Elektrostatika Radno PDF

Sadržaj i ć S...

Sadržaj i ć S im j i ć, 1 Elektrostatika 1.1 G a Uvod............................................................... 1 1 1.2 1.3 a , Naelektrisanje..................................................... Zakon održanja naelektrisanja................................... k 1 4 1.4 1.5 a ti Elektrostatičko polje.............................................. Kulonov zakon.................................................... 6 6 r 1.5.1 1.5.2 o s Princip superpozicije..................................... Raspodjela naelektrisanja................................ 10 13 ek t 1.6 Vektor jačine električnog polja.................................. 16 El 1.6.1 1.6.2 Vektor jačine električnog polja više tačkastih naelek- trisanja.................................................... Linije vektora jačine električnog polja.................. 18 20 1.7 Potencijal.......................................................... 23 1.7.1 Zakon o konzervaciji električnog polja.................. 24 1.7.2 Napon..................................................... 30 1.7.3 Ekvipotencijalne površi.................................. 32 1.8 Gausov zakon..................................................... 35 1.8.1 Fluks vektora............................................. 36 1.8.2 Određivanje električnog polja primjenom Gausovog zakona..................................................... 43 i  Sadržaj 1.9 Provodnici u elektrostatičkom polju............................. 51 1.9.1 Provodnici................................................ 51 1.9.2 Elektrostatička indukcija................................. 54 1.9.3 Kapacitivnosti............................................ 56 1.9.3.1 Kapacitivnost usamljenog provodnog tijela.. 56 1.9.3.2 Kondenzatori................................... 58 1.9.3.3 Probojni napon kondenzatora................ 64 1.9.3.4 Označavanje kondenzatora.................... 64 1.9.4 1.9.4.1 i Paralelna veza kondenzatora.................. ć Vezivanje kondenzatora.................................. 65 65 1.9.4.2 S 1.10 Elektrostatičko polje u prisustvu dielektrika................... im Serijska veza kondenzatora.................... 67 71 j i ć, 1.10.1 Polarizacija dielektrika................................... 1.10.1.1 Dielektrici sa polarnim molekulima.......... 71 72 G a 1.10.1.2 Dielektrici sa nepolarnim molekulima........ 1.10.2 Vektor električne polarizacije............................ 73 75 ka , 1.10.3 Vezana električna opterećenja........................... 1.11 Uopšteni Gausov zakon.......................................... 76 77 a ti 1.11.0.1 Električna čvrstina dielektrika................ 78 ro s 1.11.0.2 Granični uslovi................................. 1.12 Energija u elektrostatičkom polju............................... 80 83 ek t A Koordinatni sistemi 87 El A.1 Predstaljanje skalara i vektora u koordinatnim sistemima.... A.1.1 Pravougaoni koordinatni sistem......................... A.1.2 Sferni koordinatni sistem................................ A.1.3 Cilindrični koordinatni sistem........................... 88 88 92 94 A.2 Veze između koordinatnih sistema.............................. 96 ii  Glava 1 i ć Elektrostatika S im j i ć, G a 1.1 Uvod ka , ti Spoznaja čovječanstva o postojanju elektriciteta datira još iz doba prije a nove ere. Osobine da neki predmeti imaju sposobnost da mogu privući druge ro s predmete znalo se još u staroj Grčkoj. U 18. vijeku nove ere eksperimentalnim putem se došlo do saznanja da postoje dvije vrste naelektrisanja, pozitivna ek t i negativna naelektrisanja. Još tada, naučnici su ustanovili da se istoimena El naelektrisanja međusobno odbijaju, dok se raznoimena privlače. Ovako usvojeni nazivi naelektrisanja suprotnog tipa su opšte prihvaćeni i koriste se i danas u tehničkoj praksi. 1.2 Naelektrisanje U ovom udžbeniku se teorija elektromagnetskih polja razmatra na makro- skopskom nivou, te se ne zalazi u mikrosvijet. Najmanji element koji se posma- tra je fizički mala zapremina. Pod ovim pojmom se podrazumijeva dovoljno mala zapremina koja se prilikom analize i proračuna može posmatrati kao ma- tematički mala zapremina. Sa druge strane, fizički mala zapremina je i dovoljno 1  1. Elektrostatika velika da ne zalazi u mikrosvijet (elementarne čestice, struktura atoma i mole- kula, kvantni efekti), već obuhvata dovoljno veliki broj atoma i molekula da se mogu primijeniti statistički zakoni, tj. mogu se posmatrati srednje vrijednosti. Svaki predmet u prirodi se sastoji od ogromnog broja atoma1 , odnosno molekula. Svaki atom u sebi sadrži subatomske čestice: protone, elektrone i ne- utrone. Vodeći se osnovnim modelom atoma (Bor-Zomerfildov model2 ), protoni i neutroni se nalaze u jezgru atoma, dok se elektroni kreću po kružnim ili elip- tičnim putanjama (ljuskama) oko jezgra čineći omotač atoma. Što se elektron i ć nalazi u višoj energetskoj ljusci, potrebno mu je manje energije da je napusti. Primjeri atoma vodonika koji je sačinjen od jednog protona i jednog elektrona, dva elektrona, prikazani su na Slici 1.1. S im te atoma helijuma čije jezgro čine dva protona i dva neutrona, dok omotač ima j i ć, G a ka , a ti ro s ek t Slika 1.1: Bor-Zomerfildov model atoma: a) vodonika, b) helijuma. El U neutralnom staju, svaki molekul je građen od atoma koji imaju isti broj protona i elektrona. Elementarna količina naelektrisanja odgovara naelektri- sanju jednog protona, iznosi e = 1,602 · 10−19 [C]3 i naziva se kulon. Stoga se protoni smatraju pozitivnim naelektrisanjima, dok se nasuprot njima nalaze elektroni koji imaju istu apsolutnu količinu naelektrisanja, ali suprotnog znaka. Količina naelektrisanja jednog elektrona iznosi −e = −1,602·10−19 [C]. Atomi i 1 Naziv dobio od grčke riječi atomos, što znači nedjeljiv. 2 Niels Henrik David Bohr (1885-1962), danski fizičar i Arnold Johannes Wilhelm Som- merfeld (1868-1951), njemački fizičar. 3 Kulon - Osnovna jedinica u SI sistemu za količinu naelektrisanja. Ime dobila po fran- cuskom fizičaru Charles-Augustin de Coulomb (1736 - 1806). 1 C se definiše kao proizvod jedinice za jačinu struje i jedinice za vremenski interval (1 C = 1 A · 1 s). 2  1.2. Naelektrisanje molekuli koji u svom sastavu imaju jednak broj protona i elektrona nazivaju se neutralani atomi/molekuli, dok se za tijelo koje je građeno od neutralnih mole- kula kaže da je električki neutralno tijelo. U suprotnom, ako je tijelo građeno od molekula koji u sebi ne sadrže jednak broj protona i elektrona, za takvo tijelo se kaže da je naelektrisano. Drugim riječima, tijelo koje sadrži višak elektrona ili protona naziva se naelektrisano tijelo. Prema elektronskoj teoriji, električno stanje nekog atoma se određuje vi- škom ili manjkom elektrona u odnosu na broj protona u jezgru atoma. Da bi se ukupna količina naelektrisanja nekog atoma ili cijelog tijela mogla matematički opisati uvode se sledeće oznake: i ć np - broj protona, S im ne - broj elektrona. j i ć, trički neutralno ako vrijedi: G a Prema tome, makroskopski gledano, za atom ili cijelo tijelo kažemo da je elek- ka , np = ne. (1.2.1) a ti Sa druge strane, ako je np ̸= ne , za tijelo kažemo da je naelektrisano. Ako je np > ne , tada tijelo ima višak pozitivnog naelektrisanja, te kažemo da je ro s pozitivno naelektrisano. Ako razliku u naelektrisanjima posmatramo na nivou atoma, takav atom se naziva pozitivan jon. U suprotnom, ako je np < ne , tijelo ek t je negativno naelektrisano jer ima višak negativnog naelektrisanja. Atom koji El u svom sastavu ima manjak protona naziva se negativan jon. U elektrostatici, od značaja je odnos broja pozitivnog i negativnog naelek- trisanja nekog tijela. Veličina koja matematički opisuje ovaj odnos označava se sa Q i naziva se algebarska količina naelektrisanja posmatranog tijela. Ona nam govori o višku ili manjku broja elektrona u odnosu na broj protona u nekom tijelu i definiše se sa: Q = e · (np − ne ). (1.2.2) U zavisnosti od toga da li je Q pozitivno ili negativno, govorimo o manjku ili višku elektrona na posmatranom tijelu. Glavni razlog zašto se algebarska količina naelektrisanja poredi sa viškom ili manjkom elektrona je njihova veća 3  1. Elektrostatika pokretljivost u odnosu na protone, odnosno sposobnost da napuste atom ukoliko dobiju dovoljnu količinu energije. Ako je u (1.2.2) Q pozitivno, tada je tijelo pozitivno naelektrisano i ima manjak elektrona (dominiraju pozitivni nosioci naelektrisanja). Ovo tijelo svakako sadrži i elektrone, ali je njihov broj manji od broja protona. Kada je Q < 0 tijelo je negativno naelektrisano, jer ima višak negativnih nosilaca naelektrisanja. Ako je u (1.2.2) Q = 0, to ne znači da tijelo nema naelektrisanja, već samo da ono nema višak niti pozitivnog niti negativnog naelektrisanja i ono je tada električki neutralno. Dakle, ako je tijelo i ć neutralno, naelektrisanje svih elektrona u tijelu je po modulu jednako ukupnom naelektrisanju svih protona u tom tijelu, odnosno tada vrijedi izraz (1.2.1). S im Koncentracija pozitivnog i negativnog naelektrisanja u čvrstim tijelima je veoma velika, dok je algebarska količina naelektrisanja Q relativno mala i rijetko j i ć, može da dosegne vrijednost od 1 C. Ako za neko tijelo znamo da je Q = 1 nC, to nam govori da ono ima višak pozitivnih nosilaca od 1 nC, a ne da je ukupna G a količina naelektrisanja jednaka Q. Ovo tijelo ima mnogo veći broj protona i elektrona, gdje njihova razlika u korist pozitivnih nosilaca iznosi Q = 1 nC. ka , 1.3 a ti Zakon održanja naelektrisanja ro s U zatvorenom sistemu, ukupna količina naelektrisanja je uvijek ista. Nae- lektrisanje može samo da pređe sa jednog tijela na drugo, a nikako ne može da ek t se stvori ili da nestane iz posmatranog sistema. Postupak kojim se obezbjeđuje da tijelo preda ili primi određen broj elektro- El na4 naziva se naelektrisavanje tijela. Ono što je potrebno obezbijediti je zapravo da elektroni iz jednog atoma prime dovoljnu količinu energije da bi prešli na drugi atom. Prelazak može biti unutar jednog materijala ili se prelazak može izvršiti između atoma različitih materijala. Postupak koji dovodi do toga da algebarska količina naelektrisanja Q dva različita materijala/tijela bude različita od 0 moguće je postići njihovim do- dirivanjem. Količina elektrona koja pri tome pređe sa jednog tijela na drugo je jako mala, pa se teško može detektovati instrumentima. Da bi se postu- pak naelektrisavanja tijela pospješio, vrši se trljanje materijala što dovodi do 4 U rijetkim slučajevima u praksi se mijenja broj protona. 4  1.3. Zakon održanja naelektrisanja mehaničkog trenja (zagrijavanje), a neki materijali se mogu naelektrisati pod dejstvom svjetlosti. Na primjer, naelektrisavanje tijela se može postići trljanjem staklene šipke vunenom tkaninom. Naelektrisavanje tijela je moguće izvesti i bez direktnog dodirivanja dva ti- jela. Naime, kada se električki neutralno tijelo uvede u strano električno polje, dolazi do preraspodjele pozitivnih i negativnih naelektrisanja na neutralnom tijelu što kao posljedicu ima pojavu razlike potencijala između krajeva tog tijela. Ova pojava se naziva naelektrisavanje tijela primjenom elektrostatičke indukcije 5. Naime, strano polje u koje je uvedeno neutralno tijelo djeluje elek- trostatičkom silom na pojedinačna naelektrisanja unutar neutralnog tijela što i ć dovodi do nagomilavanja elektrona na jednom kraju neutralnog tijela, dok na S drugom kraju ostaju nagomilani protoni. Kada se ovo tijelo izvede iz stranog im j i ć, polja, dolazi do ponovne preraspodjele naelektrisanja, oni se vraćaju u početno stanje, te nestaje i razlika potencijala između njegovih krajeva. Stoga se za ova- G a kav način naelektrisavanja tijela kaže da ima privremen karakter. Strano polje u koje se dovelo neutralno tijelo i koje je uzročnik ovog naelektrisavanja tijela ka , može npr. biti polje nekog drugog naelektrisanog tijela. ti U zavisnosti od karakteristika materijala, te načina povezivanja atoma i a ro s molekula, materijali se mogu podijeliti na: provodnike - metarijali koji na sobnoj temperaturi imaju veliki broj jona ek t i slobodnih nosilaca, El poluprovodnike - materijali koji imaju znatno manji broj slobodnih no- silaca u donosu na provodnike, izolatore - materijali koji imaju mali broj slobodnih nosilaca u odnosu na njihovu koncentraciju u poluprovodnicima. Višak slobodnih nosilaca se smanjuje idući od provodnih materijala ka izola- torima. U okviru ovog kursa, od interesa će biti izolatori i to u primjena kada je potrebno da se spriječi prelazak nosilaca sa jednog tijela na drugo, tj. da se prekine strujni krug, te provodnici. Najvažnija klasa provodnika su metali, 5 Detaljnije objašnjeno u odjeljku Elektrostatička indukcija. 5  1. Elektrostatika kod kojih se elektroni iz spoljašnje ljuske atoma vrlo lako slobodno kreću jer su slabo vezani za atome. 1.4 Elektrostatičko polje Neka se posmatra proizvoljno naelektrisano tijelo u stanju mirovanja u od- nosu na posmatrača, čija se algebarska količina naelektrisanja ne mijenja to- i ć kom vremena. Tada u okolini ovog naelektrisanog tijela postoji elektrostatičko (električno) polje. Kao i za druga fizička polja, današnja spoznaja nauke ne S im omogućava da se elektrostatičko polje jasno definiše, te se ono opisuje kao po- sebno fizičko stanje materije. Shodno činjenici da je poteklo od naelektrisanja nije funkcija vremena. j i ć, koje miruje i čija se količina ne mijenja tokom vremena, elektrosatičko polje G a Osnovna osobina elektrostatičkog polja u okolini naelektrisanih tijela je da na svako drugo naelektrisano tijelo koje se nađe u njegovoj blizini (unese u pro- ka , stor polja) djeluje sila koja se naziva električna sila 6. Ova osobina polja se naziva ponderomotornim svojstvom polja. Dakle, elektrostatičko polje u okolini ti nekog naelektrisanog tijela može se detektovati i izmjeriti samo na osnovu dej- a stva električne sile na neko drugo naelektrisano tijelo koje se dovede u njegovu ro sblizinu. ek t El 1.5 Kulonov zakon Začeci Kulonovog zakona postavljeni su u periodu 1784 -1785. godine, kada je naučnik Šarl Kulon7 izveo niz eksperimenata kojima je opisao silu između dva naelektrisana tijela u stanju mirovanja čije su dimenzije znatno manje od njiho- vog međusobnog rastojanja. Takva tijela se nazivaju tačkasta (punktualna) naelektrisanja, a formulisani zakon po ovom naučniku je dobio ime i poznat je kao Kulonov zakon. Eksperimentima pomoću torzione vage on je pokazao 6 Ukoliko se radi o naelektrisanjima koja se kreću, tada se u teoriji elektromagnetskih polja razmatra i magnetsko polje i magnetska sila. 7 izvorno: Charles-Augustin de Coulomb, francuski fizičar (1736. – 1806.) 6  1.5. Kulonov zakon da je električna (Kulonova) sila8 koja djeluje između dva tačkasta naelektrisa- nja srazmjerna proizvodu pojedinačnih algebarskih količina naelektrisanja, te obrnuto srazmjerna kvadratu njihovog međusobnog rastojanja. Kako bi se sa srazmjernosti prešlo na jednakost, uvodi se konstanta proporcionalnosti k koja 2 za vakuum iznosi k0 ≈ 9 · 109 [ NCm2 ], te se može primjeniti i za vazduh. Ova konstanta direktno zavisi od sredine u kojoj se nalaze tačkasta naelektrisanja, a za vakuum vrijedi: 1 k0 = , (1.5.1) ć 4πϵ0 gdje je ϵ0 dielektrična permitivnost ili dielektrična konstanta vakuuma i iznosi 2 ϵ0 = 8,85 · 10−12 [ NCm2 = m ]. F U slučaju drugih dielektričnih sredina, umjesto im i ć, S dielektrične konstante vakuuma uvodi se apsolutna dielektrična konstanta sre- dine koja je jednaka proizvodu relativne dielektrične konstante ϵr i dielekrične k= 1 = 1. a j i konstante vakuuma ϵ0. Prema tome, konstanta proporcionalnosti je tada: (1.5.2) , G 4πϵ 4πϵ0 ϵr Shodno navedenom, ako se posmatraju dva usamljena, tačkasta naelektri- a ti k sana tijela Q1 i Q2 u vakuumu (u njihovoj okolini nema supstance, tj. ϵr = 1) koja se nalaze na rastojanju r, kao što je prikazano na Slici 1.2, tada se elek- a trična sila kojom tačkasto naelektrisanje Q1 djeluje na tačkasto naelektrisanje s ro Q2 može zapisati kao: ek t F 12 = k0 Q1 · Q2 r2 r 012 , (1.5.3) El gdje je sa r012 označen jedinični vektor kojim se definiše smjer od tačkastog naelektrisanja Q1 ka tačkastom naelektrisanju Q2. Izraz (1.5.3) nazivamo vek- torskim oblikom Kulonovog zakona 9. Po konvenciji, električna sila je označena indeksima, gdje prvi indeks govori o izvoru polja, tj. o indeksu naelektrisanja koje djeluje svojom električnom silom na drugo naelektrisanje čiji je indeks naznačen na drugoj poziciji. Prema tome, Kulonova sila F12 opisuje silu ko- jom naelektrisanje Q1 djeluje na naelektrisanje Q2 , dok je sa F21 označena sila kojom naelektrisanje Q2 djeluje na naelektrisanje Q1. 8 Kako je električna sila rezultat izvedenih Kulonovih eksperimenata, drugi naziv za nju je i Kulonova sila. Oba naziva se ravnopravno koriste u litaraturi. 9 Vektorska veličina je potpuno određena ako joj je određen intenzitet, pravac i smjer. 7  1. Elektrostatika Slika 1.2: Kulonove sile između dva tačkasta naelektrisanje Q1 i Q2. i ć S im j i ć, G a ka , a ti ro s Slika 1.3: Smjer električne sile između dva tačkasta naelektrisanja. ek t Kako u izrazu (1.5.3) figurišu algebarski intenziteti tačkastih naelektrisanja, El Q1 i Q2 , njihovi predznaci će uticati na smjer električne sile koja djeluje između ova dva naelektrisanja. Pa tako, ukoliko se računa sila između istoimenih nae- lektrisanja (oba naelektrisanja ili pozitivna, ili negativna), smjer Kulonove sile će se poklopiti sa smjerom jediničnog vektora, te će ona biti odbojna. Tada za tačkasta naelektrisanja kažemo da se međusobno odbijaju. Ukoliko su tačkasta naeletrisanja suprotnog algebarskog intenziteta (jedno pozitivno, a jedno ne- gativno), električna sila koja djeluje između njih će biti privlačna, jer će smjer vektora Kulonove sile biti suprotan od smjera jediničnog vektora. Ilustracija prethodno navedenog data je na Slici 1.3). Analogno prethodnoj diskusiji, u slučaju da se želi odrediti električna sila kojom naelektrisanje Q2 djeluje na naelektrisanje Q1 , izraz za Kulonovu silu bi 8  1.5. Kulonov zakon imao oblik: Q1 · Q2 F 21 = k r 021 , (1.5.4) r2 gdje jedinični vektor r021 određuje smjer od tačkastog naelektrisanja Q2 ka tačkastom naelektrisanju Q1 (Slika 1.2). Algebarski oblik Kulonovog zakona se dobija izostavljanjem pojma jedinič- nog vektora iz vektorskog zapisa, odnosno: F12 = k Q1 · Q2 r2 , (1.5.5) i ć S poprimiti i negativne vrijednosti, te se ne može poistovjetiti sa intenzitetom im U izrazu (1.5.5) i dalje figurišu algebarski intenziteti naelektrisanja, isti može ć, vektora (F12 ̸= |F 12 |). U indeksu sile je i dalje naznačen smjer od prvog ka j i drugom naelektrisanju, te znak algebarskog intenziteta sile i dalje određuje njen a smjer. Ukoliko je algebarski intenzitet pozitivan, Kulonova sila je u smjeru od G prvog ka drugom naelektrisanju (odbojana sila), te ako je algebarski intezitet , negativan, sila će imati privlačan karater. a Analizirajući izraze za električne sile (1.5.3) i (1.5.4), te znajući da su de- ti k finisani jedinični vektori istog intenziteta, a suprotnog smjera (r 012 = −r 021 ), a lako se može dokazati (nije predmet ovog kursa) da su i električne sile F 12 i s ro F 21 istog intenziteta i suprotnog smjera, odnosno vrijedi da je: ek t |F 12 | = |F 21 |, (1.5.6) El F 12 = −F 21. Prethodno izvedeni zaključak pokazuje da u Kulonovom zakonu vrijedi za- (1.5.7) kon akcije i reakcije, tj. sila kojom tačkasto naelektrisanje Q1 djeluje na naelek- trisanje Q2 (F 12 ) po intenzitetu je jednaka sili kojom tačkasto naelektrisanje Q2 djeluje na naelektrisanje Q1 (F 21 ). Ove dvije sile leže na istom pravcu i imaju suprotan smjer. Primjer 1. Dva mala tijela, naelektrisanja Q1 = 40 pC i Q2 = −60 pC nalaze se u vakuumu na međusobnom rastojanju r = 20 cm kao što je prikazano na Slici 1.4. Odrediti vektor Kulonove sile kojom naelektrisanje Q2 djeluje na naelektrisanje Q1. 9  1. Elektrostatika Q1 · Q2 F 21 = k r 021 , r2 4 · 10−11 · (−6) · 10−11 F 21 = 9 · 109 · · r 021 = −54 · 10−11 r 021 [N ]. 4 · 10−2 i ć S im ć, Slika 1.4: Kulonova sila kojom naelektrisanje Q2 djeluje na naelektrisanje Q1. a i Znak minus u rezultatu govori da je električna sila F 21 suprotnog smjera od j smjera jediničnog vektora r 021 , odnosno zaključuje se da je sila privlačna. Do istog zaključka se moglo doći i na osnovu algebarskih količina naelektrisanja Q1 , G i Q2. Kako se radi o dva naelektrisanja različitog znaka u algebarskim intenzi- a tetima, ona se međusobno privlače (pogledati Sliku 1.3). Algebarski intenzitet i k ove sile je: F21 = −54 · 10−11 [N] , dok je njen intenzitet F21 = 54 · 10−11 [N]. t s a Pozivajući se na zakon akcije i reakcije, električna sila kojom naelektrisanje Q1 djeluje na naelektrisanje Q2 ima isti intenzitet, a suprotan smjer od F 21 , tj. tro vrijedi da je F 12 = −F 21. El ek 1.5.1 Princip superpozicije Kulon je eksperimentalno pokazao, a i kasnija eksperimentala istraživanja su potvrdila, da za Kulonov zakon važi princip superpozicije. Ovaj princip se zasniva na pravilu vektorskog sabiranja i može se reći da je ukupna električna sila kojom više naelektrisanih tijela djeluje na jedno naelektrisano tijelo jednaka vektorskom zbiru električnih sila kojima ta druga tijela pojedinačno djeluju na posmatrano tijelo. U opštem slučaju, u okolini nekog tačkastog tijela može biti proizvoljan broj pozitivnih i negativnih tačkastih naelektrisanja kao što je prikazano na Slici 1.5. U tom slučaju, princip superpozicije podrazumijeva da se električne sile na naelektrisanje Qn određuju pojedinačno za svaki par naelektrisanja (Qi , 10  1.5. Kulonov zakon Qn ), pri čemu se ostala naelektrisanja u okolini zanemaruju. Potom se sve pojedinačne sile vektorski saberu čime se dobija ukupna električna sila kojom sva naelektrisanja zajedno djeluju na Qn. Definicioni izraz za Kulonovu silu u tom slučaju je: n−1 n−1 X X Qi · Qn Fn = F in = k 2 r 0in , (1.5.8) i=1 i=1 rin gdje je sa r 0in označen jedinični vektor koji određuje smjer od Qi ka Qn. i ć S im j i ć, G a ka , ti Slika 1.5: Princip superpozicije pri određivanju rezultantnog vektora Kulonove sile u a s sistemu sa n tačkastih naelektrisanja. ro U slučaju tri tačkasta naelektrisanja (Slika 1.6), izraz za električnu silu koja t ek djeluje na naelektrisanje Q3 bi bio: El F 3 = F 13 + F 23 = k Q3 · Q1 2 r13 r 013 + k Q3 · Q2 2 r23 r 023. Primjena teoreme superpozicije na primjeru tri tačkasta naelektrisanja data (1.5.9) je Primjerom 2. Primjer 2. Odrediti elektrostatičku silu kojom naelektrisanja Q1 = −10−10 nC i Q2 = 10−10 nC postavljena u Dekartovom koordinatnom sistemu (u daljem tekstu DKS) u tačkama (0,0,0) cm i (0,1,0) cm (Slika 1.7) djeluju na naelek- trisanje Q3 = 10−10 nC na koordinatama (1,1,0) cm. Primjetimo da se sva naelektrisanja naleze u xOy-ravni (z = 0) Dekar- tovog koordinatnog sistema, te se z-koordinata u daljem rješavanju zadatka 11  1. Elektrostatika i ć Slika 1.6: Princip superpozicije pri određivanju rezultantne Kulonove sile za tri tačka- sta naelektrisanja. S im j i ć, G a ka , ti Slika 1.7: Kulonova sila kojom naelektrisanja Q1 i Q2 djeluju na naelektrisanje Q3. a ro smože izostaviti radi jednostavnije vizuelne interpretacije vektorskog sabiranja, tj. koristiće se 2D Dekartov koordinatni sistem. ek t Primjenom principa superpozicije, prvo se određuju pojedinačne sile na El naelektrisanje Q3 , tj. gleda se uticaj Q1 na Q3 zanemarujući Q2 , potom se zanemaruje Q1 , a posmatra samo uticaj Q2. Na kraju se dobijeni vektori za električne sile vektorski saberu. √ Znajući da je rastojaje između naelektrisanja Q1 i Q3 r13 = 2 cm, Kulo- nova sila kojom naelektrisanje Q1 djeluje na naelektrisanje Q3 je: −10−10 · 10−10 F 13 = 9 · 109 · · r 013 = −45 · 10−8 r 013 [N ]. 2 · 10−4 Kulonova sila kojom naelektrisanje Q2 djeluje na naelektrisanje Q3 je (r23 = 1 cm): 10−10 · 10−10 F 23 = 9 · 109 · · r 023 = 90 · 10−8 r 023 [N ]. 10−4 12  1.5. Kulonov zakon Rezultantna sila je: F ukupno = F 13 +F 23. Da bi se rezultantna sila predsta- vila u koordinatnom sistemu, potrebno je da se prvo pojedinačne sile razlože na njihove projekcije po koordinatama. Postupak razlaganja sila u 2D Dekartovom koordinatnom sistemu, te njihovo vektorsko sabiranje primjenom paralelograma vizuelno je prikazano na Slici 1.7. Do brojnih vrijednosti se dolazi analitičkim putem. Sila F 23 ima smjer jediničnog vektora r 023 , a on ima smjer x-koordinate (r 023 = i x ). Stoga se sila F 23 može zapisati u DKS kao: F 23 = 90 · 10−8 ć ix + 0 iy [N ]. Sila F 13 se može razložiti na svoje projekcije po pojedinim koordinatama jer je poznat ugao između x-ose i smjera sile (-r 013 ) i on iznosi α = 5π/4 (Slika 1.7). im i Prema tome, može se pisati: ć, S i 5π 5π F 13 = 90 · 10−8 · cos( ) i x + 90 · 10−8 · sin( ) i y [N ] , F 13 = 90 · 10−8 · − √ 4 2 i x + 90 · 10−8 · − √ 2 4 a i y [N ] , j √ 2 , G √ F 13 = −45 2 10−8 i x − 45 2 10−8 i y [N ]. a 2 ti k Konačno, sabiranjem projekcija pojedinačnih sila po svakoj od koordinata 2D DKS, dobija se rezultantna sila: o s a F ukupno = 26,55 · 10−8 ix − 63,45 · 10−8 iy [N ]. t r ek 1.5.2 Raspodjela naelektrisanja El Prethodno opisana raspodjela više tačkastih naelektrisanja data na Slici 1.5 nije jedini način njihove raspodjele. Naelektrisanja mogu biti i kontinualno ra- spoređena po niti, površini ili zapremini, te se karakterišu svojom gustinom raspodjele. Kada su naelektrisanja veoma blisko postavljena duž tanke niti dužine L, govorimo o linijskom (podužnom) naelektrisanju, a ono je oka- rakterisano svojom podužnom gustinom naelektrisanja - Q’ koja govori o tome koliko naelektrisanja ima po jedinici dužine niti. Kako svaki segment niti dl ima određenu količinu naelektrisanja dQ, onda je podužna gustina nae- lektrisanja Q′ = dQ/dl. Primjer ovakvog naelektrisanja je naelektrisana tanka žica (poprečni presjek žice u odnosu na njenu dužinu se može zanemariti) (Sli- ka 1.8.a). Ukoliko su naelektrisanja kontinualno raspoređena po površini, tada 13  1. Elektrostatika je riječ o površinskom naelektrisanju kojeg karakteriše površinska gu- stina naelektrisanja - σ. Primjer ovakvog naelektrisanja u elektrostatici su provodna tijela kod kojih je naelektrisanje lokalizovano po njihovim površina- ma. Ako na segmentu površine dS postoji količina naelektrisanja dQ, tada je površinska gustina naelektrisanja σ = dQ/dS. Ako kontinualna naelekrisanja ispunjavaju zapreminu nekog prostora (domena), govori se o zapreminskom naelektrisanju. Njega karakteriše zapreminska gustina naelektrisanja - ρ. Ako u malom domenu zapremine dV postoji količina naelektrisanja dQ, tada je ρ = dQ/dV. i ć S i m ji ć, G a , Slika 1.8: Raspodjela naelektrisanja. a) Podužno naelektrisanje, b) Površinsko naelek- a trisanje, c) Zapreminsko naelektrisanje. ti kPrethodno definisane gustine naelektrisanja u opštem slučaju ne moraju o sa biti konstantne po cijeloj niti, površini ili zapremini. Tada se ukupna količina naelektrisanja na niti L dobija integraljenjem po niti, odnosno: tr Z ek Q= Q′ dl. (1.5.10) l L E Ukupno naelektrisanje po površini S je: Q= Z σ dS, S (1.5.11) dok je ukupno naelektrisanje u domenu V : Z Q= ρ dV, (1.5.12) V gdje su sa dl, dS i dV označene jedinična dužina, jedinična površina i jedinična zapramina. Gustine naelektrisanja Q’, σ i ρ su tada promjenljive funkcije. Izrazi za dS i dV za svaki od koordinatnih sistema su detaljno izvedeni u Prilogu A. 14  1.5. Kulonov zakon Ukoliko su gustine naelektrisanja konstantne po niti, površini ili zapremini, ukupna količina naelektrisanja se dobija jednostavnim množenjem gustine nae- lektrisanja sa ukuponom dužinom niti, površinom ili zapreminom, respektivno. Primjer 3. Posmatra se naelektrisana sfera poluprečnika r = 1 m postavljena u vazduhu. Potrebno je odrediti ukupnu količinu naleketrisanja koje je sadržano u sferi ako: a) su naelektrisanja ravnomjerno raspoređena unutar sfere, tj. ako je zapremin- ć ska gustina naelektrisanja ρ(r) = ρ0 , ρ0 = const. b) je zapreminska gustina naelektrisanja data sa: ρ(r) = ρ0 /r2 , za ρ0 = const. a) S obzirom da je zapreminska gustina naelektrisanja konstantna po za- im i množenjem gustine i zapremine, tj.: ć, S premini sfere, ukupna količina naelektrisanja u sferi se dobija jednostavnim 4 Q = ρ0 · V = ρ0 · r3 π. 3 a j i , G b) Za određivanje ukupne količine naelektrisanja čija gustina nije ravno- mjerno raspoređena po zapremni sfere, koristi se izraz 1.5.12: a Q= Z ρ(r)dV = ti k Z r=1 r=0 r ρ0 2 1 · 4r2 πdr = ρ0 4π · r = 4ρ0 π, a V 0 s gdje je sa dV označena jedinična zapremina u sfernom koordinatnom sistemu. ro ek t Određivanje vektora Kulonove sile, vektora jačine električnog polja i po- tencijala koji će biti uvedeni kroz Poglavlje 1.6 za kontinualno raspoređena El naelektrisanja neće biti predmet ovog kursa. Dovoljno je znati da ova naelek- trisanja postoje i da se znaju odrediti. Kao što je ranije naglašeno u odjeljku 1.4, stanje prostora oko tačkastog naelektrisanja koje miruje se naziva posebnim fizičkim stanjem materije i ma- nifestuje se pojavom elektrostatičke sile na svako drugo tačkasto naelektrisanje u stanju mirovanja koje se dovede unutar polja. Kako bi se različita elektro- statička polja (koja potiču od različitih izvora) mogla analitički predstaviti, superponirati i porediti, uvode se dvije veličine koji ih opisuju: vektor jačine električnog polja - E , 15  1. Elektrostatika potencijal - U. 1.6 Vektor jačine električnog polja Vektor jačine električnog polja je osnovna vektorska veličina kojom se opi- suje električno polje. Označava se sa E , a jedinica u kojim se izražava je [ V/m ] - volt po metru. Zbog ponderomotorne osobine polja, ono se definiše preko elek- trične sile kako slijedi. i ć U svrhu preciznog opisivanje vektora jačine električnog polja u svim tač- kama uvodi se pojam probnog naelektrisanja - Qp. Probno naelektrisanje je S im tijelo vrlo malo po dimenzijama i naelektrisanju, te ono sopstvenim električ- nim poljem zanemarljivo remeti raspodjelu naelektrisanja u njegovoj okolini. Po dogovoru, probno naelektrisanje je pozitivno. j i ć, G a ka , a ti Slika 1.9: Vektor jačine električnog polja. ro s Posmatra se tačkasto naelektrisanje Q > 0 (Slika 1.9). Od ranije se zna da u ek t njegovoj okolini postoji elektrostatičko polje. Ako se u njegovu blizinu dovede probno naelektrisanje Qp , tada će na njega djelovati Kulonova sila: El Q · Qp F =k r2 r 0, (1.6.1) koja je srazmjerna probnom naelektrisanju, a smjer joj je određen smjerom jediničnog vektora r 0. S obzirom da je ranije usvojeno da je Q > 0, sila ima odbojan karakter. Uvodeći novu vektorsku veličinu E , Kulonova sila se može zapisati kao: F = E · Qp , te je definicioni izraz za vektor E : F Q E= = k 2 r0. (1.6.2) Qp r Uvedeni vektor (1.6.2) opisuje polje u tački u kojoj je postavljeno probno na- elektrisanje i naziva se vektor jačine električnog polja. Definiše se kao ko- ličnik vektora električne sile koja djeluje na probno naelektrisanje dovedeno u 16  1.6. Vektor jačine električnog polja posmatranu tačku i količine tog probnog naelektrisanja. Analizirajući (1.6.2), vektor E postoj u okolini naelektrisanja Q bez obzira da li se u posmatranoj tački nalazi Qp ili ne. Iz izraza (1.6.2) se vidi i da je jedinica za izražavanje vek- tora jačine električnog polja [ N/C ] , ali je uobičajenija prethodno navedena jedinica [ V/m ] koja se dobija iz relacije napona koji će biti uveden kasnije i električnog polja. Smjer vektora jačine električnog polja se poklapa sa smjerom električne sile koja djeluje na Qp. Ukoliko je ova sila odbojna (Q > 0), onda je i smjer vektora E od tačkastog naelektrisanja Q (Slika 1.9), a ako je Q < 0 vektor E je usmjeren ka tačkastom naelektrisanju Q. i ć Primjer 4. Odrediti vektor jačine električnog polja u vakuumu u tački (1, π/4, S π/4) cm sfernog koordinatnog sistema - SKS koji potiče od tačkastog naelek- im ć, trisanja Q = 40 pC postavljenog u koordinatni početak kao što je prikazano na Slici 1.10. a j i a , G ti k s a t ro El ek Slika 1.10: Vektor jačine električnog polja usamljenog tačkastog naelektrisanja. Udaljenost posmatrane tačke od naelektrisanja Q je r = 1 cm, a smjer jediničnog vektora r 0 se poklapa sa smjerom r-koordinate SKS. Samim tim, i vektor E će imati samo radijalnu komponentu. Koristeći izvedeni izraz za vektor jačine električnog polja (1.6.2) dobija se: 40 · 10−12 E = 9 · 109 · · r 0 = 3600 · r 0 [ V /m]. 10−4 17  1. Elektrostatika 1.6.1 Vektor jačine električnog polja više tačkastih naelektrisanja Postavlja se pitanje koliki je vektor jačine električnog polja koji potiče od više tačkastih naelektrisanja istovremeno. Kako je izraz za vektor električnog polja izveden preko Kulonove sile, a ranije je kroz odjeljak 1.5 naglašeno da za električnu silu vrijedi princip superpozicije, zaključuje se da i prilikom određi- vanja vektora E vrijedi isto. i ć S i m ji ć, G a k a , ti Slika 1.11: Određivanje vektora jačine električnog polja u sistemu sa n tačkastih nae- lektrisanja primjenom teoreme superpozicije. a ro s Posmatrajmo više tačkstih naelektrtrisanja Q1 , Q2 ,..., Qn pri čemu je uda- ek t ljenost svakog naelektrisanja od neke proizvoljne tačke M (u kojoj može, a i ne mora biti smješteno probno naelektrisanje Qp ) određena sa r1 , r2 ,..., rn respek- E l tivno (Slika 1.11). Primjenom teoreme superpozicije, rezultantni vektor polja je: E ukupno = n X Ei = k n X Qi r 0i , (1.6.3) i=1 i=1 ri2 gdje je sa r 0i označen jedinični vektor koji određuje smjer od Qi ka tački M , a ri je rastojanje od Qi do tačke u kojoj se određuje rezultantno polje. Ilustracija primjene teoreme superpozicije i vektorskog sabiranja pojedinačnih vektora E i u slučaju tri tačkasta naelektrisanja data je na Slici 1.12. Primjer 5. Odrediti vektor jačine električnog polja u vakuumu u tački M (0,0,0) DKS koji potiče od tri tačkasta naelektrisanja Q1 = −10−10 nC, Q2 = 18  1.6. Vektor jačine električnog polja ć Slika 1.12: Vektorsko sabiranje tri vektora jačine elektrostatičkog polja. 2 · 10−10 nC i Q3 = 2 · 10−10 nC postavljenih redom na koordinatama A (0, -a, im i √ je a = 10 cm i b = 10 2 cm. ć, S 0), B (-b, 0, 0) i C (-b, -a, 0) kao što je prikazano na Slici 1.13 ako se zna da a j i a , G ti k s a ro Slika 1.13: Tri tačkasta naelektrisanja u DKS. ek t Primjenom teoreme superpozicije, rezultantni vektor E se dobija kao vek- torski zbir pojedinačnih vektora jačine električnog polja koji potiču od naelek- El trisanja Qi , i = 1 : 3, odnosno E = E 1 + E 2 + E 3. Primjenom izraza (1.6.2), pojedinačni vektori E i su: Q1 −10−10 E1 = k r01 = 9 · 109 · · r 01 = −90 · r 01 [ V /m] , a2 10−2 Q2 2 · 10−10 E 2 = k 2 r02 = 9 · 109 · · r 02 = 90 · r 02 [ V /m] , b 2 · 10−2 Q3 3 · 10−10 E 3 = k 2 r03 = 9 · 109 · · r 03 = 90 · r 03 [ V /m] , d 3 · 10−2 gdje je sa d označeno rastojanje tačkastog naelektrisanja Q3 od tačke u kojoj se određuje polje i vrijedi da je: d2 = a2 + b2 (Slika 1.13). Razlaganjem prethodno određenih vektora na njihove koordinate u DKS dobija se (Slika 1.14): 19  1. Elektrostatika Slika 1.14: Rezultantni vektor E za tri tačkasta naelektrisanja u DKS. E1x = |E 1 |· cos 270 = 0 [ V /m] , i ć E1y = |E 1 |· sin 270 = −|E 1 |= −90 [ V /m] , S im ć, E2x = |E 2 |· cos 0 = 90 [ V /m] , a j i E2y = |E 2 |· sin 0 = 0 [ V /m] , b √ 2 E3x = |E 3 |· cos α = |E 3 |· = |E 3 |· √ ≈ 73,74 [ V /m] , d G 3 a ka , E3y = |E 3 |· sin α = |E 3 |· ≈ 51,9 [ V /m]. d Zbir svih projekcija pojedinih vektora po koordinatama je: a ti Ex = E1x + E2x + E3x ≈ 163,48 [ V /m] , ro s Ey = E1y + E2y + E3y ≈ −38 [ V /m]. ek t Odnosno, rezultantni vektor jačine električnog polja u koordinatnom početku koji potiče od data tri naelektrisanja je: El 1.6.2 E = 163,48i x − 38i y [ V /m]. Linije vektora jačine električnog polja Električno polje je uvijek radijalno u odnosu na tačkasto naelektrisanje od koga potiče. Znajući da uvijek važi da je Qp > 0, algebarski intenzitet vektora jačine električnog polja u odnosu na usvojeni jedinični vektor r0 direktno zavisi od algebarskog intenziteta tačkastog naelektrisanja Q, jer je E = k rQ2. Ako je Q > 0, smjer vektora jačine električnog polja se poklapa sa smjerom jediničnog vektora r0 i obrnuto, ako je Q < 0, stvarni smjer električnog polja je suprotan od smjera jediničnog vektora r0. Kako je jedinični vektor usmjeren od tačkastog 20  1.6. Vektor jačine električnog polja naelektrisanja, ka tački gdje je bilo probno naelektrisanje Qp , odnosno tački u kojoj se određuje polje, ako je ispunjen uslov Q > 0, tada je vektor jačine električnog polja usmjeren od naelektrisanja, a ako je Q < 0, tada je polje usmjereno ka naelektrisanju Q. Shodno navedenom, ako je Q > 0, naziva se izvorom polja, a ako je Q < 0 onda je to ponor polja. Za vizuelno predstavljanje vektora jačine električnog polja u okolini naelek- trisanja Q uvodi se pojam linija polja E. Smjer polja se označava strelicama na linijama polja, dok je gustina linija srazmjerna intenzitetu polja. One su u opštem slučaju krive linije, a E je u svim tačkama tangentan na linije po- lja. Ukoliko vektor E ima isti intenzitet, pravac i smjer u svim tačkama, tada i ć se radi o homogenom polju. Linije polja su tada paralelne i na istom rastoja- S nju. Vizuelno predstavljanje linija vektora jačine električnog polja je dato na im Slici 1.15. j i ć, G a ka , a ti ro s ek t Slika 1.15: Linije vektora jačine električnog polja: a) Homogeno polje, b) Nehomogeno El polje. Električno polje tačkastog naelektrisanja nije homogeno. Polje je radijal- no, vektor E ima pravac radijalne komponente SKS, a intenzitet je obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja od tačkastog naelektrisanja (izraz (1.6.2), Slika 1.16). Za istu vrijednost radijalne komponente (rastojanje od tačkastog naelektrisanja - r), vektor E će imati i isti intenzitet. Električno polje je izvorno polje, pa linije vektora E izviru iz pozitivnih naelektrisanja, a uviru u negativnim naelektrisanjima. Ilustracija vektora jačine električnog polja usamljenog tačkastog naelektrisanja pomoću linija polja je data na Slici 1.17 za slučaj kada se intenziteti količine naelektrisanja odnose 21  1. Elektrostatika ć Slika 1.16: Smjer vektora jačine električnog polja tačkastog naelektrisanja Q. im i sa: |Q1 | < |Q2 | < |Q3 |. Linije polja izviru iz pozitivnih naelektrisanja Q1 i Q2 , ć, Q3 , jer tako rastu i intenziteti naelektrisanja. S a uviru u negativno naelektrisanje Q3 , dok gustina linija polja raste od Q1 ka a j i a , G ti k s a tro Slika 1.17: Linije vektora jačine električnog polja pozitivnih i negativnih usamljenih tačkastih naelektrisanja za koje vrijedi: |Q1 | < |Q2 | < |Q3 |. El ek Ukoliko se u prostoru nađe više tačkastih naelektrisanja istovremeno, vektor jačine električnog polja od svih pojedinačnih naelektirsanja će se superponirati, te će se dobiti rezultantno polje. To polje se takođe može vizuelno predstaviti pomoću linija polja. Primjeri linija polja za dva pozitivna i dva negativna tačk- sta naelektrisanja su dati na Slici 1.18. Kao što se može primjetiti, rezultantni vektor E koji se dobije sabiranjem vektora jačine električnog polja koji potiču od pojedinačnih naelektrisanja je u svim tačkama tangentan na linije polja. Linije polja izviru iz pozitivnih naelektrisanja, a uviru u negativna naelektri- sanja. Vektor E će biti jednak 0 u tački koja se nalazi na pravcu između dva istoimena naelektrisanja, a koja je jednako udaljena od ovih naelektrisanja. 22  1.7. Potencijal Slika 1.18: Linije rezultantnog vektora jačine električnog polja koje potiče od dva pozitivna i dva negativna tačkasta naelektrisanja, respektivno. 1.7 Potencijal i ć S Kao što je ranije naglašeno, potencijal je skalarna veličina kojom se opisuje im ć, elektrostatičko polje. Do definicije potencijala se dolazi razmatranjem rada sila a j i elektrostatičkog polja, odnosno, posmatra se koliki će rad izvršiti ove sile pri premještanju probnog naelektrisanja Qp iz proizvoljne tačke A u proizvoljnu G tačku B koje se nalaze unutar polja. Na probno naelektrisanje Qp djeluje Ku- , lonova sila (npr. kao na Slici 1.19) i ona teži da pomjeri naelektrisanje u smjeru linija polja, te vrijedi da je: a ti k F e = Qp · E. (1.7.1) s a Rad koji ova sila izvrši pri premještanju probnog naelektrisanja na segmentu ro dužine dl je dAe = F e · dl = Fe · dl · cos ∠(F e , dl ). t El ek Slika 1.19: Djelovanje sila elektrostatičkog polja na probno naelektrisanje Qp. Ukupan rad sila polja dobije se sabiranjem svih pojedinačnih radova izvr- šenih na segmentima putanje dl idući od početne do krajnje tačke, odnosno: Z B Z B A= dAe = Fe · dl · cos ∠(F e , dl ). (1.7.2) A A U slučaju da su tačke A i B postavljene kao na Slici 1.19 i da je odabrana putanja po kojoj se pomjera probno naelektrisanje pravolinijska, tada je rad 23  1. Elektrostatika jednak: Z B Z B Z B A= Fe · dl = Qp · E · dl = Qp · E dl = Qp · E · AB. (1.7.3) A A A Međutim, u oštem slučaju, pomjeranje probnog naelektrisanja ne mora biti unutar homogenog elektrostatičkog polja niti putanja po kojoj se vrši pomje- ranje mora biti pravolinijska, što je ilustrovano na Slici 1.20. i ć S im i ć, Slika 1.20: Pomjeranje probnog naelektrisanja Qp proizvoljnom putanjom u homoge- nom ili nehomogenom polju. j G a Koliki će se rad dA u ovakvim slučajevima izvršiti na pojedinim segmenti- a , ma putanje dl direktno zavisi od ugla između vektora električne sile i vektora dl. Ukoliko je dA > 0, rad vrše sile električnog polja na posmatranom segmen- k ti tu putanje, ukoliko je dA < 0 rad se vrši nasuprot djelovanju sila električnog a polja. Na primjer, rad bi mogao da potekne od mehaničkih sila koje djeluju na ro sprobno naelektrisanje Qp. Može se desiti i da je dA = 0, kada se ne vrši rad na posmatranom segmentu putanje dl. Analizirajući izraz (1.7.2) zaključuje se da ek t rad može biti jednak 0 u slučaju kada je putanja po kojoj se vrši pomjeranje El probnog naelektrisanja okomita na linije električnog polja, tj. kada je zado- voljeno da je cos ∠(F e , dl ) = 0. Bez obzira na to što su pojedinačno izvršeni radovi na segmetima putanje međusobno različiti, ukupan rad koji izvrše sile električnog polja pri premještanju probnog naelektrisanja Qp iz tačke A u tačku B je: Z B Z B Z B A= F e · dl = Qp · E · dl = Qp E · dl. (1.7.4) A A A 1.7.1 Zakon o konzervaciji električnog polja Od ranije se zna da probno naelektrisanje Qp ne djeluje na vektor jačine elektrostatičkog polja. Analizirajući izraz (1.7.4) takođe se zaključuje da prob- 24  1.7. Potencijal no naelektrisanje Qp ne može da promjeni algebarski intenzitet izvršenog rada pri njegovom premještanju unutar polja. Integral u izrazu (1.7.4) predstavlja cirkulaciju vektora jačine električnog polja od tačke A do tačke B. Da bi se ispitala zavisnost pomenute cirkulacije vektora E od odabrane putanje inte- gracije pri čemu su krajnje tačke iste, usvojiće se dvije proizvoljne, usmjerene putanje (L1 i L2 ) prikazane na Slici 1.21. i ć S im j i ć, G a Slika 1.21: Cirkulacija vektora jačine elektrostatičkog polja po različitim zadatim pu- tanjama. ka , ti Koristeći prethodno usvojene putanje L1 i L2 , formira se jedna zatvorena, usmjerena putanja C usmjerene tako da se probno naelektrisanje Qp prvo po- a ro s mjera iz tačke A u tačku B idući po putanji L1 , te se potom vraća u početnu tačku A idući po putanji L2 u suprotnom smjeru od zadatog referentnog smjera ek t putanje L2. Zanemarujući trenje (ne postoji gubitak energije), te smatrajući da u sistemu ne postoje neki drugi izvori energije koji bi mogli izvršiti rad, vraća- El njem probnog naelektrisanja Qp u prvobitnu tačku, stanje u elektrostatičkom polju je isto kao i prije pomjeranja probnog naelektrisanja. Cijeli sistem i dalje ima istu energiju10 , te je ukupan rad sila elektrisatičkog polja na cijeloj putanji jednak 0 i može se pisati: I A = Qp ·E · dl = 0, (1.7.5) C odnosno, djeljeljem izraza (1.7.5) sa Qp dobija se: I E · dl = 0, (1.7.6) C 10 U suprotnom bi to bio perpetuum mobile prve vrste. 25  1. Elektrostatika Izvedeni izraz se naziva Zakon o cirkulaciji vektora jačine električnog polja ili Zakon o konzervaciji električnog polja, dok se polja sa ovakvom osobinom nazivaju konzervativna polja. Izvedena relacija predstavlja jednu od dvije osnovne integralne relacije u elektrostatici. Razdvajajući integral u (1.7.6) po zatvorenoj putanji na dva segmenta (od A do B, što odgovara putanji L1 , te od B do A što je suprotno usvojenom smjeru putanje L2 ), te vodeći računa da se promjenom granica integracije mijenja znak, može se pisati: I ·E · dl = Z B E · dl + Z A E · dl = Z E · dl − i ćZ E · dl = 0. (1.7.7) C A B L1 S i m Konačno, dobija se veza između proizvoljno odabranih putanja integracije: L2 , Z Z E · dl = L1 E · dl. ji ć L2 (1.7.8) G a Kako je izraz (1.7.8) izveden za proizvoljno usvojene putanje L1 i L2 zaklju- čuje se da rad koji izvrše sile elektrostatičkog polja pri premještanju a , probnog naelektrisanja Qp ne zavisi od oblika putanje, već samo od položaja kranjih tačaka. k ati Upravo izvedena osobina elektrostatičkog polja kroz odjeljak 1.7.1 može se ro siskoristiti da bi se uveo pojam potencijala. Označava se sa V , a definiše se kao: t Z R (1.7.9) ek VA = E · dl , A E l gdje je sa A označena tačka u kojoj se računa potencijal, dok je sa R označe- na referentna tačka, tj. tačka u odnosu na koju se računa potencijal tačke A. Analizirajući definicioni izraz može se reći da je potencijal brojno jednak ra- du koje bi električne sile izvršile pri premještanju jediničnog probnog naelektrisanja iz tačke A u tačku R. Pozivajući se na (1.7.6) zaključuje se da je potencijal referentne tačke jednak 0, odnosno: Z R VA = E · dl = 0, (1.7.10) R Jedinica kojom se izražava potencijal je [V] - volt 11. 11 Na osnovu relacije (1.7.9) izvedena je jedinica za vektor jačine električnog polja - [V/m] 26  1.7. Potencijal Primjer 6. Odrediti potencijal tačke A u odnosu na referentnu tačku R ako se zna da je tačka A na rastojanju rA i tačka R na rastojanju rR od tačkastog naelektrisanja Q, respektivno, kao što je prikazano na Slici 1.22. i ć S im j i ć, a Slika 1.22: Potencijal tačke A u donosu na referentnu tačku R. G ka , Za rješavanje ovog zadatka korsti se ranije usvojeno znanje da je polje tačka- stog naelektrisanja radijalno, a intenzitet polja u svakoj tački udaljenoj za r od ti tačkastog naelektrisanja Q se može odrediti primjenom izraza (1.6.2). Takođe, a potencijal između dvije tačke ne zavisi od putanje po kojoj se vrši integracija, ro s već isključivo od pozicije krajnjih tačaka, što omogućava da se putanja može ek t odabrati proizvoljno prilikom korištenja izraza (1.7.9). Primjeri nekih putanja kojima se može doći iz tačke A do referentne tačke R su prikazani na Slici 1.23a. El Međutim, kako u podintegralnoj funkciji figuriše skalarni proizvod vektora ja- čine električnog polja E i jediničnog vektora putanje dl , predložene putanje nisu pogodne jer je promjenljiv ugao između ova dva vektora idući od tačke A do R bilo kojom od njih, što komplikuje proračun. Poželjno je pogodnije odabrati putanju da bi ovaj ugao bio bar po segmentima konstantan čime se pojednostavljuje matematički aparat potreban za proračun. Ideja je da se pu- tanja odabere tako da se ide ili duž linija polja, u istom ili sprotnom smjeru od vektora polja (tada je dl = ±dr ) ili da se putanja usvoji okomito u odnosu na linije polja. Kod ovako odabranih segmenata putanje obezbjeđuje se da je ugao između vektora E i dl : 0, π/2, π ili 3π/2, tj. da je cos ∠(E , dl ) = 1, 0, −1 ili 0. Primjer putanje koja to obezbjeđuje data je na Slici 1.23b. Na provom 27  1. Elektrostatika i ć im (a) (b) S Slika 1.23: Određivanje potencijala tačke A u odnosu na referentnu tačku R a) Proi- zvoljnom putanjom integracije. b) Pogodno odabranom putanjom. j i ć, segmentu putanje (od tačke A do tačke A′ ), smjer jediničnog vektora putanje G a je isti kao i smjer vektora E , važi da je dl = dr , te je cos ∠(E , dl ) = 1. Na drugom segmentu putanje (od tačke A′ do tačke R) linije vektora E su okomite ka , na putanju integracije, te je cos ∠(E , dl ) = 0. Shodno navedenom i koristeći se izrazom za vektor jačine električnog polja tačkastog naelektrisanaja (1.6.2), ti može se pisati: a ro s VA = Z R E · dl = Z A′ E · dl + Z A′ R E · dl , t A A Z A′ Z R ek VA = E · dl · cos ∠(E , dl ) + E · dl · cos ∠(E , dl ), l A A′ Z A′ Z rR Z rR Q Q dr E VA = VA = A E · dl = Q −1 4πϵ0 r 2 rR = rA 4πϵ0 r Q 1 4πϵ0 rA rR rA 2 + · dr = 1 !. 4πϵ0 rA r2 , Izvedeni izraz predstavlja opšti izraz za određivanje potencijala između dvije tačke u polju tačkastog naelektrisanja Q u vakuumu. Kada je god to moguće, referentna tačka se uzima u beskonačnosti, tj. sma- tra se da rR → ∞. Tada se iz opšteg izraza za potencijal između dvije tačke u polju tačkastog naelektrisanja u vakuumu dobija izraz za pontecijal proizvoljne 28  1.7. Potencijal tačke u odnosu na referentnu tačku u beskonačnosti: Q V = , (1.7.11) 4πϵ0 r gdje je sa r označeno rastojanje (poluprečnik u SKS) od tačkastog naelektri- sanja Q postavljenog u koordinatni početak i tačke čiji se potencijal određuje. Na ovaj način elektrostatičko polje u bilo kojoj tački okoline tačkastog nae- lektrisanja može opisati potencijalom te tačke u odnosu na referentnu tačku u beskonačnosti. Ukoliko se u vakuumu istovremeno nalazi N tačkastih naelektrisanja, poten- cijal proizvoljne tačke A u odnosu na referentnu tačku u beskonačnosti dobija se i ć principom superpozicije, tj. sabiranjem potencijala koji potiču od pojedinačnih naelektrisanja Qi , i = 1 : N. S im V = n−1 X Vi = 4πϵ0 n−1 1 X Qi ri , j ić, (1.7.12) i=1 i=1 a gdje je sa ri označeno rastojanje tačke čiji se potencijal određuje od naelektri- G sanja Qi. ka , a ti ro s ek t El Slika 1.24: Potencijal tačke A u donosu na referentnu tačku R u polju tri tačkasta naelektrisanja. U slučaju tri tačkasta naelektrisanja prikazana na Slici 1.24 potencijal tačke A u odnosu na referentnu tačku u beskonačnosti je: V = VA (Q1 ) + VA (Q2 ) + VA (Q3 ), Q1 Q2 Q3 V = + + , 4πϵ0 r1 4πϵ0 r2 4πϵ0 r3 (1.7.13) ! 1 Q1 Q2 Q3 V = + +. 4πϵ0 r1 r2 r3 29  1. Elektrostatika 1.7.2 Napon Napon između dvije, proizvoljne tačke A i B unutar elektrosta- tičkog polja jednak je razlici potencijala te dvije tačke određenih u odnosu na istu referentnu tačku, odnosno UAB = VA − VB. Kako je isti definisan preko potencijala, jedinica za izražavanje napona je [V] - volt. Neka se tačke A i B nalaze u elektrostatičkom polju kao što je prikazano na Slici 1.25 i neka je usvojena proizvoljna referentna tačka R. Koristeći definici- oni izraz za potencijal (1.7.9), te znajući da cirkulacija vektora E ne zavisi od oblika putanje, napon između tačaka A i B je: i ć im Z R Z R UAB = VA − VB = E · dl − E · dl , UAB = Z R E · dl + A Z B ć, S E · dl = B Z B E · dl. (1.7.14) A a j iR A a , G ti k s a tro El ek Slika 1.25: Određivanje napona između tačaka A i B. Analizom izvedenog izraza (1.7.14) i uvuđenjem konvencija, mogu se izvesti sledeći zaključci i pravila: Napon ne zavisi od referentne tačke. Ako se promjeni položaj referentne tačke, dolazi do promjene potencijala tačaka A i B, ali napon između njih ostaje isti. Bitno je da se potencijali pojedinih tačaka uvijek računaju u odnosu na istu referentnu tačku. Potencijal tačke A u odnosu na referentnu tačku R je isto što i napon između tačaka A i R. 30  1.7. Potencijal Napon je usmjerena skalarna veličina, određuje se svojim referentnim smjerom i algebarskim intenzitetom u odnosu na taj smjer. Redoslijed indeksa govori o referentnom smijeru napona i/ili se smjer označava grafički korištenjem znaka "+"(Slika 1.26). Pretpostavlja se da je tačka koja označava prvi indeks (A) tačka višeg potencijala, dok je tačka B tačka nižeg potencijala. Označavanjem grafički, indeksi se mogu izostaviti, smatra se da je UAB = U , dok se uz tačku A stavlja oznaka referentnog smjera (+). Ako je U > 0, to govori da je tačka A na višem potencijalu od tačke B. U i ć slučaju negativnog algebarskog intenziteta napona, tj. za U < 0, tačka B je na višem potencijalu u odnosu na tačku A. S im j i ć, G a ka , a ti Slika 1.26: Označavanje referentnog smjera napona. ro s Primjer 7. Odrediti napon između tačaka A i B koje se nalaze u polju tačkastog ek t naelektrisanja Q postavljenih kao što je prikazano na Slici 1.27. El Koristeći izraz za potencijal proizvoljne tačke u polju tačkastog naelektrisa- nja Q u odnosu na referentnu tačku u beskonačnosti (1.7.11) mogu se odrediti pontecijali tačaka A i B u odnosu na istu referentnu tačku kako slijedi: Q VA = , 4πϵ0 rA Q VB =. 4πϵ0 rB Uvrštavajući ih u definicioni izraz za napon ((1.7.14)) dobija se: ! Q 1 1 UAB = VA − VB = +. 4πϵ0 rA rB 31  1. Elektrostatika i ć S im ć, Slika 1.27: Napon između tačaka A i B. 1.7.3 Ekvipotencijalne površi a j i , G Skup tačaka unutar elektrostatičkog polja koje su okarakterisane istim po- tencijalom u odnosu na istu referentnu tačku nazivaju se ekvipotenicijalne a ti k površi. Ukoliko su te tačke raspoređene duž linijskog segmenta, tada je riječ o ekvipotenicijalnim linijama. s a Za slučaj usamljenog tačkastog naelektrisanja, čiji vektor jačine električnog ro polja E opada sa kvadratom rastojanja od naelektrisanja (izraz (1.6.2)), ekvi- ek t potencijalne površi bi bile koncentrične sfere u čijem centru se nalazi tačkasto naelektrisanje. Kako poluprečnik r može uzeti vrijednosti od 0 do ∞, tako i ovih El provrši ima beskonačno mnogo (po jedna za svaku vrijednost poluprečnika r). Ilustracija tri različite ekvipotencijalne površi u okolini tačkastog naelektrisanja Q data je na Slici 1.28. Kako su ekvipotencijalne površi koncentrične sfere u čijem se centru na- lazi tačkasto naelektrisanja, a znajući i da vektor jačine električnog polja E ima radijalnu komponentu, zakljujuje se da su linije vektora električnog polja okomite na ekvipotencijalne površi. Navedena tvrdnja vrijedi i u slučaju više tačkastih naelektrisanja. Ove linije su usmjerene od ekvipotencijalnih površi višeg potencijala ka ekvipotencijalnim površinama nižeg potencijala. Veoma važna osobina ekvipotencijalnih povrišina je da je rad koji izvrše sile elektrostatičkog polja pri premještanju probnog naelektrisanja Qp po nekoj 32  1.7. Potencijal i ć S Slika 1.28: Ekvipotencijale površi tačkastog naelektrisanja Q. im j i ć, ekvipotencijalnoj površi jednak 0. Isto se može pokazati na sledeći način. Neka G a se naelektrisanje Qp pomjera iz tačke A u tačku B koje se nalaze na istoj udaljenosti od tačkastog naelektrisanja Q, recimo na ekvipotencijalnoj površi ka , poluprečnika r3 sa Slike 1.28. Neka je putanja odabrana tako da se sve tačke putanje nalaze na pomenutoj ekvipotencijalnoj površi. Pozivajući se na izraz za ti odeđivanje rada sila električnog polja (1.7.2), te znajući da vektor električne sile a ima radijalnu komponentu, ovaj vektor je u svim tačkama okomit na putanju ro s po kojoj se pomjera probno naelektrisanje, te je skalarni proizvod u izrazu za ek t rad (1.7.2) jednak nuli. Samim tim je i rad sila električnog polja koji se izvrši pri pomjeranju probnog naelektrisanja iz početne u krajnju tačku koje se nalaze na El istoj ekvipotencijalnoj površi jednak nuli. Kako je ranije naglašeno da izvršeni rad ne zavisi od odabira putanje, već isključivo od pozicije krajnjih tačaka, rad će biti jednak nuli i za bilo koju drugu putanju bez obzira da li sve tačke putanje pripadaju ili ne pripadaju istoj ekvipotencijalnoj površi. Ako se rad izrazi preko potencijala tačka A i B koje se nalaze na istoj ekvi- potencijalnoj površi još jednom se dobija potvrda pomenute tvrdnje, odnosno: QQp QQp AAB = k −k = VA · Qp − VB · Qp = Qp (VA − VB ) = 0. (1.7.15) rA rB Rad će biti različit od nule samo u slučaju ako se probno naelektrisanje premje- šta sa jedne na drugu ekvipotencijalnu površinu, odnosno ako je VA − VB ̸= 0.