Support de cours de Probabilités (2024-2025) PDF

Chapitre 0 (2024-2025) Faculté D’Economiques et de Gestion. Université Hassan 1 Settat Support de cours de Probabilités Page 1 Table des matières 1 Introduction...

Chapitre 0 (2024-2025) Faculté D’Economiques et de Gestion. Université Hassan 1 Settat Support de cours de Probabilités Page 1 Table des matières 1 Introduction 5 2 Analyse combinatoire et dénombrement 6 2.1 Analyse combinatoire.............................. 6 2.1.1 Principe de décomposition....................... 8 2.1.2 Permutations simples (Sans répétition)................ 8 2.1.3 Permutations avec répétition...................... 9 2.1.4 Arrangements simples (Sans répétition)................ 10 2.1.5 Arrangements avec répétition..................... 10 2.1.6 Combinaisons simples (sans répétition)................ 11 2.2 Théorie élémentaire des ensembles....................... 12 2.2.1 Définitions et généralités........................ 12 2.2.2 Opérations sur les ensembles...................... 12 3 Calcul des probabilités 15 3.1 Introduction................................... 15 3.2 Définitions et vocabulaire........................... 15 3.3 Calcul de probabilités.............................. 16 3.4 Épreuves successives.............................. 20 4 Variables aléatoires et Lois de probabilités 27 4.1 Variables aléatoires............................... 27 4.1.1 Variables aléatoires discrète...................... 28 4.1.2 Variables aléatoires continues..................... 32 4.2 Lois Variables aléatoires discrètes....................... 35 4.2.1 Loi de Bernoulli............................. 35 4.2.2 Loi Binomiale.............................. 36 4.2.3 Loi géométrique............................. 37 4.2.4 Loi de Poisson.............................. 37 4.3 Loi d’une variables aléatoires continue.................... 37 4.4 Loi de variables aléatoires continues (autre que la loi Normale)....... 38 4.4.1 Loi uniforme............................... 38 4.4.2 Loi exponentielle............................ 38 4.5 Loi normale................................... 39 4.5.1 Introduction : Loi normale....................... 39 4.5.2 Loi normale générale.......................... 40 2 Chapitre 0 (2024-2025) 4.5.3 Loi Normale centrée réduite...................... 40 4.5.4 Utilisation des tables statistiques de N(0, 1)............. 41 4.5.5 Quelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2 , Stud.... 42 Page 3 Avant-propos Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités. Il couvre l’analyse combinatoire et le dénombrement, la théorie des ensembles, le calcul des proba- bilités, les lois de probabilités d’usage courant. Ce support correspond approximativement aux enseignements en Licence de la filière Sciences Économiques et Gestion. Un document ne vient jamais du néant. Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur différentes ré- férences, des ouvrages reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont de plus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance... 4 Chapitre 1 Introduction Actuellement on fait recours au calcul des probabilités dans plusieurs domaines, no- tamment dans le domaine des sciences économiques et sociales, et cela pour la simple raison, qu’on y est confronté à des phénomènes aléatoires, c.à.d des phénomènes dont on ne peut pas connaitre ou prévoir avec certitude les résultats. Ceci est dû généralement à la complexité du phénomène étudié (et/ou) à un manque d’informations, par exemple : – Prévoir le prix d’une action boursière ; – Deviner qui va gagner une course de chevaux ; Ainsi, l’étude de chaque phénomène commence par la collecte des informations et se ter- mine par sa modélisation, afin de tirer des conclusions et prendre des décisions. La mo- délisation de phénomène étudié consiste à déterminer un modèle qui explique le mieux possibles ce phénomène, en se basant sur les résultats de la statistique descriptive, et la théorie des probabilités. D’où, l’intérêt d’un cours de calcul des probabilités. Un simple exemple de l’application des probabilités est la prévision des ventes d’un magasin en fonc- tion des frais de publicité. Ce module de probabilité est essentielle pour le parcours d’un économiste et a des in- teractions avec d’autres modules à savoir : La statistique descriptive, l’échantillonnage et estimation, l’économétrie, la théorie de décision, la prédiction, l’analyse de données et la classification... Les études "terrain" nécessitent la sélection d’un échantillon de manière aléatoire de telle sorte que celui-ci représente la structure de la population initiale. Ce tirage aléatoire néces- site dans la plupart des cas, l’intervention de la théorie des probabilités pour déterminer la taille de l’échantillon et la sélection des individus sujets de l’étude. 5 Chapitre 2 Analyse combinatoire et dénombrement 2.1 Analyse combinatoire Pour une expérience aléatoire donnée, si on suppose que tous les cas possibles ont la même probabilité (équiprobable) et que leur nombre est fini, On définit la probabilité d’un événement par le rapport du nombre de tous les cas favorables à sa réalisation sur le nombre de tous les cas possibles. D’où, pour calculer les probabilités, dans une telle situation, on a besoin de deux outils : L’analyse combinatoire et la théorie des ensembles. Définition 2.1.1. Analyse combinatoire L’Analyse combinatoire est la branche des mathématiques qui étudie les "configurations", formées à partir d’"objets" pris dans un ensemble fini donné et disposés en respectant certaines contraintes ou certaines structures fixées. Les deux problèmes principaux de l’analyse combinatoire sont l’énumération des configurations, et leur dénombrement. Les dénombrements (arrangements, combinaisons, permutations) jouent un rôle essentiel en probabilités combinatoires, où l’hypothèse d’équiprobabilité ramène la détermination des probabilités à des comptes d’évènements élémentaires. Exemple 2.1.1. Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4 ? Réponse : On peut lister les chiffres de cette manière, et on aboutit à composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4 exactement 24 nombres. Figure 2.1 – Exemple de dénombrement par liste Les problèmes de cette liste sont : 6 Chapitre 2 (2024-2025) 1. Très long. 2. Risque d’oublier des éléments. 3. Risque de mettre les éléments plusieurs fois (redondance). Comme une deuxième solution, on peut utiliser l’arbre de classement : Figure 2.2 – Exemple de dénombrement par arbre de classement Dans l’arbre de classement, il est plus sûr que la liste, car de par sa symétrie, on voit s’il y a des doublons ou des éléments manquants. Ceci peut donner naissance à la définition d’un arbre de classement. Définition 2.1.2. Arbre de classement : Un arbre de classement est un schéma permettant de décrire et de dénombrer tous les résultats possibles d’une expérience donnée. En considérant le même exemple, on remarque que le premier étage comporte 4 em- branchements, le deuxième 3, le troisième 2 et le dernier 1 seul. L’arbre comporte donc 4 × 3 × 2 × 1 = 24 chemins. On peut ainsi extrapoler et deviner que si l’on rajoute un chiffre à l’énoncé, (càd : Combien de nombres peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 ?) on va trouver 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120 possibilités. On a recours à la définition suivante : Définition 2.1.3. n Factorielle Soit n un entier positif ou nul. On appelle n factorielle, noté n!, le produit des nombres entiers de 1 à n. ( 1 si n = 0 n! = n × (n − 1) ×... × 3 × 2 × 1 si n > 0 Exemple 2.1.2. 5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120 7! = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 5040 0! = 1 Remarque 2.1.1. Sur certaines calculatrices, la touche x! effectue ce type de calcul. Page 7 Chapitre 2 (2024-2025) 2.1.1 Principe de décomposition Définition 2.1.4. Principe de décomposition Si une expérience globale peut se décomposer en k épreuves élémentaires successives, ces dernières pouvant s’effectuer respectivement de n1 , n2 ,..., nk manières, alors l’expérience globale peut se faire de n1 ∗ n2 ∗... ∗ nk manières différentes. Exemple 2.1.3. On lance successivement trois dés à 6 faces (une expérience globale). Combien y a-t-il d’issues possibles ? Réponse : D1 : 6 chiffres distincts D2 : 6 chiffres distincts D3 : 6 chiffres distincts Selon le principe de décomposition (3 épreuves), le nombre d’issues possibles est de 6∗6∗6 = 216. Exemple 2.1.4. On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, 2 lettres distinctes et 3 chiffres, le premier est différent de zéro (une expérience globale). A combien s’élève le nombre de plaques de ce type ? (CH124), (DE665),.........,........ Réponse : Lettre1 = 26 (26 lettres possibles) Lettre2 = 25 (pour avoir des lettres distinctes) Chiffre1 = 9 (sans le zéro) Chiffre2 = 10 Chiffre3 = 10 Selon le principe de décomposition (5 épreuves), le nombre possible de plaques de ce type est de 26*25*9*10*10 = 585000 2.1.2 Permutations simples (Sans répétition) Exemple 2.1.5. Combien de "mots" différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ECROU ? Réponse : Selon le principe de décomposition (5 épreuves) : Réponses : Selon le principe de décomposition (5 épreuves) : Page 8 Chapitre 2 (2024-2025) Figure 2.3 – Exemple Pour chaque niveau, on a : 1ère lettre : 5 possibilités 2ème lettre : 4 possibilités 3ème lettre : 3 possibilités 4ème lettre : 2 possibilités 5ème lettre : 1 possibilités Au total : 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 5! = 120 possibilités Définition 2.1.5. Si on classe dans un ordre particulier n éléments distincts, on forme une permutation simple (de ces n éléments). Exemple 2.1.6. 1. Combien de mots différents peut-on former à l’aide des 7 lettres distinctes A, B, C, D, E, F, G ? Réponse : Il y a P7 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7! = 5040 mots différents. 2. De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc ? Ré- ponse : P5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 possibilités. 3. En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre Pn de per- mutations simples est : Pn = n! 2.1.3 Permutations avec répétition Exemple 2.1.7. Combien de mots différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ERRER ? Correction : Partons des permutations simples du mot ER R er : on en trouve P5 = 5∗4∗3∗2∗1 = 5! = 120. Mais parmi celles-ci, certaines sont indiscernables si l’on emploie le même graphisme pour toutes les lettres : En partant du mot ERRER, on en trouve 6 en permutant les trois r (3!), Puis, on peut multiplier par 2 ces possibilités en permutant les deux e (2!) : Nous avons donc 5! = 120 permutations simples pour le mot ERRER ; on en compte 12 fois trop. 5! Ils sont donc au nombre de P = 3! ∗ 2! Page 9 Chapitre 2 (2024-2025) Définition 2.1.6. Permutations avec répétition : Si on classe dans un ordre particulier n éléments dont n1 sont identiques de type 1, n2 sont identiques de type 2,....., nk sont identiques de type k, on forme une permutation avec répétitions (de ces n éléments). En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre P¯n (n1 , n2 ,..., nk ) de permutations avec répétitions est : n! P¯n (n1 , n2 ,..., nk ) = n1 ! × n2 ! ×... × nk ! Remarque 2.1.2. 1. P¯n (n1 , n2 ,..., nk ) < Pn. 2. La barre sur le P signifie "avec répétitions". 2.1.4 Arrangements simples (Sans répétition) Exemple 2.1.8. Dans une course de 10 chevaux, combien peut-il y avoir de podiums différents (un podium comporte 3 places) ? Réponse : Selon le principe de décomposition (3 épreuves) : – 1ère place : 10 possibilités – 2ème place : 9 possibilités – 3ème place : 8 possibilités Au total : 10 × 9 × 8 = 720 possibilités. Définition 2.1.7. Arrangement simple : Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r 6 n) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement simple (de r éléments choisis parmi n). Exemple 2.1.9. Après les prolongations d’un match de football le nombre de façons de choisir les 5 tireurs de penalties parmi les onze joueurs et l’ordre de passage : 11! 11! = = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 = 55440 (11 − 5)! 6! En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre Anr d’arrange- ment simple est : n! Anr = n × (n − 1) ×... × (n − r + 1) = (n − r)! n! Remarques 2.1.1. – si r = n, Ann = (n−n)! = n! = Pn ; les permutations sont un cas particulier des arrangements. – Sur certaines calculatrices, la touche nPr effectue ce type de calcul. 2.1.5 Arrangements avec répétition Exemple 2.1.10. Combien de mots différents de 4 lettres peux-t-on former à l’aide des 7 lettres A, B, C, D, E, F, G, si on peut répéter les lettres dans les mots ? Page 10 Chapitre 2 (2024-2025) Réponse : Selon le principe de décomposition (4 épreuves) : Il y a 7 × 7 × 7 × 7 = 74 = 2401 mots différents. Définition 2.1.8. Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts ou non (on peut choisir plusieurs fois le même) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement avec répétitions (de r éléments choisis parmi n). Exemple 2.1.11. Combien de séquences différentes peut-on lire sur un compteur kilomé- trique de voiture à 6 chiffres ? Réponse : Selon le principe de décomposition (6 épreuves), Il y a 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106 = 1.000.000 choix. En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre A¯nr d’arran- gement avec répétitions est : A¯nr = nr Remarque : La barre sur le A signifie "avec répétitions". 2.1.6 Combinaisons simples (sans répétition) Exemple 2.1.12. Combien de sous-ensembles de 3 lettres, sans tenir compte de l’ordre, peut-on former à l’aide des 4 lettres distinctes {A, B, C, D} ? n! Réponse : Si l’on tient compte de l’ordre, voici le nombre de possibilités : A43 = (4−3)! = 24 Figure 2.4 – Exemple Or, chacune des colonnes donne les mêmes lettres, qui est alors compté 6 fois (les 3! permutations du trio). Par conséquent, si l’on ne tient pas compte de l’ordre, comme c’est le cas pour les combinaisons, il faut diviser le nombre d’arrangements simples par 3!, Soit : A4 4! C34 = 3!3 = (4−3)!3! =4 Définition 2.1.9. Combinaisons simples (sans répétition) : Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r 6 n) sans les classer dans un ordre particulier, on forme une combinaison simple (de r éléments choisis parmi n). Page 11 Chapitre 2 (2024-2025) Autrement dit : une combinaison est un arrangement dans lequel l’ordre ne compte pas. Exemple 2.1.13. De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc de 3 places si la place sur le banc est indifférente ? 5! Réponse : C35 = (5−3)!3! = 10 façons. En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre Crn de combi- naisons simples est : n! Crn = (n − r)!r! Remarques n2.1.2. Nous pouvons remarquer que : – Crn = APrr ⇔ Anr = Pr × Crn – Anr > Crn – Autre notation Crn = nr coefficients binomiaux".
– Sur certaines calculatrices, la touche nCr effectue ce type de calcul. 2.2 Théorie élémentaire des ensembles 2.2.1 Définitions et généralités Définition 2.2.1. vocabulaire et notations : – Un ensemble est un groupe d’individus, appelés éléments. – Le résultat d’une expérience aléatoire s’appelle événement. – On note par : e ∈ E, l’élément e appartient à E ou e est un élément de l’ensemble E. – On note E = {e1 , e2 ,..., en }, un ensemble de n éléments e1 , e2 ,..., en. – On note E = ∅, un ensemble vide. – Un ensemble A est un sous-ensemble (ou une partie) de E, si tous les éléments de A appartiennent à E. On note A ⊂ E, et on dit que A est inclus dans E. – Pour un ensemble E non vide, on note ℘(E) l’ensembles de toutes les parties de E, – Si A est un sous ensemble de E, on écrit A ⊂ E ou A ∈ ℘(E) Exemple 2.2.1. Si E = {a, b, c}, alors : ℘(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E} Exemple 2.2.2. Si A = {a, c}, alors : On a A ⊂ E et A ∈ ℘(E) 2.2.2 Opérations sur les ensembles Définition 2.2.2. L’Union L’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A ou B ou aux deux est appelé union de A et B, noté : A ∪ B. A ∪ B = {x ∈ E/x ∈ A ou x ∈ B} Page 12 Chapitre 2 (2024-2025) Figure 2.5 – Union Définition 2.2.3. L’Intersection L’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à la fois à A et B est appelé intersection de A et B, noté : A ∩ B. A ∩ B = {x ∈ E/x ∈ A et x ∈ B} Figure 2.6 – Intersection Définition 2.2.4. La différence L’ensemble de tous les éléments de A qui n’appartiennent pas à B est appelé différence de A et B, noté A − B ou A r B. A r B = {x ∈ E/x ∈ Aetx ∈ / B} Définition 2.2.5. Deux ensembles incompatibles Deux ensembles A et B sont disjoints ou incompatibles s’ils n’ont aucun élément en com- mun. A∩B =∅ Page 13 Chapitre 2 (2024-2025) Définition 2.2.6. Le complémentaire L’ensemble de tous les éléments de E qui n’appartiennent pas à A est le complémentaire de A dans E noté Ā, alors A ∩ Ā = ∅ et A ∪ Ā = E. Le tableau qui suit résume les opérations essentielles : Définition 2.2.7. Cardinale Le nombre d’éléments d’un ensemble E est noté ]E ou card(E). Proposition 2.2.1. Soient E1 et E2 deux ensembles finis. 1. Card(E1 ∪ E2 ) = Card(E1 ) + Card(E2 ) − Card(E1 ∩ E2 ) 2. Card(E1 × E2 ) = Card(E1 ) × Card(E2 ) Page 14 Chapitre 3 Calcul des probabilités 3.1 Introduction Définition 3.1.1. Probabilités Pour une expérience aléatoire donnée, si on suppose que tous les cas possibles ont la même probabilité (équiprobable) et que leur nombre est fini, On définit la probabilité d’un événement par le rapport du nombre de tous les cas favorables à sa réalisation sur le nombre de tous les cas possibles,. D’où, pour calculer les probabilités, dans une telle situation, on a besoin de deux outils : 1. La théorie des ensembles 2. L’analyse combinatoire Un exemple : Lancer un dé à six faces et calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair. Figure 3.1 – Exemple 3.2 Définitions et vocabulaire Définition 3.2.1. Expérience aléatoire, Univers, Événement – Une expérience aléatoire (E) est une expérience ayant un nombre fini de résultats possibles, et dont il est impossible de connaître l’issue à l’avance. – L’univers (Ω) est l’ensemble de toutes les issues possibles associées à cette expérience. – Un événement est un ensemble des résultats acceptables d’une expérience aléatoire, C’est une partie de Ω. – Un événement élémentaire est une issue possible, c’est-à-dire un sous-ensemble de Ω à un seul élément. 15 Chapitre 3 (2024-2025) Exemple 3.2.1. Expériences aléatoires 1. On jette un dé et l’on observe le résultat obtenu. 2. Si l’on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, on peut distinguer 8 résultats possibles : PPP, PPF,....,FFF. 3. On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce que le côté face sorte pour la première fois. Définition 3.2.2. Cardinale Le nombre d’éléments d’un ensemble Ω est noté ]Ω ou card(Ω). Exemple 3.2.2. Exemple Si on jette un dé à 6 faces non truqué, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – ]Ω = 6 – A est l’événement "un nombre pair est tiré" alors A = {2; 4; 6} – B est l’événement "un nombre impair est tiré" alors B = {1; 3; 5} – C est l’événement "un nombre > 4" alors C = {4; 5; 6} – D est l’événement élémentaire "le plus petit nombre" alors D = {1}. – A ∪ C = {2; 4; 5; 6} =événement "un nombre pair ou plus grand que quatre". – A ∩ C = {4, 6}= événement élémentaire " nombre pair et plus grand que quatre". – C̄ = {1; 2; 3} = événement "un nombre plus petit que quatre". – B − C = {1; 3} = événement "un nombre impair mais pas plus grand que quatre". – A ∩ B = ∅ les deux événements sont incompatibles (un nombre ne peut pas être pair et impair à la fois) 3.3 Calcul de probabilités Le but de "calcul de probabilités" est d’attribuer à chaque événement A ∈ Ω un nombre réel, appelé probabilité de cet événement et noté P (A). La valeur P (A) est une mesure des chances de réalisation de l’événement A lors de l’expérience aléatoire considérée. Définition 3.3.1. Probabilités « combinatoires » Soit Ω un univers fini constitué de N événements élémentaires sur lequel on fait l’hypothèse d’équiprobabilité de réalisation des N événements élémentaires. On suppose ainsi que tous les événements élémentaires ont "la même chance" de se réaliser. Soit A un événement quelconque constitué de k événements élémentaires de Ω. On en déduit que la probabilité d’un événement A noté P (A) est le nombre : Nk. Cette formule s’énonce souvent comme : card(A) nombre de cas f avorables P (A) = = card(Ω) nombre de cas possibles Exemple 3.3.1. 1. Quelle est la probabilité "d’obtenir un nombre pair" en lançant un dé à six faces ? Réponse : Cas favorables : 3 Cas possibles : 6 3 1 P (A) = = 6 2. Page 16 Chapitre 3 (2024-2025) 2. Quelle est la probabilité "d’obtenir trois fois le même côté" en lançant trois fois une pièce de monnaie ? Réponse : Cas favorables : 2 Cas possibles : 23 = 8. 2 1 P (A) = = 8 4. Définition 3.3.2. probabilités Soit Ω un univers. On dit que l’on définit une probabilité sur les événements Ω si : à tout événement A ∈ Ω on associe un nombre P (A), appelé probabilité de l’événement A. Proposition 3.3.1. Axiome des probabilités Une probabilité doit "intuitivement" satisfaire aux trois axiomes suivants : Exemple 3.3.2. Axiomes 1. P (A) > 0 ∀A ∈ Ω (La probabilité de tout événement est un nombre positif). 2. P (Ω) = 1 (La probabilité de l’événement certain Ω est égale à 1 = 100%) T S 3. Si A B = ∅ alors P (A B) = P (A) + P (B) (La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles est égale à la somme de leurs probabilités). Remarque 3.3.1. Une probabilité P est une application de l’ensemble des événements Ω dans l’intervalle [0; 1]. Exemple 3.3.3. Si on jette un dé à 6 faces non truqué : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A est l’événement "un nombre pair est tiré" alors A = {2; 4; 6} B est l’événement S B = {1; 3; 5} "unTnombre impair est tiré" alors On a Ω = A B et A B = ∅ alors P (Ω) = P (A B) = P (A) + P (B) = 36 + 3 S 6 =1 Théorème 3.3.1. P (Ā) = 1 − P (A) S T Démonstration. On a A S Ā = Ω et A Ā = ∅ (A et Ā sont incompatibles) donc 1 = P (Ω) = P (A Ā) = P (A) + P (Ā) Donc P (Ā) = 1 − P (A) Page 17 Chapitre 3 (2024-2025) Exemple 3.3.4. Quelle est la probabilité d’avoir au moins une fois pile en lançant 4 fois une pièce de monnaie ? On a P (0 f ois pile) + P (1 f ois pile) + P (2 f ois pile)+ P (3 f ois pile) + P (4 f ois pile) = 1 Donc P (1 f ois pile) + P (2 f ois pile)+ P (3 f ois pile) + P (4 f ois pile) = 1 − P (0 f ois pile) Alors P (au moins une f ois pile) = = 1 − P (0 f ois pile) 1 = 1 − 16 = 15 16 = 93.75 Théorème 3.3.2. \ P (B − A) = P (B) − P (B A) Démonstration. T Remarque 3.3.2. Si A ⊆ B alors A B = A donc P (B − A) = P (B) − P (A) Théorème 3.3.3. Si A ⊆ B alors P (B) > P (A) Démonstration. Page 18 Chapitre 3 (2024-2025) S T Théorème 3.3.4. P (A B) = P (A) + P (B) − P (A B) Démonstration. Définition 3.3.3. Probabilité conditionnelle La probabilité qu’un événement A se réalise sachant que B s’est produit est appelée pro- babilité conditionnelle. Par définition, elle vaut T P (A B) P (A/B) = P (B) Remarque 3.3.3. 1. P (A/B) peut s’interpréter T comme le fait que Ω se restreint à B et que les résultats de A se restreignent à A B. T 2. Si P (A B) = ∅ (A et BTsont incompatibles), A ne peut pas se réaliser si B s’est déjà produit et donc P (A B) = 0 3. P (A/B) + P (Ā/B) = 1 4. P (A/B) 6= P (B/A) Exemple 3.3.5. Probabilités conditionnelles On jette un dé à 6 faces non truqué Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et card(Ω) = 6 On considère les événements suivants : A = « 2 sorte », B = « nb pair sorte »T On a : P (A) = 16 et P (B) = 12 et P (A B) = 16 – 2 sorte sachant « pair » : T P (A B) 1 P (A/B) = = P (B) 3 Exemple 3.3.6. Probabilités conditionnelles On jette un dé à 6 faces non truqué Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et card(Ω) = 6 On considère les événements suivants : A = « 2 sorte », B = « nb pair sorte »T On a : P (A) = 16 et P (B) = 12 et P (A B) = 16 – La probabilité qu’un « nombre pair » sorte sachant qu’il s’agit de « 2 » est de : T P (B A) P (B/A) = =1 P (A) Page 19 Chapitre 3 (2024-2025) – « 2 ne sorte pas» sachant « pair » est de : 1 2 P (Ā/B) = 1 − P (A/B) = 1 − = 3 3 Théorème 3.3.5. Probabilités conditionnelles Soit A, B, C,.... des événements d’un univers Ω T – P (A T B)T= P (A) ∗ P (B/A) T – P (A T B T C)T= P (A) ∗ P (B/A) ∗ P (C/(A B)) T T T – P (A B C D) = P (A) ∗ P (B/A) ∗ P (C/(A B)) ∗ P (D/(A B C)) Exercice 3.3.1. Probabilités conditionnelles Un sac contient 20 jetons. La moitié d’entre eux sont noirs, les autres blancs. Un quart des jetons portent en plus une marque spéciale. Trois d’entre eux sont noirs. On tire au hasard un jeton du sac. Quelle est la probabilité que ce jeton : 1. soit noir et porte une marque. 2. soit noir sachant qu’il porte une marque ? 3.4 Épreuves successives On a souvent affaire à des problèmes qui se décomposent en épreuves successives (in- dépendantes ou non). On représente souvent ce type de problème sous la forme d’un arbre de classement. Exemple 3.4.1. Épreuves successives dépendantes Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire successivement et sans remise 2 boules de l’urne. On peut représenter cette situation par un arbre. Au bout de chaque branche, on note l’événement qu’elle représente et, sur la branche, on note la probabilité de l’événement associé. Cela donne : Remarque 3.4.1. Propriétés et remarques Page 20 Chapitre 3 (2024-2025) 1. Les chemins de l’arbre sont des événements élémentaires et incompatibles deux à deux. On a donc : P (Ω) = P ((R1 ∩ R2 ) ∪ (R1 ∩ V2 ) ∪ (V1 ∩ R2 ) ∪ (V1 ∩ V2 )) = P (R1 ∩ R2 ) + P (R1 ∩ V2 ) + P (V1 ∩ R2 ) + P (V1 ∩ V2 ) = 1 2. La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui forment ce chemin. 3. Pour calculer la probabilité d’un événement qui est la réunion de plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins. Exercice 3.4.1. Épreuves successives dépendantes Trois machines A, B et C produisent respectivement 50% , 30 % et 20 % du nombre total de pièces fabriquées dans une usine. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par ces machines sont de 3 %, 4 % et 5 %. a) Si l’on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité (en %) pour que cette pièce soit défectueuse ? b) Si l’on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité (en %) pour que cette pièce soit non défectueuse ? Exercice 3.4.2. Épreuves successives dépendantes Dans une entreprise : – 10 % des employés ont fait des études supérieures ; – 70 % de ceux qui ont fait des études supérieures occupent un poste administratif ; – 20 % de ceux qui n’ont pas fait d’études supérieures occupent un poste administratif. On choisit au hasard un employé dans la section administrative. Quelle est la probabilité (en %) qu’il ait fait des études supérieures ? Exemple 3.4.2. Théorème de Bayes Une entreprise utilise trois types d’ampoules T1 ,T2 et T3 dans la proportion de 60%,30% et 10%. La probabilité que ces ampoules fonctionnent est respectivement 90%,80% et 50%. Quelle est la probabilité qu’une ampoule défectueuse provienne de T1 ? Page 21 Chapitre 3 (2024-2025) Exemple 3.4.3. P (T1 ∩ D) P (T1 /D) = P (D) P (T1 ∩ D) = P (T1 ∩ D) + P (T2 ∩ D) + P (T3 ∩ D) 0.6 ∗ 0.1 = 0.6 ∗ 0.1 + 0.3 ∗ 0.2 + 0.1 ∗ 0.5 6 = 17 Exemple 3.4.4. Théorème de Bayes On a trois événements incompatiblesT1 ,T2 et T3 tel que Ω = T1 ∪ T2 ∪ T3. De plus, on dispose de l’information qu’un événement D s’est réalisé. On a alors la formule de Bayes : P (D/T1 )P (T1 ) P (T1 /D) = P (D/T1 )P (T1 ) + P (D/T2 )P (T2 ) + P (D/T3 )P (T3 ) 0.1 ∗ 0.6 = 0.1 ∗ 0.6 + 0.2 ∗ 0.3 + 0.5 ∗ 0.1 6 = 17 Définition 3.4.1. Théorème de Bayes : Formule générale Soient B1 ,B2 ,...,Bn , n événe- ments disjoints deux à deux ((c’est-à-dire Bi ∩Bj = ∅ ∀i 6= j) et tels que B1 ∪B2 ∪...∪Bn = Ω alors : P (A/Bk )P (Bk ) P (Bk /A) = Pn i=1 P (A/Bi )P (Bi ) Remarque 3.4.2. Théorème de Bayes Le théorème de Bayes est utilisé de façon classique pour calculer des « probabilités de causes » dans des diagnostics (maladies, pannes, etc.). L’application du théorème de Bayes est à la base de toute une branche de la statistique appelée statistique bayesienne. Exercice 3.4.3. Théorème de Bayes Trois marques A, B et C d’un produit X se partagent le marché avec des parts respectives de 43 %, 34 % et 23 %. Chaque marque propose deux modèles : simple (S) ou à trois vitesses (V) : 35 % des produits de la marque A sont simples, ainsi que 25 % de la marque B et 47 % de la marque C. Un consommateur achète au hasard un produit. Il constate que ce produit est "simple" (S). Quelle est la probabilité qu’il soit de la marque C? Définition 3.4.2. Événements indépendants Imaginons que le fait de savoir qu’un événement A s’est produit n’a aucune influence sur la probabilité d’un autre événement B : P (B/A) = P (B). On en déduit que P P(A∩B) (A) = P (B) d’où P (A ∩ B) = P (A) ∗ P (B). En d’autres termes, si B ne dépend pas de A, A ne dépend pas non plus de B. Page 22 Chapitre 3 (2024-2025) Définition 3.4.3. Indépendance On dit que deux événements A et B d’un univers Ω sont indépendants si P (A ∩ B) = P (A) ∗ P (B). Dans le cas contraire on dit qu’ils sont dépendants. Exemple 3.4.5. Événements indépendants Soit deux jets successifs d’une pièce de monnaie. Ω = {(p; p); (p; f ); (f ; p); (f ; f )} Soit les événements A = « pile au premier jet » = {(p; p); (p; f )} B = « face au deuxième jet » = {(p; f ); (f ; f )} A ∩ B = « pile au premier jet et face au deuxième jet »= {(p; f )} on a : P (A) = 12 et P (B) = 12 et P (A ∩ B) = 14 Ces probabilités vérifiant l’égalité P (A ∩ B) = P (A) ∗ P (B), A et B sont des événements indépendants. Remarque 3.4.3. L’indépendance en probabilité des événements A et B est ici tout à fait en accord avec l’intuition ; la pièce n’a pas de "mémoire". Définition 3.4.4. Loi binomiales Considérons une situation où chaque épreuve ne pos- sède que deux issues possibles et que le résultat d’une épreuve n’influence pas la suivante (épreuves successives indépendantes). Alors la probabilité d’obtenir k succès lors de n épreuves est donnée par : B(k; n; p) = Ckn.P k.q n−k avec : n = nombre de répétitions de l’épreuve k = nombre de succès parmi les n épreuves (0 6 k 6 n) p = probabilité de succès (S) lors d’une épreuve q = 1 − p = probabilité d’échec (E) lors d’une épreuve Avec n=3 Exemple 3.4.6. Loi binomiales Quelle est la probabilité d’obtenir 7 piles en lançant 10 fois une pièce de monnaie ? Page 23 Chapitre 3 (2024-2025) Réponse : k = 7, n = 10, p = 12 , q = 1 2 1 1 1 B(7; 10; ) = C710 ∗ ( )7 ∗ ( )3 = 16.1% 2 2 2 Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois un 6 en jetant 5 fois un dé ? Réponse : k = 2, n = 5, p = 61 , q = 65 1 1 5 B(2; 5; ) = C25 ∗ ( )2 ∗ ( )3 = 16.1% 6 6 6 Exercice 3.4.4. Exercice On choisit un comité de 3 personnes parmi 5 hommes et 7 femmes. Quelle est la probabilité que les trois personnes choisies soient « deux hommes et une femme » ? Réponse : Nombre de cas favorables : C25 ∗ C17 = 10 × 7 = 70 Nombre de cas possibles : C312 = 220 70 P (A) = = 0.318 = 31.8% 220. Exercice 3.4.5. Une urne contient 5 boules noires, 4 boules blanches et 1 boule verte. On tire simultanément et au hasard 4 boules de cette urne. 1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ? 2. Quelle est la probabilité d’obtenir : a. Aucune boule noire ? b. Autant de boules vertes que de boules blanches ? c. Au moins une boule noire ? d. Exactement 2 boules noires et une boule verte ? e. 4 boules d’une même couleur ? Page 24 Chapitre 3 (2024-2025) Correction de l’exercice 3.4.5 : Page 25 Chapitre 3 (2024-2025) Exercice 3.4.6. On a interrogé un ensemble des étudiants sur leurs loisirs : 50% d’entre eux aiment la lecture, 75% aiment le sport, 40% des étudiants déclarent aimer la lecture et le sport. On rencontre au hasard l’un de ces étudiants. On considère les événements : L : «L’étudiant aime la lecture» S : «L’étudiant aime le sport» 1. Donner les probabilités des événements L, S et L ∩ S 2. Quelle est la probabilité que l’étudiant aime le sport sachant qu’il aime la lecture ? 3. Quelle est la probabilité que l’étudiant aime la lecture sachant qu’il aime le sport ? Correction de l’Exercice 3.4.6 : Page 26 Chapitre 4 Variables aléatoires et Lois de probabilités Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilités. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distri- butions observées vers les distributions de probabilités ou loi de probabilités. Identifier la loi de probabilités suivie par une variable aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes employées pour répondre à une question donnée. Ce chapitre introduit les concepts essentielles des modèles probabilistes afin d’aborder l’inférence statistique : dé- finition d’un événement aléatoire, des probabilités discrètes ou continues, des probabilités conditionnelles et de la notion d’indépendance en probabilités. Après avoir défini la notion de variable aléatoire, celles de lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli ; binomiales, géométrique, de Poisson ; continues uniforme, exponentielle,Gamma, normale, du chi-deux, de Student et de Fisher. Espérance et variance d’une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théo- rème de central limite. Dans des domaines très différents comme les domaines scientifique, sociologique ou médi- cal, on s’intéresse à de nombreux phénomènes dans lesquels apparaît l’effet du hasard. Ces phénomènes sont caractérisés par le fait que les résultats des observations varient d’une expérience à l’autre. Une expérience est appelée “aléatoire" s’il est impossible de prévoir àl’avance son résultat et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner des résultats différents : – succession d’appels à un standard téléphonique non surchargé ; – observation de la durée de vie d’un individu anonyme dans une population ; – observation de la durée de fonctionnement sans panne d’appareil ; – jeu de pile ou face. 4.1 Variables aléatoires Généralement, l’ensemble Ω d’événements élémentaires : {e1 ,..., en }, associé à une ex- périence aléatoire, est un ensemble «abstrait», sur le quel on ne peut pas effectuer des opérations et faire des comparaisons. 27 Chapitre 4 (2024-2025) D’où il est intéressant de passer d’un espace fondamental quelconque à l’ensemble IR des nombres réels. Ce passage est assuré par les variables aléatoires. Exemple 4.1.1. Dans une famille de deux enfants, l’espace fondamental est constitué des évènements élémentaires suivants : Ω = {GG, GF, F G, F F } Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X="nombres de fille dans la famille" sont : X(Ω) = {0, 1, 2} Définition 4.1.1. Dans des expériences aléatoires, nous sommes amenés à attacher un nombre réel à chaque issue de l’univers Ω. Une telle application X de Ω vers IR est appelée variable aléatoire. Exemple 4.1.2. On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. L’univers est : Ω = {(p; p); (p; f ); (f ; p); (f ; f )} Soit X la v.a indiquant le nombre de faces obtenues. Exemple 4.1.3. X peut prendre diverses valeurs : il s’agit donc bien d’une variable. Comme la valeur que prend X dépend de l’issue réalisée donc du hasard, X est donc aléatoire. Exemple 4.1.4. X peut prendre diverses valeurs : il s’agit donc bien d’une variable. Comme la valeur que prend X dépend de l’issue réalisée donc du hasard, X est donc aléatoire. On distingue deux types de variables aléatoires : 1. Variables aléatoires discrètes 2. Variables aléatoires continues 4.1.1 Variables aléatoires discrète Définition 4.1.2. Variables aléatoires discrètes On dit qu’une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Exemple 4.1.5. Par exemple, les variables aléatoires définies dans les exemples précédents sont discrètes : – X ne peut prendre que trois valeurs, 0 ; 1 ou 2, – Y ne peut prendre que six valeurs, 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 10. – Z ne peut prendre que n+1 valeurs, 0; 1; 2;...; k;...; n − 1; n Exemple 4.1.6. Considérons Ω l’univers attaché à une expérience aléatoire et X une variable aléatoire pouvant prendre un nombre fini de valeurs. Si à chacune de ces valeurs nous associons la probabilité de l’événement correspondant, nous obtenons alors la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de la variable aléatoire X. Page 28 Chapitre 4 (2024-2025) Notation 4.1.1. La variable X peut prendre les valeurs x1 ; x2 ;...; xn. – p1 est la proba que X prenne la valeur x1 : p1 = P (X = x1 ) – p2 est la proba que X prenne la valeur x2 : p2 = P (X = x2 ) –... – pn est la proba que X prenne la valeur xn : pn = P (X = xn ) Exemple 4.1.7. Ces valeurs peuvent être présentées dans un tableau appelé tableau de distribution de X : Notation 4.1.2. Reprenons la variable X indiquant le nombre de «faces» obtenues après avoir lancé une pièce deux fois de suite. Le tableau de distribution de X est Remarque 4.1.1. - Pn 1. Dans un tableau de distribution i=1 = pi. (p1 + p2 + p3 +... + pn = 1) 2. Il est possible de visualiser ces distributions à l’aide de diagrammes en bâtons. Exemple 4.1.8. On lance un dé une fois. Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par le dé. Page 29 Chapitre 4 (2024-2025) Exemple 4.1.9. Considérons maintenant un dé pipé, c’est-à-dire déséquilibré dans le but de faire apparaître certaines faces plus souvent que d’autres. Notons Y la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par ce nouveau dé et supposons que la distribution de Y soit donnée par le tableau ci-dessous. Exemple 4.1.10. Question En lançant un très grand nombre de fois l’un ou l’autre de ces dés, quelle sera en moyenne le nombre de points obtenus ? Exemple 4.1.11. Espérance des Variables aléatoires discrètes (v. a. d.) : Pour le dé équilibré En lançant N fois ce dé, nous devrions obtenir théoriquement : N/6 fois le 1, N/6 fois le 2, N/6 fois le 3,..., N/6 fois le 6. La moyenne des points serait donc : N N N N N N 6.1 + 6.2 + 6.3 + 6.4 + 6.5 + 6.6 7 mx = = = 3, 5 N 2 Exemple 4.1.12. Espérance des Variables aléatoires discrètes : Pour le dé piqué (dés- équilibré) 2 2 3 3 4 4 N 18.1 + N 18.2 + N 18.3 + N 18.4 + N 18.5 + N 18.6 71 mx = = = 3, 94 N 18 Définition 4.1.3. Définition de l’Espérance d’une v.a.d Considérons X une variable aléa- toire pouvant prendre les valeurs x1 ; x2 ;...; xn avec des probabilités respectives p1 ; p2 ;...; pn. L’espérance mathématique de X est : n X E(X) = p1 x1 + p2 x2 +... + pn xn = p i xi i=1 Exemple 4.1.13. dé équilibré Exemple 4.1.14. dé déséquilibré Page 30 Chapitre 4 (2024-2025) Définition 4.1.4. Variance des Variables aléatoires discrètes La variance de X, notée V (X) est, en notant m = E(X) : n X 2 2 2 V (X) = p1 (x1 − m) + p2 (x2 − m) +... + pn (xn − m) = pi (xi − m)2 i=1 Définition 4.1.5. Écart-type des Variables aléatoires discrètes L’écart-type de X, noté σ(X) est : p σ(X) = V (X) Proposition 4.1.1. La variance de X, notée V (X) est, en notant m = E(X) : n X V (X) = p1 x21 + p2 x22 +... + pn x2n −m = 2 pi x2i − m2 i=1 Exemple 4.1.15. Calculer la variance et l’écart-type pour l’exemple précédant (dé équi- libré) Exemple 4.1.16. - 21 91 21 2 √ Nous obtenons : E(X) = 6 = 3.5, V (X) = 6 − 6 = 2, 92, σ(X) = 2, 92 = 1, 71 Exemple 4.1.17. Cas particulier de la loi binomiale Considérons une série de n épreuves successives indépendantes. Pour chacune de ces n épreuves, nous avons deux possibilités : soit l’événement A se réalise avec une probabilité p, soit l’événement A ne se réalise pas avec un probabilité de 1 − p. Donc P (A) = p et P (A) = 1 − p. Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre k de réalisations de l’événement A dans la série de n épreuves. Nous savons que P (X = k) = Ckn.P k.(1 − p)n−k pour k = 0, 1, 2,..., n quelle est l’Espérance et la variance de X qui suit une loi binomiale. Page 31 Chapitre 4 (2024-2025) Exemple 4.1.18. Cas particulier de la loi binomiale Dans une famille de n = 4 enfants, on admet que la probabilité d’avoir un garçon est de p = 21. Si X représente le nombre de garçons parmi les 4 enfants alors on a : – P (X = 0) = B(0; 4; 21 ) = C04.( 12 )0.( 21 )4 = 0, 0625 – P (X = 1) = B(1; 4; 12 ) = C14.( 12 )1.( 21 )3 = 0, 25 – P (X = 2) = B(2; 4; 12 ) = C24.( 12 )2.( 21 )2 = 0, 375 – P (X = 3) = B(3; 4; 12 ) = C34.( 12 )3.( 21 )1 = 0, 25 – P (X = 4) = B(4; 4; 12 ) = C44.( 12 )4.( 21 )0 = 0, 0625 X est une v.a.d. qui suit une loi Binomiale – E(X) = 0, 25 ∗ 1 + 0, 375 ∗ 2 + 0, 25 ∗ 3 + 0, 0625 ∗ 4 = 2 garçons (Ce résultat paraît normal) – V (X) = (0, 25 ∗ 12 + 0, 375 ∗ 22 + 0, 25 ∗ 32 + 0, 0625 ∗ 42 ) − 22 = 1, σ(X) = 1 (1 garçon) Proposition 4.1.2. Variance et Écart type de la loi binomiale Dans le cas de la loi binomiale on a : E(X) = np ; V (X) = np(1 − p) ; σ(X) = np(1 − p) Exemple 4.1.19. Application Vérification dans l’exemple 4.1.2 Variables aléatoires continues Définition 4.1.6. Variables aléatoires continues Une variable aléatoire est dite continue lorsqu’elle peut prendre un nombre infini non dénombrable de valeurs. Cela revient à dire qu’une telle variable peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle réel. Exemple 4.1.20. Notons X la variable indiquant le temps exact (en minutes) que met un concurrent choisi au hasard pour terminer la course de l’escalade. Il est évident que p(X = 2) = 0 car il n’est pas possible de terminer cette course en 2 minutes. D’autre part, p(X = 80) = 0. Cette probabilité est elle aussi nulle, même s’il est effective- ment possible de terminer cette course en 80 minutes. Cela tient au fait qu’il y a une infinité non dénombrable de valeurs possibles pour X : si nous attribuions une probabilité non nulle à chacune de ces valeurs, la somme de toutes ces probabilités dépasserait 100%. Dans cette situation, nous avons des probabilités non nulles lorsqu’elles sont attribuées à des laps de temps, par exemple lorsqu’elles sont de la forme p(79 < X < 81). Page 32 Chapitre 4 (2024-2025) (Dans ce cas, "