هندسه و ترسیم های هندسی PDF

‫ّ‬ ‫هندسه و به‌ویژه ترسیمهای هندسی از دیرباز مورد استفاده‬ ‫بشر بوده‌است‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ّ‬ ‫انسان از دوران باستان تاکنون همواره از هندسه و به ویژه از ترسیم‌های هندسی‬ ‫برای حل مسائل مختلف یاری گرفته‌است‪.‬‬ ‫از تقسیم‌بندی زمین‌های کشاورزی تا طراحی انواع ابزارهای کاربردی پیشرفته‬ ‫ِ‬ ‫نیازمند ترسیم‌های...

‫ّ‬ ‫هندسه و به‌ویژه ترسیمهای هندسی از دیرباز مورد استفاده‬ ‫بشر بوده‌است‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ّ‬ ‫انسان از دوران باستان تاکنون همواره از هندسه و به ویژه از ترسیم‌های هندسی‬ ‫برای حل مسائل مختلف یاری گرفته‌است‪.‬‬ ‫از تقسیم‌بندی زمین‌های کشاورزی تا طراحی انواع ابزارهای کاربردی پیشرفته‬ ‫ِ‬ ‫نیازمند ترسیم‌های هندسی است‪.‬‬ ‫کنونی‪ ،‬همگی‬ ‫(برای مراحل زیر از خط  ‌کش و پرگار استفاده کنید‪).‬‬ ‫فاصله‬ ‫‪١‬ــ نقطهای مانند ‪ O‬را در صفحه درنظر بگیرید و نقاطی را مشخص کنید که‬ ‫ٔ‬ ‫نقطه ‪ O‬برابر ‪2‬سانتیمتر است‪).‬‬ ‫همه نقاطی که فاصلهشان از ٔ‬ ‫نقطه ‪ O‬دارند‪(.‬مثال ً ٔ‬ ‫یکسانی از ٔ‬ ‫‪O‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪B‬‬ ‫فاصله ‪ 2‬سانتی متر از خط ‪ d‬قرار‬ ‫‪2‬ــ خط ‪ d‬را در نظر بگیرید و تمام نقاطی که به‬ ‫ٔ‬ ‫دارند را مشخص کنید‪.‬‬ ‫دهانه پرگار را بیش از نصف طول پاره‌خط ‪AB‬‬ ‫‪3‬ــ نقاط ‪ A‬و ‪ B‬را درنظر بگیرید‪ٔ.‬‬ ‫باز کنید و یک بار به مرکز ‪ A‬و بار دیگر به مرکز ‪ B‬و با همان شعاع قبلی کمان بزنید تا‬ ‫یکدیگر را در نقاط ‪ U‬و ‪ V‬قطع کنند‪ U.‬و ‪ V‬چه ویژگی مشترکی دارند؟‬ ‫‪A‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪10‬‬ ‫فاصله ‪ 1‬سانتی متر از خط ‪ d‬قرار دارد‪.‬نقاطی‬ ‫نقطه ‪ ،A‬مانند شکل مقابل به‬ ‫ٔ‬ ‫‪4‬ــ ٔ‬ ‫نقطه ‪ A‬باشند‪.‬‬ ‫از خط ‪ d‬را بیابید که به‬ ‫فاصله ‪ 2‬سانتی‌متر از ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫دهانه پرگار را به‬ ‫‪  5‬ــ نقاط ‪ A‬و ‪ B‬را به‬ ‫فاصله ‪ ٥‬سانتی متر از هم درنظر بگیرید‪ٔ.‬‬ ‫ٔ‬ ‫اندازه‬ ‫دهانه پرگار را به‬ ‫نقطه ‪ A‬یک کمان بزنید‪.‬سپس ٔ‬ ‫اندازه ‪ ٣‬سانتی متر باز کنید و از ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫نقطه ‪ B‬یک کمان بزنید‪.‬‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫کنید‬ ‫باز‬ ‫متر‬ ‫سانتی‬ ‫‪٤‬‬ ‫ٔ‬ ‫الف) نقاط روی کمان اول چه ویژگی مشترکی دارند؟‬ ‫ب) نقاط روی کمان دوم چه ویژگی مشترکی دارند؟‬ ‫پ) نقاط تقاطع دو کمان فاصله شان از نقاط ‪ A‬و ‪ B‬چگونه است؟ برای اینکه چنین‬ ‫فاصله نقاط ‪ A‬و ‪ B‬چه شرطی باید‬ ‫اندازه شعاع آنها و‬ ‫نقاط تقاطعی وجود داشته باشند‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫داشته باشند؟‬ ‫ت) طول اضالع مثلث ‪ AUB‬چقدر است؟‬ ‫فاصله ‪ ٣‬سانتی متر از هم درنظر بگیرید‪.‬نقاطی را‬ ‫‪١‬ــ دو نقطه مانند ‪ A‬و ‪ B‬را به‬ ‫ٔ‬ ‫بیابید که فاصله شان از ‪ ٢ ،A‬و از ‪ 2/٥ ،B‬سانتی متر باشد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2‬ــ توضیح دهید که چگونه میتوان مثلثی به طول اضالع ‪ ٤‬و  ‪ ٥‬و ‪ ٦‬واحد رسم کرد‪.‬‬ ‫فاصله ‪ 7‬سانتی متر از هم قرار دارند‪.‬نقطه ای پیدا کنید که‬ ‫‪3‬ــ نقاط ‪ A‬و ‪ B‬به‬ ‫ٔ‬ ‫نقطه ‪ B‬برابر‬ ‫نقطه ‪ A‬برابر‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫و از ٔ‬ ‫فاصله اش از ٔ‬ ‫مسئله زیر‪:‬‬ ‫جاهای خالی را به گونه ای کامل کنید که‬ ‫ٔ‬ ‫الف) دو جواب داشته باشد‪.‬‬ ‫ب) یک جواب داشته باشد‪.‬‬ ‫پ) جواب نداشته باشد‪.‬‬ ‫برخی خواص نیمساز و ترسیم آن‬ ‫نقطه ‪A‬‬ ‫زاویه ‪ xOy‬و نیم خط ‪ Oz‬را نیمساز آن درنظر بگیرید‪.‬فرض کنید ٔ‬ ‫‪١‬ــ ٔ‬ ‫زاویه ‪xOy‬‬ ‫نقطه ای دلخواه روی ‪ Oz‬باشد‪.‬ثابت کنید که‬ ‫نقطه ‪ A‬از دو ضلع ٔ‬ ‫فاصله ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫نقطه ‪ A‬عمودهایی بر نیم خط های ‪ Oy، Ox‬رسم کنیم طول‬ ‫یکسان است‪(.‬یعنی اگر از ٔ‬ ‫آنها باهم برابر است‪).‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اگر نقطه ای روی نیمساز یک زاویه قرار داشته باشد‬ ‫‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫نقطه ‪ A‬از نیم خط های‬ ‫نقطه ‪ A‬را چنان درنظر می گیریم که‬ ‫فاصله ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫زاویه ‪ xOy‬و ٔ‬ ‫‪٢‬ــ ٔ‬ ‫‪ Oy‬و ‪ Ox‬باهم برابر باشد‪.‬‬ ‫زاویه ‪ xOy‬قرار دارد‪.‬‬ ‫نقطه ‪ A‬روی نیمساز ٔ‬ ‫نشان دهید که ٔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(راهنمایی‪ :‬پاره خط ‪ ،OA‬و دو عمود از نقطهٔ ‪ A‬بر خطوط ‪ Ox‬و ‪ Oy‬رسم کنید و نشان‬ ‫دهید پاره خط ‪ OA‬همان نیمساز ‪ xOy‬است‪).‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اگر نقطه ای به فاصلهٔ یکسان از دو ضلع یک زاویه باشد‪ ،‬آن نقطه‬ ‫قرار دارد‪.‬‬ ‫از (‪ )١‬و (‪ )2‬نتیجه می‌گیریم‪ :‬هر نقطه که روی‬ ‫‪x‬‬ ‫قرار داشته باشد‪،‬‬ ‫و هر نقطه که از دو‬ ‫ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد‪ ،‬روی‬ ‫آن زاویه قرار دارد‪.‬‬ ‫دهانه پرگار را کمی باز کنید و به مرکز ‪ O‬کمانی‬ ‫زاویه ‪ xOy‬را درنظر بگیرید‪ٔ.‬‬ ‫‪١‬ــ ٔ‬ ‫بزنید تا نیم خط های ‪ Ox‬و ‪ Oy‬را به ترتیب در نقاط ‪ A‬و ‪ B‬قطع کند‪.‬‬ ‫ــ طول پاره خط‌های ‪ OA‬و ‪ OB‬نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟‬ ‫‪W‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪y‬‬ ‫یک زاویه‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫دهانه پرگار را کمی باز کنید (بیش از نصف طول ‪ )AB‬و یک بار به مرکز ‪ A‬و‬ ‫‪٢‬ــ ٔ‬ ‫بار دیگر با همان اندازه و به مرکز ‪ B‬یک کمان بزنید تا دو کمان مانند شکل در نقطه ای‬ ‫مانند ‪ W‬همدیگر را قطع کنند‪.‬‬ ‫ــ طول پاره خط های ‪ AW‬و ‪ BW‬نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟‬ ‫ــ پاره خط های ‪ WA‬و ‪ WB‬و ‪ WO‬را رسم کنید‪.‬دو مثلث ‪ OAW‬و ‪OBW‬‬ ‫نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟‬ ‫اندازه زاویه‌های ‪ AOW‬و ‪ BOW‬نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟‬ ‫ــ‬ ‫ٔ‬ ‫زاویه ‪ xOy‬چه نوع پاره خطی است؟‬ ‫ــ پاره خط ‪ OW‬برای ٔ‬ ‫روش رسم نیمساز یک زاویه را توضیح دهید‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫برخی خواص عمودمنصف و ترسیم آن‬ ‫‪W‬‬ ‫‪١‬ــ پاره خط ‪ AB‬و عمودمنصف آن را مانند شکل مقابل درنظر بگیرید و فرض‬ ‫نقطه ‪ W‬از دوسر پاره خط‬ ‫کنید ‪ W‬نقطه ای روی عمودمنصف ‪ AB‬باشد‪.‬نشان دهید ٔ‬ ‫‪ AB‬به یک فاصله است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اگر نقطه ای روی عمودمنصف یک پاره خط قرار داشته باشد‪ ،‬از دوسر‬ ‫‪.‬‬ ‫آن پاره خط‬ ‫‪W‬‬ ‫نقطه ‪ W‬از ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫نقطه ‪ W‬را به گونه ای درنظر بگیرید که ٔ‬ ‫‪2‬ــ پاره خط ‪ AB‬و ٔ‬ ‫به یک فاصله باشد (یعنی ‪ )WA = WB‬نشان دهید ‪ W‬روی عمودمنصف ‪ AB‬قرار‬ ‫دارد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(راهنمایی‪ :‬از نقطهٔ ‪ W‬به ‪ A‬و ‪ B‬و به وسط پاره خط ‪ AB‬وصل کنید و نشان دهید‬ ‫مثلث های ایجاد شده باهم هم نهشت هستند و از این مطلب استفاده کنید و نشان‬ ‫دهید ‪ W‬روی عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬قرار دارد‪).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اگر نقطه ای از دوسر یک پاره خط به یک فاصله باشد‬ ‫‪.‬‬ ‫از (‪ )١‬و (‪ )2‬نتیجه می‌گیریم‪ :‬هر نقطه که روی عمودمنصف یک پارهخط‬ ‫باشد‬ ‫و هر نقطه که‬ ‫روی عمودمنصف‬ ‫‪.‬‬ ‫‪١‬ــ یک نقطه را در صفحه در نظر بگیرید و خطی بکشید که از آن نقطه عبور کند‪.‬‬ ‫چند خط متمایز می‌توانید رسم کنید که از نقطه موردنظر بگذرد؟‬ ‫‪٢‬ــ دو نقطه را در یک صفحه در نظر بگیرید و خطی بکشید که از آن دو نقطه عبور‬ ‫نقطه موردنظر بگذرد؟‬ ‫کند‪.‬چند خط متمایز می‌توانید رسم کنید که از هر دو ٔ‬ ‫‪٣‬ــ به نظر شما برای اینکه یک خط به طور کامل مشخص باشد‪ ،‬حداقل چند نقطه‬ ‫از آن خط را باید داشته باشیم؟‬ ‫‪13‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫پاره خط ‪ AB‬را مانند شکل مقابل درنظر بگیرید‪.‬‬ ‫نقطه ‪ A‬و بار دیگر‬ ‫دهانه پرگار را بیش از نصف طول ‪ AB‬باز کنید و یک بار از ٔ‬ ‫‪١‬ــ ٔ‬ ‫نقطه ‪ B‬کمان بزنید تا یکدیگر را در دو نقطه مانند ‪ U‬و ‪ V‬قطع کنند‪.‬‬ ‫با همان اندازه از ٔ‬ ‫‪٢‬ــ طول پاره خط های ‪ AU‬و ‪ BU‬نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟‬ ‫‪V‬‬ ‫‪٣‬ــ طول پاره خط های ‪ AV‬و ‪ BV‬نسبت به هم چگونه اند؟ چرا؟‬ ‫‪٤‬ــ آیا می‌توان گفت نقاط ‪ U‬و ‪ V‬روی عمودمنصف پارهخط ‪ AB‬قرار دارند؟ چرا؟‬ ‫‪  ٥‬ــ عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬را رسم کنید‪.‬‬ ‫مراحل رسم عمودمنصف یک پاره خط را توضیح دهید‪.‬‬ ‫رسم خط عمود بر یک خط و رسم خط موازی با یک خط‬ ‫‪M‬‬ ‫‪d‬‬ ‫رسم خط عمود بر یک خط‪ ،‬از نقطه‌ای روی آن‬ ‫نقطه ‪ M‬را روی آن‪ ،‬مانند شکل مقابل درنظر بگیرید‪.‬می خواهیم خطی‬ ‫خط ‪ d‬و ٔ‬ ‫بکشیم که از ‪ M‬بگذرد و بر ‪ d‬عمود باشد‪.‬‬ ‫‪١‬ــ به کمک پرگار چگونه می توانید نقاط ‪ A‬و ‪ B‬را روی خط ‪ d‬بیابید؛ به گونه ای‬ ‫که ‪ M‬وسط پاره خط ‪ AB‬باشد‪.‬‬ ‫‪٢‬ــ عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪٣‬ــ عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬خطی است که بر خط ‪d‬‬ ‫نقطه‬ ‫و از ٔ‬ ‫‪.‬‬ ‫مراحل رسم خط عمود بر یک خط از نقطه‌ای روی آن را توضیح دهید‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪T‬‬ ‫رسم خط عمود بر یک خط‪ ،‬از نقطه‌ای غیر واقع بر آن‬ ‫نقطه ‪ T‬را که غیر واقع بر آن است‪ ،‬مانند شکل مقابل درنظر بگیرید‪.‬‬ ‫خط ‪ d‬و ٔ‬ ‫می خواهیم خطی بکشیم که از ‪ T‬بگذرد و بر خط ‪ d‬عمود باشد‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪١‬ــ به کمک پرگار چگونه می توانید نقاط ‪ A‬و ‪ B‬را روی خط ‪ d‬به گونه ای بیابید‬ ‫نقطه ‪ T‬به یک فاصله باشند‪.‬‬ ‫که از ٔ‬ ‫‪٢‬ــ عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬را رسم کنید‪.‬‬ ‫نقطه ‪ T‬می گذرد؟ چرا؟‬ ‫‪٣‬ــ آیا عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬از ٔ‬ ‫عمودمنصف پاره خط ‪ AB‬خطی است که بر خط ‪d‬‬ ‫نقطه‬ ‫و از ٔ‬ ‫‪.‬‬ ‫روش رسم خط عمود بر یک خط از نقطه ای غیرواقع بر آن را توضیح دهید‪.‬‬ ‫رسم خط موازی با خط داده شده از یک نقطۀ غیرواقع بر آن‬ ‫خط ‪ d‬و نقطه ‪ T‬مانند شکل مقابل داده شده‌اند‪.‬‬ ‫نقطه ‪T‬بگذرد و با خط ‪ d‬موازی باشد‪.‬‬ ‫می خواهیم خطی رسم کنیم که از ٔ‬ ‫نقطه ‪ T‬بگذرد و بر خط ‪ d‬عمود باشد‪.‬‬ ‫‪١‬ــ خط ‪ d1‬را به‌گونه‌ای رسم کنید که از ٔ‬ ‫نقطه ‪ T‬بگذرد و بر خط ‪ d1‬عمود باشد‪.‬‬ ‫‪٢‬ــ خط ‪ d2‬را به‌گونه‌ای رسم کنید که از ٔ‬ ‫مورب درنظر‬ ‫‪٣‬ــ خط ‪ d2‬نسبت به خط ‪ d‬چه وضعیتی دارد؟ چرا؟ (خط ‪ d1‬را ّ‬ ‫بگیرید‪).‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪d‬‬ ‫روش رسم خط موازی با یک خط از نقطه‌ای غیرواقع بر آن را توضیح دهید‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪١‬ــ فرض کنیم هر چهار ضلعی که قطرهایش منصف هم باشند‪ ،‬متوازیاالضالع است‪.‬‬ ‫متوازی االضالعی رسم کنید که طول قطرهای آن ‪ ٤‬و ‪ ٧‬باشد‪.‬چند متوازی‌االضالع‬ ‫به طول قطرهای ‪ 4‬و ‪ 7‬می‌توان رسم کرد؟‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬ــ فرض کنیم هر چهار ضلعی که قطرهایش باهم برابر و منصف هم باشد‪ ،‬مستطیل‬ ‫است‪.‬مستطیلی رسم کنید که طول قطر آن ‪ ٦‬سانتی متر باشد‪.‬‬ ‫‪ 3‬ــ فرض کنیم که برای لوزی   بودن یک چهارضلعی کافی است که قطرهای آن‬ ‫چهارضلعی عمودمنصف یکدیگر باشند‪.‬ترسیمهای زیر را انجام دهید‪.‬‬ ‫الف) یک لوزی رسم کنید که طول قطرهای آن ‪ ٣‬و ‪ ٥‬باشد‪.‬‬ ‫ب) یک لوزی به طول ضلع ‪ ٥‬و طول قطر ‪ ٦‬رسم کنید‪.‬‬ ‫‪4‬ــ دو ضلع یک زاویه را در نظر بگیرید‪.‬‬ ‫زاویه موردنظر ‪ 2‬واحد باشد‪.‬‬ ‫الف) نقطه‌ای بیابید که‬ ‫فاصله آن از هر ضلع ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫ب) با استفاده از نقطه ای که در قسمت (الف) یافته اید نیمساز زاویه را رسم کنید‪.‬‬ ‫نتیجه آن در قسمت (ب) استفاده کنید‪.‬‬ ‫‪  5‬ــ به قسمت (الف) پاسخ دهید و از ٔ‬ ‫الف) وتری مانند ‪ AB‬از یک دایره را در نظر بگیرید‪.‬وضعیت عمودمنصف ‪ AB‬و‬ ‫مرکز دایره نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟‬ ‫نقطه پنالتی مرکز دایره ای است که قسمتی از‬ ‫ب) آیا می دانستید که در زمین فوتبال ٔ‬ ‫محوطه جریمه کشیده شده است؟‬ ‫قوس آن در جلوی‬ ‫ٔ‬ ‫نقطه پنالتی‬ ‫یک داور فوتبال لحظه ای که اعالم پنالتی می کند‪ ،‬متوجه می شود که ٔ‬ ‫مشخص نیست‪.‬اگر او وسایل الزم برای کشیدن خط راست و کمان دایره را داشته باشد‪،‬‬ ‫نقطه پنالتی را مشخص کند‪.‬‬ ‫چگونه می تواند با استفاده از قوس جلوی‬ ‫محوطه هجده قدم‪ٔ ،‬‬ ‫ٔ‬ ‫نقطه پنالتی‬ ‫‪16‬‬ ‫جامعه انسانی اهمیت فراوانی دارد‪.‬‬ ‫شیوه درست استدالل در زندگی هر فرد و نیز در‬ ‫ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫استدالل نادرست در بسیاری مواقع‪ ،‬نتیجه گیری های غلط‪ ،‬تیره شدن روابط‪ ،‬ایجاد‬ ‫باورهای نادرست و پیامدهای خطرناک فردی و اجتماعی دیگری را در پی خواهد داشت‬ ‫و حتی ممکن است به ایجاد مشکالت شخصیتی در افراد بینجامد‪.‬ممکن است فردی با‬ ‫استدالل هایی این گونه‪ ،‬همواره راه موفقیت را بر خود بسته ببیند‪:‬‬ ‫ــ من در اولین امتحانم موفق نشدم‪ ،‬پس در امتحان های بعدی نیز موفق نخواهم شد‪.‬‬ ‫عالقه من از ابتدای فصل در تمام بازی هایش شکست خورده است‪ ،‬پس‬ ‫ــ تیم مورد‬ ‫ٔ‬ ‫در بازی آینده نیز شکست خواهد خورد‪.‬‬ ‫استقرا و استنتاج‬ ‫در سال های قبل تاحدی با استدالل و اثبات آشنا شدید‪.‬نوعی از استدالل‪ ،‬که با‬ ‫آن روبه رو شدید به این صورت بود که از مشاهدات و بررسی موضوعی در چند حالت‪،‬‬ ‫نتیجه ای کلی در آن موضوع گرفته می شود یا به اصطالح «از جزء به کل می رسیم»‪.‬البته‬ ‫ِ‬ ‫نتیجه گرفته شده مطمئن بود‪.‬‬ ‫با چنین استداللی نمی توان همواره به‬ ‫درستی ٔ‬ ‫مشاهده اینکه سه نفر از افراد یک کالس به رنگ سبز عالقه‬ ‫به طور مثال اگر فردی با‬ ‫ٔ‬ ‫همه افراد آن کالس به رنگ سبز عالقه دارند‪ ،‬فرد مورد نظر از‬ ‫دارند‪ ،‬نتیجه گیری کند که ٔ‬ ‫استدالل استقرایی استفاده کرده است‪.‬‬ ‫پایه‬ ‫نوع دیگری از استدالل که با آن آشنا شدید‪ ،‬براساس نتیجه گیری منطقی بر ٔ‬ ‫واقعیت هایی است که درستی آنها را پذیرفته ایم و به آن استدالل استنتاجی گفته می شود‪.‬‬ ‫مورب و زوایای بین آنها‪ ،‬اثبات‬ ‫به طور مثال با دانستن‬ ‫ٔ‬ ‫رابطه بین خطوط موازی و ّ‬ ‫‪º‬‬ ‫اینکه مجموع زوایای داخلی یک مثلث ‪ 180‬است به طریق مقابل‪ ،‬یک استدالل‬ ‫استنتاجی است که با نمادهای ریاضی نوشته شده است‪.‬توجه کنید که استدالل استنتاجی‬ ‫را به صورت کالمی نیز می‌توان انجام داد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪2 1 3‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∧ ∧‪‬‬ ‫‪ B = A2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪d  BC ⇒ ‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪C = A 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪⇒ A + B + C = A1+ A2 + A 3 = 180°‬‬ ‫‪17‬‬ ‫مسئله زیر ارائه داده اند‪ ،‬دقت کنید و در‬ ‫به استدالل هایی که دو دانش آموز برای‬ ‫ٔ‬ ‫مورد میزان اعتبار هریک از آنها گفت وگو کنید‪.‬‬ ‫مسئله‪ :‬مجموع زاویه های داخلی هر چهارضلعی محدب ‪ 360º‬است‪.‬‬ ‫پژمان‪ :‬در تمام چهارضلعی های مربع‪ ،‬مستطیل‪ ،‬لوزی و متوازی االضالع با‬ ‫توجه به اینکه زاویه های مجاور مکمل یکدیگرند به سادگی ثابت می شود که مجموع‬ ‫زوایای داخلی آنها ‪ 360º‬است‪.‬بنابراین مجموع زوایای داخلی هر چهارضلعی محدب‬ ‫‪ 360º‬است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫پیمان‪ :‬می‌دانیم مجموع زوایای داخلی هر مثلث ‪ 180‬است‪.‬یک چهارضلعی‬ ‫دلخواه مانند ‪ ABCD‬در شکل مقابل را در نظر می گیریم و دو رأس مقابل آن‪ ،‬مثال ً ‪D‬‬ ‫و ‪ B‬را به هم وصل می کنیم‪.‬‬ ‫مجموع زاویههای داخلی چهارضلعی ‪ ABCD‬با مجموع زاویههای داخلی دو مثلث‬ ‫∆‬ ‫∆‬ ‫‪ ABD‬و ‪ BCD‬برابر است؛ بنابراین مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی ‪ABCD‬‬ ‫برابر است با ‪.360º‬‬ ‫‪º‬‬ ‫‪D‬‬ ‫پیمان ادعا می کند که با این استدالل ثابت می شود که مجموع زاویه های داخلی هر‬ ‫چهارضلعی برابر ‪ 360º‬است‪.‬آیا به نظر شما این ادعای او درست است؟‬ ‫آیا همین استدالل را برای هر چهارضلعی دیگری که به شما بدهند‪ ،‬می توانید به کار‬ ‫ببرید؟ اگر جواب شما مثبت است‪ ،‬پس این ویژگی را که «مجموع زاویه های داخلی‬ ‫چهارضلعی ‪ ABCD‬در‬ ‫مسئله قبل برابر ‪ 360º‬است»‪ ،‬به سایر چهارضلعی های محدب‬ ‫ٔ‬ ‫می‌توان تعمیم داد‪.‬‬ ‫ــ نوع استدالل ارائه شده توسط هرکدام از دانش آموزان را بیان کنید‪.‬‬ ‫نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو ِ‬ ‫سر آن پاره خط‬ ‫مثال‪ :‬می دانیم که هر ٔ‬ ‫به یک فاصله است و هر نقطه که از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشد‪ ،‬روی‬ ‫عمود منصف آن پاره خط قرار دارد‪.‬‬ ‫حال با کامل کردن استدالل استنتاجی بیان شده نتیجه بگیرید که سه عمود منصف‬ ‫اضالع هر مثلث همرس اند (در یک نقطه به هم می رسند)‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫استدالل‪ :‬مثلث دلخواه ‪ ABC‬در شکل مقابل را در نظر می گیریم‪.‬چون پاره خط های‬ ‫‪ AB‬و ‪ AC‬متقاطع اند‪ ،‬عمود منصف های آنها نیز در نقطه ای مانند ‪ O‬متقاطع اند‪.‬‬ ‫=‬ ‫نقطه ‪ O‬روی عمود منصف پاره خط ‪ AC‬است؛ بنابراین‬ ‫‪١‬ــ ٔ‬ ‫=‬ ‫نقطه ‪ O‬روی عمود منصف پاره خط ‪ AB‬است؛ بنابراین‬ ‫‪٢‬ــ ٔ‬ ‫نقطه ‪ O‬روی‬ ‫=‬ ‫از (‪ )١‬و (‪ )٢‬نتیجه می‌گیریم‪:‬‬ ‫قرار‬ ‫بنابراین ٔ‬ ‫نقطه ‪ O‬محل برخورد‬ ‫‪.‬‬ ‫دارد‪.‬درنتیجه ٔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مثال‪ :‬استدالل استنتاجی زیر را کامل کنید و نتیجه بگیرید که سه ارتفاع هر مثلث‬ ‫همرس اند‪.‬‬ ‫استدالل‪ :‬مثلث دلخواه ‪ ABC‬را در نظر بگیرید و از هر رأس آن خطی به موازات‬ ‫ضلع مقابل به آن رأس رسم کنید تا مطابق شکل مقابل مثلثی مانند ‪ DEF‬به وجود آید‪.‬‬ ‫مثلث ‪ ABC‬با مثلث های ‪ ACF‬و ‪ ABE‬همنهشت است (چرا؟)‪.‬‬ ‫نقطه ‪A‬‬ ‫پاره خط ‪ EF‬است‪.‬‬ ‫بنابراین ‪ AE=BC=AF‬و لذا ٔ‬ ‫از طرفی‪:‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫}‬ ‫‪AG ⊥BC ⇒ AG‬‬ ‫‪BC  EF‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫پاره خط ‪ EF‬است‪.‬‬ ‫لذا خط ‪AG‬‬ ‫به طور مشابه می توان نشان داد‪:‬‬ ‫پاره خط ‪،BI‬‬ ‫پاره خط ‪ DE‬است‪.‬‬ ‫پاره خط ‪،CH‬‬ ‫پاره خط ‪ DF‬است‪.‬‬ ‫بنابراین‪ ،‬ارتفاع های مثلث ‪ ،ABC‬روی عمود منصف های اضالع مثلث‬ ‫هستند و درنتیجه همرس اند‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬می دانیم که هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله‬ ‫است و هر نقطه که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد‪ ،‬روی نیمساز آن زاویه‬ ‫قرار دارد‪.‬حال با کامل کردن استدالل استنتاجی بیان شده نتیجه بگیرید که نیمسازهای‬ ‫زاویه های داخلی هر مثلث همرس‌اند‪.‬‬ ‫استدالل‪ :‬مثلث دلخواه ‪ ABC‬در شکل مقابل را در نظر می گیریم‪.‬نیمسازهای‬ ‫نقطه ‪ ،P‬مانند‬ ‫زوایای ‪ A‬و ‪ B‬مانند شکل یکدیگر را در نقطه ای مانند ‪ P‬قطع می کنند‪.‬از ٔ‬ ‫شکل سه عمود به اضالع مثلث رسم می کنیم‪.‬‬ ‫=‬ ‫زاویه ‪ A‬است؛ بنابراین‬ ‫نقطه ‪ P‬روی نیمساز ٔ‬ ‫‪١‬ــ ٔ‬ ‫=‬ ‫زاویه ‪ B‬است؛ بنابراین‬ ‫نقطه ‪ P‬روی نیمساز ٔ‬ ‫‪٢‬ــ ٔ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪19‬‬ ‫=‬ ‫از (‪ )١‬و (‪ )٢‬نتیجه می‌گیریم‪:‬‬ ‫نقطه ‪ P‬محل برخورد‬ ‫درنتیجه ٔ‬ ‫‪.‬‬ ‫نقطه‪ P‬روی‬ ‫بنابراین ٔ‬ ‫به مثلث های زیر دقت کنید‪.‬در سطر ِ‬ ‫اول جدول‪ ،‬نام اضالع مثلث را به ترتیب‬ ‫از بزرگ به کوچک و در سطر دوم‪ ،‬نام زاویه های مثلث را نیز به ترتیب از بزرگ به‬ ‫کوچک بنویسید‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫اضالع‬ ‫اضالع‬ ‫اضالع‬ ‫زاویه ها‬ ‫زاویه ها‬ ‫زاویه ها‬ ‫زاویه زیر آن وجود دارد؟‬ ‫چه رابطه ای بین هر ضلع و ٔ‬ ‫درباره یک مثلث دلخواه چه حدسی می توان زد؟‬ ‫با توجه به این رابطه‬ ‫ٔ‬ ‫برای رسیدن به این حدس از چه نوع استداللی استفاده کردید؟‬ ‫آیا با این استدالل می توان مطمئن بود که حدس موردنظر درست است؟‬ ‫مسئله‪ :‬اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند‪،‬‬ ‫زاویه روبه رو به ضلع کوچک تر‪.‬‬ ‫زاویه روبه رو به ضلع بزرگ تر‪ ،‬بزرگ تر است از ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫استدالل‪ :‬برای واضحشدن مطلب و کمک به حل مسئله‪ ،‬شکل مثلث را رسم می‌کنیم‪.‬‬ ‫آیا میتوان هر نوع مثلث دلخواهی کشید؟ مانند آنچه درمسئله گفته شده است‪ ،‬مثلثی میکشیم‬ ‫که دو ضلع نابرابر داشته باشد و ویژگی خاص دیگری نداشته باشد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪C‬‬ ‫فرض‪AB >AC :‬‬ ‫حکم‪:‬‬ ‫AC‬است؛ لذا می توانیم ٔ‬ ‫انتخاب کنیم که ‪AC=AD‬‬ ‫اندازه زاویه های ‪ C‬و ‪ C1‬نسبت به هم چگونه اند؟‬ ‫ٔ‬ ‫مثلث ‪ ADC‬چه نوع مثلثی است؟‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اندازه زاویه های ‪ C1‬و ‪ D1‬نسبت به هم چگونه اند؟‬ ‫ٔ‬ ‫زاویه ‪ D1‬چه نوع زاویه ای برای مثلث ‪ DBC‬است؟‬ ‫ٔ‬ ‫از‬ ‫گرفت؟‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫اندازه زاویه های ‪ D1‬و ‪ B‬نسبت به هم چگونه اند؟‬ ‫ٔ‬ ‫اندازه زاویه های ‪ B‬و ‪ C‬می توان‬ ‫درباره‬ ‫چه نتیجه ای‬ ‫و‬ ‫و‬ ‫ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∆‬ ‫همان طورکه مشاهده کردید در مثلثی مانند ‪ ABC‬فرض کردیم که ضلع ‪AB  >AC‬‬ ‫زاویه روبه رو به ‪ AB‬است‪.‬‬ ‫است و نشان دادیم‪:‬‬ ‫زاویه روبه رو به ‪ٔ < AC‬‬ ‫ٔ‬ ‫درباره تمام مثلث هایی که دو ضلع نابرابر دارند‪ ،‬پذیرفت؟‬ ‫چرا می توان این موضوع را‬ ‫ٔ‬ ‫مسئله قبل با استدالل استنتاجی به دست می آید‪،‬‬ ‫برخی نتایج مهم و پرکاربرد که مانند‬ ‫ٔ‬ ‫قضیه نامیده می شود‪.‬‬ ‫قضیه ‪ :١‬اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫زاویهٔ روبه رو به ضلع بزرگ تر‪ ،‬بزرگ تر است از زاویهٔ روبه رو به ضلع‬ ‫کوچک تر‪.‬‬ ‫‪: AB  < AC‬فرض‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪: C < B‬حکم‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ــ بار دیگر به آنچه انجام شد‪ ،‬دقت کنید‪.‬بررسی اندازه های اضالع و زوایای‬ ‫مثلث های مختلف‪ ،‬دقت در کشف رابطه میان این اندازه ها‪ ،‬حدس در برقراری رابطه ای‬ ‫خاص‪ ،‬طرح مسئله‪ ،‬اثبات درستی مسئله و نهایتاً نتیجه گیری‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫بسیاری از نتایج ریاضی‪ ،‬طی چنین مراحلی توسط عالقه مندان به ریاضی به دست‬ ‫آمده ‌است‪.‬مراحل این روند و حتی حدس ها و تفکراتی که درست نیست اما در این‬ ‫مراحل صورت می گیرد‪ ،‬می تواند موجب ارتقای تفکر ریاضی شود‪.‬‬ ‫اگر در یک قضیه‪ ،‬جای فرض و حکم را عوض کنیم به آنچه حاصل می شود‬ ‫«عکس قضیه» گفته می شود‪.‬عکس یک قضیه ممکن است درست یا‬ ‫نادرست باشد‪.‬‬ ‫قضیه ‪ ١‬به صورت زیر است‪:‬‬ ‫به طور مثال عکس‬ ‫ٔ‬ ‫عکس قضیه ‪ :١‬اگر در مثلثی دو زاویه نابرابر باشند‪ ،‬ضلع روبه رو  به زاویۀ‬ ‫عکس قضیه ‪ 1‬در صفحات بعد‬ ‫اثبات شده‌است‪.‬‬ ‫بزرگ تر‪ ،‬بزرگ تر است از ضلع روبه رو به زاویۀ کوچک تر‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪: C < B‬فرض‬ ‫‪: AB  < AC‬حکم‬ ‫´‪H‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫قضیه‪ :‬اگر یک چهارضلعی متوازی االضالع باشد‪ ،‬آنگاه قطرهایش یکدیگر را‬ ‫نصف می کنند‪.‬‬ ‫عکس قضیه‪ :‬اگر در یک چهارضلعی قطرها یکدیگر را نصف کنند‪ ،‬آنگاه آن‬ ‫چهارضلعی متوازیاالضالع است‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫قضیه‪ :‬اگر دو ضلع از یک مثلث با هم برابر باشند‪ ،‬آنگاه ارتفاع های وارد بر آن دو‬ ‫ضلع نیز با هم برابرند‪.‬‬ ‫‪: AB = AC‬فرض‬ ‫ʹ‪: BH = CH‬حکم‬ ‫عکس قضیه‪ :‬اگر دو ارتفاع از یک مثلث با هم برابر باشند‪ ،‬آنگاه اضالع نظیر به آن‬ ‫ارتفاع ها نیز با هم برابرند‪.‬‬ ‫ʹ‪: BH = CH‬فرض‬ ‫‪: AB  = AC‬حکم‬ ‫درواقع معموال ً برای نوشتن عکس قضیه‪ ،‬قسمت اصلی فرض‪ ،‬که حکم از آن ناشی‬ ‫می شود با حکم جابه جا می شود؛ مثال ً در مثال قبل مثلث بودن ‪ ABC‬و ارتفاع بودن ‪BH‬‬ ‫و ʹ‪ CH‬در خود قضیه و عکس آن جزء مفروضات است‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫گزاره یک جملۀ خبری است که دقیقا ً درست یا نادرست باشد‪ ،‬اگرچه درست‬ ‫یا نادرست بودن آن بر ما معلوم نباشد‪.‬گزاره میتواند تنها یک خبر را اعالم‬ ‫کند که به آن گزارۀ ساده میگویند و میتواند بیش از یک خبر را اعالم کند و‬ ‫ترکیبی از چند گزارۀ ساده باشد که به آن گزاره مرکب میگویند؛ مثال ً گزارههای‬ ‫«فردا هوا بارانی است» و «پانزده عددی اول است»‪ ،‬هرکدام یک گزارۀ ساده‬ ‫است و «فردا هوا بارانی و پانزده یک عدد اول است» یک گزارۀ مرکب است‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫الف) جمله های زیر گزاره اند‪:‬‬ ‫ــ مجموع زوایای داخلی هر مثلث ‪ 180‬درجه است‪.‬‬ ‫ــ ‪3>2‬‬ ‫ب) جمله‌های زیر گزاره نیستند‪:‬‬ ‫ــ آیا فردا هوا بارانی است؟‬ ‫ــ چه هوای خوبی!‬ ‫ــ کتابت را مطالعه کن‪.‬‬ ‫نقیض یک گزاره‪ :‬همان طورکه گفته شد‪ ،‬ارزش یک گزاره یا درست است و یا‬ ‫نادرست‪.‬نقیض یک گزاره مانند مثال های زیر ساخته می شود و ارزش آن دقیقاً مخالف‬ ‫ارزش خود گزاره است‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫الف) گزاره‪ a« :‬از ‪ b‬بزرگ تر است‪».‬‬ ‫نقیض آن‪« :‬چنین نیست که ‪ a‬از ‪ b‬بزرگ تر باشد‪ ».‬که معادل است با «‪ a‬از ‪b‬‬ ‫بزرگ تر نیست‪ ».‬و معادل است با «‪ a‬از ‪ b‬کوچک تر و یا با ‪ b‬برابر است‪».‬‬ ‫ب) گزاره‪« :‬مجموع زوایای داخلی هر مثلث ‪ 180º‬است‪».‬‬ ‫نقیض آن‪« :‬چنین نیست که مجموع زوایای داخلی هر مثلث ‪ 180º‬است‪ ».‬که‬ ‫معادل است با «مثلثی وجود دارد که مجموع زوایای داخلی آن ‪ 180º‬نیست‪».‬‬ ‫پ) گزاره‪« :‬یک چهارضلعی وجود دارد که مجموع زوایای داخلیاش ‪ 360º‬نیست‪».‬‬ ‫نقیض‪« :‬چنین نیست که یک چهارضلعی وجودداشته باشد که مجموع زوایای داخلیاش‬ ‫‪ 360º‬نیست‪ ».‬که معادل است با «هر چهارضلعی مجموع زوایای داخلیاش ‪ 360º‬است‪».‬‬ ‫درباره چیزی خبری قطعی داده شود‪ ،‬خبری که اعالم‬ ‫در برخی گزاره ها به جای اینکه‬ ‫ٔ‬ ‫می شود با یک شرط بیان می شود؛ مثال ً «اگر باران ببارد‪ ،‬مسابقه برگزار نخواهد شد‪ ».‬به‬ ‫چنین گزاره هایی‪ ،‬گزاره های شرطی می گویند‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫نوعی از استدالل که در مسائل ریاضی و هندسی کاربرد دارد‪ ،‬برهان‬ ‫غیرمستقیم یا برهان خلف است‪.‬بدین صورت که به جای اینکه به طور مستقیم‬ ‫از فرض شروع کنیم و به درستی حکم برسیم‪ ،‬فرض می کنیم حکم غلط باشد‬ ‫(یا به عبارتی فرض می کنیم‪ ،‬نقیض حکم درست باشد) و به یک تناقض یا به‬ ‫یک گزاره غلط یا غیرممکن می رسیم‪.‬در این حالت نتیجه می گیریم که فرض‬ ‫غلط بودن حکم نادرست بوده و حکم نمی تواند غلط باشد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪d‬‬ ‫مثال‪ :‬از یک نقطه غیر واقع بر خط نمی توان بیش از یک عمود بر آن خط رسم کرد‪.‬‬ ‫فرض‪ :‬نقطه ای مانند ‪ A‬غیر واقع بر خطی مانند ‪ d‬وجود دارد‪.‬‬ ‫نقطه ‪ A‬نمی توان بیش از یک عمود بر خط ‪ d‬رسم کرد‪.‬‬ ‫حکم‪ :‬از ٔ‬ ‫استدالل‪ :‬با برهان غیرمستقیم فرض می کنیم حکم غلط باشد؛ یعنی فرض می کنیم از‬ ‫نقطه ‪ A‬دو عمود بر خط ‪ d‬رسم کرده ایم که مانند شکل‪ ،‬خط ‪ d‬را در نقاط ‪ B‬و ‪ C‬قطع‬ ‫ٔ‬ ‫‪°‬‬ ‫کرده اند‪.‬در این صورت مجموع زوایای داخلی مثلث ‪ ABC‬بزرگ تر از ‪ ١٨٠‬خواهد‬ ‫نقطه غیر واقع بر یک خط‬ ‫شد و این غیرممکن است‪.‬پس امکان رسم دو عمود از یک ٔ‬ ‫وجود ندارد؛ یعنی حکم نمی تواند غلط باشد‪.‬‬ ‫قضیه ‪ 1‬را با برهان غیرمستقیم ثابت کنیم‪.‬‬ ‫حال می خواهیم درستی عکس‬ ‫ٔ‬ ‫عکس قضیۀ ‪ :١‬اگر در مثلثی دو زاویه نابرابر باشند‪ ،‬ضلع مقابل به زاویهٔ‬ ‫‪A‬‬ ‫بزرگ تر‪ ،‬بزرگ تر است از ضلع روبه رو به زاویهٔ کوچک تر‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫برای واضح شدن مسئله و کمک به حل آن‪ ،‬شکل مثلث را رسم می‌کنیم و با استفاده‬ ‫از آن فرض و حکم را می نویسیم‪.‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪ : A > B‬فرض‬ ‫‪ : BC > AC‬حکم‬ ‫باشد‪.‬بنابراین باید‬ ‫اثبات‪ :‬با برهان غیرمستقیم فرض می کنیم حکم‬ ‫یا‬ ‫‪.‬‬ ‫هر دو حالت را جداگانه بررسی می کنیم و نشان می دهیم هر دو حالت به تناقض منجر‬ ‫می شود‪.‬‬ ‫قضیه ‪ ١‬باید‬ ‫حالت اول‪ :‬اگر ‪ BC < AC‬باشد‪ ،‬طبق‬ ‫که با فرض‬ ‫ٔ‬ ‫در تناقض است‪.‬‬ ‫∆‬ ‫حالت دوم‪ :‬اگر ‪ BC = AC‬باشد‪ ABC ،‬یک مثلث‬ ‫خواهد بود و‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫می دانیم در این حالت باید ‪ A = B‬باشد که در تناقض با فرض است‪.‬لذا هر دو حالت‬ ‫‪ BC < AC‬و ‪ BC = AC‬غیرممکن اند؛ بنابراین ‪ BC > AC‬است و حکم درست است‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫قضیه‌های دوشرطی‬ ‫که‪:‬‬ ‫قضیه ‪ 1‬و عکس آن هر دو درست است؛ بنابراین می‌توانیم بگوییم‬ ‫همان گونه که دیدیم‪ٔ ،‬‬ ‫اگر در مثلثی‪ ،‬دو ضلع نابرابر باشند‪ ،‬زاویۀ مقابل به ضلع بزرگ‌تر‪ ،‬بزرگ تر‬ ‫است از زاویۀ مقابل به ضلع کوچک‌تر‪ ،‬و برعکس‪.‬‬ ‫چنین قضیه‌هایی را «قضیه‌های دوشرطی» می‌نامیم‪.‬‬ ‫قضیه‌های دو شرطی را می‌توان با نماد ⇔ (اگر و تنها اگر) بیان کرد؛ به طور مثال‬ ‫قضیه فوق و عکس آن را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫∆‬ ‫فرض کنیم ‪ ABC‬یک مثلث باشد‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪A>C‬‬ ‫⇔‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪BC > AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫مثال‪ :‬در یک مثلث‪ ،‬دو ضلع با هم برابرند؛ اگر و تنها اگر ارتفاع‌های نظیر آنها با هم‬ ‫برابر باشند‪.‬‬ ‫مثال نقض‬ ‫نوع دیگری از استدالل که با آن آشنا شده اید‪ ،‬استدالل با مثال نقض است‪.‬گاهی در‬ ‫برخی موضوعات (چه ریاضی و چه غیرریاضی) یک حکم به‌صورت کلی بیان می‌شود؛‬ ‫بدین صورت که در مورد تمام اعضای یک مجموعه یک حکم بیان می شود‪.‬موارد زیر‬ ‫نمونه هایی از حکم های کلی است‪:‬‬ ‫«همه اعداد صحیح‪ ،‬مثبت اند‪( ».‬حکمی کلی در مورد تمام اعداد صحیح)‬ ‫الف)‬ ‫ٔ‬ ‫ب) «هر چهار ضلعی که چهار‬ ‫ضلع برابر داشته باشد‪ ،‬مربع است‪( ».‬حکم کلی در مورد‬ ‫تمام چهارضلعیهایی که چهار ضلع برابر دارند)‬ ‫پ)‬ ‫«مجموع زاویه های داخلی هر چهارضلعی محدب ‪ 36٠°‬است‪( ».‬حکم کلی در مورد‬ ‫ت)‬ ‫«به ازای هر عدد طبیعی ‪ ،n‬مقدار عبارت ‪ n2 + n + 41‬عددی اول است‪( ».‬حکم کلی‬ ‫تمام چهارضلعیهای محدب)‬ ‫در مورد تمام اعداد طبیعی)‬ ‫درباره درستی یا نادرستی حکم کلی «الف» بنویسید‪.‬چگونه میتوانید‬ ‫حدس خود را‬ ‫ٔ‬ ‫درستی حدس خود را ثابت کنید؟‬ ‫ارائه‬ ‫می دانیم که (‪ )-٢‬یک عدد صحیح و منفی است؛ بنابراین حکم کلی «الف» با ٔ‬ ‫‪25‬‬ ‫همین مثال رد می شود‪.‬به چنین مثالی که نشان می دهد یک حکم کلی نادرست است‪،‬‬ ‫مثال نقض گفته می شود‪.‬‬ ‫درباره درستی یا نادرستی «ب» چه می توانید بگویید؟‬ ‫ٔ‬ ‫درباره درستی یا نادرستی آن حکم‬ ‫اگر برای یک حکم کلی نتوانیم مثال نقض بیاوریم‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫چه می توان گفت؟ آیا در موارد (پ) و (ت) می توانید مثال نقض پیدا کنید؟‬ ‫ِ‬ ‫درستی آن حکم کلی‬ ‫آیا اگر در مورد یک حکم کلی نتوانیم مثال نقض پیدا کنیم‪ ،‬باید‬ ‫را نتیجه گیری کنیم؟ در مورد (پ) مثال نقض وجود ندارد؛ اما این برای پذیرش حکم کلی‬ ‫(پ) کافی نیست و باید توجه کرد که «برای نشان دادن درستی یک حکم کلی باید اثبات‬ ‫گزینه (ت) چه می توان گفت؟‬ ‫ارائه کنیم‪».‬‬ ‫درباره ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫اگر درستی یا نادرستی یک حکم کلی را نتوانیم اثبات کنیم و برای رد آن مثال نقض‬ ‫درباره درستی یا نادرستی آن حکم کلی نتیجه ای گرفت‪.‬‬ ‫نیز نتوانیم بیابیم‪ ،‬نمی توان‬ ‫ٔ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪١‬ــ در شکل مقابل نقطه ها‪ ،‬رأس های یک هفت ضلعی منتظم به طول ضلع ‪a‬‬ ‫فاصله هر رأس از رأس بعدی برابر ‪ a‬و از دومین رأس بعد از آن برابر‬ ‫می باشند‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪ b‬و از سومین رأس بعد از آن برابر ‪ c‬است‪.‬آیا حکم کلی زیر درست است؟ «با‬ ‫وصل کردن هر سه رأس از این شکل یک مثلث متساوی الساقین‪ ،‬به دست می آید»‪.‬‬ ‫‪٢‬ــ آیا حکم های کلی زیر درست است؟ چرا؟‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ ،B‬یا ‪ A ⊆ B‬و یا ‪B ⊆ A‬‬ ‫الف) برای هر دو‬ ‫ٔ‬ ‫ب) هر دو مثلث که مساحت های برابر داشته باشند‪ ،‬هم نهشت اند‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫نقطه خارج از یک خط فقط یک خط به موازات آن می توان‬ ‫‪١‬ــ می دانیم که از یک ٔ‬ ‫رسم کرد‪.‬حال با برهان خلف ثابت کنید خطی که یکی از دو خط موازی را قطع کند‪،‬‬ ‫دیگری را نیز قطع می کند‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫‪٢‬ــ با برهان خلف ثابت کنید اگر در مثلث ‪ AB ≠ AC  ،ABC‬آنگاه ‪. B ≠ C‬‬ ‫‪٣‬ــ گزاره‌های زیر را اثبات یا رد کنید‪.‬‬ ‫اندازه کوچک ترین زاویه‪،‬‬ ‫اندازه بزرگ ترین زاویه‪ ،‬از چهار برابر‬ ‫الف) در هر مثلث‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫کوچک تر است‪.‬‬ ‫ب) در هر مثلث‪ ،‬هر ارتفاع از هرکدام از سه ضلع مثلث کوچک تر است‪.‬‬ ‫‪4‬ــ نقیض هر یک از گزاره‌های زیر را بنویسید‪.‬‬ ‫الف) هر لوزی یک مربع است‪.‬‬ ‫ب) مستطیلی وجود دارد که مربع نیست‪.‬‬ ‫زاویه قائمه وجود ندارد‪.‬‬ ‫پ) مثلثی با دو ٔ‬ ‫همه فلزات جامدند‪.‬‬ ‫ت) ٔ‬ ‫‪5‬ــ عکس هر یک از قضایای زیر را بنویسید و سپس آنها را به صورت یک قضیه‬ ‫دوشرطی بنویسید‪.‬‬ ‫الف) در هر مثلث‪ ،‬اگر دو ضلع برابر باشند‪ ،‬دو زاویه روبه رو به آنها نیز برابرند‪.‬‬ ‫ب) اگر یک چهارضلعی لوزی باشد‪ ،‬قطرهایش عمودمنصف یکدیگرند‪.‬‬ ‫پ) در هر مثلث‪ ،‬اگر سه ضلع برابر باشند‪ ،‬آنگاه سه زاویه نیز با هم برابرند‪.‬‬ ‫ت) اگر دو دایره شعاع‌های برابر داشته باشند‪ ،‬آنگاه مساحت‌های برابر نیز دارند‪.‬‬ ‫زاویه ‪ A‬باشد‪.‬دالیل هر یک از‬ ‫‪6‬ــ فرض کنیم ‪ ABC‬مثلثی دلخواه و ‪ AD‬نیمساز ٔ‬ ‫نتیجه نهایی که در پایان آمده است را کامل نمایید‪.‬‬ ‫نتایج زیر رابنویسید و ٔ‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫الف) ‪ ، D 2 > A 1‬زیرا‬ ‫∧‬ ‫∧‬ ‫ب) ‪ ، D 2 > A 2‬زیرا‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫پ) ‪ ،AC > DC‬زیرا‬ ‫‪.‬‬ ‫ت) با روندی مشابه سه قسمت قبل نشان دهید‪AB > BD :‬‬ ‫ث) حال نشان دهید‪AB+AC > BC :‬‬ ‫ازاندازه‬ ‫نتیجه‪ :‬در هر مثلث‪ ،‬مجموع اندازه های هر دو ضلع‬ ‫ٔ‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪27‬‬