Fisica II. Elettromagnetismo - PDF

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Questa opera è protetta daììa Legge sul dirino d'autore (http://u'ww.liguori.rtlareadoq nloadiLeggeDirittoAutore.pdt), Ttttti i diritti, in parlicolare quelli relativi alla traduzione. alla citazjone, alla nprotluzione in qualsiasi forma, all'uso delle illustrazioni, delle tabelle e del materiale softsare a conedo. alla trasmissione radiofbnica o televisiva, alla registrazione analogica o digitale. alla pubblicazione e diffusione afrra\erso la rete lntemet sono riservati. La riproduzione di questa opera. anche se parziale o in copia disitaie. lane sah e le eccezioni di legge, è vietata senz.a I'auforizzazione scrifta dell'Editore. Liguori Editore Via Posillipo 394 - I 80123 Napoli NA http: utu.liguori.it O 1988, 1999 by Liguori Editore, S.r.l. Tutti i diritti sono riseruati Terza edizione italiana Marzo 1999 Stampato in ltalia da Liguori Editore, Napoli Mencuccini, Corrado. Fisica II. Elettromagnetismo - OfticalCorrado Mencuccìni, Viitorio Silvestrini Napoli : Liguori, 1999 rsBN-13 978 - 88 - 207 - 1633 - 2 I. Stati della materia 2. Fenomeni della fisica I. Titolo Il. Coliana lIi. Serie Ristampe: 20 19 18 I7 16 15 11 t5 14 13 t2 ll 10 9 La cat1'a utllizzata pet la stampa di questo volume è inalterabile, priva di acìdi, a rH neutro, confbrme alle norme UNI EN Iso 9706 a,realizzata con materie prime fibrose vergini provenienti da piantagioni rinnovabili e prodotti ausiliari assoluramente naturali, non inquinanti e totalmente biodegradabili (FSC, PEFC, ISO 14001, Paper Profile, EMAS).  elPJeuaS eruolqojd.9'II 90r olon^ leu eJl]B]soJllels,llep II.S'II ZOI *" : :.., Tr: "j' :î 't'II' 96 ".g.II "... " ". rii' TLi;J$?:'""il Z6 ffi.Z'II......,,'' esrJllele qllceoeJ EB LL rJo]lnpuoJ Ieu eJIJBJ lp luolznqlJlslp e oJllelsoJllele odrue3 I'II oJllulsoJ]1a1a odueo o IJol]npuoJ Ip rruelsrs Ii EL :l:lli:: I l:l Í:1::: ll::l ::-'l::'': :l:"0 lep lzlcJesa ' ololrdeJ I"111'i"111' 69 s9 """"""""';"" ololrdec 1 oSolder;.€T'I 09 t1euo8ol.to eeuIII^Jnc eluulpJooJ /> ocrlelsoJllela odruet [3p qlt,tllu^.ZI'I i ::::: :tf l ll::i iill il9:till ]ffi;iiil :J:::,"i,''#:i:^ì 'l t'r 6' ouJelsS >v.OI'I oorJllele oduec un uI IslJllele rlodrp ns eqcIuBJJ3{x Iuolzv '6'I ZV '8'I 6t !i r I'i"til**Jffi 'L'l '9'I 9Z '9'l 8t.................... ' elou e esslJ eletzeds euolznq ZI OI L ',i,i,,ttt,,tl',*t,,,t,,,=.#Tkil1diii,"r'l:f """ eqslJllele IUOIZV 'I'Izri € elulzuelod e octJllele odrue3 oJonn Ieu eJllelsoJllelg ossaruatd nlpul FZ VI lttdice 11.7. Alcune proprietà matematiche dell'equazione cli poisson e delle funzioni armoniche 111 II.8. Soluzione del problema generale dell'erettrostatica in alcuni casr notevoli 115 II.B.1. Metodo delle cariche immagini 115 II.B.2. Equazione di Laplace unidimensionale 117 II.8.3. Soluzione per separazione di variabili 118 Riepilogo II capitolo r19 Esercizi del ll capitolo 121 Suggerimenti per la soluzione degli esercizi det II capitolo 724 III Elettrostatica in presenza di dielettrici III.1. La costante dielettrica r27 ITI.2. Tnterpretazione microscopica 129 III.3. Il vettore polarizzazione elettrica F 1o int"nsità di polaríz- zaztone) I -r+ Itr.4. Le equazioni dell'elettrostatica in presenza di dielettrici....... 111 III.5. Il problema generale dell'elettrostatica in presenza di dielettrici e le condizioni al contorno per i vettori È e -D......... 1-+-l III.6. Energia elettrostatica in presenza di clielettrici f -i3 III.7. Macchine elettrostatiche...... i56 Riepilogo III capitoÌo 157 Esercizi del III capitolo 1-58 Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del III capitolo........... 163 IV Corrente elettrica stazionaria IV.1, Conduttori r67 IV.2. Corrente elettrica i68 IV.3. Densità di corrente ed equazione di continuità 172 IV.4. Resistenza elettrica e lesse di Ohm 178 IV.5. Fenomeni dissipativi nei conduttori percorsi da corrcr.t= 182 IV.6. Forza elettromotrice e generatori elettrici 183 1V.1. Alcuni esempi di generatori elettrici 190 IV.8. Resistenza elettrica di strutture conduttrici ohmich. 194 IV.9, Circuiti in corrente continua 198 IV.10. Cariche su conduttori percorsi da corrente 208 IV,11. Conduzione elettrica nei liquidi 211 IV.I2. Conduzione elettrica nei gas 274 IV.13. Superconduttori 217 IV.14. Cenno ad alcuni metodi di misura di correr::,. _ :-:,- potenziale e resistenze 217 IV.15. Circuiti percorsi da corrente quasi stazionan", 220 Riepilogo IV capitoio 225 E,sercizi del IV capitolo 227 Suggerimenti per la soluzione desli esercizi d;i I., - zJl  099 "ii;;Lj"i^'t",-,'i'"':::; 8rt :l:-1-- vvt i" I -::-: l::l :::l ololrdec 1n oSopderg 0vE tlueuetured r1eu3e1q 't ;IL LT.E ""' ltau8eruorltalg'Z'L'Il.. ZT,E "' ruorzerurssordde.e IuoIZIuIJeq'rtrleu8etu IIInoJIJ'I'L'Il' Igg rlueueured tleuSeu e lleu8eruoJllele 'IslleuSeru tltnc'tt3 ';lL 6ZE ' orusrleu8etuoJJoJ 1ep etrdocsoJctlu auotzelerdrelul'9'9'IA 6Zt " orusrleuSuuered 1ep ectdocsoJolIrl euotzelerdrelul'9'9'IA BZT euolzelardrelul t e IA LZT -"-T:ii::3:::it t:t ::19::::"'Y """"""" ul^ ::::l it ::-'iTl "- :i::::'","jil,;T,"J:Lilî:::Í 23+î. """"' tltdoJSoJJeur rdueo e eleJol octdocsorctu oduec BJJ euoIZBIsU 'T'9'IA ZZT ;;11;,l,,,''1"l+$**j9friuÍTln eA 6I€ 8lt LIE eqtlleutsBluelp ezuBlsos'I's'IA LIE " nt1au8 -euroJJeJ a -ered '-elp ITBuelEru lep aqctdo.lsor:uru ulaudol4 'S'IA 609 H pè g -rad oprocceJ Ip tuolzlpuoo el a ElJeletu s0€ T ' eqclooJS :i::::iÎ:i::l:*1::* :I:l ifl:*"p""r l"oF:11",r 'IA -oJJrur rJuerJoc el uoo IuoIZeleJ ens è €clJeu8eru auotzezzrtvlod 'E'IA I0g qsns slqeraues 'z'r^........................:T:]1:.'3"- l"-l i]i5.t:--]lt"d'n IIuJeuob ellllnpoJlul IuolzBJepISuoJ'l'lA 662 elJeJetu elleu ousr1eu8el41 IA 962 ::::i'':il#l't"'-"j':Tlj T,6Z :: L: 1 i* ::.::::..ll::l " ololrdec ,1 o8olderg 682 t8z """"' oJlletsoleu8eru odruec Iep e ocllulsoJllale oduec lep eqJllsl^IleleJ IUoIZeIUJoJSeIJ '8'A IBZ 6LZ îî' ZL7 692 692 tctlelsolauBEru ITuIZueìod '9'A ,,,,,,,,,,,t,tt,;1,;::F,",lrt+*.:Ilt:1ru """ OIJBU 992 -orzels osBJ Ieu og ecrleu8eru euolznpul eJolle^ 1ep qletrdor4 'V'L Iluerros ep olereueS 0s odrue3 'g'A 092............:1:li..l::.-Îi""olzels ' ouJels? ocrleu8eru ócluec un ,VZ ur BrJeuoIZBls elueJJoo up tsrocrad IIInJJIJ ns eqJluecJeLu IUoIZV 'z'L e zlueloT Ip PZJoC.T'A 9EZ g ecrlau8eru ouolznpul aJollo^ olon^ Ieu lJeuolzels iJlleutsetu ruetuouec A IIA arlpuJ v VIII Indice vII campi elettrici e magnetici,-variabili nel tempo. Terza quarta equazione e di lúaxwell VII.1. Induzione elettromagnetica. La legge di Faraday_Neumann vII.2. Interpretazione fisica del fenomena d"il'induzione.. 352 elettroma- gnel.ica 3-55 VII.2.1. Flusso tagliato: configurazione del circuito che varia in un campo di induzione magnetica.É costante nel tempo 355 vrr.2.2' Variazione der frusso concatenato dovuta ar moto delle sorgenti del campo F;..... 358 vrr.2.3. variazione del flusso concatenat. dovuta a varíazione della corrente di alimentazione dei circuiti sorgente 359 VII.3. Forma locale della legge di Faraday-Neumann ed espreisione della ferza equazione di Maxwell nel caso non_stazionario... 36t) VII.4, Il fenomeno dell'autoinduzione e coefficiente di autoinduzione JO.J VII..5. Induzione mutua 370 VII.6. Analisi energetica di un circuito RL / -') VII.7. Energia magnetica ed azioni meccaniche --) 379 VII.j.1. Richiamo ad energia elettrica ed azioni meccaniche 379 y!!!2 Energia magnerica nel caso di circuiti accoppiati... 383 VIL7.3. Energia masnetica e forze su circuiti............. 386 VII.8. Elettrogeneratori e motori elettrici 392 VII.9. La quarta equazione di Maxweil nel caso non stazionario... 395 VII,1O. Espressioni generali di tipo locale per I'energia magnetica... 401 RiepiÌoeo VII capitolo 404 Esercizi del VII capitolo 406 Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del VIi capitolo A't ).......... VIII Correnti aiternate VIIi.1. Considerazioni introduttive 4r7 VIII.2. Generalità sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordìne 4r9 VIII.3. Gtandezze alternate 424 VIII.4. Sviluppo in serie di Fourier 429 VIII.5. Il metodo simbolico i 1- +J1 VIII.6. Il fenomeno della risonanza 439 VIII.7. Potenza assorbita dai circuiti in corrente alternata 441 VIII.B. Trasformatore staticcl 443 VIIi.9 Strumenti di misura delle grandezze elettriche alternate 447 Riepilogo VIII capirolo 449 Esercizi dell'Vll I capitolo 457 Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del VIII capitolo... 452 IX Onde elettromagnetiche IX.1. Considerazioni introduttive 453 1X.2. Alcuni approfondimenti relativi alle equazioni di Maxwell... ,4 1o15 Ip BrueJoel II ourerpJoorJ 'glueulpuoyordde red Bf,Iletuelel\i ISIPUV Ip ISJoJ Ie opuel^ulì{ 'ossels odtuBJ Ie eJdues eJeuel -redde pE opugnulluoc olund un e aJeSla^uoJ ellgJ eJesse qnd oduec Iu elueuel --redde BSnIqo EeuII enbunlenb eqc e 'odlueJ Ie elueuegedde ellnl enulluoc eoull eun uoc rltqtSunÉuoo eJesse ouo^ep odtueJ 1ep rsetspnb tlund enp aqc €oIJIUBIS erJ.osseuuoo elua1llectldues eJesse BllnsIJ (Z'{'x)A alBlrol}e^ ouolzunJ ellep euorzrurJep tp OdureO II eS elueuregeJ euel^,\E QIc :o^I1e,\JeSuoJ PIS a oduleJ (ere^ur Ir eqc eluer,1erJgsserau ucrldur uou '0 = g lor odtl Iep ouolz€leiì,tn 0:Elor 6S olon^ pu D)llolsorilalg lzr tl r 60 Elettromugnetismo C)ttica [I.12] ó = ;; x il coincide con il precedente (cilindro pieno) e pertanto. per la linea / circolare di raggio r. si ha, come prima, (Î)u dl -2tt'tr T I I Per contro, il flusso cli rot d - 2atk attraverso I'intera superficie circolare S cir s^--f--. raggio r, gssendo nullo il vettore velocità nella zona interna del tubo (r < R,), vale: 'l:_îj,.rí x,i -,t'f- tt' dl I l ds:2un tr- - R; ) * Q I rot ?, dS =2a J.s J i '.s ____r*__ che è diverso dal risultato precedente. 'l Ciò deriva dal fatto che la circonferenza di raggio r non è. da sola. contorno di una superficie S contenuta nel campo. Se invece si considera una superficie S costituita da una corona circolare di raggi r; ed r con Ri < ri < r 3 R.orientando S secondo il versore k. le duc circonferenze 1; (di raggio r) ed I (di raggio r) che costituiscono il contorno di S, debbono csscre orientate in senso opposto (infatti. equivalente alla convenzione della mano destra orecedentemente introdotta per i versi relativi della curva di contorno c dclla iuperficie S, è la convenzione per cui un osservatore che percorre il contorno di S in verso positivo camminando sulla pagina positiva di S dcvc trovare i punti di S alla sua sinistra). Ciò posto, per il flusJo di'rot d si ha: r d' -za J nt: - I rot tlS kon(r2 ri! La circuitazione di d luneo I'intero contorno della corona cìrcolare S consicle- rata vale rtt': c,tr 2nr - or, 2nr, = r_. r,) - | rol U = 2tt't\t: r/S Js come prevede il teorema di Stokes nei caso di contorno di S costituito da piìr di una curva. X.13. Coordinate curvilinee ortogonali Nella trattazione di molti problemi fisici dotati di particolari caratteristiche di simmetria. risulta conveniente servirsi di sistemi di coordinate diversi dal cartesiano (*, y, z) da noi abitualmenfe utllizzato. Indichiamo con (41, ez, Qt) un sistema di coordinate curvilinee con la condizione che le superfici {1 = coSt, 4z = cost a Qz = cost, intersecandosi in un punto, abbiano, nel punto di intersezione, versori delle normali mutual- mente ortogonali (coordinate curvilinee ortogonali). Nel caso delle coordinate polari (o sferiche) già usate, per esempio nelle formule [I.50] e [I.57], si ha, con i simboli della figura:  'aluPlsoJ = g e eluslsoc = I uo3 '! arosrsn tp Esp ieluelsor = ó 'o1e11ured 1e elue8uel e1 o8uny oluaruelsods ol elueseJddur e eluelsoJ l uo3'6 eroste,t Ip'ou€IplJeur 1e elua8ue1 e1 o3un1 olueruelsods = o1 elueserddetzsp'.a1ue1Soî = ó e eluelsos - g uoc'7 eJoste,t Ip alelpeJ euolz -eJrp EI o8unl olueruelsods o1 elueserddet Isp eFIuroJ rluepecerd e11e51 dt p gurst Espl eu$t = tq = 'l.t =zq 0pt ="spÌ "t I r = Iq.tp ='sP) :eq rs '@ alerurou elosJe^ Ip 'z esse.l red eluessed ouerd un e aJupJSoJ = ó = €Ó etct;redns el aqo e i9 elerurou eJosJe.\ tp'ern8t; €ilep z essE.l uo3 elusplJuloc èsse uoc a eJnuedB Ip ouos ufÌ Q eluelsof, = IÓ = 0 =zb arcqredns BI eqJ i7 eprurou eJosJe^ tp'ere;s Eun Q èluelsoJ = I = eIJ -r;redns EI eqc opuepJoJlJ a uulod eleulpJooc a11ap ordruese,ile opuelseìI t b p(E b'. b.t b)r q ,,p l zsp z bp( bcz b.I b). q t6r1t6,e6rb)tq = :;l (sb 'zb , rb) o :uq ts enbunp e orzeds ollep IUoIZèJIp aJlle olleu rleluotuele tlueuelsods rp red IUoIZeleI eqSoleuu aJe^IJcs ouossod rseluatulruls '(ló '.h 'rb) oleulplooc ellep 'eleJeue8 ut 'euotzun; Q rry e^op tbP'q: IsP :Q BIUJOJ In3 el 'I osslJJns Iep elEJIpuI èuorzeJrp ullau 'orzeds olleu olueuelsods oun euelllo ts 'tlue1soc ouEJSeJ tb a zb eJlueul 'tó elqeue^ eile ouISelIuIJuI olueruercul un qp IS eS 1sorr-(tb''b'rb)z=z) óutsButs.l - (tb'zb'I Df : {l 'l I ósorgurs; = (i b'( b'I blx : x) :ruoIZBIet elou ellep eueISeuBJ eleulpJooJ e1e e1e8el ^r=":rl Ig oJon^ pu ú)ll0lsouplg ls rrl 62 Elettromagnetismo - Ottica [L13] Uno spostamento ds-in una direzione qualsiasi, tenendo conto che siamo in un sistema di coordinate curvilinee ortogonali. avrà come modulo: a, = lh1 aqì * h3 ,tctr. + hrt dql Nel caso delle coordinate sferiche, che stiamo sviluppando come esem- pio, per il vettore spostamento infinitesimo potremo scrivere: dl'= îclr + 0rd0 + Òrsinldcr; Esempio 8.I.33. Esprimere in coordinate curvilinee ortogonali gli operatori gradiente, divergenza c rotore. Per quanto riguarda I'operatore gradiente, consideriamo una funzione scalare.fklr, tlz.q3) e ricordiamo che. in generale. dalla [1.48]. si ha: cràd.f ' dî'= (tf Se si sceglie uno spostamento elementare lungo ia direzione di indice 1 si ha, con le notazioni della figura: (grah;;,ris, = 1grààfl,ft,r/11, =.f(A) -.f(O) da cui: -'tòf lgradAl = 1,, i, , ed analoghe formule per le componenti di indici 2 e 3. Nel caso delle coordinate sferiche si ottiene: a1 (sradf) : + òr -.tàf = (gradl),, r + ()a (gfa0fl- tòf =-r,,r.rr,., + d@AB{.t.. con:  oo^'% tbpTbltitt;tl =.!P '! = 'lnror (€b ,zbp + zb ,tb) c I -T :eq ts tnc red 'l JJtptrt lp rrlotzellp ellE sletulou 'ibP'Lbl)rq(tl (ebp + eb ,zbp + zb rb) ' q = rspzs.? = S'p arelueruela ercr;redns ú1 epniqrrer cqt 'e;n8t; efiap ECIJO ollnutt '.o Jlutrl)lì r\ 1r ouer.repriuoJ'eloloJ lap I oJtput tp elueuodtuoJ BItep oloJ[eJ ll lad òdure" y*-p e-rltred e llot 1p epreueÉ eqolzluuep €un Eleteplsuoc erei-se qnd eqc..':.:.:..... ,...- -. :.' : I ì lî --- o- I (0b ,zb 'Lb) o 1 ÎP tull - I. rlror :P. I 9'; :eq rs 'olsr^ erB euo3 'r. eleulou eJosJe^ rp 5p rtrerd ent.;ladns lp llueulèla (€bp + eb ,zb ,rb) Ip Flroluor.arursolrurJur esnrqr eeurt e olecrldde [13'1] se1o15 Ip Ptuiloel lep otuell f -Jed (tb'tb'tb)a aloue^ un Lp atotot atototado,llap euorsse"rdse.l ete^eJtl ted 'o1e-r8e.red eulJ lp e^rlunssell ettoqpl u1leu olelrodu èluoueJllJluls euoJ t ' ,óp puts, (gursHrz)...,^, te z' ,urs.t (-t'a) f* + , a \ 0p - ':.", " -i- t'-,'"-' + Èî t ,,'-1.- tl r.- a^ =lrrnn, tguts./at {g '"'( +1ry : L *e * e * iBu,.,r'n) el T.-9A!P , , :sq ls gelod eleuProoo IP osec IeN '.t._... , -f - I thp., _.zbp tbpl-ry'q'q l('q',.1'a) lt (' - '- : lntp ^'| e * t"l"'l'n) ei I L e * 7tt'lzn) 1' ,.. ,. r.... :eeUIIIA.In3 elsútprooa U1. ezue8rerup eJqleJédo.1 ,red elecJec euotsserdse.l e^ecl; Is InJ ep I :. t_. - tbp zbp _ t1r^1 = tbp.blttbì1(UtUta) ,,ttttt(a) "f " * ,rrrr,n) = (gbp L! í. * ,t] :eq rs topllqrúiÍos e ',(g ,a Z ruoIZeJIp a;1e ilqrulou eluerue.Lrlledsirt) zp ollelunlo^ lep erreJ rp erddoc enp attle ellep ttnqtlluor t :ed oSoleue opoul ul opuapacold :, : : ,bp"bp,frp(r.trr.lrn)t+= , t6 p' 6 poltqz t4' a) = l a ur n;rl, np6rr rl:rnu'#. "C,tr,t' n)J *: - = tep :eq Is 'oddny,ts ollep àulpro oulrd 1e 'enbunq ,bp'bp(V)tLl(V)itl(nta = rDflvep tbp tb,p1641,4(O)'u(O)ta - = 1... - -, '". , l' = (o)€sp (o)Lsp(.g\;a ,= iocrt *o opnt pu oruolso4plg lErrl 64 Elettromagnetismo - Otticcr [r.13] ,iìri"lf,' a;. ['; 'rls:'+ I:t a;. | ;'al Per i due tratti di circuito, di lunghezza risj nella direzione di indice 3. in cui varia solo q1. tenendo conto del verso di percorrenza, si ha: (t' -, (u lu ' r1s-,+ | u ' ds - (u.h.)r. dq., - (ujh.)n dc1., = JC Jr. iàÀ =ltu.h,),, * à,r-- turh.\ dq.l 61 ,,. lD,h.rl,, dt1 , = { tu.lt,t dq,tlt1 , L "q : _l c.)tl : Ed analogarnente, per i tratti di circuito, di lunghezza r1s2 nella direzione di inclice 2, in cui varia solo r72, si ha: î-.F l-'t-. r' I u r/s+ JD Jo lu'ds=(u,h.)scl42 -(u.hr)oclc1.= - tù.h.t,, tlt1. L lw^n,t,, - J ,u.ttrt a,1.l rtq, I - ;à. (u,h.t ttrl,ttq; "./., oq , Sommando tutti questi contribuenti elementari. si ha in definitiva: rotol' = | [a ('""1 a I - ,fit'u'n;)nn'or. îWrîirh fa.n = I fa a - N,. 1a,,,{u'n 't - a,1, t',ft,',J Formule corrispondenti si trovano, permutando gli indici" per le direzioni 2 e 3. Nel caso delle coordinate polari (hz = ,, ft.; = r"sin0) si ha: rotù'1, = fh [$ r,,'"u,, , - + t,u,,tf = - l f a. ^ - òu,,f r sing làd 't'no'u'ao ] È immediato verificare che, nel caso di coordinate cartesiane in cui si ha: 4 t = x, 4z = !, cl t = Z, hr = h. = ft. = 1 si riottiene I'espressione 11.79].  Jor 0l'9'I = a euorllele.llep Ertler Ellop o1rípou 1 eluese.rddel eqJ etuelsoJ eun red o,rr1e8eu o orrtltsod oJelul oretunu BcrJec ellep evorzezzr]'{renD un rp ollopord 1 eruoc eJsfeplsuoc qnd rs ouSes olep un rp ectrec tuSg odurel Ieu eluelsoc Q eqcrrllole eqcrJec ellep Bcuuc €tep euorze^resuo" * ecr.rqeSle €urruos €I otrelosr etuelsls un uI "ft[t]:J: o'? olon^ Iep BJrrllelelp eluelsoJ zu'N/zJ a-.1I 't98'8 = rb (rruro;4und eqcrrec red) ,b (,rr\ ,2, oelv lztl = rct quolnoJ rp e33e1 1".! )'ru OTOIIdVJ I TECI OCOTIdAId (0e re (Ap dp ì d lr ó(a ror) + __r-_t = '{A toJ) rn'td Í 1 lhe f"oe ("aaP1 te t be ?ues r 0(a pt; tòa :p\ :- l-: _!'nul='(a tor) ('a t)e t'apr- Uae (óe /2D óp d\ - 0g -l9ues: -':'"'' lT:_ l_ (ator) lenn 1i2.guasrgJr \-ae -'ae | ) lT1 & lOJ , óe 9ves t ""P|- 0e Oues /. Je zr ze óeò, òe d 2p lp xpì o dcprruS)g I -(al\ei 1ra-'^pT-C"ò;g-i 'ap -+++ ^ae -ag ^lp 49u?r"'-nl[L) ;i2p = -uar ft ='utt Ip ff i -'att ff I - tt:t: p ="vtt = "rrrr / pcr8 #='oo, ff ft='trtt ópeueu'ept'tp zp'ópò 'Òp zp'[p 'rp IP (ó'e'4 (2'ó'Ò) (z '{ 'x) IUV'IOd EHJIì{CINI-IIJ ANVISAJUVS AJVNICIì{OOJ sg otonA lau D)tlDlsotllalz lerrl 66 Elettromagnetismo - Ottica lr.13l RIEPILOGO DEL I CAPITOLO (continua) Campo elettrico -,ì ,. A,=/1m.."-l: t It - ml Àl voltl fr.sl '-" q lL In un punto P dello spazio il campo elet- trico prodotto da più cariche puntiformi Principio di sovrapposizione è pari alla somma vettoriale dei campi elettrici generati in P separatamente del- le singole cariche considerate. [I.7] C'ampo elettrico da carica puntiforme -; 1 q (r'\ É" "o - 4Í€o rt \, ) lr 4l o q Flusso di un vettore o,(É) : k,ts E'ds Ir, = Is [r.211 Teorema di Gauss Éo { x,y,z -. = I Eo'ds o1)I ) os(Eo) | ' J.s to lr.22l a (D.r1É01 = r( -loar "0 J, Operatore divergenza in coordinate cartesiane =l /í(x,y,z) -. _'* òu au òu- divu= ^ _ d7_ o.x oy ll.3ol Teorema della divergenza À {x,y,z) t"-, -. I lA'ds=ldivAdr r J lr.31l 's S cxrusa Prima equazione di Maxwell div É,, [t.36]  , 1r r..-l..t lotuv=(z.[.xl|.. tvî| ,po ) | 'esse Ip euncselc eP rlereueS rlerzuelod Iep eruruos e1 q eqcr.rec 4rd J ep olereueS otllelsorllele elerzuelod 11 (z'A'x)A qerzuelod rep qlhruppv (O=(-),tredg=1soc) t ol)fi, IZV'll ìsoJ+ b r =(z'^'x)A ( z'A'x) A euro;r1und ecuec ep elelzuelod tr7tl A+-=1P.efi-=s- 14=lves zo {p xp -tol*/tr.frt=/P.era Q 'r'x)l euolzunJ Bun Ip eluelpPrts eroluredg 'zp -=-- J AU. rfg h_ -rg ,og AE"AE (s),{-G)'t = tP. 0a T tsg'tl tttozrl J ocrlelsorllele el€IZuelod lf 'oAIle^JeSUOJ o=lP-og I q og odruec tuSo euotzrsodder^os Ip z p red io,ttle,tJesuoJ e eleJluec ordrb-urrd Q aruJoJllund ectrec ep 07.- odruec 11 o^rJe^Jesuoc ocllelsoJllale oduu3 (g.A=9ntP:'sered) lzt'tl za {p xp 'l j g: p'y+:./+_'l=A g lz A BIqEN eroleredg (enurluoc) OTOIIdVJ I'IA61 OCOTIdEIì{ L9 opn^ pu 0ruîTso4plg lerrl r' 68 Elettromagnetismo - Ottica u.131 I RIEPILOGO DEL I CAPITOLO (continua) I Potenùle da dipolo elettrico p=qo tli' VotPl " - 4Jt€o ,'. '--,- r' ll.54l Dipolo in campo elettrico esterno Momento della coppia di forze: I =pxE / 1y1 // Energia del dipolo ,/ U=*p' È E Operatore rotore î j kl ro|6= a.-l o -l= ol dx oy c|z I I D., u, Drl í (x, v,zl "- (òu- àl\ "'\'l i (òD^- ar,l "/ la r lr [a-v ozt \oz ox ) f ,; ,( (aD,.: au, -.-loy) I \ d-r tL.191 Teorema di Stokes (-, dl-.:l r roru dS Qu l-, il.ull IJ /î\ Y-0 f- dl'= o Camoo elettrostatico irrotazionale lr.83l rot Én -n  eluelueuteJso pe elueuuulèJut eluaséld oclJlléle ocftuut Iu e olElzll:lnti eJU3lslsLÌi'-- Ie EUod j oJol oloJJtd [ àL{J èut)IZEq.InUèd el eJeJnJseJl leu e11enb c.g.1 orzrJjese.llcp euotznlos ellE ElBnSepu euorzPlutsso-Idcllr.Ll.l 'L'l /-\ (s7ur 7g'g 7 orz :elsodsrg) @=b:3ì,,0I.0t =u:-Lu/J,-01 0'Z= :lt9-1.. Ò - 11 1l-l: (',e-rels ellcp eu'orzu-t11u.11e opue58ng! 3]ueruullulJepur rsi'euelucllle,ussod t' 9l sf GI psse gqJurl1e.eJerJlilll aJeSSe eÀèp 00 uurrurtu.rlt?tz[il ÌìrJolà^ e1r:nb uo3 'D- u,tr1e8eu ecuec Ip Elelop 'lrl esselu rp àr eruroJrlund eurllud eun 'ouJèJse,l osré^ ourelul,llep 'èluèlull?IpuJ tJr oloJ oloccrd rrn olecrlerd e BlèJs n1oir,-tn1 auàr,t elenb lI osle^ErlJu eileN.o aleror;-redns qlrsuèp rLor '6J u,lLlrso.f eJrJuJ EUn èJueluetu.Ioltun BlrnqrJlslp Q essa rp ns a 'olon,t 1eu elsodsrp e e^ec EJtJoIS etcrlredns eu1-1 '9'l (s/ru l8'Z : r,t :elsodsr11) '(3ìr91 =ur:Lur0l - o'.J s0l 9 = ÓtJ 8-01 9'l = ll:Ittrautnu rlote1) ;ezueJe.Juoc-Ilr ellep oJJueJ 1ep essed l,t q]rcole,t èqJ uoJ 'elernb rp euoIZpnJIS ellup opuèl,tud 'tsre,tontu lp eJ-lqIl elEllsul euet't D- ectlec E-I'ó v ued e1e1o1 e.Ltltsod uJlJuJ uoJ'èluJIueLuJoJIun eIEJIJeJ 3 ezueJ _eJuoJJrJ E-l.esseJs uzuoteJuoJ,rrJ Eltép J olluèJ 1np tIu ezuelslp l] E^o,tl rs dr :ussrJ auorzrsod ul elelosut1 u orfifiel rp ezuele1uoJllc Eun Ip essg,llns :gì1.r.d.S'I IoLI eluerululztut ulsod q rrl esseu rp ú u,ttle8eu ectluJ l?uIl t0 = l:! :N i 0t 9't I - -- ,t :alsodsrY) 'olodrp Ip euolzl?Luisso:dde.1 c-rez -zr1ll-l 'Etuèlsrs yt olsodollos Q lnJ eJlullJcelu auolzellJellos ul elelocleJ Jruro;r1und e,tilsod eclrer eun elsod euat,t'ur,g'1 = ttí = i J,. òl gI = ó.,i j,drtioO n11"u asse,1 o3un1 'opr3' e.',elsrs un etuoJ tlrodutoc Is osse aqc orueruoddns e ,g.l orzrJJese.ile rnJ rp eluelsts II eJoJull oluEuèplsuoJ 'v'l (%, : : euorsicerd:J/f sgl L'T,I = "'t :.u'J r 0l tt'l != !:e1sodsr6) 'olodrp tp àuolzPtutsso.rdde elle elroclJ ts ès olllloJlec ó 1)'i'0 = euèrÀ eletZUé1od e1e1 euotsrcerd alenb uoc a.IL-lnlc\ e'rur 0t - 1eu 01 oou11:l1a elurzuaìod [t el]loul è.tÙlocluJ etsf - {):r e}eurprooJ Ip 0d oluncl 'erueJsts iep d oyodrp tp o1uètuotu lI erelocleJ '(f,,_tit 0'l = b)b7 aret' e e.ttltsocl q (g) ucuec el erluetu'D- ouo81u't a eirte8eu ouos (7) e (1) eqctrec e[ Elo el^e]lnt:Z'l olztrrese.llep €rlll -euróe6 auorzern;rluoc essè]s e11eu clsodsrp ouos rr-urolrlund eqctrec crJ '€'r {f 8l'0 - ) :N g9'l -- Y :elsodsrX) lolrsrnble Eq y erlleurc ut8:eua èqJ 'Pullluol ollolu eJuAulE e esse opuenb ierl1e allup clellJlèse e^Islncler ezJoJ ellèp suolze 'esse lp red eueluole ts.rsre^onru tp eJeqtl eJetJsel elrer^ èsse tp Eun es 'eqJjrur-ellep euncsulr elsodottos Q Inr J erllulsorllèle BZroJ el eruloJlBJ eunuSo Ip e-Iol€^ Il Jd 0'i = ú er5'urc 0[ = p olel rp orelepnbe olo8ueul ZISf un rp rJtue^ ru alsodsrp ouos r1en8n e,trlrsod [uroltlund èqJtJeJ eJJ 'z'l a1 euo6olro ouetd Z'\ l-=X or33er Ip ezueJoluocrrc :ulsodsr11) t)- 'olulssetu q oduec p rnc uI tlund rep o3on1 1r oreulru-IcJep-'ussels elue8unt8uoo ellep J orluec }---^-}-. b+ :.r --.r b* ii.nziad eruessed a aqcuuó enp el elue8unrsuor eile eleuoSolro ouerd 1n5 ezu2lsrp eun ep e1ìl;edes ouos r1en8n a,rrlrsod ruroylund eqcueJ enc 'I'I o1o1ldur I lap ;Zrrrosg t. 69 olortA pLt tt)tlolsoillall lst'Il  70 Elettromagnetismo - Ottica lr.13l alla sfera. Tuttavia, se si calcola il campo elettrico É6 nel punto ,4 situato al centro del foro F immediatamente all'esterno di esso. si trova una differenza notevole fra il caso in cui il foro sia effettivamente presente e il caso in cui anche nella regione di F prosegua la distribuzione omogenea di carica. Calcolare tale differenza.4E, e discutere perché, a dispetto di essa, I'approssimazione succitata sia adeguata alla soluzione dell'esercizio r.6. (Risposta: /Eo = -ì (f z€o I.8. In un volume sferico di raggio R e centro O è distribuita con simmetria sferica della carica elettrica la cui densità di volume è p = a r, dove ,4 è una costante ed r è il modulo della distanza dal punto O e tutto è disposto nel vuoto. Ricavare l'espressione della carica fotale Q contenuta nella sfera e I'andamento del campo elettrico con la distanza r, interna- mente ed esternamente alla sfera. (Risposta: Q = nARa; EoQ > R) = Ql4nesr2; Eo? < R): Artr+un; r.9. Una distribuzione continua di carica occupa il volume di una regione di spazio cilindrica (raggio di base R; altezza h - 4R) con centro nell'origine e asse coincidente con I'asse z. All'interno del cilindro è Dresente un campo elettrico di equazioni Eo,. = o Uo.i = 0 Eo, = oz2 (a > 0 costante). Determinare I'espressione della densità di carica internamente al cilin- dro, e la carica totale posseduta dal cilindro stesso. (RisPoste: q : 2t:n oz; Q = 0) I.10. Determinare I'andamento del potenziale elettrico ucner[ìto a grande distanza dall'origine dalla distribuzione cilindrica di carica di cui all'eser- cizio I.9. (Risposra: Votrt = io^',.', '.,',, /, ''j rrrrzR5) I.l t. Ai due estremi di un'asticciola isolante di lunehezza -1 a sono fissate due piccole sfere metalliche dotate di una stessa carica positiva +r7. Sull'astic- ciola è infilato un piccolo anello M, libcro di ntuoversi con attrito trascurabile, dotato di carica - q.Inizialmente l'anello si trova fermo nel punto centrale dell'asta. Si tratta di una posizione di equitibrio stabile? +q M +q Discutere I'andamento dell'energia potenziale dt M in funzione di.r. Se nelle posizioni B e C a distanza pari ad a dal centro sono disposti due O,- B-qc fermi, qual è I'energia cinetica Kf dr M quando sbatte contro uno di essi? (Risposte: l'equilibrio è instabile; O, = #;,*) t.12. Una sbarretta omogenea, di sezione trascurabile e lunghezza 21, è dotata di una densità lineare di carica non uniforme, descritta dalla legge 7 - ax, dove x è la coordinata longitudinale presa con origine nel centro. Incer- nierata nel suo punto di mezzo a un asse verticale, la sbarretta è immersa in un campo elettrico uniforme Er, orizzontale. In che posizione di equilibrio si dispone? Spostata di un piccolo angolo rispetto alla sua posizione di equilibrio, essa prende a oscillare con pulsazione ro. Quanto vale la sua massa? 2E oal , (Risposte: a) parallelamente al campo; b) * :. t I.13. Una carica Q è distribuita all'interno di una sfera di raggio R, in modo  \\.D -.q) = (.t)rt q\ F internamente. al valore non nullo che esso ha esternamente avviene attraver- tr LO sando uno strato superficiale il cui spessore è dell'ordine del diametro /. 0, e secontlo la normale entrante se s < 0. È da osservare che, benché ne-lla [IL5] compaia la densità o nei punto considerato, in realtà il campo €u è determinato dall'effetto di tutte le cariche distribuite sul conduttore. Le conclusioni fin qui raggiunte in questo paragrafo costituiscono impor- tanti premesse all'impostazione del problema dell'elettrostatica in presenza di conduttori in tutta la sua generalità, così come vedremo nei prossimi paragrafi. Esse sono tuttavia già adeguate, anche nella formulazione fin qui data, alla soluzione di semplici problemi di rilevanza pratica. Esempi E.II.I. Consideriamo un condutforc cavo S scarico, come moslrero in figuru. Internamente a esso poniamo un corpo S' doturo di carica Q, ad eiempio positiva. Quale effetto si produce sul condurlore cavo? Internamente al conduttore cavo S consideriamo una superficie chiusa.X così come rappresentato dalla linea tralteggiata nella seconda figura. Poiché in S. così come in ogni altro conduttore, il eampo elettrico a regime è nullo, è nullo il flursc del campo elettrico attraverso X; e pertanto, per il teorema di Gauss, è nulla la carica nelta contenuta internamente a.I. Affinché ciò accada per ogni "X interna a S, e in particolare per una X vicinissima alla superficie interna àel coiduttore S, è necessa- Indu;ione completa rio che sulla superficie interna di S si induca una carica pari in modulo, e opposta in segno, rispetto alla carica f. D'altrorrde, considerato che S è complessivamente neutro, ciò provoca I'induzione di una carica pari a Q (in valore e segno) sulla superficie esterna di S. Questo fenomeno è detto fenomeno dell'induzione campleta. Un canduttore cavo non è dunque in grado di schernaie, verso I'esterno, I'effetto di un'eventuale carica presente al suo intemo.  odusl p pp.lad aueluol alueuoluor3rllns ouurs sJaJs ?np aJ éqr orueruoddn5 '(ottl tu atuautouratut anbanao o)t4taîa odtutst lî ollìtu - ar?pual op alw opau ut o1{ ps auadqp F aqJ aa&t apap ouatta,l ,rnrsott 6) 2ata{s aîpp ozuouttt^ u! ollutala odu,tot f apó otutnfi ptats anp ayns S apltrypns $ atua7 'Q otltot t ut, úJo)olstp auat^ tlturtstJ 1iS '.U a tU W ato8Spw arput ozzaqîurr, ,p 'oaulfrlar arott rpuoe alEf un op atlun útros'ry a ty atuau.sattpdstr at?8pt g'zS a tg otttlttpuoc atats ang '?'It.I ,1,î 'o3îtotso.t$ala owraqls ap suorzunJ o^m ajollnpu03 l! aq3 aslp !s'ollnu ? qlr\.-' \,Y sllap ouralul.llu o;lJ;ala oduer ll eq: apnl3uol ls oseJ otsanb ur sr.{tuv 'of,r.lu: : odnrer ;p a1ua8"ros b ctttsc eun elsodsrp ep olsanb !p ouralsa.lls ? oruscs ?ls S o^,i: arollnpuof, r rn, ur osBr l3u aqrue a:aladu gnd rs oluerueuorSer tp odrl ossals o.l 'orrnuqql$?'o€rr€;TJ,T^,f Ki,1,;J:?;::";"9,,., efiap Elon^ euoz slp o^rtsla.t apr3elur rp agrd BI '(0 = g) olpu olnquluoo ?qqèrEi aJollnpuo3 rp ?uoz elp o^rlula.I elgrEalul rp apud 11 a:luaIt'eq) otusrrour l€p'orez €: osJaÀrp aqq"J?llnsrJJp. g Eaurl rp aler8r1ur.1 'a"tollnpuoJ I? suletu! a1.led : q1i r;-- 9 slls uu.ralur alenb e11ap aped'1 ?snlqo sourl sun esard'r11e;u1 'of,tlslsolllala odu:: Itp €ll^rleÀlasuoî !p 3uorzrpsos sl uol allqneduocut ? etl etu 'qtl^ef, Èllap ouiatui.i : g * 0g oduer un aqqaJeels rg 'ernEg ur olsllsou stuor otdurase:ad'q}r,rer el s1r.!ll:- aqr 5i;r;.radns ellns er{rueJ Ip s}ulsuluts uou euolznqg}slp ?un sp Bl?ttJue^ aras!: rqlue 'ssnsg rp ?uaJoal o;os Jt:ad'aqqeriod auorzlpuos al?J'Bllnu ? alsÌol ef,uer i 'ssnsÍ) lp srlslosl y rad'alo11npuol ls su.Ialur 3 atrt;radns tu8o rp ourelul.lls'alue- ffi -aluaperard olsr^ Q rs euof,'gqr.rad erJ'ossels elollnpuoJ 1ap anry;adns sllns'8... -Elsorllale ur 'euodsrp rs àJollnpuo3 un Bp slnpsssod eruer ?l atlt olsr^ oluslqqv iarottnpuo> pp otoìt^ ?trarn qpu ortut4a odwot I ap^ o1uott$ 'b otrtoc tlua) ttut? ual oJrJoJ 'S a^at aJalnrpuoJ un ouruJaptsuos '€'tI'l 'qruolno3 rp Etueroel lr u. l aluauroluèJaor {}r/p - {}g 3r8es 'o rp ey;anb etb lp auotssa:dsa.1 er; oluo{uo3 l:- úú ,A u7 ,r/ ',r/z/ r/x ::=O / z /0: ),,/ , o /r,'// :?or3 :Erars e11ap arcr;:edr, C el Q eulr? - s e^op' à = o ele^ o alercr;radns 83rJe3 lp qllsuap el a1-lrd ?lll€.c efi,tnpuol t! ounÍ alút: -aalodpba arapilar rlp opow u! onoJs!fiqlrts ,A otuV o- -!p dil0pu! àtlrqnr àl ls A t =-' - :úllnu q dnopill aqJlrnJ dlldp Durutos Dl :(g'1'g ordruasa rpen) ?p otsp a atcgradns ei-.' - ellep szueurf,r^ ul sssà e aluatueuJalsa odrusr lt'?Jals e1;ap ot8fer ll ? y as anbu:-: -ztp opo$i u! aia!ilre iapr;:odns €ns ellns (eplauruts 1p ruot8er -lad) aluauau:oJlun s3stnqtrtstp ts ef,ll:l o4tt tsortrala eu{ì!znpa!.'r e;'aeu11npuo3 eJaJs ?un lp osm laN'euotznqtJlstp Bllap o;1u33 1au elsodsrp a:o1.' uad rp aulogllund s)u€3 sun tp oduret ossels ol aenpud ?ttlels srrleuuris !P etetc: ellre3 rp suounqulslp eun '{E'1 'red rpea) o}s!,r odual ons E ouletqqe 3uro3 'fi otrtoc rp ototop nrll?tpuat wats gutt tp oso) pu qruoÍrro7 ,p owaroal 1t atoc{ua71 'Z'Il'j -rnpuor un sp s"Lrs' Bun 'oltrsluo3 rad 'aluarulelol arrlaJserl ,o ,ru"ro,lf"r|l ""t,il. s3run.l elsanb ? pa : ,g e,rapassod eluàruletzlut eq3 utl:ef el slln] S slollnpu:: lE àJuelssJt rp o11anb Q oll"u otlalJa,l:S tp €ulolur atrr;radns el1ns aluaserd fr- eluss ?l ?zzrlsrlnau ?S'ns alu?saJd S+ eruer Bl'S'oÀs3 3JollnpuoJ lI ouJelul.li:: aref,3ol e r:lul.tod sts 'alollnpuor clsoddns ',5 od:or 11 uro;enb eql oulslArasso lll aJut)tsollpîa otltuttt a 1tr)1lnpuat tp ,:raa$!S r Eletlromagnetisnto - OÍticcr [rr.1 ] elettrico prodotto dall'una non perturbi la distribuzione di carica sull'altra: in altri termir.ri, supponianto che intorno a oqnuna delle sfere le granclezze fisiche caratteri- R2 stiche del problema (potenziale. campo elettrico, densità cli carica) abbiano simme- tria sferica. Il potenziale V1 c V2 che 57 e S1 producono in vicinanza clella loro superficie vale allora (vedi eq. l.a2l: t/-lQtt/l Qt 'l ti--.-Ì 4nt,, R, 't 4?lì ^ f(I dove Q1 e O? sono le cariche possedute rispeîtivamente dalle due sfere (eiez= e). Ma essenclo le due sfere unite dal filo a îormare un unico conduttore. deve essèie Z, = = Vr. e ciò comporta Q1l R1 = QtlRz, ovvero: Qt Rr Qt R, lrr.6l La carica si clistribuisce dunque sulle due sfere in misura proporzionale ai rispettivi raggi. La densità di carica sulle clue sfere vale: ,,' -9' 4:rR]' ' Ur-- - et 4ir R; dacuia= Q, Rl Ut F, o. I e tenuto conto della [ll.6l: ot R' ot Rr La densità cli carica sulle due sfere è inversamente proporzionale ai rispettivi raggi; c tenuto conto clella [1f.5] lo stesso accadc al campo elettrico È,, in vicìnanza dellò due sîere: quest'u\timo è dunque tanto pìir intenso quanto piùr piccoìo è ì'l raggio. Gli esempi E.lL3 ed E.lI.4 introducono aicuni fenomeni di grancic interesse teorico e pratico relativamente all'elettrostatica in presenza di conduttori. Schermo elettostatico In primo luogo il fenomeno dello schernlo eLettrostarico. Consideriamo una scatola metallica collegata a terra. cosicche ii suo potenziale sia 1o stesso Gabbía dÍ Faraday della superfìcie terrestre; per comodità, tale scatola può essere rearizzata anche mediante una rete metallica ("gabbia di Forctlayr,). Per quanto visto nell'esempio E.II.3, tutti i fenomeni elettrici che hanno luogo internamente alla scatola sono determinati unicamente da interazioni mutue fra cariche situate internamente alla scatola, nessuna interazione elettrostatica essendo prodotta da eventuali cariche presenti esternamente alla scatola. Potere delle punte Il secondo fenomeno è quello dovuto al cosiddetto potere delle punte. A causa di fenomeni analoghi a quello descritto nell'esernpio E.il.4. in vici- nanza di un conduttore il campo elettrico è tanto più intenso quando più piccolo è il raggio di curvatura di eventuali convessità che la superficie del conduttore presenti. Se tale raggio di curvatura diviene molto piccolo (e ciò accade quando la superficie deì conduttore presenta una ), specie se il conduttore è posto ad alto potenziale (o, come si dice spesso nel linguaggio comune, ad ) nel gas (ad esempio aria) presente in vicinanza  'olBJeprsuoc sjollnpuoJ Ieu eruJoJrun An = ,A elerzuelod un red e ÓD = ,fi e1e7o1 ecrrex eun red ,o elercrlredn: euorznqrJlsrp elqrssod eJrun.lle qrepuodsu-roJ è eJollnpuoJ Iop rlund r ritni red eluelsor BJoJUE qJallnsrJ tA eIarzrJeJod y erelocrlred u1 '?l èJollBJ ossat! o1 red qecqdrlloru ouo8uen euorzenlrs elonu EIIoU eJollnpuoJ lep ,y1e1evua1o,J lI pe ,ó epiol ecrleJ EI ouoJSIuJoJ eqJ rprc4redns qer8elur q3 rqrue4 -ue oler8ered eluepecerd 1ap q€urJ ruorzeJeprsuoJ elle oseq ur 'n aluelso-- eJolleJ un red (z '{ 'x)o auorzunJ e1 arecqdrlyotu rp oueruoddns es 'er6 'ossats eJollnpuoJ pp oledncco eunlo^. Ieu eprzuelod 1ep QlpuJoJrun,l arrìueren rad epqrssod oporu oJrun.lleu (z 'l'x)o eorJeo rp elercr;redns qlrsuep uol arcgredns ur auodsrp rs elsenb 'Q ecttec eun elruJoJ euer,.r eJoJJnpuoc IB eS 'oJrJllele ooll Ip ouorzBrelur eyqezzetdde ?unJle pe olsodollos eJosse uou ep oporu u1 r11e33o u11e ep oueluol oqoru 'o1onn ozeds o11eu olsodsrp eJoilnpuoJ un ouerJèprsuoJ RrJr$ale qllrudEJ.Z.II 'ruorzrpuoc rluepecerd al aqrueJlua eJsrppos eqc (z '[ 'x)o EJUeJ rp elErJr-I -radns auoùnqu$tp'Duun.un Elsrse eqo 'ererlsorurp eyrqrssod Q etuoo 'ecqdur 'Ó = SPo T euorzrpuoJ elle Blrun '.r1 =eluelSc]:(AA :ers eJollnpuoJ Ie ruJolur llund r Illnl ur eqJ euolnpuoo e'l \,, rv tf otrv @ -sp sw )-=\'t)A :([e'W't]'be rpa,r) eturoJ BI orunsse erollnpuoc 1e ouretur ocr.rga;a oduec 2' olund un rp oletzuelod p 'ocu1}e1e odruec 1p 4ue8ros eJlle ep oueluol o11e rp rpurnb a ollorrr olsod q '(z 'l 'x)o ecueî tp alercqradns qllsuep uoc oclreJ e S ouroluoJ rlerzualodrnba rp arcgradns rp 'ero11npuo3 II eS 'eplcgredns Q eJIJ€t Ip euoznqlJlslp rcrl;adns rp el e elprzualodrnbe Q eJollnpuoo Iep etunlol y 'Q ecrteo Bun elsodsrp oluauresuappB ers epnb 1ns 'o1onl leu aJollnpuoo ISBISIEnb un olep 'ecrlelsorllele uI eqJ tp euoz olleJ II erpururrl3rJ ounlroddo g 'oleddnpls oltn?as Iau qJJe^ oluunb re4 '('cce 'eunulnJ 'elluulîs 'eruers) IIeJol IluaJJoJ eurISsIJI€ uoJ e8uelel e oueruouoJ un r^rsselons lun ut arrnpo:d ouossod 'ocrr11e1e odruec 1ep €lloÀ oJol s oleJelatJe 'aqcuea elsanb e :euol-ouoJ11e1e erddoc tp euotznpotd uoc essels elocelotu ellep ouolzezzruor e1 'se8 lop eJlneu elooeloru el oJluoJ rgn 113au 'erereueS a1el eJosso qnd ecststnbre ecrruc elecrged el eqJ ocU€c "p ecrleurJ er8reue,1 'erelalse el aq3 o3lJlèla odruec euoJ un eJluocul (euor1 aroììnpuoc -1e1a orduresa -red) elue8e.t ecrdocsorclu eJLIec eun opuenb ecnpord ts se8 ]soc : fi un ur eJr;llele eîrJ€JS p-I 'eq3ullele eqJlJpts allep oue3IJIJeA IS elu