Grundlagen der Elektrotechnik 1 PDF

Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld Grundlagen der Elektrotechnik 1 Folien zur Vorlesung Prof. Dr. Sc. techn. Bernd Witzigmann Email: [email protected] Lehrstuhl für Optoelektronik Wintersemester 2024/25 1 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.1 Die elektrische Ladung - Phänomenologie I I Durch Reibung kann ein Material elektrisch“ werden. ” I Elektrisierte Ladungen üben Kräfte auf Körper in ihrer Umgebung aus. ! Kausalität: Kraft muss eine Ursache haben. I Ursache: Fluidum“... heute: Ladung ” Leiter: Ladungen frei beweglich Isolator: verharrende Ladung 2 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.1 Die elektrische Ladung - Phänomenologie II Ladungen besitzen Vorzeichen: +Q oder Q. Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab. Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an. 3 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.1 Die elektrische Ladung - Phänomenologie III Bohrsches Atommodell: I Atomkern: Protonen und Neutronen. Protonen werden durch Kernkraft zusammengehalten (starke Wechselwirkung). I Hülle: Elektronen kreisen auf Schalenbahnen um den Kern. I mp = 1836 · me I Elektronenumlaufbahn ca. 1400 mal größer als Kerndurchmesser 4 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.1 Die elektrische Ladung - Phänomenologie IV Elementarladung: I unteilbar I kleinste Ladungsmenge e ⇡ 1,6 · 10 19 A s = 1,6 · 10 19 C I Einheit der Ladung ist As (Ampere Sekunde) oder C (Coulomb). I Ein Elektron trägt die Ladung e. I Ein Proton trägt die Ladung +e. 5 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.2 Das Coulomb’sche Gesetz Ziel: Mathematischer Ausdruck für Kraft ( Q 1 , Q2 ~ = 1 · Q1 2Q2 ~er F ⇠ 1 ) F 4⇡"0 r r2 Elektrische Feldkonstante "0 = 8,854 · 10 12 VAms Einheitsvektor in Richtung der Verbindungslinie zwischen den Ladungen ~er. Die Coulomb-Kraft ist symmetrisch. Die Coulomb-Kraft ist entweder anziehend oder abstoßend: Richtung wird durch die Vorzeichen von Q1 und Q2 festgelegt. 6 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.2 Das Coulomb’sche Gesetz - Beispiel Wie stark ist die Coulomb-Kraft? ˆ g) wird zerlegt in 16 g O -Ionen und 2 g H+ -Ionen. Letztere 1 mol Wasser (=18 werden auf den Mond gebracht. Anmerkung: 1 mol=6,02 ˆ · 1023 Teilchen. Mit welcher Kraft ziehen sich die beiden Ionenpakete an? 7 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.2 Das Coulomb’sche Gesetz - Beispiel 1 2 1 Q1 Q2 1 (2 mol 1,6 · 10 19 C 6,02 · 1023 mol ) F = 4⇡"0 · r2 = 4⇡"0 · 2 = 2265 N (384 405 · 10 m) 3 mit Q1 = Q2 = 2 · 6,02 · 1023 e F 2265 N Vergleich mit Gravitationskraft: F = m g ! m = g = N 9,81 kg = 231 kg ! Coulomb-Kraft ist um 1 · 1035 größer als Gravitationskraft. I Starke Coulomb-Kräfte führen zu raschem Ladungsausgleich (Ladungsneutralität) I Je stärker eine Kraft ist, desto schwieriger ist es, diese zu entdecken! 8 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.3 Die elektrische Feldstärke Coulomb-Kraft: I Die Coulomb-Kraft beschreibt die physikalische Fernwirkung ohne Kontakt oder sto✏iches Medium. I Wirkung ist (nahezu) ohne Zeitverzug. Elektrische Feldstärke: I Raum als Träger der physikalischen Eigenschaft I Raumzustand = ˆ Feld I Die elektrische Feldstärke ist in jedem Raumpunkt definiert: Betrag und Richtung. 9 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.3 Die elektrische Feldstärke - Experiment Q: stationäre Ladung, ortsfest q: Probeladung beweglich, Position wird durch Vektor ~r beschrieben Idee: Q erzeugt elektrisches Feld im Raum, mit q wird Kraft gemessen. ~ (~r) = F 1 · Q ~e ~ (~r) · q ·q =E 4⇡"0 r2 r ~ (~r): elektrische Feldstärke, beschreibt Wirkung: Intensitätsgröße E Elektrisches Feld: Gesamtheit aller Feldvektoren ~ (~r) = Feld einer Punktladung Q1 : E 1 · Q1 ~e 4⇡"0 r2 r 10 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.3 Die elektrische Feldstärke - Feldliniendarstellung: Einzelladungen ~ (~r) = Feld einer Punktladung Q1 : E 1 · Q1 ~e 4⇡"0 r2 r 11 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.3 Die elektrische Feldstärke - Feldliniendarstellung: Dipol ~ (~r) = Feld einer Punktladung Q1 : E 1 · Q1 ~e 4⇡"0 r2 r 12 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.3 Die elektrische Feldstärke - Feldliniendarstellung: Zwei positive Ladungen ~ (~r) = Feld einer Punktladung Q1 : E 1 · Q1 ~e 4⇡"0 r2 r 13 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.4 Überlagerung von Feldern - Einführung Ursprung/Koordinatensystem O: Ursprung ( Origo“) ” Q: Ort der Ladung ( Quellpunkt“) ” P: Aufpunkt ( Beobachter“) ” ~ (~rP ) = E Q 1 ~r Q ~r 4⇡"0 r2 r = 4⇡"0 r3 ~r ~r ~er = |~r| = r ~r = ~rP ~rQ und |~r| = |~rP ~rQ | 14 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.4 Überlagerung von Feldern - mehrere Punktladungen ~ri = ~rP ~rQi Superpositionsprinzip: ~ (~rP ) = P E n E ~ i (~rP ) i ~ (~rP ) = 1 P n ~ri E 4⇡"0 Qi ri3 i 15 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.4 Überlagerung von Feldern - mehrere Punktladungen II Das Gesamtfeld E ~ (~rP ) wird hervorgerufen von den Ladungen Q1 , Q2 und Q3. Dieses Feld übt auf eine Ladung Q4 , die sich an der Position ~rP befindet, ~ 4 aus. eine Kraft F ~ 4 = Q4 E ~ (~rP ) = Q4 P 3 ~ri F 4⇡"0 Qi ri3 i=1 Punktladungen üben auf sich selbst keine Kraft aus! ~ ges = P F Für die Summe der Kräfte gilt: F ~ i = ~0 i 16 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.4 Überlagerung von Feldern - Beispiel: 2 Punktladungen ~rP = xP ~ex + yP ~ey ~rQ1 = a ~ey ~rQ2 = a ~ey ~r1 = ~rP ~rQ1 = xP ~ex + (yP a) ~ey ~r2 = ~rP ~rQ2 = xP ~ex + (yP + a) ~ey ⇣ ⌘ ~ (~rP ) = 1 E Q ~r1 1 r3 + Q ~r2 2 3 = h ⇣4⇡"0 1 ⌘ r2 ⇣ ⌘i 1 4⇡"0 ~ ex Q1 xrP3 + Q2 xrP3 + ~ey Q1 yPr3 a + Q2 yP +a r23 1 2 1 q q mit r1 = x2P + (yP a)2 und r2 = x2P + (yP + a)2 17 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.5 Kräfte zwischen Ladungsverteilungen Situation: P Zwei Körper mit ortsfesten Ladungen, jede Ladung übt Kraft aus ! wird sehr i unübersichtlich. Fragen: I Welche Kräfte wirken innerhalb eines Körpers? I Welche Kräfte wirken zwischen den Körpern? Lösungsansatz: Einführung von Ladungsdichten! 18 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.6 Ladungsdichten - Raumladungsdichte Q dQ ⇢ (~r) = lim V = dV V !0 dQ C ⇢ (~r0 ) = dV 0 mit [⇢] = m3 d Q = ⇢ (~r0 ) d V 0 ´ Q = ⇢ (~r) d V 19 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.6 Ladungsdichten - Flächenladungsdichte Q dQ (~r) = lim A = dA A!0 dQ C (~r0 ) = d A0 mit [ ] = m2 d Q = (~r0 ) d A0 ´ Q= (~r) d A 20 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.6 Ladungsdichten - Linienladungsdichte Q dQ (~r) = lim l = dl l!0 dQ C (~r0 ) = d l0 mit [ ] = m d Q = (~r0 ) d l0 ´ Q= (~r) d l 21 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld Erste Zusammenfassung I Es gibt zwei Ladungsarten: +/-. I Über eine Kraftwirkung ist eine Ladung stets mit der elektrischen Feldstärke verknüpft. I Modelle für Ladung: Punktladung und Ladungsdichten I Die Elementarladung ist die kleinste Einheit Q = ±n e, an Materie gebunden. I Coulomb’sches Gesetz ist Fernwirkungs-(Feld-)Gesetz. I Ladung ist Quelle des elektrischen Felds. 22 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.7 Darstellung von Feldern ~ (~r) Feldlinien = Raumkurven für Vektorfeld F Richtung der Feldlinien = ˆ Richtung des Vektors Dichte der Feldlinien = ˆ Betrag des Vektors Elektrisches Feld: I Feldlinien starten auf positiven Ladungen und enden auf negativen Ladungen. I Feldlinien stehen senkrecht auf leitenden Oberflächen. 23 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Ausgangssituation: I Ladung in externem Feld erfährt Kraft. I Verschiebung von P0 nach P1 erfordert Arbeit. P ´1 P ´1 We = ~ · d~s = F Q ~ · d~s E P0 P0 Anmerkungen: P ´1 I ~ · d~s ist ein Weg- oder Linienintegral! E P0 I E ~ · d~s ist ein Skalarprodukt! 24 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Vorzeichen von We , wenn Q > 0 und d~s nach links zeigt: ~ · d~s < 0(⇤) !E P ´1 ! We = Q ~ · d~s > 0 E P0 ! Bewegung entgegen Feldkraft erhöht im Feld gespeicherte Energie We. ⇣ ⌘ (⇤) ~ · d~s = E E ~ |d~s| cos ('); ' = ] E, ~ d~s 25 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Bewegung der Ladung entlang eines geschlossenen Wegs: P ´1 P ´0 ~ · d~s ~ · d~s = ~ · d~s ~ · d~s ´ ´ We = Q E Q E Q E Q E C1 C2 P0 P1 Ladung ist nach geschlossenem Umlauf wieder am Ausgangspunkt. Die im Feld gespeicherte Energie ist unverändert. Daher gilt: ~ · d~s Q E ~ · d~s = Q E ~ · d~s = dWe = 0 ´ ´ ¸ ¸ We = Q E C1 C2 C C ~ · d~s = 0 ¸ E C 26 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Daraus folgt: I Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld (im Gegensatz zum Wirbelfeld). I Die Arbeit bei der Bewegung einer Ladung von P0 nach P1 hängt nicht vom P ´1 P ´0 gewählten Weg ab (wegen Q E ~ · d~s = Q E ~ · d~s), sondern von P0 und P1. P0 P1 Man kann also schreiben: ´1 ⇣ P ⌘ We = Q ~ · d~s = Q ['e (P1 ) E 'e (P0 )] P0 'e : Elektrostatisches Potential; ['e ] = V Zuwachs an Energie ist also das Produkt aus Ladung und Potentialdi↵erenz. Da dies eine relative Größe ist, kann (an jedem Ort) eine Konstante addiert werden. Dadurch kann ein Bezugspunkt ('e = 0) gewählt werden (im Unendlichen). 27 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Vorteil: Definition eines eindeutigen Skalarfelds 2 3 We = Q 4'e (P1 ) 'e (P0 )5 = Q'e (P1 ) | {z } =0 oder P ´1 'e (P1 ) = We = ~ · d~s E Q P0 Ṕ ! 'e (P ) = ~ · d~s Elektrostatisches Potential E P0 Arbeit pro Ladung, die nötig ist, um Ladung im Feld von P0 nach P zu bringen. 28 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential - Beispiel Verschieben einer Punktladung Q1 im Feld einer anderen Punktladung Q. ˆP2 We = Q1 ~ · d~s E P1 ˆr2 1 Q = Q1 ~er · ~er dr 4⇡"0 r2 |{z} r1 | {z } d~s ~ E ˆr2  r2 Q 1 Q 1 = Q1 dr = Q1 4⇡"0 r2 4⇡"0 r r1 r1 ✓ ◆ Q 1 1 = Q1 + 4⇡"0 r2 r 1 29 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ Q 1 1 Q 1 1 We = Q1 4⇡" 0 r2 + r1 = Q1 4⇡" 0 r2 r1 Falls nun r1 ! 1: Q 1 Q 1 We = Q1 4⇡" 0 r2 = Q1 'e (r2 ) ! 'e (r) = 4⇡"0 r Wichtig: ~ (r) ⇠ 'e (r) ⇠ 1r , aber E 1 r2 ~ (r) ⇠ Q 'e (r) ⇠ Q und E I Flächen konstanten Potentials sind Kugelflächen. I We > 0, falls Q und Q1 gleiches Vorzeichen haben und Q1 auf Q zu (gegen Abstoßung) bewegt wird: We = Q1 ['e (P1 ) 'e (P0 )]. 30 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Äquipotentialflächen: Flächen konstanten Potentials (Darstellung in 2D als Linien) Q 1 Für Punktladung gilt: 'e (~r) = 4⇡" 0 |~ r| I Potential hängt nur vom Abstand r ab. I Äquipotentialflächen sind konzentrische Kugelschalen. (Falls Potentialdi↵erenz konstant gehalten wird, ist die Dichte der Äquipotentialflächen ein Maß für die Feldstärke.) 31 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Äquipotentialflächen: Flächen konstanten Potentials (Darstellung in 2D als Linien) Q 1 Für Punktladung gilt: 'e (~r) = 4⇡" 0 |~ r| I Potential hängt nur vom Abstand r ab. I Äquipotentialflächen sind konzentrische Kugelschalen. (Falls Potentialdi↵erenz konstant gehalten wird, ist die Dichte der Äquipotentialflächen Maß für die Feldstärke.) 32 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Beobachtung: Feldlinien ? Äquipotentialflächen Gilt dies allgemein? Für Äquipotentialfläche gilt: P ´1 'e (P1 ) 'e (P0 ) = 0 = ~ · d~s E P0 ~ · d~s = 0 für E ~ ? d~s p E Merke: Ladungen können entlang von Äquipotentialflächen ohne Energieaufwand bewegt werden! 33 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential Betrachtung von Leitern: Frei bewegliche Ladungsträger bewegen sich in externem Feld so lange bis die Kraft verschwindet. ~ = qE !F ~ ! Leiterinneres ist feldfrei! Leiteroberfläche: Keine Kräfte zwischen benachbarten Ladungen ! Et = 0. ! Elektrische Feldstärke ? Leiteroberfläche 34 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.8 Das elektrostatische Potential - Beispiel 35 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.9 Die elektrische Spannung Betrachtet wird die Potentialdi↵erenz zwischen zwei Punkten P1 und P2 (P0 sei der Bezugspunkt mit 'e (P0 ) = 0): P ´1 P ´2 P ´0 P ´2 P ´2 'e (P1 ) 'e (P2 ) = ~ · d~s + E ~ · d~s = E ~ · d~s + E ~ · d~s = E ~ · d~s E P0 P0 P1 P0 P1 Ergebnis ist unabhängig von Wahl von P0 und wird als Spannung U bezeichnet: P ´2 U12 = 'e (P1 ) 'e (P2 ) = ~ · d~s mit [U ] = V E P1 36 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.9 Die elektrische Spannung ~ Bewegte Ladung Q1 im Feld E ~ · d~s ´ We = Q 1 E d~s lässt sich aufteilen: d~s = d~s|| + d~s? h´ i ~ ~ ~ · d~s? ´ ´ We = Q 1 E · d~s|| + E · d~s? = Q1 E ~ tragen zu We bei! ! Nur Wege tangential zu E P ´2 U12 = ~ · d~s E P1 ~ tragen zu U12 bei! ! Nur Wege tangential zu E 37 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.10 Die elektrische Flussdichte Idee: Integration der elekrischen Feldstärke über um eine Punktladung geschlossene Fläche Elektrische Feldstärke einer Punktladung Q: ~ = 1 Q ~ = 1 Q E 4⇡"0 r 2 ~ er oder "0 E 4⇡ r2 ~ er Hüllflächenintegral: ~ (~r) · dA ~ = 1 Q ‚ ‚ "0 E 4⇡ r 2 ~ er · ~er dA = AK AK | {z } ~ dA Q Q 4⇡r2 ‚ 4⇡r2 dA = 4⇡r 2 =Q AK AK : Kugelfläche ~ vektorielles Wegelement dA: 38 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.10 Die elektrische Flussdichte ~ (~r) · dA ~ =Q ¸ Also folgt: "0 E AK ~ = "0 E Einführung einer neuen Größe: elektrische Flussdichte D ~ ~ = [D] As m2 ~ (~r) · dA ~ = ˜ Integriert man nur eine (o↵ene) Teilfläche, so gilt: D A ist der elektrische Fluss ([ ] = As = C ). Bemerkung: ist der Fluss, der die Fläche A in Richtung der Flächennormalen durchsetzt 39 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.10 Die elektrische Flussdichte ~ (~r) · dA ~ = Q gilt für beliebige geschlossene Flächen. ‚ D AK ~ · dA D ~ = D ~ ·dA ~ cos(D, ~ dA) ~ = D ~ dAcos( ~ ) ~ (~r) · dA ~ =Q ‚ tot = D A ist also der Gesamtfluss und ein Maßfür die Gesamtladung! 40 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.10 Die elektrische Flussdichte Fazit: I D ~ ist elektrische Flussdichte und beschreibt die Ursache (Quelle) des Feldes I Hüllflächenintegral von D~ über geschlossene Fläche ergibt Ladungen innerhalb der Fläche (Satz von Gauß) ! wichtige Information! I mit dieser Beziehung kann also eine Ladungsbestimmung über die Felder durchgeführt werden (Antennen, Schaltungen etc.) 41 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.11 Flächenladungen und Feldgrößen Betrachtet wird eine Folie mit Flächenladungsdichte und vernachlässigbarer Dicke ~ 1/2 sowie E Frage: wie verlaufen D ~ 1/2 auf beiden Seiten? ~ (~r) · dA ~ =Q ‚ Es galt: D AK Q Ferner: = A ~ · dA~ = ‚ Für h ! 0 gilt: D AK ~ 1~n1 dA + D ~ 2~n2 dA = D ~ 1 ( ~n)A + D ~ 2 (~n)A ˜ ˜ D Q = ~2 = ~n(D ~ 1) D A 42 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.11 Flächenladungen und Feldgrößen ~ = |~n| D zu ~n · D ~ cos( ) ~ proj | |D cos( ) = ~| m |D ! D ~ cos( ) = D ~ proj ~ =D ~n · D ~ n : Normalenkomponente von D 43 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.11 Flächenladungen und Feldgrößen ! ~2 = ~n · (D ~ 1 ) = D2n D D1n D1n und D2n sind Werte der elektrischen Flussdichte in Richtung der Flächennormalen (Normalenkomponenten). Die Normalen der elektr. Flussdichte springen also um den Wer der Flächenladung! 44 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.11 Flächenladungen und Feldgrößen Betrachten wir nun Tangentialkomponenten: ~ · d~s = 0 ¸ Wir wissen E ~ t2 · d~s ~ t1 · d~s = 0 ´ ´ Für h ! 0 gilt dann: E E Falls Et = const. entlang d~s : ~ t2 E ~ t1 = 0 da D E ~ = "0 E ~ ! Dt1 = Dt2 ! Et1 = Et2 Fazit: Beim Durchgang durch geladene Fläche erleidet Dn einen Sprung um , Et bleibt erhalten! Bemerkung: Die Vorgehensweise ist beispielhaft für sog. Randbedingungen an Grenz- oder Oberflächen, wo die Grundgesetze angewendet werden, 45 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.12 Feldstärke an leitenden Oberflächen Betrachtung einer leitenden Kugel mit Radius a sowie Ladung Q Kugelsymmetrie führt zu radialem Feld E Feldberechnung: ~ (~r) · dA ~ = ~er D (~r) · ~er dA = D (r) · 4⇡r2 = Q ‚ ‚ D AK AK (Integration über Kugelfläche mit Radius r) Q Q D(r) = 4⇡r2 E(r) = 4⇡"0 r2 Felder haben gleichen Verlauf wie Punktladung (für r > a). Inneres der Kugel ist feldfrei: D(r) = 0 für r < a 46 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.12 Feldstärke an leitenden Oberflächen Die Ladungen sitzen auf der Oberfläche Q d.h. = 4⇡a 2 An der Grenzfläche gilt: D1n D2n = ! D1n = Q ! D(a) = "0 · E(a) = = 4⇡a2 An der Oberfläche gilt also: Dn = Dt = 0 En = " 0 Et = 0 47 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Betrachte leitenden Körper in externem elektrischen Feld. Wir wissen: I konstantes Potenzial im Körper I elektrisches Feld verschwindet im Körper Parallele geladene Platten: Realer Verlauf idealisierter Verlauf 48 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Erklärung der Felder: I Ladungen ziehen sich an ! Konzentration an Oberfläche I Feldlinien von + nach I Feldfreiheit im Innern der Platten (oder: negative Ladungen kompensieren das von positiven Ladungen erzeugte Feld) I Streufelder sind klein, da Plattenabstand gross wird Das elektrische Feld ist näherungsweise homogen und steht senkrecht auf der Plattenoberfläche 49 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz ±Q Berechnung der elektrischen Feldstärke: ± = A D x = " 0 Ex ! Ex = "0 (aus Grenzbedingung) ~ A~= ‚ ˜ ˜ alternativ: = Dd Innen Dx~ ex~ex dA + Aussen Dx ( ~ex )( ~ex )dA Aussen ist Feld nahe Null. ~ A ~= ‚ ˜ = Dd Innen Dx~ex~ex dA = Dx A = Q Q Dx = A = 50 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Jetzt: Einbringen von 2 dünnen leitenden Scheiben in Kontakt I Ladungstrennung in den Scheiben (influenzierte Ladungen) I trennt man die Scheiben, besitzen sie = Dx I nach auseinanderziehen ist Innenraum feldfrei! 51 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Kugelsymmetrische Anordnung I Radialsymmetrisches elektrisches Feld Influenz führt zu negativen Ladungen be r = a und positiven Ladungen bei r = b 52 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Ladung bei r = a: Q r = b:+Q ! ~ D(a) Q = ~er 4⇡a 2 ~ D(b) Q = ~er 4⇡b 2 Identisch mit dem Feld der Punktladung !! 53 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Innere Kugel: ~n = ~ ~er ! ~nD(a) = Q ~er~er 4⇡a 2 = a ! a = Q 4⇡a2 Äußere Kugel: ~ ~n = +~er ! ~nD(b) Q = +~er~er 4⇡b 2 = b ! b Q = + 4⇡b 2 Gesamtladung auf Kugel: QK = 2 2 a 4⇡a + b 4⇡b =0 Elektrische FLussdichte für a < r < b: (gestrichelte Linie) ~ A ~ = D(r)4⇡r2 = Q + a 4⇡a2 = 0 für a < r < b ‚ Dd Bringen nun Ladung QK zusätzlich auf Hohlkugel: 54 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.13 Die Influenz Bringen nun Ladung QK zusätzlich auf Hohlkugel: Q+QK D(r) = 4⇡r2 für r > b Durch Abstoßung wird sich QK bei r = b auf der Oberfläche verteilen Q+QK b = 4⇡b2 Inneres bleibt also feldfrei (a < r < b) Weitere Überlegung: falls Ladung Q außerhalb der Hohlkugel angebracht ist (also keine Ladung im Innern) so bilden sich nur bei r = b Influenzladungen aus und sowohl die Hohlkugel als auch Innenraum ist feldfrei. ! Faradayscher Käfig (Abschirmung) (gilt auch für Gitter oder Käfige mit Ö↵nungen sehr gut) 55 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Betrachte Spannung zwischen den Metallplatten. Vakuum Dielektrikum Metall Ua = Ed Ub = ? Uc = E(d1 + d2 )aus ~ s ´. U a > Ub > Uc U = Ed~ 56 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Genauere Betrachtung von Fall b: Dielektrikum (Isolator): Ladungsträger sind nicht beweglich, aber Ladungsverschiebung kann stattfinden. Äussere Felder bewirken Kräfte auf innere Ladungen und Atome oder Moleküle werden polarisiert. Es gibt die Verschiebungspolarisation sowie die Orientierungspolarisation. Mathematische Beschreibung erfolgt durch das Dipolmoment: p~ = Qd~ 57 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Verschiebunspolarisation im Atom durch Verschieben der Elektronenhülle: 58 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Orientierungspolarisation: z.B. H2 O Molekül (besitzt permanentes Dipolmoment) I Drehmoment auf Molekül durch externes E ~ Feld I Ausrichtung im Feld, statistisch dominiert (Temp. abhängig) 59 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Wie kann Dipolmoment von Atomen oder Molekülen auf makroskopisches Volumen erweitert werden? Dielektrische Polarisation: 1 X P~ = p~n V n oder im Grenzübergang: P~ (~r) = d~p dV Ladungen der Dipole = (unbewegliche) Polarisationsladungen Ladungen in Metallen = (bewegliche) freie Ladungen 60 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Im Dielektrikum bilden sich Dipole (d.h. Polarisationsladungen) aus I An Oberfläche entstehen Polarisationsflächenladungen I Im Innern reduziert sich die elektrische Feldstärke (bei idelaen Leitern wird sie Null) I Elektrische Flussdichte bleibt gleich 61 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Beschreibung der Felder durch Dielektrizitätskonstante ": "r : Dielektrizitätszahl ~ = "E D ~ = "0 "r E ~ "0 : elektr. Feldkonstante ": Dielektrizitätskonstante ~ und E (Voraussetzung: D ~ sind linear und gleichgerichtet) Typische Werte für ": "r (H2 O) = 81 "r (Luf t) = 1 "r (Glas) = 2 "r (P orzellan) = 6 8 62 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.14 Die dielektrische Polarisation Frage: wie hängen " und elektrische Polarisation zusammen? Idee: durch Polarisationsladungen wird zusätzliche elektrische Flussdichte erzeugt: ~ = "0 E D ~ + P~ ! P~ = D~ "0 E~ = "0 ("r 1)E ~ = "0 E ~ ~ und D. : dielektrische Suszeptibilität, beinhaltet Linearität zwischen E ~ 63 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.15 Kräfte im inhomogenen Feld Bisher: Influenz und Polarisation als Folge von Kräften auf Ladungen im Feld Im homogenen Feld führt dies zu Gleichgewicht, so dass die Kräfte verschwinden. Beispiel: Dipol im Feld im homogenen Feld gilt: |F~+ | = |F~ | 64 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.15 Kräfte im inhomogenen Feld Im inhomogenen Feld entsteht eine Netto-Kraft: also: |F~ | > |F~+ | I Anziehung bedeutet nicht, dass Körper unterschiedl. Ladungen tragen I Abstossung erfordert gleiche Ladung 65 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.16 Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten ~ an einer Sprungstelle der Frage: wie verhält sich D Materialien mit "1 und "2 ? ~ A~=Q ‚ Es galt ja: Dd A Wähle nun Zylinder mit V = dA · h im Grenzübergang h ! 0 ~ A~= D ~ 1~n1 dA + D~ 2~n2 dA = ‚ ´ ´ Dd ( D1n + D2n ) · dA Abwesenheit von Ladungen: Q = 0, damit folgt: D1n = D2n ~ ist stetig! Normalenkomponente von D 66 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.16 Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten ~ an Wie verhält sich die elektrische Feldstärke E einer Material-Sprungstelle ? ~ s=0 ¸ Es galt ja: Ed~ Betrachte Rechteck mit h ! 0 ~ s= ~ 1 d~s + E~ 2 d~s ¸ ´ ´ Ed~ E ~ s = |E||d~ Nebenrechnung: Ed~ ~ s| cos 67 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.16 Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten ~ s = |E||d~ Ed~ ~ s| cos = Et ds (ds = |d~s|) ~ s= ¸ Ed~ E1t ds + E2t ds = 0 E1t = E2t ~ = "E Oder: mit D ~ folgt D1t = D2t "1 "2 D1t "1 = D2t "2 68 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.16 Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten Zusammenfassung: I An einer Sprungstelle der Dielektrizitätskontanten " auf einer Fläche der Normalen ~n sind Dn sowie Et stetig I Aus der Beziehung D ~ ="·E ~ lassen sich die fehlenden Feldgrößen ableiten 69 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.16 Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten Für die Winkel der Feldgrößen gilt: tan(↵1 ) Et1 En2 En2 tan(↵1 ) Dt1 Dn2 Dt1 tan(↵2 ) = En1 · Et2 = En1 tan(↵2 ) = Dn1 · Dt2 = Dt2 70 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.17 Die Kapazität Aus Kapitel 1.14: 2 Metallplatten mit Abstand d und Ladungen +Q sowie Q. Erhöhung der Ladung um Faktor k auf ±k · Q. Es folgt: I Dn = wird um k skaliert I En = Dn wird ebenso um k skaliert " ~ s folgt der elektrischen ´ Spannung U = Ed~ Feldstärke. 71 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.17 Die Kapazität Daher: Q ⇠ U (Proportionalität) Definition eines Proportionalitätsfaktors als Kapazität C: Q=C ·U Q As Kapazität: C = [C] = V =F (Farad) U Bauelement: Kondensator; 2 leitende Beläge mit ±Q besetzt, bei denen alle Feldlinien zwischen den Belägen verlaufen. 72 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.17 Die Kapazität: Plattenkondensator Plattenkondansator: ±Q ist als homogene ±Q Flächenladung ± = A verteilt. D Q E= "0 = "0 = A"0 Q "0 A Spannung: U = E · d ! C = U = d Füllt man den Plattenkondensatorzwischenraum mit einen Dielektrikum ", so wird "0 "r A "A E = "0D"r = "0 "r = A"Q0 "r C= = d d 73 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.17 Die Kapazität: Beispiel Kondensator: d = 1mm, C = 1F, Luft zwischen den Platten Frage: wie groß muß A sein? "0 "r A Cd 1As/V ·1e 3m C= d !A= "0 = 8.85e 12As/V /m ⇡ 113km2 Einheit Farad ist sehr groß , typische Kondensatoren besitzen Kapazitäten von µF oder nF. 74 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.17 Die Kapazität: Kugelkondensator 2 konzentrische, leitende Kugelschalen. Innere Schale trägt +Q, äussere Q, Berechnung der Q Kapazität C = U. Ansatz über Spannung U: ´b ~ r = b ~er Q 2 ~er dr = Q ´b 1 ´ Uab = a Ed~ a 4⇡"0 r 4⇡"0 a r 2 dr Q b Q Q b a = 4⇡"0 [1/r]a = 4⇡"0 (1/a 1/b) = 4⇡" 0 b·a ba Damit wird C = 4⇡"0 Kapazität des Kugelkondensators b a 75 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.17 Die Kapazität: Kugelkondensator Im Grenzübergang zu b ! 1 wird: a a C = 4⇡"0 1 a/b ! C1 = limb!1 4⇡"0 1 a/b = 4⇡"0 a mit a = 6360km (Erde) wird C = 700µF 76 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.18 Kondensatornetzwerke Elektronische Schaltungen bestehen aus Netzen mit mehreren Elementen. Elemente können zusammengefasst werden zu einem Ersatzelement, das dann an den Klemmen gleiches Verhalten aufweist (black box). Beispiel Kondensatoren parallel verschaltet: 77 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.18 Kondensatornetzwerke Herleitung: obere und untere Platten liegen auf dem selben Potenzial; Potenzialdi↵erenz ist U P P Qk = Ck · U Qges = Qk = Ck · U = Cges · U Parallelschaltung von Kondensatoren: X Cges = Ck k 78 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.18 Kondensatornetzwerke Für Reihenschaltung gilt: 1 P 1 Cges = k Ck 79 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.18 Kondensatornetzwerke P ´ ~ s Herleitung: Reihenschaltung summiert Spannung Uges = k Uk aus U = Ed~ Bringt man auf äussere 2 Platten ±Q, so findet an den inneren Platten Influenzwirkung statt. Dadurch besitzen alle Platten ±Q. P P P Uges = k Uk = k CQk = Q · k C1k 1 X 1 = Cges Ck k 80 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.19 Praktische Ausführungsformen von Kondensatoren I Vielschichtkondensator I Drehkondensator I Wickelkondensator Kondensatoren haben abhängig von ihrer Anwendung verschiedene Bauformen. Kriterien sind erreichbare Kapazität, Spannungsfestigkeit, Abmessungen, Toleranz, Kosten. 81 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.21 Der Energieinhalt des (elektrischen) Feldes Kondensatoren sind Energiespeicher; wie viel Energie kann gespeichert werden? Bsp.: Kugelkondensator, der geladen wird. Ladungsvorgang verschiebt +dq von aussen nach innen. In 1.8 galt: W = Q · (⇢e (P1 ) ⇢e (P0 )) hier: dW = dq · (⇢ea ⇢eb ) = uab dq = C1 qdq ´W ´Q Integration liefert: 0 dW = 0 C1 · q · dq = 1 1 2 C 2Q 1 1 We = C · U 2 = Q · U 2 2 Bem.: Form/Bauart des Kondensators wurde nicht berücksichtigt in Herleitung ! Formel gilt allgemein! 82 Kapitel 1 - Das elektrostatische Feld 1.21 Der Energieinhalt des (elektrischen) Feldes Frage: kann die Energie des Kondensators auch über Feldgrößen formuliert werden? "A Betrachten wir Plattenkondensator: C = d U =E·d 1 "A W = 2 d · (E · d)2 = 12 "E 2 A · d = 12 E · D · V W oder: V = 12 E · D mit Energiedichte we kann man allgemeiner schreiben: 1~ ~ we = E ·D 2 Bemerkung: falls E~ oder D~ ortsabhängig sind (Bsp. Kugelkondensator), so ist we = we (~r) und We = V we (~r)dV = 12 V E(~ ~ r) · D(~ ~ r)dV ˝ ˝ 1 ˚ Energie des elektrischen Feldes: We (~r) = ~ r) · D(~ E(~ ~ r)dV 2 V 83

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