Mechanika: tömegpont kinematikája és dinamikája (PDF)

Bevezetés. Mechanika: tömegpont kinematikája és dinamikája. Dr. Dóczy-Bodnár Andrea A FIZIKA CÉLJA: A fizika a természetben előforduló jelenségeket megpróbálja a lehető legegyszerűbb modellbe foglalni. Ezzel a fizika célja az emberek számára megfigyelhető dolgok kapcsolása az eredendő okokh...

Bevezetés. Mechanika: tömegpont kinematikája és dinamikája. Dr. Dóczy-Bodnár Andrea A FIZIKA CÉLJA: A fizika a természetben előforduló jelenségeket megpróbálja a lehető legegyszerűbb modellbe foglalni. Ezzel a fizika célja az emberek számára megfigyelhető dolgok kapcsolása az eredendő okokhoz, majd ezen okok összekapcsolása, kísérleteken alapuló elméletek kidolgozásával. Egy fizikai elmélet, általában matematikai formában kifejezve, leírja, hogyan működik egy jelenség, bizonyos előrejelzéseket tesz arra vonatkozóan, amelyeket aztán megfigyelésekkel és kísérletekkel lehet tesztelni. 1900 Klasszikus fizika Modern fizika XVII. Század „Filozófikus” (Galilei, Newton tudományok és mások): kísérletes fizika kialakulása Info Fizikai mennyiségek és mértékegységek  Alapfogalmak Fizikai mennyiségeket vezetünk be a fizikai objektumok és folyamatok kísérletileg vizsgálható tulajdonságainak leírására A fizikai (ill. kémiai) mennyiségek közötti összefüggéseket méréssel állapítjuk meg. Fizikai mennyiség = mérőszám · mértékegység Mértékegység: specifikus egység, az adott fizikai mennyiséget ennek meghatározott többszörösei írják le Standard mértékegység-rendszerek: valamilyen hatóság, általában kormányzati szerv által elfogadott mértékegységek rendszere, amelyek természetes állandókon vagy jól reprodukálható jelenségeken alapulnak → etalon (a mennyiség rögzített egysége, reprodukálható „mérőeszköz”) Alap- és származtatott fizikai mennyiségek SI mértékegység-rendszer: Systéme International (SI, 1960) által meghatározott szabványos mértékegységek 7 SI alapegység, amelyekből minden más SI mértékegység levezethető Továbbfejlesztése a Mennyiségek Nemzetközi Rendszere: gondolkodásmódjában eltérő, de az SI valamennyi mértékegysége változatlan értelmezésű maradt  Fizikai alapmennyiségek és SI mértékegységeik Alapmennyiségek – nem fejezhető ki más fizikai mennyiségekkel Mechanikában használt alapmennyiségek: Info Tömeg – mértékegysége a kilogram, etalonját (“Le Grande Kilo”) a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatalban őrzik Hosszúság - méterben kifejezve, a fény által vákuumban meghatározott idő alatt (1/299 792 456-od másodperc) megtett távolság Idő – másodperc (secundum), az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 770 periódusának időtartama a kg-ot nem tudjuk másképp leírni, a többit igen A mechanikában előforduló néhány származtatott mennyiség és annak SI mértékegysége erő/felület = nyomás  SI prefixumok (előtagok) 10 hatványai (legtöbb esetben hárommal osztható kitevő) – decimális szorzók specifikus név és rövidítés Példa: 2 mm = 0.002 m = 2 × 10-3 m (→ normálalak, ld. Matematika kurzus)  Skalár- és vektormennyiségek A skaláris/skalár- mennyiségeknek csupán nagyságuk van. út, hőmérséklet, munka, energia,… A vektormennyiségeknek nagyságuk és irányuk van. sebesség, gyorsulás, erő,…  Matematikai alapfogalmak Itt csak néhány kiválasztott témára térünk ki röviden. További, részletesebb magyarázat elérhető a matematika kurzus keretében.  (Síkbeli) Descartes-féle koordináta-rendszer meghatározott (fix) referencia-pont → origó vagy kezdőpont (minden koordinátája nulla) origóból kiinduló, két egymásra merőleges számegyenes a pontokat a tengelyektől mért távolságuk (rendezett számpár, koordináták) határozza meg (ábrázolt fizikai mennyiség egységeiben kifejezve)  Polár koordináta-rendszer origó és az ebből kiinduló irányított számegyenes (polártengely) a sík pontjait az origótól mért távolság és a polártengellyel bezárt szög adja meg (théta) polártengely - origo: referenciapont - r (1. pont): távolság - théta (2. pont): szög Trigonometria alapjai Pitagórász-tétel 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 Szög meghatározása – inverz művelet Pl. θ= sin−1 0.707= 45° Számológép beállítása (fok vs. radián) 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 A pont helyzetét jellemző adatpárok 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 átválthatók egymásba! 𝑟𝑟 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2  Vektorok általában félkövér betűvel és a betű fölötti nyíllal jelöljük Grafikus ábrázolás: nyíl (hossz – vektor nagysága, nyíl helyzete – irány) műveletek vektorokkal: összeadás, kivonás, skalárral történő szorzás (két vektor skaláris és vektorszorzat – itt nem tárgyaljuk) összeadás: A végpontja + B indulópontja azonos vektorok (irány és nagyság azonos)     ( ) A − B = A + −B skalárral szorozzuk a vektort -> megnő (pl. a*3 = 3a)  - vektor komponensei kellenek! Vektorkomponensek - nem kell tudni az egyenleteket Merőleges vektorkomponensek: a vektor x- és y-tengelyre eső merőleges vetülete (egy olyan derékszögű háromszög befogói, amelynek az átfogója maga a vektor)    Ay = A sin θ A Ax + Ay = Vektor nagysága és iránya a komponensekből meghatározható: Ax = A cos θ 𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐴𝐴2𝑦𝑦 és Θ = t𝑔𝑔−1 ( 𝐴𝐴𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦    R= A + B Rx =+ Ax Bx Ry =+ Ay By Ld. trigonometria dia. A szög meghatározásánál legyünk figyelmesek! A fentiek csak akkor érvényesek, ha a szöget a pozitív x-tengelyhez képest adjuk Info meg. Ebben az esetben: az óramutató járásával ellentétes irány – pozitív előjel, megegyező irány – negatív előjel a 2. és 3. kvadránsban lévő vektorok esetében (negatív x komponens) 180°-ot hozzá kell adni a számított szöghöz A szöget gyakran másik másik tengelyhez, például a pozitív y tengelyhez képest adjuk meg. A komponensek kiszámításakor ügyeljünk a megfelelő szögfüggvény használatára!  A mechanika alapjai: pontszerű testek kinematikája Mit nevezünk (klasszikus) mechanikának? A klasszikus vagy newtoni mechanika (görög mechanική) a testek mozgásának leírásával és az azokat okozó törvényekkel foglalkozik. Kinematika: „ Hogyan mozognak a testek? ” Dinamika: „ Miért mozognak a tárgyak? ”  pl. egy kilőtt lövedék/teniszlabda pontszerűnek tekinthető Pontszerű test (tömegpont): A valós tárgy olyan modellje, amelyben a tárgyat egyetlen (tömeggel rendelkező) pontnak tekintik. Nincs térbeli kiterjedése, “nem foglal” helyet. A modellt akkor használható, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és mérete, szerkezete, alakja, belső folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. Összetett mozgások leírása Info Egy valós test mozgásának leírása általában nagyon bonyolult. Minden egyes időpontban az összes pont mozgását meg kell adni, hogy megkapjuk az egész test mozgását. Egyszerre csak egy pontot veszünk figyelembe. A pontok száma a problémától függ.  Mozgást leíró mennyiségek Bármely mozgást 3 fő jellemzővel írhatunk le elmozdulás sebesség (átlag vs. pillanatnyi) gyorsulás (átlag vs. pillanatnyi) Mindegyik vektormennyiség!  Vonatkoztatási pont, helyvektor, pálya Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk (O pont, origó). Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató ún. helyvektort (𝑟𝑟). ⃑ Ha minden t időpontra megadjuk a test 𝒓𝒓(𝒕𝒕) helyvektorát, akkor ezzel a tömegpont mozgását teljesen leírtuk. pálya: az a szakasz, amit a test ténylegesen leír helyvektor 𝑟𝑟(𝑡𝑡) ⃑ pálya O viszonyítási pont  Elmozdulás, út Elmozdulás: ∆𝒓𝒓 = 𝑟𝑟⃑ 𝑡𝑡2 − 𝑟𝑟⃑ 𝑡𝑡1 (a helyvektor megváltozása) vektormennyiség mértékegysége: méter (m) csak az adott mozgásszakasz kezdő- és végpontjától függ Út (s): a befutott pályadarab hossza skalár mennyiség matematikailag bonyolultabb definíció mértékegysége: meter (m) Fizikában a két kifejezés nem egymás szinonimája!!! 𝒓𝒓(𝒕𝒕𝟏𝟏) 𝒓𝒓(𝒕𝒕𝟐𝟐)  Egyenes vonalú (egydimenziós) mozgás A mozgás egyenes vonal mentén történik (általában x tengely, szabadesés esetén y). A mozgást leíró vektormennyiségek egy nullától különböző komponenssel rendelkeznek, azaz a "+" és "-" jelek elegendőek az irány meghatározásához. (A fentiek miatt, az egyszerűség kedvéért, a jelen előadásban az 1D mozgásra vonatkozó egyenletekben nem tettük ki a nyilat a vektormennyiségek jelzésére.)  Egyenes vonalú mozgás: elmozdulás egy koordináta (x- vagy y-koordináta) elegendő a tömegpont helyzetének leírására elmozdulás: ∆x ≡ x f − xi SI unit: m f: végpont, i: kezdőpont vektormennyiség független a befutott pályától: csak a kezdő- és a végpont számít egyetlen koordináta mentén történik az elmozdulás ∆y  Átlag- és pillanatnyi sebesség Átlagsebesség: a tárgy helyzetének pozíció megváltozása egységnyi idő alatt ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒇𝒇 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 vektormennyiség 𝑣𝑣 = = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 iránya megegyezik az elmozdulás irányával független a befutott pálya alakjától, csak a kezdő- és végpont számít ti általában 0 SI egység: m/s lehet pozitív vagy negatív ∆t mindig pozitív a sebesség előjelét a mozgás iránya határozza meg (a referenciaponthoz képest) Pillanatnyi sebesség: az átlagsebesség határértéke, amennyiben ∆t végtelenül kicsi (0-hoz közelít) - az elmozdulás idő szerinti deriváltja ∆𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒗𝒗 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = ∆𝒕𝒕→𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅𝒅𝒅 Egyenes vonalú egyenletes mozgás: pozíció-idő grafikon átlagsebesség – egyenes meredeksége (20m/10s = 2m/s) ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒇𝒇 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 𝑣𝑣 = = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 Egyenletes mozgás: a sebesség állandó, azaz sem a sebességvektor nagysága, sem annak iránya nem változik ⇒ a pillanatnyi sebesség minden időpontban azonos ⇒ a pillanatnyi sebesség azonos az átlagsebességgel  Hely-idő grafikon: egyenes vonalú, változó sebességű mozgás ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒇𝒇 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 ∆𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒗𝒗 = = 𝒗𝒗 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 ∆𝒕𝒕→𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅𝒅𝒅 átlagsebesség = a kezdeti és végső pillanatnyi sebesség adott időpontban = időponthoz tartozó pontokat érintő meredeksége adott pontban (→ összekötő szelők meredeksége hely-idő függvény időszerinti deriváltja, ld. később Matematika kurzus)  Átlagos és pillanatnyi gyorsulás Gyorsulás: sebesség megváltozása Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: ∆t végtelenül kicsi (0-hoz közelít) ∆𝒗𝒗 𝒗𝒗𝒇𝒇 − 𝒗𝒗𝒊𝒊 ∆𝒗𝒗 𝒅𝒅𝒗𝒗 < a >= = 𝒂𝒂 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 ∆𝒕𝒕→𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅𝒅𝒅 sebesség-idő függvény: átlaggyorsulás = a kezdeti és végső időponthoz tartozó pontokat összekötő szelő meredeksége pillanatnyi gyorsulás = érintő meredeksége adott pontban vf: végső vi: kezdeti  Sebesség és gyorsulás kapcsolata Egyenes vonalú mozgás esetén: sebesség és gyorsulás iránya megegyezik ⇒ a sebesség nő az idő függvényében sebesség és gyorsulás ellentétes irányú ⇒ a sebesség csökken az idő függvényében a gyorsulás előjele a vonatkoztatási ponthoz viszonyított irányt mutatja, nem pedig a köznapi értelemben vett "gyorsulást" (sebességnövekedés) vagy "lassulást" (sebességcsökkenés) Info  Egyenes vonalú, egyenletes mozgás x(t) = x0 + vt vagy ∆x=vt idő v(t) = v0 = állandó sebesség a(t) = 0 - konstans: amikor nincs gyorsulás vagy lassulás - sebesség-idő grafikon: a gyorsulás 0  Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás Kinematikai alapegyenletek Sebesség az idő függvényében Elmozdulás az idő függvényében Sebesség az elmozdulás függvényében A mozgás az x-tengely mentén történik, v0 a kezdeti sebesség.  Szabadesés Kizárólag a gravitáció hatása alatt álló tárgy (a légellenállás elhanyagolható) állandó gyorsulással (gravitációs gyorsulás, g) mozog, függetlenül annak kezdeti mozgásától. (Elejtett tárgy, illetve tágabb értelmezésben a függőlegesen elhajított tárgy mozgása is idetartozik.) Amennyiben a légellenállás elhanyagolható, valamint a gravitációs gyorsulás állandónak tekinthető (bizonyos magasságtartományon belül) ⇒ egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás ⇒ kinematikai egyenletek alkalmazhatók, de (általában) y-t használnak x helyett (függőleges irány), az irány felfelé pozitív. v= y v0 y − gt gyorsulás “lefelé” irányul a Föld felszínéhez közel: g=9,80 m/s2 1 2 ∆y= v0 y t − gt 2 v y 2 = v0 y 2 − 2 g ∆y Galileo Galilei (1564-1642): szabadesés és egyebek  Szabadesés típusai A gyorsulás minden esetben ugyanannyi! (-g) Elejtett tárgy kezdősebesség nulla vo= 0, a = -g gyorsulás: a=-g =- 9.80 m/s2 Függőleges hajítás lefelé vo< 0, a = -g a = -g = -9.80 m/s2 kezdősebesség ≠ 0 (negatív előjel) Függőleges hajítás felfelé v=0 maximális magasságnál pozitív kezdősebesség maximális magasságnál a pillanatnyi sebesség nulla a = -g = -9.80 m/s2 a mozgás minden pontjában vo> 0, a = -g  Kétdimenziós mozgás A mozgás pályájának leírásához mindkét tengely/koordináta szükséges, pl. a pályának görbülete van (lövedék pályája, körmozgás). Azon esetekre összpontosítunk, ahol a gyorsulás állandó (= mindkét komponense állandó). Amennyiben a mozgást jellemző vektorok mindkét komponense különbözik nullától, mindkettőt használni kell a mozgás jellemzéséhez (a "+" és "-" előjelek nem elegendőek). Ha jobbra-balra nem mozdul, akkor az eldobott tárgyat le lehet írni két dimenziós koordináta rendszerben. Kétdimenziós mozgás: elmozdulás, sebesség és gyorsulás Elmozdulás-vektor komponensei: ∆x = x f − xi ∆y = y f − yi Sebesség, vektorkomponensek   ∆ r ∆x ∆y v av ≡ SI unit: m/s=vav, x = and vav, y ∆t  ∆t ∆t  ∆r ∆𝑥𝑥 ∆𝑦𝑦 v ≡ lim 𝑣𝑣𝑥𝑥 = lim 𝑣𝑣𝑦𝑦 = lim ∆t → 0 ∆t ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 Gyorsulás, vektorkomponensek   ∆v ∆vx ∆vx a av ≡ SI unit: m/s = 2 aav, x = and aav, y ∆t ∆t ∆t   ∆v ∆𝑣𝑣𝑥𝑥 ∆𝑣𝑣𝑦𝑦 a ≡ lim 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = lim ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = lim ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 ∆t → 0 ∆t Info  Mikor gyorsul a mozgó objektum? Változik a sebességvektor nagysága Változik a sebességvektor iránya Állandó nagyságú sebesség esetén is! A sebességvektor nagysága és iránya egyaránt változik A tárgy folyamatosan gyorsul, folyamatosan esik a föld felé, de a föld kimozdul alóla.  Hajítás Hajításnak nevezzük az olyan mozgást, amelynél a Föld (vagy valamely más égitest) felszínének közelében leeső test kezdősebessége nullától különbözik. Ferde hajítás – kezdősebesség mindkét komponense különbözik nullától, parabolikus pálya (Galilei) (Függőleges hajítás – kezdeti sebesség vízszintes komponense nulla, egyenes vonalú pálya, egyenletesen változó mozgás (ld. szabadesés)) Ha ugyanaz a sebesség, de változik a szög, akkor változik a távolság. Hajítás kezdeti szögétől függő távolságban “ér földet” különböző magasság komplementer szögek (összegük 90o) – azonos távolság Maximális távolság 45o esetén http://www.walter-fendt.de/ph14hu/projectile_hu.htm  A ferdén elhajított test megy előre és esik. A két Ferde hajítás mozgást (vízszintes és függőleges) egymástól függetlenül lehet vizsgálni. Van egy olyan maximum magasság, ahol már le KELL essen a tárgy. 1. A vízszintes és függőleges irányban történő mozgás egymástól független. 2. vx állandó (egyenleets mozgás, ax=0) 3. ay = –g. 4. vy és y: szabadesés 5. Ferde hajítás: az x- és y-irányú mozgások szuperpozíciója. v0 x 0 cos θ 0 and v0 y v= v0 sin θ 0 Függőleges irányban: Info Vízszintes irányban: =v y v0 sin θ 0 − gt vx v= = v0 cos θ= constant 1 2 0x 0 =∆y ( v0 sin θ0 ) t − gt 2 ∆x= v0 x= t ( v0 cos θ0 ) t ( v0 sin θ0 ) − 2 g ∆y 2 vy 2 = Pillanatnyi sebesség a pálya egyes pontjaiban: v v x + v y2 v = 2 and tan−1 y θ = vx  A mechanika alapjai: pontszerű testek dinamikája  Mit nevezünk (klasszikus) mechanikának? A klasszikus vagy newtoni mechanika (görög mechanική) a testek mozgásának leírásával és az azokat okozó törvényekkel foglalkozik. Kinematika: „ Hogyan mozognak a testek? ” Dinamika: „ Miért mozognak a tárgyak? ” A dinamika megértéséhez szükségesek a kinematikából eddig megtanult alapfogalmak. A dinamika alaptörvényeit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott mások munkájára is, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. A mechanika alaptörvényei azóta is a Newton-törvények, melyeket a következőkben tárgyalunk. (Newton nem ebben a formában mondta ki őket, de azóta - 400 éve - is általános érvényűek)  Erő Jele F (force) Vektormennyiség, SI egység: Newton (N) - származtatott mennyiség: 1 N= 1kg/ms2 Mozgásállapot megváltoztató képesség: ha egy test befolyásolja egy másik test mozgásállapotát, azt mondjuk, erőt fejt ki rá. Kontakt (közvetlen érintkezés) vagy mező által közvetített (távolságban ható) erők pl. húzunk egy kötelet pl. elektromosság, mágnesesség - megváltoztatja a sebességet  Alapvető erők/kölcsönhatások Típusai Erős kölcsönhatás atomok együtt maradnak emiatt (protonok, elektronok, neutronok) Elektromágneses erő pl. elektromosság, mágnesesség Gyenge kölcsönhatás atommagok stabilitása Gravitációs erő Jellemzők Mező által közvetített erők Fenti sorrendben csökkenő nagyságúak Mechanikában: csak a gravitációs és az elektromágneses erő fordul elő - fentről lefele az erő csökken - fentről lefele a távolság nő Info  Newton I. törvénye: a tehetetlenség törvénye Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában, amíg a rá ható erők ennek az állapotnak a megváltoztatására nem kényszerítik (azaz amíg a ráható erők eredője nulla). Csak inerciarendszerben érvényes. Tehetelenség (inercia): A tehetetlenség a fizikai testek azon tulajdonsága, mely ellenállásukat fejezi ki a mozgási vagy nyugalmi állapotuk megváltoztatásával szemben, vagy a testek azon hajlamát, hogy ellenálljon a mozgásállapotában fellépő bármilyen változásnak. Tömeg: A tehetetlenség mértéke, skalár mennyiség, SI egysége: kilogramm (kg) Inerciarendszer: amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, amely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer.  Newton II. törvénye: dinamika alaptörvénye Egy pontszerű test gyorsulása egyenesen arányos a testre ható (a gyorsulással azonos irányú) erővel és fordítottan arányos a test m tömegével. A második törvény tulajdonképpen az elsőt is magában foglalja, hiszen amennyiben az eredő erő nulla, a gyorsulás is nulla (sebesség állandó). A II. törvény vektoregyenlet, így minden egyes komponensre felírható: Info  Egyensúly Egy nyugalomban lévő vagy állandó sebességgel mozgó tárgy mechanikai egyensúlyban van. A tárgyra ható eredő erő nulla (mivel a gyorsulás nulla).  ∑ F ==0 ∑ Fx 0 = and ∑ Fy 0 Kiterjeszthető 3 dimenzióra is. Info  Gravitációs erő, súly Két tárgy közötti kölcsönös vonzóerő Newton egyetemes gravitációs törvénye fejezi ki: Ez az egyenlet nem kötelező! 1. tömeg: Föld 2. tömeg: 1kg krumpli 3. érték: Föld középpontjától mért érték pl. a Holdon kevesebb/kisebb tömegű lesz az 1kg, mint a Földön Az m tömegű tárgyra ható gravitációs erő nagyságát a Föld felszíne közelében a tárgy súlyának (W) nevezzük. W = mg, Newton II. törvényének egy speciális esete, g a gravitáció okozta gyorsulás. g az egyetemes gravitációs törvényből is megállapítható Ellentétben a tömeggel, a súly nem eredendő tulajdonság, a helyzet/pozíció függő. Minden test között van vonzóerő.  Newton III. törvénye: hatás – ellenhatás Két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, azonos hatásvonalú, de egymással ellentétes irányú erő hat. Ez egyenértékű azzal, mintha azt mondanánk, hogy egyetlen elszigetelt erő nem létezhet.   F12 = −F21 hatás/erő ellenhatás/ellenerő F12 hatás/erő, F21 ellenhatás/ellenerő A két erő különböző objektumra hat. A problémától függ, hogy melyiket nevezzük hatásnak/ellenhatásnak. Ha két test kölcsönhatásban van egymással, akkor mindkettő hat egymásra (ha A hat B-re, akkor B is hat A-ra)  Nyomóerő (normál erő) Nyomóerőnek nevezzük a testek felületei által egymásra kifejtett erők felületre merőleges komponensét. A nyomóerő a felületre merőleges.  Kötélerő (K vagy T – az angol tension szóból) Ha a kötél/zsinór stb. tömege elhanyagolható ⇒ a kötél/zsinór mentén kifejtett erő (húzóerő) a kötél/zsinór minden pontján azonos.  csúszási súrlódási erő a sebességgel egyenesen arányos (ez kisebb Súrlódási erő sebességeknél érvényes; nagyobbaknál megnő, nagyobb lesz) Két érintkező felület között fellépő erő (vagy az az erő, mellyel egy közeg fékezi a benne mozgó tárgyat). Mindig az elmozdulás ellen dolgozik. A tárgy és környezete (vele érintkező felület, közeg) közötti kölcsönhatás következménye. A tapadási súrlódási erő (nyugalomban lévő tárgy esetén, az elmozdulást akadályozza) általában nagyobb, mint a csúszási súrlódási erő (a mozgásban lévő objektumra hat), Súrlódási együttható (µ) az érintkező felületektől függ. A súrlódási erő iránya a mozgás irányával ellentétes. A súrlódási együttható praktikusan független a kontakt felszín nagíságától. tapadási súrlódási erő > csúszási súrlódási erő ƒk = µn  Az erőhatások függetlenségének elve Az anyagi pont több erő (𝐹𝐹⃑1 , 𝐹𝐹⃑2 … 𝐹𝐹⃑𝑛𝑛 ) együttes hatására úgy mozog, mint ezen erők ⃑ hatására. vektori eredője (𝐹𝐹) 𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ = 𝐹𝐹⃑1 + 𝐹𝐹⃑2 + ⋯ + 𝐹𝐹⃑𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ = 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⃑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ő 𝑖𝑖=1 𝐹𝐹⃑1 +𝐹𝐹⃑ 2 𝐹𝐹⃑1 𝐹𝐹⃑2 Info OLKDA Fizika előadás II. Energia- és lendület-megmaradás - hanganyagok: Voice 014, 015, 016, 017 A munka és az energia A munka (jele:W, work) Skalármennyiség Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint hétköznapi értelemben: akkor történik munkavégzés, ha egy testre erő hat, és ennek hatására a test az erő irányába elmozdul. Mértékegysége: Joule Ha egy testre állandó 𝐹𝐹⃑ erő hat, miközben elmozdulása ∆𝑟𝑟⃑ , akkor az erőnek a testen végzett munkája alatt értjük a 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃑ ∆𝑟𝑟⃑ skaláris szorzatot. 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃑ ∆𝑟𝑟⃑ = 𝐹𝐹 ∆𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Tehát ha az erő és az elmozdulás egymással 𝛼𝛼 szöget zár be, akkor az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense végez munkát ∆𝑟𝑟⃑ ∆𝑟𝑟⃑ ∆𝑟𝑟⃑ 𝐹𝐹⃑ 𝐹𝐹⃑ 𝐹𝐹⃑  A mechanikai munkavégzés, példák Emelési munka: egy m tömegű testet függőlegesen emeljünk fel állandó v sebességgel h magasságig Ilyenkor az emelőerő és a gravitációs erő ugyanolyan nagyságúak kell, hogy legyenek Az emelőerő munkája: W = F∙h = m ∙g ∙h Ilyenkor a gravitációs erő is végez munkát: W = − m ∙g ∙h (hiszen az erő és elmozdulás ellentétes irányú) Femelő Fg A munka Megjegyzések: W = 0, ha az erő és elmozdulás vektorai merőlegesek egymásra (valamit tartunk függőlegesen és sétálunk vele, ilyenkor sem a tartóerő, sem pedig a gravitációs erő nem végez munkát) nincs erőkifejtés nincs elmozdulás W folyamatosan történik az oszcilláció --> csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás  Harmonikus rezgőmozgás A két szélsőérték között, szinuszos periodicitással végzett mozgást, mely alatt a testre ható eredő erő Hooke törvényét követi, harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük. Azaz testre ható eredő erő arányos a kitéréssel és mindig az egyensúlyi helyzet felé mutat - ha légellenállás hiányában végezzük, akkor a végtelenségig tart a mozgás --> folyamatosan történik az oszcilláció --> csillapítatlan harmonikus rezgőmozgás - ha közeg van körülötte és ez lecsökkenti a mozgást, akkor van csillapított rezgőmozgás --> a mozgás előbb-utóbb leáll A nem harmonikus mozgások közül a csillapított rezgések a legfontosabbak Amplitúdó Amplitúdó, A A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük Mértékegysége: m Súrlódás nélküli harmonikus rezgőmozgás esetén a test x = ±A között oszcillál x = ±A - egyensúlyi helyzethez képest maximális kitérés Periódusidő és frekvencia A periódusidő vagy rezgésidő, T, az az idő, amely a mozgás egy teljes ciklusának (rezgésének) megtételéhez szükséges x = A helyzetből x = - A helyzetbe, majd vissza x = A pozícióba Mértékegysége: s A rezgésszám vagy frekvencia, ƒ, az egységnyi idő alatt megtett teljes ciklusok (rezgések) száma ƒ=1/T A frekvencia a periódusidő reciproka Mértékegysége: Hz A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása Newton második törvénye leírja a kapcsolatot az erő és a gyorsulás között Az erőt megadja Hooke törvénye F=-kx=ma a = -kx / m A gyorsulás tehát kitérés függvénye A gyorsulás nem állandó és ezért az állandó gyorsulás esetén érvényes mozgási egyenletek nem alkalmazhatók - 25. slide képletei nem alkalmazhatók a harmonikus mozgásnál A rugóenergia (elasztikus potenciális energia) A megfeszített, vagy összenyomott rugóban energia tárolódik, melyet elasztikus potenciális energiának nevezünk PEs = ½kx2 ha x=0 akkor PEs=0 Energia csak akkor tárolódik, ha a rugó meg van feszítve vagy össze van nyomva A mechanikai energia megmaradási törvényébe beilleszthető Energia rugóra akasztott test mozgása esetén Egy súrlódásmentes felületen csúszó test egy könnyű rugóba ütközik A test hozzátapad a rugóhoz A rendszer harmonikus rezgőmozgást végez - hanganyag! Voice 032 A mechanikai energia átalakulása 1. A test súrlódásmentes felszínen mozog A rendszer teljes mechanikai energiája a test mozgási energiájából származik A mechanikai energia átalakulása 2. A rugó részlegesen összenyomódik Az energia megoszlik a mozgási energia és az elasztikus potenciális energia között A rendszer teljes mechanikai energiája a test mozgási energiájának és a rugó elasztikus potenciális energiájának összege A mechanikai energia átalakulása 3. A rugó teljesen összenyomódott A test átmenetileg megáll A rendszer teljes mechanikai energiája a rugó elasztikus potenciális energiájaként tárolódik A mechanikai energia átalakulása 4. Amikor a test elhagyja a rugót, a rendszer teljes mechanikai energiája a test mozgási energiájából származik A rugóerő konzervatív és a rendszer teljes mechanikai energiája állandó marad - amilyen kezdeti sebességgel érkezett, olyannal fog távozni, csak ellentétes irányba A harmonikus rezgőmozgást végző test sebessége Az energiamegmaradás segítségével kiszámítható a test sebessége a pozíció függvényében a mozgás során k - k: rugóállandó v  m 2 A x 2   - m: tömeg - A: mozgás amplitúdója - x: aktuális kitérés A sebesség maximális ha x = 0 (egyensúlyi pozícióban) A sebesség 0 ha x = ±A A ± jel azt mutatja, hogy a tárgy mindkét irányba mehet - balra megyünk: negatív sebesség - jobbra megyünk: pozitív sebesség  Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata Az egyenletes körmozgást végző test merőleges vetülete ugyanúgy harmonikus rezgőmozgást végez, mint a rugón rezgő test. A rezgő test kitérése minden pillanatban megegyezik a referencia körmozgást végző test helyvektorának rezgésirányú összetevőjével A periódusidő és a frekvencia a körmozgás alapján Periódusidő m T  2 k Megadja, hogy mennyi idő szükséges ahhoz, hogy egy k rugóállandójú rugóhoz kapcsolt m tömegű test egy teljes ciklust megtegyen Frekvencia 1 1 k ƒ  T 2 m Mértékegység: rezgés/szekundum vagy Hertz, Hz A körfrekvencia A körfrekvencia a frekvenciával összefüggő mennyiség k   2ƒ  m A frekvencia az 1 szekundum alatti végbemenő ciklusok (rezgések) számát adja meg A körfrekvencia az 1 szekundum alatt megtett radiánok számát adja meg  A mozgás az idő függvényében Egy referenciakör segítségével leírható a mozgás x = A cos (2ƒt) x a t időpillanatban mért kitérés x értéke +A és –A között változik  A mozgás grafikus ábrázolása Ha x értéke maximális vagy minimális, a sebesség 0 Ha x értéke 0, a sebesség maximális Ha x nagysága maximális a pozitív irányban, a értéke maximális a negatív irányban A harmonikus rezgőmozgás kinematikai egyenletei A harmonikus rezgőmozgás kinematikai egyenletei abból a gondolatból vezethetők le, hogy az egyenletes körmozgást végző test mozgását a síkjából nézve harmonikus rezgőmozgásnak látjuk. Kitérés-idő függvény: x = A cos (2ƒt) = A cos t Sebesség-idő függvény: v = -2ƒA sin (2ƒt) = -A  sin t Gyorsulás-idő függvény: a = -42ƒ2A cos (2ƒt) = -A2 cos t A harmonikus rezgőmozgás szinuszos periodicitással végzett mozgása A kísérlet a harmonikus rezgőmozgás szinuszos természetét mutatja be A rendszer harmonikus rezgőmozgással oszcillál A tárgyra rögzített toll a szinuszos mozgást rajzolja ki  A matematikai inga A matematikai inga egy 𝐿 hosszúságú fonálból és egy m tömegű testből áll. Ha a fonalat felfüggesztjük, és a pontszerű testet kitérítjük, akkor a test két szélső helyzet között harmonikus rezgőmozgást végez. Az ezt okozó erő a súly mozgáshoz viszonyítva érintőirányú komponense Ft = - m g sin θ A matematikai inga Általánosságban az inga mozgása nem harmonikus rezgőmozgás Kis szögek esetén azonban harmonikus rezgőmozgássá válik Általánosságban < 15° esetén áll fenn Ekkor sin θ = θ Ezáltal Ft = - m g θ Ez az erő a Hooke törvénynek megfelelő A matematikai inga periódusideje L T  2 g A periódusidő független a mozgás amplitúdójától A periódusidő az inga hosszától és az inga helyén fellépő gravitációs gyorsulástól függ - periódus idő csak az ingától függ, az amplitúdótól független A matematikai inga és a harmonikus rezgőmozgást végző rugóra akasztott test mozgásának összehasonlítása  Csillapított rezgések Csak ideális rendszerekben végtelen a rezgés Valós rendszerekben a rugóerőn kívül más fékezőerő is hat a testre Ilyenkor az amplitúdó időben csökken, de a periódus ideje nem változik A rezgőmozgást befolyásoló két fontos fékezőerő: Súrlódási erő: ilyenkor a csökkenő amplitúdók a kitérés idő grafikonon egyenesre illeszkednek Közegellenállási erő: ilyenkor az amplitúdók csökkenése exponenciális Ekkor a rendszer teljes energiája csökken és csillapított rezgésről beszélünk  A csillapított rezgés fajtái Gyenge csillapítás (a): a rezgőmozgás megmarad, de idővel az amplitúdója csökken, majd megszűnik (alacsony viszkozitás) Kritikus csillapítás (b): a tárgy gyorsan visszatér az egyensúlyi helyzetbe és nem oszcillál (magasabb viszkozitás) Erős csillapítás (c): a tárgy lassan tér vissza az egyensúlyi helyzetbe és nem oszcillál (magas viszkozitás)  3. előadás Körmozgás, egyenletes körmozgás. Harmonikus rezgőmozgás. Hullámok. Dr. Zákány Florina A hullámmozgás Hullámmozgás akkor alakul ki, ha egy külső erő által létrehozott deformációs állapot egy közegben tovább terjed Mechanikai létrejöttéhez szükséges Rezgésforrás Rugalmas és rezgőképes közeg Fizikai kapcsolat a médium szomszédos részei között vagy valamilyen mechanizmus, amely révén azok befolyásolhatják egymást Rezgőmozgás során impulzus, illetve energia terjed a közegben és nem az anyagi részek végeznek haladó mozgást - mechanikai deformáció A hullámok típusai – Transzverzális hullám A részecskék rezgésének iránya merőleges a zavar terjedésének irányára. Egy transzverzális hullámban hullámhegyek és hullámvölgyek váltogatják egymást. Egy hullámhegy és egy hullámvölgy együttese a hullámhossz (λ). Amíg a zavar hullámhossznyi utat tesz meg egy periódusidő (T) telik el. Csak szilárd közegben alakul ki. A hullámok típusai – Longitudinális hullám A részecskék rezgőmozgásának iránya megegyezik a zavar terjedésének irányával. A longitudinális hullámban egymás mellett lévő sűrűsödés és ritkulás alkotja a hullámhosszt. Mindhárom halmazállapotban kialakul.  A hullámforma – Egy hullám képe A barna görbe a hullám „pillanatképe” egy adott időpillanatban A kék görbe egy későbbi időpillanatot mutat A magas pontok a hullámhegyek Az alacsony pontok a hullámvölgyek A longitudinális hullám is leírható szinuszfüggvénnyel A sűrűsödés felel meg a hullámhegynek, míg a ritkulás a hullámvölgynek Sűrűséghullámnak vagy nyomáshullámnak is nevezzük  A hullám leírása Szabályosan ismétlődő pulzusok egy nagyon hosszú fonálon folyamatos hullámot eredményeznek A vibrációt végző forrás harmonikus rezgőmozgást végez A fonál minden szegmentuma (pl. P) harmonikus rezgőmozgással oszcillál  Amplitúdó és hullámhossz Amplitúdó (A): A hullámmozgásban résztvevő részecskék rezgőmozgásának legnagyobb kitérése az egyensúlyi helyezthez képest. Hullámhossz (λ): A közegben egymás mellett lévő azonos fázisú pontok távolsága egy adott pillanatban. Periódusidő (T): Az az időtartam, amely alatt a közegben lévő zavar hullámhossznyi utat tesz meg. A periódusidő alatt a közeg minden pontja egy teljes rezgést végez. Frekvencia (f): A hullámmozgásban részt vevő pontok rezgésének a frekvenciája. Ez megegyezik a hullámforrás frekvenciájával. A hullám terjedési sebessége v=ƒλ A terjedési sebesség számértéke megmutatja, hogy egy másodperc alatt a közegben terjedő zavar milyen távolságot tesz meg Általános egyenlet, amely különféle hullámtípusok esetén alkalmazható Hullámok interferenciája Két haladó hullám találkozhat egymással és áthaladhat egymáson anélkül, hogy megsemmisülne vagy megváltozna A hullámok kölcsönhatása a szuperpozíció elvét követi Ha két vagy több hullám egy médiumon halad keresztül, az eredő hullám úgy határozható meg, hogy pontonként összeadjuk az egyedi hullámok által okozott kitéréseket A valóságban csak kis amplitúdók mellett igaz teljesen  Hullámok interferenciája A hullámok találkozásánál tapasztalható fizikai jelenséget interferenciának nevezzük. Az interferencia eredménye lehet a tartósan fennmaradó hullámjelenség, amit interferenciaképnek szokás nevezni. Az interferenciaképet létrehozó hullámokat koherens hullámoknak nevezzük. Két hullám akkor koherens, ha időben állandó fáziskülönbséggel találkoznak.  Konstruktív interferencia (erősítés) Az a és b hullám frekvenciája és amplitúdója azonos Azonos fázisban vannak A c eredő hullám azonos frekvenciájú és nagyobb amplitúdójú Ennek az a feltétele, hogy a hullámok által megtett utak különbsége a fél hullámhossz páros számú többszöröse legyen: ∆𝑠=(2𝑘)∙𝜆/2  Destruktív interferencia (gyengítés) Az a és b hullám frekvenciája és amplitúdója azonos Ellentétes fázisban vannak A c eredő hullám azonos frekvenciájú és kisebb amplitúdójú Ennek az a feltétele, hogy a hullámok által megtett utak különbsége a fél hullámhossz páratlan számú többszöröse legyen: ∆𝑠=(2𝑘+1)∙𝜆/2 Konstruktív interferencia egy fonálon Két pulzushullám halad ellentétes irányban Találkozásukkor az eredő kitérés a pulzusok kitéréseinek előjeles összege Az interferencia után a pulzusok változatlanul formában haladnak tovább Destruktív interferencia egy fonálon Két pulzushullám halad ellentétes irányban Találkozásukkor az eredő kitérés a pulzusok kitéréseinek előjeles összege Az interferencia után a pulzusok változatlanul formában haladnak tovább Hullámok visszaverődése – rögzített vég Amennyiben egy hullám határfelülethez ér, egy része vagy teljes egésze visszaverődik Ha a visszaverődés rögzített vég mellett történik, a hullám ellentétes fázisba kerül A hullám alakja változatlan marad Hullámok visszaverődése – szabad vég Amennyiben egy hullám határfelülethez ér, egy része vagy teljes egésze visszaverődik Ha a visszaverődés szabad vég mellett történik, a hullám azonos fázisban marad A hullám alakja változatlan marad Köszönöm a figyelmet! Fizika előadás 4. Folyadékok mechanikája Dr. Kovács Tamás Halmazállapotok Szilárd (lehet kristályos vagy amorf) Folyékony Légnemű (gáz vagy gőz) Plazma (6000°C fölött, magas hőmérsékletű részecskefelhő) Szilárd halmazállapot tulajdonságai Alakjuk és térfogatuk állandó, csak megfelelően nagy erőkkel lehet ezeket megváltoztatni A szilárd anyag részecskéi helyhez kötött rezgőmozgást végeznek, a hőmérséklettel növekvő amplitúdóval A részecskék között igen erős a kölcsönhatás (elektromos erők), erősebb, mint a folyadékok vagy légnemű anyagok esetén,ezt a részecskéket összekötő rugókkal tudjuk modellezni Nagy külső erők hatására kompresszió lehetséges, majd az erőhatás megszűnte után visszatérhet az eredeti méret és alak (rugalmas/elasztikus alakváltozás) Kristályszerkezetek Az atomok rendezetten helyezkednek el Például: asztali só Szürke gömbök: Na+ ionok Zöld gömbök: Cl- ionok Amorf szerkezetek Az atomok rendezetlensége jellemzi Például: üveg  Folyadékok Állandó térfogat Nincs önálló alakjuk A szilárd állapothoz képest magasabb hőmérséklet jellemző A részecskék állandó, rendezetlen mozgást végeznek (Brown-mozgás) A részecskék között vonzó molekuláris erők hatnak, ezek hatótávolsága kicsi, nem elég erősek a molekulák helyben tartásához Kohéziós erők (víz-víz) - azonos anyagok között Adhéziós erők (víz-üveg) - különböző anyagok között  Légnemű anyagok Nincs állandó alakjuk és térfogatuk Kitöltik a rendelkezésre álló teret A részecskék állandó, rendezetlen mozgást végeznek (Brown-mozgás) nagy sebességgel mozognak viszonylag távol vannak egymástól, csak ütközéssel (rugalmas) lépnek kölcsönhatásba egymással között gyenge erőhatás lép fel Plazma Magas hőmérsékletű gáz halmazállapot Szabad elektronok és atommagok (ionok) alkotják Nagy hatósugarú elektromos és mágneses erők lépnek fel Pl. csillagokban található Hidrosztatika: folyadékok sztatikája Sűrűség I. Definíció: Az egységnyi térfogatban levő anyagtömeget jelöli: SI mértékegység: kg/m3 (SI) 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 Sűrűség II. A szilárd és folyékony anyagok sűrűsége a hőmérséklet és nyomás változásával nem változik jelentősen A gázok sűrűsége a hőmérséklet és nyomás változásával jelentősen változik  Nyomás A nyomást megkapjuk, ha a felületre merőlegesen ható nyomóerőt (F) elosztjuk a nyomott felülettel (A), vagyis a nyomás az egységnyi felületen ható nyomóerőt jelenti. 𝐹 𝑝≡ 𝐴 Ideális folyadékok Jellemzői: Összenyomhatatlanok Súrlódásmenetsek Homogének A nyomás mérése Ismert erők esetén kalibrált rugó A folyadék által a dugattyúra kifejtett erő mérése A felület ismeretében a nyomás számítható A hidrosztatikai nyomás függése a folyadékoszlop magasságától I. Nyugvó állapotban levő folyadék minden pontja nyugalomban van Azaz azonos magasságban azonos nyomásnak kell lennie Különben a folyadék nem lehetne nyugalomban Áramlás alakulna ki a magasabb nyomású hely felől az alacsonyabb felé A hidrosztatikai nyomás függése a folyadékoszlop magasságától II. A jelzett A felületű h magasságú három külső erő hat Ezek egyensúlyban vannak: p2A – p1A – Mg = 0 M=ρA(y1-y2) p2=p1 + ρg(y1 – y2) A hidrosztatikai nyomás és a víz tömege  A hidrosztatikai nyomás függése a folyadékoszlop magasságától III. A vizsgált pont feletti folyadékoszlopból származó nyomás (pf) függ a folyadékoszlop magasságától (h), a folyadék sűrűségétől (ρ) és a nehézségi gyorsulástól (g). Ilyen esetben a folyadék térfogata Ah, tömege ρAh, súlya ρgAh 𝒑𝒇 = 𝝆𝒈𝒉 folyadékoszlopból származó nyomás = folyadék sűrűsége * nehézségi gyorsulás * folyadékoszlop magassága  A hidrosztatikai nyomás függése a folyadékoszlop magasságától IV. 𝒑 = 𝒑𝟎 + 𝝆𝒈𝒉 po a légköri nyomás pf po = 1.013 x 105 Pa A nyomás független az edény alakjától, csupán a folyadékszint magasságától függ adott folyadék esetén A hidrosztatikai nyomás függése a folyadékoszlop magasságától V. Folyadék kiáramlása szűk nyíláson: a legalsó nyíláson a legnagyobb az oldalnyomás, mert itt a legnagyobb a nyílás felett levő folyadékréteg - sok folydék nehezedik rá a lent lévő folydékra --> nagy nyomás --> ha van rés akkor ki fog folyni Pascal törvénye (a hidraulikus sajtó/emelő) Az ideális folyadékok összenyomhatatlanságából következik Pascal törvénye: A zárt terű folyadékra gyakorolt túlnyomás a folyadéktérben gyengítetlenül tovaterjed a folyadéktér (és a tárolóedény falának) minden pontjára  Archimedes törvénye Minden folyadékba vagy gázba merülő testre felhajtóerő hat, amelynek nagysága egyenlő a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával. „Minden vízbe mártott test a súlyából annyit veszt, amennyi az általa kiszorított víz súlya.” A felhajtóerő felfelé mutató irányú és hatásvonala a folyadékba merülő test függőleges súlyvonalába esik. Felhajtóerő I. A felfelé mutató felhajtóerő létezésének oka a test aljára és tetejére ható erők különbsége (a két rész közötti nyomáskülönbség miatt alakul ki) Felhajtóerő II. – Teljesen elmerült test - képletet meg kell tanulni Felhajtóerő III. A felhajtóerő nagysága mindig a kiszorított folyadék súlyával egyezik meg 𝐹𝑓𝑒𝑙ℎ = ρ𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑉𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑔 = 𝐺𝑓𝑜𝑙𝑦 = 𝑚𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑔 Teljesen elmerült test esetén nagysága független a test alakjától és sűrűségétől A felhajtóerőt a folyadék fejti ki a testre A felhajtóerőn kívül a test súlya is hat a testre 𝐺𝑡𝑒𝑠𝑡 = 𝑚𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑔 = ρ𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑉𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑔 A felhajtóerő és a test súlyának viszonyától függ az, hogy a test úszik, lebeg vagy süllyed Archimedes törvénye – Teljesen elmerült test A felfelé irányuló felhajtóerő 𝐹𝑓𝑒𝑙ℎ = ρ𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑉𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑔 A felhajtóerőn kívül a test súlya is hat a testre 𝐺𝑡𝑒𝑠𝑡 = ρ𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑉𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑔 A testre ható eredő erő 𝐹𝑓𝑒𝑙ℎ −𝐺𝑡𝑒𝑠𝑡 = (ρ𝑓𝑜𝑙𝑦 −ρ𝑡𝑒𝑠𝑡 )𝑉𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑔 Teljesen elmerült test I. – Úszás A test sűrűsége kisebb, mint a folyadék sűrűsége Az eredő erő felfelé irányul A test gyorsul felfelé Teljesen elmerült test II. – Lemerülés A test sűrűsége nagyobb, mint a folyadéké Az eredő erő lefelé irányul Ezért a test gyorsul lefelé Archimedes törvénye – Lebegés A test statikai egyensúlyban van A felfelé irányuló felhajtóerőt ellensúlyozza a lefelé irányuló gravitációs erő A testre ható eredő erő 0 𝐹𝑓𝑒𝑙ℎ −𝐺𝑡𝑒𝑠𝑡 = ρ𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑉𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑔 − ρ𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑉𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑔 = 0 ρ𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑉𝑓𝑜𝑙𝑦 Vfoly: azért írjuk ide, mert az is beleszámít, ekkor = teljes elmerülésnél NEM számít ρ𝑓𝑜𝑙𝑦 𝑉𝑡𝑒𝑠𝑡 A képletben a kiszorított folyadék térfogata a tárgy folyadékszint alatt elhelyezkedő térfogatának felel meg  Vship >> Vblock Vblock - nagy a sűrűség, kicsi a térfogat --> nem süllyed el  Vice < Vwater ice: 0.9168 g/cm3 A folyadékok áramlása  A mozgó folyadék – áramvonalak A mozgás áramvonalakban történik: minden részecske, amely egy adott ponton áthalad, azon az útvonalon mozog, amelyen az ugyanezen ponton előtte áthaladó részecskék mozogtak tovább Ekkor az áramlás lamináris A különböző áramvonalak nem keresztezik egymást Az áramvonal bármely ponton egybeesik a folyadék sebességének irányával az adott ponton  A mozgó folyadék – turbulens áramlás A mozgás szabálytalanná válik, ha A sebesség meghalad egy kritikus értéket A sebesség hirtelen megváltozik Az örvényáram jellegzetes példája a turbulens áramlásnak  A folyadék áramlása – viszkozitás A viszkozitás a folyadékban a belső súrlódás mértékét jellemzi A belső súrlódás a folyadék két szomszédos, egymáshoz képest mozgó rétege közötti ellenállással függ össze  Ideális folyadékok tulajdonságai A folyadék nem viszkózus Nincs belső súrlódás a szomszédos rétegek között A folyadék összenyomhatatlan Sűrűsége állandó A folyadék mozgása egyenletes Sebessége, sűrűsége és nyomása nem változik az idő függvényében A folyadék turbulencia nélkül áramlik Nincsenek örvényáramok A részecskék középpontjuk körüli szögsebessége nulla  A kontinuitási egyenlet A1 v 1 = A2 v 2 A cső keresztmetszetének és a folyadék áramlási sebességének szorzata állandó A sebesség magas, ahol a cső szűk és a sebesség alacsony, ahol a cső átmérője nagy Az Av szorzatot térfogati áramerősségnek (IV) nevezzük A tömegmegmaradás és a stacionárius áramlás következménye Ez egyenértékű azzal, hogy a cső egyik végébe egy adott időintervallumban belépő folyadék mennyisége megegyezik a csőből ugyanezen időintervallumban távozó folyadék mennyiségével. Feltéve, ha a folyadék összenyomhatatlan és nincs szivárgás  - ahol lassabban áramlik a folyadék, ott magasabb a statikus nyomás Bernoulli törvénye A nyomás, az áramlási sebesség és a magasság közötti kapcsolatot írja le Az energiamegmaradás ideális folyadékokra történő alkalmazása Feltételezi, hogy a folyadék összenyomhatatlan, nem viszkózus és turbulencia nélkül, egyenletesen áramlik A nyomás, a térfogategységre jutó mozgási energia és a térfogategységre jutó potenciális energia összege az áramvonal minden pontján azonos 𝟏 𝟐 𝑷 + 𝝆𝒗 + 𝝆𝒈𝒚 = á𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅ó 𝟐  Bernoulli törvényének alkalmazása – A Venturi-cső A folyadék vízszintesen áramlik egy szűkített csőben Az áramlási sebesség megváltozik az átmérő változásának függvényében A folyadék áramlási sebessége mérhető Gyorsan áramló folyadék esetén a nyomás alacsony, míg lassan áramló folyadék esetén magas  Bernoulli törvényének alkalmazása – Áramló folyadékban mozgó test Sokféle gyakori jelenség megmagyarázható Bernoulli törvénye alapján Legalábbis részben Általánosságban elmondható, hogy egy áramló folyadékon keresztül mozgó tárgyra felfelé irányuló eredő erő hat, amely bármely olyan hatás eredménye, amely a folyadékot irányváltoztatásra készteti, miközben az elhalad a tárgy mellett  Bernoulli törvényének alkalmazása – A golflabda A gödröcskék a golflabdában segítik a levegő mozgását a labda felületén A forgó labda lefelé nyomja a levegőt Newton harmadik törvénye alapján emiatt a levegő felfelé nyomja a labdát A forgó golyó messzebbre jut, mintha nem forogna  Bernoulli törvényének alkalmazása – A repülőgép szárnya Az áramló levegő sebessége nagyobb a szárny felett, mint alatta Ezáltal a levegő nyomása a szárny felett alacsonyabb, mint alatta Ez felfelé irányuló eredő erőt eredményez Más tényezők is szerepet játszanak Felületi feszültség, kapillaritás Felületi feszültség I. A belső folyadékrészecskékre (pl. A pontban) ható eredő erő nulla Minden irányból azonos erő hat a részecskékre, ezek eredője nulla A folyadék felszínén levő molekulákra (B pont) ható eredő erő nem nulla Kevesebb szomszédos molekula veszi körül Felette nincsenek molekulák, ebből az irányból nem hat rá erő A részecskékre a folyadék belseje felé irányuló eredő erő hat Felületi feszültség II. A felszínen levő részecskékre ható eredő erő (kohéziós erő) miatt minden részecske a folyadék belsejébe szeretne kerülni Ez azt jelenti, hogy a felszín a lehető legkisebbre igyekszik összehúzódni Pl. vízcseppek esetén a cseppek gömb alakot vesznek fel, aminek adott térfogat mellett a legkisebb a felszíne Felületi feszültség III. Definíció: A felületi feszültséget a felszín egységnyi hosszú szakaszára merőlegesen ható erőként definiálják (N/m). Felületi feszültség IV. Tiszta folyadékok esetén a felületi feszültség az a munka, amely egységnyi új felület létrehozásához szükséges (J/m2). A felületi feszültség függ a hőmérséklettől, az anyag tisztaságától, koncentrációjától. Felületaktív anyagok: felületi feszültséget csökkentő anyagok (mosószerek, alkoholok) Kapillár inaktív anyagok: növelik a felületi feszültséget ( cukrok, erős elektrolitok) A felületi feszültség mérése Pl. leszakításos módszer: azt az erőt mérik, amely meghatározott vastagságú és átmérőjű platina gyűrűnek a kérdéses folyadékból való kiszakításához szükséges 𝐹 𝛾= 2𝐿 A 2L a gyűrű belső és külső részére ható erő miatt kell. Tűre ható felületi feszültség A felületi feszültség miatt a tű annak ellenére lebeg a folyadék felszínén, hogy sűrűsége nagyobb a folyadékétól. Az erő függőleges irányú komponensei ellensúlyozzák a súlyerőt. Erőhatások a folyadékban Kohézió: azonos molekulák közötti vonzóerő Adhézió: különböző molekulák közötti vonzóerő Nedvesítő anyagok esetén: kohézió < adhézió (pl. víz-víz < víz-üveg) Nem nedvesítő anyagoknál: kohézió > adhézió (pl. Hg-Hg > Hg-üveg) - 2. kép: hasonló hasonlóval akar kapcsolódni, "menekül" az üvegtől --> lefele görbülés Nedvesítő anyagok Az adhéziós erők nagyobbak, mint a kohéziós erők A folyadék részecskéi felkapaszkodnak az edény falára A folyadék „nedvesíti” a felszínt Nem nedvesítő anyagok A kohéziós erők nagyobbak, mint az adhéziós erők A folyadék felszíne lefelé görbül A folyadék „nem nedvesíti” a felszínt  Illeszkedési szög Az illeszkedési szög a folyadékfelszínnek a fallal való érintkezési pontján átfektetett érintősíkjának a fal érintősíkjával bezárt szöge Ha φ > 90°, a kohéziós erők nagyobbak Ha φ < 90°, az adhéziós erők nagyobbak  Kapillaritás I. A kapillaritás a felületi feszültség és az adhéziós erők létezésének következménye Ha az adhéziós erők nagyobbak, mint a kohéziós erők, a folyadék felkúszik a csőben Kapillaritás II. Ha a kohéziós erők nagyobbak, mint az adhéziós erők, a kapillárisban levő folyadékszint alacsonyabban van, mint a környezetben levő folyadék szintje Kapillaritás III. A folyadék emelkedési magassága:  Első évközi dolgozat Az első évközi dolgozatot a 8. oktatási héten, október 31-én írják 18 órától Témakörök: az első 7 hét anyaga Feladattípusok: igaz-hamis, relációanalízis, esszé, definíciók, többszörös választás, kiegészítős  Termodinamikai rendszerek és kölcsönhatásaik: Termodinamikai rendszer: környezetétől valóságos vagy képzeletbeli fallal („szigetelés”) elválasztott részecskék halmaza...Rendszer....................... Hőcsere (QE)...... Munka (W).... ds... Környezet Anyagcsere (ΔNi) Nyílt: környezetével anyag- és energiacserét folytat Az élőlények nyílt rendszerek! Zárt: környezetével csak energiacserét folytat, anyagcserét nem. Izolált: sem anyag-, sem energiacserét nem folytat környezetével  Termodinamikai rendszerek és kölcsönhatásaik: Zárt:környezetével csak energiacserét folytat, anyagcserét nem. A Föld (és a bioszféra) jó közelítéssel zárt rendszernek tekinthető.  Bevezetés, állapothatározók Mi a termodinamika? – Egymással kölcsönható rendszerek energiaviszonyait tanulmányozó tudomány. (Termodinamikai rendszer: környezetétől valóságos vagy képzeletbeli fallal elválasztott részecskék halmaza.) Termodinamikai állapothatározók: – A rendszer makroszkopikus állapotát leíró fizikai mennyiségek. – Pl. hőmérséklet, nyomás, térfogat, tömeg, energia  Az állapothatározók jellemzése Extenzív: a rendszer részei közt összeadódik. – pl. térfogat (V), tömeg (m), elektromos töltés (Q), energia (E). Intenzív: anyagmennyiségtől független, a rendszer részei közt nem adódik össze, a rendszer különböző pontjai közt kiegyenlítődésre törekszik. – Valódi intenzívek: Pl. nyomás (p), hőmérséklet (T), elektromos potenciál (φ) – Fajlagos mennyiségek (extenzívek hányadosai): pl. koncentráció (n/V), sűrűség (m/V), móltérfogat (V/n).  Empirikus hőmérséklet Mi a hőmérséklet? – Az egyik kiemelkedően fontos termodinamikai állapothatározó. – SI alapmennyiség, Kelvinben (K) mérjük. – Termikus kölcsönhatás: termodinamikai rendszerek közötti hőátadás, mely a termikus egyensúly eléréséig folytatódik. – Az empirikus hőmérséklet olyan állapothatározó, mely egymással termikus egyensúlyban lévő rendszereknél megegyezik. (Ha a rendszerek között termikus kölcsönhatás lehetséges, akkor ennek során a hőmérséklet kiegyenlítődik.)  A nulladik főtétel, a hőmérséklet mérése ha az A rendszer egyensúlyban van C-vel, C pedig B-vel, akkor A egyensúlyban van B-vel is! – Tehát A és B hőmérsékletét össze tudjuk hasonlítani C segítségével → C nem más, mint egy hőmérő. – A hőmérőnek, mint rendszernek bármely állapothatározóját használhatjuk mérésre, ha ismerjük annak a hőmérséklettől való függését. – Leggyakrabban a térfogatot használjuk (használható még pl. az elektromos ellenállás v. az infravörös sugárzás is).  Hőmérsékleti skálák Termodinamikai számításoknál a hőmérséklet mindig Kelvinben értendő! – Átszámolás: TK=TC + 273.15 Fahrenheit Celsius: TF=9/5TC + 32 TC=5/9(TF - 32)  Celsius Skála A jég-víz keverék hőmérsékletét 0º C-ban határozzuk meg. – Ez a víz fagyáspontja A víz-gőz keverék hőmérséklete 100 ºC – Ez a víz forráspontja Az ezen pontok közötti távolságot 100 szegmensre vagy fokra osztjuk. 10  Gáz hőmérők A hőmérséklet- mérések szinte függetlenek a gáztól. A nyomás állandó térfogat fenntartása esetén a hőmérséklet függvényében változik. 11  Kelvin Skála Amikor egy gáz nyomása nullára csökken, a hőmérséklete –273,15º C. Ezt a hőmérsékletet abszolút nullának nevezzük. Ez a Kelvin-skála nullapontja. –273,15º C = 0 K. A Celsius fok Kelvin fokra való átváltásához használható a következő képlet: ( TC = TK - 273,15 ). A Kelvin-skálán a fok egysége megegyezik a Celsius fok egységével. 12  Nyomás-hőmérséklet függvény Minden gáz azonos hőmérsékletre extrapolál, amikor a nyomás nullára csökken. Ez a hőmérséklet az abszolút nulla fok. 13  A Kelvin skála modern definíciója Két pont alapján van meghatározva. Az első pont az abszolút nulla, a második pont pedig a víz hármaspontja. A hármaspont az az egyetlen pont, ahol a víz szilárd, folyékony és gáz halmazállapotban létezhet. 14 A víz hármaspontja 15  A Kelvin skála modern definíciója A hármaspont hőmérséklete a Kelvin-skálán 273,16 K. Ezért a Kelvin jelenlegi meghatározása a víz hármaspontjának hőmérsékletének 1/273,16- a. 16 - szilárd anyagoknál: - lineáris tágulás - területi tágulás - térfogati tágulás - folyadékoknál: térfogati tágulás - tenger legalján: 4C --> halak túlélnek Hőtágulás I. Szilárd testeknél a hosszméretek, folyadékoknál és gázoknál a térfogat változik a hőmérséklettel. – Általában növexik, de vannak kivételek (pl. a víz!). – Szilárd testeknél és folyadékoknál a melegítés hatására bekövetkező térfogat növekedést a testet alkotó molekulák, atomok rezgőmozgásának amplitúdó növekedése okozza.  Hőtágulás II. Szilárd testeknél: lineáris hőtágulás – Függ az anyagi minőségtől, a kezdeti hosszúságtól (l0) és a hőmérsékletváltozástól (ΔT): ∆𝑙~𝑙0∆𝑡 → ∆𝑙 = 𝛼𝑙0∆𝑇 α: lineáris hőtágulási együttható – Folyadékoknál és szilárd anyagoknál: térfogati hőtágulás: ∆𝑉 = 𝛽𝑉0∆𝑇 β: térfogati hőtágulási együttható β = 3α Hőtágulás III. Hőtágulás III.  Az ideális gáz tulajdonságai Az ideális gáz egy modell, mely szerint a gázok törvényszerűségei leírhatók a mozgó testekre vonatkozó fizikai törvényekkel. Ehhez a következő kritériumoknak kell teljesülniük: A gázmolekulák saját térfogata elhanyagolható a gáz által betöltött térfogathoz képest (tehát szinte kiterjedés nélküliek) A gázmolekulák egymásra sem vonzó, sem taszító hatást nem fejtenek ki, az ütközésektől eltekintve A gázmolekulák egymással illetve az edény falával való ütközése teljesen rugalmas A gázmolekulák átlagos sebességét és kinetikai energiáját kizárólag a gáz hőmérséklete adja meg Azonos hőmérsékleten, azonos számú gázmolekula kinetikai energiája megegyezik, és független a gáz anyagi minőségétől  Az ideális gáz állapotegyenletei p1V1 = p2V2 (Boyle-Mariotte törvény) V1/T1 = V2/T2 (Gay-Lussac I. törvénye) p1/T1 = p2/T2 (Gay-Lussac II. törvénye) pV = nRT or pV = kNT 1. Állandó hőmérsékleten és nyomáson a gáz térfogata egyenesen arányos a molekulák számával. 2. Állandó hőmérsékleten és térfogaton a gáz nyomása egyenesen arányos a molekulák számával. 3. Ha a molekulák száma és a hőmérséklet állandó, a nyomás fordítottan arányos a térfogattal. 4. Ha a hőmérséklet változik és a molekulák száma állandó, akkor a nyomás vagy a térfogat (vagy mindkettő) egyenes arányban változik a hőmérséklettel..  Ideális gáztörvény I. PV = n R T – R = 8.31 J / mole.K – n a mólok száma 23  Ideális gáztörvény II. P V = N kB T n = N / NA kB is Boltzmann n a mólok száma konstans N a molekulaszám kB = R / NA = 1.38 x 10-23 J/ K N a molekulaszám 24  Energia áramlás termikus kölcsönhatás esetén Amikor két különböző hőmérsékletű testet termikus kölcsönhatásba helyeznek, a melegebb test hőmérséklete csökken, míg a hidegebbé emelkedik. Az energia csere akkor szűnik meg, amikor a testek elérik a hőmérsékleti egyensúlyt.  Belső energia A belső energia, U, a rendszer mikroszkopikus összetevőihez kapcsolódó energia. – Tartalmazza az atomok vagy molekulák véletlenszerű transzlációs, rotációs és rezgési mozgásához kapcsolódó kinetikus és potenciális energiát. – Tartalmazza a részecskéket összekötő potenciális energiát is.  Molekula energiája, belső energia Molekula energiája: E = Ekin + Erot + Evib + Eel + Eegyéb Ekin: kinetikus energia Evib: vibrációs energia Erot: rotációs energia Eel: elektronállapotok energiája Eegyéb: pl. kölcsönhatási energia, nyugalmi energia (E=m0c2) Szabadsági fokok: egymástól független energiatároló mozgásformák (transzlációs, rotációs, vibrációs) Ekvipartíció tétele: termikus egyensúlyban a rendszer minden szabadsági fokára időátlagban ½kT energia jut. Az egy molekulára jutó átlagos energia: Eátl = f/2 kT (k: Boltzmann-állandó, T: abszolút hőmérséklet) 1 mól ideális gáz teljes belső energiája: E = f/2 × NA× kT = f/2 × RT = CvT (Cv: moláris hőkapacitás állandó térfogaton)  HŐ A hő egy a rendszer és környezete közötti energiaátadás, amely a köztük lévő hőmérsékletkülönbség miatt következik be. – A Q szimbólumot a hő által egy rendszer és környezete között átadott energia mennyiségének jelölésére használjuk.  Fajhő Minden anyagnak tömegegységre vetítve egyedi mennyiségű energiára van szüksége ahhoz, hogy az adott anyag hőmérséklete 1 °C-kal megváltozzon. Az anyag fajhője, c, ennek a mennyiségnek a mértéke. Q c= m T  Fajhő SI mértékegység – J / kg °C  A hő és fajhő Q = m c ΔT ΔT mindig a végső hőmérséklet mínusz a kezdeti hőmérséklet. Ha a hőmérséklet nő, ΔT és ΔQ pozitívnak tekinthető, és energia áramlik a rendszerbe. Ha a hőmérséklet csökken, ΔT és ΔQ negatívnak tekintendő, és energia áramlik ki a rendszerből.  Hőközlés Hőközlés állandó térfogaton A hőmérséklet és a belső energia megváltozása arányos egymással. E = QE = n Cv T, ha V = áll. (W =0) Cv: állandó térfogaton mért moláris fajhő, n: mólszám Hőközlés állandó nyomáson QE = n Cp T, ha p = áll. Cp: állandó nyomáson mért moláris fajhő QE = E - W = E + pV = (E + pV) = H Entalpia: H = E + pV A termodinamika első törvénye A termodinamika első törvénye szerint egy rendszer belső energiája a következő módon növelhető – Energiát adunk a rendszerhez – A rendszeren munkát végezve Számos folyamat létezik, amelyekkel ezt el lehet végezni.  Munkavégzés A gáz egy mozgó dugattyúval ellátott hengerben van. A gáz V térfogatot foglal el, és P nyomást gyakorol a henger falára és a dugattyúra.  Munkavégzés A gáz lassú összenyomásához erőt alkalmazunk – A kompresszió elég lassú ahhoz, hogy a rendszer lényegében termikus egyensúlyban maradjon. W = - P ΔV – Ez a gázon végzett munka  Munkavégzés Amikor a gázt összenyomják – ΔV negatív – A gázon végzett munka pozitív Amikor a gáz tágulhat – ΔV pozitív – A gázon végzett munka negatív Ha a térfogat állandó marad – A gázon nem történik munka  Megjegyzések a munkáról A nyomás állandó marad a tágulás vagy a összenyomás során. – Ezt nevezzük izobár folyamatnak Ha a nyomás változik, az átlagos nyomásis felhasználható az elvégzett munka becslésére.  PV Diagramm Akkor használatos, ha a nyomás és a térfogat a folyamat minden egyes lépésénél ismert. A gázon végzett munka, amely a gázt egy kiindulási állapotból egy végállapotba juttatja, a PV-diagram görbe alatti területének negatívja. Ez attól függetlenül igaz, hogy a nyomás állandó marad-e vagy sem.  PV Diagramm Az ábrán látható görbét a kezdeti és a végső állapot között megtett útnak nevezzük. Az elvégzett munka az adott útvonaltól függ – Ugyanaz a kiindulási és végállapot, de különböző mennyiségű munkát végeznek el. - legnegatívabbtól a legpozitívabbig: 1, 3, 2, 4 - tágulás: kisebbtől nagyobb koncentrációig a nyíl - összenyomás: nagyobb koncentrációtól a kisebbik felé a nyíl  A termodinamika első törvénye Az energiamegmaradás törvényének a következménye A belső energia változását a hő és a munka okozta energiaátadással hozza összefüggésbe. Minden típusú folyamatra alkalmazható – Kapcsolatot teremt a mikroszkopikus és a makroszkopikus világ között. A termodinamika első törvénye Az energia transzfer a következők miatt történik – Munkával Egy tárgy makroszkopikus elmozdulását igényli egy erő alkalmazásával – Hővel A véletlenszerű molekuláris ütközéseken keresztül történik. Mindkettő a rendszer belső energiájának, a ΔU-nak a változását eredményezi.  A termodinamika első törvénye Ha egy rendszer egy kezdeti állapotból egy végállapotba változik, akkor U = Uf – Ui = Q + W – Q a közölt hő – W a rendszerben végzett munka – U a belső energia változása U = Q + W A termodinamika I. főtétele (energiamegmaradás) A rendszer energiájának megváltozása: ΔE = QE + W QE: hő formájában felvett energia W: a rendszeren végzett munka Nincs elsőfajú örökmozgó, mely energia befektetése nélkül folyamatosan munkát végez. A gázon végzett térfogati munka:..................... dW = Fds = (pA)ds = p (Ads) = -pdV.................. F=pA........... V2 W = −  p(V )dV (p: nyomás, V: térfogat) ds V1 p p A munka nem állapotfüggvény! W W V V  Az első főtétel - előjelek Az egyenletben szereplő tagok előjelei –Q Pozitív, ha a rendszerbe hőt adunk át. Negatív, ha a rendszerből a hő révén energia távozik. –W Pozitív, ha a rendszerben munkát végeznek Negatív, ha a rendszer munkát végez – U Pozitív, ha a hőmérséklet nő Negatív, ha a hőmérséklet csökken  A spontán folyamatok iránya Tapasztalat: vannak folyamatok, melyek csak egy irányban játszódnak le: gáz kitágul, ha megnő a rendelkezésre álló térfogat a szén elég C → CO2 a leejtett labda pattog, majd elveszti összes kinetikus energiáját az elpusztult szervezet lebomlik A fenti folyamatok képzeletbeli megfordítása: a gázmolekulák bezsúfolódnak ez eredeti térfogatba a magas hőmérsékletű CO2 gáz összegyűlik, leadja az oxigént, és összeáll széndarabbá a labda összegyűjti a környezetbe szétszórt energiát, és felpattan a földről egyszerű molekulákból „magától” élőlény keletkezik Valószínűség ~ 0, bár az energia-megmaradásnak nem mondanak ellent. A rendszerek egyre rendezetlenebbek lesznek, az energia egyre inkább szétszóródik spontán folyamatok során. A spontán folyamatok iránya A rendezetlenség spontán módon nő A rendezettség növelése energia befektetést igényel  Irreverzibilitás Az ábrasorozaton golyók ütközése Két golyó ütközése. látható. Meg tudjuk-e mondani, hogy Megállapítható-e a képek időrendi időrendben vagy pedig fordított sorrendje? sorrendben követik egymást az ábrák? A folyamatok mikroszkopikus szinten (az egyedi molekulák szintjén) reverzibilisek. Miért irreverzibilis makroszkopikus szinten a rendezetlenebbé válás folyamata? Mert a rendezetlen állapotok száma magas, a rendezett állapotoké pedig alacsony, így valószínűtlen, hogy a rendszer visszataláljon egy rendezett állapotba. Az irreverzibilitás nem abszolút, elvi jellegű, csak statisztikus.  Rendszer mikroállapotai és makroállapota Rendszer mikroállapotai: a rendszer mikroszkopikus részletességgel leírt állapotai (megadják az egyes részecskék helyét és energiáját). A mikroállapotok egyenlő valószínűséggel fordulhatnak elő. adott makroszkopikus paraméterekkel (E, p, T, V, Makroállapot: stb.) jellemezhető állapot. Több, egymástól makroszkopikusan megkülönböztethetetlen mikroállapot valósíthat meg egy adott makroállapotot. Egy makroállapot termodinamikai valószínűsége, Ω: Az adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma. Ω≥1  Termodinamikai valószínűség I. makroállapot II. makroállapot Mikroállapot megadása (a példa 2p0 p=0 p0 kedvéért leegyszerűsítve): az egyes részecskék melyik térfélen vannak V1 = V2 Összes lehetséges mikroállapot száma: 2N I. makroállapot termodinamikai valószínűsége (azon mikroállapotok száma, melyekben minden részecske a baloldali térfélen van): ΩI = 1 II. makroállapot termodinamikai valószínűsége (azon mikroállapotok száma, melyekben fele-fele a molekulák eloszlása):  N  N! ΩII =  N / 2 = >> 1   ( N / 2)!( N / 2)! A makroállapotok közül a legrendezetlenebb (legegyenletesebb) a legvalószínűbb.  Entrópia I. Az entrópia klasszikus termodinamikai értelmezése: (melynek során a rendszer egyensúlyi Reverzibilis hőátadáskor állapotokon halad át), ha a rendszerrel közölt hőmennyiség ΔQE: ΔS = ΔQE/T Ha a rendszerrel hőt közlünk, megnő az elosztható energiaadagok száma, és többféle osztozkodás lehetséges. Ha Ω nő, S is nő. során történt hőátadáskor: Irreverzibilis folyamat ΔS > ΔQE/T  Entrópia II. A rendszer molekuláris szintű rendezetlenségét jellemző extenzív (additív) állapothatározó. Az entrópia statisztikus értelmezése: Ha egy adott makroállapotot megvalósító lehetséges mikroállapotok száma Ω, akkor a rendszer entrópiája: S = k lnΩ Az entrópia additív: Két rendszer együttes mikroállapotainak száma és entrópiája: Ω = Ω 1Ω 2 S = k ln(Ω1Ω2) = k lnΩ1 + k lnΩ2 = S1 + S2 Az a legvalószínűbb makroállapot, amelyet a legtöbb mikroállapot valósíthat meg, azaz amelyben az entrópia maximális.  A II. főtétel néhány egyenértékű megfogalmazása Izolált rendszer entrópiája nem csökkenhet. (Izolált rendszerben spontán módon olyan folyamatok játszódhatnak le, melyekben a rendszer entrópiája nő (irreverzibilis folyamat), esetleg állandó (reverzibilis folyamat)). Izolált rendszer entrópiája termodinamikai egyensúlyban maximális A világegyetem entrópiája folyamatosan nő. Nincs másodfajú örökmozgó, azaz olyan ciklikusan működő gép, melynek egyetlen hatása az, hogy a felvett hőt teljes egészében átalakítja munkává.  Élőlények Élőlények egyedfejlődése során az őket felépítő molekulák entrópiája csökken, míg a környezeté ezt meghaladó mértékben nő. Az élőlény rendezett állapotának fenntartásához folyamatos anyag- és energiacsere szükséges a külső környezettel! hő A bioszféra entrópiacsökkenését a Naprendszer (és a tágabb környezet) egészének entrópianövekedése ellensúlyozza Az abszorbeált (rtg-től IR-ig) és emittált (főként IR) fotonok spektrális (energiabeli) különbsége felelős a bioszféra entrópia csökkenéséért.  Brown-mozgás Robert Brown botanikus, 1827: vízben lebegő virágpor szemcsék zegzugos mozgását figyelte meg A jelenséget valamilyen „életerő” megnyilvánulásának tekintette Könnyű szemcsék (füst, por, apró folyadékcseppek) mozgása levegőben  Fick I. törvénye Stacionárius diffúzió leírása (dc/dt = 0, dc/dx = állandó) c c1 dc I v = − DA Δc c2 dx x1 x2 -felület x Δx -diffúziós állandó - diffúziós anyagáram: egységnyi idő alatt átáramló anyagmennyiség (mol/s) c c( x2 ) − c( x1 ) = - koncentráció gradiens x x2 − x1 D: időegység alatt, egységnyi felületen, egységnyi koncentráció gradiens hatására átáramló anyagmennyiség [D] = m2/s  Miért van nettó anyagáramlás? Molekuláris magyarázat c1, N1 , V1 c2, N2 , V2 Tfh. minden részecske azonos valószínűséggel mozdulhat el a tér bármely (±x, ±y, ±z) irányában: p = 1 /6 Az egyik térrészből a másik felé elinduló molekulák száma: ΔN(1→2) = 1/6 N1 = 1/6 c1V ΔN(2→1) = 1/6 N2 = 1/6 c2V Eredő anyagáramlás 1-ből 2-be: ΔN(1→2) - ΔN(2→1) = 1/6 (c1- c2 ) V > 0  Miért van nettó anyagáramlás? Termodinamikai magyarázat Emlékeztető: Konstans T és p mellett a rendszer szabadentalpiája csökken spontán lejátszódó folyamatokban. G(T,p,N) = E + pV - TS, ΔG ≤ 0 A kémiai potenciál (egy mól anyagra jutó szabadentalpia) : μ = μ0(T,p) + RT ln c [μ0(T,p): 1M oldat kémiai potenciálja] G úgy csökkenhet, ha a molekulák a magasabb kémiai potenciálú (magasabb c vagy T) hely felől az alacsonyabb kémiai potenciálú hely felé áramolnak. Statisztikus hajtóerő, G csökkenése ΣS növekedésével ekvivalens!  Elektromosságtan. Elektromos töltés, Coulomb törvénye, az elektromos mező jellemzői. Elektromos feszültség, potenciál. Egyenáram. Ohm törvény. Kirchhoff törvények. Egyenáram munkája. Elektromos munka, teljesítmény. Szántó G. Tibor 1 2023.X.12. Az elektromos töltés tulajdonságai Kétféle töltés: pozitív és negatív (Benjamin Franklin (1706 – 1790)) Azonos töltések vonzzák, ellentétes töltések taszítják egymást A pozitív töltéshordozó a proton (de a protonok egyik anyagról a másikra nem mozognak, mivel erősen kötöttek az atommagban) A negatív töltéshordozó az elektron elektronleadás és elektronfelvétellel a testek töltött állapotba kerülnek Töltésmegmaradás törvénye A testek elektromosan töltött állapotba kerülnek, mert a negatív töltés az egyik testről a másikra kerül a töltés kvantált - Elektronok töltése –e - Protonok töltése +e - SI mértékegység a Coulomb (C) elemi töltés: e = 1.6 x 10-19 Coulomb - NEM 10^-19 !!! 2 Vezetők, félvezetők és szigetelők Vezetők: a töltések (elektronok) szabadon mozognak az elektromos erő hatására - Pl. réz, aluminium és ezüst - ezüst a legjobb vezető - a töltés egyenletesen eloszlik a vezető felszínén Szigetelők (üveg, gumi): a töltések nem mozognak szabadon - Pl. üveg, gumi - csak a dörzsölt terület lesz töltött Félvezetők: - Pl. szilícium, germanium, arzén - vezetőképességük jelentősen függ a tisztaságtól és a hőmérséklettől Sávelmélet: 3 Töltés megosztás Egy elektromosan töltött tárgy (a rúd) érintkezésbe kerül egy másik tárggyal (a gömb) A rúdon lévő elektronok a gömbre mozoghatnak A rúd eltávolításakor a gömb elektromosan töltött marad A töltés alatt álló tárgyon mindig olyan töltés marad, amelynek előjele megegyezik a töltést végző tárgyéval Az elektromos test a környezetében lévő vezetőanyagokon elektromos megosztást hoz létre. A vele egyező előjelű töltéseket a test távolabbi részébe taszitja, az ellentétes előjelű töltéseket a közelebbi oldalra vonzza. 4 Elektromos polarizáció Töltött test közelítése szétválasztja a szigetelő anyag molekuláiban a + és – töltések központjait: töltést indukál a felszínén (elektromos polarizáció) 5 Coulomb törvénye Coulomb (1736 – 1806) törvénye: - két pontszerű q1 és q2 töltés között ható elektromos erő egyenesen arányos a két töltés szorzatával, és fordítottan arányos a közöttük lévő távolság (r) négyzetével - Vonzó, ha a töltések ellentétes előjelűek, és taszító, ha azonos előjelűek 𝑞1 𝑞2 Pontszerű töltésekre, 𝐹 = 𝑘𝑒 (ke = 9×109 Nm2/C2, Coulomb állandó) 𝑟2 F12 és F21 egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű 6 A szuperpozíció elve A töltésre ható erőket vektoriálisan össze kell adni az eredő erő kiszámolásához (az erő vektormennyiség) A q1 töltés által a q3 töltésre kifejtett erő F13 A q2 töltés által a q3 töltésre kifejtett erő F23 A q3 töltésre ható eredő erő az F12 és F23 erő komponensek vektori összege 7 Elektromos mező (erőtér) A töltött testek elektromos mezőt hoznak létre maguk körül, mely erőt fejt ki a bele kerülő másik töltött testre Az elektromos mező jellemezhető a belehelyezett elektromos töltésű részecskére kifejtett erőhatás segítségével Egy kis q0 próbatöltéssel jellemezhető a Q töltés által létrehozott elektromos mező iránya és nagysága 𝑭 = 𝑬𝒒𝟎 próbatöltés 𝐹Ԧ 𝑘𝑒 𝑄 Elektromos térerősség: 𝐸 = = 2 𝑞0 𝑟 SI egység N/C Vektor mennyiség - kép! 8 Elektromos térerősség Az elektromos mezőt elektromos erővonalakkal szemléltetjük, melyek iránya megegyezik az elektromos térerősség irányával, sűrűsége pedig a térerősség nagyságával. A térerősség iránya pozitív töltés esetén a töltéssel ellentétes irányba, negatív töltés esetén a töltés felé mutat. Egy felületen áthaladó összes erővonal száma az elektromos fluxus (Y). Amennyiben a felület (A) merőleges az erővonalakra: Y = EA Gömbfelület teljes fluxusa nem függ a gömb sugarától. Bármilyen Q töltést körülzáró felület teljes fluxusa: Yösszes = Q/e0 (Gauss tétele) 9 Vezetők elektrosztatikus egyensúlya Egy szigetelt vezetőben: a vezető belsejében az elektromos térerősség zérus. a töltésfelesleg kizárólag a felszínén található meg, vagyis a vezetőre vitt többlet töltés mindig a vezető külső felületén helyezkedik el. Az elektromos mező (erővonalak) a vezető felszínénél merőleges helyzetűek. A nagy töltéssűrűség erős inhomogén mezőt eredményez a csúcs közelében, vagyis a csúcsokon nagyobb a töltéssűrűség (elektromos csúcshatás). 10 Munka és potenciális energia. Elektromos potenciálkülönbség (feszültség). Homogén elektromos mező esetén, míg az elektromos mező a töltést A-ból B-be viszi az elektromos mező által végzett munka: W = FDx =q Ex (xf – xi) ΔPE = - W = - q Ex (xf – xi) Az A és B pontok közötti potenciálkülönbség: a potenciális energia (PE) változás és a töltés hányadosa, mikor a töltés A pontból B pontba mozog ΔV = VB – VA = ΔPE / q Potenciál különbség ≠ potenciális energia skalár mennyiség, mértékegysége a Volt: V = J/C Homogén elektromos térben (például kondenzátorok lemezei között): DV = VB – VA= -Ex Dx 11 A ponttöltés elektromos potenciálja. A nulla elektromos potenciálú pont a töltéstől végtelen távolságban van A q töltéstől r távolságban az elektromos potenciál értéke: 𝑞 V = 𝑘𝑒 𝑟 A térerősség és a potenciál távolságfüggése - térerősség 1/r2 - elektromos potenciál 1/r Több ponttöltés esetén egy adott pontban a teljes elektromos potenciál az egyes töltésekből adódó elektromos potenciálok algebrai összege (mivel a potenciálok skaláris mennyiségek) 12 Kapacitás. A kondenzátor elektromos töltések felhalmozására szolgáló eszköz - töltéstárolás A síkkondenzátor két egymástól elszigetelt, párhuzamos fémlemezből (fegyverzet) áll. Feltöltött állapotban a lemezeken egyenlő nagyságú és ellentétes előjelű töltés található A kondenzátor töltésének és feszültségének (potenciálkülönbségének) hányadosa a kapacitás 𝑄 vagy C = Q/U 𝐶= ∆𝑉 ΔV ugyanaz mint U Mértékegysége: Farad (F); 1 F = 1 C / V. Az akkumulátorhoz csatlakoztatva a töltés az egyik lemezről a másik lemezre kerül. A töltésátvitel akkor áll le, ha DVkond = DVakku 13 Síkkondenzátor. A síkkondenzátor kapacitása egyenesen arányos a lemezek területével (A), forditottan arányos a lemezek közötti távolsággal (d), illetve függ a szigetelőanyag minőségétől: 2 𝐴 𝐶 𝐶 = 𝜀0 𝜀0 = 8,85 × 10−12 a légüres tér dielektromos állandója 𝑑 𝑁𝑚2 - ha nincs benne kappa (κ), akkor síkkondenzátorra vonatkozik A lemezek közötti elektromos tér (jó közelítéssel) homogén 14 Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása. A töltések áramlása megszűnik, ha a kondenzátorokon lévő feszültsé