Probabilités: 1er Médecine Dentaire PDF

er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T Probabilités Introduction Les premières personnes à s’être intéressées aux problè...

er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T Probabilités Introduction Les premières personnes à s’être intéressées aux problèmes des probabilités furent des mathématiciens français, Blaise Pascal et Pierre de Fermat qui répondaient aux questions soulevées par un adepte des jeux de hasard, le chevalier de Méré. A cette époque, la théorie des probabilités se développa uniquement en relation avec les jeux de hasard. Mais avec Pierre Simon Laplace et Karl Friedrich Gauss , les bases de la théorie furent étendues à d’autres applications et phénomènes. Le calcul des probabilités fournit une modélisation efficace des situations non déterministes c’est-à-dire des phénomènes aléatoires ou stochastiques. En ce qui concerne les premiers, le résultat d’une expérience suit une loi rigoureuse connue (taux de croissance d’une population bactérienne). On peut donc ainsi prévoir le résultat pour un évènement donné. En revanche dans le cas des phénomènes aléatoires, le résultat de l’expérience n’est pas connu avec certitude mais fluctue autour d’un résultat moyen qui est régit par une loi (transmission des caractères selon la loi de Mendel). Il existe deux manières d’introduire la notion de probabilité : La probabilité a priori, « subjective » d’un évènement est un nombre qui caractérise la croyance que l’on a qu cet évènement est réalisé avec plus ou moins de certitude avant l’exécution de l’expérience : l’évènement est réalisé (probabilité 1) et l’évènement n’est pas réalisé (probabilité 0). La probabilité empirique assimilée à une fréquence est définie à partir d’expériences indéfiniment renouvelables. La probabilité d’un évènement est alors la fréquence d’apparition de cet évènement. Enfin le calcul des probabilités utilise l’analyse combinatoire ainsi que la théorie des ensembles. 1 Espace fondamental et évènements La théorie des ensembles qui est succinctement présentée dans ce chapitre constitue un outil puissant dans plusieurs branches des mathématiques, notamment en probabilités. 1.1 Définitions En face de situations dont l’issue est incertaine, on a bien souvent envie d’attribuer à chacune des éventualités possibles une vraisemblance plus ou moins grande. Afin de donner une rigueur mathématique à ce concept, il est nécessaire tout d’abord de donner quelques définitions. Une expérience ou une épreuve est qualifiée d’aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner des résultats différents. Le résultat d’une expérience noté  constitue une éventualité ou un événement élémentaire. l’ensemble des évènements élémentaires possibles pour une expérience aléatoire donnée constitue l’espace fondamental appelé univers ou univers des possibles noté . Exemple 1  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 08 Mr : BENHAMOUD.T Lors d’un contrôle sanguin, l’ensemble des résultats possibles si l’on s’intéresse (1) au groupe sanguin et au facteur rhésus d’un individu est    A , A , B , B  , AB , AB , O , O  (2) au nombre de globules blancs     1, 2,3, 4,....., n (3) au taux de glycémie   0,15 au-delà de 15, l’individu n’est plus en état de subir une prise de sang. Ainsi pour une même épreuve, l’univers  peut être fini (toutes les éventualités sont connues : cas 1) ou infini (toutes les éventualités ne sont pas connues : cas 2 et 3). Dans ces deux derniers cas, l’univers peut être dénombrable si on peut numéroter les éventualités connues (cas 2) ou bien continu comme dans le cas du taux de glycémie (cas3). Un évènement quelconque A est un ensemble d’évènements élémentaires et constitue une partie de l’univers des possibles  dont on sait dire à l’issue de l’épreuve s’il est réalisé ou non. Si   A , alors A est réalisé. Mais si   A alors A n’est pas réalisé et c’est A , l’évènement contraire qui est réalisé. Un évènement est donc une assertion relative aux résultats d’une expérience. Il est possible qu’un évènement ne soit constitué que d’un seul évènement élémentaire. Les évènements sont représentés par des lettres majuscules, A, B, A1 , A2 etc. Exemple : Dans l’exemple concernant les groupes sanguins, - l’évènement A « l’individu est de rhésus positif » est représenté par A   A , B , AB , O  avec A   - l’évènement B « l’individu est donneur universel » est représenté par : B  O  Un seul évènement élémentaire Dans le cadre de cet exemple, l’évènement A est réalisé si le résultat du typage donne l’un des 4 groupes sanguins A , B  , AB  , O  Remarque : Pour ce même exemple, le résultat « la glycémie vaut 2 » ne constitue pas un évènement car il est impossible de savoir s’il est réalisé ou non. Toute partie de  n’est pas forcément un évènement. Ainsi il faut toujours définir après avoir déterminé l’univers  , l’ensemble des évènements E  . Si  est fini, chaque partie A de l’univers  ( A   ) est constituée d’un nombre fini d’éventualités et dans ce cas l’ensemble des évènements est tel que : E    P   l’univers des possibles Dans le cadre de ce cours, nous nous placerons dans le cas où l’ensemble des évènements de l’univers W est clairement défini. 2  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T 2.2 Evènements remarquables L’évènement impossible noté  est l’évènement qui ne peut être réalisé quelle que soit l’issue de l’épreuve. Bien que constitué d’aucune éventualité,  est considéré comme un évènement    ou   P   L’évènement certain, noté  est toujours réalisé quelle que soit l’issue de l’épreuve. Il est constitué de toutes les éventualités et l’on impose que ce soit un évènement :  P   L’évènement contraire ou complémentaire d’un évènement A , noté C A ou A est l’évènement qui est réalisé si et seulement si A ne l’est pas. Il est donc constitué des évènements élémentaires  qui ne sont pas dans A. AA Le complémentaire C A ou A correspond à la négation logique non A. Exemple : Dans l’exemple concernant les groupes sanguins, l’évènement contraire de A « l’individu est de rhésus positif » est constitué des évènements élémentaires suivant : A   A , B , AB  , O  Par définition, on obtient les relations suivantes : 1. A  A 2.    3.    2.3 Opérations sur les évènements Si l’on considère simultanément la réalisation de deux évènements A et B , il est possible d’effectuer des opérations sur ces ensembles. 2.3.1 L’intersection de deux évènements On appelle intersection de deux évènements A et B , l’évènement qui est réalisé si et seulement si A et B le sont. Il est donc constitué des éventualités appartenant à la fois à A et B. C’est un évènement noté A  B tel que : A, B  P    A  B  P   avec   A  B    Aet   B  L’intersection A  B correspond à la conjonction logique « A et B ». L’intersection des deux évènements A et B figure en vert sur le graphe ci contre. 3  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T Remarque : L’univers des possibles  n’étant pas limité uniquement aux évènements A (parties rouge et verte) et B (parties bleu et verte), l’évènement complémentaire A , est formé des parties bleu et blanche Exemple : Dans l’exemple concernant les groupes sanguins, si à l’évènement A « l’individu est de rhésus positif », on ajoute l’évènement B « l’individu possède l’allèle B », l’intersection de ces deux évènements donne : A  B   B , AB  Deux évènements A et B sont incompatibles ou disjoints, s’ils ne peuvent être réalisés simultanément. On a alors : A  B   Quelques propriétés de l’intersection (  ) : 1. A  A   2.   A  A 3. A     4. A  B  B  A 5. A   B  C    A  B   C 6. A   B  C    A  B    A  C  2.3.2 La réunion de deux évènements On appelle réunion de deux évènements A et B , l’évènement qui est réalisé si et seulement si A ou B est réalisé. Il est donc constitué des éventualités appartenant à A ou B. C’est un évènement noté A  B tel que : A, B  P    A  B  P   avec   A  B    Aou   B  La réunion A  B correspond à la disjonction logique « A ou B ». La réunion des deux évènements A et B figure en vert sur le graphe ci-contre. Remarque : La réunion de deux évènements n’est pas la somme algébrique des évènements dans la mesure où la zone de recouvrement n’est pas compatibilisée deux fois. Exemple : Dans l’exemple concernant les groupes sanguins, si à l’évènement A « l’individu est de rhésus positif », on ajoute l’évènement B « l’individu possède l’allèle B », la réunion de ces deux évènements donne : A  B   A , B , B , AB , AB , O  Quelques propriétés de la réunion (  ) : 4  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T 1. A    A 2.   A   3. A  A   4. A  B  B  A 5. A   B  C    A  B   C 6. A   B  C    A  B    A  C  1. A  B  A  B Selon les lois de Morgan, nous avons : 2. A  B  A  B 2.3.3 L’inclusion d’un évènement Un évènement A entraîne un évènement B si la réalisation de A implique celle de B. On dit que l’évènement A est inclus dans l’évènement B. A B L’implication logique A  B se traduit par l’inclusion A  B. Exemple de l’inclusion de l’évènement A en rouge dans l’évènement B en bleu. Exemple : Soit une urne contenant des billes rouges unies et des billes vertes unies et striées. Si l’on note A l’événement « obtention d’une bille striée » et B l’événement « obtention d’une bille verte », la réalisation de A implique la réalisation de B car A est inclus dans B. 2.4 Système complet d’évènements A1 , A2 ,..., An Forment un système complet d’évènements si les parties A1 , A2 ,..., An de  constituent une partition de i  1,..., n : Ai    telle que : i  j : Ai  A j   n A i 1 i  Un système complet d’évènements est formé de toutes les parties de  , c’est-à-dire des familles d’évènements 2 à 2 incompatibles dont la réunion constitue l’évènement certain . Le nombre de partitions possibles dans un ensemble fini de n évènements est : si Card (  ) = n alors Card ( P   ) = 2n 5  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 08 Mr : BENHAMOUD.T 2.5 Espace probabilisable Supposons que l’ensemble des évènements constitue une classe C de P   , telle que : C  P   On note  ,C  appelle espace probabilisable, 3 Probabilités Le passage d’une description de type ensembliste des phénomènes aléatoires à l’élaboration d’un véritable modèle mathématique se fait en introduisant les mesures de probabilité. 3.1 Définitions 3.1.1 Concept mathématique On appelle probabilité P toute application de l’ensemble des évènements  dans l’intervalle 0,1 , tel que : P : P     0,1 A  P  A Satisfaisant les propriétés (ou axiomes) suivantes (P1) A  P   : P  A  0 (P2) P    1 (P3) A, B  P   : A  B   alors : P  A  B   P  A  P  B  Remarque : Le concept mathématique de probabilité modélise les notions intuitives de proportion et de fréquence. Si l’on avance que la probabilité d’être immunisé contre la tuberculose est de 0,8, on modélise le fait qu’environ 80 % de la population est immunisé contre la tuberculose. 3.1.2 Probabilités combinatoires Soit  un espace fondamental fini constitué de N évènements élémentaires sur lequel on fait l’hypothèse d’équiprobabilité de réalisation des N évènements élémentaires. On suppose ainsi que tous les évènements élémentaires ont « la même chance » de se réaliser. Dans ce cas la probabilité pi d’un évènement élémentaire 1 quelconque  i est telle que : pi  avec pi  P i  N Satisfaisant (P1) avec i  1;...; n : pi  0 in (P2) p i 1 i 1 k Soit A un évènement quelconque constitué de k évènements élémentaires de  , on en déduit : P  A  N avec P  A  p i A i 6  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T card  A  nombre decas favorable Cette formule s’énonce souvent comme : P  A    card    nombre decas possible Cette formule permet de ramener les calculs de probabilités à des décomptes d’évènements élémentaires effectués par des techniques d’analyse combinatoire qui ne sont pas des probabilités. Exemples : (1) En tapant 5 lettres au hasard sur une machine à écrire (possibilité de taper plusieurs fois sur la même touche), la probabilité d’obtenir le mot « lutte » est d'une chance sur 12 millions. En effet il y a exactement 11 881 376 mots de 5 lettres possibles (Voir Arrangement avec répétition). (2) La probabilité d’obtenir un multiple de trois lors du lancé d’un dé à 6 faces, non pipé est : A  3,6 d’où 2 1 P  A   avec k =2 et pi =1/6 6 3 3.1.3 Loi des grands nombres Si l’on répète N fois une expérience dans laquelle la probabilité d’apparition d’un évènement A est P , la fréquence k k de cet évènement au cours des N expériences, tend vers P lorsque N tend vers l’infini. N   P N N Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les lois de probabilité. Exemple : Lors d’un croisement entre plantes hétérozygotes Aa pour un caractère à dominance stricte (allèle A, forme sauvage et allèle a, forme mutée), on examine successivement deux échantillons de plantes résultant de ce croisement. N=40 fleurs N=1000 fleurs Probabilités Effectifs Fréquences Effectifs Fréquences attendues Phénotype sauvage 29 0,725 754 0,754 0,750 Phénotype 11 0,275 246 0,246 0,25 mutant 3.1.4 Espace probabilisé Nous définirons un espace probabilisé en utilisant l’axiomatique de Kolmogorov, Définition 1 : On appelle probabilité sur  ,C  une application P de C dans l’intervalle 0,1 telle que : 7  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T P    1  n  n pour tout ensemble dénombrable d’évènements incompatibles 2 à 2, on a : P   Ai    P  Ai   i 1  i 1 Définition 2 : On appelle espace probabilisé, le triplet  , C, P  Ainsi un espace probabilisé désigne un espace fondamental et ses évènements, muni d’une mesure de probabilités. 3.2 Propriétés des probabilités Des axiomes précédents découlent les propriétés additives des probabilités, d’usage permanent. 3.2.1 Additivité Cas d’évènements incompatibles Si A1 , A2 ,..., An sont n évènements incompatibles deux à deux Ai  A j  ; i  j Alors : P  A1  A2 ....  An   P  A1   P  A2  ...  P  An  La probabilité de la réunion d’un ensemble fini ou dénombrable d’évènements 2 à 2 incompatibles est égale à la  n  n somme de leur probabilité d’où : P   Ai    P  Ai   i 1  i 1 Cas de deux évènements quelconques Si A et B sont deux évènements quelconques, alors : P  A  B   P  A  P  B   P  A  B  Exemple : Dans l’exemple du lancer d’un dé à 6 faces, non pipé, on considère l’évènement A « le résultat est pair » et l’évènement B « le résultat est un multiple de trois ». On a alors : A  2, 4,6 et B  3,6 = {3,6} donc A  B  2,3, 4,6 et A  B  6 3 2 1 4 1 avec P  A  P  B  P  A  B  P  A  B  P  A  B  6 6 6 6 6 3 2 1 4 on vérifie alors que : P  A  B   P  A  P  B   P  A  B      6 6 6 6 3.2.2 Evènement contraire   Si A est un évènement quelconque, alors P A  1  P  A 8  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T Exemple : La probabilité lors du lancer d’un dé non pipé d’obtenir « plus de 2 » se traduit par A  3, 4,5,6 et A  1, 2   d’où P A  1  P  A  1  4 2 1   6 6 3 3.2.3 Evènement impossible P    0 3.2.4 Inclusion Si A  B alors P  A  P  B  3.3 Indépendance statistique 3.3.1 Définition On dit que deux évènements A et B sont indépendants si l’on a : P  A  B   P  A  P  B  Ainsi si A et B sont deux évènements statistiquement indépendants, la probabilité de la réalisation conjointe de ces deux évènements est le produit de leur probabilité respective. Remarque :.Il ne faut pas confondre évènements indépendants et évènements incompatibles Exemples : (1) Dans l’exemple du lancer d’un dé à 6 faces, non pipé, les deux évènements : A « le résultat est pair » et B « le résultat est un multiple de trois » sont statistiquement indépendants. En effet, soit A  2, 4,6 B  3,6 B = {3,6} A  B  6 3 2 1 Ainsi P  A  P  B  P  A  B  6 6 6 3 2 6 1 On vérifie alors que : P  A  B   P  A P  B      6 6 36 6 (2) Si l’on considère une famille de deux enfants, les deux évènements : A « enfants de sexe différent » et B « au plus une fille » ne sont pas statistiquement indépendants. En effet, l’espace probabilisé  , contient 4 évènements élémentaires (si l’on considère une famille ordonnée),   GG, GF , FG, FF avec A  GF , FG , B  GG, GF , FG et A  B  GF , FG  9  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T 1 3 1 d’où sous l’hypothèse d’équiprobabilité : P  A  P  B  P  A  B  2 4 2 1 3 3 1 On vérifie alors que : P  A  B   P  A P  B      2 4 8 2 (3) Quand est-il si vous considérez une famille de trois enfants ? Réponse. 3.3.2 Propriétés Les propriétés associées à l’indépendance sont : (1) si A est un évènement quelconque, A et  sont indépendants : A   A élément neutre P  A   P  A P    P  A car P    1 A et  sont indépendants : A   élément absorbant P  A   P  A P    P   car P    0 (2) si A et B sont deux évènements quelconques, A et B sont indépendants si et seulement si A et B ( A et B ) ou sont indépendants A et B sont indépendants si et seulement si A et B le sont indépendants. 3.3.3 Généralisation à n évènements n évènements ( n  2 ) , A1 , A2 ,..., An sont dit indépendants dans leur ensemble(ou mutuellement indépendants) si on a : P  A1  A2 ....  An   P  A1   P  A2  ... P  An  Remarque : n évènements peuvent être indépendants deux à deux, P  Ai  Aj   P  Ai   P  Aj  ; i  j sans être indépendants au sens de la définition ci-dessus 4 Probabilités conditionnelles 4.1 Définition Soit deux évènements A et B d’un espace probabilisé  avec P  B   0 , on appelle probabilité conditionnelle de P  A  B l’évènement « A si B » (ou « A sachant B»), le quotient P  A / B   notée PB  A P  B On définit ainsi une probabilité sur  au sens de la définition donnée précédemment. 10  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T Théorème : PB : P     0,1 Soit B un évènement de probabilité non nulle, alors : P  A  B  est une probabilité sur  A  PB  A   P  B Remarque : La probabilité P  A est appelée la probabilité a priori et P  A / B  ou PB  A la probabilité a posteriori car sa réalisation dépend de la réalisation de B. 1. P  A / A   1 On observe les relations suivantes : P  B 2. Si : B  A alors : A  B  B donc : PA  B   P  A Exemple : Soit un croisement entre hétérozygotes Aa pour un caractère à dominance stricte, quelle est la probabilité d’obtenir à la génération suivante parmi les individus de phénotype A, un individu homozygote ? L’ensemble des évènements élémentaires est :    AA, Aa, aA, aa Si h  hom ozygote et h  h étézygote P  h  A 1 1 P h / B   4  ( probabilité a posteriori) P  A 3 4 3 La probabilité a priori d’obtenir un homozygote est 1/4. 4.2 Probabilités composées Théorème : Soit deux évènements A et B d’un espace probabilisé . Alors, P  A  B   P  A / B   P  B   P  B / A  P  A Formule des probabilités composées Si A et B sont deux évènements indépendants et que P  B   0 alors ceci équivaut à affirmer que PB  A  P  A Lorsque deux évènements sont indépendants, le fait que l’un des évènements soit réalisé, n’apporte aucune information sur la réalisation de l’autre. Dans ce cas la probabilité conditionnelle PB (A) (a posteriori) est égale à la probabilité P  A (a priori). Si A et B sont deux évènements indépendants alors ceci équivaut à affirmer que PB  A  PB  A  P  A 11  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T Lorsque deux évènements sont indépendants, la probabilité conditionnelle de A est la même que ce soit B ou B qui est réalisé (voir démonstration). Exemple : Dans l’exemple du lancer d’un dé à 6 faces, non pipé, les deux évènements : A « le résultat est pair » et B « le résultat est un multiple de trois » sont indépendants Réponse :……………. 4.3 Probabilités totales Théorème : Si  A1, A2 ,..., An  est un système complet d’évènements, quel que soit l’évènement B , alors : n P  B   P  B / A1  P  A1   P  B / A2  P  A2  .....  P  B / An  P  An    P  B / Ai  P  Ai  i 1 Formule des probabilités totales Exemple : Lapin albinos Lapin non albinos 1 2 Une population animale comporte de mâles et de femelles. L’albinisme frappe 6 % des mâles et 0,36 % des 3 3 femelles. La probabilité pour qu’un individu pris au hasard soit albinos est : Si A  male et A   femelle constitue un système complet d’évènements B  albinos et B  non albinos  Sachant que P  B   P  B / A P  A  P B / A P A    12  er 1 Médecine Dentaire CHAPITRE : 02 Mr : BENHAMOUD.T  1  2 alors P  B    0.06     0.0036    0.0224 soit 2,24% d’albinos dans cette population.  3  3 4.4 Le théorème de Bayes Un corollaire au théorème des probabilités totales est connu sous le nom de formule de Bayes. Théorème : Si  A1 , A2 ,..., An  est un système complet d’évènements, et quel que soit l’évènement B tel que P  B   0 , P  B / Ai  P  Ai  Alors : P  Ai / B   P  B / A1  P  A1  .....  P  B / Ai  P  Ai  ...  P  B / An  P  An  P  B / Ai  P  Ai  Ou : P  Ai / B   Formule de Bayes  PB / A  P A  i 1 i i Remarque : La formule de Bayes est utilisée de façon classique pour calculer des probabilités de causes dans des diagnostics (maladies, pannes, etc.). L’application du théorème de Bayes est à la base de toute une branche de la statistique appelée statistique bayesienne Exemple : Dans une population pour laquelle 1 habitant sur 100 est atteint d’une maladie génétique A, on a mis au point un test  de dépistage. Le résultat du test est soit positif ( T ) soit négatif ( T ). On sait que : P T / A  0,8 et P T / A  0,9  On soumet un patient au test. Celui-ci est positif. Quelle est la probabilité que ce patient soit atteint de la maladie A soit PT  A ? Réponse : 13