Probabilités et Statistiques - Cours PDF

Chapitre I: Introduction aux Calculs des Probabilités 1 / 42 Outline 1 Analyse combinatoire 2 Expérience aléatoire 3 Probabilité 4 Indépendance et probabilité conditionnelle...

Chapitre I: Introduction aux Calculs des Probabilités 1 / 42 Outline 1 Analyse combinatoire 2 Expérience aléatoire 3 Probabilité 4 Indépendance et probabilité conditionnelle 2 / 42 Analyse combinatoire L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités. Soit un ensemble de 3 éléments E = {a, b, c}. On peut effectuer sur E un certain nombre d’opérations (dans le sens de dénombrement), par exemple: 1 On peut choisir un seul élément, soit a, b ou c. 2 On peut en prendre deux, dans un ordre déterminé, on obtient les couples (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b). 3 On peut encore en prendre deux, mais dans un ordre indiffèrent, ce qui donne (a, b); (a, c); (b, c) 4 On peut les prendre tous les trois, dans un ordre déterminé. On obtient (a, b, c); (a, c, b); (b, a, c); (b, c, a); (c, a, b); (c, b, a). Ou bien dans un ordre indifférente, soit (a, b, c). 3 / 42 Principe multiplicatif Permet de compter le nombre de résultats d’expériences qui peuvent se décomposer en une succession de sous-expériences. Definition Si une expérience comprend p étapes, la première pouvant se faire de n1 façons, la deuxième de n2 façons,..., la dernière de np façons, alors le nombre total de résultats possibles est p Y n= ni = n1 × n2 ×... × np. i=1 Exemple 1) On jette 3 dés identiques. Combien y-a-t-il de résultats possibles? 4 / 42 Principe multiplicatif Permet de compter le nombre de résultats d’expériences qui peuvent se décomposer en une succession de sous-expériences. Definition Si une expérience comprend p étapes, la première pouvant se faire de n1 façons, la deuxième de n2 façons,..., la dernière de np façons, alors le nombre total de résultats possibles est p Y n= ni = n1 × n2 ×... × np. i=1 Exemple 1) On jette 3 dés identiques. Combien y-a-t-il de résultats possibles? 2) Vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités avez-vous de choisir un code ? 4 / 42 Arrangements sans répétition Definition Soit E un ensemble à n objets et p tel que 1 ≤ p ≤ n. On appelle arrangements sans répétition de p objets de E, toute suite ordonnée de p objets distincts de E. Le nombre de p-arrangements sans répétition d’un ensemble à n éléments est: n! Apn = (n − p)! Exemple Combien y a-t-il de choix possibles de 2 éléments dans {A,B,C,D} ? 5 / 42 Arrangements sans répétition Definition Soit E un ensemble à n objets et p tel que 1 ≤ p ≤ n. On appelle arrangements sans répétition de p objets de E, toute suite ordonnée de p objets distincts de E. Le nombre de p-arrangements sans répétition d’un ensemble à n éléments est: n! Apn = (n − p)! Exemple Combien y a-t-il de choix possibles de 2 éléments dans {A,B,C,D} ? Réponse: 4! A24 = = 12 (4 − 2)! 5 / 42 Arrangements avec répétition Dans le cas d’un arrangement avec répétition, les p objets de la liste ne sont pas nécessairement tous distincts. (On peut choisir le même élément plusieurs fois). Cela correspond à un tirage avec remise et avec ordre. Dans ce cas, il est possible que p > n. Le nombre d’arrangements avec répétition de p objets parmi n est : np Exemple Combien de nombres de 6 chiffres peut-on former avec les chiffres 0, 1 et 2 ? 6 / 42 Arrangements avec répétition Dans le cas d’un arrangement avec répétition, les p objets de la liste ne sont pas nécessairement tous distincts. (On peut choisir le même élément plusieurs fois). Cela correspond à un tirage avec remise et avec ordre. Dans ce cas, il est possible que p > n. Le nombre d’arrangements avec répétition de p objets parmi n est : np Exemple Combien de nombres de 6 chiffres peut-on former avec les chiffres 0, 1 et 2 ? Réponse: 36 6 / 42 Permutations sans répétition Definition Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments. Autrement dit, c’est un arrangement de p = n objets pris parmi n objets. Le nombre de permutations de n objets est noté: n! Pn = Ann = = n! (n − n)! Exemple Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres a, b et c ? 7 / 42 Permutations sans répétition Definition Une permutation sans répétition de n éléments distincts est une suite ordonnée de ces n éléments. Autrement dit, c’est un arrangement de p = n objets pris parmi n objets. Le nombre de permutations de n objets est noté: n! Pn = Ann = = n! (n − n)! Exemple Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres a, b et c ? réponse: 3! = 6 7 / 42 Permutations avec répétition Il arrive que, parmi les n objets dont on cherche le nombre de permutations, certaines d’entre eux, au nombre de p par exemple, soient tous semblables. Auquel cas, rien ne distingue les permutations de ces k objets entre eux. Pour calculer le nombre de permutations possibles, il faut donc diviser le nombre de permutations des n objets sans répétition, par le nombre de permutations des k objets entre eux, soit : n! Pn (avec répétition) = k! 8 / 42 Exemple 1) Une boite contient 3 boules noires, 4 rouges et 6 boules blanches. De combien de manières peut-on classer ces boules? 9 / 42 Exemple 1) Une boite contient 3 boules noires, 4 rouges et 6 boules blanches. De combien de manières peut-on classer ces boules? Réponse: 13! 3!4!6! 9 / 42 Exemple 1) Une boite contient 3 boules noires, 4 rouges et 6 boules blanches. De combien de manières peut-on classer ces boules? Réponse: 13! 3!4!6! 2) Combien de nombres de permutations possibles avec les lettres du mot ETRENNE. 9 / 42 Exemple 1) Une boite contient 3 boules noires, 4 rouges et 6 boules blanches. De combien de manières peut-on classer ces boules? Réponse: 13! 3!4!6! 2) Combien de nombres de permutations possibles avec les lettres du mot ETRENNE. Réponse: 7! 3!2! 9 / 42 Combinaisons sans répétition Definition Une combinaison de p objets pris dans E est un sous-ensemble de p de ces n objets. C’est une disposition non-ordonnée de p éléments, à choisir parmi n éléments. Une combinaison sans répétition correspond à un tirage sans remise et sans ordre (tirage simultané). Le nombre de combinaisons sans répétition de p objets parmi n est donné par Apn   p n n! Cn = = = p p! p!(n − p)! 10 / 42 Exemple De combien de manières peut-on choisir une délégation de 3 hommes et 2 femmes pris parmi un groupe de 7 hommes et 5 femmes ? 11 / 42 Exemple De combien de manières peut-on choisir une délégation de 3 hommes et 2 femmes pris parmi un groupe de 7 hommes et 5 femmes ? Réponse: On choisit de C73 manières les 3 hommes parmi 7 et de C52 manières les 2 femmes parmi 5. Le principe de multiplication donne: C73 · C52 = 350 11 / 42 Combinaisons avec répétition Une combinaison avec répétition de p objets pris dans E est une disposition non-ordonnée de p éléments, à choisir parmi n éléments, avec répétition. Ça correspond à un tirage sans ordre et avec remise. Le nombre de combinaisons avec répétition de p objets parmi n est donné par p (n + p − 1)! Knp = Cn+p−1 = , p!(n − 1)! p étant éventuellement supérieur à n. Propriétés 1) Cn0 = Cnn = 1. 2) Complémentaire: Cnp = Cnn−p. p p−1 3) Triangle de Pascal: Cnp = Cn−1 + Cn−1. 4) Formule de Binome:(x + y)n = Cn0 xn + Cn1 yxn−1 + · · · + Cnn−1 yn−1 x + Cnn yn 12 / 42 Exercices Exercices 1 Un tournoi sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ? Exercices 1 A l’oral d’un examen, un étudiant doit répondre à 8 questions sur 10. a) Combien de choix y-a-t-il? b) Combien de choix a-t-il s’il doit répondre aux trois premières questions? c) Combien de choix a-t-il s’il doit répondre au moins à 4 des 5 premières questions? Exercices 2 Combien de permutations distinctes peut-on former avec toutes les lettres des mots: a) leur b) anabase c) sociologique? 13 / 42 Outline 1 Analyse combinatoire 2 Expérience aléatoire 3 Probabilité 4 Indépendance et probabilité conditionnelle 14 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. 15 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. Exemples 1) Jet d’un dé, 15 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. Exemples 1) Jet d’un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 15 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. Exemples 1) Jet d’un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2) Le jet successif de n pièces de monnaie, 15 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. Exemples 1) Jet d’un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2) Le jet successif de n pièces de monnaie, Ω = {P, F}n (pour n = 2, on a Ω = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2 ). 15 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. Exemples 1) Jet d’un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2) Le jet successif de n pièces de monnaie, Ω = {P, F}n (pour n = 2, on a Ω = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2 ). 3) La durée de vie d’une ampoule. 15 / 42 Definition On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont on ne peut pas prédire son résultat avec exactitude, mais on peut prédire l’ensemble de tous les résultats possibles. Cet ensemble est appelé ensemble fondamental, noté Ω. Exemples 1) Jet d’un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2) Le jet successif de n pièces de monnaie, Ω = {P, F}n (pour n = 2, on a Ω = {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2 ). 3) La durée de vie d’une ampoule. Ω = IR+. 15 / 42 Definition Un évènement A est un ensemble de résultats ou un sous-ensemble de l’ensemble fondamental. (A ∈ Ω) On dit que l’évènement A est réalisé ou non selon que le résultat de l’expérience aléatoire appartient ou non à A. Definition On appelle famille d’évènements possible de Ω , notée P(Ω), l’ensemble de ses parties. Exemples 1) Jet d’un dé, A = {2, 4, 6}: ”obtenir un nombre pair”. 16 / 42 Definition Un évènement A est un ensemble de résultats ou un sous-ensemble de l’ensemble fondamental. (A ∈ Ω) On dit que l’évènement A est réalisé ou non selon que le résultat de l’expérience aléatoire appartient ou non à A. Definition On appelle famille d’évènements possible de Ω , notée P(Ω), l’ensemble de ses parties. Exemples 1) Jet d’un dé, A = {2, 4, 6}: ”obtenir un nombre pair”. 2) La durée de vie d’une ampoule. A = [100, +∞[: ”l’ampoule fonctionne plus de cent heures”. 16 / 42 On va utiliser toutes les opérations sur les ensembles: Notation Vocabulaire Ensembliste Vocabulaire Probabiliste Ω événement certain ∅ ensemble vide événement impossible {ω} singleton ω événement élémentaire ω A⊂B A est inclus dans B A implique B Ac Complémentaire de A Le contraire de A est réalisé A∪B A union B A ou B est réalisé ∪i∈I Ai union des (Ai )i∈I l’un des Ai est réalisé A∩B A inter B A et B sont réalisés ∩i∈I Ai Intersection des (Ai )i∈I tous les Ai sont réalisés 17 / 42 Exemple Considerons le jet d’un dé. L’ensemble fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les evenements suivants peuvent etre associes à un sous-ensemble de Ω : a) A1 : l’évènement d’obtenir le nombre 2. Alors, A1 = {2} est un évènement élémentaire. 18 / 42 Exemple Considerons le jet d’un dé. L’ensemble fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les evenements suivants peuvent etre associes à un sous-ensemble de Ω : a) A1 : l’évènement d’obtenir le nombre 2. Alors, A1 = {2} est un évènement élémentaire. b) A2 : l’évènement d’obtenir un nombre inférieur à 8; A2 = Ω. 18 / 42 Exemple Considerons le jet d’un dé. L’ensemble fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les evenements suivants peuvent etre associes à un sous-ensemble de Ω : a) A1 : l’évènement d’obtenir le nombre 2. Alors, A1 = {2} est un évènement élémentaire. b) A2 : l’évènement d’obtenir un nombre inférieur à 8; A2 = Ω. c) A3 : l’évènement d’avoir un nombre divisible par 11, A3 = ∅ 18 / 42 Exemple Considerons le jet d’un dé. L’ensemble fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Les evenements suivants peuvent etre associes à un sous-ensemble de Ω : a) A1 : l’évènement d’obtenir le nombre 2. Alors, A1 = {2} est un évènement élémentaire. b) A2 : l’évènement d’obtenir un nombre inférieur à 8; A2 = Ω. c) A3 : l’évènement d’avoir un nombre divisible par 11, A3 = ∅ d) A4 : l’évènement d’avoir un nombre premier; A4 = {1, 3, 5} 18 / 42 Definition A ∩ B = ∅ signifie que A et B sont des événements incompatibles. A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps. Exemple A et A sont incompatibles: A ∩ A = ∅. Distributivité: Soient A, B et C trois ensembles. On a: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Loi de Morgan: Soient A et B deux ensembles. On a les égalités suivantes: A ∩ B = A ∪ B. A ∪ B = A ∩ B. 19 / 42 Propriétés utiles des ensembles Proposition Si A et B sont deux ensembles, on a: Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B). 20 / 42 Outline 1 Analyse combinatoire 2 Expérience aléatoire 3 Probabilité 4 Indépendance et probabilité conditionnelle 21 / 42 Tribu d’événements Definition Soit Ω l’ensemble fondamental d’une expérience aléatoire. Une σ-algèbre ou une tribu sur est une famille F de sous-ensembles de Ω telle que C1 Ω ∈ F. C2 Pour tout A ∈ F, alors A ∈ F. C3 Pour tout A ∈ F et tout B ∈ F, alors A ∪ B ∈ F et A ∩ B ∈ F. C4 Si An ∈ F pour tout n ∈ IN , ∞ [ An ∈ F. n=0 le couple (Ω, F) est appelé espace mesurable ou espace probabilisable. 22 / 42 Exercices Vérifier que P(Ω) et (∅, Ω) sont des tribus sur Ω. Soit A une partie de Ω. Montrer que {∅, A, Ac , Ω} est une tribu sur Ω. 23 / 42 Probabilité Definition On appelle probabilité P sur (Ω, F) une application P : (Ω; F) −→ [0, 1] telle que: i) P(Ω) = 1; ii) Pour toute suite An d’événements incompatibles, avec Am ∩ An = ∅ pour m 6= n: ∞ [ ∞ X P[ An ] = P(An ) n=0 n=0 propriété de σ–additivité. Une probabilité est donc une application qui à un événement va associer un nombre compris entre 0 et 1. Le triple (Ω, F, P) s’appelle un espace probabilisé. 24 / 42 Calcul de probabilités Cas particulier de l’équiprobabilité On considère une expérience aléatoire telle que: L’espace fondamental Ω défini soit de cardinal fini; Les éventualités qui le composent soient équiprobables. On définit la probabilité d’un événement A par: nombre de cas favorables P(A) =. nombre total de cas 25 / 42 Calcul de probabilités Cas particulier de l’équiprobabilité On considère une expérience aléatoire telle que: L’espace fondamental Ω défini soit de cardinal fini; Les éventualités qui le composent soient équiprobables. On définit la probabilité d’un événement A par: nombre de cas favorables P(A) =. nombre total de cas Remarque Attention, cette formule est valable seulement en situation d’équiprobabilité. 25 / 42 Propriétés P1 ) La probabilité de l’événement complémentaire d’un événement quelconque A s’obtient par: P(A) = 1 − P(A); P2 ) L’événement impossible est de probabilité nulle: P(∅) = 0; P3 ) Si un événement implique un autre, sa probabilité est plus petite: A ⊂ B =⇒ P(A) ≤ P(B); P4 ) La probabilité de l’union de deux événements: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). 26 / 42 Exemples 1) Jet d’une pièce de monnaie Ω = {P, F}, si la pièce est équilibrée on choisit: 1 P({P}) = P({F}) =. 2 27 / 42 Exemples 1) Jet d’une pièce de monnaie Ω = {P, F}, si la pièce est équilibrée on choisit: 1 P({P}) = P({F}) =. 2 2) Jet d’un dé: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les faces sont équiprobables. On prend F = P(Ω) et on définit P par: 1 P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =. 6 27 / 42 Exemples 1) Jet d’une pièce de monnaie Ω = {P, F}, si la pièce est équilibrée on choisit: 1 P({P}) = P({F}) =. 2 2) Jet d’un dé: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les faces sont équiprobables. On prend F = P(Ω) et on définit P par: 1 P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =. 6 On a donc P({2, 3}) =??? 27 / 42 Exemples 1) Jet d’une pièce de monnaie Ω = {P, F}, si la pièce est équilibrée on choisit: 1 P({P}) = P({F}) =. 2 2) Jet d’un dé: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les faces sont équiprobables. On prend F = P(Ω) et on définit P par: 1 P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =. 6 On a donc P({2, 3}) =??? 1 P({2, 3}) = P({2}) + P({3}) =. 3 27 / 42 Exercices Exercices 1 Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4). 1) On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tiré. Calculer les probabilités : a) De ne tirer que 3 jetons verts ; b) De ne tirer aucun jeton vert c) De tirer au plus 2 jetons verts ; d) De tirer exactement 1 jeton vert. 2) On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d). 28 / 42 Outline 1 Analyse combinatoire 2 Expérience aléatoire 3 Probabilité 4 Indépendance et probabilité conditionnelle 29 / 42 Indépendance Définition: Indépendance On dit que deux évènements A et B sont indépendants lorsque : P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Remarque Pour savoir si 2 évènements sont indépendants, il faut calculer séparément P(A ∩ B) et P(A) × P(B). 30 / 42 Exemple On joue 2 fois au P ou F de manière indépendante avec une pièce équilibrée (tout évènement relatif au premier lance est indépendant d’un évènement relatif au 2ème lancé). Alors on a : P( P au 1ère lancé ET P au 2ème lancé) = P(P au 1ère lancé) × P( P au 2ème lancé) 1 1 = × 2 2 1 =. 4 31 / 42 Exemple On lance un dé équilibré une fois et on note le chiffre de la face obtenue. Soient A = le chiffre de la face obtenue est un multiple de 6 et B = le chiffre de la face obtenue est pair. A et B sont ils indépendants ? 32 / 42 Exemple On lance un dé équilibré une fois et on note le chiffre de la face obtenue. Soient A = le chiffre de la face obtenue est un multiple de 6 et B = le chiffre de la face obtenue est pair. A et B sont ils indépendants ? Réponse: On a A = {6} et B = {2, 4, 6} 1 3 1 1 donc P(A) = , P(B) = = et P(A ∩ B) = P({6}) = 6 6 2 6 puisque P(A) × P(B) 6= P(A ∩ B) Donc A et B ne sont pas indépendants. 32 / 42 Indépendance Mutuelle Définition Soit (A1 ,... , An ) ∈ P(Ω). Les événements A1 ,... , An sont mutuellement indépendants si :   \ Y ∀J ⊂ [1, n], P  Aj =  P (Aj ) j∈J j∈J En particulier, en prenant J = [1, n] : Proposition (Mutuelle indépendance pour une famille finie) Soit A1 ,... , An des événements mutuellement indépendants. Alors: n ! n \ Y P Ai = P (Ai ) i=1 i=1 33 / 42 Avertissement L’égalité ne suffit pas à avoir l’indépendance mutuelle. Exemple On fait des tirages à pile ou face A est réalisé si et seulement si le premier tirage est Pile. B est réalisé si et seulement si lors des 3 premiers tirages, il y a au plus un Pile. C=B On a 1 P(A ∩ B ∩ C) = = P(A) × P(B) × P(C), 8 mais les événements ne sont clairement pas mutuellement indépendants! 34 / 42 Probabilité conditionnelle Définition Soit A et B deux événements avec P(A) 6= 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l’événement B se réalise sachant que l’événement A est réalisé. Elle est notée PA (B) et est définie par : P(A ∩ B) PA (B) =. P(A) On trouve également souvent la notation P(B|A). Exemple On lance une fois un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Soit A l’événement: ”on obtient un nombre inférieur ou égal à 5” et B l’événement :”on obtient un nombre supérieur ou égal à 3”. Si on sait que A est réalisé quelle est la probabilité de B.? 35 / 42 Théorème Soient B ∈ P(Ω) tq P(B) > 0. P étant une probabilité sur F. L’application P|B définie par P|B : P(Ω) → [0, 1] A → PB (A) = P(A|B) est une probabilité sur F 36 / 42 Remarque La formule de définition de la probabilité conditionnelle peut aussi s’écrire si P(A) > 0: P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A). Cette formule permet de calculer la probabilité de la réalisation simultanée de 2 événements. Propriétés Soit C ∈ F tel que P(C) > 0, alors on a: ∀A ∈ F, B ∈ F P(Ā/C) = 1 − P(A/C) Si A ⊂ B alors P(A | C) ≤ P(B | C) P{(A ∩ B)/C} = P(B/C) − P{(Ā ∩ B)/C} P{(A ∪ B)/C} = P(A/C) + P(B/C) − P{(A ∩ B)/C} 37 / 42 Proposition Si A et B sont indépendants alors: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). C’est-à-dire P(A | B) = P(A) et P(B | A) = P(B) : la réalisation d’un évènement n’affecte pas la réalisation du second. 38 / 42 Propriété (Formule de Bayes) Si P(A) 6= 0 alors on a : P(A | B) · P(B) P(B | A) = P(A) Proposition (Formule des probabilités totales) Soit {A1 , A2 ,... , An } une partition de Ω d’événements non vides (Ω = ∪ni=1 Ai et ∩ni=1 Ai = ∅). Soit B ∈ Ω n X P(B) = P (B | Ai ) P (Ai ) i=1 Remarque Quand n = 2, on obtient en particulier: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc )P(Bc ). 39 / 42 Exemple Une boite contient 4 boules rouges et 10 boules blanches. Une deuxième boite contient 6 rouges. On tire au hasard une boules de la première boite et on la remet dans la seconde boite sans regarder sa couleur. On tire alors une boule de la deuxième boite. Quelle est la probabilité pour que cette boule soit rouge. On considère les évènements suivants: B =” avoir une boule rouge au 2ème tirage”. A1= ”la 1ère boule tirée est rouge”. A2= ”la 1ère boule tirée est blanche”. Calculer P(B). 40 / 42 Formule de Bayes Soit {A1 , A2 ,... , An } une partition de Ω d’événements non vides. Soit B ∈ Ω P (Ai ) P (B | Ai ) P (Ai | B) = Pn j=1 P (Aj ) P (B | Aj ) Remarque Quand n = 2, on obtient en particulier: P(A|B)P(B) P(B|A) =. P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B) Exemple Une usine de pièces dispose de 3 machines A, B et C qui fabriquent respct. 50%, 30% et 20% de la production. Les pourcentage de pièces défectueuses de ces machines sont de 3%, 4% et 5%. 1- Quelle est la probabilité pour qu’une pièce soit défectueuse? 2- Calculer la probabilité pour qu’une pièce défectueuse provienne de A? 41 / 42 Exercice 1 Dans un lycée, la proportion des filles est de 40% du total des élèves. On sait que dans ce lycée, une fille sur deux pratique un sport alors que pour les garçons, un sur trois pratique un sport. On choisit au hasard un élève de ce lycée. 1) Quelle est la probabilité que cet élève pratique un sport? 2) Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit une fille sachant qu’il pratique un sport? 42 / 42 Chapitre II: Variables aléatoires discrètes 1 / 53 Outline 1 Variable aléatoire discrète (v.a.d) 2 Lois discrètes usuelles 3 Couple de variables aléatoires 2 / 53 Variable aléatoire Dans une expérience aléatoire, au lieu de s’intéresser aux résultats eux-mêmes, on s’intéresse plutôt à des caractéristiques numériques particulières de ces résultats. Exemple1 :Si on lance une pièce de monnaie 3 fois de suite, on obtient les résultats suivants : Ω = (F, F, F), (F, F, P), (F, P, F), (P, F, F), (P, P, P), (P, P, F), (P, F, P), (F, P,P) Au lieu de s’intéresser à chacun de ces résultats, on s’intéresse, par exemple, à la caractéristique numérique suivante :le nombre de faces. 3 / 53 Exemple 2 On considère une famille ayant deux enfants. On a Ω = {GG, GF, FG, FF} Soit X l’évént: ” nombre de fille dans la famille”. Alors Les valeurs prises par X sont 0,1 et 2. On pose X(Ω) = {0, 1, 2}, appelé le support de X. Définition Une variable aléatoire X est une application de Ω dans R telle que X:Ω→R ω 7→ X(ω) 4 / 53 Définition (variable aléatoire discrète) Une v.a est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle donné (borné ou non borné). En générale, toute les variables qui résultent d’un dénombrement ou d’une numération sont de type discrètes, càd l’ensemble de leurs valeurs est dénombrable de type X(Ω) = {x1 , x2 ,... , xn } où (xn , n ∈ N) Reprenons l’exemple 2, on demande la probabilité d’avoir une fille P(X = 1) = P(w tq X(w) = 1) = P({FG, GF}) = 1/2 De même, on a P(X = 0) = P(GG) = 1/4 et P(X = 2) = 1/4 5 / 53 Définition On appelle loi de probabilité d’une v. a. discrète X, l’ensemble des couples (x, px ) où x ∈ X(Ω) et px = P(X = x). Si X(Ω) = {x1 , x2 ,... , xn } est fini, on peut donner La loi de probabilité de X sous forme du tableau suivant: x x1 x2... xn pxi p1 p2... pn 6 / 53 Exemple Soit X le nombre de filles dans une fratrie de deux enfants (l’exemple 2). X est une v.a.d. On a X(Ω) = {0, 1, 2}, sous l’hypothèse que P(F) = P(G) la distribution ou la loi de X est donnée par ce tableau x 0 1 2 1 1 1 Px ou pi 4 2 4 X On remarque que 0 ≤ pi ≤ 1 et pi = 1. i Définition La représentation graphique de la loi de X s’appelle un diagramme à bâtons. 7 / 53 Fonction de répartition Définition La fonction F telle que : F : R → [0, 1] t 7→ F(t) = P(X ≤ t) X Si X(Ω) = {x1 , x2 ,... , xn } alors F(x) = P (X = xi ) xi ≤x Exemple On lance 3 pièces de monnaie, et X = nombre de piles obtenus. la loi et la fonction de répartition de X sont données par x 0 1 2 3 Px 1/8 3/8 3/8 1/8 F(x) 1/8 4/8 7/8 1 8 / 53 9 / 53 Propriètés Soit F une fonction de répartition d’une v.a discrète X. On a i) F(x) est croissante ii) lim F(x) = 1 et lim F(x) = 0 x→+∞ x→−∞ iii) F est une fonction en escalier et continue à droite. iv) si a < b on P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a) Exercice On jette deux dés. Soit X la v.a. qui représente la somme des points obtenus par les deux dés. 1. Donner la loi de probabilité de X. 2. Déterminer la fonction de répartition de X. 10 / 53 Définition (Espérance d’une v.a discrète) Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité définie par les valeurs {x1 , x2 ,... , xn } et les probabilités {p1 , p2 ,... , pn }. L’espérance de X, si elle existe, est défini par: n X n X E(X) = xi pi = xi P (X = xi ) i=1 i=1 Exemple 1 On lance 3 pièces de monnaie, et X est le nombre de piles obtenus. La loi de X est donnée par x 0 1 2 3 Px 1/8 3/8 3/8 1/8 1 3 3 1 E(X) = 0 ×+ 1 × + 2 × + 3 × = 3/2 8 8 8 8 C’est le nombre moyen de Pile que l’on peut observer. 11 / 53 Exemple 2 Soit X la v.a. dont la loi est donnée par 1 3 2 P(−3) = , P(1) = , P(2) = 6 6 6 Comme PX (−3) + PX (1) + PX (2) = 1, la v.a. X est à valeurs dans S = {−3, 1, 2}. Son espérance mathématique est donnée par 1 3 2 2 E[X] = −3 × +1× +2× = 6 6 6 3 12 / 53 Remarque: En général, pour toute fonction continue ϕ, n X E(ϕ(X)) = ϕ (xi ) P (X = xi ) i=1 En particulier n X 2 xi2 P (X = xi )
E X = i=1 Exemple: On lance 3 pièces √ de monnaie et X est le nombre de piles obtenus. Soient Y = X 2 et Z = X. Calculer E(Y) et E(Z). La loi de X est donnée par x 0 1 2 3 Px 1/8 3/8 3/8 1/8 1 3 3 1 E(Y) = E X 2 = 02 ∗ + 12 ∗ + 22 ∗ + 32 ∗ = 3
8 8 8 8 √ √ 1 √ 3 √ 3 √ 1 E(Z) = E( X) = 0 ∗ + 1 ∗ + 2 ∗ + 3 ∗ = 1.12 8 8 8 8 13 / 53 Propriétés de l’espérance Proposition Soient a et b deux réels et X et Y deux v.a, alors - E(a) = a - E(aX + b) = aE(X) + b - E(X + Y) = E(X) + E(Y) 14 / 53 Variance Définition (Variance d’une v.a discrète) On appelle variance d’une variable aléatoire X le réel positif, noté V(X) défini par V(X) = E((X − E(X))2 ) Remarque La variance ne s’exprime pas dans la même unité que la moyenne E(X), c’est pourquoi il est préférable d’utiliser l’écart type σ(X) défini par: p σ(X) = V(X) Exemple On reprend l’exemple 1, le lancer de 3 pièces de monnaie, on a déjà calculé E(X) = 3/2, donc 1 3 3 1 V(X) = ×(0−3/2)2 + ×(1−3/2)2 + ×(2−3/2)2 + ×(3−3/2)2 = 3/4 8 8 8 8 15 / 53 Propriété Soit X une v. a, la variance de X peut s’écrire sous la forme svte 2 V(X) = E X − [E(X)]2
Si X(Ω) = {x1 ,... , xn } est fini et de loi de probabilité pi = P (X = xi ) , pour i = 1,... , n. Alors, n n !2 X X V(X) = pi xi2 − pi xi i=1 i Exemple On reprend l’exemple précédent, on a 1 3 3 1 2 E X = 0 × + 1 × + 22 × + 32 × = 3 et on a déjà vu que
8 8 8 8 E(X) = 3/2 d’où V(X) = E X 2 − E(X)2 = 3/4
16 / 53 Propriétés de la variance Proposition Soient a et b deux réels et X et Y deux v.a, alors - V(a) = 0 - V(aX + b) = a2 V(X) 17 / 53 Exercice On jette deux dés. Soit X la v.a. égale au plus petit des deux chiffres obtenus, Y la v.a. égale au plus grand des deux et Z la différence en valeur absolue des deux chiffres. 1) Donner la loi de probabilité de X. 2) De même, donner les lois de probabilité de Y et de Z. 3) Calculer E(X), V(X), E(Y), V(Y), E(Z) et V(Z) 18 / 53 Inégalités Soient X et Y 2v. a admettant une espérance et une variance. Alors - i) |E(X)| ≤ E(|X|) - ii) Inégalité de Markov: E(|X|) ∀a ≥ 0, aP(|X| > a) ≤ E(|X|) et si a 6= 0 alors, P(|X| > a) ≤ a - iii) Inégalité de Tchebychev: V(|X|) ∀ε > 0, P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ ε 2 2 2

-iv) Inégalité de Cauchy Schawrz: (E(XY)) ≤ E X E Y 19 / 53 Fonction d’une variable discrète Définition Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles, associée à un espace de probabilité (Ω, F, P). Soit ϕ une fonction numérique d’une variable réelle définie sur X(Ω). L’application Y = ϕoX, définie sur Ω, est une variable aléatoire à valeurs réelles si elle possède la propriété suivante ∀I ⊂ R {w | Y(w) = ϕ(X(w)) ∈ I} ⊂ F On dit que Y est une v.a, fonction de variable aléatoire X et on note Y = ϕ(X) 20 / 53 Fonction d’une variable discrète Loi de Y = ϕ(X) Exemple Supposons que la loi de X est donnée par x −2 −1 0 1 2 Px 1/14 2/14 3/14 4/14 4/14 1) Soit Y = ϕ(X) = 2X − 3 L’ensemble de valeurs de Y est Y(Ω) = {−7, −5,  −3, −1, 1} yj + 3 On a pj = P (Y = yj ) = P (2X − 3 = yj ) = P X = , yj ∈ Y(Ω) 2 D’ou la loi de Y yj −7 −5 −3 −1 1 Pj 1/14 2/14 3/14 4/14 4/14 21 / 53 Suite exemple 2) Soit Z = ϕ(X) = X 2 Dans ce cas Z(Ω) = {0, 1, 4} Pour tte valeur positive de zj de Z, on a √
√

pj = P (Z = zj ) = P X 2 = zj = P X = zj ∪ X = − zj
√
√
= P X = zj + P X = − zj car les événements sont incompatibles. et P(Z = 0) = P(X = 0) D’ou la loi de Z zj 0 1 4 Pj 3/14 6/14 5/14 22 / 53 Outline 1 Variable aléatoire discrète (v.a.d) 2 Lois discrètes usuelles 3 Couple de variables aléatoires 23 / 53 Loi Uniforme Définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète si: - L’ensemble de valeurs de X est X(Ω) = {x1 ,... , xn } 1 - la loi de X est P(X = xi ) = pour tout i ∈ [1, n]. n On note X ∼ U{x1 ,...,xn } 24 / 53 Exemples 1) On lance un dé cubique équilibré à six faces. Soit X la variable aléatoire qui donne le numéro affiché par le dé. La loi de probabilité de X est donnée par: X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 pi 6 6 6 6 6 6 C’est la loi Uniforme discrète X ∼ U{1,2,3,4,5,6}. 2) Un sac contient 7 jetons identiques (numérotés de 1 à 7 ). On tire au hasard 1 jeton du sac. Soit Y la variable aléatoire qui donne le numéro affiché sur le jeton. La loi de probabilité de Y est donnée par le tableau suivant: Y 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 pi 7 7 7 7 7 7 7 C’est la loi Uniforme discrète Y ∼ U{1,2,3,4,5,6,7}. 25 / 53 Proposition : Paramètres d’une Loi Uniforme Soit X une variable aléatoire qui suit la loi Uniforme, Alors on a : n+1 n2 − 1 E(X) = et V(X) = 2 12 26 / 53 Loi de Bernoulli Définition: On réalise une expérience dont le résultat sera interprété soit comme un succès soit comme un échec. On définit alors la variable aléatoire X en lui donnant la valeur 1 lors d’un succès et 0 lors d’un échec (variable indicatrice). La loi de probabilité de X est alors P(X = 1) = p (1) P(X = 0) = 1 − p = q où p est la probabilité d’un succès, 0 ≤ p ≤ 1. Une variable aléatoire X est dite de Bernoulli X ∼ Ber(p) s’il existe un nombre p ∈]0, 1[ tel que la loi de probabilité de X soit donnée par (1). 27 / 53 Exemples: 1. On jette une pièce de monnaie. On considère X la variable aléatoire qui prend 1 si l’issue est Pile et 0 sinon. Alors X suit une loi de Bernoulli de 1 paramètre. Le tableau de la loi X est donnée par: 2 X 0 1 1 1 pi 2 2 1 2. Ahmed tire sur un oiseau. La probabilité de succès pour Ahmed est. On 3 considère Y la variable aléatoire qui prend 1 si Ahmed touche l’oiseau et 0 1 sinon. Alors Y suit une loi de Bernoulli de paramètre. Le tableau de la loi 3 Y est donnée par : Y 0 1 2 1 pi 3 3 28 / 53 Proposition: Paramètres d’une Loi de Bernoulli : Soit X ∼ Ber(p), Alors on a : E(X) = p et V(X) = p(1 − p) 29 / 53 La loi binomiale Définition La loi binomiale est la loi de probabilité d’une variable aléatoire représentant une série d’épreuves de Bernoulli possédant les propriétés suivantes: 1. Chaque épreuve donne lieu à deux éventualités exclusives de probabilités constantes p et q = 1 − p 2. Les épreuves répétées sont indépendantes les unes des autres. 3. La variable aléatoire X correspondante prend pour valeur le nombre de succès dans une suite de n épreuves. La relation X suit une Loi binomiale de paramètres n et p est notée X ∼ B(n; p). Les probabilités élémentaires de la loi binomiale B(n; p) sont données pour tout nombre de succès k ∈ {0, 1, 2, 3,... , n} par: P(X = k) = Cnk · pk · (1 − p)n−k 30 / 53 Exemple 1 Ahmed tire sur un oiseau 4 fois successives. A chaque fois la probabilité de 1 succès pour Ahmed est = 0.25. On considère X la variable aléatoire qui 4 donne le nombre de fois où Ahmed touche l’oiseau. Alors X suit une loi 1 binomiale de paramètres n = 4 et p =. Et on a X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4} la loi 4 de probabilité de X est donnée par : P(X = 0) = C40 · (0.25)0 · (1 − 0.25)4 = 0, 316 P(X = 1) = C41 · (0.25)1 · (1 − 0.25)3 = 0, 421 P(X = 2) = C42 · (0.25)2 · (1 − 0.25)2 = 0, 210 P(X = 3) = C43 · (0.25)3 · (1 − 0.25)1 = 0, 046 P(X = 4) = C44 · (0.25)4 · (1 − 0.25)0 = 0, 003 31 / 53 Exemple 2: On jette 6 fois une pièce bien équilibrée. Soit X la v.a ”nombre de face obtenue” -Quelle est la probabilité que l’on ait exactement 2 faces? On a X ∼ B(6, 1/2) donc 15 P(X = 2) = C62 (1/2)2 (1/2)4 = 64 -Quelle est la probabilité d’avoir 4 faces ou moins? 11 P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 32 32 / 53 Proposition : Paramètres d’une Loi binomiale Soit X ∼ B(n; p), Alors on a : E(X) = np et V(X) = np(1 − p) 33 / 53 Exercice Une urne contient 5 boules rouges et 7 boules noires. 1. On tire une boule de l’urne. Soit la v.a X définie par  0 si la boule tirée est rouge X= 1 si la boule tirée est noire 1.1 Quelle est la loi de X ? 1.2 Calculer E(X) et V(X). 2. On tire une boule que l’on remet dans l’urne. On répète ce tirage 10 fois. Soit Y la variable aléatoire: nombre de boules rouges obtenues dans les 10 tirages. 2.1 Quelle est la loi de Y? 2.2 Calculer E(Y) et V(Y). 34 / 53 Loi Géométrique Définition On répète de façon indépendante un schéma de Bernoulli, ayant même probabilité de sucées p, autant de fois qu’il faut pour obtenir le premier sucées. Soit X la v. a qui représente l’indice d’apparition du premier sucées ( le nombre de répétition pour obtenir le premier sucées). Alors, on a - X(Ω) = N? - X suit la loi géométrique de paramètre p et P(X = k) = p(1 − p)k−1. On note X ∼ G(p) 1 1−p - E(X) = et V(X) = p p2 35 / 53 Exemple On lance un dé équilibré plusieurs fois. Soit  X l’indice de la première 1 apparition de la valeur 2. On a X ∼ G. 6 1 k−1   1 P(X = k) = 1− , ∀k ∈ N∗ 6 6 Propriétés - Si X ∼ G(p) alors P(X > k) = (1 − p)k ∀k ∈ N∗ - La loi géométrique est sans mémoire, c à d P(X > n + k/X > k) = P(X > n), ∀k ∈ N∗ et P(X = n + k/X > k) = P(X = n), ∀k ∈ N∗ 36 / 53 Loi de Poisson La loi de Poisson modélise des situations où l’on s’intéresse au nombre de réalisation d’un événement dans un laps de temps déterminé ou dans une région donnée. Par exemple : Nombre d’appels téléphoniques qui arrivent à un standard en x minutes, nombre de clients qui attendent à la caisse d’un magasin, nombre de défauts de peinture par m2 sur la carrosserie d’un véhicule.. Définition: Soient λ la moyenne de réalisation d’un événement, et X le nombre de réalisation de cet événement. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, (λ > 0) si k −λ λ X(Ω) = N et P(X = k) = e pour tout k ∈ N k! 37 / 53 Exemple 1: Soit X la variable aléatoire associée au nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ = 5. On écrit alors X ∼ P(5). La probabilité associée à la vente de 5 micro-ordinateurs se détermine par : 5 −5 5 P(X = 5) = e = e−5 ' 0.1755 5! La probabilité de vendre au moins 2 micro-ordinateurs est égal à: 0 1   5 5 P(X ≥ 2) = 1 − e−5 + e−5 ' 0.9596 0! 1! Le nombre moyen de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin est égal à 5 puisque E(X) = λ = 5 38 / 53 Exemple2: Le nombre moyen de clients à un guichet par heure est égal à 15, calculons la probabilité d’observer 20 arrivées dans une heure donnée, supposant que les arrivées sont indépendantes les unes des autres. Ici, la valeur de λ = 15 et on cherche la probabilité P(X = 20), donc: e−15 1520 P(X = 20) = = 0.042 20! 39 / 53 Théorème 1) Si X ∼ P(λ) alors E(X) = V(X) = λ 2) Si X et Y sont deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson X ∼ P(λ) et Y ∼ P(µ) alors leur somme suit aussi une loi de Poisson: X + Y ∼ P(λ + µ) 40 / 53 Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson La loi de Poisson est toujours liée à l’étude des phénomènes rares. Alors dans l’étude d’une loi Binomiale B(n, p) avec p très petit. On préfère souvent travailler avec une loi de Poisson. Proposition: Soit X une variable aléatoire qui suit une loi Binomiale B(n, p), si n est grand et p est petit alors la loi X peut être approchée par une loi de Poisson P(np). En pratique, on peut approcher la loi B(n, p) par la loi P(np), dés que n ≥ 50 et np ≤ 5. 41 / 53 Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(100; 0, 05). Nous allons calculer P(X = 2). Calcul exact: 2 P(X = 2) = C100 (0.05)2 (0.95)98 ' 0.0812 Calcul approché : on approche la loi B(100; 0, 05) par la loi P(5) 52 −5 P(X = 2) = e ' 0.0843 2! 42 / 53 Outline 1 Variable aléatoire discrète (v.a.d) 2 Lois discrètes usuelles 3 Couple de variables aléatoires 43 / 53 Couple de variables aléatoires Exemple On place au hasard deux billes rouge et verte dans deux boites A et B. On note X, la variable aléatoire ”’nombre de billes dans la boite A”’ et Y, la variable aléatoire ”’nombre de boites vides”’. on a X(Ω) = {0, 1, 2} et Y(Ω) = {0, 1}. La loi de (X, Y) est donnée par xi /yi 0 1 loi marginale de X(pi. ) 0 0 1/4 1/4 1 1/2 0 1/2 2 0 1/4 1/4 loi marginale de Y(p.j ) 1 / 2 1 / 2 1 44 / 53 Couple de variables aléatoires Définition Soient X et Y deux v.a d. définies sur le même espace fondamental Ω. La loi de probabilité, appelée loi jointe d’un couple v. a. discrète (X, Y) est déterminée par les probabilités pij des évènements {X = xi } et {Y = yj }, tq pij = P (X = xi , Y = yj ) 45 / 53 A partir de la la loi du couple (X, Y) on peut déduire la loi X (resp. de Y ), appelée loi marginale de X (resp. de Y ). En effet, à partir du tableau précédent la loi marginale de X est donnée par xi 0 1 2 P (X = xi ) 1/4 1/2 1/4 E(X) = 1 et V(X) = 1/2 La loi marginale de Y est donnée par yi 0 1 P (Y = yi ) 1/2 1/2 E(Y) = 1/2 et V(Y) = 1/4 46 / 53 Définition On appelle lois marginales de X et de Y, notées respectivement pi. et p.j , les lois de probabilité de X et de Y prises séparément. Elles sont données par X X pi. = P (X = xi ) = pij et p.j = P (Y = yj ) = pij j i et on a XX pij = 1 i j Proposition Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. Alors XX E(XY) = xi yj pij i j 47 / 53 Définition Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. On appelle loi conditionnelle de X sachant Y = yj la donnée des probabilités: P (X = xi ∩ Y = yj ) pij P (X = xi | Y = yj ) = = P (Y = yj ) p.j L’espérance conditionnelle de X sachant que Y = yj est X E (X | Y = yj ) = xi P (X = xi | Y = yj ) i Elle correspond à l’espérance de la loi conditionnelle de X sachant que Y = yj 48 / 53 Définition (Rappel) Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et A, B ⊂ F.A et B sont deux événement indépendants ssi P(A ∩ B) = P(A) × P(B) Définition Soient X et Y deux v.a.d tq X(Ω) = {x1 ,... , xn } et Y(Ω) = {y1 ,... , yn }. On dit que X et Y sont indépendants ssi ∀xi et ∀yj P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ) × P (Y = yj ) En pratique, on écrits pij = pi.p p.j Exemple Dans l’exemple précédent on a 1 P(X = 0, Y = 0) = 0 6= P(X = 0) × P(Y = 0) =. 8 Donc X et Y ne sont pas indépendants 49 / 53 Covariance et Corrélation Définition Soient X et Y sont deux v.a. on appelle la covariance de ces deux variables, le réel : cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) et coefficient de corrélation, le réel : R(X, Y) = cov(X, Y)/σX σY on a toujours −1 ≤ R(X, Y) ≤ 1 Proposition Si X et Y deux v.a. indépendantes, alors Cov(X, Y) = 0. La réciproque n’est pas vraie. Si X et Y deux v.a quelconque, alors var(X + Y) = var(X) + var(Y) + 2 cov(X, Y) 50 / 53 Proposition Si X et Y deux v.a. indépendantes, alors E(XY) = E(X) × E(Y). La réciproque n’est pas vraie Exemple (suite de l’exemple précèdent) La loi de Z = XY. On a Z(Ω) = {0, 1, 2} zi 0 1 2 P (Z = zi ) 3/4 0 1/4 Dans cette exemple, la relation E(XY) = E(X) × E(Y) est vérifiée car E(X) = 1; E(Y) = 1/2 et E(XY) = 1/2 cependant les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes. 51 / 53 Proposition Si X et Y deux v.a. indépendantes, alors V(X + Y) = V(X) + V(Y). La réciproque n’est pas vraie Exemple (suite de l’exemple précèdent) La loi de Z = X + Y. on a Z(Ω) = {0, 1, 2, 3} zi 0 1 2 3 P (Z = zi ) 0 3/4 0 1/4 On a E(Z) = E(X + Y) = 3/2 et V(Z) = V(X + Y) = 3/4. On retrouve ainsi la relation V(X + Y) = V(X) + V(Y), car V(X) = 1; V(Y) = 1/4 et V(X + Y) = 3/4, cependant les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes. 52 / 53 Exercice Soient deux variables aléatoires indépendantes X et Y, de même loi définie par P(X = 1) = p(X = 2) = P(X = 3) = P(Y = 1) = P(Y = 2) = 1 P(Y = 3) = 3 On considère deux nouvelles variables aléatoires Z = X + Y et T = X − Y 1) Déterminer la loi de Z et celle de T. 2) Montrer que les variables Z et T ne sont pas indépendantes. 3) Calculer E(Z), E(T) et E(ZT). Conclure. 53 / 53 Chapitre III: Variables aléatoires continues 1 / 56 Outline 1 Variable aléatoire Continues (v.a.c) 2 Lois usuelles 2 / 56 Variable aléatoire Continues Définition Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. Exemple Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes : -taille des individus d’une population, X(Ω) = [0, M] - temps d’attente à la poste, X(Ω) = R+ - taux de cholestérol, X(Ω) = R+ - poids à la naissance, X(Ω) = [0, m] -... 3 / 56 Définition Une variable aléatoire X est dite à densité lorsqu’il existe une fonction positive fX : R → R+ telle que Z b P(a ≤ X ≤ b) = fX (x)dx pour tous a, b ∈ R, a ≤ b. a Cette fonction fX est appelée densité de X. Remarque Remarquons que si f est la densité d’une variable aléatoire X, alors nécessairement f est positive, f est intégrable sur R et vérifie Z +∞ f (t)dt = 1. −∞ Il faut toujours penser à le vérifier 4 / 56 5 / 56 6 / 56 Calculer la loi d’une variable à densité, c’est calculer sa densité ! 7 / 56 Exemple 1 On considère la fonction réelle f définie par ( 1 x si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 2 0 sinon f est une densité de probabilité. En effet, on a i) f (x) ≥ 0 Z  2 2 x ii) f (x)dx = =1 R 4 0 8 / 56 Exemple 2 On modélise à l’aide d’une variable aléatoire X la durée en heure du temps d’attente aux consultations d’un hôpital fictif avec X ∈ [0; 1, 5] suivant la loi de probabilité de densité la fonction f définie pour tout réel t de l’intervalle [0; 1, 5] par 64t3 64t2 16t f (t) = − +. 27 9 3 - La probabilité que le temps d’attente soit inférieur à 18 minutes est Z 0,3 P(X < 0, 3) = f (t)dt = 0, 1808 0 - La  probabilité que le temps d’attente soit compris entre 15 et 45 minutes est Z 0,75 1 3 5 P 6X6 = f (t)dt = 4 4 0,25 9 - La probabilité que le temps d’attente soit supérieur à une demi-heure est Z 0,5 16 P(X > 0, 5) = 1 − P(X < 0, 5) = 1 − f (t)dt = 0 27 9 / 56 10 / 56 Exercices Exercices Parmi les  fonctions suivantes, lesquelles sont des densités de probabilité ?  x + 1 si − 1 ≤ x ≤ 0 f (x) = 1 − x si 0 ≤ x ≤ 11 0 sinon.   2 x si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 0 sinon.  2 cos(x) si 0 ≤ x ≤ 2π f (x) = 0 sinon. ( 3 2
1−x si − 1 ≤ x ≤ 1 f (x) = 4 0 sinon. 11 / 56 Propriétés Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I. Pour tous réels a et b appartenant à I : Z a P(X = a) = f (t)dt = 0 a P(a 6 X 6 b) = P(a < X 6 b) = P(a 6 X < b) = P(a < X < b) P(X > a) = P(X > a) = 1 − P(X 6 a) 12 / 56 Fonction de répartition Définition La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X, ayant une densité de probabilité f (x), est définie par Z x FX (x) = P(X ≤ x) = f (t)dt −∞ Exemple Soit X une v.a dont la densité de probabilité est la fonction définie dans l’exemple 1. La fonction de répartition de X est   0 si x < 0  Z x  x2 FX (x) = f (t)dt = si 0 ≤ x ≤ 2 4  0   1 si x > 2 13 / 56 Propriétés de la Fonction de répartition 1) FX (t) ∈ [0, 1] pour tout t ∈ R 2) FX est une fonction croissante 3) lim FX (x) = 0 et lim FX (x) = 1 x→−∞ x→+∞ 4) pour tout a < b, P[a ≤ X ≤ b] = FX (b) − FX (a). 14 / 56 Exemple Soit X une v.a de densité de probabilité la fonction définie par ( 0 si x < 0 f (x) = 1 −x/2 e si x ≥ 0 2 La fonction de répartition de X est donnée par Z t FX (t) = P(X ≤ t) = f (x)dx −∞ On obtient: Z t Si t ≤ 0 FX (t) = 0dx = 0 Z−∞ t Z 0 Z t 1 −x/2 Si t ≥ 0 FX (t) = f (x)dx = 0dx + e dx = 1 − e−t/2 −∞ −∞ 0 2 D’ou  0 si x b On note alors X U([a; b]). f admet la représentation graphique suivante. 26 / 56  Figure 1 On a bien une densité de probabilité puisque - f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R Z +∞ Z a Z b Z +∞ - f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt = 0 + 1 + 0 = 1. −∞ −∞ a b 27 / 56 Proposition Si X ∼ U[a, b] alors a+b (b − a)2 E(X) = et V(X) = 2 12 Fonction de répartition Si X ∼ U[a, Z x b] alors la fonction de répartition de X est donnée F(x) = f (t)dt d’ou −∞  Z x    0dt = 0 si xb −∞ a b − a b 28 / 56 Exemple On considère que la durée d’attente d’un bus qui passe toutes les 15 minutes est une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur [0, 15]. La densité de X est donnée par: ( 1 f (x) = si x ∈ [0, 15] 15 f (x) = 0 sinon et la fonction de répartition F de X est:   F(x) = 0x  si x < 0 F(x) = si x ∈ [0, 15]  15 F(x) = 1 si x > 15  8 2 2 On a : P(2 ≤ X ≤ 8) = F(8) − F(2) = − =. 15 15 5 9 3 P(−1 ≤ X ≤ 9) = F(9) − F(−1) = −0=. 15 5 P(−2 ≤ X ≤ 18) = F(18) − F(−2) = 1 − 0 = 1 29 / 56  2 13 P(2 ≤ X ≤ 19) = F(19) − F(2) = 1 − =. 15 15 0 + 15 E(X) = = 7.5 2 (15 − 0)2 V(X) = = 18.75 12 30 / 56 Loi exponentielle Définition On dit qu’une v.a X, suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 si sa densité de probabilité est donnée par  −λx λe si x ≥ 0 f (x) = 0 sinon On note X ∼ Exp(λ). Remarque La loi exponentielle est souvent utilisée pour représenter la durée de vie d’un objet. 31 / 56 Fonction de répartition Si X ∼ Exp(λ) alors sa fonction de répartition est donnée par  0 si x < 0 F(x) = 1 − e−λx si x ≥ 0 32 / 56 Proposition 1 1 Si X ∼ Exp(λ) alors, E(X) = et V(X) = 2 λ λ En effet Z +∞ +∞ Z +∞ −λx dx = −xe−λx 0 + e−λx dx  E(X) = xλe 0 0  +∞ 1 −λx 1 =0+ − e = λ 0 λ car lim −xe−λx = 0 x→+∞ Z +∞  2 −λx +∞ Z +∞ −λx 2 2 2xe−λx dx
E X = x λe dx = −x e 0 + 0 0 Z +∞ 2 2 =0+ λxe−λx dx = λ 0 λ2 Z +∞ 1 car λxe−λx dx = E(X) = et lim −x2 e−λx = 0 d’où 0 λ x→+∞ 1 V(X) = E X 2 − E(X)2 = 2
λ 33 / 56 Loi normale centrée réduite (ou loi gaussienne) Définition On dit que X suit une loi normale centrée réduite et on note X ∼ N (0, 1) si sa loi admet pour densité la fonction 1 − x2 fX (x) = √ e 2 2π Remarque La fonction de répartition correspondante n’a pas de formule simple. Z x 1 − t2 FX (x) = √ e 2 dt −∞ 2π Proposition Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite, alors E[X] = 0 et Var(X) = 1 34 / 56 Figure 2 35 / 56 Propriétés Soit T la variable aléatoire centrée et réduite. Si t est positif : F(−t) = 1 − F(t). Pour tout t ≥ 0, P(−t ≤ T ≤ t) = 2F(t) − 1. 36 / 56 Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite Exemple : Calcul de P(T ≤ 1, 36) : On a t = 1, 36 = 1, 3 + 0, 06, donc P(T ≤ 1, 36) est le nombre situé à l’intersection de la colonne 0,06 et de la ligne 1, 3. (Voire le tableau dans la dernière page) Donc F(1, 36) = P(T ≤ 1, 36) = 0, 9131. Calcul de P(T ≥ 1, 25) : P(T ≥ 1, 25) = 1 − F(1, 25) = 1 − 0, 8944 = 0, 1056. Calcul de P(T ≤ −1, 17) : P(T ≤ −1, 17) = 1 − F(1, 17) = 1 − 0, 8790 = 0, 121 Calcul de P(1, 15 ≤ T ≤ 1, 37) : P(1, 15 ≤ T ≤ 1, 37) = F(1, 37) − F(1, 15) = 0, 9147 − 0, 8749 = 0, 0398. 37 / 56 Loi Normale, ou la loi de Gauss Définition La distribution normale, ou de Laplace-Gauss, appelée aussi gaussienne, est une distribution continue qui dépend de deux paramètres µ et σ. On dit qu’une 2
v.a X suit cette distribution et on note X ∼ N µ, σ si sa densité de probabilité est définie par: 1 − 21 ( x−µ ) 2 f (x) = √ e σ σ 2π Le paramètre µ peut être quelconque mais σ est toujours positif. Proposition 2 alors E(X) = µ et V(X) = σ 2
Si X ∼ N µ, σ 38 / 56 Figure 3 39 / 56 Proposition Si X1 ∼ N µ1 , σ12 et X2 ∼ N µ2 , σ22 et si X1 et X2 sont deux v.a

indépendantes,alors Y = X1 + X2 ∼ N µ1 + µ2 , σ12 + σ22
Proposition 2
X−µ Si X suit une loi normale N µ, σ , alors Z = , une variable centrée σ réduite, suit une la loi normale centrée-réduite N(0, 1). Remarque Si on cherche par exemple à calculer P(a < X < b) avec X ∼ N µ, σ 2 , on
utilise la transformation donnée dans la proposition précédente et après on utilise la table de N(0, 1) : 40 / 56 Exemple Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres µ = 12 et σ = 3. X−µ X − 12 On pose T = =. σ 3 16 − 12 4 → Calcul de P(X < 16) : X < 16 ⇐⇒ T < ⇐⇒ T < 3 3 Donc, P(X < 16) = P(T < 1, 33) = F(1, 33) On lit sur la table F(1, 33) = 0, 9082 donc : P(X < 16) = 0, 9082. → Calcul de P(9 < X < 15) : P(9 < X < 15) = P(−1 < T < 1) = 2Π(1) − 1. Or, F(1) = 0, 8413 donc: P(9 < X < 15) = 2 × 0, 8413 − 1 = 0, 6828 41 / 56 Exemple 2 1) Soit X une variable aléatoire tq X ∼ N(53, 100). Calculer: a) P(X ≤ 73). b) P(|X| ≤ 38) 2) On suppose que X ∼ N(30, 25). Déterminer les valeurs, de x, de cette variable pour lesquelles: a) P(X ≤ x) = 0.8413. b) P(20 ≤ X ≤ x) = 0.9544. c) P(X ≥ x) = 0.9332 42 / 56 Théorème de la limite Centrale La loi normale est certainement la loi de probabilité la plus utilisée. Elle intervient souvent comme loi limite vers laquelle convergent certaines lois. Elle est aussi à l’origine du développement d’autres lois par exemple lois du chi-deux, lois de Student, lois de Fisher-Snedecor,etc. Th. de la limite Centrale Soit X1 ,... , Xn une suite de v.a de même loi (on dit aussi i.i.d., pour indépendentes et identiquement distribuées), de moyenne (espérance) µ et de variance σ 2. Alors la v.a définie par Pn i=1 Xi − nµ √ ∼ N(0, 1) ou bien σ n Pn √ X̄n − µ Xi n ∼ N(0, 1) avec X̄n = i=1 σ n 43 / 56 approximations de loi discrètes par la loi normale Soit X une variable aléatoire suivant une loi donnée. On donne ci-après la loi limite suivie par X lorsque n → ∞. En pratique, on admet souvent que n est très grand lorsqu’il est supérieur à 50. 1-Approximation de la loi binomiale Si X ∼ B(n, p) et si n → ∞ alors la loi de X tends vers la loi N(np, npq) avec q = 1 − p. En pratique, il suffit que np ≥ 10 et n(1 − p) ≥ 10 Remarque: Ce résultat est obtenu en remarquant qu’une v.a X suivant une loi binomiale B(n, p) est une somme de n v.a de Bernouilli B(p) i.i.d (X = X1 +... + Xn Xi ∼ B(p)). On en déduit par application du TLC que X − np √ ∼ N(0, 1) npq 44 / 56 Exemple: On joue 10000 fois à pile ou face. Calculer la probabilité pour que le nombre de piles soit dans l’intervalle [4900, 5100]. Soit X le nombre de piles. X suit une loi B(10000, 1/2) que l’on peut approcher par une loi N(5000, 2500). On obtient, en désignant par Z une variable N(0, 1) P(4900 ≤ X ≤ 5100) = P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 95.45% 45 / 56 2-Approximation d’une loi de Poisson Si X est une variable aléatoire de loi de Poisson P(λ) et si λ a une valeur suffisamment élevée, alors la loi de X tends vers la loi N(λ, λ). En pratique, il suffit que λ ≥ 20 Exemple: Soit X de loi P(100). Calculer P(90 ≤ X ≤ 100). 46 / 56 Définition Soit X1 , X2 ,... , Xn , n variables normales centrées réduites et indépendantes. La loi de la v.a S définie par S = X12 + X22 +... + Xn2 est appelée loi de Khi deux a n degrés de liberté (d.d.l.). On note χ2n. - Si X ∼ χ2n alors E(X) = n et V(X) = 2n - La distribution du χ2 est dissymétrique et tend à devenir symétrique lorsque n augmente en se rapprochant de la distribution normale à laquelle elle peut être assimilée lorsque n > 30. 47 / 56 Définition Soit U une variable aléatoire suivant une loi normale réduite N(0, 1) et
V une variable aléatoire suivant une loi de Khi deux à n degrés de liberté χ2n tq U U et V sont indépendantes. La variable aléatoire définie par p suit une loi V/n de Student à n degrés de liberté, notée tn. Définition Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Khi U/n deux respectivement à n et m degrés de liberté. On dit que F = suit une V/m loi de Fisher-Snedecor à n et m degrés de liberté. On note F(n, m). 48 / 56 Fonction d’une variable aléatoire Soit X une v.a de densité f , et de fonction de répartition F. On cherchera à déterminer la fonction de répartition G de la variable Y = ϕ(X). Cette détermination sera plus ou moins compliqué suivant la nature de la fonction ϕ. Exemple Supposons que la densité de X est donnée par ( λ2 xe−λx si x > 0 f (x) = 0 sinon 1 où λ > 0. On cherche à déterminer la loi de Y =.   X 1 On a G(t) = P(Y < t) = P 0 F(x) = 0 si x≤0 Alors, on peut calculer celle de Y    λ −λ/t 1− 1+ e si t>0  G(t) = t 0 si t≤0  Exemple 2: Soit X une v.a de loi N(0, 1) et de fonction de répartition F. On cherche la loi de Y = X 2. On a G(t) = P(Y < t) = P X 2 < t.
Si t ≤ 0, G(t) = 0 car l’événement ” X 2 < t ” est un événement impossible puisque X 2 ne peut pas prendre une valeur négative. 51 / 56 Si t ≥ 0, On a √ G(t) = P X 2 < t = P(|X| < t)
√ √ = P(− t ≤ X ≤ t) √ √ = F( t) − F(− t) Par dérivation, on obtient 1 √ √   1 g(t) = √ f ( t) − − √ f (− t) 2 t 2 t 1 1 1 −t/2 = √ e−t/2 + √ e−t/2 = √ e 2 2πt 2 2πt 2πt 1 2 Car f (x) = √ e−x /2. Finalement, la densité de Y est 2π   0 si t ≤ 0 g(t) = 1 −t/2  √ e si t > 0 2πt 52 / 56 Remarque Dans cet exemple, puisque F n’ayant pas d’expression analytique, on ne peut pas avoir une expression explicite de la fonction de répartition de Y, G. Puisque Y est le carré d’une variable centrée réduite, alors Y suit la loi de khi-deux à un degrée de liberté. Proposition Soit X une variable aléatoire continue définie sur un espace probabilisé (Ω, F, P), de densité fX et de fonction de répartition FX. Soit Y = ϕ(X) où ϕ est une fonction strictement monotone ϕ−1 existe) alors la loi de Y se détermine comme suit: 1) Si ϕ est croissante: ∗FY (t) = P(Y ≤ t) = P(ϕ(X) ≤ t) = P X ≤ ϕ−1 (t) =
−1
FX ϕ (t) 0 −1
−1
0 ∗fY (t) = FY (t) = fX ϕ (t) ϕ (t) 53 / 56 2) Si ϕ est décroissante: −1
∗FY (t) = P(Y ≤ t) = P(ϕ(X) ≤ t) = P X ≥ ϕ (t) = 1 − P X ≤ ϕ−1 (t) = 1 − FX ϕ−1 (t)

0 −1
−1
0 ∗fY (t) = FY (t) = −fX ϕ (t) ϕ (t) avec fY est la densité de probabilité de Y et FY sa fonction de répartition. Exercice: Soit X une v.a.c de densité fX et de fonction de répartition FX. Soit Y = aX + b. Déterminer la loi de Y et calculer E(Y) et V(Y) en fonction de E(X) et V(X). 54 / 56 Proposition: Si X est une variable aléatoire de densité fX , la densité fY de la variable aléatoire Y = aX + b(a 6= 0), est donnée par:   1 t−b fY (t) = fX |a| a Proposition: Soit X une variable aléatoire de loi N µ, σ 2. La variable aléatoire
Y = aX + b (a et b deux réels, a 6= 0 ) est de loi N aµ + b, a2 σ 2
55 / 56 56 / 56 Loi Normale centrée réduite Probabilité de trouver une valeur inférieure à x. f(x) −∞ 0 x +∞ − u2 F (x ) = ∫ x 1 2 e du −∞ 2π X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9