كتاب النشاط الرياضيات المتقدمة صف أول 12 PDF

‫الرياضيات المتقدمة‬ ‫الصف الثاني عشر‬ ‫الفصل الدراسي األول‬ ‫كتاب النشاط‬ ‫‪ 1445‬هـ ‪ 2023 -‬م‬ ‫الطبعة التجريبية‬  ‫‪ ، CB2‬المملكة المتحدة‪.‬‬ ‫مطبعة جامعة كامبريدج‪ ،‬الرمز البريدي ‪8BS‬‬...

‫الرياضيات المتقدمة‬ ‫الصف الثاني عشر‬ ‫الفصل الدراسي األول‬ ‫كتاب النشاط‬ ‫‪ 1445‬هـ ‪ 2023 -‬م‬ ‫الطبعة التجريبية‬  ‫‪ ، CB2‬المملكة المتحدة‪.‬‬ ‫مطبعة جامعة كامبريدج‪ ،‬الرمز البريدي ‪8BS‬‬ ‫تشكل مطبعة جامعة كامبريدج جز ًءا من الجامعة‪.‬‬ ‫وللمطبعة دور في تعزيز رسالة الجامعة من خالل نشر المعرفة‪ ،‬سع ًيا وراء تحقيق التعليم‬ ‫والتعلم وتوفير أدوات البحث على أعلى مستويات التميز العالمية‪.‬‬ ‫© مطبعة جامعة كامبريدج ووزارة التربية والتعليم في سلطنة ُعمان‪.‬‬ ‫يخضع هذا الكتاب لقانون حقوق الطباعة والنشر‪ ،‬ويخضع لالستثناء التشريعي المسموح به‬ ‫قانو ًنا وألحكام التراخيص ذات الصلة‪.‬‬ ‫ال يجوز نسخ أي جزء من هذا الكتاب من دون الحصول على اإلذن المكتوب من مطبعة‬ ‫جامعة كامبريدج ومن وزارة التربية والتعليم في سلطنة ُعمان‪.‬‬ ‫الطبعة التجريبية ‪ 2023‬م‪ُ ،‬طبعت في سلطنة ُعمان‬ ‫هذه نسخة تمت مواءمتها من كتاب النشاط ‪ -‬الرياضيات للصف الثاني عشر ‪ -‬من سلسلة‬ ‫‪ ،Cambridge international AS & A level Mathematics 1‬للمؤلفين موريل جايمز‪،‬‬ ‫ودين تشالمرز‪.‬‬ ‫تمت مواءمة هذا الكتاب بنا ًء على العقد الموقع بين وزارة التربية والتعليم ومطبعة جامعة‬ ‫كامبريدج‪.‬‬ ‫ال تتحمل مطبعة جامعة كامبريدج المسؤولية تجاه توافر أو دقة المواقع اإللكترونية‬ ‫المستخدمة في هذا الكتاب ومصداقيتها‪ ،‬وال تؤكد أن المحتوى الوارد على تلك المواقع‬ ‫دقيق ومالئم‪ ،‬أو أنه سيبقى كذلك‪.‬‬ ‫تمت مواءمة الكتاب‬ ‫بموجب القرار الوزاري رقم ‪ 2023 / 36‬واللجان المنبثقة عنه‬ ‫جميع حقوق الطبع والتأليف والنشر محفوظة لوزارة التربية والتعليم‬ ‫كامل أو مج ًّزأ أو ترجمته‬ ‫ال يجوز طبع الكتاب أو تصويره أو إعادة نسخه ً‬ ‫أو تخزينه في نطاق استعادة المعلومات بهدف تجاري بأي شكل من األشكال‬ ‫ّإال بإذن كتابي مسبق من الوزارة‪ ،‬وفي حالة االقتباس القصير يجب ذكر المصدر‪.‬‬  ّّ ّ ّّ ّ ّ ّ ّ ّ ّّ  ‫ﺳﻠطﻧــــــﺔ ﻋُﻣــــــﺎن‬ ‫)اﻟﻣﺣﺎﻓظﺎت واﻟوﻻﯾﺎت(‬ ‫‪ 52°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 54°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 56°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 58°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 60°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫ﻣﺿـﯾﻖ ھرﻣز‬ ‫ﺧﺻب‬ ‫اﻟﺟﻣﮭورﯾﺔ اﻹﺳﻼﻣـﯾﺔ اﻹﯾــراﻧﯾﺔ‬ ‫! ! ﺑﺧﺎء‬ ‫‪ 26°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫‪ 26°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ ﻣﺳﻧدم‬ ‫!‬ ‫دﺑﺎ‬ ‫اﻟﺧــــﻠــﯾـــــﺞ اﻟــﻌــــــــرﺑﻲ‬ ‫ﻣدﺣﺎء‬ ‫!‬ ‫)ﺳﻠطﻧﺔ ﻋﻣﺎن(‬ ‫ﺷﻧﺎص‬ ‫!‬ ‫ﻟوى‬ ‫ﻣﺣﺿﺔ‬ ‫!‬ ‫ﺻﺣﺎر (‬ ‫ﻣﯾﻧﺎء ﺻﺣﺎر‬ ‫ﺑﺣـــــر ﻋُـﻣـــــــﺎن‬ ‫ﺎ ط ﻧﺔ‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ﻣطﺎر ﺻﺣﺎر‬ ‫اﻟﺑرﯾﻣﻲ‬ ‫‪r‬‬ ‫اﻟﺑ‬ ‫ﺻﺣم‬ ‫!‬ ‫دوﻟﺔ اﻹﻣﺎرات‬ ‫ﻣ‬ ‫ﻣﺎ ل‬ ‫‪ 24°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫‪ 24°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫!‬ ‫ﺣﺎ‬ ‫اﻟﺧﺎﺑورة‬ ‫ظﺔ‬ ‫ﻓظ‬ ‫ﺷ‬ ‫اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﻣﺗﺣدة‬ ‫ﺣ ﺎﻓ‬ ‫ﺟزر اﻟدﯾﻣﺎﻧﯾﺎت اﻟﺳوﯾﻖ‬ ‫!‬ ‫ﺔا‬ ‫ﻣطﺎر ﻣﺳـﻘط اﻟدوﻟﻲ‬ ‫ﻟ‬ ‫ﻣ‬ ‫!‬ ‫اﻟﻣﺻﻧﻌﺔ‬ ‫ﺑرﯾ‬ ‫!‬ ‫ﻣﯾﻧﺎء اﻟﺳﻠطﺎن ﻗﺎﺑوس اﻟﺳﯾب ﺑرﻛﺎء‬ ‫وادي ﻣﺣﺎﻓظﺔ‬ ‫ﻣطرح‬ ‫ﻣﻲ‬ ‫ﺿﻧك‬ ‫ﯾﻧﻘل‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫(‬ ‫ﻣﺳﻘط ‪.‬‬ ‫!‬ ‫اﻟﻣﻌﺎولﺟﻧوب اﻟﺑﺎطﻧﺔ‬ ‫‪r‬‬ ‫!‬ ‫اﻟﺳﻧﯾﻧﺔ‬ ‫!‬ ‫! ﺑوﺷر‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫طاﻟﻌﺎﻣرات ﺑدﺑد‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ﻧﺧل ! اﻟرﺳﺗﺎق‬ ‫ﻗرﯾﺎت ! ﺳﻘ‬ ‫اﻟﻌواﺑﻲ‬ ‫ﺔﻣ‬ ‫!‬ ‫ﻋﺑري‬ ‫!‬ ‫ﺳﻣﺎﺋل‬ ‫! اﻟﺣﻣراء‬ ‫اﻷﺧﺿر‬ ‫اﻟﺟﺑل‬ ‫دﻣﺎء‬ ‫ﻓظ‬ ‫ﺣﺎ‬ ‫!‬ ‫ﻧزوى ! ﺑﮭﻼء‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫واﻟطﺎﺋﯾﯾن‬ ‫ﻣ‬ ‫إزﻛﻲ‬ ‫ﻣﻧﺢ‬ ‫إﺑراء‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ اﻟظﺎھرة‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫اﻟﻣﺿﯾﺑﻲ‬ ‫وادي ﺑﻧﻲ ﺧﺎﻟد‬ ‫ﺻور‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! اﻟﻘﺎﺑل‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ‬ ‫!‬ ‫ﺳﻧﺎو‬ ‫! أدم‬ ‫ﺑدﯾﺔ‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ‬ ‫ﺟﻧوب اﻟﺷرﻗﯾﺔ‬ ‫ﺷﻣﺎل اﻟﺷرﻗﯾﺔ‬ ‫! اﻟﻛﺎﻣل واﻟواﻓﻲ‬ ‫‪ 22°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫‪ 22°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫! ! ﺟﻌﻼن ﺑﻧﻲ ﺑو ﺣﺳن‬ ‫ﺟﻌﻼن ﺑﻧﻲ ﺑو ﻋﻠﻲ‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ اﻟداﺧﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﻣﻠﻛـــــــﺔ‬ ‫اﻟﻌرﺑﯾــــﺔ اﻟﺳﻌودﯾــــــﺔ‬ ‫ﻣﺣوت‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ﻣﺻﯾرة‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ اﻟوﺳطﻰ‬ ‫‪ 20°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫! ھﯾﻣﺎء‬ ‫‪ 20°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫ﻣﯾﻧﺎء اﻟدﻗم‬ ‫! ﻣﻘﺷن‬ ‫(! اﻟدﻗم‬ ‫ﻣطﺎر اﻟدﻗم‬ ‫‪r‬‬ ‫! اﻟﺟﺎزر‬ ‫ﻣﺣﺎﻓظﺔ ظﻔﺎر‬ ‫ﺑﺣـــــر اﻟـﻌــــــرب‬ ‫‪ 18°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫‪ 18°‬ﺷﻣﺎﻻ‬ ‫ﺷﻠﯾم وﺟزر اﻟﺣﻼﻧﯾﺎت‬ ‫!‬ ‫اﻟﻣزﯾوﻧﺔ‬ ‫أﻧﺘﺠـــﺖ ﺑﺎﻟﮭﯿﺌــــﺔ اﻟﻮطﻨﯿـــﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣـــــﺔ ‪ ،‬وزارة اﻟﺪﻓـــــﺎع‪ ،‬ﺳﻠﻄﻨــــﺔ ﻋُﻤــــﺎن ‪ 2022‬م ‪.‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫ﺣﻘوق اﻟطﺑﻊ © ﻣﺣﻔوظﺔ ﻟﻠﮭﯾﺋﺔ اﻟوطﻧﯾﺔ ﻟﻠﻣﺳﺎﺣﺔ‪ ،‬وزارة اﻟدﻓﺎع‪ ،‬ﺳﻠطﻧﺔ ﻋُﻣﺎن ‪ 2022‬م ‪.‬‬ ‫ﺛﻣرﯾت‬ ‫ﻻ ﯾﻌﺗد ﺑﮭذه اﻟﺧرﯾطﺔ ﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﺣدود اﻟدوﻟﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﺟزر اﻟﺣﻼﻧﯾﺎت‬ ‫طﺮﯾﻖ ﻣﺮﺻﻮف‬ ‫ﺣﺑروت‬ ‫‪.‬‬ ‫!‬ ‫ﻋﺎﺻﻤﺔ‬ ‫طﺮﯾﻖ ﻣﻤـﮭﺪ‬ ‫!‬ ‫وﻻﯾﺔ‬ ‫اﻟﺟﻣﮭـورﯾﺔ‬ ‫ﻣطﺎر ﺻﻼﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﺪود اﻻدارﯾﺔ‬ ‫(‬ ‫ﻣﯿﻨﺎء‬ ‫‪r‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫اﻟﺤﺪود اﻟﺪوﻟﯿﺔ‬ ‫!‬ ‫ﺳدح‬ ‫ﻣﻄﺎر‬ ‫‪r‬‬ ‫!‬ ‫اﻟﯾﻣﻧﯾـــــﺔ‬ ‫(‬ ‫طﺎﻗﺔ ﺻﻼﻟﺔ‬ ‫ﻣرﺑﺎط‬ ‫‪0‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪150‬‬ ‫ﻛﻢ ‪200‬‬ ‫ﻣﯾﻧﺎء ﺻﻼﻟﺔ‬ ‫!‬ ‫رﺧﯾوتﺿﻠﻛوت‬ ‫!‬ ‫‪ 52°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 54°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 56°‬ﺷرﻗﺎ‬ ‫‪ 58°‬ﺷرﻗﺎ‬  ‫النَّ ضي ُد ال َْـو َط ِن ُّي‬ ‫َجــــا َلــــ َة ُّ‬ ‫الــ ــســ ْلــطــان‬ ‫اح َف ْ‬ ‫ــظ لـنــــا‬ ‫يــا َر َّبـنـــا ْ‬ ‫ــــز وا َلأمـــــــــان‬ ‫ِبــــا ْل ِ‬ ‫ــــع ِّ‬ ‫ــب فــي الأَ ْوطـــان‬ ‫ال س ْع َ‬ ‫َو َّ‬ ‫ـــدا‬ ‫ـــجـ ً‬ ‫عـ ِ‬ ‫ــــاهـــــاً ُمـ َ‬ ‫ـــمـ َّ‬ ‫ــــــدا‬ ‫مـــ َ ؤ َّي ً‬ ‫ـــــــــد ْم ُ‬ ‫ُ‬ ‫َو ْل َ‬ ‫ـــي‬ ‫فـــــو س ُي ْف َتــــدى‬ ‫ِ‬ ‫ِبال ُّن‬ ‫ـن ِكـ ِ‬ ‫ـرام ا ْل َع َر ِب‬ ‫اأَ ْو ِفــيـ ُ‬ ‫ـاء ِمـ ْ‬ ‫مان َن ْح ُن ِم ْن َع ْه ِد ال َّنبي‬ ‫يا ُع ُ‬ ‫َو ْام َلـئـي ا ْل َك ْ‬ ‫ـــ َن سيـــاء‬ ‫ال سمــاء‬ ‫هـــــام َّ‬ ‫َ‬ ‫فــار َتقـــي‬ ‫ْ‬ ‫ا س َعدي َوا ْن َعمـي ِب َّ‬ ‫الرخــاء‬ ‫َو ْ‬ ‫‪7‬‬ ‫َو َطني ُعمانُ ‪َ..‬م ْو ِق ٌع َو َح ضا َرةٌ‪.‬‬  ‫تقديم‬ ‫حمد‪ ،‬وعلى آله وصحبه‬ ‫الحمد هلل رب العالمين‪ ،‬والصالة والسالم على خير المرسلين‪ ،‬س ّيدنا ُم َّ‬ ‫أجمعين‪.‬وبعد‪:‬‬ ‫فقد حرصت وزارة التربية والتعليم على تطوير المنظومة التعليمية في جوانبها ومجاالتها المختلفة‬ ‫كافة؛ لتُل ّبي ُمتطلّبات المجتمع الحالية‪ ،‬وتطلُّعاته المستقبلية‪ ،‬ولتتواكب مع ال ُمستج ّدات العالمية في‬ ‫اقتصاد المعرفة‪ ،‬والعلوم الحياتية المختلفة؛ بما يؤ ّدي إلى تمكين المخرجات التعليمية من المشاركة‬ ‫في مجاالت التنمية الشاملة للسلطنة‪.‬‬ ‫وقد حظيت المناهج الدراسية‪ ،‬باعتبارها مك ِّو ًنا أساس ًّيا من ُمك ِّونات المنظومة التعليمية‪ ،‬بمراجعة‬ ‫مستمرة وتطوير شامل في نواحيها المختلفة؛ بد ًءا من المق ّررات الدراسية‪ ،‬وطرائق التدريس‪ ،‬وأساليب‬ ‫التقويم وغيرها؛ وذلك لتتناسب مع الرؤية المستقبلية للتعليم في السلطنة‪ ،‬ولتتوافق مع فلسفته وأهدافه‪.‬‬ ‫وقد أولت الوزارة مجال تدريس العلوم والرياضيات اهتما ًما كبي ًرا يتالءم مع مستجدات التطور العلمي‬ ‫والتكنولوجي والمعرفي‪.‬ومن هذا المنطلق اتَّجهت إلى االستفادة من الخبرات الدولية؛ اتسا ًقا مع‬ ‫التط ُّور ال ُمتسارع في هذا المجال‪ ،‬من خالل تبنّي مشروع السالسل العالمية في تدريس هاتَين الما ّدتَين‬ ‫والتقصي واالستنتاج لدى الطلبة‪ ،‬وتعميق فهمهم‬ ‫ّ‬ ‫وفق المعايير الدولية؛ من أجل تنمية مهارات البحث‬ ‫للظواهر العلمية المختلفة‪ ،‬وتطوير قدراتهم التنا ُفسية في المسابقات العلمية والمعرفية‪ ،‬وتحقيق نتائج‬ ‫أفضل في الدراسات الدولية‪.‬‬ ‫إن هذا الكتاب‪ ،‬بما يحويه من معارف ومهارات وقيَم واتجاهات‪ ،‬جاء ُمح ِّق ًقا ألهداف التعليم في‬ ‫السلطنة‪ ،‬وموائ ًما للبيئة العمانية‪ ،‬والخصوصية الثقافية للبلد‪ ،‬بما يتض َّمنه من أنشطة وصور ورسوم‪.‬‬ ‫وهو أحد مصادر المعرفة الداعمة لتعلُّم الطالب‪ ،‬باإلضافة إلى غيره من المصادر المختلفة‪.‬‬ ‫ُمتمنّية ألبنائنا الطلبة النجاح‪ ،‬ولزمالئنا المعلّمين التوفيق فيما يبذلونه من جهود ُمخلِصة‪ ،‬لتحقيق‬ ‫أهداف الرسالة التربوية السامية؛ خدمة لهذا الوطن العزيز‪ ،‬تحت ظل القيادة الحكيمة لموالنا حضرة‬ ‫صاحب الجاللة السلطان هيثم بن طارق المعظم‪ ،‬حفظه اهلل ورعاه‪.‬‬ ‫واهلل ولي التوفيق‬ ‫د‪.‬مديحة بنت أحمد الشيبانية‬ ‫وزيرة التربية والتعليم‬  ‫المحتويات‬ ‫المحتويات‬ ‫الوحدة الثالثة‪ :‬مقدمة في النهايات واالتصال‬ ‫كيف تستخدم هذا الكتاب؟ ‪xii......................‬‬ ‫‪ ١-٣‬نهاية الدالة عند نقطة‪٥٩.........................‬‬ ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫نهاية الدالة كثيرة الحدود‪٥٩..................‬‬ ‫‪ ١-٣‬أ‬ ‫‪ ١-١‬الراديان ‪١٣........................................‬‬ ‫‪ ١-٣‬ب نهاية الدالة النسبية ‪٦٢........................‬‬ ‫‪ ٢-١‬طول القوس‪١٧....................................‬‬ ‫‪ ١-٣‬ج نهاية الدالة المع ّرفة بأكثر من قاعدة‪٦٦......‬‬ ‫‪ ٣-١‬مساحة القطاع الدائري ‪٢٠.......................‬‬ ‫‪ ٢-٣‬نهاية الدالة النسبية عند الالنهاية‬ ‫تمارين مراجعة نهاية الوحدة األولى ‪٢٣.................‬‬ ‫(س ‪٧١..................................)∞ ±‬‬ ‫‪ ٣-٣‬خواص النهايات ‪٧٣...............................‬‬ ‫الوحدة الثانية‪ :‬حساب المثلثات‬ ‫‪ ٤-٣‬االتصال‪٧٦........................................‬‬ ‫‪ ١-٢‬الزوايا بين ‪٢٩........................... °٩٠ ،°٠‬‬ ‫تمارين مراجعة نهاية الوحدة الثالثة ‪٨٢.................‬‬ ‫‪ ٢-٢‬زاوية األساس (الزاوية المرجعية)‪٣٣.............‬‬ ‫‪ ٣-٢‬النسب المثلثية للزوايا العامة ‪٣٥.................‬‬ ‫الوحدة الرابعة‪ :‬التفاضل‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪ ٤-٢‬التمثيالت البيانية للدوال المثلثية‪٣٨.............‬‬ ‫‪ ١-٤‬المشتقة وعالقتها بالميل‪٨٥......................‬‬ ‫‪ ٥-٢‬الدوال المثلثية العكسية ‪٤٣.......................‬‬ ‫‪ ٢-٤‬مشتقة دالة القوة ‪٨٧..............................‬‬ ‫‪ ٦-٢‬المعادالت المثلثية ‪٤٦.............................‬‬ ‫‪ ٣-٤‬قاعدة السلسلة ‪٩١................................‬‬ ‫‪ ٧-٢‬المتطابقات المثلثية ‪٥٠...........................‬‬ ‫‪ ٤-٤‬المماس والعمودي ‪٩٣.............................‬‬ ‫‪ ٨-٢‬المزيد من المعادالت المثلثية ‪٥٣.................‬‬ ‫‪ ٥-٤‬الدوال المتزايدة والدوال المتناقصة‪٩٥..........‬‬ ‫تمارين مراجعة نهاية الوحدة الثانية ‪٥٦.................‬‬ ‫‪ ٦-٤‬النقاط الحرجة ‪٩٨................................‬‬ ‫تمارين مراجعة نهاية الوحدة الرابعة ‪١٠٢...............‬‬  ‫كيف تستخدم هذا الكتاب؟‬ ‫األولىهذا الكتاب ميزات خاصة تم تصميمها لتساعدك على التعلم‪.‬يعطي هذا الجزء صورة‬ ‫تالحظ خالل‬‫الوحدة‬ ‫سوف‬ ‫‪Circular measure‬‬ ‫الدائري‬ ‫القياس‬ ‫لهذه الميزات‪.‬‬ ‫مختصرة‬ ‫ستتعلّم في هذه الوحدة كيف‪:‬‬ ‫مساعدة‬ ‫‪ ١-١‬تح ّول بين الراديان‪ ،‬والدرجة‪.‬‬ ‫‪ 2-١‬تستخدم قانون طول القوس لحساب نصف القطر‪ ،‬وطول القوس‪ ،‬والزاوية المركزية بالراديان‪.‬‬ ‫الجذر التربيعي‬ ‫‪ 3-١‬تستخدم قانون مساحة القطاع الدائري لحساب المساحة‪ ،‬ونصف القطر‪ ،‬والزاوية المركزية بالراديان‪.‬‬ ‫توجد له قيمتان‪:‬‬ ‫‪ 4-١‬تح ّل المسائل التي تتعلق بطول القوس‪ ،‬ومساحة القطاع في الدائرة‪ ،‬بما في ذلك الحسابات المتعلقة‬ ‫قيمة موجبة وقيمة‬ ‫بأطوال أضالع‪ ،‬وزوايا‪ ،‬ومساحات المثلثات‪.‬‬ ‫سالبة‪.‬‬ ‫مساعدة‪ :‬إطارات تتضمن نصائح‬ ‫‪Radian‬على المفاهيم المهمة‬ ‫التعليمية‪ :‬تدل‬ ‫األهداف‬ ‫‪ ١-١‬الراديان‬ ‫محتوى‬ ‫الدائري‬ ‫حول‬ ‫القياس‬ ‫مفيدة‬ ‫األولى‪:‬‬ ‫وإرشادات‬ ‫الوحدة‬ ‫في كل وحدة وتساعدك في تصفح الكتاب‬ ‫تمارين ‪١-١‬‬ ‫الكتاب‪.‬‬ ‫منهجية‪.‬‬ ‫بطريقة‬ ‫‪ )١‬ح ّول قياس كل زاوية من الزوايا اآلتية إلى الراديان‪ ،‬واكتب الناتج بداللة ‪:π‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪°45‬‬ ‫الوحدة‪ °‬األولى‬ ‫‪14٠‬‬ ‫مراجعة نهاية‬ ‫تمارين ‪°9٠‬‬ ‫‪xii‬‬ ‫‪ )١‬استخدم الشكل المجاور في كل أجزاء هذا التمرين‪ ،‬حيث نق هو نصف‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫(سم)‪ ،‬م هو مساحة‬ ‫(سم)‪ ،‬ل هو طول القوس‬ ‫قطر‪°‬الدائرة التي مركزها‬ ‫‪°18‬‬ ‫‪°72‬‬ ‫‪3٠‬‬ ‫ﻫـ‬ ‫م‬ ‫ل‬ ‫القطاع الدائري المظلّل (سم )‪ ،‬هـ الزاوية المركزية المقابلة للقوس‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫بالراديان إذا علمت أن‪:‬‬ ‫‪°12٠‬نق = ‪ ،7‬هـ ‪،1.2 = ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪°72٠‬‬ ‫‪°22‬ل ‪ ،‬م‪.‬‬ ‫فأوجد‬ ‫‪2‬‬ ‫تمارين مراجعة نهاية الوحدة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫االختبار‪ °‬تغطي جميع الموضوعات في الوحدة‪.‬يمكنك‬ ‫‪°27٠‬‬ ‫أسئلة تحاكي أسئلة‬ ‫‪°42٠‬‬ ‫مراجعة نهاية الوحدة على‬ ‫تحتوي‬ ‫فأوجد ل ‪ ،‬م‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫للموضوعات التي درستها‪.‬‬ ‫‪،2.1‬فهمك‬ ‫للتحقق= من‬ ‫‪ ،3.5‬هـ‬ ‫استخدام هذهنق =‬ ‫األسئلة‬ ‫توجد في كل وحدة تمارين متعددة تحتوي على أسئلة تدريبية‪.‬تم ترميز األسئلة كاآلتي‪:‬‬ ‫تركز هذه األسئلة على حل المسائل‪.‬‬ ‫ل = ‪ ،12‬نق = ‪ ،8‬فأوجد هـ ‪ ،‬م‪.‬‬ ‫تركز هذه األسئلة على البراهين‪.‬‬ ‫تركز هذه األسئلة على النمذجة‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫تتض ّمن بعض التمارين أسئلة ال ترتبط مباشرة بالهدف التعليمي المح ّدد للدرس‪ ،‬وقد تم ترميزها بنجمة‬ ‫صفراء‪.‬ل = ‪ ،14‬هـ ‪ ،0.7 = ‬فأوجد نق‪ ،‬م‪.‬‬ ‫يجب ّأال تستخدم اآللة الحاسبة عند حل هذه األسئلة‪.‬‬  ‫الوحدة األولى‬ ‫‪Circular measure‬‬ ‫القياس الدائري‬ ‫ستتع ّلم في هذه الوحدة كيف‪:‬‬ ‫‪ ١-١‬تح ّول بين الراديان‪ ،‬والدرجة‪.‬‬ ‫‪ 2-١‬تستخدم قانون طول القوس لحساب نصف القطر‪ ،‬وطول القوس‪ ،‬والزاوية المركزية بالراديان‪.‬‬ ‫‪ 3-١‬تستخدم قانون مساحة القطاع الدائري لحساب المساحة‪ ،‬ونصف القطر‪ ،‬والزاوية المركزية بالراديان‪.‬‬ ‫‪ 4-١‬تح ّل المسائل التي تتعلق بطول القوس‪ ،‬ومساحة القطاع في الدائرة‪ ،‬بما في ذلك الحسابات المتعلقة‬ ‫بأطوال أضالع‪ ،‬وزوايا‪ ،‬ومساحات المثلثات‪.‬‬ ‫‪ ١-١‬الراديان ‪Radian‬‬ ‫تمارين ‪١-١‬‬ ‫‪ )١‬ح ّول قياس كل زاوية من الزوايا اآلتية إلى الراديان‪ ،‬واكتب الناتج بداللة ‪:π‬‬ ‫‪°45‬‬ ‫‪°14٠‬‬ ‫‪°9٠‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪°18‬‬ ‫‪°72‬‬ ‫‪°3٠‬‬ ‫‪°72٠‬‬ ‫‪°22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪°12٠‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪°1‬‬ ‫‪°27٠‬‬ ‫‪°42٠‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪ )2‬ح ّول قياس كل زاوية من الزوايا اآلتية من الراديان إلى الدرجات‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2٠‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π٥‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪π-‬‬ ‫‪π6‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ )٣‬اكتب قيمة كل مما يأتي‪:‬‬ ‫جتا ‪π 3‬‬ ‫ظا ‪π‬‬ ‫جتا ‪π‬‬ ‫جا ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫جا‪π 2 2‬‬ ‫ظا ‪π 5‬‬ ‫جتا ‪π 7‬‬ ‫جا ‪π 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )٤‬اكتب كل زاوية من الزوايا اآلتية بالراديان مقرب ًة إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية‪:‬‬ ‫‪°2٠‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪°288‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪°9٠‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪°27٠‬‬ ‫‪)١‬‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫‪°145‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪°65‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪°83‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪°1٠٠‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪ )٥‬اكتب ًّ‬ ‫كل من الزوايا اآلتية بالدرجات‪ ،‬مقر ًبا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية عند الضرورة‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪π5‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4٫63‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪ 1٫22‬‬ ‫‪)١‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪ )6‬اكتب ًّ‬ ‫كل من الزوايا اآلتية بالدرجات مق ّر ًبا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية‪:‬‬ ‫‪ 1٫٠6‬‬ ‫‪ 2٫2‬‬ ‫‪ 1٫5‬‬ ‫‪ ٠٫68‬‬ ‫‪ 1٫93‬‬ ‫‪ )7‬استخدم اآللة الحاسبة لتجد قيمة كل مما يأتي مقر ًبا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية‪:‬‬ ‫‪ 1٫2‬‬ ‫ظا‬ ‫‪ ٠٫8‬‬ ‫جتا‬ ‫‪ 1٫2‬‬ ‫جا‬ ‫ظا ‪π 3‬‬ ‫جتا ‪π‬‬ ‫جا ‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1٠‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫أ‬ ‫‪ )٨‬إذا علمت أن أطوال أضلع المثلث المجاور بوحدة الطول هي ‪ ،1٠ ،7‬أ‪ ،‬وقياس‬ ‫‪π٥‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫إحدى زواياه يساوي ‪ ، π 5‬فأوجِد قيمة أ مقربًا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية‪.‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ﺟﺪار‬ ‫‪ )٩‬يب ّين الشكل المجاور سلّ ًما طوله ‪ 6‬م مستن ًدا إلى حائط رأسي‪.‬تم تثبيت السلّم‬ ‫‪٦‬م‬ ‫على األرض األفقية‪ ،‬وطول المسافة بين قاعدة السلم والجدار تساوي ‪ 2٫25‬م‪.‬‬ ‫س‬ ‫أوجد قيمة س‬‫يكون استخدام السلّم آمنًا عندما ال تقل الزاوية س عن ‪ِ. 1٫2‬‬ ‫‪ ٢٫٢٥‬م‬ ‫بالراديان مقربًا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية‪.‬هل السلّم آمن للستخدام؟‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫‪ ٢-١‬طول القوس ‪Arc length‬‬ ‫تمارين ‪٢-١‬‬ ‫‪ ٧٫٥‬ﺳﻢ‬ ‫في هذه التمارين‪ ،‬اكتب اإلجابات مق ّربة إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية عند‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫الضرورة‪.‬‬ ‫‪ )١‬في الشكل المجاور‪ ،‬نصف قطر الدائرة يساوي ‪ 8‬سم‪ ،‬وطول القوس‬ ‫‪:‬‬ ‫يساوي ‪ 7.5‬سم‪.‬احسب قياس الزاوية الحادة‬ ‫األصغر‬ ‫بالدرجات‪.‬‬ ‫بالراديان‪.‬‬ ‫يساوي ‪ 12‬سم‪،‬‬ ‫‪ )٢‬تقع النقطتان ‪ ،‬على محيط دائرة مركزها ‪.‬إذا علمت أن طول‬ ‫‪17‬‬ ‫) = ‪ ، 1.6‬فأوجد طول نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫ق(‬ ‫‪ِ )٣‬‬ ‫أوجد (بداللة ‪ )π‬طول القوس في ك ّل من القطاعات الدائرية اآلتية‪:‬‬ ‫نصف القطر ‪ 3‬سم‪ ،‬قياس الزاوية ‪π 3‬‬ ‫نصف القطر ‪ ٤‬سم‪ ،‬قياس الزاوية ‪π‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نصف القطر ‪ 12‬سم‪ ،‬قياس الزاوية ‪π 5‬‬ ‫نصف القطر ‪ 10‬سم‪ ،‬قياس الزاوية ‪π 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫أوجد طول قوس كل قطاع دائري من القطاعات اآلتية بالراديان إذا علمت أن‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪)٤‬‬ ‫‪ 1٫2‬‬ ‫نق = ‪ 12‬سم‪ ،‬قياس الزاوية‬ ‫‪ ٠٫55‬‬ ‫نق = ‪ 4٫5‬سم‪ ،‬قياس الزاوية‬ ‫‪ِ )٥‬‬ ‫أوجد قياس زاوية كل قطاع من القطاعات اآلتية بالراديان‪:‬‬ ‫نصف القطر ‪ 2٠‬سم‪ ،‬طول القوس ‪ 5‬سم‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫نصف القطر ‪ 9٫36‬سم‪ ،‬طول القوس ‪ 5٫2‬سم‪.‬‬ ‫ن‬ ‫يقابل الزاوية هـ ‪،‬‬ ‫‪ )6‬دائرة مركزها ‪ ،‬ونصف قطرها نق‪.‬القوس األصغر‬ ‫ﻫـ‪ ‬ﻧﻖ‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫وطوله يساوي ن‪ِ.‬‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ن عندما نق = ‪ ،9‬هـ = ‪π 3‬‬ ‫‪5‬‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫‪ 2٫98‬‬ ‫نق عندما ن = ‪ ،14٫9‬هـ =‬ ‫هـ عندما ن = ‪ ، π 49‬نق = ‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ )7‬قطاع دائري من دائرة نصف قطرها ‪ 15‬سم يقابل زاوية مركزية قياسها هـ ‪.‬إذا علمت أن محيط القطاع‬ ‫فأوجد قياس الزاوية هـ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫يساوي ‪ 5٠‬سم‪،‬‬ ‫‪19‬‬ ‫من دائرة مركزها ‪ ،‬حيث‬ ‫‪ )٨‬يب ّين الشكل المجاور القطاع الدائري‬ ‫‪٢٫٣‬‬ ‫فأوجد‬ ‫ِ‬ ‫) = ‪. 2٫3‬إذا علمت أن محيط القطاع يساوي ‪ 3٠‬سم‪،‬‬ ‫ق(‬ ‫طول ‪.‬‬ ‫أوجد محيط القطعة الدائرية الصغرى من الدائرة التي مركزها ‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫‪)٩‬‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫= ‪ 14‬سم‪.‬‬ ‫ونصف قطرها ‪ 25‬سم‪ ،‬حيث طول الوتر‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٤‬ﺳﻢ‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪ ٣-١‬مساحة القطاع الدائري ‪Area of a sector‬‬ ‫تمارين ‪٣-١‬‬ ‫‪ )١‬قطاع دائري قياس زاويته ‪ ، 1٫2‬ومساحته ‪ 54‬سم‪ِ.2‬‬ ‫أوجد نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫‪ )2‬إذا علمت أن محيط القطاع الدائري المجاور يساوي ‪ 28‬سم‪ ،‬فأوجد مساحته‪.‬‬ ‫‪١٫٦‬‬ ‫‪ )٣‬قطاع دائري قياس زاويته ‪ ،π ٠٫9‬ومساحته ‪ 18٠‬سم‪ِ.2‬‬ ‫أوجد نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫أوجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل المجاور‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫‪)٤‬‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪°٤٥‬‬ ‫‪ )٥‬تقع النقطتان ‪ ،‬على محيط دائرة مركزها ‪ ،‬ونصف قطرها ‪ 5‬سم‪.‬الفرق بين مساحة القطاع األكبر‬ ‫‪.‬‬ ‫يساوي ‪ 15‬سم‪ِ.2‬‬ ‫أوجد قياس الزاوية المنفرجة‬ ‫‪ ،‬والقطاع األصغر‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫‪ِ )6‬‬ ‫أوجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل المجاور‪ ،‬حيث هي مركز‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫= ‪ 1٠‬سم‪.‬‬ ‫الدائرة‪ ،‬وطول نصف قطرها ‪ 13‬سم‪ ،‬وطول الوتر‬ ‫‪ )7‬وتر في دائرة يقابل الزاوية المركزية هـ ‪ ،‬ويقطع قطعة دائرية مساحتها ‪ 1‬المساحة اإلجمالية للدائرة‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫بين أن هـ ‪ - ‬جا هـ ‪π = ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ّ‬ ‫أثبت أن هـ ‪  2٫31 = ‬مقر ًبا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫قطاع دائري في دائرة نصف قطرها ‪ 1٠‬سم‪،‬‬ ‫‪)٨‬‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫) = هـ ‪ ،‬مساحة نصف الدائرة‬ ‫ومركزها ‪.‬ق (‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪.‬‬ ‫التي قطرها = ضعف مساحة القطاع الدائري‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫هـ بداللة ‪.π‬‬ ‫محيط كامل الشكل بداللة ‪.π‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫طول ضلعه ‪ 2‬سم‪.‬‬ ‫‪ )٩‬قطعة معدنية تتشكل في البداية من مثلث متساوي األضلع‬ ‫تمر الدائرة التي مركزها بالنقطتين ‪ ، ،‬وتمر الدائرة التي مركزها بالنقطتين‬ ‫أوجد محيط القطعة المعدنية‪،‬‬ ‫‪ ، ،‬وتمر الدائرة التي مركزها بالنقطتين ‪ِ. ،‬‬ ‫ومساحة أحد وجهيها‪.‬‬ ‫‪ )١0‬دائرة مركزها ‪ ،‬ونصف قطرها نق سم‪.‬قطاع دائري فيها محيطه ‪ 6‬سم ‪ ،‬وقياس زاويته المركزية هـ ‪.‬‬ ‫ب ّين أن هـ ‪ ،2 - 6 = ‬واكتب مساحة القطاع الدائري (م سم‪ )2‬بداللة نق‪.‬‬ ‫نق‬ ‫ب ّين أن أكبر مساحة ممكنة للقطاع الدائري (م) عندما نق = ‪ ، 3‬واحسب القيمة المناظرة للزاوية هـ ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫تمارين مراجعة نهاية الوحدة األولى‬ ‫‪ )١‬استخدم الشكل المجاور في كل أجزاء هذا التمرين‪ ،‬حيث نق هو نصف‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫قطر الدائرة التي مركزها (سم)‪ ،‬ل هو طول القوس (سم)‪ ،‬م هو مساحة‬ ‫ﻫـ‬ ‫م‬ ‫ل‬ ‫القطاع الدائري المظلّل (سم‪ ،)2‬هـ الزاوية المركزية المقابلة للقوس‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫بالراديان إذا علمت أن‪:‬‬ ‫نق = ‪ ،7‬هـ ‪ ،1٫2 = ‬فأوجد ل ‪ ،‬م‪.‬‬ ‫نق = ‪ ،3٫5‬هـ ‪ ،2٫1 = ‬فأوجد ل ‪ ،‬م‪.‬‬ ‫ل = ‪ ،12‬نق = ‪ ،8‬فأوجد هـ ‪ ،‬م‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫ل = ‪ ،14‬هـ ‪ ،٠٫7 = ‬فأوجد نق‪ ،‬م‪.‬‬ ‫م = ‪ ،3٠‬نق = ‪ ،5‬فأوجد هـ ‪ ،‬ل‪.‬‬ ‫م = ‪ ،64‬ل = ‪ ،16‬فأوجد نق‪ ،‬هـ ‪.‬‬ ‫م = ‪ ،24‬نق = ‪ ،6‬فأوجد ل‪.‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫م = ‪ ،3٠‬ل = ‪ ،1٠‬فأوجد هـ ‪.‬‬ ‫‪ )2‬قطاع دائري محيطه ح = ‪ 12‬سم‪ ،‬وقياس زاويته المركزية هـ = (‪ِ. )٠٫4‬‬ ‫أوجد نصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫‪ )٣‬قطاع دائري محيطه ‪ 7‬سم‪ ،‬ومساحته ‪ 3‬سم‪ِ.2‬‬ ‫أوجد األطوال الممكنة لنصف قطر الدائرة‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫يقابل‬ ‫‪ )٤‬في الشكل المجاور‪ :‬دائرة مركزها ‪ ،‬ونصف قطرها ‪ 5‬سم‪.‬‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫الزاوية المركزية هـ ‪.‬إذا علمت أن مساحة القطعة الدائرية الصغرى‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫(المظللة) تساوي ‪ 15‬سم‪ ،2‬فبيّن أن جا هـ ‪ = ‬هـ ‪1٫2 - ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫‪ )٥‬في الشكل المجاور‪ :‬دائرتان مركزهما ‪ ،‬تتقاطعان‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫عند النقطتَين ‪. ،‬نصفا قطر الدائرتَين ‪ 6‬سم‪ 4 ،‬سم‪،‬‬ ‫ﻫـ‬ ‫‪°٤٥‬‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫) = ‪:°45‬‬ ‫ق(‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫=‪2 -2 6‬‬ ‫بيّن أن طول‬ ‫)‪.‬‬ ‫أوجِد ق (‬ ‫‪25‬‬ ‫أوجد مساحة المنطقة المظللة (مقر ًبا الناتج إلى أقرب منزلة عشرية واحدة)‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫في دائرة مركزها ‪،‬‬ ‫‪ )6‬يب ّين الشكل المجاور القطاع الدائري‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫= ‪ 7‬سم‪ ،‬أوجد‪:‬‬ ‫) = (‪ ، )٠٫7‬طول‬ ‫ونصف قطرها ‪ 15‬سم‪.‬ق (‬ ‫‪٠٫٧‬‬ ‫‪.‬‬ ‫مساحة المنطقة‬ ‫‪ ٧‬ﺳﻢ‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪.‬‬ ‫محيط المنطقة‬ ‫قطاعا دائر ًّيا في دائرة نصف قطرها ‪ 5‬سم‪،‬‬‫ً‬ ‫‪ )7‬يب ّين الشكل المجاور‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫) = (‪. )٠٫8‬احسب مق ّر ًبا الناتج إلى أقرب ‪ 3‬أرقام‬ ‫ومركزها ‪ ،‬ق (‬ ‫‪٠٫٨‬‬ ‫معنوية عند الضرورة‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫طول‬ ‫‪26‬‬ ‫‪.‬‬ ‫مساحة القطاع الدائري‬ ‫‪.‬‬ ‫طول‬ ‫مساحة المنطقة المظللة‪.‬‬  ‫الوحدة األولى‪ :‬القياس الدائري‬ ‫= ‪ 3 6‬سم‪.‬‬ ‫قطاع دائري في دائرة نصف قطرها ‪ 6‬سم‪.‬طول‬ ‫‪)٨‬‬ ‫‪ ٣ √ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫أوجد‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫)‪.‬‬ ‫ق(‬ ‫‪.‬‬ ‫مساحة القطاع الدائري‬ ‫‪.‬‬ ‫مساحة المثلث‬ ‫‪27‬‬ ‫(مق ّربة إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية)‪.‬‬ ‫مساحة القطعة الدائرية‬ ‫(مق ّر ًبا إلى أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية)‪.‬‬ ‫محيط القطاع الدائري‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪ )٩‬يب ّين الشكل المجاور دائرتَين متقاطعتَين نصفا قط َريهما ‪ 6‬سم‪،‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫أوجد محيط ومساحة‬ ‫‪ 4‬سم‪ ،‬والمسافة بين مركزَيهما ‪ 7‬سم‪ِ.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ٧‬ﺳﻢ‬ ‫المنطقة المظللة المشتركة بين الدائرتَين (مقر ًبا الناتج إلى‬ ‫أقرب ‪ 3‬أرقام معنوية)‪.‬‬ ‫‪28‬‬  ‫الوحدة الثانية‬ ‫‪Trigonometry‬‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫ستتع ّلم في هذه الوحدة كيف‪:‬‬ ‫‪ 1-٢‬تتذكر القيم الدقيقة للجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل لزوايا قياسها ‪ ،°90 ،°60 ،°45 ،°30 ،°0‬وقيمها المكافئة‬ ‫بالراديان‪ ،‬وتجد القيم الدقيقة للزوايا المتعلقة بها‪.‬‬ ‫‪ ٢-٢‬تجد القيم الدقيقة (بالدرجات أو بالراديان) للنسب المثلثية (جاهـ‪ ،‬جتاهـ‪ ،‬ظاهـ) بمعلومية إحداها‪.‬‬ ‫‪ ٣-٢‬ترسم وتستخدم التمثيالت البيانية لدوال الجيب‪ ،‬وجيب التمام‪ ،‬وظل الزاوية ألي زاوية (بالدرجات‬ ‫وبالراديان)‪.‬‬ ‫‪ ٤-٢‬ترسم التحويالت الهندسية (االنسحاب‪ ،‬االنعكاس‪ ،‬التمدد) للتمثيالت البيانية لدوال الجيب‪ ،‬وجيب التمام‪،‬‬ ‫وظل الزاوية لزوايا قياسها بين ‪ °360 ،°0‬أو بين ‪ ، π 2 ،0‬مثل‪ :‬ص = ‪2‬جا (‪3‬س)‪.‬‬ ‫‪ ٥-٢‬تستخدم الصيغ جا‪(1-‬س)‪ ،‬جتا‪(1-‬س)‪ ،‬ظا‪(1-‬س) للتعبير عن القيم الرئيسية للعالقات العكسية للمثلثات‪،‬‬ ‫وتجد قيم الدوال البسيطة باستخدام المعرفة حول القيم الدقيقة للجيب‪ ،‬جيب التمام‪ ،‬الظل لزوايا قياسها‬ ‫‪ °60 ،°45 ،°30‬وقيمها المكافئة بالراديان‪.‬‬ ‫‪ ٦-٢‬تحل معادالت مثلثية بسيطة تقع في مجال محدد بالدرجات أو بالراديان‪.‬‬ ‫جا (هـ)‬ ‫‪ ٧-٢‬تستخدم المتطابقات ظا هـ = جتا (هـ) ‪ ،‬جا‪(2‬هـ) ‪ +‬جتا‪(2‬هـ) = ‪ 1‬لتحل معادالت مثلثية في براهين مثلثية‬ ‫‪29‬‬ ‫بالدرجات وبالراديان‪.‬‬ ‫‪°‬‬ ‫الزوايا بين ‪90 ،°0‬‬ ‫‪١-٢‬‬ ‫‪Angles between 0° and 90°‬‬ ‫تمارين ‪١-٢‬‬ ‫‪ )١‬لكل مثلث من المثلثات المب ّينة أدناه‪:‬‬ ‫استخدم نظرية فيثاغورث لتجد طول الضلع الثالث‪.‬‬ ‫اكتب قيمة جا هـ‪ ،‬جتا هـ‪ ،‬ظا هـ‬ ‫‪)٣‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ﻫـ‪°‬‬ ‫ﻫـ‪°‬‬ ‫ﻫـ‪°‬‬ ‫‪٦٫٦‬‬ ‫‪٤٢٫٥‬‬ ‫‪٨٫٨‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪٣١‬‬ ‫‪)٦‬‬ ‫ﻫـ‪°‬‬ ‫‪)٥‬‬ ‫ﻫـ‪°‬‬ ‫‪)٤‬‬ ‫‪٢ ٤‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪٣ ٥‬‬ ‫ﻫـ‪°‬‬ ‫فأوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ )٢‬إذا علمت أن جتا هـ = ‪ ، ٣٥‬حيث هـ زاوية حادة‪،‬‬ ‫‪٣‬جا هـ × جتا هـ‬ ‫ظا هـ‬ ‫جا هـ‬ ‫‪ - 1‬جا هـ‬ ‫جتا‪ 2‬هـ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ + 1‬جا هـ‬ ‫جا هـ‬ ‫ظا‪ 2‬هـ‬ ‫‪30‬‬ ‫مساعدة‬ ‫فأوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ )3‬إذا علمت أن ظا هـ = ‪ ، ٥‬حيث هـ زاوية حادة‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جا‪ 2‬هـ تعني (جا هـ)‬ ‫جتا هـ‬ ‫جا هـ‬ ‫‪2‬جتا هـ‬ ‫جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪ 2‬هـ‬ ‫ظا هـ‬  ‫الوحدة الثانية‪ :‬حساب المثلثات‬ ‫‪٥‬جا هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 1‬جتا هـ‬ ‫جا‪ 2‬هـ ‪ +‬جتا‪ 2‬هـ‬ ‫أوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪)4‬‬ ‫جا‪°60 2‬‬ ‫‪°60‬‬ ‫جا ‪ × °60‬جتا‬ ‫‪°٣0‬‬ ‫جا‬ ‫‪°٣0‬‬ ‫جا ‪ + °٣0‬جتا‬ ‫‪°60‬‬ ‫جا‬ ‫جا‪ + °٣0 2‬جتا‪°٣0 2‬‬ ‫ظا‪°٤٥ 2‬‬ ‫‪31‬‬ ‫جا ‪ °٣0‬جتا ‪°٣0‬‬ ‫‪°٣0‬‬ ‫‪ + 2‬ظا‬ ‫‪ِ )5‬‬ ‫أوجد قيمة ك ّل م ّما يأتي في أبسط صورة‪:‬‬ ‫ظا‪°٣0 2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫جا‪°٣0 2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪°٣0‬‬ ‫جتا ‪ - °60‬جتا‬ ‫‪°60‬‬ ‫جا ‪ + °٤٥‬جا‬ ‫‪ )6‬ب ّين أن‪:‬‬ ‫‪°90‬‬ ‫جا ‪ × °60‬جتا ‪ + °٣0‬جتا ‪ × °60‬جا ‪ = °٣0‬جا‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫جا‪ + °٤٥ 2‬جتا‪1 = °٤٥ 2‬‬ ‫‪°60‬‬ ‫جتا‪ - °٣0 2‬جا‪ = °٣0 2‬جتا‬ ‫(‪ + 1‬ظا ‪٣ 2 + ٤ = 2)°60‬‬ ‫‪ )7‬بين أن جا ‪ + °60‬ظا ‪٣ ٥ = °٣0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ّ‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ )8‬إذا كان جا ‪ + °٣0‬جا ‪ - ٣ + 6 = ° ٤٥‬أ ‪ +‬ب‪ ،‬فأوجد قيمتَي أ ‪ ،‬ب‪.‬‬ ‫‪°‬‬ ‫‪°‬‬ ‫جتا ‪ + ٣0‬جتا ‪٤٥‬‬  ‫الوحدة الثانية‪ :‬حساب المثلثات‬ ‫زاوية األساس (الزاوية المرجعية)‬ ‫‪٢-٢‬‬ ‫(‪The Principal angle (the reference angle‬‬ ‫تمارين ‪٢-٢‬‬ ‫أوجد زاوية األساس للزاوية هـ في كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪°٣٣٠-‬‬ ‫ﻫـ =‬ ‫‪°١٠٥‬‬ ‫ﻫـ =‬ ‫‪°٢٠٨‬‬ ‫ﻫـ =‬ ‫‪33‬‬ ‫‪°٥٣٠-‬‬ ‫ﻫـ =‬ ‫مع الجزء الموجب‬ ‫عندما تكون الزاوية التي تصنعها‬ ‫‪ )٢‬في كل ممّا يأتي‪ ،‬سمّ الربع الذي تقع فيه‬ ‫من المحور السيني‪ ،‬حيث نقطة األصل‪:‬‬ ‫‪°18٥‬‬ ‫‪°100-‬‬ ‫‪°٣٤0‬‬ ‫‪°1٤٥‬‬ ‫‪π12 -‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪°٣80-‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫‪ )3‬إذا علمت أن ب هي زاوية األساس للزاوية هـ‪ ،‬فأوجد قيمة هـ في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪°٣60.‬‬ ‫ب = ‪ °7٥‬تقع في الربع الثاني‪. °0 ،‬هـ‬ ‫الربع الثالث‪. °180- ،‬هـ ‪°0.‬‬ ‫ب = ‪ °٣0‬تقع في‬ ‫‪°720.‬‬ ‫ب = ‪ °٥٤‬تقع في الربع الرابع‪. °٣60 ،‬هـ‬ ‫ب = ‪ π‬تقع في الربع الثالث‪. 0 ،‬هـ ‪π2.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪34‬‬ ‫ب = ‪ π‬تقع في الربع الثاني‪. π2 ،‬هـ ‪π٤.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ب = ‪ π‬تقع في الربع الرابع‪. π٤- ،‬هـ ‪π2-.‬‬ ‫‪٥‬‬  ‫الوحدة الثانية‪ :‬حساب المثلثات‬ ‫‪ 3-٢‬النسب المثلثية للزوايا العامة‬ ‫‪Trigonometric ratios of general angles‬‬ ‫مساعدة‬ ‫‪°٩٠‬‬ ‫يذكرك المخطط المجاور بالربع الذي تكون‬ ‫ﺟﺎ‬ ‫اﻟﻜﻞ‬ ‫فيه كل نسبة من النسب المثلثية موجبة‪.‬‬ ‫)‪(+‬‬ ‫)‪(+‬‬ ‫‪°١٨٠‬‬ ‫‪°٣٦٠ ،°٠‬‬ ‫ﻇﺎ‬ ‫ﺟﺘﺎ‬ ‫)‪(+‬‬ ‫)‪(+‬‬ ‫‪°٢٧٠‬‬ ‫تمارين ‪٣-٢‬‬ ‫فأوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ )١‬إذا علمت أن جتا هـ = ‪. °270 ، 2‬هـ ‪،°٣60.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ظا هـ‪.‬‬ ‫جا هـ ‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫فأوجد القيمتَين الممكنتَين لـ جا هـ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ )٢‬إذا علمت أن ظا هـ = ‪،٣‬‬ ‫‪ )3‬إذا علمت أن ل = جا س‪ ،‬حيث ‪. °90‬س ‪ ،°180.‬فاكتب جتا س بداللة ل‪.‬‬ ‫فأوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ )4‬إذا علمت أن جا هـ = ‪ ،12‬حيث هـ زاوية منفرجة‪،‬‬ ‫‪1٣‬‬ ‫ظا هـ‬ ‫جتا هـ‬  ‫الرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر ‪ -‬الفصل الدراسي األول‪ :‬كتاب النشاط‬ ‫فأوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫‪ )5‬إذا علمت أن ظا ( ) = ‪ ، ٣‬جا ( ) = ‪ ، ٣ -‬حيث ‪ ،‬تقعان في الربع نفسه‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫جتا ( )‬ ‫جا ( )‬ ‫ظا ( )‬ ‫جتا ( )‬ ‫‪ِ )6‬‬ ‫أوجد قيمة كل م ّما يأتي‪:‬‬ ‫جتا ‪π٥‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫جتا ‪π٣‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫جا (‪) π٣ -‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫جا (‪) π6 -‬‬ ‫‪)١‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ظا (‪) π٤ -‬‬ ‫‪)٢‬‬ ‫ظا ‪π٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪)١‬‬