Mathematische Methoden der Elektrotechnik PDF

Mathematische Methoden der Elektrotechnik 8. FIR-Filter, Polynome und z-Transformation Lehrstuhl für Bildverarbeitung (LfB): Univ.-Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Priv. Doz. Dr.-Ing. habil. Mathias Wien Evaluation der MMET Vorlesung...

Mathematische Methoden der Elektrotechnik 8. FIR-Filter, Polynome und z-Transformation Lehrstuhl für Bildverarbeitung (LfB): Univ.-Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Priv. Doz. Dr.-Ing. habil. Mathias Wien Evaluation der MMET Vorlesung Happy New Year 8-2 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Inhalt Faltung und Multiplikation z-Transformation Systemfunktion Pol-Nullstellendiagramme Filterentwurf am Beispiel von Nulling-Filtern Literatur: Signal Processing First: Kapitel 7, Seite 163 bis 188 8-3 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Am Ende des Kapitels… können Sie die z-Transformierte von zeitdiskreten Signalen und von Impulsantworten berechnen beherrschen Sie die Zusammenhänge zwischen Systemfunktion und Übertragungsfunktion können Sie aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm die Eigenschaften von FIR-Filtern ablesen haben Sie den Entwurf von Nulling-Filtern kennengelernt 8-4 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Faltung & Multiplikation Faltung und Multiplikation sind eng verknüpft: ▪ vergleichbare Axiome (Kommutativität, Assoziativität, Existenz des Eins-Elements, Existenz des inversen Elements) ▪ Faltung transformiert sich unter Fourier-Transformation in Multiplikation: s  n  h  n S (ˆ )  H (ˆ ) ▪ Faltung beschreibt Multiplikation von Polynomen gesucht: Beschreibung von Signalen und LSI-Systemen durch Polynome Übertragung über LSI-Systeme → beschreibbar durch Multiplikation von Polynomen Kaskadierung von LSI-Systemen → beschreibbar durch Multiplikation von Polynomen Zerlegung von LSI-Systemen → beschreibbar durch Faktorisierung (Linearfaktor-Zerlegung) von Polynomen 8-5 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Polynomiale Beschreibung von FIR-Filtern Polynome endlichen Grades N haben endlich viele Koeffizienten hier Beschränkung auf Signale endlicher Länge bzw. FIR-Filter Ausgangspunkt: Fourier-Transformation von s n , n = 0,... , N   N s  n  =  s  k    n − k  Summe gewichteter verschobener Einheitsimpulse k =0 N S (ˆ ) =  s  n  e − jˆ n Summe gewichteter komplexer Sinussignale n =0 ෝ ෝ −𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔 =𝑧 𝜔 ෝ −𝑛 8-6 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Polynomiale Beschreibung von FIR-Filtern Polynome endlichen Grades N haben endlich viele Koeffizienten hier Beschränkung auf Signale endlicher Länge bzw. FIR-Filter Ausgangspunkt: Fourier-Transformation von s n , n = 0,... , N   N s  n  =  s  k    n − k  Summe gewichteter verschobener Einheitsimpulse k =0 N S (ˆ ) =  s  n  e − jˆ n Summe gewichteter komplexer Sinussignale n =0 N Substitution e jˆ = z (ˆ ) = z ergibt: S (ˆ ) = S z ( z (ˆ ) ) =  s  n  z − n = S z ( z ) n =0 𝑆𝑧 (𝑧) ist Polynom vom Grad 𝑁 in 𝑧 −1 mit 𝑧 ∈ ℂ, |𝑧| = 1 ෝ ෝ ist Polynom vom Grad 𝑁 in 𝑒 −𝑗𝜔 𝑆(𝜔) 8-7 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Die z-Transformation S z ( z ) ist Polynom vom Grad N in z −1 ▪ Koeffizienten in Normaldarstellung: 𝑠 𝑛 ∈ ℝ, 𝑛 = 0, … , 𝑁 ▪ 𝑧 ist komplex, aber bisher Beschränkung auf z = 1 in Gaussscher Zahlenebene beschränkt auf Einheitskreis Nullstellen beschreiben Polynom eindeutig bis auf eine multiplikative Konstante, und können beliebig in Gaussscher Zahlenebene liegen Erweiterung des Definitionsbereichs von 𝑆𝑧 (𝑧) auf 𝑧 ∈ ℂ erfasst alle Nullstellen Definition der z -Transformation von s n :   𝑁 𝑧 𝑠𝑛 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛 𝑧∈ℂ 𝑛=0 mit 𝑁 > 0 → 𝑧 ≠ 0, in dieser Vorlesung betrachten wir nur 𝑁 < ∞ 8-8 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Der Einheitsimpuls z -Transformierte des Einheitsimpulses: 𝑠 𝑛 = 𝛿[𝑛] 1 𝑛 𝑁 𝑁 𝑠 𝑛 =𝛿 𝑛 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛 = ෍ 𝛿 𝑛 𝑧 −𝑛 = 1 ∙ 𝑧 0 = 1 𝑛=0 𝑛=0 ( vgl.: s  n =   n S (ˆ ) = 1) 8-9 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Der verzögerte Einheitsimpuls z-Transformierte des verschobenen Einheitspulses: 𝑠 𝑛 = 𝛿[𝑛 − 1] 1 𝑁 𝑁 𝑛 𝑠 𝑛 =𝛿 𝑛−1 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛 = ෍ 𝛿 𝑛 − 1 𝑧 −𝑛 = 1 ∙ 𝑧 −1 = 𝑧 −1 𝑛=0 𝑛=0 Allgemein gilt: 𝑁 𝑁 −𝑛 −𝑘 𝑠 𝑛 =𝛿 𝑛−𝑘 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑛 − 𝑘 𝑧 −𝑛 = ෍ 𝛿 𝑛 − 𝑘 𝑧 = 𝑧 𝑛=0 𝑛=0 ( vgl.: s  n =   n − k  S (ˆ ) = e − jˆ k ) 8-10 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Der verzögerte Einheitsimpuls z-Transformierte des verschobenen Einheitspulses: 𝑠 𝑛 = 𝛿[𝑛 − 1] 1 𝑁 𝑁 𝑛 𝑠 𝑛 =𝛿 𝑛−1 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛 = ෍ 𝛿 𝑛 − 1 𝑧 −𝑛 = 1 ∙ 𝑧 −1 = 𝑧 −1 𝑛=0 𝑛=0 Allgemein gilt: 𝑁 𝑁 −𝑛 −𝑘 𝑠 𝑛 =𝛿 𝑛−𝑘 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑛 − 𝑘 𝑧 −𝑛 = ෍ 𝛿 𝑛 − 𝑘 𝑧 = 𝑧 𝑛=0 𝑛=0   Verschiebung in  n − k um k Takte transformiert sich in Exponent in z −k Differenzausdrücke werden zu (oft leichter zu behandelnden) algebraischen Ausdrücken im Exponenten 8-11 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Linearität der z-Transformation z -Transformation der Linearkombination a  s1 n + b  s2 n :     N a  s1  n  + b  s2  n  ( 1     ) z −n a  s n + b  s 2 n z n =0 N N = a  s1  n  z − n + b  s2  n  z − n n =0 n =0 = a  S z1 ( z ) + b  S z 2 ( z ) Die z -Transformation ist linear 8-12 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Die z-Transformation Definition der z -Transformierten von s𝑠[𝑛] n : = 𝑠[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛]:   𝑁 𝑠[𝑛] = ෍ 𝑠 𝑘 𝛿[𝑛 − 𝑘] = 𝑠 0 𝛿 𝑛 − 0 + 𝑠 1 𝛿 𝑛 − 1 + 𝑠 2 𝛿 𝑛 − 2 + ⋯ 𝑘=0 z z z z 𝑁 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑘 𝑧 −𝑘 = 𝑠 0 ∙ 𝑧 −0 + 𝑠 1 ∙ 𝑧 −1 +𝑠 2 ∙ 𝑧 −2 + ⋯ 𝑘=0 k -ter Koeffizient s  k  des Signals s  n  ist Koeffizient der k -ten Potenz z − k von z −1 inverse z -Transformation entspricht Ablesen der Koeffizienten in der Normalform von S z ( z ) 8-13 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Die z-Transformation Definition der z -Transformierten von s n :   𝑁 𝑠 𝑛 = ෍ 𝑠 𝑘 𝛿[𝑛 − 𝑘] = 𝑠 0 𝛿 𝑛 − 0 + 𝑠 1 𝛿 𝑛 − 1 + 𝑠 2 𝛿 𝑛 − 2 + ⋯ 𝑘=0 z z z z 𝑁 𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑘 𝑧 −𝑘 = 𝑠 0 ∙ 𝑧 −0 + 𝑠 1 ∙ 𝑧 −1 +𝑠 2 ∙ 𝑧 −2 + ⋯ 𝑘=0 Beispiel: S z ( z ) = 3 + 2 z −1 − z −2 + 4 z −3 − 5 z −4 s  n  = 3  n  + 2  n − 1 −   n − 2 + 4  n − 3 − 5  n − 4 𝑠𝑛 4 𝑛 −4 8-14 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Shift- & z-Transformation 𝑁 𝑧 z -Transformierte von s n : 𝑠 𝑛   𝑆𝑧 𝑧 = ෍ 𝑠 𝑘 𝑧 −𝑘 𝑧∈ℂ 𝑘=0 Shift um n0 Takte: s  n − n0  = s  n     n − n0  Wie sieht die z-Transformierte 𝑆𝑧 𝑧 des verschobenen Signals 𝑠 𝑛 aus? 𝑁+𝑛0 𝑧 𝑠 𝑛 − 𝑛0 ෍ 𝑠 𝑘 − 𝑛0 𝑧 −𝑘 mit: 𝑘 − 𝑛0 = 𝑛 𝑘=𝑛0 𝑁 𝑁 𝑁 ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛−𝑛0 = ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛 𝑧 −𝑛0 = 𝑧 −𝑛0 ෍ 𝑠 𝑛 𝑧 −𝑛 = 𝑧 −𝑛0 𝑆𝑧 𝑧 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0    also: s n   n − n0 = s n − n0    z z − n0 S z ( z ) 8-15 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Shift- & z-Transformation s  n     n − n0  = s  n − n0  z z − n0 S z ( z )   Shift von s n um n0 Takte entspricht im Zeitbereich Faltung m it  n − n0   z -Bereich Multiplikation mit z − n0 Shift wird zu arithmetischer Operation (Summe) im Exponenten von z ! Beispiel ( n0 = 3): S z ( z ) = 3 + 2 z −1 − z −2 + 4 z −3 − 5 z −4 s  n  = 3  n  + 2  n − 1 −   n − 2 + 4  n − 3 − 5  n − 4 Multiplikation mit z −3 : z −3 S z ( z ) = 3z −3 + 2 z −4 − z −5 + 4 z −6 − 5 z −7 z 3  n − 3 + 2  n − 4 −   n − 5 + 4  n − 6 − 5  n − 7  = s  n − 3 8-16 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz z- und Fourier-Transformation z -Transformation S z ( z ) : hergeleitet aus Fouriertransformation S (ˆ ) durch ▪ Substitution e jˆ = z (ˆ ) = z ▪ Erweiterung des Definitionsbereichs auf 𝑧 ∈ ℂ die z-Transformation beinhaltet die Fourier-Transformation: ( ) =  s k  e N jˆ mit z=e folgt: S z z = e jˆ − jˆ k = S (ˆ ) k =0 Die Fouriertransformierte entspricht der z -Transformierten ausgewertet jˆ für z = e , d.h. auf dem Einheitskreis! 8-17 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz z- und Fourier-Transformation Die Fourier-Transformierte entspricht der 𝑧-Transformation, ausgewertet für  j Im z ෝ 𝑧 = 𝑒 𝑗𝜔 , d.h. auf dem Einheitskreits! ˆ = 2 j der Einheitskreis wird dabei mit der z = e jˆ Frequenz ̂ parametrisiert: ̂ =  1 ˆ = 0 ̂ ˆ = 0: z = 1 −1 1 Re z ˆ = 2 : z = j ˆ = : z = −1  −j ˆ = − 2 : z = −j ˆ = − 2 ˆ = − : z = −1 8-18 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Eigenfunktionen von FIR-Filtern Komplexe Sinussignale sind Eigenfunktionen von LSI-Systemen: ෝ ෝ 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔𝑛 = 𝑧 𝑛 mit 𝑧 = 𝑒 𝑗𝜔 , also 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 = 1, −∞ < 𝑛 < ∞  j Im z ˆ = 2 j 𝑠𝑒 𝑛 liegt in der Gaußschen ෝ 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔 Zahlenebene auf dem Einheitskreis. ̂ =  ̂ ˆ = 0 Erweiterung auf Gaußsche Zahlenebene −1 1 Re z ෝ 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 0: 𝑧 = 𝑟 ⋅ 𝑒 𝑗𝜔 , 𝑟 ∈ ℝ>0 se  n  = z n = r n e jˆ n ˆ = −  −j 2 8-19 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Eigenfunktionen von FIR-Filtern Übertragung von se  n über FIR-Filter mit Impulsantwort h  n , Länge M + 1: g  n = z n  h  n M M =  h k  z n−k =z n  h  k  z −k k =0 k =0 s  n g  n = s  n  h  n   also g n = H z ( z )  se n   h  n e jˆ n H (ˆ ) e jˆ n M zn H z ( z ) zn mit H z ( z ) =  h k  z −k k =0 8-20 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Systemfunktionen von FIR-Filtern s  n g  n = s  n  h  n 𝑔[𝑛] = 𝐻𝑧 (𝑧) ∙ 𝑧 𝑛 h  n ejˆ n H (ˆ ) e jˆ n zn H z ( z ) zn se  n  = z n reproduziert sich bei Übertragung über FIR-Filter z n ist Eigenfunktion, wird mit H z ( z ) skaliert Skalierungsfaktor H z ( z ) ( Eigenwert ) heißt "Systemfunktion" und ist z -Transformierte der Impulsantwort h n   Systemfunktion H z ( z ) eines FIR-Filters mit Impulsantwort h  n der Länge M + 1 −1 ist Polynom vom Grad M in z mit Fundamentalsatz: H z ( z ) hat M Nullstellen, die H z ( z ) bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig bestimmen! 8-21 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Der Verzögerer: PN-Diagramm Impulsantwort des Verzögerers: h  n  =   n − n0 , n0  0 Übertragungsfunktion: H (ˆ ) = e − j n0 , H (ˆ ) = 1 ˆ (Allpass) Systemfunktion: H z ( z ) = z − n0 H z ( z ) hat keine Nullstellen H z ( z ) divergiert für z = 0 𝐻𝑧 (𝑧) hat 𝑛0–fachen „Pol“ im Ursprung der Gaußschen PN-Diagramm des Verzögerers: n0 =8 Zahlenebene Veranschaulichung im Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Diagramm) 8-22 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Das gleitende Differenzfilter Impulsantwort der gleitenden Differenz: h  n  =   n  −   n − 1 Übertragungsfunktion: H (ˆ ) = 2sin ( 2ˆ ) e − j 12 (ˆ − ) z −1 Systemfunktion: H z ( z ) = 1 − z −1 = z H z ( z ) hat Nullstelle bei z = 1 Nullstelle liegt auf Einheitskreis bei ˆ = 0 (Hochpass!) H z ( z ) divergiert für z = 0 𝐻𝑧 (𝑧) hat einen „Pol“ im Ursprung der Gaußschen Zahlenebene 8-23 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Gleitendes Differenzfilter: PN-Diagramm z −1 h  n  =   n  −   n − 1 z Hz (z) = z einfache Nullstelle bei z =1 einfacher Pol bei z =0 veranschaulicht im Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Diagramm) PN-Diagramm der gleitenden Differenz 8-24 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Gleitendes Differenzfilter: PN-Diagramm z −1 h  n  =   n  −   n − 1 z Hz (z) = z H z ( z ) der gleitenden Differenz −1,5  Re  z, Im  z  1,5 (siehe IllustrationsMMET08.m) 8-25 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Gleitendes Mittelwertfilter Gleitendes Mittelwertfilter: PN-Diagramm Impulsantwort des gleitenden Mittelwerts: h  n = 1 M +1 (   n  +   n − 1 +... +   n − M ) Systemfunktion: Hz ( z) = 1 M +1 ( 1 + z −1 +... + z − M ) 1 z M + z M −1 +... + 1 = M +1 zM M -fachen Pol bei z = 0 M Nullstellen auf Einheitskreis PN-Diagramm des gleitenden Mittelwerts (M=7) 8-26 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Gleitendes Mittelwertfilter - Systemfunktion z M + z M −1 +... + 1 h  n = 1 M +1 (  n +   n − 1 +... +   n − M ) z Hz ( z) = 1 M +1 zM H z ( z ) des gleitenden Mittelwerts, M = 7 −1,5  Re  z, Im  z  1,5 (siehe IllustrationsMMET08.m) 8-27 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  z-Transformation & FIR-Filter Faltung von Eingangssignal s  n und Impulsantwort h  n transformiert sich unter der z -Transformation in Multiplikation von z -Transformierter S z ( z ) und Systemfunktion H z ( z ) : g  n = s  n  h  n Gz ( z ) = H z ( z )  S z ( z ) z Begründung:  n und s  n, h  n  entsprechen den Koeffizienten von z − n die Koeffizienten g in der Normaldarstellung der Polynome Gz ( z ) und S z ( z ) , H z ( z ) bei der Multiplikation H z ( z )  S z ( z ) = Gz ( z ) der Polynome H z ( z ) und S z ( z ) berechnen sich die Koeffizienten g  n des Produkts Gz ( z ) durch Faltung der Koeffizienten s  n  und h  n  von S z ( z ) und H z ( z ) 8-28 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz z-Transformation & FIR-Filter Faltung von Eingangssignal s  n und Impulsantwort h  n transformiert sich unter der z -Transformation in Multiplikation von z -Transformierter S z ( z ) und Systemfunktion H z ( z ) : g  n = s  n  h  n Gz ( z ) = H z ( z )  S z ( z ) z Beweis? 8-29 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz z-Transformation & FIR-Filter M g  n =  h  k  s  n − k  k =0 z z 𝑁 𝑀 𝑀 𝑁 𝐺𝑧 𝑧 = ෍ ෍ ℎ 𝑘 𝑠 𝑛 − 𝑘 𝑧 −𝑛 = ෍ ෍ ℎ 𝑘 𝑠 𝑛 − 𝑘 𝑧 −𝑛 𝑛=0 𝑘=0 𝑘=0 𝑛=0 𝑀 𝑁 = ෍ ℎ 𝑘 ෍ 𝑠 𝑛 − 𝑘 𝑧 −𝑛 𝑘=0 𝑛=0 𝑀 = ෍ ℎ 𝑘 ∙ 𝑧 −𝑘 𝑆𝑧 𝑧 𝑘=0 𝑀 = 𝑆𝑧 𝑧 ∙ ෍ ℎ 𝑘 𝑧 −𝑘 𝑘=0 = 𝑆𝑧 𝑧 ∙ 𝐻𝑧 𝑧 q.e.d. q.e.d. 8-30 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz z-Transformation & FIR-Filter Faltung von Eingangssignal s  n und Impulsantwort h  n transformiert sich unter der z -Transformation in Multiplikation von z -Transformierter S z ( z ) und Systemfunktion H z ( z ) : g  n = s  n  h  n Gz ( z ) = H z ( z )  S z ( z ) z   z −k S z ( z ) z Beweis durch Verschiebungssatz s n − k und Linearität der z -Transformation: M g  n =  h  k  s  n − k  k =0 z z M Gz ( z ) =  h  k  z − k S z ( z ) = H z ( z )  S z ( z ) q.e.d. k =0 8-31 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Faktorisierung & Kaskadierung Faktorisierung einer Systemfunktion H z ( z ) in H z ( z ) = H z1 ( z )  H z 2 ( z ) entspricht Zerlegung eines LSI-Systems H z ( z ) in Kaskade der Systeme H z1 ( z )  H z 2 ( z )      Beispiel: h n =  n − 2 n − 1 + 2 n − 2 −  n − 3      z H z ( z ) = 1 − 2 z −1 + 2 z −2 − z −3 ( )( ) = 1 − z −1  1 − z −1 + z −2 = H z1 ( z )  H z 2 ( z ) z z (  n −   n − 1)  (  n −   n − 1 +   n − 2) = h1  n  h 2 n 8-32 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Faktorisierung & Kaskadierung h  n  = h1  n   h 2  n  z H z ( z ) = H z1 ( z )  H z 2 ( z ) h  n  = h1  n   h 2  n  h1  n  H z1 ( z ) h2  n H z2 ( z ) z z H z ( z ) = H z1 ( z )  H z 2 ( z ) 8-33 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Faktorisierung & Kaskadierung Die Systemfunktion 𝐻𝑧 (𝑧) eines FIR-System kann allgemein als Polynomen angegeben werden: 𝐺𝑧 𝑧 𝐻𝑧 𝑧 = = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑧 −1 +𝑎2 ∙ 𝑧 −2 + 𝑎3 ∙ 𝑧 −3 + ⋯ 𝑆𝑧 (𝑧) 𝐺𝑧 𝑧 = 𝑎0 𝑆𝑧 𝑧 + 𝑎1 ∙ 𝑆𝑧 𝑧 𝑧 −1 +𝑎2 ∙ 𝑆𝑧 𝑧 𝑧 −2 + ⋯ z 𝑔 𝑛 = 𝑎0 𝑠[𝑛] + 𝑎1 𝑠[𝑛 − 1] + 𝑎2 𝑠[𝑛 − 2] + ⋯ 8-36 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Faktorisierung & Kaskadierung Dieses Polynom 𝑀-ter Ordnung in 𝑧 −1 kann auch in der Linearfaktordarstellung angegeben werden. 𝐻𝑧 𝑧 = 1 − 𝑛1 𝑧 −1 ∙ 1 − 𝑛2 𝑧 −1 ∙ 1 − 𝑛3 𝑧 −1 ∙ … 𝑛𝑖 : i-te Nullstelle 𝑧 − 𝑛1 ∙ 𝑧 − 𝑛2 ∙ 𝑧 − 𝑛3 ∙∙∙ 𝑧 − 𝑛𝑀 = Pol 𝑀-ter Ordnung 𝑧𝑀 𝑧−𝑛1 𝑧−𝑛2 𝑧−𝑛𝑀 = ∙ ∙∙∙ 𝑧 𝑧 𝑧 Darstellung als kaskadiertes System 𝐻𝑧 𝑧 = 𝐻𝑧1 𝑧 ∙ 𝐻𝑧2 𝑧 ∙... z ℎ 𝑛 = ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛 ∗ … 8-37 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  Die z-Transformation - das Wichtigste in Kürze Die Systemfunktion ( z -Transformierte) H z ( z ) eines FIR-Filters mit der Impulsantwort h n  −1 der Länge M + 1 ist ein Polynom vom Grad M in z Die z -Transformierte kann in Normalform und als Produkte von Linearfaktoren dargestellt   werden. Die Koeffizienten der Normalform sind gleich den Koeffizienten h n der Impulsantwort. In der Linearfaktorzerlegung können die Nullstellen direkt abgelesen werden. Ist das FIR-Filter 𝐻𝑧 (𝑧) kausal, so enthält das Polynom der Systemfunktion keine Elemente mit 𝑧 −𝑛 mit 𝑛 < 0. Die Nullstellen (und Pole) von H z ( z ) werden im PN-Diagramm veranschaulicht. H z ( z ) hat M komplexe Nullstellen, die H z ( z ) bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig bestimmen. Die Linearfaktorzerlegung kann durch Ausmultiplizieren in die Normalform überführt werden.   Da h n hier immer reell ist, treten die nicht-reellen komplexen Nullstellen immer paarweise konjugiert komplex auf. 8-38 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Die Nullstellen der Systemfunktion H z ( z ) habe Nullstelle für z = z1: H z ( z1 ) = 0 für die Eigenfunktion se n = z1 gilt: g   n  n = H z ( z1 )  z1n = 0 jˆ 1 falls z1 = 1: z = e jˆ 1n z1n =e ist komplexes Sinussignal mit Frequenz ˆ 1 wird durch H z ( z ) ausgeblendet "Nulling Filter", Anwendung: Ausblenden von Störfrequenzen (Nachrichten-, Radar-, Medizintechnik (MRT), 50 Hz-Netzbrumm, …) Nulling-Filter können durch Vorgabe der Nullstellen eindeutig bis auf eine multiplikative Konstante vorgegeben werden! Beispiele: nullfilt_mmet.m 8-39 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz FIR-Filter 1. Ordnung Filter mit Systemfunktion vom Grad M = 1: h  n  =   n  − z1  n − 1 z z − z1 H z ( z ) = 1 − z1  z −1 = z Nullstelle (NST): z1, Pol: z = 0   da h n reell: z1  ¡ℂ NST liegt auf reeller Achse falls z1 = 1 : NST liegt auf Einheitskreis z1 = 1 = e j 0 : gleitende Differenz − NST bei ˆ 1 = 0 Hochpass z1 = −1 = e j : gleitender Mittelwert − NST bei ˆ =  Tiefpass 8-40 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Nulling-Filter 2. Ordnung Ziel: Ausblenden der Frequenzen ˆ1 und ˆ 2 = −ˆ1 Vorgabe: 2 Nullstellen auf Einheitskreis jˆ 1 jˆ 2 − jˆ 1 z1 = e , z2 = e =e = z1* Systemfunktion: ( )( ) ( H z ( z ) = 1 − z1 z −1 1 − z1* z −1 = 1 − z1 + z1* z −1 + z1z1*  z −2 ) = 1 − 2 cos (ˆ1 )  z −1 + z −2 −1 Polynom vom Grad M = 2 in z doppelte Polstelle bei z = 0     Impulsantwort: h n =  n − 2 cos (ˆ1 )  n − 1 +  n − 2     8-41 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz FIR-Filter: Nulling /2 Ziel: Ausblenden der Frequenzen ˆ1 = 2 , ˆ 2 = − 2 j 2 − j 2 z1 = e = j, z2 = e = − j = z1* Systemfunktion: H z ( z ) = 1 + z −2   Impulsantwort: h n =  n +  n − 2     ( ) Übertragungsfunktion: H (ˆ ) = H z e j = 1 + e − j 2 = 2 cos (ˆ )  e − j ˆ ˆ ˆ 8-42 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz FIR-Filter: Nulling /2 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 8-43 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz FIR-Filter: Nulling /4 Ziel: Ausblenden der Frequenzen ˆ1 = 4 , ˆ 2 = − 4 j 4 − j 4 z1 = e , z2 = e = z1* Systemfunktion: H z ( z ) = 1 − 2 z −1 + z −2 Impulsantwort: h  n  =   n  − 2   n − 1 +   n − 2 Übertragungsfunktion: ( ) H (ˆ ) = H z e jˆ = 1 − 2 e − jˆ + e − j 2ˆ 8-44 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz FIR-Filter: Nulling /4 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 8-45 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  𝝅 ෝ𝒎 = FIR-Bandpass für 𝝎 𝟐 Ziel: Durchlassen eines schmalen Frequenzbandes um ˆ m = 2 ("Mittenfrequenz") 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 0 Bandpassfilter Vorgehen: 1) Verteilen M äquistanter Nullstellen auf Einheitskreis 2) Herauskürzen der Nullstellen im 𝜔 ෝ beabsichtigten Durchlassbereich Es verbleiben die Nullstellen der Systemfunktion H z ( z ) 3) Überführen in Normaldarstellung liefert Impulsantwort h n   8-46 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  𝝅 ෝ𝒎 = FIR-Bandpass für 𝝎 𝟐 1) Ausgangspunkt: z M −1 PM ( z ) = 1 − z −M = M z M äquidistante Nullstellen k j 2M zk = e , k = 1,..., M auf Einheitskreis M -facher Pol bei z = 0 Darstellung in Linearfaktoren: M PM ( z ) = z − M  ( z − zk ) k =1 hier: M = 40 8-47 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  𝝅 ෝ𝒎 = FIR-Bandpass für 𝝎 𝟐 2) Entfernen der Nullstellen im Durchlassbereich 𝜔 ෝ𝑚 Ermittlung der Nullstellen zm im Durchlassbereich Mittenfrequenz: m j 2M jˆ m M  ˆ m e =e  m= 2 für ˆ m = 2 : m = M4 (ggf. runden) ➔ zm liegt (ungefähr) mittig im Durchlassbereich Durchlassbereich nicht zu schmal ( ➔ Entfernen von je d Nullstellen beiderseits von zm hier: d = 10 M ) ➔ Durchlassbereich liegt zwischen mmin = m − d  k  m + d = mmax Die komplex konjugierten Nullstellenpaare zk , zk für mmin  k  mmax müssen entfernt * werden 8-48 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  𝝅 ෝ𝒎 = FIR-Bandpass für 𝝎 𝟐 2) Die komplex konjugierten Nullstellenpaare zk , zk* für mmin  k  mmax müssen entfernt werden Polynom PM ( z ) in Linearfaktoren besteht aus Produkt der Linearfaktoren 1 − zk z −1 Entfernung der Nullstellen im Durchlassbereich durch Division liefert Systemfunktion H z ( z ) des Bandpasses: PM ( z ) Hz ( z) =  (1 − zk z −1 )(1 − zk* z −1 ) mmax k = mmin 3) Überführen in Normaldarstellung liefert Impulsantwort h n   8-49 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  𝝅 ෝ𝒎 = FIR-Bandpass für 𝝎 𝟐 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 8-50 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz  FIR-Bandpass für 𝝎𝒎 = 𝟐𝝅 440 Hz Ziel: Durchlassen eines schmalen Frequenzbandes um m = 2 440 Hz (Kammerton A) Berechnung der Frequenz ˆ m nach Abtastung ▪ Abtastrate: r = 8192 Hz m 440 ˆ m = = 2 = 0,11 (Haupt-Aliasfrequenz) r 8192  weiterer Entwurf: wie beim Bandpass für ˆ m = 2 Kammerton gestört mit gestörter Kammerton A 820 Hz, 1 KHz, 1.5 KHz gefiltert mit Bandpass 8-51 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz FIR-Bandpass für 𝝎𝒎 = 𝟐𝝅 440 Hz 0 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 8-52 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Optimierter Bandpass, M = 34 0 𝜔 ෝ 𝜔 ෝ 8-53 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Optimierter Bandpass: Audio-Demo 𝜔 0ෝ Händel, gestört mit 384 Hz (0.094 ) und 2730 Hz (0.67) 𝜔 ෝ gestörter Händel, bandpassgefiltert 8-54 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Zusammenfassung: Systemfunktion & Filterentwurf Die z-Transformation überführt Shifts in Potenzen und Faltung in Multiplikation Die z-Transformierte der Impulsantwort heißt "Systemfunktion" Die Übertragungsfunktion ergibt sich durch Auswertung der Systemfunktion auf dem Einheitskreis Die Eigenschaften eines FIR-Filters sind durch die Nullstellen der Systemfunktion bestimmt ➔ FIR-Filter können durch gezielte Vorgabe der Nullstellen entworfen werden ➔ die z-Transformation erleichtert Filteranalyse und Filterentwurf, die tatsächliche Filterung findet im Zeitbereich statt! Hier Beschränkung auf FIR-Filter: die z-Transformation von IIR-Filtern führt zu unendlichen Reihen ➔ Konvergenz muss gesondert behandelt werden! 8-55 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Blockdiagramm eines FIR-Filters 1ster Ordnung 𝑎0 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑎0 𝑆𝑧 (𝑧) × 8-56 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Blockdiagramm eines FIR-Filters 1ster Ordnung 𝑎0 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑎0 𝑆𝑧 (𝑧) × 𝑧 −1 𝑎1 × + 𝑧 −1 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑎1 𝑧 −1 𝑆𝑧 (𝑧) 𝐺𝑧 𝑧 = (𝑎0 +𝑎1 𝑧 −1 )𝑆𝑧 𝑧 8-57 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Blockdiagramm eines FIR-Filters 1ster Ordnung 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑎0 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑎0 𝑠𝑛 𝑎0 𝑠 𝑛 × 𝑧 −1 𝑎1 × 𝑎1 𝑠 𝑛 − 1 + 𝑠 𝑛−1 𝑔 𝑛 = 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠[𝑛 − 1] 𝑧 −1 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑎1 𝑧 −1 𝑆𝑧 (𝑧) 𝐺𝑧 𝑧 = (𝑎0 +𝑎1 𝑧 −1 )𝑆𝑧 𝑧 8-58 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Blockdiagramm eines FIR-Filters N-ter Ordnung 𝑎0 𝑠𝑛 × 𝑧 −1 𝑎1 × + ⋮ ⋮ ⋮ 𝑧 −1 𝑎𝑁 × + 𝑁 𝑔 𝑛 = ෍ 𝑎𝑘 𝑠 𝑛 − 𝑘 𝑘=0 8-59 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Blockdiagramm eines FIR-Filters mit Subsystemen 𝑆𝑧 (𝑧) 𝐻1𝑧 𝑧 𝑆𝑧 (𝑧) 𝐻1𝑧 (𝑧) 𝑧 −1 𝐺𝑧 𝑧 𝐻2𝑧 (𝑧) + 𝑧 −1 𝑆𝑧 (𝑧) 𝑧 −1 𝐻2𝑧 𝑧 𝑆𝑧 (𝑧) 𝐺𝑧 𝑧 = (𝐻1𝑧 𝑧 + 𝑧 −1 𝐻2𝑧 𝑧 ) 𝑆𝑧 𝑧 8-60 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Einfache Nullstelle der Systemfunktion Hat die Systemfunktion 𝐻𝑧 𝑧 eine Nullstelle bei 𝑧 = 𝑧0 , so gilt: 𝑁 𝐻𝑧 𝑧0 = ෍ 𝑎𝑖 𝑧0−𝑛 = 0 𝑛=0 In diesem Fall kann man die Nullstelle ausklammern. Es gilt: 𝑁−1 𝐻𝑧 𝑧 = 1 − 𝑧0 𝑧 −1 ෍ 𝑏𝑖 𝑧 −𝑛 𝑛=0 Wir erhalten die Koeffizienten 𝑏𝑖 durch Polynomdivision. 8-61 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Beispiel zur Polynomdivision 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 Gegeben ist die Nullstelle bei 𝑧 = −1 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ∶ 1 + 𝑧 −1 = 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 1 + 𝑧 −1 ---------------------- 𝑧 −1 + 3𝑧 −2 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ---------------------- 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ---------------------- 0 → 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 𝑧 −1 ∙ 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 8-62 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Beispiel zur Polynomdivision 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 Gegeben ist die Nullstelle bei 𝑧 = −1 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ∶ 1 + 𝑧 −1 = 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 1 + 𝑧 −1 ---------------------- 𝑧 −1 + 3𝑧 −2 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ---------------------- 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ---------------------- 0 → 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 𝑧 −1 ∙ 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 8-63 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Beispiel zur Polynomdivision 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 Gegeben ist die Nullstelle bei 𝑧 = −1 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ∶ 1 + 𝑧 −1 = 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 1 + 𝑧 −1 ---------------------- 𝑧 −1 + 3𝑧 −2 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ---------------------- 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ---------------------- 0 → 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 𝑧 −1 ∙ 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 8-64 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Beispiel zur Polynomdivision 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 Gegeben ist die Nullstelle bei 𝑧 = −1 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ∶ 1 + 𝑧 −1 = 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 1 + 𝑧 −1 ---------------------- 𝑧 −1 + 3𝑧 −2 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ---------------------- 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ---------------------- 0 → 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 𝑧 −1 ∙ 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 8-65 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Beispiel zur Polynomdivision 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 Gegeben ist die Nullstelle bei 𝑧 = −1 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ∶ 1 + 𝑧 −1 = 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 1 + 𝑧 −1 ---------------------- 𝑧 −1 + 3𝑧 −2 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ---------------------- 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ---------------------- 0 → 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 𝑧 −1 ∙ 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 8-66 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz Beispiel zur Polynomdivision 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 Gegeben ist die Nullstelle bei 𝑧 = −1 1 + 2𝑧 −1 + 3𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ∶ 1 + 𝑧 −1 = 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 1 + 𝑧 −1 ---------------------- 𝑧 −1 + 3𝑧 −2 𝑧 −1 + 𝑧 −2 ---------------------- 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 2𝑧 −2 + 2𝑧 −3 ---------------------- 0 → 𝐻𝑧 𝑧 = 1 + 𝑧 −1 ∙ 1 + 𝑧 −1 + 2𝑧 −2 8-67 Vorlesung | Mathematische Methoden der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Volkmar Schulz