Chapitre 2 Probabilités PDF

# Module: Mathématiques 3 ## Chapitre III: Calcul des Probabilités **Atmane El Houch** **27 novembre 2024** ## Plan 1. Introduction 2. Vocabulaire probabiliste 3. Probabilité * Propriétés de base * Probabilités élémentaires * Le cas de l'équiprobabilité 4. Probabilité Conditionnelle...

# Module: Mathématiques 3 ## Chapitre III: Calcul des Probabilités **Atmane El Houch** **27 novembre 2024** ## Plan 1. Introduction 2. Vocabulaire probabiliste 3. Probabilité * Propriétés de base * Probabilités élémentaires * Le cas de l'équiprobabilité 4. Probabilité Conditionnelle 5. Indépendance ## Objectif Le but de ce chapite est de mettre en place un cadre théorique pour le calcul des probabilités, dans le cas où l'univers est fini ou infini dénombrable. L'approche via les arbres pondérés est remplacée par des raisonnements sur les événements, qui nécessitent la maitrise des formules littérales, des opérations sur les ensembles et plus de rigueur et de rédaction en général. ## Introduction Le calcul des probabilités est la science qui modélise les expériences dont l'issue n'est pas prévisible à priori. Le jet d'un dé, le tirage du Loto sont des exemples classiques de ces expériences, dites aléatoires. Une modélisation implique une simplification des phénomènes observés dans ces expériences, mais cette simplification conduit à une quantification, donc à la possibilité de faire des calculs et de prédire. ## Vocabulaire probabiliste ### Définition (Expérience aléatoire) Une expérience aléatoire est une expérience dont l'issue (ou résultat) ne peut être prévu. La répétition d'une telle expérience ne donne, à priori, pas le même résultat. ### Exemple 1. Le lancer d'un dé à 6 faces 2. Le lancer d'une pièce de monnaie ### Définition (L'univers) L'univers est l'ensemble de toutes les réalisations possibles d'une expérience aléatoire. Il est souvent noté Ω. Il est également appelé espace échantionnal. Une réalisation est un élément ω ∈ Ω et est appelé événement élémentaire. ### Exemple 1. Ω = {1,2,3,4,5,6}. 2. Ω = {Pile, Face}. ### Définition (Un événement) Un événement est un résultat possible d'une expérience aléatoire. Dans le cas où l'univers Ω est fini, on peut associer de manière unique un événement A à une partie (ou sous-ensemble) de Ω, que l'on note également A: A = {ω ∈ Ω/ω réalise A}. Autrement dit, si ω ∈ Ω est un résultat de l'expérience, alors ω réalise A, si et seulement si ω ∈ A. ### Exemple 1. "Obtenir un numéro impair". La partie (ou sous-ensemble) associée est A = {1; 3; 5}; 2. "Obtenir face". La partie (ou sous-ensemble) associée est A = {Face}. ### Définition Un événement est dit événement élémentaire lorsque la partie associée est réduite à un élément (on parle de singleton), i.e tout résultat d'une expérience aléatoire. ### Exemple "Obtenir 5 " est un événement élémentaire, associé au singleton {5}. ### Définition Un événement est dit : * Certain s'il est toujours réalisé (c'est alors Ω); * Impossible s'il n'est jamais réalisé (c'est alors Ø). ### Définition Soit A un événement de Ω. Le complémentaire de A est appelé événement contraire de A. La partie contraire de A associée est la partie constituée de tous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. Autrement dit, Ā = Ω\A. Il est noté A. ### Exemple Soit A l'événement "obtenir un nombre pair". La partie associée est A = {2; 4; 6}. L'événement contraire est A : "obtenir un nombre impair". La partie associée est Ā = {1; 3; 5}. ### Définition Un événement A est dit réalisé si l'expérience aléatoire donne un résultat appartenant à A. ### Exemple A : "Obtenir un numéro pair" ⇔ A = {2; 4; 6}. ### Définition On dit que l'événement A implique l'événement B si la réalisation de l'événement A implique celle de l'événement B. En terme ensembliste, cela signifie : A implique B ⇔ A ⊆ B. ### Exemple Considérons l'expérience aléatoire suivante : on lance un dé : à 6 faces deux fois de suite. Soit A l'événement "faire un 6 au premier lancé" et B l'événement "faire au moins un 6". Les parties associées sont : A = {(6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}; B = {(6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6); (1; 6); (2; 6); (3; 6); (4; 6); (5; 6)}. L'événement A implique l'événement B, et les parties associées vérifient bien A ⊆ B. ### Définition On dit que l'événement A ou B est réalisé, si et seulement si, au moins l'un des deux événements A ou B est réalisé. La partie associée est A ∪ B. ### Exemple On reprend l'expérience précédente. Soit A l'événement "Faire un 3 au premier lancé" et B l'événement "Faire un 5 au deuxième lancé". Les parties associées sont : A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)} B = {(1; 5); (2; 5); (3; 5); (4; 5); (5; 5); (6; 5)} L'événement A ou B est "Faire un 3 au premier lancé ou un 5 au deuxième lancé" et la partie associée est : A ∪ B = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (1; 5); (2; 5); (4; 5); (5; 5); (6; 5)} ### Définition On dit que l'événement A et B est réalisé, si et seulement si, les deux événements A et B sont réalisés. La partie associée est A ∩ B. ### Exemple Reprenons l'exemple précédent. L'événement A et B est "Faire un 3 au premier lancé et un 5 au deuxième lancé" et la partie associée est : A ∩ B = {(3; 5)} ### Définition On dit que deux événements A et B sont incompatibles si l'événement A et B est impossible. Autrement dit, les événements A et B sont incompatibles si les parties A et B associées vérifient A ∩ B = Ø. ## Terminologie probabiliste | Terminologie probabiliste | Terminologie ensembliste | Notation | | ------------------------- | ------------------------ | -------- | | Événement certain | Ensemble entier | Ω | | Événement impossible | Ensemble vide | Ø | | Événement élémentaire | Singleton | {ω} | | Événement A | Ensemble A | A ⊆ Ω | | Événement contraire de A | Complémentaire de A | Ā = Ω \ A | | A ou B | A Union B | A ∪ B | | A et B | A Inter B | A ∩ B | | A et B incompatibles | A disjoints | A ∩ B = Ø | | ω¡ réalise A | ω¡ appartient à A | ω¡ ∈ A | ## Vocabulaire Probabiliste ### Définition Soit E un ensemble non vide. On dit que E est fini s'il est composé d'un nombre fini d'éléments e₁, ..., en. On dit alors que n est le cardinal de E et on note Card(E) = n *ou* |E| = n. ### Remarque Faire du dénombrement, c'est déterminer le cardinal d'un ensemble, sans avoir à établir la liste des éléments le composant. ## Vocabulaire Probabiliste ### Théorème (Formule du crible de Poincaré) * Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble fini E. Alors, Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) – Card(A ∩ B) * Soient A, B et C trois sous-ensembles d'un ensemble fini E. Alors, Card(A ∪ B ∪ C) = Card(A) + Card(B) + Card(C) – Card(A ∩ B) – Card(A ∩ C) – Card(B ∩ C) + Card(A ∩ B ∩ C) ### Remarque La formule se généralise par récurrence au cas d'une union de n sous ensembles A₁, ..., An d'un ensemble E. On donne ci-dessous le cas où les ensembles Ak sont deux à deux disjoints. ### Proposition Soient A₁, ..., An des sous-ensembles d'un ensemble fini E, deux à deux disjoints. On a, n Card ( ∪ Ak) = ∑ Card (Ak) k=1 k=1 ## Probabilité Dans toute la suite, Ω désigne un ensemble fini ou infini dénombrable et P(Ω), l'ensemble des parties de Ω. ### Définition On appelle probabilité sur un ensemble Ω fini ou infini dénombrable, toute application P de P(Ω) dans [0; 1] vérifiant : 1. P(Ω) = 1; 2. Pour tous événements incompatibles A et B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 3. Le triplet (Ω, P(Ω), P) est alors appelé espace probabilisé, et pour tout A ∈ P(Ω), P(A) s'appelle la probabilité de l'événement A. ### Exemple Soit Ω = {1, ..., 6}}, l'ensemble de réalisations d'un lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On définit P sur P(Ω) par : 1 ∀k ∈ Ω, P({k}) = 6 L'application P ainsi définie, est bien une probabilité. Elle modélise la situation classique d'un dé équilibré. ## Probabilité ### Propriétés de base ### Proposition Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé, et A, B deux événements quelconques. Alors, 1. P(Ā) = 1 – P(A). 2. P(Ø) = 0. 3. Si A ⊆ B, alors P(A) ≤ P(B). 4. P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B). 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). ### Proposition : Formule du crible de Poincaré 1. Si A1,..., Ak est une famille d'événements deux à deux incompatibles, alors, k P ( ∪ Aj) = ∑ P(Aj) j=1 j=1 2. Si A, B et C sont trois événements quelconques, alors P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). ## Probabilité ### Probabilités élémentaires ### Théorème Soit (Ω, P(Ω), P)) un espace probabilisé fini et A ∈ P(Ω) un événement. Si A = {w₁, . . ., wk}, alors on a, k P(A) = ∑ P({w}) i=1 On les note aussi pi et la probabilité P est complètement définie par le choix des P({w;}). ### Probabilité sur un ensemble fini Une probabilité sur un ensemble fini est tout simplement une suite {p₁, ..., pn} de nombre positifs telle que n ∑- Ρi = 1. i=1 ## Probabilité ### Le cas de l'équiprobabilité ### Définition Soit Ω = {1, ..., wn}. On dit que les événements élémentaires sont équiprobables s'ils ont la même probabilité d'apparition. i.e si Pi = 1, Vi. ### Définition Deux événements A et B sont dits équiprobables si ils ont la même probabilité, c'est-à-dire si P(A) = P(B). On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables. ### Remarque Les situations d'équiprobabilité sont très nombreuses. Citons par exemple le lancer d'une pièce ou d'un dé équilibré, le tirage au hasard d'une boule dans une urne (on dit souvent "indiscernable au toucher" pour supposer l'équiprobabilité), d'une carte dans un jeu, d'une personne dans un échantillon, etc. Il faut cependant bien faire attention à ne pas voir de l'équiprobabilité dans toutes les situations! ### Théorème On suppose que l'espace probabilisé (Ω, P(Ω, P)) est en situation d'équiprobabilité. Alors, pour tout événement A, on a P(A) = Card(A) / Card(Ω) ### Remarque Dans le cas d'un espace probabilisé fini en situation d'équiprobabilité, le calcul des probabilités se ramène donc à un calcul de dénombrement. On peut alors utiliser les méthodes vues dans le chapitre précédent. ### Principe à suivre pour résoudre un exercice en probabilité 1. Définir l'éxpérience aléatoire & et trouver l'univers Ω. C'est la phase la plus importante. 2. Chercher le Cardinal de Ω : Card(Ω). 3. Définir l'événement dont on veut lui calculer la probabilité en lui attribuant un nom "A" par exemple. 4. Chercher le Cardinal de A en s'appuyant sur le dénombrement (chapitre précédent). 5. Appliquer la formule de probabilités pour répondre aux questions. ### Le cas de l'équiprobabilité ### Exemple Une urne contient 7 boules blanches et 5 boules noires, on tire 3 boules de l'urne simultanément et sans remise. Quelle est la probabilité d'avoir 3 boules blanches. ## Solution de l'exemple * L'expérience aléatoire & est de tirer 3 boules de l'urne contenant au total 12 boules sans remise et sans ordre. * Ω = Ensemble de toutes les éventualités possibles, c-à-d tirer 3 boules parmi 12, comme le tirage se fait sans remise et l'ordre n'a pas d'importance, il s'agit bien du nombre de combinaison de 3 parmi 12, le cardinal de Ω est C12³. * Soit E l'événement "avoir 3 boules blanches". * On a, Card(E) = le choix de 3 boules blanches parmi 7 c'est C7³. * Finalement P(E) = Card(E) / Card(Ω) = C7³ / C12³.