punto 4.8 3 dos cifras decimal como la suma de las cantidades de las cifras decimales del multiplicando y del multiplicador. 2 (1) 2.6 x 3.1 (2) 1.2 x 3.2 (3) 4.7 x 2.6 (4) 23.4 x 1.8 (5) 12.8 x 21.4 13 C Calcule: 3.21 x 1.6 3.2 1 x 1.6 Se colocan los factores de modo que las cifras de la 1926 posición de menor orden estén en columna. 321 5.1 3 6 3 (1) 2.31 x 4.8 (2) 3.02 x 4.6 (3) 5.7 x 1.29 (4) 6.2 x 2.08 (5) 1.23 x 23.4 (6) 18.2 x 6.04 D Se usan 2.1 l de pintura para trazar 1 m de línea. Si se traza una línea de 0.5 m de longitud, ¿cuántos litros de pintura se necesitan? 1 Escriba el PO. PO: 2.1 x 0.5 2 ¿Se necesitan más de 2.1 l de pintura o menos? 0.1 l Vamos a pensar consultando 1l la gráfica sin calcular. 1l La parte sombreada corresponde a la cantidad de pintura que se necesita para trazar 0.5 m m de línea. 0 0.5 1 R: Se necesitan menos de 2.1 l. Cuando el multiplicador es menor que la unidad, el producto es menor que el multiplicando. Cuando el multiplicador es mayor que la unidad, el producto es mayor que el multiplicando. 4 ¿Cuáles de los productos son mayores (menores) que 5? (1) 5 x 2.3 (2) 5 x 0.8 (3) 5 x 0.7 (4) 5 x 5.03 (5) 5 x 1.1 (6) 5 x 1 (7) 5 x 0.01 E Calcule: (1) 1.24 x 3.5 (2) 0.04 x 1.2 (3) 0.02 x 1.5 (1) 1.2 4 (2) 0.0 4 (3) 0.0 2 x 3.5 x 1.2 x 1.5 620 8 0.0 1 0 372 4 2 4.3 4 0 0.0 4 8 0.0 3 0 Primero se coloca el punto decimal, luego se tachan los ceros innecesarios. 14 0 030  5 (1) 1.35 x 4.2 (2) 2.8 x 0.75 (3) 1.25 x 1.6 (4) 3.75 x 5.6 (5) 62.5 x 1.12 6 (1) 0.38 x 0.2 (2) 0.24 x 1.3 (3) 3.24 x 0.2 (4) 4.1 x 0.02 (5) 0.2 x 0.03 7 (1) 0.4 x 0.05 (2) 0.18 x 1.5 (3) 1.5 x 0.06 (4) 0.2 x 0.35 (5) 0.05 x 1.2 F Encuentre el área de este rectángulo de la siguiente manera. 2.1 cm 2.3 cm 1 ¿Cuántos cuadrados con medida de 1 mm x 1 mm hay en este rectángulo? PO: 23 x 21 = 483 R: Hay 483 cuadrados 2 ¿Cuántos centímetros cuadrados mide 1 mm² ? Mide 0.01 cm², porque hay 10 x 10 = 100 cuadrados de 1 mm² de área en un cuadrado de 1 cm² de área. 3 Exprese el área del rectángulo en cm². 4.83 cm² 4 Calcule 2.3 x 2.1 2.3 x 2.1 = 4.83 Se puede calcular el área del rectángulo con la misma fórmula "base x altura" aún cuando la medida de los lados esté representada con números decimales. 8 Encuentre el área de los siguientes rectángulos. (1) (cm²) (2) (m²) (3) (km²) 3.2 cm 1.14 m 2.4 km 1.8 cm 2.4 km 3.5 m 15 G Encuentre el área de la siguiente figura. 2.2 cm 1.8 cm 1.6 cm Manera (a): Sumar el área de los rectángulos de los lados izquierdo y derecho: 2.2 x 1.6 + 1.8 x 1.6 = 3.52 + 2.88 = 6.4 Manera (b): La figura total tiene la forma de un rectángulo cuyo largo mide 2.2 + 1.8 (cm), por lo tanto: (2.2 + 1.8) x 1.6 = 4 x 1.6 = 6.4 ( + )x = x + x En lugar de , y se puede x( + )= x + x colocar cualquier número. En 2do y 4to grado hemos aprendido las siguientes propiedades: x = x , ( x )x = x( x ) Estas propiedades quieren decir que se puede multiplicar en cualquier orden y se obtiene el mismo resultado. Estas propiedades que son válidas con los números naturales también son válidas con los números decimales. Comprueba sustituyendo Ejemplo: , y por los números decimales. 0.4 x 3.7 x 5 = (0.4 x 5) x 3.7 = 2 x 3.7 = 7.4 7.4 9 Utilizando las propiedades de arriba, calcule los siguientes ejercicios de la manera más fácil. (1) 0.43 x 3.4 + 0.57 x 3.4 (2) 5.3 x 3.6 + 5.3 x 6.4 (3) 1.43 x 0.2 x 5 (4) 0.25 x 3.14 x 4 16 Ejercicios (1) 1 Encuentre el resultado del cálculo consultando el ejemplo de la derecha. (1) 32.4 x 76 (2) 32.4 x 7.6 (3) 3.24 x 76 (4) 3.24 x 7.6 324 x 76 1944 2268 24624 2 Calcule. (1) 3.51 x 7.2 (2) 3.48 x 1.5 (3) 0.08 x 0.3 (4) 0.35 x 0.2 3 Encuentre el área de las siguientes figuras. En el (3) es solo el área sombreada. (1) (2) (3) 2.8 cm 7.8 cm 2.8 cm 4.3 cm 0.8 m 4.3 cm 1.8 cm 1.4 m 2.1 m 7.5 m 4 Resuelva los siguientes problemas. (1) Si 1 m de alambre pesa 23.4 g, ¿cuántos gramos pesan 4.5 m de este alambre? (2) Si 1 l de jugo pesa 1.04 kg, ¿cuántos kilogramos pesan 0.8 l de este jugo? (3) Si un coche consume 0.38 l de combustible para recorrer 1 km, ¿cuántos litros de combustible consume para recorrer 53.4 km? (4) Si para pintar 1 m² de pared se necesitan 1.3 dl de pintura, ¿cuántos decilitros de pintura se necesitarán para pintar 52.4 m² de pared? 17  Recordemos 1. Calcule. (1) 76.22 ÷ 37 (2) 0.437 ÷ 19 2. Divida hasta la cifra indicada y encuentre el residuo: 10.4 ÷ 3 (1) hasta las unidades (2) hasta las décimas (3) hasta las centésimas 3. Divida hasta que el residuo sea cero. (1) 8.23 ÷ 5 (2) 7.5 ÷ 6 (3) 16.17 ÷ 35 4. Encuentre los ejercicios que tienen igual resultado. (1) 368 ÷ 23 (2) 3680 ÷ 230 (3) 36800 ÷ 230 (4) 3680 ÷ 2300 (5) 368 ÷ 230 (6) 3680 ÷ 23 (7) 36800 ÷ 2300 Lección 3: Dividamos entre números decimales A1 Si se utilizan 3.22 l de pintura para trazar 2 m de línea, ¿cuántos litros de pintura se utilizan para trazar 1 m de línea? PO: 3.22 ÷ 2 = 1.61 3.22 l R: 1.61 l m 0 1 2 2 Si se utilizan 3.22 l de pintura para trazar 2.3 m de línea, ¿cuántos litros de pintura se utilizan para trazar 1 m de línea? (l) x 2.3 (m) = 3.22 (l) 3.22 l (l) = 3.22 (l) ÷ 2.3 (m) m 0 1 2 2.3 (1) Escriba el PO. PO: 3.22 ÷ 2.3 (2) Compare las siguientes maneras: Marvin: Consideré 2.3 m como 23 veces 0.1 m A cada 0.1 m le toca 3.22 ÷ 23 = 0.14 (l) de pintura. En 1 m hay 10 veces 0.1 m, por lo tanto para 1 m se necesitan 0.14 x 10 = 1.4 (l) de pintura. m 0 1 2 18 2.3  Josefina: Para trazar la línea 10 veces más larga, se utiliza 10 veces más la cantidad de pintura, pero la cantidad para 1 m es la misma. Para 23 m de línea se utilizan 3.22 x 10 = 32.2 32.2 l (l) de pintura. (m) 0 0 2.3 23 A 1 m de línea le tocan 32.2 ÷ 23 = 1.4 (l) de pintura. Vamos a analizar la manera de Josefina. La cantidad La longitud La cantidad de pintura total de pintura de la línea para 1 m de línea Para 2.3 m......... 3.22 ÷ 2.3 = x10 x10 igual Para 23 m......... 32.2 ÷ 23 = 1.4 En la división, cuando se multiplica tanto el dividendo como el divisor por un mismo número, el resultado no cambia. 1 Si se utiliza 6.88 l de pintura para trazar 4.3 m de línea, ¿cuántos litros de pintura se usan para trazar 1 m de línea? 3 Vamos a pensar en la manera del cálculo vertical de 3.22 ÷ 2.3 Cálculo vertical de 3.22 ÷ 2.3 2.3 3.22 Se tacha el punto decimal del divisor (o sea se cambia el divisor a un número natural multiplicándolo por 10). 2.3 3.2.2 En el dividendo se traslada el punto decimal a la derecha tantas posiciones como el número de cifras decimales 1.4 del divisor (o sea multiplicar el dividendo por 10). 2.3 3.2.2 23 Se calcula como en el caso cuando el divisor es un número 92 natural. Al pasar a la parte decimal, se coloca el punto decimal 92 en el cociente justo arriba del nuevo punto decimal del dividendo. 0 2 (1) 6.76 ÷ 5.2 (2) 8.05 ÷ 3.5 (3) 6.72 ÷ 4.8 (4) 5.85 ÷ 1.3 (5) 7.02 ÷ 2.7 3 (1) 9.963 ÷ 2.43 (2) 6.344 ÷ 4.88 (3) 8.505 ÷ 3.15 (4) 3.136 ÷ 1.96 (5) 7.644 ÷ 1.47 4 (1) 5.2 ÷ 2.6 (2) 6.5 ÷ 1.3 (3) 7.59 ÷ 2.53 (4) 9.28 ÷ 1.16 (5) 8.55 ÷ 1.71 19 B Siga dividiendo hasta que el residuo sea cero: 4.34 ÷ 3.5 1.2 1.2 1.24 3.5 4.3.4Colocar cero 3.5 4.3.4 3.5 4.3.4 35 35 Seguir 35 después del 14. 84 dividiendo. 84 84 70 70 70 14 140 140 140 0 En 5 y 6 siga dividiendo hasta que el residuo sea cero. 5 (1) 6.03 ÷ 4.5 (2) 6.88 ÷ 3.2 (3) 7.83 ÷ 1.8 (4) 3.372 ÷ 2.4 (5) 7.619 ÷ 3.8 (6) 7.2 ÷ 4.8 (7) 9.1 ÷ 3.5 (8) 8.19 ÷ 3.15 (9) 7.32 ÷ 4.88 (10) 6.86 ÷ 1.96 6 (1) 1.59 ÷ 1.2 (2) 9.87 ÷ 2.8 (3) 17.19 ÷ 3.6 (4) 10.02 ÷ 7.5 (5) 16.25 ÷ 5.2 (6) 8.4 ÷ 7.5 (7) 8.2 ÷ 2.5 (8) 9.1 ÷ 5.2 (9) 1.96 ÷ 1.1 2 (10) 4.97 ÷ 2.84 C Calcule: 3.358 ÷ 4.6 0.7 3 4.6 3.3.5 8 Como la cifra 7 del cociente tiene el valor de 7 décimas hay 322 que colocar en el cociente 0 en las unidades y el punto 138 decimal para aclarar el valor posicional. 138 0 7 (1) 3.42 ÷ 3.8 (2) 4.926 ÷ 8.21 (3) 1.836 ÷ 5.4 (4) 0.455 ÷ 9.1 (5) 0.048 ÷ 1.5 D Calcule: 6.5 ÷ 1.25 5.2 1.25 6.5 1.25 6.50 1.25 6.5 0 625 Se agrega cero después 250 Se agrega cero del 5, porque el 5 tiene 250 después del el valor de las decenas. 0 25 para seguir dividiendo. 8 (1) 8.2 ÷ 3.28 (2) 9.9 ÷ 8.25 (3) 9.3 ÷ 1.24 (4) 5.88 ÷ 2.352 (5) 3.85 ÷ 1.375 20 E Calcule: 4 ÷ 1.25 3.2 1.25 4 1.25 4. 1.25 4.00 1.25 4.0 0 375 250 250 0 Para aclarar el valor posicional del dividendo, es recomendable colocar el punto decimal en la posición original, aunque se le tache después. 9 (1) 9 ÷ 2.5 (2) 6 ÷ 2.4 (3) 7 ÷ 2.8 (4) 9 ÷ 1.2 (5) 7 ÷ 1.75 F Si se utilizan 1.68 l de pintura para trazar 0.8 m de línea, ¿cuántos litros de pintura se necesitan para trazar 1 m de línea? 1 Escriba el PO. PO: 1.68 ÷ 0.8 2 ¿Se necesitan más de 1.68 l de pintura o menos? 1.68 l El rectángulo completado corresponde a la cantidad (m) de pintura que se necesita para 1 m de línea. 0 0.8 1 R: Se necesitan más de 1.68 l. Si el divisor es menor que 1, el cociente es mayor que el dividendo. Si el divisor es mayor que 1, el cociente es menor que el dividendo. 10 ¿Cuáles de los cocientes son mayores que 3? (1) 3 ÷ 7.5 (2) 3 ÷ 0.2 (3) 3 ÷ 0.5 (4) 3 ÷ 1.5 11 (1) 3.3 ÷ 0.4 (2) 5.64 ÷ 0.8 (3) 4.018 ÷ 0.7 (4) 3.735 ÷ 0.6 (5) 1.7 ÷ 0.68 (6) 1.12 ÷ 0.56 (7) 8.544 ÷ 0.89 (8) 3.7 ÷ 0.925 (9) 0.7 ÷ 0.14 (10) 0.3 ÷ 0.12 21 G Si se utilizan 2.3 l de pintura para trazar 1 m de línea, ¿cuántos metros de línea se pueden trazar con 3.22 l de pintura? Pensando que se puede trazar m de línea. 2.3 (l) x (m) = 3.22 (l) (m) = 3.22 (l) ÷ 2.3 (l) 3.22 l = 32.2 dl, 2.3 l = 23 dl Entonces 1.4 23 32.2 PO: 3.22 ÷ 2.3 = 1.4 23 R: 1.4 m 92 92 0 El PO es igual que A2. 1.4 También se puede 2.3 3.2.2 aplicar el cálculo 23 aprendido de 92 3.22 ÷ 2.3 92 0 12 (1) Si se utilizan 9.01 l de pintura para pintar 1.7 m² de pared, ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 1 m² de pared? (2) Si se utilizan 1.7 l de pintura para pintar 1 m² de pared, ¿cuántos metros cuadrados de pared se pueden pintar con 9.01 l de pintura? (3) Hay 5.7 l de agua. Si se echa en recipientes de 0.38 l de capacidad, ¿en cuántos recipientes se puede echar? (4) Hay 5.7 l de agua. Si se reparte entre 6 niños, ¿cuántos litros le toca a cada uno? 22 H Se van a repartir 1.9 l de jugo en recipientes de 0.6 l de capacidad. ¿Cuántos recipientes se pueden llenar? ¿Cuántos litros sobran? 1 Escriba el PO. PO: 1.9 ÷ 0.6 2 Donaldo hizo el cálculo de la siguiente manera. ¿Es correcto? Si sobrara 1 l se podría repartir más. 0.6 l 3 Está equivocado. 0.6 1.9 Leche 18 Mi Ranchito 0.6 l 1 1 Litro 0.6 l R: 3 recipientes y sobra 1 l. Claudia: Si pensamos como Marvin [A2(2)], en 1.9 l hay 19 veces 0.1 l y en 0.6 l hay 6 veces 0.1 l. Entonces 19 ÷ 6 = 3 residuo 1, y "residuo 1" quiere decir que hay uno de 0.1 l, por lo tanto sobra 0.1 l. Alba: Recordemos la relación: divisor x cociente + residuo = dividendo 0.6 x 3 + = 1.9 x10 x10 x10 ÷10 6 x 3 + 1 = 19 3 0.6 1.9 En el cálculo vertical, el punto decimal del residuo está 18 en la misma columna que el punto original del dividendo. 0.1 13 Calcule el cociente hasta las unidades y encuentre el residuo. (1) 97.5 ÷ 2.7 (2) 118.4 ÷ 4.36 (3) 14 ÷ 1.9 (4) 7.34 ÷ 1.3 (5) 90.4 ÷ 29 (6) 7.34 ÷ 1.3 (7) 9.87÷ 1.93 (8) 30.4 ÷ 7 (9) 11.2 ÷ 1.78 (10) 9.8 ÷ 3.26 14 Calcule el cociente hasta las décimas y encuentre el residuo. (1) 94.7 ÷ 74 (2) 48.9 ÷ 35.8 (3) 59.4 ÷ 8.15 (4) 98 ÷ 1.87 (5) 10.3 ÷ 8.557 23 I Calcule el cociente hasta las centésimas y redondéelo hasta las décimas: 4.95 ÷ 2.3 2 2.15 2.3 4.9.5 46 Cuando la última cifra es de 5 a 9, se suma 1 a la cifra anterior. Sino, no hay cambio. 35 23 120 R: 2.2 115 5 Para redondear el cociente hasta cierta posición, se divide hasta una posición más y se redondea. Para aclarar hasta donde está redondeado, no se quitan los ceros de la parte decimal Ejemplo: Redondee el cociente hasta las décimas: 3.38 ÷ 1.7 = 1.98... 2.0 15 Redondee el cociente hasta las décimas. (1) 9.8 ÷ 8.6 (2) 5.5 ÷ 1.45 (3) 6.4 ÷ 2.1 (4) 13.38 ÷ 4.52 (5) 2.38 ÷ 59.42 16 Redondee el cociente hasta las centésimas. (1) 2.6 ÷ 5.8 (2) 5.4 ÷ 2.57 (3) 24.7 ÷ 24.6 (4) 6.5 ÷ 2.1 (5) 9.8 ÷ 3.27 Ejercicios (2) 1 Represente con fracciones los números que corresponden a las flechas. 1.2 1.3 1.4 a b c d 2 Convierta los números decimales en fracciones y las fracciones en números decimales. (1) 4.175 (2) 1.208 (3) 5 17 (4) 2 101 (5) 3 5 40 125 8 3 (1) 6.9 x 3.3 (2) 4.8 x 3.26 (3) 6.05 x 5.2 (4) 1.3 x 0.39 (5) 0.05 x 5.6 (6) 21.8 x 0.35 (7) 0.4 x 0.15 (8) 1.27 x 3.4 (9) 0.02 x 0.6 (10) 2.4 x 5.1 4 (1) 40.32 ÷ 2.4 (2) 4.012 ÷ 2.36 (3) 97.2 ÷ 32.4 (4) 9.9 ÷ 4.5 (5) 3.06 ÷ 38.25 (6) 8.4 ÷ 5.25 (7) 48 ÷ 3.2 (8) 11.7 ÷ 0.4 24 5 Siga dividiendo hasta que el residuo sea 0. (1) 24.22 ÷ 6.92 (2) 62.9 ÷ 9.25 (3) 12.69 ÷ 3.75 (4) 77 ÷ 5.6 6 Divida hasta las unidades en (1) y hasta las décimas en (2) y encuentre el residuo. (1) 6.53 ÷ 1.05 (2) 48 ÷ 2.35 7 Redondee el cociente hasta las décimas en (1) y hasta las centésimas en (2). (1) 1.2 ÷ 5.6 (2) 5.739 ÷ 0.79 8 Resuelva los siguientes problemas. (1) Hay 100 sacos de arroz. Si se hubieran repartido entre varias familias de modo que cada una recibiera 0.024 sacos, ¿entre cuántas familias se habrían podido repartir? y ¿cuánto habría sobrado? (2) Si se usan 2.7 l de agua para regar 1 m² de tierra, ¿cuántos litros de agua se necesitan para regar 24.6 m² de tierra? (3) ¿Cuánto mide el área del siguiente triángulo? 2.8 cm 4.3 cm (4) Si 3.4 m de alambre pesan 56.8 g, ¿cuánto pesa 1 m de este alambre? Represente la respuesta con un número decimal hasta las décimas. (5) Si 1 m de alambre pesa 27.3 g, ¿cuántos metros mide 404.04 g de este alambre? (6) Si 1 m de alambre pesa 14.7 g, ¿cuántos gramos pesa 10.34 m de este alambre? (7) Se vende jugo en dos tipos de cajas. Una contiene 1.3 l de jugo y cuesta 28 lempiras. La otra contiene 0.8 l de jugo y cuesta 18 lempiras. ¿Cuál es más económica por cada litro de jugo? (8) Si se reparten 72.03 kg de azúcar en varias bolsas y en cada una de ellas se echan 3.43 kg, ¿en cuántas bolsas se pueden repartir? 25  Unidad 4 Área Utilice su cuaderno para resolver Recordemos 1. Calcule el perímetro de los siguientes polígonos regulares. (1) Un octágono cuyo lado mide 5 cm (2) Un decágono cuyo lado mide 2 cm 2. Diga los elementos de un círculo. 3. Calcule la longitud de la circunferencia F de los siguientes círculos. A (1) Un círculo cuyo radio mide 5 cm D (2) C 15 m B E Lección 1: Calculemos el área de polígonos regulares A F A Helena quiere decorar la pared de su casa usando mosaicos con forma de hexágonos regulares. Para calcular cuántos mosaicos necesita para pegar en la pared, ella quiere saber el área de un mosaico. O Vamos a encontrar el área de los B E hexágonos regulares. 1 Calque en el cuaderno el hexágono regular de la izquierda y piense en alguna forma para encontrar su área. C D 1 cm Dividiendo en A dos trapecios... 1 cm ¿Recuerdas que con los triángulos equiláteros hicimos diseños y nos dimos Dividiendo en B cuenta que con ellos se cuatro triángulos... forma un hexágono regular? Dividiendo en C seis triángulos 26 iguales... 2 Mida las longitudes necesarias y encuentre el área de este hexágono regular usando la forma que prefiera. A 4 cm B 4 cm C 3.5 cm 3.5 cm 3.5 cm 8 cm 3.5 cm 8 cm 3.5 cm 4 cm 4 cm 4 cm PO: (4 + 8) x 3.5 ÷ 2 x 2 = 42 PO: 4 x 3.5 ÷ 2 x 2 = 14 PO: 4 x 3.5 ÷ 2 x 6 = 42 R: 42 cm2 aproximadamente 8 x 3.5 ÷ 2 x 2 = 28 R: 42 cm2 aproximada- 14 + 28 = 42 mente R: 42 cm2aproximada- mente La forma con menos mediciones es la C , ¿verdad? A F centro Para encontrar el área del hexágono regular ABCDEF, se usa la longitud de CD y la de OG. O El punto O se llama centro del polígono regular. B E OG se llama apotema del polígono regular. La apotema es la altura de cada uno de los triángulos iguales con su base en cada lado del C G D polígono. apotema 3 Encuentre el área del hexágono regular anterior usando otra forma. 1 Encuentre el área de los siguientes hexágonos regulares dividiéndolos en seis triángulos iguales. (1) (2) (3) Un hexágono regular 3 cm cuyos lados y apotema 6.93 cm miden 6 cm y 5.2 cm respectivamente 8 cm 2.6 cm 27  Intentémoslo Vamos a encontrar el centro de un hexágono regular. 1. Construir un hexágono regular. El centro del polígono regular es el punto de intersección de los ejes 4 cm de simetría, ¿verdad?. 2. Doblarlo por la mitad de modo que ambas partes se sobrepongan exactamente, 3. Obtener el punto en el que se repitiendo la operación varias veces. cruzan los pliegues, que es el centro del hexágono regular. Vamos a comprobar si son iguales los seis triángulos obtenidos al dividir el hexágono regular. Los seis triángulos 4. Trazar las líneas uniendo el centro son equiláteros, porque con cada vértice. sus tres lados y sus tres 5. Recortar los triángulos. ángulos son iguales. 6. Confirmar si son iguales sobreponiéndolos. 7. Pegarlos en el cuaderno y escribir lo descubierto. A B Tobías hizo un diseño simbólico para la actividad del día del árbol. Este diseño tiene la forma de un pentágono regular como se representa B E a la derecha. ¿Cuánto mide el área de este símbolo? 1 Calque en el cuaderno el pentágono regular y piense en alguna forma para encontrar su área. C D A B C Dividiendo en un triángulo Dividiendo en tres Dividiendo en cinco y un trapecio... triángulos... triángulos iguales... Pero, ¿serán iguales los cinco triángulos de la forma C ? 28 2 Encuentre el centro del pentágono regular y compruebe si los cinco triángulos de la forma C son iguales. 1. Calcar en el papel el pentágono 3. Obtener el punto en el que de Tobías y recortarlo. se cruzan los pliegues, que es el centro del pentágono regular. 4. Trazar la línea uniendo 2. Doblarlo por la mitad de modo que el centro con cada vértice ambas partes se sobrepongan y dividir en cinco triángulos. exactamente, repitiendo la operación varias veces. 5. Recortar y sobreponer los triángulos para comparar si son iguales. Pega los triángulos recortados en tu cuaderno y escribe lo Doblar Abrir Doblar Abrir descubierto. Al igual que en el caso del hexágono regular, al dividir un pentágono regular con segmentos que van del centro a cada vértice, se forman triángulos iguales (triángulos isósceles). 3 Mida las longitudes necesarias y encuentre el área de este pentágono regular usando la forma que prefiera. 2.3 cm 6.2 cm A B C 6.5 cm 2.3 cm 3.8 cm 2.7 cm 6.5 cm 4 cm 4 cm 4 cm PO: 6.5 x 2.3 ÷ 2 = 7.475 PO: 4 x 6.2 ÷ 2 = 12.4 PO: 4 x 2.7 ÷ 2 x 5 = 27 2 (4 + 6.5) x 3.8 ÷ 2 = 19.95 6.5 x 2.3 ÷ 2 x 2 = 14.95 R: 27 cm aproximada- 7.475 + 19.95 = 27.425 12.4 + 14.95 = 27.35 mente 2 R: 27.425 cm2 aproximada- R: 27.35 cm aproximada- mente mente 4 Encuentre el área del pentágono regular anterior usando otra forma. 2 Encuentre el área de los siguientes pentágonos regulares dividiéndolos en cinco triángulos iguales. (1) 1m (2) (3) Un pentágono regular 69 cm 20.7 cm cuyos lados y apotema miden 2 cm y 1.4 cm respectivamente. 30 cm 29 C Vamos a deducir la fórmula para encontrar el área de polígonos regulares. 1 ¿Cuál fue la forma común que se aplicó para encontrar el área de hexágonos regulares y pentágonos regulares? Se aplicó la forma con la que se divide el polígono regular en triángulos iguales. PO: 4 x 3.5 ÷ 2 x 6 PO: 4 x 2.7 ÷ 2 x 5 3.5 cm 2.7 cm 4 cm 4 cm 2 Represente el PO con palabras para obtener la fórmula. Hexágono 4 x 3.5 ÷ 2 x 6 Pentágono 4 x 2.7 ÷ 2 x 5 Longitud Apotema Número del lado de lados (Base del (Altura del (Número de triángulo) triángulo) triángulos) La fórmula para encontrar el área de polígonos regulares es: área = lado x apotema ÷ 2 x número de lados 3 Mida las longitudes necesarias y encuentre el área del siguiente octágono regular usando la fórmula. PO: 2 x 2.4 ÷ 2 x 8 = 19.2 R: 19.2 cm2 aproximadamente 4 Calque en papel este octágono regular y compruebe si los ocho triángulos son iguales, recortándolos y sobreponiéndolos. 3 Encuentre el área de los siguientes polígonos regulares. (1) 2 cm (2) (3) Un decágono regular 1.45 cm cuyos lados y apotema 3.6 cm miden 3 m y 4.6 m 3 cm respectivamente. 30 2.1 cm 3.9 cm Lección 2: Calculemos el área de círculos A Iván hizo una tabla circular cuyo radio mide 10 cm para colocar la olla sobre ella. ¿Cuánto mide el área de esta tabla? 1 Estime el área de esta tabla comparando con el área del cuadrado cuyo lado mide igual al radio. 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm El área del círculo El área del círculo es mayor que es menor que ( ) veces el. ( ) veces el. Se puede estimar que el área de un círculo es mayor que dos veces la de un cuadrado cuyo lado mide igual al radio, y es menor que cuatro veces la del mismo. Entonces, ¿cuántas veces más sería el área del círculo que la del cuadrado? 2 2 Encuentre el área aproximada de este círculo usando cuadrículas de 1 cm. Trabaje en el cuaderno construyendo las cuadrículas y las figuras necesarias. Vamos a contar los cuadrados. ¿Habrá alguna forma fácil para saber el número de cuadrados? 31  Es eficiente contar los cuadrados de 1 del círculo y multiplicar por 4 para 4 encontrar el total. Hay 69 Hay 17 PO: 69 + 17 ÷ 2 = 77.5 77.5 x 4 = 310 2 R: 310 cm aproximadamente 3 ¿Cuántas veces más sería el área del círculo que la del cuadrado cuyo lado mide igual al radio? PO: 10 x 10 = 100 310 ÷ 100 = 3.1 “3.1...” Este número R: El área de un círculo es me hace aproximadamente 3.1 veces más recordar algo... grande que el área de un cuadrado cuyo lado es el radio del círculo. Intentémoslo Vamos a encontrar el área aproximada 1. Haga en el cuaderno la cuadrícula de del círculo anterior pero usando 0.25 cm2 (cada lado mide 0.5 cm) y cuadrículas de 0.25 cm2. dibuje 1 del círculo con 10 cm de radio. 4 2. Encuentre el área aproximada del círculo. Hay 292 Hay 39 PO: 292 + 39 ÷ 2 = 311.5 0.25 x 311.5 = 77.875 77.875 x 4 = 311.5 2 R: 311.5 cm aproximadamente Cuanto más pequeña sea la cuadrícula, el área aproximada se acerca más al área real. 32 B Vamos a pensar en la forma para encontrar el área de círculos. 1 Construya un círculo de papel y piense en la forma para encontrar su área recortándolo y transformándolo. A B C Aproximando el área Colocando como Colocando como de una parte con la de un romboide... un romboide... un triángulo... Hemos deducido las fórmulas del área de figuras transformándolas a otras cuya fórmula es conocida, ¿verdad? 2 Observe la transformación en la forma C con los círculos divididos en 8, 16, 32 y 64 partes iguales. Cuanto más se divida el círculo, ¿a qué figura se parece? Cuanto más se divida un círculo, la figura compuesta por las partes será un rectángulo. 33 3 ¿Con qué longitud del círculo coincide la longitud del largo y ancho del rectángulo? ancho largo El ancho del rectángulo coincide con el radio del círculo. El largo del rectángulo coincide con la mitad de la longitud de la circunferencia. radio mitad de la longitud de la circunferencia 4 Deduzca la fórmula para encontrar el área del círculo. La longitud de la mitad de la circunferencia se encuentra con la fórmula “diámetro x 3.14 ÷ 2” radio y es igual a “radio x 3.14”. Entonces, la fórmula del área del círculo es: radio x 3.14 p área = radio x radio x 5 Calcule el área del círculo cuyo radio mide 10 cm y compare el resultado con el del área aproximada. 1 Calcule el área de las siguientes partes sombreadas. (1) (2) (3) (4) 6 cm 10 cm 4 cm 4 cm 8 cm 2 Encuentre el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las siguientes medidas. (1) 62.8 cm (2) 12.65 cm (3) 47.1 cm 34 C Vamos a investigar la relación entre el radio, la circunferencia y el área de círculos. 1 Cuando el radio cambia, ¿cómo cambia la circunferencia? ¿Cómo cambia el área? Haga en el cuaderno una tabla como la siguiente 1 cm y llénela con el resultado del cálculo. Radio (cm) 1 2 3 4 5 6 7 Circunferencia (cm) 6.28 12.56 2 Área (cm ) 3.14 12.56 2 Observe la tabla y diga de qué se dio cuenta. Cuando el radio es dos veces más, tres veces más..., la circunferencia también es dos veces más, tres veces más.... Cuando el radio es dos veces más, tres veces más..., el área es cuatro veces más, nueve veces más.... x3 x3 x2 x2 Radio (cm) 2 4 6 Radio (cm) 2 4 6 2 Circunferencia (cm) 12.56 25.12 37.68 Área (cm ) 12.56 50.24 113.04 x2 x4 x3