Notes de Cours Algèbre Linéaire et Géométrie Vectorielle Automne 2022 - PDF

ÉTAPE 4 : TRANSFORMATION LINÉAIRE, VECTEURS ET VALEURS PROPRES PARTIE 1 : TRANSFORMATIONS LINÉAIRES Les transformations linéaires permettent de transformer un espace (transformer des figures géométriques). Dans cette section du cours, nous étudierons les transformations linéaires de [ℝ^2^]{.math.i...

ÉTAPE 4 : TRANSFORMATION LINÉAIRE, VECTEURS ET VALEURS PROPRES PARTIE 1 : TRANSFORMATIONS LINÉAIRES Les transformations linéaires permettent de transformer un espace (transformer des figures géométriques). Dans cette section du cours, nous étudierons les transformations linéaires de [ℝ^2^]{.math.inline}, mais on peut faire la même chose avec des transformations dans un espace de dimension supérieure. Dans tout ce chapitre, nous supposeront que les coordonnées de points et les composantes des vecteurs sont toutes dans un même repère orthonormé de [ℝ^2^ou ℝ^3^.]{.math.inline} Nous allons aussi écrire les coordonnées des points et les composantes des vecteurs sous forme de matrices colonnes : \ [\$\$P\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix}\\text{\\ \\ et\\ \\ }\\overrightarrow{v} = \\begin{pmatrix} v\_{1} \\\\ v\_{2} \\\\ \\end{pmatrix}\$\$]{.math.display}\ **Définition :** Une transformation dans [ℝ²]{.math.inline} est une fonction à 2 variables. \ [*T*   :  ℝ^2^ → ℝ^2^]{.math.display}\ [\$\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix} \\longmapsto T\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x\' \\\\ y\' \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline} [\$\\begin{pmatrix} x\' \\\\ y\' \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline} est l'image du point [\$\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline} par [*T*]{.math.inline}. **Note :** On peut appliquer [*T*]{.math.inline} à des points ou à des vecteurs (puisque nos points sont définis, dans notre repère, comme des vecteurs) [Exemple] : Soit la fonction [*T*~1~]{.math.inline} définie par [\$T\_{1}\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2x + y \\\\ x + y \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline} alors [\$T\_{1}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ - 2 \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ - 1 \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline} Voici un exemple d'une transformation non-linéaire et de plusieurs transformations linéaires. +-----------------------------------------------------------------------+ | **Définition** | | | | Une transformation dans [ℝ^2^]{.math.inline} est dites linéaire si | | elle satisfait aux deux conditions suivantes : | | | | où [*u⃗*, *v⃗*  ∈ ℝ^2^ *k* ∈ ℝ]{.math.inline}. | +-----------------------------------------------------------------------+ **[\ ]** **Propriétés géométriques des transformations linéaires** **Propriétés** 1\) Préservation de l'origine et du vect. nul : **2)** Préservation du parallélisme : [*u⃗* = *kv⃗*  →  T(*u⃗*) = *T*(*kv⃗*) = *kT*(*v⃗*)]{.math.inline}Une image contenant croquis, prise, noir et blanc Description générée automatiquement 3\) Fermeture de la transformation linéaire pour les points et vecteurs :  4\) Préservation de la colinéarité : de 2 et 3. Une image contenant ligne, noir et blanc Description générée automatiquement **À retenir :** Une transformation linéaire envoie des droites sur des droites. **Les matrices et les transformations linéaires** **[Définition :]** Soit [*T*]{.math.inline} une transformation de [ℝ²]{.math.inline} dans [ℝ²]{.math.inline}. On dit que [*T*]{.math.inline} est *représentable* par une matrice [*M*]{.math.inline} si [\$T\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix} = M\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix}\\ \$]{.math.inline}quel que soit [\$\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline}. Notation [T ou T]{.math.inline}~M~ **[Matrice]** [**2** **×** **2**]{.math.inline} Soit. Ainsi, est aussi un vecteur de dimension [2 × 1]{.math.inline}. Par les propriétés de la multiplication matricielle : 1. (Associativité de la multiplication par un scalaire) 2. (Distributivité) [Exemple] : Si [\$M = \\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ - 2 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} et [*v⃗* = (2, 3)]{.math.inline}, alors [\$T\_{M}\\left( \\overrightarrow{v} \\right) = \\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ - 2 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 3 \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 11 \\\\ - 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline}. **Comment trouver la matrice d'une transformation linéaire?** ***[Méthode:] On peut, de façon similaire à ce qu\'on a fait pour obtenir la formule de la méthode de la matrice inverse, déduire la formule pour trouver la matrice M.*** \ [*MP*~*o*~ = *P*~*t*~ ⇔ *MP*~*o*~*P*~*o*~^ − 1^ = *P*~*t*~*P*~*o*~^ − 1^  ⇔ *M* = *P*~*t*~*P*~*o*~^ − 1^ ]{.math.display}\ \ [*M* = *P*~*t*~*P*~*o*~^ − 1^ ]{.math.display}\ \ [ ]{.math.display}\ ***\*La matrice*** ***permet la transformation linéaire inverse*** [*T*′]{.math.inline}***!*** ***Il nous suffit donc de trouver la matrice inverse des points originaux.*** Exemple : Une transformation linéaire représentée par une matrice transforme les points en points. [\$Po = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 5 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} et [\$Pt = \\begin{bmatrix} 5 & 8 \\\\ 1 & 2 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} [\|Po]{.math.inline}\| [*cof*(*Po*)]{.math.inline}= [Po]{.math.inline}^-1^ = M = Vérifions [\$M\\overrightarrow{\\text{OA}} = \\begin{bmatrix} - 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \\\\ \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 3 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline}=[\$\\begin{bmatrix} 5 \\\\ 1 \\\\ \\end{bmatrix} = A\'\$]{.math.inline} **\ ** **Exemple :** Déterminer la matrice M de la transformation linéaire transformant les points A(1,1,0), B(1,2,0), C(-1,1,3) en A'(4,0,-2), B'(-3,0,0), C'(0,3,3) utilisant Gauss-Jordan pour trouver la matrice inverse. **\*En 3D, on a besoin de 3 points!** \ [\$\${P\_{0} = \\begin{bmatrix} 1 & 1 & - 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ \\end{bmatrix}\\mathrm{\\text{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }}P\_{t} = \\begin{bmatrix} 4 & - 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ - 2 & 0 & 3 \\\\ \\end{bmatrix} } {P\_{0}\|I \\rightarrow \\left\\lbrack \\left. \\ \\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ \\end{matrix} \\right\|\\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\\rbrack\\overset{L\_{2} - L\_{1}}{\\sim}\\left\\lbrack \\left. \\ \\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ \\end{matrix} \\right\|\\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\\ - 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\\rbrack\\overset{L\_{3}/3}{\\sim}\\left\\lbrack \\left. \\ \\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ \\end{matrix} \\right\|\\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\\ - 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\\rbrack } {\\overset{L\_{3}/3}{\\sim}\\left\\lbrack \\left. \\ \\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\|\\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\\ - 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1/3 \\\\ \\end{matrix} \\right\\rbrack\\overset{\\begin{matrix} \\& L\_{1} + L\_{3} \\\\ \\& L\_{2} - 2L\_{3} \\\\ \\end{matrix}}{\\sim}\\left\\lbrack \\left. \\ \\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right\|\\begin{matrix} 1 & 0 & 1/3 \\\\ - 1 & 1 & - 2/3 \\\\ 0 & 0 & 1/3 \\\\ \\end{matrix} \\right\\rbrack\\overset{L\_{1} - L\_{2}}{\\sim} } {M = P\_{t}{P\_{0}}\^{- 1}}\$\$]{.math.display}\ **\ ** **Compositions de transformations linéaires** Soit [*A*]{.math.inline} et [*B*]{.math.inline} des matrices[ 2*x*2]{.math.inline}. [*A*]{.math.inline} et [*B*]{.math.inline} transforment l'espace [ℝ^2^]{.math.inline}. On peut décider d'appliquer successivement les transformations T~A~ et T~B~ (on note cette transformation [\$T\_{B} \\circ T\_{A} = T\_{B}\\left( T\_{A} \\right) = \\underset{}{M\_{B}M\_{A}}\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ \\end{pmatrix}\\ \$]{.math.inline}. **Quelques exemples de matrices avec des particularités...** [\$M = \\begin{bmatrix} - 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline}\ **Déterminants, aires et transformations**  **On peut remarquer le lien suivant entre l'aire de la figure transformée et le déterminant de la matrice de transformation :** **Aire de la figure transformée = \|detM\|^nombre\ de\ transformations^ x aire figure initiale.** ***\ *** ***Matrice de passage P ou M (de changement de base à l'aide d'une transformation linéaire)*** ***Permet d'exprimé un vecteur dans une nouvelle base (B -\> B').*** **Exemple :** Soit [*u⃗* = (1, 2)]{.math.inline} et [*v⃗* = (−1, 3)]{.math.inline} dans une base B. Les vecteurs [*u⃗*]{.math.inline} et [*v⃗*]{.math.inline} sont linéairement indépendants, ils forment donc une base B' du plan. Tout vecteur peut être exprimé dans une base ou dans l'autre. De B= Vers B' = [*u⃗* = (1, 2)]{.math.inline} [→]{.math.inline} [*u⃗* = (1, 0)]{.math.inline} [*v⃗* = (−1,3)]{.math.inline} [→]{.math.inline} [*v⃗* = (0, 1)]{.math.inline} [*w⃗* = (*x*, *y*)]{.math.inline} [→]{.math.inline} [*w⃗* = (?, ?)]{.math.inline} \ [\$\$\\overset{B = P\_{o}}{\\overbrace{\\begin{bmatrix} \\overset{\\overrightarrow{u}}{\\overbrace{1}} & \\overset{\\overrightarrow{v}}{\\overbrace{- 1}} \\\\ 2 & 3 \\\\ \\end{bmatrix}}} \\rightarrow \\overset{B\' = P\_{t}}{\\overbrace{\\begin{bmatrix} \\overset{\\overrightarrow{u}}{\\overbrace{1}} & \\overset{\\overrightarrow{v}}{\\overbrace{0}} \\\\ 0 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}}}\$\$]{.math.display}\ Pour une transformation linéaire on a [\$M = \\overset{P\_{o}}{\\overbrace{B}}\\overset{{P\_{t}}\^{- 1}}{\\overbrace{B\^{- 1}}}\$]{.math.inline} et \ [\$\$ {\\mathrm{\\text{comme\\ }}B\'\\mathrm{\\ est\\ l\'identit}\\mathrm{é}(I)\\mathrm{\\text{\\ la\\ formule\\ est\\ }}\\boxed{\\begin{matrix} & & \\\\ & M = B\^{- 1} & \\\\ & & \\\\ \\end{matrix}}}\$\$]{.math.display}\ Exemples : a\) Soit le vecteur [*w⃗* = (3,  − 1)]{.math.inline}. Trouver ses composantes dans la base B'. B = [\$\\begin{bmatrix} 1 & - 1 \\\\ 2 & 3 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} B^-1^ = [\$\\frac{1}{5}\\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ - 2 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} [\$M\\overrightarrow{w} = \\frac{1}{5}\\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ - 2 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix} 3 \\\\ - 1 \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{8}{5} \\\\ - \\frac{7}{5} \\\\ \\end{bmatrix} \\Rightarrow \\mathrm{\\text{Dans\\ la\\ base\\ }}B\':\\overrightarrow{w} = \\left( \\frac{8}{5}, - \\frac{7}{5} \\right) = \\frac{8}{5}\\overrightarrow{u} - \\frac{7}{5}\\overrightarrow{v}\$]{.math.inline}. **b)** Déterminer, en utilisant la matrice des cofacteurs, la matrice de passage M permettant d'écrire les vecteurs de dans la base  et écrire dans la base B'. **Question 1** Une transformation linéaire représentée par une matrice M transforme le triangle A(2, -1), B(0, 3), C(-1, 1) en un triangle A'(0,2), B'(6, 12), C'(1, 1). C'est-à-dire que MA=A', MB=B' et MC=C'. a. Trouver la matrice M. b. Servez-vous de M pour calculer les images des points E(3, -2) et F(-3 -5). c. Quelle est l'aire du triangle ABC? d. Quelle est l'aire du triangle A'B'C'? e. Quel est le déterminant de M? f. Que vous saute-t-il au visage? **Question 2** Soit [*T*]{.math.inline}, une transformation telle que [*T*(1, 0) = (2, 3)]{.math.inline} et [*T*(0, 1) = (1, 2)]{.math.inline}. a. Quel est la matrice représentant [*T*]{.math.inline}? b. Trouver une matrice [*M*']{.math.inline} représentant une transformation [*T*']{.math.inline} qui est telle que [*T*'(2, 3)= (1, 0)]{.math.inline} et [*T*'(1, 2)= (0, 1).]{.math.inline} c. Calculer [*MM*']{.math.inline}. d. Que peut-on conclure? **Note :** La transformation T' est appelée la transformation inverse de T. **Question 3** Soit [*u⃗* = (1, 3)]{.math.inline} et [*v⃗* = (−1, 4)]{.math.inline} dans une base B. Les vecteurs [*u⃗*]{.math.inline} et [*v⃗*]{.math.inline} sont indépendants, ils forment donc une base B' du plan. Tout vecteur peut être exprimé dans une base ou dans l'autre. La transformation T, qui prend un vecteur exprimé dans la base B, et donne le vecteur exprimé dans la base B' est une transformation linéaire. a. Trouver la matrice associée à cette transformation. b. Si [*w⃗* = (7,  − 7)]{.math.inline} dans la base B, trouver les composantes de [*w⃗*]{.math.inline} dans la base B'. c. En général, si [*u⃗* = (*a*, *c*)]{.math.inline} et [*v⃗* = (*b*, *d*)]{.math.inline}, quelle est la matrice permettant de passer de la base B à la base B' =\? d. Quelle est la matrice permettant de passer de la base B' à B? **\ ** **Question 4** Déterminer la matrice M qui correspond à la transformation linéaire : a\) donnant une réflexion par rapport à l\'axe des y. b\) effectuant une réflexion par rapport à l\'origine. c\) donnant un vecteur qui est une projection sur l\'axe des x. d\) effectuant une rotation de ^o^ dans le sens horaire. **Question 5** Soient les vecteurs et les bases Donner une matrice M permettant d\'exprimer des vecteurs : a\) de la base A dans la base A\'. b\) de la base A dans la base A\'\'. c\) de la base A\' dans la base A. d\) de la base Q dans la base Q\'. e\) de la base Q\' dans la base Q. **Question 6** Déterminer la matrice M correspondant aux transformations linéaires suivantes: a) b\) et **[Réponses]** **\#1** a) b) c\) 4 d\) 8 e\) -2 f\) L'aire est multipliée par la valeur absolue du déterminant, soit par 2, lorsqu'on fait la transformation. **\#2** a) b) c) d\) est l'inverse de **\#3** a) b\) (3, -4) c) d) **\ ** **\#4** a) b) c) d) **\#5a)** **b)** **c)** **d)** **e)** **\#6** a) b) PARTIE 2 : VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES **Comment trouver les valeurs propres d'une matrice?** Soit une matrice carrée [*M*~*n* × *n*~]{.math.inline}. On dit que [*v⃗*]{.math.inline} est le *vecteur propre associé* à [*λ*]{.math.inline} si [*Mv⃗* = *λv⃗*]{.math.inline}, pour un certain scalaire [*λ*]{.math.inline}. Démonstration Soit [*M*]{.math.inline} une matrice carrée et [*v⃗*]{.math.inline} un vecteur propre de [*M*]{.math.inline}. \ [\$\$M\\overrightarrow{v} = \\lambda\\overrightarrow{v}\\ \\ \\ \\ \\Leftrightarrow M\\overrightarrow{v} - \\lambda\\overrightarrow{v} = \\overrightarrow{0}\\ \\Leftrightarrow M\\overrightarrow{v} - \\lambda I\\overrightarrow{v} = \\overrightarrow{0} \\Leftrightarrow \\overset{A}{\\overbrace{(M - \\lambda I)}}\\overset{X}{\\overbrace{\\overrightarrow{v}}} = \\overset{B}{\\overbrace{\\overrightarrow{0}}}\$\$]{.math.display}\ Syst. Homogène, toujours au moins une sol. Si \|A\|≠0 alors sol. triviale unique (pas ce qu'on cherche) Si \|A\|=0 alors inf. sol. (ce qu'on cherche) on cherche donc [\|*M* − *λI*\| = 0.]{.math.inline} Exemple : Trouver les valeurs propres de la matrice. **Comment trouver les vecteurs propres d'une matrice?** *On a déjà montrer que* [\$M\\overrightarrow{v} = \\lambda\\overrightarrow{v} \\Rightarrow \\boxed{\\left\\lbrack M - \\text{Iλ} \\right\\rbrack\\overrightarrow{v} = \\overrightarrow{0}}\$]{.math.inline}alors on tentera de résoudre ce système d'équations : pour chaque valeur propre. **Exemple ***:Trouver les vecteurs propres de* [\$M = \\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ 6 & - 2 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} *On a déjà trouvé que* [*λ*]{.math.inline}*~1~ = 4 et* [*λ*]{.math.inline}*~2~ = - 3.* \ [\$\$\\lambda 1\\ = \\ 4 \\rightarrow AX = B \\rightarrow \\left\\lbrack M - \\text{Iλ} \\right\\rbrack\\overrightarrow{v} = \\overrightarrow{0} = \\left( \\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ 6 & - 2 \\\\ \\end{bmatrix} - 4\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ \\end{bmatrix} \\right)\\begin{bmatrix} v1\\ \\\\ v2 \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{bmatrix}\$\$]{.math.display}\ \ [*λ*2 =  − 3]{.math.display}\ **Exemple ***: Trouver les vecteurs propres de* **\ Application des vecteurs propres aux transformations linéaires :** **a)Les directions invariantes d'une transformation linéaire.** **Définition :**Un vecteur pour lequel est appelé de *[direction invariante]* selon la matrice [*M*]{.math.inline} de la transformation linéaire représentée par [*M*]{.math.inline}. En posant dans on peut noter que est un [vecteur propre]. **\*La transformation linéaire M redonne des vecteurs parallèles aux vecteurs propres ()** **Exemple : Nous avons vu précédemment que la matrice** possède comme valeur propres (double) et. Nous avons trouvé que les vecteurs propres associés à avaient la forme de la solution générale. Les vecteurs de cette forme sont donc de **direction invariante pour la transformation linéaire M**. **\ ** **b)Les points fixes d'une transformation linéaire.** **Définition :** Un point [*P*]{.math.inline} pour lequel [*M*(*P*) = *P*]{.math.inline} est appelé un *[point fixe]* de la matrice [*M*]{.math.inline} ou de la transformation linéaire représentée par [*M*]{.math.inline}. **\* Cas particulier des directions invariantes avec nt = 1.** **Exemple : L**es vecteurs propres associés à de l'exemple précédent avaient la forme de la solution générale. Les points (vecteurs) de cette forme sont donc des points fixes **pour la transformation linéaire M**. alors = point fixe. **Exemple : L'**algorithme de base de Google. **Matrice diagonalisable** :  P s\'appelle la **matrice de passage**. On l\'obtient des vecteurs propres de A mis en colonnes. **Conditions** pour avoir une **matrice diagonalisable**: 1\. Le polynôme caractéristique doit se **factoriser en un produit de polynômes du premier degré** (pas nécessairement distincts). 2\. Les polynômes non-distincts doivent engendrer **autant de vecteurs linéairement indépendants que le nombre de polyômes**. **\* s'il y a moins de valeur propres réelles (en comptant x fois les multiples) que de colonnes alors la matrice n'est pas diagonalisable car n'existe pas (\|P\| = 0).** **\ ** **Exemple :** **a)** Diagonaliser la matrice. **On réalise que D est la matrice diagonale contenant les valeurs propres de A sur sa diagonale pricipale** b\) La matrice possède une valeur propre double () pour laquelle on ne peut pas obtenir 2 vecteurs propres linéairement indépendants. Elle n'est donc pas diagonalisable (car n'existe pas). **c)** Diagonaliser la matrice possédant comme valeur propres (double) et. Trouvons d'abord les vecteurs propres associées à la valeur propre double de la matrice Ici est une valeur propres double pour laquelle on peut obtenir deux vecteurs propres linéairement indépendants (deux variables libres). En ajoutant le vecteur propre (obtenu de ), on obtient la matrice des vecteurs contenant 3 vecteurs propres (linéairement indépendants) et ensuite à partir des calculs et on peut diagonaliser la matrice de la façon suivante **Applications des matrices diagonalisables.** **a) Calcul de la puissance d\'une matrice quelconque:** La matrice de passage permet de calculer la puissance d\'une matrice. Il suffit d\'utiliser la formule. !!Attention : inversion p/r à **Nous combinerons ce résultat avec le suivant :** **La puissance d\'une matrice diagonale correspond à cette même matrice où [les éléments de sa diagonale ont été élevés à cette puissance]:** **\ ** **Ex 4 :** Calculer pour la matrice. **\ ** **Exemple :** Soit [\$M = \\begin{pmatrix} 4 & 10 \\\\ 5 & - 1 \\\\ \\end{pmatrix}\$]{.math.inline} et Calculer. b\) **Calcul du déterminant de A.** Soit A une matrice diagonalisable, alors. Si D existe alors, comme D est triangulaire, le déterminant correspond au produit des éléments de la diagonale principale qui sont ies valeurs propres. **Exemple :** Calculer, à l'aide des valeurs propres, le déterminant de et vérifier ensuite à l'aide d'une autre méthode. On a déjà montré que et que A est diagonalisable () On a alors : vérification **[\ ]** **[Exercices supplémentaires]** **Question 1** Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres, si c'est possible, des matrices suivantes. a. [\$A = \\begin{bmatrix} - 4 & 6 \\\\ 9 & - 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} b. [\$A = \\begin{bmatrix} - 7 & 3 \\\\ - 18 & 8 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} c. [\$A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ - 3 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} d. [\$B = \\ \\begin{bmatrix} 6 & 3 & - 7 \\\\ 1 & 2 & - 1 \\\\ 5 & 3 & - 6 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} e. [\$C = \\begin{bmatrix} 1 & 2 & - 2 \\\\ 2 & 1 & - 2 \\\\ 2 & 2 & - 3 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} **Question 2** a. Calculer [*A*^13^ *v⃗*]{.math.inline} où [\$A = \\begin{bmatrix} 3 & 1 \\\\ 6 & - 2 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} [*v⃗* = (1,  − 2)]{.math.inline}. Voici les valeurs propres et les vecteurs propres : -3 et 4; [(1,  − 6)]{.math.inline} et (1, 1) a. Si [\$D = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline}, calculer [*C*^9999^*D*]{.math.inline} où C est la matrice de la question 1e) **Question 3** Soit [*A*]{.math.inline} une matrice inversible. Montrer que [*λ*]{.math.inline} est une valeur propre non-nulle de [*A*]{.math.inline} si et seulement si [1/*λ*]{.math.inline} est une valeur propre de [*A*^ − 1^]{.math.inline}. **Question 4** Déterminer la matrice diagonale correspondant à la matrice suivante et trouver son déterminant à partir de cette dernière. **[\ ]** **[Réponses]** **Q.1** b. 5 et -10, (2, 3) et (1, -1) c. 2 et -1, (1, 3) et (2, 4) d. Aucune valeur propre réelle. e. 2, -1 et 1; [(1, 1, 1)]{.math.inline}, [(1, 0, 1)]{.math.inline} et (-2, 1, -1) f. 1 et -1; [(1, 1, 1)]{.math.inline} pour [*λ* = 1]{.math.inline}, [(1, 0, 1)]{.math.inline} et (-1, 1, 0) pour [*λ* = 1]{.math.inline} **Q.2** a\) [\$A\^{13} = \\ \\begin{bmatrix} 57\\ 294\\ 123 & 9\\ 814\\ 741 \\\\ 58\\ 888\\ 446 & 8\\ 220\\ 418 \\\\ \\end{bmatrix}\\ \\text{et}\\ \\text{donc}\\text{\\ \\ }A\^{13}\\overrightarrow{v} = \\begin{bmatrix} 37664641 \\\\ 42447610 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} b\) [\$\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ \\end{bmatrix}\$]{.math.inline} **Q.3** Indication : partir de [*Av⃗* = *λv⃗*]{.math.inline} et multiplier par [*A*^ − 1^]{.math.inline}. **Q.4** et le déterminant vaut 0.