Construcciones Geométricas Básicas PDF

Tema 4 Construcciones Geométricas Básicas En este tema repasaremos algunas de las construcciones geométricas básicas. Asumiremos, de momento, que trabajamos con figuras planas (bidimensionales) aunque muchos de los conceptos pueden aplicarse o extrapolarse a tres dimensiones. 4.1 – Operaciones...

Tema 4 Construcciones Geométricas Básicas En este tema repasaremos algunas de las construcciones geométricas básicas. Asumiremos, de momento, que trabajamos con figuras planas (bidimensionales) aunque muchos de los conceptos pueden aplicarse o extrapolarse a tres dimensiones. 4.1 – Operaciones con Segmentos y Ángulos Antes de estudiar formas geométricas cerradas como las circunferencias y los polígonos, vamos a revisar algunos conceptos útiles sobre segmentos y ángulos. 4.1.1 – Teoremas de Tales 4.1.1.1 – Primer Teorema de Tales El enunciado del primer teorema de Tales es el siguiente: Si dos rectas concurrentes, r y s, son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los segmentos determinados sobre la recta s. Matemáticamente: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 = = 𝐴′𝐵′ 𝐵′𝐶′ 𝐶′𝐷′ Es decir, los segmentos resultantes son directamente proporcionales entre sí. Otro enunciado equivalente de este teorema es el siguiente: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. El primer teorema de Tales tiene algunas aplicaciones geométricas interesantes. Una de ellas es que nos permite dividir en n partes iguales cualquier segmento, de forma geométrica (no analítica) y de manera completamente exacta.  E' D' C' B' A' D E C B A Figura 4.1 – Primer teorema de Tales. Por ejemplo, dado un segmento AB que quisiéramos subdividir en 5 partes iguales (por tanto n = 5 en este caso), el procedimiento para poder realizar este proceso de forma geométrica sería el siguiente: Dibujemos una recta oblicua al segmento AB, que parta del extremo A con un ángulo cualquiera con respecto al segmento (lógicamente diferente de 0°). Tomando una distancia cualquiera fija, y partiendo de A, tracemos sobre esta recta segmentos contiguos (A1, 12, 23, 34, 45) hasta contar 5 (podemos hacer esto realizando arcos sucesivos de un mismo radio). Trazamos a continuación un segmento que una el final del último segmento con el extremo B. Trazando paralelas a este segmento (5B) que pasen por puntos 1, 2, 3 y 4, conoceremos los cortes sobre AB que subdividen AB en 5 partes iguales. El procedimiento, aquí ejemplificado para n = 5, es generalizable a cualquier número de divisiones. Además, no importa ni el ángulo que escojamos, ni la distancia que trasportemos sobre la recta oblicua (siempre y cuando tengamos espacio suficiente para realizar este proceso).  5 4 3 2 1 A B 36 180 Figura 4.2 – Aplicación del primer teorema de Tales para dividir segmentos. 4.1.1.2 - Segundo Teorema de Tales El enunciado del segundo teorema de Tales es el siguiente: La circunferencia que tiene por diámetro la hipotenusa de un triángulo rectángulo pasa por el vértice del ángulo recto. Otro enunciado alternativo es: Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB, distinto de A y de B. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.  C' 0° 90,0 C ° ,00 90 B A Figura 4.3 – Segundo teorema de Tales. El segundo teorema de Tales relaciona, por tanto, el triángulo inscrito en una circunferencia y sus ángulos. Otra manera de verlo es, que si cogemos un diámetro y un punto cualquiera de la circunferencia y formamos con ello un triángulo, cojamos el punto que cojamos siempre obtenemos un triángulo rectángulo (el vértice A define un ángulo de 90°) y el ángulo de B a C siempre es el doble (180°)). 4.1.2 – Cuarta, Tercera y Media Proporcional 4.1.2.1 - Cuarta Proporcional Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional a un cuarto segmento d, si éste cumple que: 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑  d a/b = c/d a/c = b/d c a b a b c Figura 4.4 – Construcción geométrica de la cuarta proporcional. 4.1.2.2 - Tercera Proporcional De similar modo, dados dos segmentos a y b, se denomina tercera proporcional a un tercer segmento c, si este cumple que: 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑐  c a/b = b/c a·c = b2 b a b c es tercera proporcional de a y b, pero al mismo tiempo, b es media a proporcional de a y c b Figura 4.5 – Construcción geométrica de la tercera proporcional. 4.1.2.3 - Media Proporcional Si intercambiamos los términos b y c, y tomamos esta expresión de esta manera: 𝑎 𝑐 = 𝑐 𝑏 entonces tenemos: 𝑎𝑏 = 𝑐 2 Dados los segmentos a y b, se denomina media proporcional al segmento c que cumpla la expresión anterior. Podemos comprobar fácilmente manipulando algebraicamente la expresión que, si c es media proporcional entre a y b, ello implica que b será tercera proporcional de a y c. La media proporcional se puede construir de manera geométrica, realizando el siguiente procedimiento: se colocan los segmentos a y b uno a continuación del otro. Se busca el punto medio del segmento (a + b) y se traza una circunferencia que tenga precisamente por diámetro (a + b). Trazando ahora la perpendicular por la unión entre a y b se obtiene el punto de corte con la circunferencia. Este segmento es c.  a/c = c/b 2 a·b = c 1/2 c = (a·b) c a b c es media proporcional de a y b, pero al mismo tiempo, b es tercera proporcional de a y c a b Figura 4.6 – Construcción geométrica de la media proporcional. 4.1.2.4 - Cálculo Geométrico de la Raíz Cuadrada Dado que 𝑎𝑏 = 𝑐 2 es evidente que se cumple: 𝑐 = √𝑎𝑏 Por tanto, si fijamos b = 1, obtenemos la expresión: 𝑐 = √𝑎 Con lo que, si repetimos el procedimiento de construcción geométrica, fijando b = 1 (en realidad también podríamos fijar a = 1) podemos calcular gráficamente la raíz cuadrada de un número. 4.1.3 – Construcción de Mediatrices y Bisectrices 4.1.3.1 - Mediatriz La construcción de la mediatriz de un segmento AB es relativamente sencilla. Para ello, se debe trazar primero un arco con centro en A y radio arbitrario pero mayor que la mitad de la longitud del segmento. Después, trazaremos otro arco con centro en B y el mismo radio que el anterior. Ambos arcos deben cruzarse en un punto M (si los hemos trazado al mismo lado del segmento). Repitiendo el proceso pero trazando arcos al lado contrario del segmento, obtenemos el punto N. Uniendo los puntos M y N obtendremos la mediatriz del segmento AB. M B A N Figura 4.7 – Construcción geométrica de la mediatriz de un segmento. 4.1.3.2 -Bisectriz La construcción de la bisectriz de un ángulo con vértice se realiza también por medio de intersecciones de arcos. Si el vértice del ángulo es A, trazaremos una circunferencia de radio arbitrario con centro en A. Dicha circunferencia cortará a los lados del ángulo en los puntos M y N. Ahora, debemos trazar sendos arcos, con centro en M y N y de radio arbitrario (pero igual en ambos casos). Ambos arcos se cruzarán en un punto O. Uniendo O y A obtendremos la bisectriz. a/2 a M O a/2 A N Figura 4.8 – Construcción geométrica de la bisectriz de un ángulo. 4.1.4 – Construcción de Perpendiculares A continuación presentamos métodos geométricos para construir perpendiculares a un segmento. Se presentan dos casos: que queramos construir una perpendicular a un segmento AB que pase por un punto P (conocido) que es exterior al segmento, o que queramos construir una perpendicular a un segmento AB que pase por un punto P (conocido) que pertenece al segmento. En ambos casos, la construcción se realiza dibujando un arco de circunferencia desde el punto P. Los puntos de corte de este arco con el segmento AB determinarán dos puntos M y N, a partir de los cuales, calculando la mediatriz de MN, podemos obtener la perpendicular que buscamos.  que pasa por un punto P exterior al segmento AB O B N M A P Figura 4.9 – Construcción geométrica de la perpendicular a un segmento que pasa por un punto exterior. A M P N B O que pasa por un punto P Figura 4.10 – Construcción geométrica perteneciente de la perpendicular al segmento AB a un segmento que pasa por un punto del propio segmento.