Cours de Géométrie vectorielle et Applications PDF 2023-2024

Géométrie vectorielle et applications R1.04 : Mathématiques appliquées IUT de Bourges, département GMP, BUT1 Didier AUBRY, Yasmina BECIS...

Géométrie vectorielle et applications R1.04 : Mathématiques appliquées IUT de Bourges, département GMP, BUT1 Didier AUBRY, Yasmina BECIS 2023-2024 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 1/37  Sommaire 1 Définition d’un vecteur 2 Bases et composantes (2D) 3 Bases et composantes (3D) 4 Propriétés de base 5 Colinéarité et de coplanarité (2D) 6 Repère et coordonnées 7 Norme d’un vecteur 8 Produit scalaire et perpendicularité 9 Projection orthogonale (plan ou espace) R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 2/37 Définition d’un vecteur Définition d’un vecteur Définition : Un vecteur non nul est caractérisé par la combinaison de trois éléments : une direction, un sens et une longueur (appelée aussi norme). Pour dessiner un vecteur, on trace, à partir d’un point, une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 3/37 Définition d’un vecteur Définition d’un vecteur Définition : Un vecteur non nul est caractérisé par la combinaison de trois éléments : une direction, un sens et une longueur (appelée aussi norme). Pour dessiner un vecteur, on trace, à partir d’un point, une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. On note généralement les vecteurs à l’aide de minuscules → − surmontées d’une flèche : → − a , b ,..., → − u,→−v ,..., → − e1 , → − e2 ,... Plus tard, et en l’absence de toute confusion, on pourra s’affranchir des flèches. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 3/37 Définition d’un vecteur Définition d’un vecteur Définition : Un vecteur non nul est caractérisé par la combinaison de trois éléments : une direction, un sens et une longueur (appelée aussi norme). Pour dessiner un vecteur, on trace, à partir d’un point, une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. On note généralement les vecteurs à l’aide de minuscules → − surmontées d’une flèche : → − a , b ,..., → − u,→−v ,..., → − e1 , → − e2 ,... Plus tard, et en l’absence de toute confusion, on pourra s’affranchir des flèches. −→ Soient deux points A et B, on note AB le vecteur qui peut se dessiner à l’aide d’une flèche joignant A à B. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 3/37 Définition d’un vecteur Définition d’un vecteur Définition : Un vecteur non nul est caractérisé par la combinaison de trois éléments : une direction, un sens et une longueur (appelée aussi norme). Pour dessiner un vecteur, on trace, à partir d’un point, une flèche qui a la direction, le sens et la longueur souhaités. On note généralement les vecteurs à l’aide de minuscules → − surmontées d’une flèche : → − a , b ,..., → − u,→−v ,..., → − e1 , → − e2 ,... Plus tard, et en l’absence de toute confusion, on pourra s’affranchir des flèches. −→ Soient deux points A et B, on note AB le vecteur qui peut se dessiner à l’aide d’une flèche joignant A à B. −→ Le vecteur nul sera noté ⃗0. Pour tout point P, on a PP = ⃗0. Un vecteur nul a une longueur nulle, sa direction et son sens ne sont pas définis.. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 3/37 Bases et composantes (2D) Bases et composantes (2D) Soient deux droites non parallèles d1 , d2 concourantes et deux vecteurs → − e1 , → − e2 situés selon la figure ci-contre. Soit un vecteur ⃗a quelconque. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 4/37 Bases et composantes (2D) Bases et composantes (2D) Soient deux droites non parallèles d1 , d2 concourantes et deux vecteurs → − e1 , → − e2 situés selon la figure ci-contre. Soit un vecteur ⃗a quelconque. Construisons, avec des parallèles aux droites d1 et d2 , le parallélogramme dont l’une des diagonales correspond au vecteur → − a. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 4/37 Bases et composantes (2D) Bases et composantes (2D) Soient deux droites non parallèles d1 , d2 concourantes et deux vecteurs → − e1 , → − e2 situés selon la figure ci-contre. Soit un vecteur ⃗a quelconque. Construisons, avec des parallèles aux droites d1 et d2 , le parallélogramme dont l’une des diagonales correspond au vecteur → − a. On décompose ainsi le vecteur → − a en une somme de deux → − vecteurs b et c colinéaires avec les vecteurs → → − −e1 et → − e2. Il existe donc deux nombres réels a1 et a2 tels que → − b =a → −e et → 1 1 −c =a → − e 2 2 ou bien → − → − − a = b +→ c = a1 → − e1 + a2 → − e2 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 4/37 Bases et composantes (2D) Autrement dit, tout vecteur du plan peut s’exprimer de manière unique comme combinaison linéaire de deux vecteurs. C’est pourquoi le plan est un espace de dimension 2. Définition (base) : Deux vecteurs →− e1 et → − e2 du plan, qui ne sont pas colinéaires
forment, dans cet ordre, une base de V2 , notée B = →−e1 ; → − e2. On note V2 l’ensemble de tous les vecteurs du plan et V3 l’ensemble de tous les vecteurs de l’espace. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 5/37 Bases et composantes (2D) Autrement dit, tout vecteur du plan peut s’exprimer de manière unique comme combinaison linéaire de deux vecteurs. C’est pourquoi le plan est un espace de dimension 2. Définition (base) : Deux vecteurs →− e1 et → − e2 du plan, qui ne sont pas colinéaires
forment, dans cet ordre, une base de V2 , notée B = →−e1 ; → − e2. On note V2 l’ensemble de tous les vecteurs du plan et V3 l’ensemble de tous les vecteurs de l’espace. Définition (composantes) : Pour chaque vecteur → −a du plan, les nombres réels a1 et a2 , tel que → −a = a1 e1 + a2 e2 , s’appellent les composantes de → → − → − − a relativement à la base B. Pour noter un vecteur, on privilégie la notation en colonne : Å ã → − a a = 1 ⇔ → −a = a1 → − e1 + a2 → − e2 a2 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 5/37 Bases et composantes (3D) Bases et composantes (3D) Ce qui a été vu et défini dans le cas du plan se généralise au cas de l’espace en 3D. Soient trois droites non parallèles et non coplanaires d1 , d2 , d3 concourantes et trois vecteurs →− e1 , → − e2 , → − e3 situés selon la figure ci-contre. Soit encore un vecteur ⃗a quelconque. Il existe trois nombres réels a1 , a2 et a3 tels que : → − → − b = a1 → − e1 , → −c = a2 →− e2 , d = a3 →− e3 ou bien → − → − − → − a = b +→ c + d = a1 → − e1 + a2 → − e2 + a3 → − e3 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 6/37 Bases et composantes (3D) Autrement dit, tout vecteur de l’espace peut s’exprimer de manière unique comme combinaison linéaire de trois vecteurs. Cela justifie que l’on dise parfois que l’espace est de dimension 3. Définition (base) : Trois vecteurs → − e1 , → − e2 et → − e3 de l’espace, qui ne sont pas colinéaires et pas coplanaires
forment, dans cet ordre, une base de V3 , notée B= → − e1 ; → − e2 ; → − e3. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 7/37 Bases et composantes (3D) Autrement dit, tout vecteur de l’espace peut s’exprimer de manière unique comme combinaison linéaire de trois vecteurs. Cela justifie que l’on dise parfois que l’espace est de dimension 3. Définition (base) : Trois vecteurs → − e1 , → − e2 et → − e3 de l’espace, qui ne sont pas colinéaires et pas coplanaires
forment, dans cet ordre, une base de V3 , notée B= → − e1 ; → − e2 ; → − e3. Définition (composantes) : Pour chaque vecteur → −a de l’espace, les nombres réels a1 , a2 et a3 , tels que a = a1 e1 + a2 → → − → − − e 2 + a3 → − e3 , s’appellent les composantes de → −a relativement à la base B. Avec la notation en colonne : Ñ é a1 → −a = a2 ⇔ → − a = a1 → − e1 + a2 → − e2 + a3 → − e3 a3 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 7/37 Propriétés de base Propriétés de base Soit B = → − e1 ; → − e2 ; → −
e3 une base de l’espace relativement à laquelle Ñ é Ñ é a1 b1 → − → − a = a2 et b = b2 a3 b3 et soit k un nombre réel. Les propriétés suivantes sont vérifiées : Ñ é a1 + b1 → − → − a+b = a2 + b2 a3 + b3 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 8/37 Propriétés de base Propriétés de base Soit B = → − e1 ; → − e2 ; → −
e3 une base de l’espace relativement à laquelle Ñ é Ñ é a1 b1 → − → − a = a2 et b = b2 a3 b3 et soit k un nombre réel. Les propriétés suivantes sont vérifiées : Ñ é Ñ é a1 + b1 ka1 → − → − a+b = a2 + b2 k → − a = ka2 a3 + b3 ka3 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 8/37 Propriétés de base Propriétés de base Soit B = → − e1 ; → − e2 ; → −
e3 une base de l’espace relativement à laquelle Ñ é Ñ é a1 b1 → − → − a = a2 et b = b2 a3 b3 et soit k un nombre réel. Les propriétés suivantes sont vérifiées :  a1 = b1 Ñ é Ñ é a1 + b1 ka1  → − → − → − a+b = a2 + b2 k → − a = ka2 → − a = b ⇔ a2 = b2 a3 + b3 ka3  a3 = b3  R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 8/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Colinéarité et de coplanarité (2D) Définition (vecteurs colinéaires) : Des vecteurs du plan ou de l’espace sont dits colinéaires s’il est possible de les représenter sur une même droite. −→ −→ (les vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si les trois points A, B et C sont alignés) R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 9/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Colinéarité et de coplanarité (2D) Définition (vecteurs colinéaires) : Des vecteurs du plan ou de l’espace sont dits colinéaires s’il est possible de les représenter sur une même droite. −→ −→ (les vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si les trois points A, B et C sont alignés) Définition (vecteurs coplanaires) : Des vecteurs de l’espace sont coplanaires s’il est possible de les représenter dans un même plan. Remarques : Deux vecteurs de l’espace sont toujours coplanaires. Trois vecteurs de l’espace, dont deux sont colinéaires, sont toujours coplanaires R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 9/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Tests de colinéarité Ö è Ö è a1 b1 → − a → − Soient deux vecteurs a = 2 et b = b2 du plan....... Test de colinéarité I : Pour déterminer si deux vecteurs du plan ou de l’espace sont colinéaires, il faut simplement vérifier si l’un est le produit de l’autre par un nombre réel k : a1 a2 k= = = ··· b1 b2 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 10/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Tests de colinéarité Ö è Ö è a1 b1 → − a → − Soient deux vecteurs a = 2 et b = b2 du plan....... Test de colinéarité I : Pour déterminer si deux vecteurs du plan ou de l’espace sont colinéaires, il faut simplement vérifier si l’un est le produit de l’autre par un nombre réel k : a1 a2 k= = = ··· b1 b2 → − Test de colinéarité II (2D) : Deux vecteurs du plan → − a et b sont colinéaires si Ä → −ä det → −a; b =0 → − où det() est appelé le déterminant des vecteurs → − a et b défini par le nombre : Ä → −ä a b det →−a ; b = 1 1 = a1 b2 − a2 b1 a2 b2 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 10/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples → − Å ã Å ã 1 3 Les vecteurs du plan → − a = et b = sont-ils colinéaires ? 4 12 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 11/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples → − Å ã Å ã 1 3 Les vecteurs du plan → −a = et b = sont-ils colinéaires ? 4 12 3 12 → − Oui car = = 3 donc b = 3→ − a. 1 4 Ou de manière équivalente : Ä →−ä 1 3 det → − a; b = = 1 × 12 − 3 × 4 = 0. 4 12 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 11/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples → − Å ã Å ã 1 3 Les vecteurs du plan → −a = et b = sont-ils colinéaires ? 4 12 3 12 → − Oui car = = 3 donc b = 3→ − a. 1 4 Ou de manière équivalente : Ä →−ä 1 3 det → − a; b = = 1 × 12 − 3 × 4 = 0. 4 12 → − Å ã Å ã 2 1 Les vecteurs du plan → − c = et d = sont-ils colinéaires ? 0 1 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 11/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples → − Å ã Å ã 1 3 Les vecteurs du plan → −a = et b = sont-ils colinéaires ? 4 12 3 12 → − Oui car = = 3 donc b = 3→ − a. 1 4 Ou de manière équivalente : Ä →−ä 1 3 det → − a; b = = 1 × 12 − 3 × 4 = 0. 4 12 → − Å ã Å ã 2 1 Les vecteurs du plan → − c = et d = sont-ils colinéaires ? 0 1 Ä → − Non car det →− ä c ; d = 2 × 1 − 0 × 1 = 2 ̸= 0. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 11/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Tests de coplanarité Test de coplanarité I : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si deux de ces vecteurs sont colinéaires. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 12/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Tests de coplanarité Test de coplanarité I : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si deux de ces vecteurs sont colinéaires. Test de coplanarité II : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si et seulement si l’un de ces trois vecteurs peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 12/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Tests de coplanarité Test de coplanarité I : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si deux de ces vecteurs sont colinéaires. Test de coplanarité II : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si et seulement si l’un de ces trois vecteurs peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres. Exemple : Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 2 −3 6 → − → − a = −1 , b = 0 , →−c = −3 5 2 15 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 12/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Tests de coplanarité Test de coplanarité I : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si deux de ces vecteurs sont colinéaires. Test de coplanarité II : Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires si et seulement si l’un de ces trois vecteurs peut s’écrire comme combinaison linéaire des deux autres. Exemple : Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 2 −3 6 → − → − a = −1 , b = 0 , →−c = −3 5 2 15 Réponse : oui car → − c = 3→− a,→ − a et → − c sont colinéaires donc les 3 vecteurs sont dans le même plan. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 12/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 3 5 13 → − → − a = 0 , b = 1 , → − c = 2 1 4 9 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 13/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 3 5 13 → − → − a = 0 , b = 1 , → − c = 2 1 4 9 → − Réponse : oui car → −c =→−a + 2 b , le vecteur → − c s’écrit comme une → − → − combinaison linéaire de a et de b , donc les 3 vecteurs sont dans le même plan. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 13/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 3 5 13 → − → − a = 0 , b = 1 , → − c = 2 1 4 9 → − Réponse : oui car → −c =→−a + 2 b , le vecteur → − c s’écrit comme une → − → − combinaison linéaire de a et de b , donc les 3 vecteurs sont dans le même plan. Exemple : Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 2 0 6 → − → − → − a = −1 , b = 2 , c = −11 5 3 4 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 13/37 Colinéarité et de coplanarité (2D) Exemples Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 3 5 13 → − → − a = 0 , b = 1 , → − c = 2 1 4 9 → − Réponse : oui car → −c =→−a + 2 b , le vecteur → − c s’écrit comme une → − → − combinaison linéaire de a et de b , donc les 3 vecteurs sont dans le même plan. Exemple : Les vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ? Ñ é Ñ é Ñ é 2 0 6 → − → − → − a = −1 , b = 2 , c = −11 5 3 4 Réponse : non car aucun des tests n’est concluant. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 13/37 Repère et coordonnées Repère et coordonnées (2D) Soient O, E1 et E2 trois points non alignés. −−→ − −−→ Soient encore → − e1 = OE1 et → e2 = OE2 deux vecteurs. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 14/37 Repère et coordonnées Repère et coordonnées (2D) Soient O, E1 et E2 trois points non alignés. −−→ − −−→ Soient encore →− e1 = OE1 et →e2 = OE2 deux vecteurs. B= → − e1 ; → −
e2 est une base du plan. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 14/37 Repère et coordonnées Repère et coordonnées (2D) Soient O, E1 et E2 trois points non alignés. −−→ − −−→ Soient encore →− e1 = OE1 et →e2 = OE2 deux vecteurs. B= → − e1 ; → −
e2 est une base du plan. Si, à cette base, on associe le point
O, on forme un repère du → − → − plan que l’on note R = O; e1 ; e2. On dit que le point O est l’origine du repère. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 14/37 Repère et coordonnées Repère et coordonnées (2D) Soient O, E1 et E2 trois points non alignés. −−→ − −−→ Soient encore →− e1 = OE1 et →e2 = OE2 deux vecteurs. B= → − e1 ; → −
e2 est une base du plan. Si, à cette base, on associe le point
O, on forme un repère du → − → − plan que l’on note R = O; e1 ; e2. On dit que le point O est l’origine du repère. Les coordonnées a1 et a2 d’un point A de IR2 relativement au −→ repère R sont par définition les composantes du vecteur OA dans la base associée à ce repère. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 14/37 Repère et coordonnées Plus succinctement : −→ Å ã → − a A (a1; a2) ⇔ a = OA = 1 a2 a1 est l’abscisse du point A et a2 est l’ordonnée du point A. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 15/37 Repère et coordonnées Il est important de ne pas confondre les notations utilisées pour l’ensemble V2 des vecteurs du plan avec celles utilisées pour l’ensemble IR2 des points du plan. Le tableau suivant rappelle les distinctions à faire : V2 IR2 Vecteur →−a = a (caractère
gras) Point A → − Base B = e1 ; e2 → − Repère R = O; → − e1 ; → − e2
−→ Å ã a a=→ − a = OA = 1 A (a1; a2) a2 a1 et a2 sont les composantes a1 et a2 sont les coordonnées du vecteur →−a du point A relativement à la base B relativement au repère R R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 16/37 Repère et coordonnées Repère et coordonnées (3D) Ce qui a été vu et défini dans le cas du plan se généralise au cas de l’espace. Soient O, E1 , E2 et E3 quatre points non coplanaires. −−→ − −−→ − −−→ Soient → − e1 = OE1 , → e2 = OE2 et →e3 = OE3 trois vecteurs. B= → − e1 ; → − e2 ; → −
e3 est une base de l’espace. Si, à cette base, on associe le point O, on
forme un repère de l’espace que l’on note R = O; → − e1 ; → − e2 ; → − e3. Le point O est l’origine du repère. Les coordonnées a1 , a2 , a3 d’un point A de IR3 relativement −→ au repère R sont les composantes du vecteur OA dans la base associée au repère. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 17/37 Repère et coordonnées Repère et coordonnées (3D) Ñ é a1 → − −→ A (a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = OA = a2 a3 a1 est l’abscisse du point A, a2 est l’ordonnée du point A et a3 est la cote du point A. On donne relativement à un repère R d’origine O de l’es- pace les points A (a1 ; a2 ; a3 ) et B (b1 ; b2 ; b3 ) , alors on a Ñ é b1 − a1 −→ −→ −→ AB = OB − OA = b2 − a2 b3 − a3 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 18/37 Norme d’un vecteur Norme d’un vecteur Définition : La norme du vecteur → −a , notée → − a , est la longueur de l’un des → − représentants du vecteur a. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 19/37 Norme d’un vecteur Norme d’un vecteur Définition : La norme du vecteur → −a , notée → − a , est la longueur de l’un des → − représentants du vecteur a. → − Propriétés : Soient les vecteurs → − a et b et le nombre réel k, on a : → − → − a =0 ⇔ → −a = 0 k→ −a = |k| × → −a → − → − → − a + b ≤ → − a + b (inégalité triangulaire) R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 19/37 Norme d’un vecteur Norme d’un vecteur Définition : La norme du vecteur → −a , notée → − a , est la longueur de l’un des → − représentants du vecteur a. → − Propriétés : Soient les vecteurs → − a et b et le nombre réel k, on a : → − → − a =0 ⇔ → −a = 0 k→ −a = |k| × → −a → − → − → − a + b ≤ → − a + b (inégalité triangulaire) Définition (vecteur unitaire) : Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire. → − Si → − a ̸= 0 , alors le vecteur − 1 →− a , noté → − a u , est un vecteur ∥→a∥ unitaire, de même direction et de même sens que → − a. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 19/37 Norme d’un vecteur Repère orthonormé direct Définition : Considérons un repère et sa base associée. On dit que ce repère est orthonormé direct si les vecteurs de base sont tous unitaires et si ces vecteurs sont deux à deux perpendiculaires et orientés comme sur l’une ou l’autre des figures ci-dessous. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 20/37 Norme d’un vecteur Théorème : Ñ é Å ã a1 a La norme d’un vecteur a = 1 du plan (→ → − − a = a2 dans a2 a3 l’espace) est donnée par : → − → − »  »  a = a12 + a22 a = a12 + a22 + a32 La démonstration de ces résultat est très simple en utilisant le théorème de Pythagore (sur la figure ci-dessous). R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 21/37 Norme d’un vecteur Exemples → − Å ã Å ã −2 0 Soient deux vecteurs du plan → −a = et b =. 3 9 → − Calculer la norme des vecteurs → − a et → − v = −2→ −a + b. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 22/37 Norme d’un vecteur Exemples → − Å ã Å ã −2 0 Soient deux vecteurs du plan → −a = et b =. 3 9 → − Calculer la norme des vecteurs → − a et → − v = −2→ −a + b. Réponsesp: √ → −a = (−2)2 + 32 = 13 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 22/37 Norme d’un vecteur Exemples → − Å ã Å ã −2 0 Soient deux vecteurs du plan → −a = et b =. 3 9 → − Calculer la norme des vecteurs → − a et → − v = −2→ −a + b. Réponsesp: √ → −a = (−2)2 + 32 = 13 → − Å ã Å ã Å ã → − −2 0 4 v = −2→ −a + b = −2 × + = , d’où 3 9 3 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 22/37 Norme d’un vecteur Exemples → − Å ã Å ã −2 0 Soient deux vecteurs du plan → −a = et b =. 3 9 → − Calculer la norme des vecteurs → − a et → − v = −2→ −a + b. Réponsesp: √ → −a = (−2)2 + 32 = 13 → − Å ã Å ã Å ã → − −2 0 4 v = −2→ −a + b = −2 × + = , d’où 3 9 3 → − √ √ v = 42 + 32 = 25 = 5. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 22/37 Norme d’un vecteur Exemples → − Å ã Å ã −2 0 Soient deux vecteurs du plan → −a = et b =. 3 9 → − Calculer la norme des vecteurs → − a et → − v = −2→ −a + b. Réponsesp: √ → −a = (−2)2 + 32 = 13 → − Å ã Å ã Å ã → − −2 0 4 v = −2→ −a + b = −2 × + = , d’où 3 9 3 → − √ √ v = 42 + 32 = 25 = 5. Ñ é −1 Calculer la norme du vecteur → − a = 2. −2 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 22/37 Norme d’un vecteur Exemples → − Å ã Å ã −2 0 Soient deux vecteurs du plan → −a = et b =. 3 9 → − Calculer la norme des vecteurs → − a et → − v = −2→ −a + b. Réponsesp: √ → −a = (−2)2 + 32 = 13 → − Å ã Å ã Å ã → − −2 0 4 v = −2→ −a + b = −2 × + = , d’où 3 9 3 → − √ √ v = 42 + 32 = 25 = 5. Ñ é −1 Calculer la norme du vecteur → − a = 2. −2 Réponse : → − p √ a = (−1)2 + 22 + (−3)2 = 14 R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 22/37 Produit scalaire et perpendicularité Produit scalaire et perpendicularité Définition (vecteurs perpendiculaires) : Deux vecteurs non nuls sont dits perpendiculaires (ou orthogonaux) s’ils sont portés par deux droites perpendiculaires. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 23/37 Produit scalaire et perpendicularité Produit scalaire et perpendicularité Définition (vecteurs perpendiculaires) : Deux vecteurs non nuls sont dits perpendiculaires (ou orthogonaux) s’ils sont portés par deux droites perpendiculaires. Définition (produit scalaire) : → − Å ã Å ã a b Soient →− a = 1 et b = 1 deux vecteurs du plan. a2 b2 Le produit scalaire est nombre noté et défini par → − → − → − a. b = ⟨→ − a , b ⟩ = a1 b1 + a2 b2 → − Dans l’espace, le produit scalaire des vecteurs → − a et b est donné → − par → − a. b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 23/37 Produit scalaire et perpendicularité Produit scalaire et perpendicularité Définition (vecteurs perpendiculaires) : Deux vecteurs non nuls sont dits perpendiculaires (ou orthogonaux) s’ils sont portés par deux droites perpendiculaires. Définition (produit scalaire) : → − Å ã Å ã a b Soient →− a = 1 et b = 1 deux vecteurs du plan. a2 b2 Le produit scalaire est nombre noté et défini par → − → − → − a. b = ⟨→ − a , b ⟩ = a1 b1 + a2 b2 → − Dans l’espace, le produit scalaire des vecteurs → − a et b est donné → − par → − a. b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3. Théorème : → − Les vecteurs → −a et b sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si et seulement si leur produit scalaire est nul. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 23/37 Produit scalaire et perpendicularité Exemples → − Å ã Å ã → − −8 6 Soient deux vecteurs du plan a = et b =. 3 16 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 24/37 Produit scalaire et perpendicularité Exemples → − Å ã Å ã → − −8 6 Soient deux vecteurs du plan a = et b =. 3 16 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par → − → − a. b = (−8) × 6 + 3 × 16 = −48 + 48 = 0 ; R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 24/37 Produit scalaire et perpendicularité Exemples → − Å ã Å ã → − −8 6 Soient deux vecteurs du plan a = et b =. 3 16 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par → − → − a. b = (−8) × 6 + 3 × 16 = −48 + 48 = 0 ; → − les vecteurs → − a et b sont donc perpendiculaires. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 24/37 Produit scalaire et perpendicularité Exemples → − Å ã Å ã → − −8 6 Soient deux vecteurs du plan a = et b =. 3 16 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par → − → − a. b = (−8) × 6 + 3 × 16 = −48 + 48 = 0 ; → − les vecteurs → − a et b sont donc perpendiculaires. Ñ é Ñ é 1 3 → − Soient deux vecteurs de l’espace →− c = 0 et d = 1. −2 1 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 24/37 Produit scalaire et perpendicularité Exemples → − Å ã Å ã → − −8 6 Soient deux vecteurs du plan a = et b =. 3 16 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par → − → − a. b = (−8) × 6 + 3 × 16 = −48 + 48 = 0 ; → − les vecteurs → − a et b sont donc perpendiculaires. Ñ é Ñ é 1 3 → − Soient deux vecteurs de l’espace →− c = 0 et d = 1. −2 1 Le produit scalaire de ces 2 vecteurs est donné par → − → − c. d = 1 × 3 + 0 × 1 + (−2) × 1 = 1 ; → − les vecteurs → − a et b ne sont donc pas perpendiculaires. R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 24/37 Produit scalaire et perpendicularité Propriétés du produit scalaire → − Propriétés : Soient → − a , b et → − c des vecteurs du plan ou de l’espace, et soit k un nombre réel. → − → − −∗ → −a. b = b.→ a (commutativité) → − → − → − k( a. b ) = (k a ). b = → → − → − − a.(k b ) → − − → − − → → −a.( b + →c)=→ −a.b +→ a.− c (distributivité I) → − → − → − → − → − → − → − ( a + b ). c = a. c + b. c (distributivité II) → −a.→ −a = → − 2 a − → − → ∗. On priviligiera la notation − → a. b à celle de ⟨− → a, b⟩ R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 25/37 Projection orthogonale (plan ou espace) Projections orthogonales (plan ou espace) Définition : → − Soit b un vecteur non nul et → −a un vecteur quelconque. On → − appelle projection orthogonale de → − a sur b , notée proj− → − → ( a ), b → − l’unique vecteur qui est colinéaire avec le vecteur b et tel que le → − vecteur −→−a + proj− → − → ( a ) soit perpendiculaire au vecteur b. b Théorème : → − La projection orthogonale du vecteur → − a sur le vecteur b dans le plan ou dans l’espace vérifie : → − → − → − → − a.b → − → − |→ − a.b| proj− →( a ) = × b proj− →( a ) = → − b → − 2 b b b R1.04 : Mathématiques appliquées Géométrie vectorielle et applications 26/37 Angle entre 2 vecteurs (plan ou espace) Angle entre 2 vecteurs (plan ou espace) Définition : L’angle de deux vecteurs est égal à l’angle formé par deux flèches partant du même point et représentant ces vecteurs. Propositions : → − Soient → − a et b deux vecteurs du plan ou de l’espace : → − → − L’angle formé par → − a et b est aigu ⇔ → −a.b >0 → − → − L’angle formé par → − a et b est obtus ⇔ → − a.b