DISEÑO Y ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS - DISEÑOS FACTORIALES PDF

DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés sobre todos los factores.  Se busca determinar una co...

DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés sobre todos los factores.  Se busca determinar una combinación de niveles de factores en la que el desempeño del proceso sea el mejor.  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  FACTORES:  CUALITATIVOS: Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal. Ejemplo: Maquinas, lotes, marcas, operador.  CUANTITATIVAS: Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, ejemplos: Temperatura, presión, velocidad, flujo.  ARREGLO FACTORIAL: Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinación de los niveles de los factores.  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS  DISEÑOS FACTORIALES La familia de diseños factoriales consiste en k factores, todos con 2 niveles de prueba. Son útiles cuando 2 ≤ k ≤ 5  El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel del factor.  El efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su nivel alto y la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su nivel bajo.  Efecto de interacción es cuando dos factores interactúan de manera significativa sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que esta el otro.  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Diseño factorial  Se estudia el efecto de dos factores (A y B) considerando dos niveles (+ y -) en cada uno.  Con n replicas hechas con la combinación de los tratamientos.  Tenemos 2x2=4 combinaciones o tratamientos que se pueden representar de varias maneras: Notacionde A B A B A B A B A B A B Yates Trat. 1 bajo bajo A1 B1 A- B- - - 0 0 -1 -1 -1 Trat. 2 alto bajo A2 B2 A+ B- + - 1 0 1 -1 a Trat. 3 bajo alto A1 B1 A- B+ - + 0 1 -1 1 b Trat. 4 alto alto A2 B2 A+ B+ + + 1 1 1 1 ab  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Región experimental:  Espacio delimitado por los rangos de experimentación utilizados con cada factor, las conclusiones del experimento son validas principalmente es esta región. (-1,1) (1,1) b ab Factor B ´(1) a (-1,-1) (1,-1) Factor A  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  EFECTOS:  A = (a+ab)/2n – (b+(1))/2n  B = (b+ab)/2n – (a+(1))/2n  AB = (ab-b)/2n – (a-(1))/2n  HIPOTESIS: ◦ Ho: Efecto A = 0 H1: Efecto A ≠ 0 ◦ Ho: Efecto B = 0 H1: Efecto B ≠ 0 ◦ Ho: Efecto AB = 0 H1: Efecto AB ≠ 0  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  SUMA DE CUADRADOS PARA CADA EFECTO:  =/  = /  =/  = - (/ )  =-- -  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  TABLA ANOVA DISEÑO FACTORIAL  Si el valor-p es menor que el nivel de significancia alfa, se concluye que el efecto correspondiente es estadísticamente diferente a cero, es decir, tal efecto se encuentra activo o influye significativamente en la respuesta.  Si la F calculada es mayor que una F con 1 y 4(n-1) al nivel de significancia α, entonces se rechaza la hipótesis nula (Ho).  Fuente de Sumade Gradosde Cuadrado Variabilidad cuadrados libertad medio Fo Valor-p A SCA 1 CMA CMA/CME P(F>Fo) B SCB 1 CMB CMB/CME P(F>Fo) AB SCAB 1 CMAB CMAB/CME P(F>Fo) Error SCE 4(n-1) CME Total SCT n2ᶺ2-1  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Ejemplo: Se tiene el interés de estudiar el efecto del tamaño de broca –A- y de la velocidad –B- sobre la vibración de una ranura -respuesta Y- Vibracion A:Broca B: Velocidad A B x1 x2 I II III IV Total ´1/16 40 - - -1 -1 18.2 18.9 12.9 14.464.4=(1) ´1/8 40 + - 1 -1 27.2 24 22.4 22.596.1=a ´1/16 90 - + -1 1 15.9 14.5 15.1 14.259.7=b ´1/8 90 + + 1 1 41 43.9 36.3 39.9161.1=ab n=4 DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES Calculos: Punto C: BrocaNivel Bajo yVelocidadAlta: 15.9+14.5+15.1+14.2=59.7/4=14.93 Punto D: BrocaNivel Alto yVelocidadAlta: 41+43.9+36.3+39.9/4=161.1/4=40.23 Calculos: Punto A: BrocaNivel Bajo: 18.2+18.9+12.9+14.4+15.9+14.5+15.1+14.2/8=15.51 Punto B: BrocaNivel Alto:27.2+24+22.4+22.5+41+43.9+36.3+39.9/8=32.15  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Se trata de estudiar la influencia de los factores:  Temperatura (1: alta, 0: baja)  Catalizador ( 1: Se usa, 0: No se usa).  La variable de respuesta es la dureza de un material cerámico. Utiliza alfa 5% Temperatura Catalizador I II 0 0 86 92 0 1 47 39 1 0 104 114 1 1 141 153 DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL Hoja de trabajo para colocar los resultados de las muestras para cada combinación de los factores A y B, los datos para analizar se colocan en la columna C7 DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL DISEÑO FACTORIAL EVALUAR VALOR-P de: Temperatura, Catalizador y combinación Temp*Catalizador contra Alfa para contestar el planteamiento de hipótesis DISEÑO FACTORIAL  DISEÑO FACTORIAL  Analizando Valor P vs Alfa paraTemperatura:  Se rechaza hipótesis nula, significa que la Temperatura si afecta o su efecto es dif. A 0  Analizando Valor P vs Alfa para Catalizador:  Se acepta hipótesis nula, significa que el Catalizador no afecta o su efecto es cero  Analizando Valor P vs Alfa para combinación  Temp*Catalizador:  Se rechaza hipótesis nula, significa que la combinación si afecta.  DISEÑO FACTORIAL  Las conclusiones anteriores se reafirman analizando la gráfica. Observar que la(s) barra(s) que crucen la línea punteada influyen en la respuesta, es decir son factores y/o combinación de factores significativos.  DISEÑO FACTORIAL Gráfica de factores e interacción DISEÑO FACTORIAL  DISEÑO FACTORIAL  GRÁFICA DE EFECTOS OBSERVAR QUE SUCEDE CON LA RESPUESTA (EJE Y) CUANDO EL FACTOR CAMBIA DE NIVEL  DISEÑO FACTORIAL  GRÁFICA DE INTERACCIÓN  Observar la respuesta (eje Y) de acuerdo a la interacción de los factores a trabajar con el objetivo de seleccionar la mejor condición a trabajar nuestros factores (nivel adecuado) en función de lo que se está investigando (mejor respuesta o mínima respuesta)  DISEÑOS FACTORIALES  Supongamos que un proceso de fermentación tequilera, se tienen 2 factores: A, tipo de levadura y B, temperatura. Cada uno con 2 niveles denotados por A1=1, A2=2, B1= 22 grados Centígrados, B2= 30 grados Centígrados. La respuesta de interés es el rendimiento del proceso de fermentación. En la siguiente tabla se muestran los 4 tratamientos del diseño 22. Diseño factorial 22 A: Levadura B:Temperatura Y: Rendimiento A1=1 (-1) B1=22 (-1) 28 A2=2 (1) B1=22 (-1) 41 A1=1 (-1) B2=30 (1) 63 A2=2 (1) B2=30 (1) 45 (-1): Indica nivel bajo (1): Indica nivel alto Levadura: 1, 2 Temperarutura: 22, 30  DISEÑOS FACTORIALES  Trabajando con Minitab  DISEÑOS FACTORIALES  2 niveles, 2 factores. 22  DISEÑOS FACTORIALES  Solo se tiene una replica por cada combinación.  DISEÑOS FACTORIALES Opciones  DISEÑOS FACTORIALES Factores  DISEÑOS FACTORIALES  Resultados:  DISEÑOS FACTORIALES  En la columna C7 colocar el rendimiento Y  DISEÑOS FACTORIALES  Columna C7 ya con los datos del rendimiento  DISEÑOS FACTORIALES  Análisis del diseño 22 DISEÑOS FACTORIALES  DISEÑOS FACTORIALES Seleccionar TODOS los términos:  DISEÑOS FACTORIALES  Gráficas  DISEÑOS FACTORIALES  Observar que ocurre cuando solo se tiene 1 muestra:  DISEÑOS FACTORIALES 1.- Un bacteriologo esta interesado en los efectos de dos medios de cultivo diferentes y dos tiempos diferentes sobre el crecimiento de un virus particular. Realiza seis replicas de un diseño 2 a la 2, haciendo las corridas de manera aleatoria Analizar los datos del crecimiento viral que se presentan enseguida y sacar las conclusiones apropiadas. Medio de cultivo Tiempo, h 1 2 21 22 25 26 12 23 28 24 25 20 26 29 27 18 37 39 31 34 38 38 29 33 35 36 30 35 Realizar análisis ANOVA, gráfica del cambio en la respuesta al cambiar nivel los factores, dibujar la región experimental.  DISEÑOS FACTORIALES  Diseño experimental en Minitab  DISEÑOS FACTORIALES  Resultado del análisis:  DISEÑOS FACTORIALES  Resultado del análisis Analizando el valor P contra alfa se concluye con respecto a Ho para cada factor y la interacción  DISEÑOS FACTORIALES  Resultados del análisis para EFECTOS  DISEÑOS FACTORIALES  Resultado del análisis para residuos  DISEÑOS FACTORIALES  Efectos principales e interacción  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Considere la investigación del efecto de la concentración del reactivo y de la cantidad del catalizador sobre la conversión(rendimiento) de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A, y sean 15 y 25 por ciento los dos niveles de interés. El catalizador B, con el nivel alto denotando el uso de 2 libras del catalizador y el nivel bajo denotando el uso de 1 libra. Se hacen tres replicas del experimento, y los datos son los siguientes: REPLICAS COMBINACION DE FACTOR TRATAMIENTOS I II III TOTAL A B - - A bajo, Bbajo 28 25 27 80 + - A alto, Bbajo 36 32 32 100 - + A bajo, Balto 18 19 23 60 + + A alto, Balto 31 30 29 90 DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES b=60 ab=90 Alto + (18+19+23) (31+30+29) (2libras) Cantidadde Catalizador B Bajo - (1libra) (1)=80 a=100 (28+25+27) (36+32+32) Bajo- Alto + 15% 25% Concentraciondel reactivo A  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Considérese una investigación llevada a cabo para estudiar el efecto que tiene la concentración de un reactivo y la presencia de un catalizador sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Sea la concentración del reactivo el factor A con dos niveles de interés, 15% y 20%. El catalizador constituye el factor B; el nivel alto o superior denota el uso de dos sacos de catalizador y el nivel bajo o inferior denota el uso de un solo saco. El experimento se realiza (“replica o repite”) tres veces, y los datos son como sigue: A:Conc.Reactivo B:Catalizador A B x1 x2 Tiempo de reaccion 15% 1 - - -1 -1 28 25 27 20% 1 + - 1 -1 36 32 32 15% 2 - + -1 1 18 19 23 20% 2 + + 1 1 31 30 29  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Análisis: A:Conc.Reactivo B:Catalizador A B x1 x2 Tiempo de reaccion Total 15% 1 - - -1 -1 28 25 27 80=(1) 20% 1 + - 1 -1 36 32 32 100=a 15% 2 - + -1 1 18 19 23 60=b 20% 2 + + 1 1 31 30 29 90=ab 2Bultos 60(b) 90(ab) Cant.Catalizador B 1Bulto 80(1) 100(a) 15% 20% Concentracionreactivo A  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  PUNTOS IMPORTANTES:  Definir variables independientes (X´s de entrada).  Definir variable de salida (Respuesta “Y”).  Definir los niveles de los factores de entrada (X´s).  Definir el número de muestras (n).  Diseñar el experimento.  Identificar si: Diseño simple, 22, 23, 2k-1  Plantear hipótesis: Ho vs Ha  Realizar el ANOVA para conocer la significancia de los factores.  Identificar la calidad del modelo de regresión.  Construir la zona de trabajo de la respuesta (cuadro o cubo dependiendo del modelo).  Identificar supuesto de normalidad al analizar los residuos.  Construir gráfica de efectos e interacción.  Analizar las gráfica anteriores.  Concluir la mejor combinación de factores según lo que se busque en la respuesta (maximizar o minimizar).  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  DISEÑO FACTORIAL  Se estudia el efecto de 3 factores en dos niveles cada uno.  Son 2x2x2= 8 tratamientos diferentes TABLA DESIGNOS TOTAL A B C AB AC BC ABC -1 - - - + + + - a + - - - - + + b - + - - + - + ab + + - + - - - c - - + + - - + ac + - + - + - - bc - + + - - + - abc + + + + + + + DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Contraste A=[a+ab+ac+abc-(1)-b-c-bc]  Contraste B=[b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]  Contraste C=[c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab]  Contraste AB=[ab-b-a+abc+(1)-bc-ac+c]  Contraste AC=[(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]  Contraste BC=[(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]  Contraste ABC=[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]  Efecto A = Contraste A/n*  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  =(/ n*  =ijlm – (…)/ n* ANOVA para diseño 2ᶺ3 Fuente de Sumade Gradosde Cuadrado Variabilidad cuadrados libertad medio Fo Valor-p A SCA 1 CMA CMA/ CME P(F>Fo) B SCB 1 CMB CMB/CME P(F>Fo) C SCC 1 CMC CMC/CME P(F>Fo) AB SCAB 1 CMAB CMAB/CME P(F>Fo) AC SCAC 1 CMAC CMAC/CME P(F>Fo) BC SCBC 1 CMBC CMBC/CME P(F>Fo) ABC SCABC 1 CMABC CMABC/CME P(F>Fo) Error SCE ´(2ᶺ3)(n-1) CME Total SCT n(2ᶺ3)-1  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS  DISEÑOS FACTORIALES Una empresa embotelladora de refrescos esta interesada en obtener alturas de llenado mas uniformes en las botellas. Teóricamente, la maquina de llenado llena cada botella a la altura objetivo correcta, pero en la practica existen variación en torno a este objetivo, a la embotelladora le gustaría entender mejor las fuentes de variabilidad y, en ultima instancia reducirla. El ingeniero de proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: el porcentaje de carbonatación –A-, la presión en el llenador –B- y las botellas producidas por minuto o rapidez de la línea –C-. Es sencillo controlar la presión y la rapidez, pero el porcentaje de carbonatación es mas difícil de controlar durante el proceso real debido a que varia con la temperatura. Sin embargo para los fines de un experimento, el ingeniero puede controlar la carbonatación en tres niveles:10, 12 y 14 por ciento. Elige dos niveles para la presión (25 y 30 psi) y dos niveles para la rapidez de la línea ( 200 y 250 bpm). El ingeniero decide correr dos replicas de un diseño factorial con estos tres factores, haciendo las 24 corridas de manera aleatoria. La variable de respuesta observada es la desviación promedio de la altura de llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones.  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES PresiondeOperación(B) 25psi 30psi Rapidezdelinea( C) Rapidezdelinea( C) Porcentajede Carbonatacion(A) 200 250 200 250 10 -3 -1 -1 1 -1 -4 0 -1 0 -1 1 2 12 0 2 2 6 1 1 1 3 3 5 5 11 DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Tabla de trabajo Minitab DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Observar y analizar: Ajuste y residuo  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Plantear las hipótesis y decidir significancia de acuerdo al valor p  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Observar y evaluar la calidad del modelo de regresión:  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Analizar el ANOVA y sacar conclusiones:  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Reafirmar analizando la gráfica de Pareto los factores y combinaciones significativos  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Verificar el supuesto de normalidad, analizando la gráfica de residuos  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Observar aleatoriedad en residuos  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Graficar efectos principales e interacciones DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Analizar gráfica de efectos principales y concluir  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Analizar gráfica de interacciones y concluir de acuerdo al objetivo que se busca (mejor combinación de factores con sus niveles para maximizar o minimizar la respuesta).  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  EFECTOS: A=(1/4n)*[a- (1) +ab-b+ac-c+abc-bc] B=(1/4n)*[b+ab+bc+abc- (1) -a-c-ac] A=(1/4*2)*[1- (-4) +5- (-1) +3-(-1) +11- 2] B=(1/8)*[-1+5+2+11- (-4) -1- (-1) - 3] A=(1/8) =300 B=(1/8)* =2.25 C=(1/4n)*[c+-ac+bc+abc- (1) -a- b- ab] AB=(1/4*n)*[ ab- a- b+(1) +abc- bc- ac+c] C=(1/8)*[ -1+3+2+11- (-4) - 1- (-1) - 5] AB=(1/8)*[ 5- 1- (-1) +(-4) +11- 2- 3+(-1)] C=(1/8)* =1.75 AB=(1/8)* =0.75 AC=(1/4n)*[ (1) - a+b-ab- c+ac- bc+abc] BC=(1/4n)* [ (1) +a-b-ab-c-ac+bc+abc] AC=(1/8)*[ -4-1+(-1) - 5- (-1) +3-2+11] BC=(1/8)* [ -4+1- (-1) -5- (-1) -3+2+11] AC=(1/8)*[ 2] =0.25 BC=(1/8)* [ 4] =0.50 ABC=(1/4n)* [abc- bc-ac+c-ab+b+a- (1)] ABC=(1/8)* [ 11- 2-3+(-1) - 5+(-1) +1- (-4)] ABC=(1/8)* [ 4] =0.50  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  ANALISIS ANOVA: Fuente de Sumade Gradosde Cuadrado Variacion cuadrados libertad medio Fo Valor P %de carbonatacion 36 1 36 57.6 - -1 -1 1 + 1 -1 1 - -1 1 1 - 1 1 1 +  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Dos posibles diseños fraccionados Fraccion1 Fraccion2 (I=+ABC) (I=-ABC) A B C A B C 1 -1 -1 a -1 -1 -1 1 -1 1 -1 b 1 1 -1 ab -1 -1 1 c 1 -1 1 ac 1 1 1 abc -1 1 1 bc  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  La fracción +ABC es llamada la fracción principal y la –ABC la fracción complementaria.  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Cuando algunos efectos tiene efectos iguales que otros se les denomina ALIAS.  En la tabla anterior para el experimento se observa que efectos tienen el mismo resultado:  A = BC  B = AC  C = AB  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  Construccion del diseño :  Estos pasos dos pasos aplicados en la construcción del diseño factorial fraccionado y con generador I = -ABCD, quedando de la siguiente manera:  1.- Primero se lista el diseño factorial completo = dado por: A B C D ´- ´- ´- + ´- ´- ´- + ´- + + ´- ´- ´- + + ´- + ´- + + + + +  DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES  2.- La columna faltante de niveles para el factor D se obtiene al multiplicar las columnas A,B y C de acuerdo con el generador. En este caso el generador indica que D= -ABC. Haciendo el producto –ABC, se obtienen los signos de la cuarta columna. Si se quisiera la fracción principal que tiene el generador I=+ABC, el primer paso es el mismo, y en el segundo paso los niveles de D se obtienen con el producto positivo de las columnas (D=+ABC). Una ventaja de la fracción complementaria que se acaba de construir con respecto a la fracción principal, es que no contiene las combinaciones de niveles extremosas (-,-,-,-) y (+,+,+,+) DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES A B C D=-ABC ´- ´- ´- + + ´- ´- ´- ´- + ´- ´- + + ´- + ´- ´- + ´- + ´- + + ´- + + + + + + ´- DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS DISEÑOS FACTORIALES