Equilibre d'un solide soumis à trois forces PDF

Equilibre d’un solide soumis à trois forces non parallèles I-Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces : 1-Expérience : On étudie l’équilibre d’une plaque de masse négligeable. La plaque est soumis à l’action de trois forces 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 et 𝐹⃗3. 2-Observat...

Equilibre d’un solide soumis à trois forces non parallèles I-Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces : 1-Expérience : On étudie l’équilibre d’une plaque de masse négligeable. La plaque est soumis à l’action de trois forces 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 et 𝐹⃗3. 2-Observations : On constate que les trois forces 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 et 𝐹⃗3 :  Sont situées dans le même plan, on dit qu’elles sont coplanaires ;  Se coupent en un même point O, on dit qu’elles sont concourantes.  3-Relation entre les vecteurs forces : 3-1-Méthode graphique : En traçant le polygone des forces à une échelle choisie. On place l’origine d’un des vecteurs à l’extrémité de l’autre vecteur et on complète le triangle. La ligne polygonale des trois forces est fermée traduit graphiquement la relation vectorielle : ⃗𝑭⃗𝟏 + ⃗𝑭⃗𝟐 + ⃗𝑭⃗𝟑 = ⃗𝟎⃗ 3-2-Méthode analytique : Dans un repère orthonormé les coordonnées de chaque force sont : 𝑭 =𝟑 𝑭 = −𝟑 𝑭 =𝟎 ⃗𝑭⃗𝟏 ( 𝟏𝒙 ) ⃗𝑭⃗𝟐 ( 𝟐𝒙 ) ⃗𝑭⃗𝟑 ( 𝟑𝒙 𝑭𝟏𝒚 = 𝟎 𝑭𝟐𝒚 = 𝟒 𝑭𝟑𝒚 = −𝟒) La projection des trois forces sur l’axe Ox et Oy donne : 𝑭𝟏𝒙 + 𝑭𝟐𝒙 + 𝑭𝟑𝒙 = 𝟎 {𝑭 + 𝑭 + 𝑭 = 𝟎 𝟏𝒚 𝟐𝒚 𝟑𝒚 1  ⃗⃗𝟏 + 𝑭 Donc : 𝑭 ⃗⃗𝟐 + 𝑭 ⃗⃗ ⃗⃗𝟑 = 𝟎 4-Condition d’équilibre : Si un slide soumis à trois forces ⃗𝑭⃗𝟏 , ⃗𝑭⃗𝟐 et ⃗𝑭⃗𝟑 non parallèles est en équilibre : -les trois forces sont coplanaires et concourantes. -la somme vectorielle des trois forces est égale au vecteur nul : 𝑭 ⃗⃗𝟏 + 𝑭 ⃗⃗𝟐 + 𝑭 ⃗⃗𝟑 = 𝟎 ⃗⃗ II-Force de frottement : 1-Expérience : Sur une table horizontal, on place un corps (C) sur lequel on exerce une force 𝐹⃗ à l’aide d’un dynamomètre (D), comme l’indique la figure. On augmente successivement l’intensité de la force 𝐹⃗ jusqu’à ce que le corps (C) se mette en mouvement. 2-Angle de frottement : On constate que la réaction 𝑅⃗⃗ exercée par la table n’est pas perpendiculaire à la surface de contact, elle forme un angle 𝜑 avec la normale qu’on appelle angle de frottement. On peut décomposer la réaction 𝑅⃗⃗ en deux composantes : 𝑅⃗⃗𝑁 : La composante normale. 𝑅⃗⃗𝑇 : La composante tangentielle qui s’appelle force de frottement 𝑓⃗. 𝑹𝑻 𝒕𝒂𝒏𝝋 = 𝑹𝑵 On appelle le coefficient de frottement : 𝒌 = 𝒕𝒂𝒏𝝋 2 3-Angle de frottement statique : Le corps (C) est en équilibre sous l’action de trois forces : 𝐹⃗ , 𝑅⃗⃗ et son poids 𝑃⃗⃗. A cause de frottement le corps (C) reste en équilibre tend que la force 𝐹⃗ est intérieure à une valeur minimale 𝐹⃗𝑚.  𝑭 < 𝑭𝒎 le solide est en équilibre 𝝋 < 𝝋𝟎 tel que 𝝋𝟎 est l’angle de frottement statique.  𝑭 > 𝑭𝒎 le solide est en mouvement 𝝋 > 𝝋𝟎. On définit le coefficient de l’angle statique 𝒌𝟎 par la relation : 𝒌𝟎 = 𝒕𝒂𝒏𝝋𝟎 III-Exercice d’application : Un solide (S) est attaché à un fil inextensible sur un plan incliné faisant un angle 𝜶 avec l’horizontale (voir figure). Le contact entre la plan incliné et le solide se fait sans frottements. Déterminer les intensités des forces appliquées sur le solide (S). On donne 𝒎 = 𝟓𝟎𝟎 𝒈 ; 𝒈 = 𝟏𝟎 𝑵. 𝒌𝒈−𝟏 et 𝜶 = 𝟑𝟎°. Solution : -système étudié : le corps (S) -bilan des forces qui s’exercent sur le corps (S) : 𝑅⃗⃗ : la réaction du plan incliné. 𝑇⃗⃗ : la tension du fil. 𝑃⃗⃗ : le poids du solide (S). 3 -Le solide (S) est en équilibre on ⃗⃗ = ⃗𝟎⃗ ⃗⃗⃗ + ⃗𝑻⃗ + ⃗𝑷 écrit : 𝑹 La projection des forces sur les axes Ox et Oy : 𝑅𝑥 + 𝑇𝑥 + 𝑃𝑥 = 0 {𝑅 + 𝑇 + 𝑃 = 0 𝑦 𝑦 𝑦 Les coordonnées des forces dans le repère (O,𝑖⃗, 𝑗⃗ )sont : 𝑅𝑥 = 0 𝑇 =𝑇 𝑃𝑥 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑅⃗⃗ {𝑅 = 𝑅 ⃗⃗ { 𝑥 𝑇 𝑃⃗⃗ {𝑃 = 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑦 𝑇𝑦 = 0 𝑦 0 + 𝑇 + 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 𝑇 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 { ⟹ { 𝑅 + 0 + 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝑅 = 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑇 = 0,5 × 10 × sin(30°) 𝑻 = 𝟐, 𝟓 𝑵 A.N : { ⟹{ 𝑅 = 0,5 × 10 × cos(30°) 𝑹 = 𝟒, 𝟑𝟑 𝑵 Remarque : Les mêmes résultats sont obtenus en utilisant la méthode graphique. 4