Geometria - 4to Año - III Bimestre - 2014.doc

I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría TEMA: 1 PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD DE DE SEGMENTOS SEGMENTOS TEOREMA DE THALES....

I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría TEMA: 1 PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD DE DE SEGMENTOS SEGMENTOS TEOREMA DE THALES. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR. THALES EN UN TRIANGULO TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR EJERCICIOS DE APLICACION 1. Si:. Halle "x" a) 9 b) 8 c) 10 d) 6 e) 7 a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 10 3. Halle ; Si: 2. Halle "x". Si: Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -1- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria a) 9 b) 8 c) 7 d) 12 e) 10 a) 10 b) 15 c) 12 d) 16 e) 14 4. Halle "x"; Si: 8. Halle ; Si:. a) 9 b) 8 c) 10 d) 7 e) N.A. a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 9 9. Halle : 5. Halle "x": a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A. 10. Halle : a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 6. Halle ; Si:. a) 9 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 11. Del gráfico. Si: , Halle , siendo. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 7. Halle. www.cruzsaco.edu.pe -2- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría 12. Si: Calcule: “x”. 14. Si: , Calcule: : a) 6 a) 3 b) 8 b) 4 c) 10 c) 5 d) 12 d) 6 e) 14 e) 7 13. Calcule “x”: si “G” es el baricentro del triángulo ABC. 15. En un triángulo ABC , se a) 8 traza la bisectriz interior , tal que b) 9 c) 10 calcule: d) 14 e) 15 a) 10 m b) 8m c) 9m d) 9,5 m e) 8, 5m ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. Si: calcule:. 4. Del gráfico. Si: y , Halle , siendo. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16 5. Si: ; Calcule “ x”: a) 6 2. Según el gráfico mostrado. b) 8. c) 10 d) 12 e) 14 Calcule: : Si: 6. En un triangulo ABC , por el a) 1 baricentro “G” se traza paralela b) 2 , que interseca a , en “N” , Calcule c) 3 , si : d) 4 a) 9 b) 10 c) 14 d) 15 e) 16 e) 5 7. Si: , Calcule : a) 36/5 b) 34/5 3. Si: 2 (PB) = BC; calcule: c) 5 d) 6 e) 7 8. En un triángulo ABC, , se traza la bisectriz interior , tal que calcule: : a) 1 b) 2 c) d) 3 e) a) 10m b) 8m c) 9m d) 10 m e) 8, 5m Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -3- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria 9. Halle “x”, si:. 10. Halle “x”; si. a) 7 b) 6 c) 10 d) 11 e) N.A. a) b) 2 c) 3 d) 2,5 e) 4, TEMA: 2 SEMEJANZA SEMEJANZA DE DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS 1. Si: ABC es un romboide , a) 6 b) 12 calcule:. Si: c) 8 a) 6 b) 8 d) 6 c) 4 e) 8 d) 9 e) 12 7. En un triángulo ABC se traza por su baricentro una recta paralela al lado 2. Si: , Calcule: : que interseca a en “P”, calcule : a) 4 Si:. b) 5 a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 c) 6 d) 7 8. Si: ABCD es un cuadrado e) 8 , Calcule: a) 3 3. De la figura mostrada Calcule: : b) 4 c) 5 d) 6 e) 4,5 9. En un triángulo ABC se traza la a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24 ceviana interior , tal que m BAF = 4. En un trapecio rectángulo ABCD, m C, , Calcule : // se toma el punto “P” de de a) b) c) 4 d) 2 e) 6 modo que m  CPD = 90°. Si: , Calcule : 10. En un trapecio ABCD, // las diagonales se intersecan en “P”, si: a) 4 b) 5 c) 6 d) e) y la distancia de “P” a 5. En un triángulo ABC se toma un mide 4. Calcule la distancia de “P” a punto “M” de y “N” de , de tal a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 manera que m BMN = m BCA, si: , Calcule : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Calcule : si 6. Si: Calcule:. www.cruzsaco.edu.pe -4- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Si: “CRUZ”; es un rombo , Calcule:. a) 6 b) 8 c) 2 d) 4 e) 6 12. En la figura Calcule:. a) b) c) d) e) a.b 15. Calcule: “R”: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. En un rombo ABCD, se ubica el punto medio “M” de , luego y a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 intersecan a y en “G” y “H” respectivamente, calcule:. ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. Si: “ABCD” es un romboide. Calcule: a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 3 “x”: 4. De la figura mostrada. Calcule: : a) 4 b) c) d) 2 e) 3 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 5. Halle “x”. 2. Si: “GCFE” es un cuadrado y. Calcule: : a) 20 b) 21 c) 23 d) 25 e) N.A. a) 2 b) 4 c) d) 6 6. Halle , si G: Baricentro del ABCD, e) 3 además. 3. Si: “ABCD” es un cuadrado y Calcule: : Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -5- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 7. Halle : 9. Halle. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 8. Halle “x”;. a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 10. Calcule “R”; ( T y M son puntos de tangencia) a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 TEMA: 3 RELACIONES RELACIONES MÉTRICAS MÉTRICAS EN EN EL EL TRIÁNGULO TRIÁNGULO RECTÁNGULO RECTÁNGULO 1ra RELACIÓN: Un cateto al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa por su proyección. 2 2 a = b.m c = b.n 2da RELACIÓN: La altura relativa a la hipotenusa elevada al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. 2 h = m.n www.cruzsaco.edu.pe -6- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría 3ra RELACIÓN: (Teorema de Pitágoras) La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 2 2 2 a + c =b 4ta RELACIÓN: El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a la misma. a.c = b.h EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcule , si: a) 2 b) 3 c) 4 d) 4. e) 6 5. Calcule : Si:. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 2. Calcule “x”: ( : diámetro) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 6. Si:. Calcule “R”: a) 9 b) 12 a) b) 2 c) 5 d) 8 c) 13 e) 6 d) 9 3. Si: (O y Q: centros), e) 15 Calcule “R”: 7. En un triángulo rectángulo, Halle la relación de los catetos si la relación de las proyecciones es 2. a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 8 8. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura y la bisectriz a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 interior las cuales se intersecan en 4. Calcule el valor de “x”. “Q”. Calcule , si:. a) 3 b) 3, 5 c) 4 d) 4, 5 e) 6 9. Si: “ABCD” es un cuadrado de lado 20m, calcule : a) 3m b) 4m c) 5m d) 6m Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -7- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria e) 7m a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10 13. Calcule el valor de “x”: 10. Calcule el valor de “x”: a) b) 2 c) 2 d) 1 e) 3 14. Del gráfico a) 2 b) c) 2 d) 4 e) 8. Calcule “R”. 11. Calcule : si , (T, P y Q: puntos de tangencia) a) 20 b) 24 c) 14 d) 18 e) 25 15. Calcule el valor de “R”: a) b) 2 c) 3 d) 3 e) 4 12. Calcule “x”, a) 2 b) 3 c) 4 d) 4,5 e) 5 ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. Halle “x”. 3. Calcule la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 y 20. a) 12 b) 11 c) 17 d) 9 e) 15 4. En un triángulo rectángulo de perímetro 10, el producto de sus catetos es 5. Calcule la altura relativa a la hipotenusa. a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) 5. En un triángulo 2. En un triángulo rectángulo las proyecciones de la rectángulo la hipotenusa mide 15 y la hipotenusa sobre cada cateto miden 9 y altura relativa a la hipotenusa mide 6. 12. Calcule la altura relativa a la Calcule el cateto menor. hipotenusa. a) b) c) d) e) a) 6,3 b) 7,2 c) 7 d) 4,5 e) 8,1 6. ABCD es un rectángulo de dimensiones: www.cruzsaco.edu.pe -8- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría se traza 9. Del siguiente perpendicular a la diagonal. Calcule grafico, halle “ n – m”:. a) 3,2 b) 4,8 c) 5,2 d) 5,5 e) 7,1 7. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200. Halle la longitud de la hipotenusa. a) 10 b) c) 12 d) e) 15 a) 4,2 b) 3,5 c) 7,2 d) 2,7 e) 8,9 10. Los catetos de 8. En un triángulo un triángulo rectángulo miden 3 y 4. rectángulo, calcule la altura relativa a la Halle la medida de la altura relativa a la hipotenusa si las proyecciones de los hipotenusa. catetos sobre esta miden 2 y 6. a) 2,4 b) 3,2 c) 7,1 d) 1,5 e) 5,3 a) b) c) d) e) TEMA: 4 RELACIONES RELACIONES MÉTRICAS MÉTRICAS EN EN LA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA  TEOREMA DE LAS CUERDAS. D B a n m Q b a.b = m.n A C  TEOREMA DE LAS SECANTES. B a A m P a.m = b.n n C b D  TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE. A a P B n a ² = b.n b C Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -9- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Halle "x": Si. P A M x B a) 4 b) 5 c) 6 d) 6 Q a)9 b)8 c)7 d)6 e) 6 e) 10 2. Halle "x": Si “M” es punto de tangencia. T 6. Halle: “x”: A x 8 B P Q 3 4 C 7 x P M D a) 1,5 b) 0,75 c) 0,25 d) 1,25 e) a) b) c) d) e) 1,75 7. Halle "x": 3. Halle "x": Si. A x A x B x C B P 4 3 D C 5 7 E D a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 4 a) b) c) d) e) 4. Si: , calcule : 8. Si:. Calcule “x”: a) b) 3 c) 3 d) 6 e) 2 5. Calcule , si:. a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9 9. Del gráfico, , calcule. www.cruzsaco.edu.pe -10- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría a) b) c) d) e) 13. Halle :. (P: punto de tangencia) a) 6 b) 8 c) 12 d) 12 e) 8 10. En el gráfico, “T” es punto de tangencia,. Calcule : a) b) 10 c) d) e) N.A. 14. En el gráfico. Calcule “R”. a) 3 b) 4 c) 2 d) 6 e) 5 11. Del gráfico. Calcule : a) 8 b) c) d) e) 3 15. Calcule : Si. a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 6 12. Halle : si. a) 4 b) 5 c) 6 d) 4 e) 6 ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. En la figura. Calcule : a) 2,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 2 e) 3 3. Calcule. Si a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 9. 2. Calcule “x”: Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -11- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria 7. Halle: , si. a) 7 b) 6 c) 10 d) 18 e) 9 4. En una a) 15 b) 17 c) 22 d) 16 e) 18 circunferencia se trazan dos cuerdas y perpendiculares en el punto “E”. 8. Halle si Si , calcule.. a) 2 b) 4 c) 7 d) 3 e) 5 5. En una semicircunferencia de diámetro se traza por “B” una tangente y por “A” una secante que corta a la semicircunferencia en “M” y a la tangente en “N”. Si , a) 2,3 b) 2,5 c) 5,2 d) 4,2 e) 3,3 calcule el radio de dicha 9. En un triángulo semicircunferencia. ABC inscrito en una circunferencia se a) b) c) d) e) trazan los segmentos isogonales (P en )y (R en la circunferencia). 6. Calcule , si Calcule ; si.. ( A y M son puntos a) 17,2 b) 13,5 c) 16 d) 11,3 de tangencia). e) 10,8 10. Calcule el radio de la circunferencia circunscrita a un triangulo equilátero cuyo lado mide 4. a) b) c) d) a) 6 b) c) d) e) e) TEMA: 5 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO OBLICUÁNGULO 1er TEOREMA DE EUCLIDES El lado que se opone a un "ángulo agudo" elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de estos por la proyección del otro sobre éste lado. www.cruzsaco.edu.pe -12- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría 2do TEOREMA DE EUCLIDES El lado que se opone a un "ángulo obtuso" elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de estos por la proyección del otro sobre la prolongación de éste lado. TEOREMA DE LA MEDIANA: TEOREMA DE HERÓN: EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En un triángulo ABC de lados “a”, 4. En un triángulo ABC; “b” y “c” se cumple que: a2 = b2 + c2 - , se traza la bc. Calcule la medida de uno de los altura , (H en ), calcule : ángulos interiores. a) 20 b) 29 c) 22 d) 21 e) 35 a) 45° b) 30° c) 120° d) 60° e) 135° 5. En un triángulo ABC obtuso en A, se 2. En un triángulo ABC de lados “a”, traza la altura , si: “b” y “c” se cumple que: a2 = b2 + c2 , calcule. +bc , calcule la medida de uno de los a) 5 b) 8 c) 10 d) 6 e) 4 ángulos interiores. a) 150° b) 45° c) 120° d) 135° e) 60° 6. Calcule la mayor altura de un triángulo ABC cuyos lados son: 3. En un triángulo ABC; , calcule la a) 3 b) 3 c) 4 d) 2 e) medida del ángulo “C”: a) 60° b) 45° c) 53° d) 37° e) 30° 4 Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -13- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria 7. En un trapecio ABCD, // , , calcule la longitud de dicha , calcule la ceviana si: BF = 4 altura del trapecio. a) 33 b) 30 c) 31 d) 15 e) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12 12. En un trapezoide ABCD, recto en B y 8. En un triángulo rectángulo ABC D , calcule la longitud del segmento que (recto en B) se construye exteriormente une los puntos medios de las diagonales el cuadrado ACDE de centro “O”, si: calcule si:. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 0,5 b) 1,5 c) 2 d) 1 e) 13. En un triángulo ABC, si: 9. En una semicircunferencia de centro , calcule la “O” y diámetro se traza la longitud de la bisectriz interior semicircunferencia interior de diámetro a) 5 b) 9 c) 10 d) 8 e) 12 , calcule el radio de la circunferencia inscrita en dichas semicircunferencias. 14. Las bases de un trapecio suman 14m a) b) 2 c) 3 d) 3 e) 4 y las diagonales miden 13 y 15m respectivamente, calcule la altura del trapecio. 10. En un triángulo ABC, donde a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 , calcule la longitud de la menor mediana. 15. En un triángulo ABC se traza la a) 10 b) 5 c) 15 d) 12 e) altura en la cual se ubica un punto “P” tal que el ángulo APQ es recto, 11. En un triángulo ABC, siendo “Q” punto medio del lado , , se traza la ceviana Calcule. Si:. a) 5 b) 9 c) 10 d) 6 e) 12 ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. Halle “x”: 5. En un triángulo los lados miden , 10 y 14. Halle la proyección del lado que mide , sobre el lado mayor. a) 9 b) 8 c) 12 d) 10 e) 11 6. En un triángulo ABC, se cumple que: , halle la mediana. a) 1 b) 3 c) 8 d) 5 e) 7 a) b) c) 2. En un triángulo d) e) ABC;. Calcule la mediana relativa al lado intermedio. 7. En un , se a) b) c) d) traza la ceviana tal que: e) Calcule , si. 3. En un triángulo a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7 ABC,. Calcule la altura relativa al lado intermedio. 8. Los lados de un a) 8 b) 11 c) 13 d) 12 e) 10 triángulo miden 5; 6 y 7. Halle la altura relativa al lado que miden 6. 4. En un triángulo a) b) c) ABC,. Calcule la d) e) distancia del vértice “B” al punto medio de la mediana. 9. Halle “x”: a) 17 b) 13 c) 11 d) 10 e) 16 www.cruzsaco.edu.pe -14- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría 10. Halle “x”: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 30º b) 37º c) 53º d) 60º e) 45º “La geometría perdura mas allá de lo intangible” TEMA: 6 POLÍGONOS POLÍGONOS REGULARES REGULARES TRIÁNGULO EQUILÁTERO HEXÁGONO REGULAR CUADRADO EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En una a) 8° b) 10° c) 12° d) 15° e) 18° circunferencia se traza una cuerda de 2 3. De un punto D exterior a una m, que subtiende un arco de 120°, circunferencia se trazan las secantes calcule la longitud de la cuerda que DCB y DEA, siendo diámetro, calcule subtiende un arco de 60°. la medida del ángulo BDA. Si: a) m b) 3m c) 1m d) 2 m , siendo “R” el radio de e) 4m dicha circunferencia. a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 24° 2. En una circunferencia de diámetro , se traza la cuerda paralela a 4. Calcule la medida del menor ángulo que forman las diagonales de un dicho diámetro, si = R , calcule la cuadrilátero ABCD inscrito en una medida del ángulo ABC, si:. circunferencia. Si: Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -15- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria a) 84° b) 86° c) 78° d) 88° e) 76° a) 110° b) 115° c) 112,5° d) 90° 5. En un hexágono regular cuya e) 105° diagonal mayor mide 6u, calcule la longitud de la menor diagonal. 11. En un dodecágono regular AB...L, si: a) 4 b) 3 c) 3 d) 2 e) 6 , calcule : 6. El perímetro de un hexágono regular a) 8 b) 12 c) 16 d) 8 e)8 es de 12u, calcule el perímetro del hexágono determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primero. 12. En una circunferencia se traza una a) 12 b) 8 c) 4 d) 6 cuerda de 2 m, que subtiende un arco de 120°, calcule la longitud de la cuerda e) 3 que subtiende un arco de 90°. a) m b) 3m c) 1m d) 2 m e) 4m 7. En un triángulo ABC, calcule : si la m BAC = 18° y el circunradio es de 13. En una circunferencia de diámetro +1 , se traza la cuerda paralela a a) 2 b) c) 4 d) 3 e) 2 dicho diámetro, si , calcule la medida del ángulo ABC, si:. 8. Dado un cuadrado se unen los puntos a) 8° b) 45° c) 12° d) 15° e) 18° medios de sus lados formándose otro cuadrado, si el radio de la circunferencia 14. Si la apotema de un hexágono inscrita en este cuadrado mide 2, calcule regular ABCDEF, mide 2 , calcule el perímetro del cuadrado inicial. a) 8 b) 8 c) 32 d) 16 : a) 6 b) 4 c) 8 d) 6 e) 4 e) 12 15. De un punto “D” exterior a una 9. El lado de un cuadrado inscrito en circunferencia se trazan las secantes una circunferencia mide , calcule la DCB y DEA, siendo diámetro, longitud del lado del cuadrado calcule la medida del ángulo BDA. Si: circunscrito a la misma circunferencia. , = R , siendo “R” el a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 2 radio de dicha circunferencia. a) 10° b) 12° c) 15° d) 20° e) 24° 10. En un octógono regular ABCDEFGH, calcule la medida del mayor ángulo formado por las diagonales y ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. Calcule “x + y”: 3. Del grafico, calcule “x” si:. a) 120º b) 140º c) 100º d) 210º e) 150º a) 30º b) 40º c) 54º d) 60º e) 75º 2. Si la diagonal 4. En una circunferencia están inscritos un de un pentágono regular mide , triángulo equilátero y un cuadrado. Si el Halle su perímetro. lado del triángulo equilátero es , a) 5 b) 10 c) 8 d) 7 e) 11 calcule el perímetro del cuadrado. www.cruzsaco.edu.pe -16- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría a) b) 12 c) d) 24 a) 15º b) 30º c) 45º d) 50º e) 75º e) 8. Halle : 5. Calcule “x”: a) 6 b) 4 c) 3 d) 10 e) 5 9. Halle ;R= a) 75º b) 78º c) 45º d) 10º e) 72º 6. 6. Si el radio es , calcule “x + y”: a) 3 b) 2 c) 1 d) 1,5 e) 2,5 10. es el lado del hexágono regular inscrito y es el lado del triángulo equilátero. Calcule a) 105º b) 160º c) 175º : d) 165º e) 130º 7. Calcule , si la figura está formada por dos polígonos regulares. a) 54º b) 36º c) 108º d) 72º e) 144º TEMA: 7 ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES  DEFINICIÓN: Es la medida de una región o superficie, se expresa en unidades cuadradas de longitud: m2; cm2; pies2; etc.  REGIONES POLIGONALES: Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -17- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria Región triangular Región cuadrangular Región Hexagonal Nota: Para abreviar se dirá: área del triángulo, área del cuadrilátero; entendiéndose desde luego que nos referimos al área de la región correspondiente.  ÁREA DE REGIONES POLIGONALES CUADRADO RECTÁNGULO PARALELOGRAMO S = l2 S=a.b S = b.h  TRIÁNGULO b S a b. h b. h a. b S S S 2 2 2  ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO L L L2 3 S S 4 L  FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA PARA EL ÁREA DEL TRIÁNGULO  FÓRMULA DE HERÓN (EN FUNCIÓN DE LOS LADOS) www.cruzsaco.edu.pe -18- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcule el área de la región triangular cuya hipotenusa mide 4 y un ángulo mide 30 a) 4 b) c) 3 d) 6 e) 2 2. Calcule el área de la región sombreada. a) 20m2 b) 30m2 c) 50m2 d) 40m2 e) 60m2 6. Halle ; T: punto de tangencia. a) 2 b) 4 c) 3 d) 12 e) 6 3. Calcule el área de la figura sombreada a) b) c) d) e) N.A. 7. Calcule el área de la región sombreada. a) 18 b) 12 c) 6 d) 6 e) 12 4. Las bisectrices de los ángulos A y C de un triángulo rectángulo ABC (m B = 90) se cortan en “E”, si. Calcule el área de la región AEC. a) 10 b) 10 c) 10 a) 7 b) 2 c) 14 d) 14 e) 20 d) 7 e) 14 5. Halle el área sombreada si 8. El área de un triángulo es 120. Calcule el área del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de dos lados y el baricentro del triángulo. a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 c) 24 9. En un triángulo se tiene que dos de sus medianas son perpendiculares entre Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -19- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria si. Calcule el área de la región limitada 12. La altura de un triángulo equilátero por el triángulo, sabiendo que dichas mide. Calcule el área del triángulo. medianas miden 6 y 8. a) 42 b) 38 c) 40 d) 34 e) 32 a) U2 b) 2 U2 c) 3 U2 d) 1.5 U2 10. En la figura : : mediana, S1 = 19, e) 2 U2 S2 = 11 Calcule : 13. Dos lados de un triángulo isósceles miden 13 y 10. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el área de su región triangular? a) 25 b) 27 c) 32 d) 20 e) 30 14. En un triángulo ABC (m B = 90), se levanta la perpendicular a , tal a) 10 b) 8 c) 15 d) 7 e) 6 que. Calcule el área del triángulo BPC, si. 11. Calcule : Si: a) 2 b) 3 c) d) 2. e) 2 15. Calcule el área de la región triangular ABC, si , m A = 2mC y la longitud desde el pie de la altura trazada desde “B” hasta el punto “C” es igual a 15. a) 8 b) 16 c) 12 d) 10 e) 6 a) 50 b) 50 c) 100 d) 50 e) 25 ACTIVIDAD DE EXTENSIÓN 1. Calcule el área 4. Calcule el área de un triángulo rectángulo si la de un triángulo equilátero cuyo hipotenusa mide 4m y ángulo agudo circunradio mide 2cm. mide 30º. a) b) c) a) b) c) d) d) e) e) 5. Calcule el área 2. La suma de los de la región sombreada, si el área de la catetos de un triángulo rectángulo es 7 región del triángulo ABC es 180m2. cm y la hipotenusa mide 5 cm. Calcule su área. a) 4cm2 b) 6cm2 c) 8cm2 d) 10cm 2 e) 12cm2 3. Calcule el área de un triángulo equilátero cuyo inradio mide 2cm. a) b) c) d) e) a) 20m2 b) 50m2 c) 60m2 d) 40m2 e) 10m2 www.cruzsaco.edu.pe -20- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. Calcule el área de un triángulo equilátero cuya base mide cm. a) b) c) d) e) 6. En la figura, 9. Halle : si calcule el área de la región sombreada si el área de la región del triángulo ABC. es 15m2. a) 6 b) 8 c) 12 d) 9 e) 16 a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 10. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la ceviana 7. Halle el área interior tal que sombreada. Si.. Calcule el área de la región triangular ADC. a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 42 El secreto del éxito está en la persistencia del objetivo Benjamín Disraeli PROYECTO PROYECTO 1. Halle: "x" a) 4225 b) 5225 c) 6225 a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) N.A. d) 2225 e) N.A. 3. Los lados de un 2. Halle: : si R triángulo miden 8, 15 y 16. ¿Cuánto se = 12; r = 3 debe quitar a cada lado para que al final resulte un triángulo rectángulo?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -21- Teléfono: 719 – 8282  I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA III Bimestre – 4º Grado de Secundaria 4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Halle la altura relativa a la hipotenusa. 60 30 15 10 a) 13 b) 13 c) 13 d) 13 a) 3 b) 10 c) 3 10 d) 2 10 e) 5 10 20 e) 13 11. Halle: " CL ": A 5. En un triángulo ABC: L ym A = 60º. R Halle : a) 11u b) 12 c) 13 d) 10 e) 14 O R B R C 6. Halle "x": 3R 5 a) 5 b) 3R c) 2R d) R 5 e) N.A. 12. Determina la medida de la base de un triángulo de 300cm2 de área, sabiendo que la relación que hay entre la base y la altura a) 105º b) 120º c) 90º es de 2 a 3. d) 135º a) 10cm b) 15 c) 20 d) 25 e) e) 145º 30 7. Halle "a": 13. Halle el área de Si: un triángulo rectángulo cuya hipotenusa A mide 30m y el radio de la circunferencia inscrita mide 6m. a) 180m2 b) 190 c) 200 d) 216 e) 222 a a 3 14. La razón de las áreas de 2 círculos es 4/9. ¿Cuál es la H B a C razón de sus diámetros? a) 5u b) 4 c) 7 1 2 1 3 4 d) 6 e) 8 a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 5 8. En un trapecio 15. El lado de un isósceles ABCD: cuadrado inscrito en un círculo mide. 6cm. Calcule el área del círculo. Halle : a) 10pcm2 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 a) 2 41 b) 2 43 c) 50 d) 3 43 e) 3 41 16. En una circunferencia se tiene una cuerda de 9. Una 24m cuya flecha mide 8m. Halle el área circunferencia tiene 10cm de radio, se del círculo. traza una cuerda , AB sobre la cual se a) 149pm2 b) 162 c) 169 d) 172 e) ubica un punto ''M'' de modo que los 175 segmentos determinados sobre dicha cuerda miden 5 y 12cm. Calcule la 17. Halle el área de distancia desde el punto ''M'' hacia el la región sombreada, r = 2cm. "0" y "0 1" centro de la circunferencia. a) 10cm b) 2 10 c) 5 d) 2 5 e) 4 5 son centros. 10. Siendo: AF = 10cm; = 5cm; además AP y PQ están FM en la relación de 3 a 2. Halle: " AQ ": www.cruzsaco.edu.pe -22- “Formamos Talentos” I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA Geometría 19. El área de un 2 cuadrado es 64m. Calcule el área de otro cuadrado, cuyo lado mida igual a la diagonal del primero. a) 90m2 b) 100 c) 128 d) 132 e) 140 20. Siendo: AOB un a) 10pcm2 b) 8 c) 12 d) 14 e) cuadrante de circunferencia, de 4cm. de 16 radio. Halle el área de la región sombreada. 18. Halle el área de A un rectángulo cuyo perímetro es 300m y sus dimensiones son entre sí como 2 es a 3. a) 3800m2 b) 4200 c) 4800 d) 5400 e) 6200 O B a) p-2 b) 2(p-2) c) 4(p-2) d) 5p-2 e) N.A. Las personas no son recordadas por el número de veces que fracasan, sino por el número de veces que tienen éxito. Thomas Alva Edison Nuestra Central: Jr. Carlos Salaverry N° 3816 -23- Teléfono: 719 – 8282