Mechanika jegyzet - ELTE Fizikai és Csillagászati Intézet

MECHANIKA ⋇ egyetemi jegyzet berta dénes ispánovity péter dusán mechanika előadás (mechf19va) fizika BSc és fizikatanár MA szakok ELTE Fizikai és Csillagászati Intézet Anyagfizikai Tanszék 2024. őszi félév TA R TA L O M J E G Y Z É K...

MECHANIKA ⋇ egyetemi jegyzet berta dénes ispánovity péter dusán mechanika előadás (mechf19va) fizika BSc és fizikatanár MA szakok ELTE Fizikai és Csillagászati Intézet Anyagfizikai Tanszék 2024. őszi félév TA R TA L O M J E G Y Z É K 0. Bevezetés 7 0.1. Miért fontos a mechanika kurzus?........................... 7 0.2. Hogyan épül fel a kurzus?................................ 7 i. Kinematika 1. Mérések, mértékegységek és az anyagi pont kinematikájának alapjai 9 1.1. A fizika és a mechanika tárgyköre........................... 9 1.2. A fizika mint kísérleti tudomány............................ 10 1.3. SI mértékegységrendszer................................. 11 1.4. Kinematika......................................... 13 1.5. Egyenes vonalú mozgások................................ 13 2. A differenciálszámítás alapjai 16 2.1. Differenciálszámítás.................................... 16 2.2. Egyszerű függvények deriváltjai............................ 17 2.3. Deriválási szabályok................................... 17 2.4. Deriválási trükkök.................................... 18 3. Egyenes vonalú mozgások leírása 20 3.1. Pillanatnyi sebesség.................................... 20 3.2. Gyorsulás.......................................... 20 3.3. Egyenes vonalú egyenletes mozgás (EVEM)...................... 23 3.4. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás (EVEVM)............... 24 3.5. Szabadesés......................................... 25 4. Síkbeli és térbeli mozgások leírása 27 4.1. Koordinátarendszerek két- és háromdimenzióban.................. 27 4.1.1. Kétdimenziós koordinátarendszerek...................... 27 4.1.2. Háromdimenziós koordinátarendszerek.................... 29 4.2. Vektorműveletek..................................... 31 4.3. Térbeli mozgások helyvektora.............................. 33 4.4. Elmozdulásvektor..................................... 33 4.5. Átlagsebesség-vektor................................... 34 4.6. Pillanatnyi sebességvektor................................ 34 4.7. Gyorsulásvektor...................................... 35 4.8. Alkalmazás az EVEM esetére.............................. 36 5. Integrálszámítás és ferde hajítás 37 5.1. Az integrálszámítás alapjai............................... 37 5.1.1. Határozott integrál................................ 37 5.1.2. Newton–Leibniz-szabály, határozatlan integrál................ 38 5.2. Az integrálás alkalmazása a kinematikában...................... 40 2  5.2.1. Egyenesvonalú mozgások............................ 40 5.2.2. Térbeli mozgások................................. 42 5.3. Ferde hajítás........................................ 43 5.4. Pályaegyenlet....................................... 44 6. Körmozgás 45 6.1. Körmozgás leírása polárkoordináta-rendszerben................... 45 6.2. Egyenletes körmozgás (EKM).............................. 46 6.3. Centripetális gyorsulás.................................. 47 6.4. Gyorsuló körmozgás................................... 49 6.5. Körmozgások algebrai leírása.............................. 50 6.5.1. Egyenletes körmozgás.............................. 51 6.5.2. Egyenletesen változó körmozgás........................ 51 6.6. Általános görbevonalú mozgás............................. 52 6.7. Ferde hajítás........................................ 52 ii. Dinamika 7. Tömegpont dinamikájának alapjai 55 7.1. A dinamika fejlődésének története........................... 55 7.2. Newton-axiómák..................................... 56 7.3. Recept tömegpont dinamikájával kapcsolatos feladatok megoldására....... 59 8. Erőtörvények I. 60 8.1. Nehézségi erő és gravitációs erő............................ 60 8.2. Rugóerő.......................................... 61 8.3. Kényszererők....................................... 62 8.3.1. Kötélerő...................................... 62 8.3.2. Nyomóerő..................................... 63 8.4. Dinamikai feladatok megoldása kényszererők jelenlétében............. 63 8.4.1. Kúpinga...................................... 64 8.4.2. Lejtőn csúszás................................... 65 8.4.3. Kötéllel összekötött testek lecsúszása..................... 66 9. Erőtörvények II. 67 9.1. Súrlódás.......................................... 67 9.1.1. Csúszási súrlódás................................. 67 9.1.2. Tapadási súrlódás................................. 69 9.2. Közegellenállás...................................... 71 10. Munkatétel 74 10.1. A munka fogalma..................................... 74 10.2. Skaláris szorzat...................................... 75 10.3. Változó erő munkája................................... 76 10.4. A rugóerő munkája.................................... 76 10.5. Munka görbevonalú mozgások esetén......................... 77 10.6. A nehézségi erő munkája................................ 78 10.7. Munkatétel......................................... 79 3 11. Konzervatív erők 81 11.1. Konzervatív erők és potenciális energia........................ 81 11.2. Mechanikai energia különböző rendszerekben.................... 84 11.3. A munkatétel és a mechanikai energia megmaradásának alkalmazása...... 85 11.4. Energiadiagram...................................... 88 11.5. Erők meghatározása a potenciális energiából..................... 89 11.5.1. Egydimenziós mozgások............................. 89 11.5.2. Térbeli mozgások................................. 89 12. Impulzus, rakétamozgás és ütközések 91 12.1. Impulzus.......................................... 91 12.2. Impulzusmegmaradás.................................. 91 12.3. Erőlökés.......................................... 94 12.4. Rakétamozgás....................................... 96 12.5. Ütközések......................................... 98 13. Pontrendszerek dinamikája 100 13.1. Tömegközéppont..................................... 100 13.2. Mozgások leírása egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordináta-rendszerekben102 13.3. Pontrendszer mozgási energiája............................. 103 13.4. Ütközések leírása tömegközépponti rendszerben................... 105 13.4.1. Tökéletesen rugalmas ütközés......................... 105 13.4.2. Tökéletesen rugalmatlan ütközés........................ 106 13.4.3. Rugalmatlan ütközés............................... 106 14. Rezgőmozgás I. 108 14.1. Harmonikus rezgőmozgás................................ 108 14.2. A harmonikus rezgőmozgást jellemző mennyiségek................. 110 14.3. Harmonikus rezgőmozgás energiamérlege...................... 112 14.4. Referenciakörmozgás................................... 114 14.5. Harmonikus rezgőmozgés nehézségi erőtérben.................... 116 14.6. Matematikai inga..................................... 117 15. Rezgőmozgás II. 120 15.1. Folyadékkal csillapított rezgés.............................. 120 15.2. Súrlódással csillapított rezgés⋆............................. 123 15.3. Rezonancia......................................... 125 15.4. Rezgések összeadása................................... 129 15.4.1. Azonos frekvenciák................................ 129 15.4.2. Azonos amplitúdók................................ 130 16. Gyorsuló koordinátarendszerek 132 16.1. Mozgások leírása gyorsuló koordinátarendszerekben................ 132 16.2. Vektorszorzás....................................... 134 16.3. Forgó koordinátarendszerek............................... 135 16.4. Centrifugális erő...................................... 138 16.4.1. Nehézségi erő a forgó Földön.......................... 138 16.5. Corioilis-erő........................................ 140 4  16.5.1. Függőleges mozgás................................ 140 16.5.2. Vízszintes mozgás................................ 141 16.5.3. Foucault-inga................................... 142 iii. Merev testek mozgása 17. Forgatónyomaték 145 17.1. A merev test definíciója................................. 145 17.2. Forgatónyomaték..................................... 146 17.2.1. Forgatónyomaték vektor............................. 148 17.3. Erőrendszerek redukálása................................ 149 17.3.1. Nem párhuzamos erők erőrendszere...................... 149 17.3.2. Párhuzamos erők erőrendszere......................... 150 17.4. Súlypont.......................................... 153 17.4.1. A súlypont kapcsolata a tömegközépponttal................. 153 17.4.2. Példák a súlypont meghatározására...................... 154 17.5. Egyensúlyi helyzetek típusai............................... 158 17.6. Merev testek egyensúlyának feltétele.......................... 159 18. Merev testek kinematikája 163 18.1. Merev testek mozgásának kinematikai leírása.................... 163 18.1.1. Forgás rögzített tengely körül.......................... 164 18.1.2. Egyenletesen gyorsuló forgómozgás...................... 165 18.2. Merev testek síkmozgása................................. 166 18.2.1. Tisztán gördülés.................................. 167 18.3. Forgási energia...................................... 169 18.3.1. Rögzített tengely körüli forgómozgás..................... 169 18.3.2. Merev test síkmozgása.............................. 170 18.4. Tehetetlenségi nyomaték................................. 170 18.4.1. Homogén rúd tehetlenségi nyomatéka..................... 171 18.4.2. Steiner-tétel.................................... 172 18.4.3. Homogén abroncs tehetetlenségi nyomatéka⋆................ 173 18.4.4. Homogén henger tehetetlenségi nyomatéka⋆................. 174 18.4.5. Homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka⋆.................. 175 19. Merev testek dinamikája I. 177 19.1. Impulzusmomentum................................... 177 19.1.1. Tömegpont impulzusmomentuma....................... 177 19.1.2. Pontrendszer impulzusmomentuma...................... 178 19.1.3. Rögzített tengely örül forgó test impulzusmomentuma........... 180 19.2. A forgómozgás alapegyenlete.............................. 181 19.2.1. Az impulzusmomentum megmaradásának feltétle............. 182 19.2.2. A forgómozgás alapegyenletének alkalmazása................ 182 19.3. Szimmetriatengelye körül forgó merev test...................... 185 20. Merev testek dinamikája II. 187 20.1. Forgó testen végzett munka............................... 187 5  20.2. Analógia a tömegpont mozgása és a rögzített tengely körüli forgómozgás között 190 20.3. Fizikai inga......................................... 192 20.4. Merev test általános mozgása.............................. 194 20.4.1. Lejtőn tisztán gördülő test............................ 195 20.4.2. Pörgettyűk..................................... 198 iv. Gravitáció és bolygómozgás 21. Gravitáció és bolygómozgás I. 202 21.1. A Bolygómozgás és a gravitáció története....................... 202 21.2. Kepler-törvények..................................... 202 21.3. Centrális erőtér...................................... 206 21.4. Newton-féle gravitációs erőtörvény........................... 209 21.5. Cavendish-kísérlet..................................... 210 22. Gravitáció és bolygómozgás II. 213 22.1. Munkavégzés gravitációs erőtérben........................... 213 22.2. Gravitációs potenciális energia............................. 214 22.3. Mozgás gravitációs erőtérben∗............................. 215 22.3.1. Az ellipszis tulajdonságai............................ 215 22.3.2. Pályaegyenlet polárkoordináta-rendszerben................. 215 22.3.3. Gravitációs erőtérben történő mozgás leírása................. 217 22.4. Pályaalak és a mechanikai energia kapcsolata..................... 220 22.5. Keringési idő ellipszis pályán.............................. 222 22.6. Kiterjedt testek gravitációs tere............................. 224 22.6.1. Vékony gömbhéj gravitációs tere........................ 224 22.6.2. Homogén tömegeloszlású, tömör gömb gravitációs tere.......... 225 22.7. Kozmikus sebességek................................... 227 22.7.1. I. kozmikus sebesség............................... 227 22.7.2. II. kozmikus sebesség.............................. 228 22.7.3. III. kozmikus sebesség.............................. 229 6  0 BEVEZETÉS 0.1 miért fontos a mechanika kurzus? A Mechanika a testek mozgásának leírására és az azt kiváltó hatások megértésére törekszik. Segítségével olyan bonyolult jelenségek is megérthetőek, mint a bolygómozgás vagy ciklonok forgása. Az kurzus az alapoktól kezdve fokozatosan építi fel a klasszikus Mechanika logikai rendszerét, a legtöbb esetben az előadóteremben elvégzett kísérletek elemzésén keresztül. Megismerkedtek pl. a középiskolából már ismerős Newton- ill. Kepler-törvényekkel, kísérleti bizonyítékát láthatjátok a tömegvonzásnak és megértitek majd többek között a rakéták mozgását is. A Mechanika az egyetemi tanulmányaitok egyik legfontosabb „fizika” tárgya. Ennek oka, hogy számos olyan, valójában igen bonyolult fogalmat itt vezetünk be (pl. energia, impulzus, stb.), mely a fizika többi ágának megértéséhez nélkülözhetetlen. Éppen ezért az előadásnak a newtoni mechanika megismertetésén túl az is célja, hogy ezen mennyiségeket és a szükséges matematikai fogalmakat szemléletesen és alaposan mutassa be. 0.2 hogyan épül fel a kurzus? A mechanika tantárgy játékosított oktatásszervezési rendszerben zajlik. Ez azt jelenti, hogy a félév végi érdemjegy különböző feladatok elvégzése után járó pontok összegyűjtésével szerezhető meg, melyeket a szorgalmi időszakban és a vizsgaidőszakban kell teljesíteni. Az ismeretek elsajátítása nem csak a kontaktórákon (heti 2×1,5 óra előadás és 1×1,5 óra gyakorlat) történik, a tanulás fontos része az otthoni felkészülés is. A kurzus hivatalos platformja a Canvas és a Microsoft Teams, itt találhatóak meg a megosztott anyagok, illetve a feladatok is. 7  I. rész K I N E M AT I K A  1 M É R É S E K , M É R T É K E G Y S É G E K É S A Z A N YA G I P O N T K I N E M AT I K Á J Á N A K A L A P J A I Kulcsszavak A fizika tárgyköre és módszertana Mikola-csöves kísérlet SI egység- rendszer Mérési hibák Fizikai törvények korlátai Téridő a newtoni mechanikában Egyenes vonalú mozgások: elmozdulás függvény Koordi- nátarendszer Átlagsebesség Pillantnyi sebesség Megtett út 1.1 a fizika és a mechanika tárgyköre A jelen tantárgy fókuszát képező mechanika a fizika legalapvetőbb ága, ezért először érdemes tisztáznunk, mi is a fizika, mint tudományág tárgyköre és feladata. Mint ahogy a többi tudo- mányág is, a fizika is világunk valamely jelenségeinek, jelen esetben az élettelen jelenségeknek, a leírását és megértését célozza. Ahhoz, hogy ezen folyamatok megértése lehetséges legyen, először szükséges felismernünk, hogy ezek a folyamatok nem véletlenszerűen mennek végbe, hanem viszonylag kevés és egyszerű szabálynak, ún. természeti törvénynek, engedelmeskedve zajlanak le. Ezzel együtt az is nyilvánvaló, hogy bár a fizikai rendszerek alkotóelemei közötti összefüggéseket leíró szabályok egyszerűnek mondhatóak, az alkotóelemek rendszerint nagyon nagy számban vannak jelen, ami bonyolult jelenségekhez vezet. A fizika művelőiként felada- tunk az, hogy ezen komplex folyamatok között megtaláljuk azt az lehető legegyszerűbb leírási módot, amellyel a tapasztalható összetett viselkedés számunkra is (a lehető legkönnyebben) megérthetővé válik. Ilyen értelemben a fizikus mintázatokat keres az élettelen világ jelenségei között. Mivel a fizika a természet legalapvetőbb összefüggéseit vizsgálja, minden más termé- szettudomány alapját képezi. A részecskék fizikai törvényeket követő viselkedésén alapozza meg a kémiai és így a biológia által vizsgált jelenségeket, és szintén a fizikai törvényeken alapulnak azok a folyamatok (mint például a földrengések), amelyek a földtudomány tárgyát képezik. Emellett nagyrészt fizikai alapja van többek között az mérnöki tudományoknak, az orvostudománynak és az informatika hardveres ágának is. Ahogyan említettük már, a mechanika a fizika legalapvetőbb ága, aminek ismerete a fizika többi területének művelésekor is elengedhetetlen. Éppen ez motiválja azt, hogy a mechanikát már az alapszak első félévében, minden más fizikai alterület előtt tanuljuk. A mechanika a testek mozgásával és az azt kiváltó okokkal foglalkozik és az ehhez kapcsolódó alapfogalmak 9 (mint például az erő, energia, impulzus és impulzusmomentum) számos nem kifejezetten mechanikai probláma esesetén is előkerülnek. Emellett meg kell jegyeznünk, hogy a mechanika nem kifejezetten egyszerű, annak mélységében való megértése összetett matematikai eszköztár (differenciál- és integrálszámítás és vektoralgebra) ismeretét igényli. 1.2 a fizika mint kísérleti tudomány Ahogy azt már korábban említettük, a fizika a természet jelenségeivel és az ezekben rejlő mintázatok felismérésével foglalkozik. Az első lépés tehát mindig valamely jelenség felisme- rése. A megtalált mintázatok jellemzése a matematika nyelvén történik, azaz a jelenséghez valamilyen módon számokat rendelünk, ezt nevezzük mérésnek. Az így kapott számok között matematikai összefüggéseket fedezhetünk fel, ezeket hívjuk fizikai elméleteknek. Ezek az elméletek önmagukban nem bizonyíthatóak, és általában korlátozott az érvényességi körük. Érvényességüket pusztán a kísérletek igazolják. A kísérletek során kontrollált körülmények között és reprodukálható módon vizsgáljuk a releváns természeti jelenséget, és a kísérletek végkimenetele megerősítheti vagy megcáfolhatja az elmélet alkalmazhatóságát. Fontos érte- nünk, hogy az elmélet „matematikai szépsége” másodlagos, és validitása attól függ, hogy összhangban van-e a kísérletek során tapasztaltakkal. Amennyiben a kísérletek megcáfolják a felállított matematikai modell alkalmazhatóságát, az elmélet módosításra szorul. A fizika és a fizikai mérések működését demonstrálhatjuk egy az ún. Mikola-csővel elvégezhe- tő kísérlet segítségével. A Mikola-cső egy folyadékkal töltött cső, amely folyadékban buborék található. A buborék láthatósága érdekében az alkalmazott folyadék színes vagy színezett. Ha a cső nem vízszintes állásban van, a buborék mozgásba jön, és a tapasztalat szerint ez a mozgás egyenletes. Ahhoz, hogy a látszólagos egyenletességet igazoljuk, először számokat kell rendelnünk a jelenséghez (hely, idő), és az egyenletességet a matematika nyelvén tudjuk megfo- galmazni. A mérések során valamely fizikai mennyiségek (például távolság, idő) meghatározása a cél, amelyekhez jól definiált mérési eljárásnak kell tartoznia. A fizikai mennyiségeket egy mérőszám és egy mértékegység párosával jellemezzük. A Mikola-csöves kísérlet közben adott időpillanatokban feljegyezzük az eltelt időt és buborék aktuális pozícióját. A kísérlet többszöri elvégzése esetén azt tapasztaljuk, hogy a buborék poziciója lineárisan változik időben, tehát formálisan x ( t ) = v · t + x0 , (1.1) ahol x (t) a buborék pozíciója a t időpillanatban, x0 a buborék pozíciója a mérés kezdetén (amikor az eltelt idő t = 0 s) és v egy konstans, amely pont a buborék sebessége. Ez az összefüggés úgy állapítható meg grafikusan, hogy a mérési adatpontjainkat az x − t grafikonon ábrázolva azok jó közelítéssel egy egyenesre illeszkednek. Fontos megjegyeznünk, hogy a mérés során mindig fellép mérési hiba, ami származhat például a leolvasás pontatlanságából vagy a mérési eszközünk tökéletlenségéből. Tehát a gyakorlatban a mérési pontjaink várhatóan nem illeszkednek tökéletesen egy egyenesre, hanem akörül szórva helyezkednek el. Ezt tapasztalva felmerül a kérdés, hogy ez mindig így történik-e, mi a tapasztalt jelenség érvé- nyességi köre. Az ezzel kapcsolatos következtetések levonásához kontrollált és reprodukálható módon kell a fizikai méréseket kell elvégezni és megismételni. Megállapítható, ha Mikola-csővet azonos szögbe döntjük, akkor, a mérési hibát leszámítva, a buborék mindig ugyanúgy mozog, 10  tehát a jelenség valóban egy megfigyelt mintázat, azaz egy egyszerű viselkedés bonyolult világunkban. Megállapítható az is, hogy a felállított elméletnek vannak korlátai, pl. bizonyos csőkeresztmetszet alatt a buborék már egyáltalán nem fog mozogni. 1.3 si mértékegységrendszer A fent bemutatott Mikola-csöves kísérlet – és minden más kísérlet – esetén, a mért mennyi- ségeket a következő módon reprezentáljuk. A mennyiség nagyságát egy ismert egységhez (mértékegységhez) viszonyítjuk. A mért mennyiség és az egység hányadosa a mérőszám. Ezt nevezzük egység alapú paradigmának. A tudományban jelenleg bevett mértékegységrendszer az SI-mértékegységrendszer1. A rendszer hét alapegységen alapul, amelyek kombinálásával származtatott egységek hozhatók létre. A alapegyeségeket az 1.1. táblázat foglalja össze. A táblázatban azt is láthatjuk, hogy a legtöbb alapmennyiséghez tartozó mértékegység fizikai állandók alapján van definiálva, bár korábban erre a célre etalonokat használtak. mennyiség mértékegység mértékegység jele definiáló fizikai állandó a 133 Cs két energiaszintje közötti idő másodperc s átmenethez tartozó frekvencia hosszúság méter m A fény vákuumbeli sebessége tömeg kilogramm kg Planck-állandó áramerősség amper A elemi töltés nagysága hőmérséklet kelvin K Boltzmann-állandó anyagmennyiség mól mol Avogadro-állandó Egy adott teljesítményű és fényerősség kandela cd sugárerősségű monokromatikus fényforrás féényerőssége 1.1. táblázat. SI alapmennyiségek. Az alapmennyiségek definíciója fizikai állandókon és esetlegesen a táblázatban felettük szereplő alapmennyiségek definícióján alapul. Rögzített mértékegységek mellett az előforduló fizikai mennyiségek mérőszáma nagyon nagy illetve nagyon kicsi is lehet. Gondoljunk arra, hogy ugyanúgy méterrel kifejezve például galaxisok távolságát vagy atomok méretét nagyon különböző nagyságrendű mérőszámokra lenne szükség. Ez motiválja prefixumok (előtagok) bevezetését. Egy prefixummal ellátott mér- tékegység nagysága annak (a prefixumtól függő mértékben) számszorosára változik. Például, a kilométerben a kilo előtag egy ezerszereset szorzóval ekvivalens: 1 km = 1000 m. A leg- gyakoribb prefixumokat az 1.2. táblázatban tüntettük fel. Fontos, hogy a prefixumok nem halmozhatóak, tehát például a mega előtag nem helyettesíthető a „kilokilo” kombinációval. 1 A rövidítés a francia Système International d’Unités elnevezésen alapul, melynek jelentése Nemzetközi Mértékegy- ségrendszer, amelyet 1960-ban fogadta el a XXI. Általános Súly- és Mértékügyi Konferencia. 11  előtag jele szorzó tera- T 1012 giga- G 109 mega- M 106 kilo- k 103 hekto- h 102 deka- dk 101 deci- d 10−1 centi- c 10−2 milli- m 10−3 mikro- µ 10−6 nano- n 10−9 piko- p 10−12 1.2. táblázat. A leggyakoribb prefixumok. Mindig szem előtt kell tartanunk, hogy összevetnünk csak azonos dimenziójú (azonos mértékegységgel leírható) mennyiségeket értelmes, tehát példuál két távolság összehasonlítható, de egy tömeg és egy távolság viszonylatában nincs értelme arról beszélnünk, hogy melyik nagyobb a másiknál. Ez az egyenletek szintjén azt jelenti, hogy egy egyenlet két oldalán szereplő mennyiségnek azonos dimenziójúnak (mértékegységűnek) kell lennie. Hasonló megkötés, hogy függvények (mint a szinusz vagy az exponenciális függvény) argumentumában dimenziótlan (mértékegység nélküli) mennyiségnek kell szerepelnie. 12 1.4 kinematika A mechanikával való megismerkedést a kinematika tárgyalásával kezdjük. A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik, de nem terjed ki a mozgást kiváltó okok vizsgálatára. A következőkben egy rendkívül egyszerű mozgáscsoport, az egyenes vonalú mozgások példáján mutatjuk be a kinematika működését. 1.5 egyenes vonalú mozgások A kinematika feladatát viszonylag egyszerű célra tudjuk lefordítani: azt szeretnénk megmon- dani, hogy adott időpillanatban hol tartózkodik a vizsgált test. Ennek matematikai leírásához egy ún. koordinátarendszert kell definiálnunk, mely jelen esetben egy egyenes, mely a test moz- gási vonalának (pályájának) felel meg. Ezen kívül meg kell adnunk egy viszonyítási pontot (az ún. origót) az egyenesen és az idő kezdőpontját (ahol az idő nulla). Emellett le kell rögzítenünk, hogy a térbeli pozíciót jellemző koordináta az egyenes mentén melyik irányba nő és melyikbe csökken. A newtoni mechanika keretein belül az összetettebb (nem egyenesvonalú) mozgások leírása is hasonlóan történik. Ahogy azt a későbbiekben látni fogjuk, ezen esetekben azonban nem elég egyetlen koordináta a test pozíciójának jellemzésére. Amennyiben a vizsgált test pozícióját (x) időben (t) nyomon tudjuk követni, a mozgást le tudjuk írni egy x (t) fügvénnyel, amelyet elmozdulásfüggvénynek nevezünk. Ezt ábrázolva egyből pár egyszerű megállapítás megtehető. Ehhez tekintsük az 1.1. ábrán látható példát. Abból, hogy a függvény felfelé vagy lefelé halad, következtethetünk a mozgás irányára. Előbbi esetben pozitív irányba, utóbbi esetben negatív irányba mozog a test. A meredekebb függvényszakaszok gyorsabb, a laposabbak lassabb mozgáshoz tartoznak. Amikor a függvény vízszintes, a test áll. A mozgás jellemzéséhez bevezetjük a megtett utat, ami a (a vizsgált időtartam alatt) „súrolt” vonalhosszúság a mozgás során. A súrolt ponthalmazt a test pályájának nevezzük. A megtett út értelemszerűen csak nemnegatív lehet. Az elmozdulás t1 és t2 idő között ∆x = x (t2 ) − x (t1 ). Definíciója alapján ez a mennyiség előjeles, azaz lehet negatív is. Ahogy a későbbiekben tárgyaljuk majd, többdimenziós mozgások esetén az elmozdulás nem egyszerűen előjes mennyiség, hanem vektormennyiség. 13  x lass a hal n ad ha san lad or gy áll áll áll pozitív negatív t irányba irányba halad halad 1.1. ábra. Egy egyenes vonalú mozgás pozíció-idő diagramja és a mozgás értelmezése. Ahogy már megállapítottuk, az x (t) elmozdulásfüggvény megadja a test helyzetét az idő függvényében. Emellett a test sebessége, amelyet helyváltoztatás rátájaként határozunk meg, is kódolva van a függvényben. Elsőként az átlagsebességről ejtünk szót, mely egy adott időinter- vallumra vonatkozó mozgást jellemez. Erre a mennyiségre két különböző meghatározást is adhatunk: 1. Az egyik definíció, amit átlagos sebesség nagyságnak is nevezhetnénk, a következőképpen van megadva: s vátl = , (1.2) ∆t ahol s a megtett út és ∆t az eltelt idő. Az átlagsebesség ezek alapján nyilvánvalóan nem- negatív. Ez a definíció lényegében megegyezik a hézköznapi átlagsebesség fogalmunkkal. 2. A másik meghatározás, amire mostantól átlagsebességként fogunk hivatkozni, hiszen a fizikában elsősorban ezt fogjuk használni, egyenes vonalú mozgás esetén az alábbi alakot ölti: ∆x x ( t2 ) − x ( t1 ) v ( t1 , t2 ) = = ( t1 < t2 ). (1.3) ∆t t2 − t1 Nagyon fontos kiemelni, hogy ez a mennyiség előjeles és ezt fogjuk a későbbiekben vektorként általánosítnai több dimenzióra. Fontos különbség a két definíció között, hogy a második esetben ha a kezdő és a végpont megegyezik, akkor az átlagsebesség zérus lesz még akkor is, ha közben történt elmozdulás. Az első esetben ha mozgás történik, akkor az átlagsebesség pozitív lesz. Amennyiben egyre kisebb időintervallumra határozzuk meg az átlagsebességet, akkor egyre részletesebb képunk lesz a test mozgásáról. Az intervallum ∆t hosszával nullához tartva kapjuk a pillanatnyi sebességet: ∆x x (t + ∆t) − x (t) v(t) = lim = v(t, t + ∆t) = lim. (1.4) ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t 14  x v Δx Δt t t+Δt t+Δt t+Δt t 1.2. ábra. A pillanatnyi v sebesség az x (t) függvényhez húzott érintő meredekségével egyezik meg. A határérték képzését a sörétülő szürke szakaszokkal jellemzett átlagsebességek mutatják. Ahogyan azt az 1.2. ábra is szemlélteti, mivel a t1 és t2 időpontok közötti átlagsebesség az x (t1 ) és x (t2 ) pontokat összekötő egyenes meredeksége, a pillanatnyi sebesség az x (t) görbéhez húzott érintő meredekségével egyezik meg. A gyakorlatban pillanatnyi sebességet nem tudunk mérni. A gépkocsik sebességjelzője is nagyon rövid időtartamra vonatkozó átlagsebességet mutat. A ∆x ∆t hányadost differenciahányadosnak, ennek határértékét a ∆t → 0 esetben differenciálhányadosnak nevezzük. A fenti differenciálhányadást jelölhetjük a következő módokon: ∆x dx v(t) = lim = = ẋ (t). (1.5) ∆t→0 ∆t dt Az ẋ (t) jelölés specikifikusan akkor használható, ha a differenciálhányados nevezőjében az idő szerepel. A differenciálhányados jelölésének általános szabályairól a későbbiekben még lesz szó. Egy példán keresztül nézzük meg a gyakorlatban hogyan határozható meg a pillanatnyi sebesség ismert (x (t) függvénnyel megadott) egyenes vonalú mozgás esetén. A test helyét leíró függvény példánkban legyen x (t) = kt2 , (1.6) ahol k egy konstans2. Ekkor az átlagsebesség t1 és t2 időpontok között kt22 − kt21 (t + t2 )(t2 − t1 ) v ( t1 , t2 ) = =k 1 = k ( t1 + t2 ). (1.7) t2 − t1 t2 − t1 A pillanatnyi sebesség t időpillanatban tehát v(t) = lim v(t, t + ∆t) = lim k (2t + ∆t) = 2kt. (1.8) ∆t→0 ∆t→0 2 Hogy x valóban hosszdimenziójú legyen, a k mennyiségnek értelemszerűen m/s2 mértékegységűnek kell lennie. 15  2 A D I F F E R E N C I Á L S Z Á M Í TÁ S A L A P J A I Kulcsszavak Különbségi hányados Differenciálhányados Ismert függvények derivált- ja Deriválási szabályok 2.1 differenciálszámítás Sok esetben fizikai mennyiségek valamely más mennyiség (vagy mennyiségek) szerinti változási gyorsasága is nagy jelentőséggel bír, gyakran használjuk. Jó példa erre a korábban látott pillanatnyi sebesség, ami a test pozíciójának (idő szerinti) változási gyorsaságát adja meg. Emellett azonban számos hasonló jellegű mennyiség lehet számunkra hasznos, ezért fontos, hogy az ilyen típusú mennyiségeket meg tudjuk határozni, azaz a pillatnyi sebesség példájánál maradva, ismert x (t) függvény esetén meg tudjuk adni a v pillanatnyi sebességet bármely időpontban – tehát meg tudjuk adni a v(t) függvényt. A matematika azon ágát, amely lehetőve teszi a változási gyorsaság típusú mennyiségek meghatározását, differenciálszámításnak nevezzük. Ennek a területnek a megalapozása Newton1 és Leibniz2 nevéhez fűződik. Differenciálszámítás segítségével meghatározhatjuk egy függvény annak változója szerinti változási gyorsaságát, vagy másképpen fogalmazva a függvény érin- tőjének meredekségét. A differenciálás (vagy deriválás) függvényhez függvényt rendel. Ha adott egy f ( x ) függvény, akkor annak deriváltja egy másik függvény, mely az alábbi módon van definiálva: df f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆f f ′ (x) = = lim = lim. (2.1) dx ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x Láthatjuk, hogy a deriváltat röviden egy vesszővel vagy a differenciálhányados kiírásával is jelölhetjük. Emlékezzünk vissza, hogy abban a speciális esetben, amikor a idő szerinti deriváltat tekintünk, a deriváltat vessző helyett ponttal szokás jelölni. A fizikai jelenségek matematikai megfogalmazása, mint látni fogjuk, lehetetlen a differenciál- számítás ismerete nélkül. Éppen ezért ebben a fejezetben ezzel a területtel ismerkedünk meg bevezető jelleggel. A legtöbb esetben egy adott függvény deriválását könnyen el tudjuk végezni az alábbi építőkövek felhasználásával: felhasználjuk egyszerű függvények ismert deriváltjait és 1 Isaac Newton (1643-1727) 2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) 16  az ún. deriválási szabályokat. Éppen ezért a következőkben néhány függvény deriváltját és a deriválási szabályokat tekintjük át. 2.2 egyszer ű függvények deriváltjai A 2.1. táblázatban összefoglaltuk néhány fontos, egyszerű függvény deriváltját. Láthatjuk ( x a )′ = ax a−1 alapján, hogy ( x )′ = 1, valamint (c)′ = 0. Ez nem meglepő, ha belegondolunk a derivált szemléletes jelentésébe: az f ( x ) = x a függvény meredeksége állandó (de nem nulla), míg konstans f függvény esetén a derivált konstans nulla, hiszen a függvény minden pontjában „vízszintes”. f (x) f ′ (x) xa ax a−1 sin x cos x cos x − sin x ex ex ax a x ln a 1 ln x x 2.1. táblázat. Néhány fontos függvény (x szerinti) deriváltja. A 2.1. táblázatban bemutatott egyszerű függvények kapcsán ki kell térnünk az Euler-féle3 számra, amely egy, a differenciálszámításban alapvető fontosságú irracionális szám. Az Euler- féle számot hagyományosan e betűvel jelöljük, és definiáló képlete 1 n   e = lim 1 + , (2.2) n→∞ n értéke pedig e ≈ 2,718. Ez, és a (2.1) definíció alapján az exponenciális függvény deriváltja h 1 ih e x+h − ex eh −1 (1 + h ) h −1 (e x )′ = lim = e x lim = e x lim = ex. (2.3) h →0 h h →0 h h →0 h Tehát azt kaptuk, hogy az exponenciális függvény deriváltja önmaga. 2.3 deriválási szabályok A 2.2. táblázat összefoglalja a fontosabb deriválási szabályokat. 3 Leonhard Euler (1707-1783) 17  deriválási szabály példa
′
′ (c · f ( x ))′ = c f ′ ( x ) 2x2 = 2 x2 = 4x
′ ( f ( x ) + g( x ))′ = f ′ ( x ) + g′ ( x ) x2 + x3 = 2x + 3x2 ( f ( x ) · g( x ))′ = f ′ ( x ) g( x ) + f ( x ) g′ ( x ) ( x2 · x3 )′ = 2x · x3 + x2 · 3x2 = 5x4 f (x) ′ f ′ ( x ) g( x )− f ( x ) g′ ( x ) sin x ′ cos2 x −(− sin2 x )   (tg x )′ = cos = cos12 x = 1 + tg2 x
g( x ) = g ( x )2 x = cos2 x √  1/2 ′ ( f [ g( x )])′ = f ′ [ g( x )] g′ ( x ) ( x 2 + a2 ) ′ = x 2 + a2 = 12 √ 21 2 · 2x = √ 2x x +a x + a2 2.2. táblázat. Deriválási szabályok példákkal. Ezen szabályok (pontosabban a táblázatban legalsó, ún. függvénykompozíciókra vagy összetett függvényekre vonatkozó szabály) és az e x deriváltjának ismeretében beláthjatjuk az ( a x )′ = a x ln a összefüggést. h i x ′  ′ ( a x )′ = eln a = e x·ln a = e x·ln a · ln a = a x · ln a (2.4) 2.4 deriválási trükkök Most vegyünk néhány olyan függvényt, amelynek a deriváltját nem tudjuk egyszerűen a deriválási szabályokra és más ismert deriváltakra visszavezetni. Ezekben az esetekben hasz- nálnunk kell egy-két apró trükköt, amelyek más függvények deriváltjainak meghatározásánál is hasznosak lehetnek még a jövőben. Tekintsük először az egyszerűnek tűnő f ( x ) = ln x természetes alapú logaritmus függvényt. Ennek deriváltját az alábbi azonosságból kiindulva határozzuk meg: eln x = x. (2.5) Mindkét oldalt deriválva az egyenlőség megmarad, tehát eln x (ln x )′ = |{z} |{z} x′ , (2.6) x 1 ahonnan átrendezéssel kapjuk, hogy 1 (ln x )′ =. (2.7) x Ugyanez ez a trükk használható az inverz szögfüggvények és az inverz hiperbolikus függvények esetén is. Ezt most az arcsin x deriváltjának példáján mutatjuk meg. Ekkor a sin (arcsin x ) = x (2.8) azonosságból indulunk ki, amelynek két oldalát deriválva x szerint kapjuk, hogy cos (arcsin x ) (arcsin x )′ = 1. (2.9) 18 Láthatjuk, hogy megjelent a meghatározandó derivált. Némi átalakítással és a trigonometrikus Pithagorasz-tétel (sin2 x + cos2 x = 1) felhasználásval kapjuk, hogy 1 1 1 (arcsin x )′ = =q =√. (2.10) cos (arcsin x ) 2 1 − x2 1 − sin (arcsin x ) Egy fokkal komplexebb feladat az f ( x ) = x x függvény deriváltjának meghatározása. Bár a függvény hasonlít az f ( x ) = a x és az f ( x ) = x a típusú függvényekre, de egyik csoportba sem tartozik. Ebben az esetben az f (x) = xx (2.11) egyenletből indulunk ki, és vesszük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát (amely a logaritmus függvény szigorúan monoton tulajdonsága miatt nem bontja fel az egyenlőséget). Ekkor kapjuk, hogy ln f ( x ) = xln x. (2.12) A bal oldalon egy függvénykompozíció, a jobb oldalon egy szorzat szerepel. A megfelelő deriválási szabályok használatával adódik, hogy f ′ (x) = 1 + ln x. (2.13) f (x) Átrendezve és f ( x ) helyére behelyettesítve végeredményül kapjuk, hogy f ′ ( x ) = x x + x x ln x. (2.14) Érdekes módon az eredmény két olyan tagból áll, amelyek az f ( x ) = a x és az f ( x ) = x a típusú függvények deriváltjaival egyeznek meg az a = x helyettesítés mellett. 19  3 EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK LEÍRÁSA Kulcsszavak Pillanatnyi sebesség Átlagos gyorsulás Pillanatnyi gyorsulás A pillanat- nyi sebesség és gyorsulás előjelnének szerepe Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás Szabadesés 3.1 pillanatnyi sebesség A differenciálszámításról tanultak alapján felismerhetjük, hogy a v pillanatnyi sebesség a test pozícióját jellemző x idő szerinti deriváltja, azaz dx v(t) = = ẋ (t). (3.1) dt Tehát, ha a mozgást jellemző x (t) függvény ismert, akkor a sebesség is megadható bármely időpillanatban deriválással1. A derivált előjele a mozgás irányát (pozitív vagy negatív) adja meg, nagysága pedig a mozgás gyorsaságát. A sebesség mértékegysége (ahogy a definíció alapján is látszik) m/s. 3.2 gyorsulás A kinematikai leírás másik fontos mennyisége a gyorsulás, amely a sebesség változási gyorsa- ságát adja meg. Adott időintervallumra (t1 és t2 között) az átlaggyorsulás ∆v v ( t2 ) − v ( t1 ) a= =. (3.2) ∆t t2 − t1 Hangsúlyozzuk, hogy az átlagsebességhez hasonlóan ez a mennyiség is előjeles egyenes vonalú mozgások esetén. A definíció alapján megállapítható, hogy gyorsulás mértékegysége m/s2. A 1 A fenti összefüggés abban az esetben is igaz, amikor az x (t) függvény nem írható le ismert függvényekkel, ám ekkor a deriváltat sem tudjuk zárt alakban megadni. 20 pillanatnyi gyorsulást az időintervallum rövidítésével a ∆t = t2 − t1 → 0 határesetben kapjuk meg. Tehát a pillanatnyi gyorsulás ∆v v(t + ∆t) − v(t) dv a(t) = lim = lim a(t, t + ∆t) = lim = = v̇(t). (3.3) ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t→0 ∆t dt Felhasználva, hogy v(t) = ẋ (t), látjuk, hogy a gyorsulás az x kétszeres deriválásával kapható (azaz az x ún. második idő szerinti deriváltja). Ezt a következő módokon szokás jelölni: d2 x a(t) = = ẍ (t). (3.4) dt2 Hasonlóképpen tetszőleges f ( x ) függvény második (nem időváltozó szerinti) deriváltját jelöl- hetjük f ′′ ( x ) módon. Bár a hétköznapi szóhasználatban a sebesség nagyságának növekedésére a „gyorsulás” és a sebesség nagyságának csökkenésére a „lassulás” kifejezéseket alkalmazzuk, fizikai értelemben a test gyorsul, ha a sebessége (nagysága és/vagy iránya) változik. Egyenes vonalú mozgás esetén akkor beszélhetünk hétköznapi értelemben vett „gyorsulásról”, ha a gyorsulás és a sebesség előjele megegyezik (azaz, v, a > 0 vagy v, a < 0). Erre példa a 3.1. ábrán látható mozgás I és III szakasza. Amennyiben a gyorsulás és a sebesség előjele ellentétes, a test „lassul”, ahogy ez a mozgás II és IV szakaszában is történik. Azt is megállapíthatjuk az ábra alapján, hogy amikor a > 0, az x (t) függvény konvex, ha pedig a < 0, az x (t) függvény konkáv. 21  x t v t a I II III IV t 3.1. ábra. Egy egyenes vonalú mozgást jellemző x (t), v(t) és a(t) függvények. 22  3.3 egyenes vonalú egyenletes mozgás (evem) A legegyszerűbb mozgás, amit egy pontszerű test végezhet (eltekintve attól az esettől, amikor áll), az egyenes vonalú egyenletes mozgás (EVEM). Ahogy a név is utal rá, ebben az esetben a test egyenes vonal mentén állandó sebességgel (azaz egyenletesen) halad. Ebből megállapíthatjuk, hogy EVEM közben a test nem gyorsul, illetve az átlagsebesség mindig megegyezik a pillanatnyi sebességgel. Ezeknek megfelelően egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test mozgását az alábbi módon írhatjuk le2 x ( t ) = v0 t + x0 , (3.5) v(t) = ẋ (t) = v0 , (3.6) a(t) = v̇(t) = ẍ (t) = 0. (3.7) Könnyen ellenőrizhető, hogy az (3.2. ábrán grafikusan is megjelenített) egyenletek összhangban vannak az EVEM jelentésével, és valóban deriválással egymásból megkaphatóak. Az x0 és v0 konstans paraméterek, amelyek a test t = 0 kezdőpontban vett pozícióját és sebességét adják meg, azaz formálisan x0 = x (0), (3.8) v0 = v (0). (3.9) Értelemszerűen [ x0 ] = m és [v0 ] = m/s. x v0 x0 t v v0 a t t 3.2. ábra. Egy EVEM-t végző test x (t), v(t) és a(t) grafikonjai. 2 Megjegyezzük, hogy az alábbi képletekben x, v, ẋ, a, v̇ és ẍ függvények, t változó végül x0 és v0 ismeretlen értékű (előjeles) konstansok. 23 3.4 egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás (evevm) Egy szintén egyszerű és gyakran előforduló mozgásforma az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás (EVEVM). Ezen mozgás során a test egyenes vonal mentén állandó gyorsulással halad. Egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test mozgását az alábbi módon írhatjuk le 1 2 x (t) = a0 t + v0 t + x0 , (3.10) 2 v(t) = ẋ (t) = a0 t + v0 , (3.11) a(t) = v̇(t) = ẍ (t) = a0. (3.12) Ismét könnyen ellenőrizhetjük, hogy az egyenletek összhangban vannak az EVEVM jelentésével, és valóban deriválással egymásból megkaphatóak. Az x0 és v0 konstansok jelentése ugyanaz, mint az EVEM esetén, a0 pedig a test (állandó) gyorsulását adja meg. t = 0-ban tehát x (0) = x0 , (3.13) v (0) = v0 , (3.14) a (0) = a0. (3.15) Dimenzionálisan teljesül, hogy [ x0 ] = m, [v0 ] = m/s és [ a0 ] = m/s2. Vegyük észre, hogy az EVEM az EVEVM speciális esete, amikor a0 = 0, ennek pedig még specikfikusabb alesete, amikor a test áll, azaz a0 = 0 és v0 = 0. A 3.3. ábra egy olyan általános esetet mutat, amikor a0 ̸= 0 és v0 ̸= 0. Az ábra alapján azt is láthatjuk, hogy amennyiben van olyan időpillanat, amikor v = 0, akkor ott az x-nek szélsőértéke van. x x0 t v t a0 v0 a a0 t 3.3. ábra. Egy EVEVM-t végző test x (t), v(t) és a(t) grafikonjai. 24 3.5 szabadesés Azt a mozgást, amelyet egy kezdősebesség nélkül elengedett test pusztán a gravitáció hatására végez, szabadesésnek nevezzük. A szabadesés az EVEVM egy speciális esete, ahol a kezdősebesség zérus. A gyorsulás állandóságának okát később, a mozgás dinamikai tár- gyalása során fogjuk majd megérteni. Amennyiben a koordinátarendszerünk origóját a test kezdőpillanatbeli helyéhez rögzítjük és a koordináták lefelé növekszenek, akkor a0 2 x (t) = t. (3.16) 2 Amennyiben megvizsgáljuk, egy szabadon eső test által azonos (de t = 0-tól kezdődő) idő- közönként megtett utakat, érdekes dolgot tapasztalunk. A megtett utak úgy aránylanak egymáshoz mint az egymást követő páratlan egész számok. Ezt gyorsan be is láthatjuk. A időközöket ∆t-vel jelölve az n. szakasz végéig eltelt idő tn = n∆t. (3.17) Az eddig összesen megtett út a0 2 xn = x (tn ) = n (∆t)2 , (3.18) 2 ahonnan egy szakasz alatt megtett út a0 h i a0 sn+1 = xn+1 − xn = (∆t)2 (n + 1)2 − n2 = (∆t)2 (2n + 1) = s1 (2n + 1), (3.19) 2 2 azaz az egymást követő időintervallumok alatt megtett utak s1 , 3s1 , 5s1 ,..., tehát valóban úgy aránylanak egymáshoz mint az egymást követő páratlan egész számok, ami könnyen belátható geometriai megfontolások alapján is (lásd 3.4. ábra). 4 7 3 5 2 3 1 1 1 2 3 4 3.4. ábra. Az egymást követő négyzetszámok és a páratlan egészek közötti kapcsolat geometriai szemlél- tetése. Ez az összefüggés szemléltethető kísérletileg is, például olyan ejtőzsinórral, amelyen nehe- zékek vannak rögzítve úgy, hogy a szomszédos súlyok távolsága d, 3d, 5d,... Egy ilyen zsínort közvetlenül egy kemény felület felett leejtve egyenletes koppanásokat tapasztalunk a nehezékek egymás utáni becsapódásának következtében. 25  Emellett a szabadon eső testek kísérleti vizsgálata lehetőséget nyújt a g gravitációs gyorsulás meghatározására. Ilyen kísérlet például az ún. Párkányi-féle ejtőgéppel végezhető el, amely több egymást követő szabadesés idejének átlagolásával lényegesen csökkenti mérésünk relatív hibáját. A h magasságból leejtett, g gyorsulással szabadon eső testekre teljesül, hogy g 2 h= T , (3.20) 2 ahol T az esési idő. Innen átrendezéssel kapjuk, hogy 2h g= , (3.21) T2 amire g ≈ 9,81 m s2 körüli értéket kapunk. A gyakorlatban természetesen a mérésünk pontatlan- sága és a közegellenállás hatása miatt gyakran ettől kissé eltérő értéket mérünk. 26  4 SÍKBELI ÉS TÉRBELI MOZGÁSOK LEÍRÁSA Kulcsszavak Dimenziószám fogalma Helyvektor Kétdimenziós koordinátarendsze- rek Háromdimenziós koordinátarendszerek Vektorműveletek Pálya Elmozdulásvektor Sebességvektor Gyorsulásvektor A sebesség geomet- riai értelmezése 4.1 koordinátarendszerek két- és háromdimenzióban Az eddigiekben csak egyenes (vonalmenti) mozgásokat vizsgáltunk, ahol a test pozícióját egyetlen számmal tudtuk reprezentálni. Síkban vagy térben végzett mozgások esetén azonban a test pozíciójának leírása ennél összetettebb, több számmal (koordinátával) adható meg a test helyzete. Azt a számot, ahány koordináta szükséges a pozíció megadásához, dimenziószámnak nevezzük. 4.1.1 Kétdimenziós koordinátarendszerek Síkbeli mozgások esetén, két adatra van szükségünk egy tömegpont pozíciójának megadásá- hoz. Ehhez először definiálnunk kell egy koordinátarendszert, ahol két koordináta rendszer jellemzi egy pont helyét. Az egyik legkézenfekvőbb megoldás a középiskolában is gyakran használt Descartes-féle koordinátarendszer1 vagy derékszögű koordinátarendszer, amelynek két derékszögű tengelye van, és az ezen pont ezen tengelyekre vett vetülete szolgáltatja a két koordinátát. Egy alternatív lehetőség a síkbeli polárkoordinátarendszer használata, ahol az két koordináta a pont origótól vett távolsága és egy szög. A két koordinátarendszer vázlatos rajza a koordináták jelentésével a 4.1. ábrán látható. 1 René Descartes (1596-1650) 27  Descartes-féle kr. Síkbeli polárkr. y y y P P r φ x x x 4.1. ábra. Kétdimenziós koordináta rendszerek. A kék kör az origót, a piros a vizsgált P pontot jelöli, amelyet a szintén pirossal jelölt koordinátákkal írunk le. Az ábra alapján észrevehetjük, hogy a polár→Descartes irányba könnyen átszámíthatók a koordináták az x = r cos φ, (4.1) y = r sin φ (4.2) egyenletekkel, amelyek alapján legyárthatjuk az ellentétes irányba történő konvertálás egyenle- teit: q r = x 2 + y2 , (4.3) y tg φ =. (4.4) x Egy pont pozícióját jellemző koordinátákat szokás vektorba, az ún. helyvektorba (melynek bevett jelölése r) rendezni a következő módon:     x (t) r (t) cos φ(t) r (t) = =. (4.5) y(t) r (t) sin φ(t) 28  4.1.2 Háromdimenziós koordinátarendszerek Térbeli mozgások leírásához háromdimenziós koordinátarendszerekre van szükségünk, amelyekben három koordináta jellemzi a test pozícióját. A Descartes-féle derékszögű koordiná- tarendszer könnyen általonsítható háromdimenzióra. A koordinátarendszer három (x, y és z) tengelyét konvenció szerint jobbsodrású2 módon szokás definiálni. A síkbeli polárkoordináta- rendszer általánosítása többféle módon történhet: az ún. hengerkoordináta-rendszer esetén egy radiális, egy a tengely irányú és egy szögkoordinátával jellemezzük egy pont pozícióját, míg a gömbi polárkoordináta-rendszer egy radiális és két szögkoordinátából áll. A három koordináta- rendszer vázlatos rajza és a koordináták jelentése a 4.2. ábrán látható. z Descartes-féle kr. z Hengerkr. z Gömbi polárkr. z z P P ζ P r x φ φ y y y y ϱ x x x 4.2. ábra. Háromdimenziós koordináta rendszerek. A kék kör az origót, a piros a vizsgált P pontot jelöli, amelyek a szintén pirossal jelölt koordinátákkal írunk le. A Descartes-féle és hengerkoordináta-rendszerek közötti konverzió megadó képletek a következők: x = ρ cos φ, (4.6) y = ρ sin φ, (4.7) z = z, (4.8) y tg φ = , (4.9) x q ρ= x 2 + y2. (4.10) 2 Jobb kezünk kinyújtott hüvelyk, mutató és középső ujjai olyan relatív pozícióban állnak, mint az x, y és z tengelyek. 29  A Descartes-féle és gömbi polárkoordináta-rendszerek között pedig az x = r sin ϑ cos φ, (4.11) y = r sin ϑ sin φ, (4.12) z = r cos ϑ, (4.13) y tg φ = , (4.14) x p x 2 + y2 tg ϑ = , (4.15) q z r= x 2 + y2 + z2 (4.16) összefüggések teremtenek kapcsolatot. A bemutatott két- és háromdimenziós koordinátarendszerek ekvivalens módon alkalmasak a pozíciók leírására két illetve három dimenzióban3. Általában azonban nem mindegy, me- lyik koordinátarendszert alkalmazzuk, mert az adott probléma lényegesen könnyebb illetve nehezebb lehet különböző koordinátarendszerek használata esetén. Ennél fogva mindig fontos, hogy átgondoljuk, mely választás teszi számunkra a lehető legegyszerűbben kezelhetőve a megoldandó feladatot 3 Megjegyezzük, hogy számos további koordinátarendszer létezik, de ezeket most nem tárgyaljuk. 30  4.2 vektorm űveletek Ahogy korábban láttuk, tömegpontok helyének megadására vektorokat szokás használni, de ahogy a későbbiekben még tanulni fogjuk, a fizikában számos más vektormennyiség is gyakran előkerül. Éppen ezért fontos, hogy a vektorokkal végzett műveleteket rutinszerűen tudjuk végezni. Térbeli (háromdimenziós) és síkbeli (kétdimenziós) vektorokat rendre egy számhármassal illetve egy számkettessel lehet reprezentálni. Formálisan4 :   ax a =  ay  (3D), (4.17) az   ax a= (2D). (4.18) ay A vektorok olyan mennyiségek, amelyeknek nem csak nagysága, hanem nagysága és iránya is van. Komponensek helyett egy térbeli vektor megadható például a hosszával és két szöggel, egy síkbeli vektor pedig a nagyságával és egy szöggel. Ahogyan azt az egyenes vonalú mozgások esetében már láttuk, egydimenzióban a vektor egyszerűen egy előjeles (tehát iránnyal rendel- kező) számmá fajul. A vektor hosszát a Pithagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni, azaz q a ≡ | a| = a2x + a2y + a2z (3D), (4.19) q a ≡ | a| = a2x + a2y (2D), (4.20) a ≡ | a| = | a x | (1D). (4.21) Az alábbi 4.1. táblázatban összefoglalunk néhány alapvető vektorműveletet és azok geometriai illetve algebrai módszerrel történő megközelítését. 4 a ebben a részben egy általános vektort jelöl és nem feltétlenül a gyorsulást. 31  vektorművelet geometria módszer algebrai módszer c⋅a     ax ca x számmal szorzás a c · a = c ·  ay  =  cay  az caz a       ax bx a x + bx a+b összeadás a + b =  a y  +  by  =  a y + by  b az bz a z + bz       a ax bx a x − bx kivonás a-b a − b =  a y  −  by  =  a y − by  az bz a z − bz b 4.1. táblázat. Elemi vektorműveletek geometriai és algebrai értelmezése. 32 4.3 térbeli mozgások helyvektora Egy test t időpontban vett helyét adjuk meg az r (t) helyvektorral. Ekkor általános (térbeli) mozgás esetén   x (t) r (t) =  y(t)  , (4.22) z(t) míg síkbeli mozgás leírásakor elegndő pusztán az x (t) és y(t) koordináták használata, de a továbbiakban az általános (térbeli) esetet fogjuk bemutatni. Mint látható, x, y és z valójában a t idő függvényei, hiszen a mozgás során a koordináták változ(hat)nak. Megjegyezzük, hogy a helyvektor esetében nem szokás az általános konvencióból következő r x (t), ry (t) és rz (t) jelölt használni a vektor koordinátáira. Azt a térgörbét, amelyen az r (t) végigfut, a test pályájának nevezzük. Fontos azonban felismernünk, hogy a pálya ismerete nem írja le a mozgást teljes egészében, hiszen az időbeliségről nem tartalmaz információt. 4.4 elmozdulásvektor A mozgás során t1 és t2 közötti intervallumában létrejött elmozdulás ∆r = r (t2 ) − r (t1 ) = r2 − r1 , (4.23) ahol bevezettük az rn = r (tn ) jelölést. Az elmozdulásvektor jelentését és annak geometriai meghatározási módszerét a 4.3. ábra szemlélteti. Az elmozdulásvektor algebrai úton is könnyen meghatározható az alábbi módon: ∆x         x ( t2 ) x ( t1 ) x ( t2 ) − x ( t1 ) ∆r =  ∆y  = r (t2 ) − r (t1 ) =  y(t2 )  −  y(t1 )  =  y(t2 ) − y(t1 )  (4.24) ∆z z ( t2 ) z ( t1 ) z ( t2 ) − z ( t1 ) A geometriai és az algebrai megközelítés egyaránt rámutat, hogy az elmozdulásvektor független a koordinátarendszerünk origójának megválasztásától. Δr pá lya r2 r1 4.3. ábra. Az elmozdulásvektor jelentése. 33 4.5 átlagsebesség-vektor Az elmozdulásvektor bevezetése, az ’D esettel analóg módon, lehetővé teszi az áltagsebesség- vektor definiálását: ∆r r ( t2 ) − r ( t1 ) vátl = = , (4.25) ∆t t2 − t1 ahol bevezettük a ∆t = t2 − t1 jelölést. Az átlagsebességvektor iránya az elmozdulás irányát adja meg, nagysága pedig azt a sebességet, amellyel egyenletesen haladva ∆t alatt éppen ∆r (= |∆r |) lenne az elmozdulásunk. Értelemszerűen, ha mozgás végére a test visszatér eredeti pozíciójába, akkor a teljes mozgásra vonatkoztatott átlagsebesség-vektor vátl = 0. 4.6 pillanatnyi sebességvektor Ahogy azt már az egyenes vonalú mozgások esetén láttuk, a pillanatnyi sebességet az időin- tervallum ∆t hosszának ∆t → 0 határesetében kaphatjuk meg az átlagsebességből. Formálisan: r (t + ∆t) − r (t) v(t) = lim vátl (t, t + ∆t) = lim. (4.26) ∆t→0 ∆t→0 ∆t A definíciót geometriai módon értelmezve láthatjuk, hogy a pillanatnyi sebességet jellemző vektor mindig a pálya érintőjének irányába mutat (lásd 4.4. ábra) nagysága pedig a pillanatnyi sebesség nagyságát adja meg. A pillanatnyi sebesség vektorának a (4.26) egyenlet tehát egy természetes definíciója, hiszen ha a kapott vektor nem érintő irányba mutatna, akkor az a mozgás pályájáról „letérő” irányba mutatna, így nem jellemezné intuitív módon a pillanatnyi sebességet. v Δr pá lya 4.4. ábra. (Bal): A pillanatnyi sebesség vektorának közelítése az vizsgált időintervallum rövidítésével. A nyilak a ∆r vektorokat jelölik, a sebesség határértékképzésénél még ezt le kell osztani az egyre rövidülő ∆t intervallumokkal. Ez utóbbi művelet azonban csak a vektor hosszát változtatja meg, annak irányát nem. (Jobb): A pillanatnyi sebességvektor mindig a pálya érintőjének irányába mutat. 34  Az (4.26) egyeneletet tovább alakítva a pillanatnyi sebességvektor az alábbi módon határoz- ható meg: x (t + ∆t)     x (t) r (t + ∆t) − r (t) 1  v(t) = lim = lim y(t + ∆t)  −  y(t)  = ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t z(t + ∆t) z(t)  x (t+∆t)− x (t)  (4.27) x (t + ∆t) − x (t)     ∆t ẋ (t) 1  = lim y(t + ∆t) − y(t)  = lim  y(t+∆t∆t)−y(t)  =  ẏ(t) .   ∆t→0 ∆t ∆t→0 z(t + ∆t) − z(t) z(t+∆t)−z(t) ż(t) ∆t Azt kaptuk tehát, hogy a sebességvektor meghatározásához elegendő az x (t), y(t) és z(t) függvényeket egymástól függetlenül deriválni, és a kapott fügvvényekből előállítható a v(t) vektor. Ez utóbbi további egyszerűsített jelölései: dr v(t) = ṙ (t) =. (4.28) dt A sebességvektor nagysága a Pithagorasz-tétel alapján q q v(t) = |v(t)| = v2x (t) + v2y (t) + v2z (t) = ẋ (t)2 + ẏ(t)2 + ż(t)2 (4.29) 4.7 gyorsulásvektor A gyorsulás bevezetése formálisan nagyon hasonlóan történik a sebességvektor-változás alapján, mint ahogy a sebességet definiáltuk az elmozdulásvektor (a helyvektor megváltozása) felhasználásával. Az átlaggyorsulás-vektor definíciója (a [t1 , t2 ] intervallumra) ∆v v ( t2 ) − v ( t1 ) aátl = = , (4.30) ∆t t2 − t1 amelyből a ∆t = t2 − t1 → 0 limeszben az a pillanatnyi gyorsulásvektort kapjuk:     v̇ x (t) ẍ (t) ∆v v(t + ∆r ) − v(t) a(t) = lim = lim =  v̇y (t)  =  ÿ(t)  = ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t v̇z (t) z̈(t) (4.31) dv d2 r = v̇(t) = r̈ (t) = = 2. dt dt Tehát a helyvektor komponensenkénti idő szerinti deriválása a sebességvektor, a második derivált pedig a gyorsulásvektort adja. Látni fogjuk, hogy a fizika dinamikai alaptörvénye (Newton II. tövénye) alapján ennél magasabb deriváltakra nem lesz szükségünk5. 5 Ennek ellenére magasabb deriváltaknak is van konvencionális angol nyelvű elnevezése. A harmad-, negyed-, ötöd- és hatodrendű deriváltak elnevezései rendre jerk, snap, crackle és pop. A magyar szaknyelvben a harmadrendű deriváltát rándulásnak szokás nevezni, a magasabb deriváltaknak azonban nincs általánosan bevett neve. 35 4.8 alkalmazás az evem esetére A most alkalmazzuk egy egyszerű mozgás, az EVEM esetére! A t = 0 időpillanatben legyen a test helye r0 és sebessége bmv0 , ahol     x0 v0x r0 =  y0  és v0 =  v0y . (4.32) z0 v0z Ekkor a test pozíciója tetszőleges t időpillanatban   x0 + v0x t r (t) = r0 + v0 t =  y0 + v0y t . (4.33) z0 + v0z t Innen deriválással a sebességre kapjuk, hogy   v0x v(t) = ṙ (t) =  v0y  = v0. (4.34) v0z A gyorsulás pedig   0 a(t) = v̇(t) =  0  = 0. (4.35) 0 36  5 I N T E G R Á L S Z Á M Í TÁ S É S F E R D E H A J Í TÁ S Kulcsszavak Határozott integrál Határozatlan integrál Newton–Leibniz-tétel Se- besség és elmozdulás meghatározása integrálszámítással Ferde hajítás elemzése Pályaegyenlet A szabad paraméterek jelentése 5.1 az integrálszámítás alapjai Korábban láttuk, hogy az r (t) függvényből a releváns fizikai mennyiségek idő szerinti deriválással megkaphatók d d dt dt r (t) − → v(t) − → a(t) (5.1) módon. Felmerül a kérdés, hogy az ellenkező irányba (a → v → r) is meghatározhatóak-e egymásból a mennyiségek. Ebben lesz segítségünkre az integrálszámítás, amivel lehetséges területek (illetve általános esetben térfogatok, hipertérfogatok) meghatározására. Hamarosan látni fogjuk, a megoldandó feladat hogyan kapcsolódik a területszámítás problémájához. 5.1.1 Határozott integrál Amennyiben egy f ( x ) függvény alatti (előjeles) területre vagyunk kiváncsiak valamely [ a, b] intervallumon, akkor N darab keskeny intervallumra való felosztást alkalmazva a T előjeles területet közelíthetjük N T≈ ∑ f (xi )∆xi (5.2) i =1 módon, ahol ∆xi az i. intervallum szélessége és f ( xi ) az intervallumon belül felvett függvényér- tekek közül egy tetszőleges definició szerint kiválasztott érték. A szélességeket végtelenül lecsökkentve határesetben a szumma visszaadja a területet (lásd 5.1. ábra), azaz N Z b T= lim ∑ f (xi )∆xi = ∀i ∆xi →0 i =1 a f ( x )dx, (5.3) 37  ahol az ezzel a jelöléssel bevezetett mennyiséget az f a és b közötti határozott integráljának nevezzük1. A T határozott integrálra dimenzionálisan teljesül, hogy [ T ] = [ f ][ x ]. (5.4) f(x) T=T1-T2 T1 x2 x1 T2 x 5.1. ábra. Az f függvény határozott integrálja az adott határok közötti előjeles függvény alatti területet adja meg. 5.1.2 Newton–Leibniz-szabály, határozatlan integrál A (5.3) egyenlet rámutat, hogy a függvény alatti terület egy határérték formájában megadható, azonban nem adja meg számunkra, hogyan tudjuk konkrétan meghatározni ezt a határértéket. Ehhez a Newton–Leibniz-tétel alkalmazható (melynek levezetését/bizonyítását nem tratozik ezen tárgy keretei közé), amely alapján Z x2 f ( x )dx = F ( x2 ) − F ( x1 ) = [ F ( x )] xx21 , (5.5) x1 ahol bevezettük az [ f ( x )]ba = f ( a) − f (b) jelölést és F ( x ) az f ( x ) függvény ún. primitív függvénye, azaz egy olyan (tetszőleges) függvény, melynek a deriváltja f ( x ): f ( x ) = F ′ ( x ). (5.6) Vegyük észre, hogy bár egy tetszőleges C konstanst hozzá tudunk adni a primitiv függvényhez, hiszen F ( x ) + C is kielégíti az (5.6) összefüggést. Ez azonban nem okoz problémát, mert az (5.5) egyenletben különbségképzéskor kiesik a C konstans, így az integrál értékét nem befolyásolja. Az F ( x ) + C függvényeket az f függvény határozatlan integráljának nevezzük és az alábbi módon szokás jelölni Z f ( x )dx = F ( x ) + C. (5.7) A határozatlan integrálokra vonatkozó két fontos azonosság: Z Z A · f ( x )dx = A f ( x )dx, (5.8) Z Z Z [ f ( x ) + g( x )] dx = f ( x )dx + g( x )dx, (5.9) 1 Érdekesség, hogy az integrálok meghatározását egy időben súlymérésre vezették vissza. Papírra nagy precizitással függvényeket kivágtak. Az egy kapott papírdarabok súlyát pontos mérleggel lemérve tudták a hozzájuk tartozó határozott inetgrálokat közelíteni. 38  ahol A egy x-től nem függő konstans, f és g pedig függvények. A határozott integrál meghatározásához tehát először a primitív függvény megadása szüksé- ges, annak ismeretében a Newton-Leibniz szabály alapján függvénykiértékeléésel a határozott integrál megadható. A primitív függvényeket sok esetben nem tudjuk magunk meghatározni, ezért sokszor táblázatokból kell kikeresni az ismert primitív függvényeket, vagy számítógépes programokat kell segítségül hívni2. Tekintsünk most két egyszerű példát, amelyek alapján megérthetjük, hogy lehet meghatározni integrálokat a gyakorlatban. Vegyük először az Z 2 x2 dx (5.10) 1 határozott integrált! A hozzá tartozó határozatlan integrál x3 x3 Z 2 x dx = +C ⇔ F(x) = + C. (5.11) 3 3 A határozott integrál a Newton-Leibniz szabály felhasználásával tehát 2 x3 Z 2  2 8 1 7 x dx = +C = − =. (5.12) 1 3 1 3 3 3 Hasonlóan, ha a Z π sin xdx (5.13) 0 határozott inetgrált szeretnénk meghatározni, először a határozatlan integrált kell meghatároz- nunk, amely Z sin xdx = − cos x + C (5.14) Innen Z π sin xdx = [− cos x ]0π = cos 0 − cos π = 1 − (−1) = 2. (5.15) 0 2 Az anekdota szerint azt hangsúlyozandó, hogy az integrálok tényleges elvégzése mennyire nehéz feladat például hasonlóan komplex függvények deriváltjainak meghatározásához képest, Kalmár László (1905-1976) magyar matematikus szájából hangzott el, hogy deriválni a lovát is meg tudná tanítani, de integrálni ő sem tud. 39 5.2 az integrálás alkalmazása a kinematikában Korábban említettük, hogy az integrálás módszere segítségünkre lesz abban, hogy a → v → r irányba meg tudjuk határozni a kinematikában használt mennyiségeinket egymásból. Most, hogy az integrálással már megismerkedtünk, térjünk vissza ehhez a kérdéshez, és nézzük meg, hogyan kapcsolódik az integrálás ehhez a kérdéskörhöz! Ehhez először az egyszerűség kedvéért tekinstünk egy egydimenziós, egyenes vonalú mozgást! 5.2.1 Egyenesvonalú mozgások Egy rövid ∆t időtartamra (amelyen az a gyorsulás állandónak tekinthető), a sebesség megvál- tozása ∆v = a∆t. (5.16) A mozgást sok rövid ∆t hosszúságú időintervallumra osztva a teljes sebességváltozás (egy hosszabb [t1 , t2 ] intervallumon) t2 ∆v = ∑ a(ti )∆t. (5.17) t i = t1 Láthatjuk tehát ∆t → 0 határesetben ez az összeg a gyorsulás határozott integráljához tart: t2 Z t2 ∆v = lim ∑ ∆t→0 t =t a(ti )∆t = t1 a(t)dt, (5.18) i 1 és az a(t) függvény alatti terület a sebességváltozást adja meg, ahogy az 5.2. ábra is mutatja. Hasonló módon az elmozdulás t2 Z t2 ∆x = lim ∑ ∆t→0 t =t v(ti )∆t = t1 v(t)dt. (5.19) i 1 a(t) v(t) Δv Δx t1 t2 t t1 t2 t 5.2. ábra. Az ∆v sebességváltozás és ∆x elmozdulás meghatározása integrálással. Vegyük észre, hogy míg az a deriválás a r → v → a irányba egyértelműen megadta a mennyiségeket egymásból, ez az integrálás esetén nem teljesen igaz. Az integrálás csak az elmozdulás ill. sebesség megváltozását adja meg. Ha egy adott t időpillanatbeli pozícióra 40 vagy sebességre vagyunk kíváncsiak, akkor szükségünk van a kezdőfeltételek (x (0) és v(0)) ismeretére is. Ekkor az integrálást a [0, t] intervallumra alkalmazva Z t v ( t ) = v (0) + a(t′ )dt′ , (5.20) 0 Z t x ( t ) = x (0) + v(t′ )dt′. (5.21) 0 Itt az integrálási változó t′ -vel való jelölése a t inetgrálási határtól való megkülönböztetést szolgálja. Tekintsünk most két egyszerű példát, amin alkalmazhatjuk a most tanultakat. A gyorsulás legyen a(t) = At, (5.22) A e