Diseño Factorial 2^3 PDF

▪ El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés sobre todos los factores. ▪ Se busca determinar una combinación de niveles de factores en la que el desempeño del proceso sea el mejo...

▪ El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés sobre todos los factores. ▪ Se busca determinar una combinación de niveles de factores en la que el desempeño del proceso sea el mejor.  FACTORES:  CUALITATIVOS: Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal. Ejemplo: Maquinas, lotes, marcas, operador.  CUANTITATIVAS: Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, ejemplos: Temperatura, presión, velocidad, flujo.  ARREGLO FACTORIAL: Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinación de los niveles de los factores.  La familia de diseños factoriales 2𝐾 consiste en k factores, todos con 2 niveles de prueba. Son útiles cuando 2 ≤ k ≤ 5  El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel del factor.  El efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su nivel alto y la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su nivel bajo.  Efecto de interacción es cuando dos factores interactúan de manera significativa sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que esta el otro.   Diseño factorial 22  Se estudia el efecto de dos factores (A y B) considerando dos niveles (+ y -) en cada uno.  Con n replicas hechas con la combinación de los tratamientos.  Tenemos 2x2=4 combinaciones o tratamientos que se pueden representar de varias maneras: Notacion de A B A B A B A B A B A B Yates Trat. 1 bajo bajo A1 B1 A- B- - - 0 0 -1 -1 -1 Trat. 2 alto bajo A2 B2 A+ B- + - 1 0 1 -1 a Trat. 3 bajo alto A1 B1 A- B+ - + 0 1 -1 1 b Trat. 4 alto alto A2 B2 A+ B+ + + 1 1 1 1 ab  Región experimental:  Espacio delimitado por los rangos de experimentación utilizados con cada factor, las conclusiones del experimento son validas principalmente es esta región. (-1,1) (1,1) b ab Factor B ´(1) a (-1,-1) (1,-1) Factor A  EFECTOS:  A = (a+ab)/2n – (b+(1))/2n  B = (b+ab)/2n – (a+(1))/2n  AB = (ab-b)/2n – (a-(1))/2n  HIPOTESIS: ◦ Ho: Efecto A = 0 H1: Efecto A ≠ 0 ◦ Ho: Efecto B = 0 H1: Efecto B ≠ 0 ◦ Ho: Efecto AB = 0 H1: Efecto AB ≠ 0  SUMA DE CUADRADOS PARA CADA EFECTO:  𝑆𝐶𝐴 = (𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑏 − 1 )2 / 𝑛22  𝑆𝐶𝐵 = (𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑎 − 1 )2 / 𝑛22  𝑆𝐶𝐴𝐵 =(𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏)2 / 𝑛22  𝑆𝐶𝑇 = σ2𝑖=1 σ2𝑗=1 σ2𝑙=1 𝑌𝑖𝑗𝑙 2 - (𝑌 …2 / 𝑛22 )  𝑆𝐶𝐸 = 𝑆𝐶𝑇 - 𝑆𝐶𝐴 - 𝑆𝐶𝐵 -𝑆𝐶𝐴𝐵  TABLA ANOVA DISEÑO FACTORIAL 22  Si el valor-p es menor que el nivel de significancia alfa, se concluye que el efecto correspondiente es estadísticamente diferente a cero, es decir, tal efecto se encuentra activo o influye significativamente en la respuesta.  Si la F calculada es mayor que una F con 1 y 4(n-1) al nivel de significancia α, entonces se rechaza la hipótesis nula (Ho).  Fuente de Suma de Grados de Cuadrado Variabilidad cuadrados libertad medio Fo Valor-p A SCA 1 CMA CMA/CME P(F>Fo) B SCB 1 CMB CMB/CME P(F>Fo) AB SCAB 1 CMAB CMAB/CME P(F>Fo) Error SCE 4(n-1) CME Total SCT n2ᶺ2 -1   Ejemplo: Se tiene el interés de estudiar el efecto del tamaño de broca –A- y de la velocidad –B- sobre la vibración de una ranura -respuesta Y- Vibracion A:Broca B: Velocidad A B x1 x2 I II III IV Total ´1/16 40 - - -1 -1 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4= (1) ´1/8 40 + - 1 -1 27.2 24 22.4 22.5 96.1=a ´1/16 90 - + -1 1 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7=b ´1/8 90 + + 1 1 41 43.9 36.3 39.9 161.1=ab n=4  Calculos: Punto C: Broca Nivel Bajo y Velocidad Alta: 15.9+14.5+15.1+14.2=59.7/4=14.93 Punto D: Broca Nivel Alto y Velocidad Alta: 41+43.9+36.3+39.9/4=161.1/4=40.23 Calculos: Punto A: Broca Nivel Bajo: 18.2+18.9+12.9+14.4+15.9+14.5+15.1+14.2/8=15.51 Punto B: Broca Nivel Alto:27.2+24+22.4+22.5+41+43.9+36.3+39.9/8=32.15  Se trata de estudiar la influencia de los factores:  Temperatura (1: alta, 0: baja)  Catalizador ( 1: Se usa, 0: No se usa).  La variable de respuesta es la dureza de un material cerámico. Utiliza alfa 5% Temperatura Catalizador I II 0 0 86 92 0 1 47 39 1 0 104 114 1 1 141 153 Hoja de trabajo para colocar los resultados de las muestras para cada combinación de los factores A y B, los datos para analizar se colocan en la columna C7 EVALUAR VALOR-P de: Temperatura, Catalizador y combinación Temp*Catalizador contra Alfa para contestar el planteamiento de hipótesis  Analizando Valor P vs Alfa paraTemperatura:  Se rechaza hipótesis nula, significa que la Temperatura si afecta o su efecto es dif. A 0  Analizando Valor P vs Alfa para Catalizador:  Se acepta hipótesis nula, significa que el Catalizador no afecta o su efecto es cero  Analizando Valor P vs Alfa para combinación  Temp*Catalizador:  Se rechaza hipótesis nula, significa que la combinación si afecta.  Las conclusiones anteriores se reafirman analizando la gráfica. Observar que la(s) barra(s) que crucen la línea punteada influyen en la respuesta, es decir son factores y/o combinación de factores significativos. Gráfica de factores e interacción  GRÁFICA DE EFECTOS OBSERVAR QUE SUCEDE CON LA RESPUESTA (EJE Y) CUANDO EL FACTOR CAMBIA DE NIVEL  GRÁFICA DE INTERACCIÓN  Observar la respuesta (eje Y) de acuerdo a la interacción de los factores a trabajar con el objetivo de seleccionar la mejor condición a trabajar nuestros factores (nivel adecuado) en función de lo que se está investigando (mejor respuesta o mínima respuesta)  Supongamos que un proceso de fermentación tequilera, se tienen 2 factores: A, tipo de levadura y B, temperatura. Cada uno con 2 niveles denotados por A1=1, A2=2, B1= 22 grados Centígrados, B2= 30 grados Centígrados. La respuesta de interés es el rendimiento del proceso de fermentación. En la siguiente tabla se muestran los 4 tratamientos del diseño 22. 2 Diseño factorial 2 A: Levadura B:Temperatura Y: Rendimiento A1= 1 (-1) B1= 22 (-1) 28 A2= 2 (1) B1= 22 (-1) 41 A1= 1 (-1) B2= 30 (1) 63 A2= 2 (1) B2= 30 (1) 45 (-1): Indica nivel bajo (1): Indica nivel alto Levadura: 1, 2 Temperarutura: 22, 30  Trabajando con Minitab  2 niveles, 2 factores. 22  Solo se tiene una replica por cada combinación. Opciones Factores  Resultados:  En la columna C7 colocar el rendimiento Y  Columna C7 ya con los datos del rendimiento  Análisis del diseño 22 Seleccionar TODOS los términos:  Gráficas  Observar que ocurre cuando solo se tiene 1 muestra: 1.- Un bacteriologo esta interesado en los efectos de dos medios de cultivo diferentes y dos tiempos diferentes sobre el crecimiento de un virus particular. Realiza seis replicas de un diseño 2 a la 2, haciendo las corridas de manera aleatoria Analizar los datos del crecimiento viral que se presentan enseguida y sacar las conclusiones apropiadas. Medio de cultivo Tiempo, h 1 2 21 22 25 26 12 23 28 24 25 20 26 29 27 18 37 39 31 34 38 38 29 33 35 36 30 35 Realizar análisis ANOVA, gráfica del cambio en la respuesta al cambiar nivel los factores, dibujar la región experimental.  Diseño experimental en Minitab  Resultado del análisis:   Resultado del análisis Analizando el valor P contra alfa se concluye con respecto a Ho para cada factor y la interacción  Resultados del análisis para EFECTOS  Resultado del análisis para residuos  Efectos principales e interacción  Considere la investigación del efecto de la concentración del reactivo y de la cantidad del catalizador sobre la conversión(rendimiento) de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A, y sean 15 y 25 por ciento los dos niveles de interés. El catalizador B, con el nivel alto denotando el uso de 2 libras del catalizador y el nivel bajo denotando el uso de 1 libra. Se hacen tres replicas del experimento, y los datos son los siguientes: REPLICAS COMBINACION DE FACTOR TRATAMIENTOS I II III TOTAL A B - - A bajo, B bajo 28 25 27 80 + - A alto, B bajo 36 32 32 100 - + A bajo, B alto 18 19 23 60 + + A alto, B alto 31 30 29 90  b=60 ab=90 Alto + (18+19+23) (31+30+29) (2 libras) Cantidad de Catalizador B Bajo - (1 libra) (1)=80 a=100 (28+25+27) (36+32+32) Bajo- Alto + 15% 25% Concentracion del reactivo A  Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los datos son como sigue: A:Conc.Reactivo B:Catalizador A B x1 x2 Tiempo de reaccion 15% 1 - - -1 -1 28 25 27 20% 1 + - 1 -1 36 32 32 15% 2 - + -1 1 18 19 23 20% 2 + + 1 1 31 30 29  Análisis: A:Conc.Reactivo B:Catalizador A B x1 x2 Tiempo de reaccion Total 15% 1 - - -1 -1 28 25 27 80 = (1) 20% 1 + - 1 -1 36 32 32 100 = a 15% 2 - + -1 1 18 19 23 60 = b 20% 2 + + 1 1 31 30 29 90 = ab 2Bultos 60(b) 90(ab) Cant.Catalizador B 1Bulto 80(1) 100(a) 15% 20% Concentracion reactivo A  PUNTOS IMPORTANTES: Definir variables independientes (X´s de entrada). Definir variable de salida (Respuesta “Y”). Definir los niveles de los factores de entrada (X´s). Definir el número de muestras (n). Diseñar el experimento. Identificar si: Diseño simple, 22, 23, 2k-1 Plantear hipótesis: Ho vs Ha Realizar el ANOVA para conocer la significancia de los factores. Identificar la calidad del modelo de regresión. Construir la zona de trabajo de la respuesta (cuadro o cubo dependiendo del modelo). Identificar supuesto de normalidad al analizar los residuos. Construir gráfica de efectos e interacción. Analizar las gráfica anteriores. Concluir la mejor combinación de factores según lo que se busque en la respuesta (maximizar o minimizar).  DISEÑO FACTORIAL 23  Se estudia el efecto de 3 factores en dos niveles cada uno.  Son 2x2x2= 8 tratamientos diferentes TABLA DE SIGNOS TOTAL A B C AB AC BC ABC -1 - - - + + + - a + - - - - + + b - + - - + - + ab + + - + - - - c - - + + - - + ac + - + - + - - bc - + + - - + - abc + + + + + + +  Contraste A=[a+ab+ac+abc-(1)-b-c-bc]  Contraste B=[b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]  Contraste C=[c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab]  Contraste AB=[ab-b-a+abc+(1)-bc-ac+c]  Contraste AC=[(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]  Contraste BC=[(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]  Contraste ABC=[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]  Efecto A = Contraste A/n*2𝑘−1  𝑆𝐶𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 =(𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 )2 / n*2𝑘  𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =σ2𝑖=1 σ2𝑗=1 σ2𝑙=1 σ𝑛𝑚=1 𝑦 2 ijlm – (𝑌. 2 …)/ n*2𝑘 ANOVA para diseño 2ᶺ3 Fuente de Suma de Grados de Cuadrado Variabilidad cuadrados libertad medio Fo Valor-p A SCA 1 CMA CMA/CME P(F>Fo) B SCB 1 CMB CMB/CME P(F>Fo) C SCC 1 CMC CMC/CME P(F>Fo) AB SCAB 1 CMAB CMAB/CME P(F>Fo) AC SCAC 1 CMAC CMAC/CME P(F>Fo) BC SCBC 1 CMBC CMBC/CME P(F>Fo) ABC SCABC 1 CMABC CMABC/CME P(F>Fo) Error SCE ´(2ᶺ3)(n-1) CME Total SCT n(2ᶺ3)-1  Una empresa embotelladora de refrescos esta interesada en obtener alturas de llenado mas uniformes en las botellas. Teóricamente, la maquina de llenado llena cada botella a la altura objetivo correcta, pero en la practica existen variación en torno a este objetivo, a la embotelladora le gustaría entender mejor las fuentes de variabilidad y, en ultima instancia reducirla. El ingeniero de proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: el porcentaje de carbonatación –A-, la presión en el llenador –B- y las botellas producidas por minuto o rapidez de la línea –C-. Es sencillo controlar la presión y la rapidez, pero el porcentaje de carbonatación es mas difícil de controlar durante el proceso real debido a que varia con la temperatura. Sin embargo para los fines de un experimento, el ingeniero puede controlar la carbonatación en tres niveles:10, 12 y 14 por ciento. Elige dos niveles para la presión (25 y 30 psi) y dos niveles para la rapidez de la línea ( 200 y 250 bpm). El ingeniero decide correr dos replicas de un diseño factorial con estos tres factores, haciendo las 24 corridas de manera aleatoria. La variable de respuesta observada es la desviación promedio de la altura de llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones.  Presion de Operación (B) 25 psi 30 psi Rapidez de linea ( C ) Rapidez de linea ( C ) Porcentaje de Carbonatacion (A) 200 250 200 250 10 -3 -1 -1 1 -1 -4 0 -1 0 -1 1 2 12 0 2 2 6 1 1 1 3 3 5 5 11  Tabla de trabajo Minitab  Observar y analizar: Ajuste y residuo  Plantear las hipótesis y decidir significancia de acuerdo al valor p  Observar y evaluar la calidad del modelo de regresión:  Analizar el ANOVA y sacar conclusiones:  Reafirmar analizando la gráfica de Pareto los factores y combinaciones significativos  Verificar el supuesto de normalidad, analizando la gráfica de residuos  Observar aleatoriedad en residuos  Graficar efectos principales e interacciones  Analizar gráfica de efectos principales y concluir  Analizar gráfica de interacciones y concluir de acuerdo al objetivo que se busca (mejor combinación de factores con sus niveles para maximizar o minimizar la respuesta).  EFECTOS: A= (1/4n)*[a - (1) +ab -b +ac -c +abc -bc] B = (1/4n)*[b + ab +bc +abc - (1) -a -c -ac] A= (1/4*2)*[1 - (-4) + 5 - (-1) + 3 -(-1) + 11 - 2] B = (1/8)*[-1 +5 + 2 + 11 - (-4) -1 - (-1) - 3] A = (1/8) = 300 B = (1/8)* = 2.25 C= (1/4n)*[c +-ac + bc + abc - (1) -a - b - ab] AB= (1/4*n)*[ ab- a - b + (1) + abc - bc - ac + c] C= (1/8)*[ -1 + 3 + 2 +11- (-4) - 1 - (-1) - 5] AB= (1/8)*[ 5 - 1 - (-1) + (-4) + 11 - 2 - 3 + (-1)] C = (1/8)* = 1.75 AB = (1/8)* = 0.75 AC = (1/4n)*[ (1) - a + b -ab - c + ac - bc + abc] BC = (1/4n)* [ (1) + a -b -ab -c -ac + bc +abc] AC = (1/8)*[ -4 -1 + (-1) - 5 - (-1) +3 -2 + 11] BC = (1/8)* [ -4 + 1 - (-1) -5 - (-1) -3 + 2 + 11] AC = (1/8)*[ 2] = 0.25 BC = (1/8)* [ 4 ] = 0.50 ABC = (1/4n)* [abc - bc -ac + c -ab + b + a - (1)] ABC = (1/8)* [ 11 - 2 -3 + (-1) - 5 + (-1) + 1 - (-4)] ABC = (1/8)* [ 4] = 0.50  ANALISIS ANOVA: Fuente de Suma de Grados de Cuadrado Variacion cuadrados libertad medio Fo Valor P % de carbonatacion 36 1 36 57.6 < 0.0001 Presion ( B ) 20.25 1 20.25 32.4 0.0005 Velocidad de linea ( C ) 12.25 1 12.25 19.6 0.0022 AB 2.25 1 2.25 3.6 0.0943 AC 0.25 1 0.25 0.4 0.5447 BC 1 1 1 1.6 0.2415 ABC 1 1 1 1.6 0.2415 Error 5 8 0.625 Total 78 15  En un proceso de circuitos integrados interesa minimizar la corriente de fuga que, supone, depende de la temperatura de quemado (A), tiempo de quemado (B) y porcentaje de nitrógeno (C). Para ello se decide correr un experimento factorial 23 con dos replicas. Los resultados obtenidos se muestran en seguida: Temp. Tiempo % de N Y = Corriente de fuga -1 -1 -1 2.153, 1.843 1 -1 -1 1.609, 2.018 -1 1 -1 1.346, 1.766 1 1 -1 1.695, 2.051 -1 -1 1 3.864, 5.041 1 -1 1 7.054, 5.574 -1 1 1 5.519, 4.181 1 1 1 5.746, 6.088  Ejemplo: FACTOR B 0 1 FACTOR A FACTOR C FACTOR C 0 1 0 1 0 4 7 20 10 5 9 14 6 1 4 2 4 14 11 7 6 16 (1)= 9 c= 16 b= 34 bc= 16 a= 15 ac= 9 ab= 10 abc= 30  Diseños factoriales fraccionados 2𝑘−1 :  Diseño en los que se elige adecuadamente una parte o fracción de los tratamientos de un factorial completo, con la intención de estudiar el efecto de los factores utilizando menos corridas experimentales.  La notación 2𝑘−1 significa una fracción a la mitad del diseño factorial completo 2𝑘.  Por jerarquía el efecto menos importante es la interacción triple ABC, que se utiliza como generador de la fracción, es decir, cuyo contraste es utilizado para generar la fracción factorial. Este efecto no se puede estimar con esa fracción.  Diseño factorial completo 23 y contraste ABC DISEÑO FACTORIAL COMPLETO Y CONTRASTE ABC A B C ABC -1 -1 -1 - 1 -1 -1 + -1 1 -1 + 1 1 -1 ´===> - -1 -1 1 + 1 -1 1 - -1 1 1 - 1 1 1 +  Dos posibles diseños fraccionados 23−1 Fraccion 1 Fraccion2 (I= +ABC) (I= -ABC) A B C A B C 1 -1 -1 a -1 -1 -1 1 -1 1 -1 b 1 1 -1 ab -1 -1 1 c 1 -1 1 ac 1 1 1 abc -1 1 1 bc  La fracción +ABC es llamada la fracción principal y la –ABC la fracción complementaria.  Cuando algunos efectos tiene efectos iguales que otros se les denomina ALIAS.  En la tabla anterior para el experimento 23−1 se observa que efectos tienen el mismo resultado:  A = BC  B = AC  C = AB  Construccion del diseño 24−1 :  Estos pasos dos pasos aplicados en la construcción del diseño factorial fraccionado24−1 y con generador I = -ABCD, quedando de la siguiente manera:  1.- Primero se lista el diseño factorial completo 24−1 = 23 dado por: A B C D ´- ´- ´- + ´- ´- ´- + ´- + + ´- ´- ´- + + ´- + ´- + + + + +  2.- La columna faltante de niveles para el factor D se obtiene al multiplicar las columnas A,B y C de acuerdo con el generador. En este caso el generador indica que D= -ABC. Haciendo el producto –ABC, se obtienen los signos de la cuarta columna. Si se quisiera la fracción principal que tiene el generador I=+ABC, el primer paso es el mismo, y en el segundo paso los niveles de D se obtienen con el producto positivo de las columnas (D=+ABC). Una ventaja de la fracción complementaria que se acaba de construir con respecto a la fracción principal, es que no contiene las combinaciones de niveles extremosas (-,-,-,-) y (+,+,+,+) A B C D= -ABC ´- ´- ´- + + ´- ´- ´- ´- + ´- ´- + + ´- + ´- ´- + ´- + ´- + + ´- + + + + + + ´-