Problemas Capítulo 03 - Física - LEGI 2023-2024 PDF

J. Bernardino Lopes Física – LEGI 2023-2024 Problemas Capítulo 03 Cinemática 1. Um comboio sai da estação de Lisboa/Oriente às 10 horas da manhã, com destino a Porto/Campanhã, seguindo a uma velocidade de 140 km por hora. Meia hora mais tarde um outro comboio sai da estação...

J. Bernardino Lopes Física – LEGI 2023-2024 Problemas Capítulo 03 Cinemática 1. Um comboio sai da estação de Lisboa/Oriente às 10 horas da manhã, com destino a Porto/Campanhã, seguindo a uma velocidade de 140 km por hora. Meia hora mais tarde um outro comboio sai da estação de Porto/Campanhã, situada a uma distância de 320 km, na direção de Lisboa/Oriente, a uma velocidade de 120 km por hora. Determine a distância, em relação à estação de Lisboa/Oriente, do ponto em que os comboios se cruzam. 2. Dois automóveis fazem o percurso Porto-Bragança-Porto, num total de 220 km. O primeiro automóvel (A) desloca-se, durante todo o percurso, a uma velocidade de 100 km por hora. O segundo automóvel (B) efetua a viagem de ida (Porto-Bragança) a uma velocidade de 130 km por hora, mas no regresso a velocidade utilizada foi de apenas 70 km horários. Admitindo que as viaturas partiram ao mesmo tempo e utilizaram o mesmo percurso, diga (se for o caso) qual deles concluiu a viagem em primeiro lugar e quanto tempo ganhou no percurso em relação ao segundo. 3. Obtenha a velocidade e a aceleração para os seguintes movimentos (expressos segundo a equação da posição em função do tempo (unidades SI): 3.1 x(t) = 2t2 – 8t + 1 3.2 x(t) = t3 + 5/2 t2+ 11/2 t + ½ 3.3 x(t) = 17t + 10 3.4 x(t) = -5t2 + 10t – 50 4. Classifique cada um dos movimentos anteriores (exercício 3) segundo as seguintes categorias possíveis: 1. Movimento retilíneo uniforme; 2. Movimento retilíneo uniformemente variado; 3. Outras situações. 5. O gráfico da figura indica uma série de movimentos efetuados por um ponto material, que parte da origem, em termos da sua velocidade (em função do tempo) 5.1 Descreva o movimento em termos de equações de velocidade e posição em todos os seus intervalos. 5.2 Qual o deslocamento do ponto material durante a totalidade do movimento? 5.3 Classifique os diferentes tipos de movimento nos intervalos de tempo seguintes [0. 1[; [1, 3[; [3; 4.33[; [4.33; 5[; [5, 6] 6. Um indivíduo salta do alto de um edifício de 15 metros de altura, com um movimento completamente vertical. Quando atinge o solo cai em cima de um monte de areia, afundando- se 50 cm nesta. Calcule a desaceleração da pessoa quando atinge a areia e expresse-a em termos de g. 2/11 7. Calcule a velocidade escalar média de uma partícula durante o período de tempo em que se desloca ao longo de uma distância de 60 m a uma velocidade de 3 m.s-1 e, depois, percorre igual distância a uma velocidade de 2 m.s-1. 8. Um automóvel sobe uma colina, à velocidade escalar de 40 km.h-1 e, desce-a à velocidade escalar de 60 km.h-1, regressando ao ponto de partida. Calcule a velocidade escalar média para a totalidade do percurso. 9. Dois automóveis partem ao mesmo tempo de Vila Real rumo a Lisboa (distância total de 420 m). Um deles efetua as viagens de ida e de regresso à mesma velocidade média de 80 km.h-1. O outro efetua a viagem de ida a uma velocidade média de 100 km.h-1 e a de regresso à velocidade média de 60 km.h-1. Qual deles regressará primeiro a Vila Real? Diga a que distância da cidade de Vila Real estará o automóvel mais atrasado, quando o outro chegar. 10. A aceleração de um corpo que se move ao longo do eixo dos xx’ é dada pela expressão a=4t-2 (ms-2). Sabendo que a velocidade inicial do corpo é de 10 m.s-1 e que o corpo parte da origem, calcule: a) as expressões que descrevem a velocidade e a posição do corpo em qualquer instante de tempo; b) o espaço percorrido nos primeiros 10 s do movimento. 11. A posição de uma partícula, com movimento retilíneo ao longo do eixo xx’, é dada pela expressão x=3t-4t2+t3 (x em metros, t em segundos). a) Qual a posição da partícula nos instantes, t=1 s e t = 2 s? b) Qual o deslocamento entre os dois instantes atrás referidos? c) Qual a velocidade média entre os instantes t=2 s e t=4s? 12. Suponha que dá um empurrão num trenó de modo a que ele suba um terreno ligeiramente inclinado. O movimento é descrito pela seguinte equação x(t)=18-12t+1,2t2 onde x representa a distância percorrida ao longo da colina e t o tempo. a) Represente graficamente o movimento; b) Determine o deslocamento do trenó entre os instantes t=1 s e t=7 s; c) Determine a expressão para a velocidade em função do tempo; d) Represente graficamente a velocidade em função do tempo; e) Calcule a aceleração em função do tempo. 13. Um veículo A movendo-se com velocidade constante ultrapassa um veículo B no instante t=0 s, quando este inicia o seu movimento. Analisando o gráfico mostrado na figura ao lado, classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando: a) B ultrapassou A no instante t= 4 s, depois de percorrer 80 m. 3/11 b) B ultrapassou A no instante t= 4 s, depois de percorrer 160 m. c) B ultrapassou A no instante t=4 s, depois de percorrer 180 m. d) B ultrapassou A no instante t=8 s, depois de percorrer 160 m. e) B ultrapassou A no instante t= 8 s, depois de percorrer 320 m. 14. O gráfico v(t) da figura ao lado representa a velocidade de uma partícula em função do tempo. a) Calcule a aceleração da partícula nos intervalos de tempo [0, 2], [2, 4], [4, 5] e [5, 6] s b) Calcule o espaço percorrido nesses intervalos de tempo. 15. Durante o lançamento de uma bola de ténis, a velocidade da bola aumenta de forma constante de 0 para 50 m.s-1 enquanto esta está em contacto com a raquete, ou seja, durante um intervalo de tempo extremamente pequeno. Enquanto dura esse contacto, a bola move- se aproximadamente 1 m. Calcule: a) o módulo da aceleração da bola, enquanto está em contacto com a raquete; b) o intervalo de tempo em que a bola está em contacto com a raquete. 16. Uma pedra foi lançada verticalmente por uma pessoa 1,5 m acima do solo. O tempo que a pedra levou para atingir a altura máxima foi de 1,2 s. a) Determine a velocidade inicial da pedra. b) Quais as expressões da velocidade e da posição da pedra? Represente graficamente v(t) y(t). c) Calcule o deslocamento e o espaço percorrido pela pedra, desde o instante do lançamento até esta atingir o solo. 17. Um objeto é largado de uma ponte situada 45 m acima do nível da água, caindo sobre um barco que se move com velocidade constante e que está a 12 m do ponto de impacto quando o objeto é largado. Qual a velocidade do barco? 18. Um automóvel arranca do repouso e tem uma aceleração de 2,0 m.s-2 durante 30 s. A partir desse instante adquire velocidade constante. Considerando que o veículo efetua um movimento retilíneo, calcule a velocidade máxima atingida, a distância percorrida e, a velocidade escalar média para os primeiros 60 s do movimento. 19. Um automóvel está parado num cruzamento. No instante em que o semáforo fica verde, passa por ele uma mota com velocidade constante de 15 m.s-1. Se nesse mesmo instante, o automóvel começar a mover-se com uma aceleração constante de 2 m.s-2, determine: a) a distância percorrida pelo automóvel até alcançar a mota; b) o tempo necessário para que isso aconteça. 4/11 20. Uma pedra é deixada cair para o interior de um poço e ao fim de 2,4 s após o lançamento ouve-se o barulho da pedra a atingir a água. Considerando que a velocidade de som no ar é de 336 m.s-1, determine a altura entre o topo do poço e a superfície da água 21. Uma bola é lançada verticalmente para cima do alto de uma torre, com velocidade de 30 m.s-1. Decorridos 4 s, deixa-se cair uma outra bola, do mesmo local. Calcule o instante, contando desde o início do movimento, em que ambas as bolas se encontram. 22. Considere o movimento definido pelas seguintes equações paramétricas: x = 0.3 - 3 t + 5 t2 – t3 y = 1.2 -6 t + t2 22.1 Obtenha as expressões da velocidade para os eixos xx e yy: 22.2 Em algum instante de tempo o objeto vai parar? Em caso afirmativo diga qual o vetor posição do ponto em que o objeto pára. 23. Uma pessoa dispara um projétil, ao nível do solo, com uma velocidade inicial de 50 ms -1 fazendo um ângulo Θ com a horizontal. Pretende atingir-se um alvo localizado a 200 metros de distância, ao nível do solo. 23.1 Quais são os ângulos que permitem atingir o alvo? 23.2 Para cada um dos casos anteriores, indique a altura máxima atingida e o tempo decorrido até o projétil atingir o alvo. 24. Um projétil é lançado do alto de um rochedo com 5 metros de altura com um ângulo que faz 60º com a horizontal. Ao fim de percorrer 50 m segundo xx atinge um ponto situado no solo. Calcule a velocidade inicial do lançamento e a altura máxima atingida pelo projétil 25. Um avião sobrevoa um campo de treino da Al-Qaeda a uma altitude de 2000 metros, num voo completamente horizontal com velocidade de 200 ms-1. No instante em que o avião passa na vertical, um dos soldados dispara um obus a partir do solo com o objetivo de atingir o avião. Este é atingido pelo projétil 4 segundos depois do seu lançamento. Calcule a velocidade inicial do projétil e o seu ângulo de lançamento. 5/11 26. Num desafio de futebol, o Cristiano Ronaldo remata um livre a 25 metros da baliza. No caso de no instante do remate o ângulo do vetor velocidade com a horizontal for de 40º, qual a velocidade que terá que ter a bola para entrar na baliza? Nota: não esqueça de verificar se a bola passou sobre a barreira (suponde que está localizada a uma distância de 10 metros e os jogadores têm uma altura de 1,90 m. 27. O deslocamento de uma partícula é dado pelas seguintes expressões: x(t) = 0,31t2 + 7,2t + 28 (m) y(t) = 0,22t2 + 9,1t + 30 (m) Calcule o vetor posição e o vetor velocidade no instante t = 1 s. 28. A posição de uma partícula que se move no plano xy é dada por 𝑟⃗(𝑡) = (2𝑡 3 − 5𝑡)𝑖̂ − (6 − 7𝑡 4 )𝑗̂ (m). Para t= 2 s, calcule o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração. 29. Um projétil é disparado horizontalmente do cimo de uma torre de 60 m de altura, com 𝑣0 = 20𝑖̂ (m.s-1). Considere desprezáveis os atritos. velocidade ⃗⃗⃗⃗⃗ Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando em cada caso, a sua opção: a) O valor da componente tangencial da aceleração, no instante t=3 s é 10,6 m.s-2. b) O valor da componente normal da aceleração, no instante t=3 s é 5,5 m.s-2. 30. Um projétil é lançado horizontalmente de uma altura ℎ com velocidade inicial de módulo 2ℎ 𝑣0. Mostre que o projéctil tocará o solo à distância 𝑣0 √ 𝑔. 31. Uma pedra é projetada com a velocidade inicial de 40 m.s-1, fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. A pedra atinge um rochedo de altura ℎ passados 6 s após o lançamento. Determine: a) a altura do rochedo; b) a velocidade da pedra no instante do impacto; c) a altura máxima atingida pela pedra. 32. Um avião desloca-se numa trajetória retilínea, a uma velocidade constante de 300 m.s-1 e a uma altura de 2000 m do solo. Quando passa na vertical de uma peça de artilharia, apontada numa direção que faz um ângulo de 60° com o eixo dos xx, esta dispara. Após alguns segundos, o projétil atinge o avião. Calcule: a) a velocidade de lançamento do projétil; b) o menor intervalo de tempo que o projétil leva a atingir o avião. 6/11 33. Um objeto desloca-se sobre uma mesa, seguindo uma trajetória retilínea, com uma velocidade 𝑣0. Ao atingir a borda da mesa desloca-se segundo a trajectória descrita na figura. a) Determine a velocidade 𝑣0 (antes da queda). b) Escreva as expressões de 𝑣⃗(𝑡) e 𝑟⃗(𝑡)para o movimento do projéctil. c) Determine o valor da velocidade quando o objeto atinge o solo. 34. Um avião enquanto sobe deixa cair uma bomba, no instante em que a sua velocidade tem o valor de 200 m.s-1 e a sua trajetória faz um ângulo α com a horizontal. Nesse instante, o avião encontra-se a 1500 m de altitude, sin(α) = 0,6 e cos(α) = 0,8. Determine: a) a distância entre o ponto em que a bomba toca o solo e a vertical que contem o ponto de lançamento. b) o valor da velocidade da bomba no instante em que chega ao solo. 35. Um motociclista acrobata pretende saltar o desfiladeiro, de 10 m de largura, representado na figura, indo de A para B. As duas margens do desfiladeiro têm um desnível de 3 m. A margem mais baixa tem uma inclinação de 30°. A velocidade máxima conseguida na subida, pela motocicleta utilizada, é de 60 km.h-1. a) Por meio de cálculos, justificar que o salto poderá ser tentado com segurança. Nestas condições: b) Determinar a posição do ponto mais alto atingido pelo motociclista na sua trajetória. c) Calcular a que distância de B o motociclista voltará a tocar o solo. 36. Um automóvel percorre uma curva de raio 150 m, à velocidade constante de 60 km.h-1. Calcule a componente normal da aceleração do automóvel. 37. Uma partícula descreve um movimento circular de raio 1 m, de acordo com a lei s(t) = 3t2 - 2t (m). Calcule a componente normal e a componente tangencial da aceleração. 38. A hélice de um ventilador (r=15 cm) completa 1200 rpm. Considerando um ponto na sua extremidade, calcule a velocidade nesse ponto e a aceleração centrípeta. 7/11 39. A Terra está a 1,5×108 km do Sol e dá uma volta completa em torno deste, numa órbita aproximadamente circular, durante 365 dias e 6 horas. Calcule a velocidade orbital e a sua aceleração centrípeta. 40. Um automóvel executa uma curva num circuito, A curva tem um raio de 250 metros e a velocidade do carro é de 250 km/h. Determine (em termos de aceleração da gravidade) qual a aceleração centrípeta a que está sujeito o piloto. 41. Num parque de diversões, uma roda gigante de raio 40 metros executa o seu movimento completo num intervalo de tempo de 3 minutos. Calcule a sua velocidade e a aceleração centrípeta causada pelo movimento 42. Numa trajetória curvilínea de uma estrada, um automóvel aborda uma curva de raio 100 metros a uma velocidade inicial de 50 km/h. Durante o espaço percorrido na curva (correspondente a um ângulo central de 20º), o automobilista acelera um pouco. Sabendo que a máxima aceleração centrípeta que o sistema aguenta é de 0.4 g, determine a velocidade máxima que o condutor pode atingir sem por em causa a estabilidade do movimento. Supondo a aceleração linear como constante, escreva o vetor aceleração no final da curva. 43. A Terra gira sobre si própria em 24 ℎ. Calcule a velocidade de rotação da Terra e a aceleração centrípeta de um ponto localizado na sua superfície, considerando rT = 6370 km. 44. Duas partículas 1 e 2 movem-se ao longo dos eixos dos xx e dos yy com velocidades 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗1 = 2𝑖̂ (m.s-1) e ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 = 2𝑗̂ (m.s-1). No instante t = 0 s ocupam, respetivamente, as posições P1 = (−3, 0) (m) e P2 = (0, -3) (m) a) Escreva as expressões dos vetores ⃗⃗⃗⃗(𝑡) 𝑟1 e ⃗⃗⃗⃗(𝑡) 𝑟2 que definem a posição das partículas 1 e 2 em relação à origem dos eixos. b) Determine o vetor 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 que representa a posição da partícula 2 em relação à partícula 𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗ 1. c) Calcule o instante em que a distância entre as duas partículas tem o valor mínimo e determine esse valor. 45. Considere que um observador A obtém, para a partícula P, a velocidade de 3𝑗̂ (m.s-1) e aceleração de 4𝑖̂ (m.s-2), respetivamente. Um observador B move-se com velocidade -1 constante relativamente a A, 𝑣 𝐵/𝐴 = 2𝑖̂ − 𝑗̂ (m.s ) Calcule, em relação a B: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a) A velocidade de P. b) A sua aceleração. 46. Uma carroça move-se retilineamente com velocidade constante de módulo 10 m.s-1. Um rapaz, em cima da carroça, desloca-se em sentido contrário com velocidade de 5 m.s-1. Qual a velocidade do rapaz medida por um camponês que se encontra no solo? 8/11 47. Um automóvel e um camião deslocam-se com velocidades de 90 km.h-1 e 60 km.h-1, respetivamente. Calcule a velocidade do automóvel, medida pelo motorista do camião, nos seguintes casos: a) a estrada é retilínea e os veículos viajam no mesmo sentido; b) a estrada é retilínea e os veículos viajam em sentidos opostos; c) os veículos passam num cruzamento de estradas perpendiculares. 48. Um piloto conduz um avião à velocidade de 300 km.h-1 em relação ao ar e pretende chegar a uma localidade situada a 800 km a Noroeste do ponto de partida. Durante todo o trajeto sopra vento de Leste com velocidade de 60 km.h-1. Determine: a) a orientação que o avião teve de ter durante todo o trajeto; b) a duração do trajeto. 49. Um barco que se desloca à velocidade de 8 km.h-1 em relação à água está a subir um rio, contra a corrente, cuja velocidade em relação à margem é de 3 km.h-1. Um objeto caiu do barco e ficou a flutuar na água. O piloto deu conta do desaparecimento do objeto 30 minutos depois, instante em que inverteu a marcha e foi recuperar o objeto. Determine: a) quanto tempo demorou o barco a ir desde o ponto de viragem até ao ponto em que conseguiu recuperar o objeto perdido; b) a distância percorrida pelo barco desde o ponto de viragem até encontrar o objeto. 50. Um rapaz sentado num vagão aberto que se move na horizontal, com velocidade constante de 4 m.s-1, lança uma bola de baixo para cima e vê-a mover-se na vertical. A bola demora 0,8 s a atingir o ponto mais alto. Um homem parado fora do vagão observa também o movimento da bola. Despreze os atritos e a resistência do ar. a) Descreva a trajetória da bola, do ponto de vista do homem, desde o instante de lançamento até atingir a altura máxima. Fundamente a sua resposta. b) Determine a velocidade da bola em relação a cada um dos observadores, 1,1 s após o lançamento. 51. Um corpo descreve uma trajetória dada pelas equações x = bt e y = (1/2)bt2. Determinar: (a) A velocidade e a aceleração do corpo. (b) As componentes tangencial e normal da aceleração. (c) Raio de curvatura 52. Pretende-se atravessar um rio de 26 m de largura com um barco a fim de chegar a um ponto na margem oposta num ponto 60 m a jusante, em 15 segundos. Calcular a direção e o valor da velocidade do barco se a velocidade da água do rio for 3 m/s. 53. Um dispositivo de rega, a 1,5 m do solo, usa jatos de água que à saída do tubo tem uma velocidade de 20 m/s e faz um ângulo com a horizontal de 40º. Há um vento contrário de 4 m/s paralelo ao terreno. Determinar: (a) a altura máxima atingida pelo jato de água. (b) o alcance da água e o tempo necessário para fazer o trajeto. (c) o efeito do vento na altura máxima e no alcance. 54. A cabine de um elevador tem 3 m de altura e sobe com a aceleração de 1,0 m/s2. Quando o elevador se encontra a uma certa altura do solo uma pessoa deixa cair um objeto da altura de 1,5 m em relação ao piso do elevador. Quanto tempo demora a chegar ao chão da cabine do elevador? 9/11 SOLUÇÕES 1- 204 km. 19. a). 225 m; b). 15 s. 2- A viatura A chega primeiro (diferença de 20. 26,4 m. 13 minutos). 21. 8 s. 2 3- 3.1. v = 4 t – 8; a= 4; 3.2. v = 3t + 5 t + 11/2; a = 6 t + 5; 3.3. v = 17; a = 0; 22.1 vx = - 3 + 10 t – 3 t2; vy = -6 + 2 t; 3.4. v = -10 t + 10 ; a = -10 62.2. O objeto pára no ponto com o vetor posição r = - 9.3 i – 7.8 j 4-: movimento tipo 1: 3.3; movimentos tipo 2: 3.1 e 3.4; Movimento tipo 3: 3.2. 23.1. θ1 = 26.5º, θ 2 = 63.5º 63.2. t1 = 4.5 s; H1 = 25 m; t2 = 9 s; H2 = 5.1 [0, 1[ v = 2 t ; x = t2; 100 m [1, 3[ v = 2; x = 2.t – 1; [3, 5[ v=-1,5.t + 6,5; x=-0.75.t2 + 6,5.t-7,75; 24. v0 = 23,4 ms-1; hmáx = 28,7 m [5, 6[ v = t - 6; x = -0,5.t2 – 6.t + 23,5 5.2 5,5 m 25. v0 = 557 ms-1; θ = 30º 5.3 [0, 1[ mov. rect. unif. acelerado; [1, 3[ mov. rect. uniforme; [3, 4.33[ mov. rect. 26. 15,9