Durabilité des ouvrages en béton armé PDF

Durabilité des ouvrages en béton armé Pr. Emilio Bastidas-Arteaga – [email protected] Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur pour l’Environnement (LaSIE UMR CNRS 7356) Master 2 IB-TNCR Introduction  Fiabilité d’ouvrages soumis à des mécanismes...

Durabilité des ouvrages en béton armé Pr. Emilio Bastidas-Arteaga – [email protected] Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur pour l’Environnement (LaSIE UMR CNRS 7356) Master 2 IB-TNCR Introduction  Fiabilité d’ouvrages soumis à des mécanismes de dégradation Actions réduisant la durée de vie Fiabilité βini Réparation ou maintenance βth 20-30 50-75 Temps (années) Seuils de fiabilité selon l’Eurocode : + Etat limite de service : βth ≥ 1,5 + Etat limite ultime : βth ≥ 3,5 3  Origine des actions menant à la réduction de la durée de vie + Technique : en lien avec l’exposition et l’usage normal de la structure/bâtiment. Exemples : vieillissement, augmentation des charges, … (intégrés lors de la conception) + Extérieur : en lien avec des usages inattendus ou extrêmes de la structure/bâtiment. Exemples : tremblement de terre, inondations chocs, … (partiellement intégrés lors de la conception) + Humaine : en lien avec des erreurs/actions affectant l’intégrité de la structure/bâtiment. Exemples : erreurs de conception, construction, usage, management et maintenance; terrorisme … (difficilement intégrés lors de la conception) 4  Complexité des structures + Structures multi-composants (génie civil, mécaniques, électriques) constituées de plusieurs matériaux et soumises à plusieurs types d’exposition 5  Actions réduisant la durée de vie des structures en béton armé Actions d’origine Actions d’origine environnemental oppérationnel Congélation L’entrée des Chargement Chargement Séismes et dégel chlorures cyclique constant Variation de Variation de L’entrée du Hautes Attaque par température l’humidité CO2 températures des acides et > 100 °C des bases Présence des organismes Erreurs en la L’alcali- conception et en la réaction construction désintégration Perte Fissuration Corrosion Fatigue Fluage du béton d’adhérence du béton 6  Difficultés avec la maintenance de structures vieillissantes Fiabilité des modèles sous conditions réelles → + Déterminer la performance pendant la durée de vie et + Choisir des stratégies de maintenance optimales À présent → réparations correctives ont lieu lorsque des signes de dégradation très importants apparaissaient + Les frais de réparation ne peuvent pas s’anticiper + La fiabilité/capacité de service peuvent être affectées lorsque les réparations n’ont pas eu lieu aux moments les plus propices 7  Objectifs + Acquérir les compétences nécessaires pour quantifier les effets des mécanismes dégradation pour des structures en béton armé soumises à la corrosion. + Le cours couvre aussi : > la modélisation des mécanismes de dégradation > des aspects normatifs et pratiques sur la conception > le rôle et la prise en compte des incertitudes dans le problème 8  Contenus A. Hamami : Description des mécanismes de dégradation E. Bastidas-Arteaga : Estimation de la durée de vie et conception des structures en béton armé vieillissantes + Partie 1 - Dégradation de structures en béton armé soumises à la corrosion + Partie 2 - Conception de structures vieillissantes 9  Evaluation + Comptes rendus de TP + Examen – tout le cours 10  PARTIE 1 Dégradation de structures en béton armé soumises à la corrosion Introduction aux modèles de chloration, corrosion et fissuration  Introduction Structures en BA soumises à la corrosion induite par la pénétration des chlorures Source : B. Bechard Source : B. Bechard 173 000 ponts aux États-Unis ont des problèmes structurels ou sont fonctionnellement obsolètes en partie du fait de la corrosion [Bhide, 1999] 13  Conséquences et motivation 2000 → pont piéton (Charlotte, USA) Construit en 1995 corrosion par piqûres sur les câbles en acier 100 blessés 2005 → interstate 70 (Pennsylvanie, USA) Construit en 1960 Trafic : 40 000 véhicules/jour 5 blessés Source : Kevin Rofidal, United States Coast Guard Questions des maîtres d’ouvrage (Projet FUI MAREO) : Comment la pénétration des chlorures affectera-t-elle l’intégrité structurelle ? Comment et quand l’inspection et la réparation doivent-t-elles être entreprises ? Comment déterminer une stratégie de maintenance durable ? 14  Durée de vie de structures en BA soumises à la corrosion par chlorures Étapes de la durée de vie tini Temps Surface du béton Surface corr. (Aa ) Surface du béton Surface du béton Surface Corr (Aa ) c d d d c c Concentration Concentration Concentration Cs Cs Cs Cth Cth Cth Distance Distance Distance Dth(t) Dth(t) Dth(t) 1. Immunité à la 2. Corrosion Active 3. Corrosion après une corrosion fissuration du béton sévère 15  Durée de vie de structures en BA soumises à la corrosion par chlorures Influence sur la fiabilité Etapes Fiabilité Temps Étapes du cycle de vie 1. Immunité à la corrosion 2. Corrosion active 3. Corrosion après une fissuration sévère du béton 16 Le modèle Collepardi  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Entrée des chlorures → problème de diffusion (Loi de Fick) @Cf c @ 2 Cf c = Dc @t @x2 Avec : Cfc = Concentration des chlorures libres à l’intérieur du béton t = temps Dc = Coefficient de diffusion des chlorures effectif x = profondeur 18  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Sous les hypothèses suivantes : (i) milieu saturé et semi-infini, (ii) concentration des chlorures à la surface constante 8 Concentration en Chlorures 5 ans et (iii) Cfc = 0 à t = 0 ; il est possible 7 10 ans 6 d’obtenir une solution analytique : 20 ans 5 (kg/m3) 50 ans ✓ ✓ ◆◆ 4 x Cf c (x, t) = Cs 1 erf p 3 2 Dc t 2 1 Avec : 0 Cs = concentration des chlorures à la 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Profondeur (m) surface erf() = fonction d’erreur 19  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Ce modèle est fonction de deux variables ✓ ✓ ◆◆ x Cf c (x, t) = Cs 1 erf p 2 Dc t Cs dépend principalement des conditions d’exposition de l’ouvrage : proximité à la mer ou quantité des sel de déverglaçage appliquée. En ambiances marines, McGee (2000) a proposé des valeurs de Cs en fonction de la distance de la mer d en km : 8 < 2.95 si d < 0.1 Cs (d) = 1.15 1.81 log(d) si 0.1  d < 2.84 : 0.35 si d > 2.84 avec Cs exprimée en kg de Cl-/m3 de béton ou kg/m3. Cs peut s’exprimer en trois types d’unités équivalentes : [kg/m3], [% masse du ciment] ou [% de masse du béton]. Afin de faire l’équivalence, il faut connaître la quantité du ciment par m3 du béton et la masse volumique du béton ρv. 20  EXEMPLE Changement d’unités  EXEMPLE changement d’unités Exprimer une concentration de chlorures de 2 [kg/m3] en [% de masse du béton] et [% masse du ciment] sachant que : le béton à une masse volumique de 2300 kg/m3 et Il a été fabriqué avec 350 kg de ciment par m3 de béton. Solution : kg de Cl 1m3 de béton 2 3 ⇥ ⇥100 = 0.09% masse du béton m de béton 2300kg de béton AAAB8HicbVA9SwNBEJ3zM8avqKXNYhCswp6NKQM2lhHMByZH2NvsJUv29o7dOSEc+RcWNiq2/htL/42b5ApNfDDweG+GmXlhqqRFSr+9jc2t7Z3d0l55/+Dw6Lhyctq2SWa4aPFEJaYbMiuU1KKFEpXopkawOFSiE05u537nSRgrE/2A01QEMRtpGUnO0EmPfZSxsMSndFCp0hpdgKwTvyBVKNAcVL76w4RnsdDIFbO259MUg5wZlFyJWbmfWZEyPmEj0XNUM7coyBcXz8ilU4YkSowrjWSh/p7IWWztNA5dZ8xwbFe9ufif18swqge51GmGQvPloihTBBMyf58MpREc1dQRxo10txI+ZoZxdCG5DPzVj9dJ+7rmO35Pq416kUYJzuECrsCHG2jAHTShBRw0PMMrvHnGe/HevY9l64ZXzJzBH3ifP9dWj+8= 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Il s’exprime principalement en [10-12 m2/s] ou plus rarement en [cm2/s] ou [mm2/année]. Les unités doivent être consistantes avec celles de la profondeur x et le temps t. 23  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton + Vu et Stewart (2000) ont synthétisé des valeurs de Dc [10-8 cm2/s] obtenus par plusieurs auteurs : 12 Coefficient de diffusion des chlorures (10-8 cm2/sec) 10 8 6 4 2 0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Rapport eau/ciment 24  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Détermination des paramètres Cs et Dc Profils sur carottes (Cs et Dc) Cs Mesure Concentration Modèle ✓ ✓ ◆◆ x Cf c (x, t) = Cs 1 erf p 2 Dc t profondeur Essais de migration (Da) – Champ + électrique [Cl] Cathode Anode Migration des chlorures 25  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Fonction d’erreur ✓ ✓ ◆◆ 1.5 x Cf c (x, t) = Cs 1 erf p 1 2 Dc t 0.5 erf(x) Avec : 0 Z x 2 t2 -0.5 erf(x) = p e dt ⇡ 0 -1 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ou la fonction d’erreur complémentaire x erfc(x) = 1 erf(x) Programmes : python, excel, matlab, mathcad, abaques, 26 Initiation de la corrosion  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Initiation de la corrosion Concentration en chlorures au niveau de l’enrobage ✓ ✓ ◆◆ Cth x Cf c (x, t) = Cs 1 erf p AAAB7HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0k8qMdCLx4r2A9oQ9lsN+3azSbsToQS+h88eFHx6v/x6L9xm+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmljc2t7p7xb2ds/ODyqHp90TJxqxtsslrHuBdRwKRRvo0DJe4nmNAok7wbT5sLvPnFtRKwecJZwP6JjJULBKFqp0xxmOJkPqzW37uYg68QrSA0KtIbVr8EoZmnEFTJJjel7boJ+RjUKJvm8MkgNTyib0jHvW6poxI2f5dfOyYVVRiSMtS2FJFd/T2Q0MmYWBbYzojgxq95C/M/rpxje+plQSYpcseWiMJUEY7J4nYyE5gzlzBLKtLC3EjahmjK0AdkMvNWP10nnqu65de/erTWuizTKcAbncAke3EAD7qAFbWDwCM/wCm+Ocl6cd+dj2VpyiplT+APn8wcfzI8M sha1_base64="GrINA+vrHardHcYkE44wzGCMt0Y=">AAAB7HicbVDLTgJBEOzFF4IP1KOXicTEE9n1IB5JOOgRE3kksCGzwyyMzM5uZnpNyIZ/8OAFjVf/x6N/4/A4KFhJJ5Wq7nR3BYkUBl3328ltbe/s7uX3C8WDw6Pj0slpy8SpZrzJYhnrTkANl0LxJgqUvJNoTqNA8nYwrs/99jPXRsTqEScJ9yM6VCIUjKKVWvV+hqNpv1R2K+4CZJN4K1KuFe9mYNHol756g5ilEVfIJDWm67kJ+hnVKJjk00IvNTyhbEyHvGupohE3fra4dkourTIgYaxtKSQL9fdERiNjJlFgOyOKI7PuzcX/vG6K4a2fCZWkyBVbLgpTSTAm89fJQGjOUE4soUwLeythI6opQxuQzcBb/3iTtK4rnlvxHmwYN7BEHs7hAq7AgyrU4B4a0AQGT/ACM3hzlPPqvDsfy9acs5o5gz9wPn8AssCQNw== sha1_base64="QkK68sm/iJbdMEIwbBY/94IHVoI=">AAAB7HicbVDLSgNBEOz1GRMfUY+5DAbBU9j1oB4DOegxgnlAsoTZ2UkyZnZ2mekVwpJ/8OAlilf/xA/w6N84eRw0saChqOqmuytIpDDout/OxubW9s5ubi9f2D84PCoenzRNnGrGGyyWsW4H1HApFG+gQMnbieY0CiRvBaPazG89cW1ErB5wnHA/ogMl+oJRtFKz1stwOOkVy27FnYOsE29JytXC7bT02Q7rveJXN4xZGnGFTFJjOp6boJ9RjYJJPsl3U8MTykZ0wDuWKhpx42fzayfk3Coh6cfalkIyV39PZDQyZhwFtjOiODSr3kz8z+uk2L/xM6GSFLlii0X9VBKMyex1EgrNGcqxJZRpYW8lbEg1ZWgDshl4qx+vk+ZlxXMr3r0N4woWyEEJzuACPLiGKtxBHRrA4BGeYQqvjnJenDfnfdG64SxnTuEPnI8f2EGR0w== 2 Dc t Profondeur de l’enrobage tini AAAB7XicbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dBIvgqsy4UJcFNy4r2Ae0Q8mkmTY0kwzJHaEM/QgXblTc+j0u/RvTdhbaeiBwOOdecs+JUiks+v63V9rY3NreKe9W9vYPDo+qxydtqzPDeItpqU03opZLoXgLBUreTQ2nSSR5J5rczf3OEzdWaPWI05SHCR0pEQtG0UkdHORCidmgWvPr/gJknQQFqUGB5qD61R9qliVcIZPU2l7gpxjm1KBgks8q/czylLIJHfGeo4om3Ib54twZuXDKkMTauKeQLNTfGzlNrJ0mkZtMKI7tqjcX//N6Gca3oQuUZsgVW34UZ5KgJvPsZCgMZyinjlBmhLuVsDE1lKFryHUQrCZeJ+2reuDXgwe/1rgu2ijDGZzDJQRwAw24hya0gMEEnuEV3jztvXjv3sdytOQVO6fwB97nDyl6j6s= sha1_base64="Dsa18znoCZQGBbKqq/GuyCvTDu8=">AAAB7XicbVDLSgMxFL3js7Y+qi7dBIvgqsy4UJcFF7qsYB/QDiWTZtrQTDIkd4Qy9CNcuPCBW7/HpX9j+lho64HA4Zx7yT0nSqWw6Pvf3tr6xubWdmGnWNrd2z8oHx41rc4M4w2mpTbtiFouheINFCh5OzWcJpHkrWh0M/Vbj9xYodUDjlMeJnSgRCwYRSe1sJcLJSa9csWv+jOQVRIsSKVWun0Bh3qv/NXta5YlXCGT1NpO4KcY5tSgYJJPit3M8pSyER3wjqOKJtyG+ezcCTlzSp/E2rinkMzU3xs5TawdJ5GbTCgO7bI3Ff/zOhnG16ELlGbIFZt/FGeSoCbT7KQvDGcox45QZoS7lbAhNZSha8h1ECwnXiXNi2rgV4N7V8YlzFGAEziFcwjgCmpwB3VoAIMRPMErvHnae/bevY/56Jq32DmGP/A+fwC8bpDW sha1_base64="OpsjkWjm+Y1byQ6xPdaBL9lnvJU=">AAAB7XicbVC7SgNBFL0bXzHxEbVMsxgEq7BroZYBCy0jmAckS5idnU2GzM4sM3eFsOQjLCx8YOuX+AGW/o2TR6HRAwOHc+5l7jlhKrhBz/tyCmvrG5tbxe1SeWd3b79ycNg2KtOUtagSSndDYpjgkrWQo2DdVDOShIJ1wvHVzO/cM224knc4SVmQkKHkMacErdTBQc4lnw4qNa/uzeH+Jf6S1Brl66fqRzdqDiqf/UjRLGESqSDG9HwvxSAnGjkVbFrqZ4alhI7JkPUslSRhJsjn507dE6tEbqy0fRLdufpzIyeJMZMktJMJwZFZ9Wbif14vw/gysIHSDJmki4/iTLio3Fl2N+KaURQTSwjV3N7q0hHRhKJtyHbgryb+S9pndd+r+7e2jHNYoAhVOIZT8OECGnADTWgBhTE8wDO8OMp5dF6dt8VowVnuHMEvOO/f4e+Scg== Temps Teneur critique en chlorures pour l’initiation de la corrosion Cth [kg/m3] (Duprat, 2007) : Qualité du Intervalle Moyenne Coefficient de béton variation Bonne 1.5-2.5 2 0.14 Ordinaire 1.0-2.0 1.5 0.19 Mauvaise 0.5-1.5 1 0.29 28  Si la quantité totale d'adjuvants liquides est supérieure à 3 l/m de béton, la teneur en eau de ces adjuvants doit Immunité à la corrosion – pénétration des être prise en compte dans le calcul du rapport eau/ciment. Lorsque plusieurs adjuvants sont utilisés, leur compatibilité doit être vérifiée lors des essais initiaux. chlorures dans le béton NOTE Il convient que les bétons de consistance ≥ S4, V4, C3, ou ≥ F4 soient fabriqués avec des adjuvants hauts réduc- teurs d'eau ou des superplastifiants. Teneur critique selon la EN 206 (Europe) 5.2.7 Teneur en chlorures La teneur en chlorures d'un béton, exprimée en pourcentage en masse d’ions chlorures rapportée à la masse de ciment, ne doit pas dépasser la valeur mentionnée dans le Tableau 10 pour la classe sélectionnée. Tableau 10 — Teneur maximale en ions chlorure du béton Teneur maximale en Cl- Classe de Utilisation du béton rapportée à la masse chlorures a) de ciment b) Ne contenant ni armatures en acier ni pièces Cl 1,0 1,0 % métalliques noyées (à l'exception des pièces de levage résistant à la corrosion). Contenant des armatures en acier ou des pièces Cl 0,20 0,20 % métalliques noyées Cl 0,40 0,40 % Contenant des armatures de précontrainte en acier Cl 0,10 0,10 % Cl 0,20 0,20 % a) Pour un usage spécifique du béton, la classe à utiliser dépend des dispositions valides sur le lieu d’utilisation du béton. b) Lorsque des additions de type II sont utilisées et sont prises en compte pour le dosage en ciment, la teneur en chlorures est exprimée comme le pourcentage en masse des ions chlorures rapportée à la masse de ciment plus la masse totale des additions qui sont prises en compte. 29 Le chlorure de calcium et les adjuvants à base de chlorures ne doivent pas être ajoutés au béton contenant une armature en acier, ou une armature de précontrainte en acier, ou des pièces métalliques noyées.  Immunité à la corrosion – pénétration des chlorures dans le béton Teneur utique AFNOR pour : GTMcritique selon CONSTRUCTION la EN- 13:46 le 4/5/2004 206 (France) Page 37 EN 206-1:2000 NA.5.2.7 Teneur en chlorures En application de la note a) du Tableau 10, il est défini une nouvelle classe de chlorures, la classe Cl 0,65 corres- pondant à une teneur maximale en Cl– rapportée à la masse de ciment de 0,65 %. L’aptitude générale à l’emploi en France est établie pour un usage spécifique des bétons de classe Cl 0,65 contenant des armatures ou des pièces métalliques noyées et étant formulés exclusivement avec des ciments de type CEM III. En conséquence et sauf prescription particulière, les classes de chlorures pour des bétons en France sont : — Cl 0,20 pour les bétons contenant des armatures de précontrainte en acier ; — Cl 0,40 pour les bétons contenant des armatures en acier ou des pièces métalliques noyées ; — Cl 0,65 pour les bétons contenant des armatures en acier ou des pièces métalliques noyées et formulés avec des ciments de type CEM III ; — Cl 1,0 pour les bétons ne contenant ni armature en acier, ni pièces métalliques noyées. 5.2.8 Température du béton La température du béton frais ne doit pas être inférieure à 5 °C au moment de la livraison. Dans le cas où une exigence relative à une autre température maximum ou minimum du béton frais est nécessaire, elles doivent être spécifiées ainsi que les tolérances. Toute exigence de refroidissement ou de chauffage artificiel du béton doit être établie d'un commun accord entre le producteur et l'utilisateur. 30  EXEMPLE Utilisation du modèle de Collepardi  Exemple : modèle de Collepardi Considérons une structure en béton armé avec un coefficient de diffusion effectif Dc = 10-12 m2/s soumise à un environnement avec une concentration de chlorures à la surface de Cs = 5 kg/m3. Dans cet exemple nous considérons uniquement la pénétration de chlorures en une dimension. En utilisant le modèle de Collepardi : Q1) Calculer les profils en chlorures à 5 et 20 ans pour des profondeurs variant entre 0 et 5 cm tous les cm Q2) Estimer le temps d’initiation de la corrosion pour une teneur critique en chlorures de Cth = 2 kg/m3 pour deux profondeurs d’enrobage (3 et 5 cm) 32  Code Python # Importation librairies à utiliser x_val=np.array([0,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05]) import numpy as np # modèle de Collepardi à 5 ans from scipy import special # librairie pour la C5=C(x_val,5) fonction d'erreur # modèle de Collepardi à 20 ans C20=C(x_val,20) # Variables d'entrée Cs= 5 #kg/m^3 # Q2 : temps d'initiation de la corrosion Dc=1E-12 #m^2/s # vecteur t_val avec les temps t à étudier en années # modèle de Collepardi t_val=np.array([0,10,20,30,40,50,60]) # x : en m et t : en années # modèle de Collepardi à x = 3cm def C(x,t): C_3cm=C(0.03,t_val) return Cs*(1- # modèle de Collepardi à x = 5cm special.erf(x/(2*np.sqrt(Dc*t*365*24*3600)))) C_5cm=C(0.05,t_val) # Q1 : calcul de profils # creer un vecteur x_val avec les profondeurs x à étudier en m 33  Exemple : modèle de Collepardi 34  Exemple : modèle de Collepardi Cth AAAB7HicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0k8qMdCLx4r2A9oQ9lsN+3azSbsToQS+h88eFHx6v/x6L9xm+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmljc2t7p7xb2ds/ODyqHp90TJxqxtsslrHuBdRwKRRvo0DJe4nmNAok7wbT5sLvPnFtRKwecJZwP6JjJULBKFqp0xxmOJkPqzW37uYg68QrSA0KtIbVr8EoZmnEFTJJjel7boJ+RjUKJvm8MkgNTyib0jHvW6poxI2f5dfOyYVVRiSMtS2FJFd/T2Q0MmYWBbYzojgxq95C/M/rpxje+plQSYpcseWiMJUEY7J4nYyE5gzlzBLKtLC3EjahmjK0AdkMvNWP10nnqu65de/erTWuizTKcAbncAke3EAD7qAFbWDwCM/wCm+Ocl6cd+dj2VpyiplT+APn8wcfzI8M sha1_base64="GrINA+vrHardHcYkE44wzGCMt0Y=">AAAB7HicbVDLTgJBEOzFF4IP1KOXicTEE9n1IB5JOOgRE3kksCGzwyyMzM5uZnpNyIZ/8OAFjVf/x6N/4/A4KFhJJ5Wq7nR3BYkUBl3328ltbe/s7uX3C8WDw6Pj0slpy8SpZrzJYhnrTkANl0LxJgqUvJNoTqNA8nYwrs/99jPXRsTqEScJ9yM6VCIUjKKVWvV+hqNpv1R2K+4CZJN4K1KuFe9mYNHol756g5ilEVfIJDWm67kJ+hnVKJjk00IvNTyhbEyHvGupohE3fra4dkourTIgYaxtKSQL9fdERiNjJlFgOyOKI7PuzcX/vG6K4a2fCZWkyBVbLgpTSTAm89fJQGjOUE4soUwLeythI6opQxuQzcBb/3iTtK4rnlvxHmwYN7BEHs7hAq7AgyrU4B4a0AQGT/ACM3hzlPPqvDsfy9acs5o5gz9wPn8AssCQNw== sha1_base64="QkK68sm/iJbdMEIwbBY/94IHVoI=">AAAB7HicbVDLSgNBEOz1GRMfUY+5DAbBU9j1oB4DOegxgnlAsoTZ2UkyZnZ2mekVwpJ/8OAlilf/xA/w6N84eRw0saChqOqmuytIpDDout/OxubW9s5ubi9f2D84PCoenzRNnGrGGyyWsW4H1HApFG+gQMnbieY0CiRvBaPazG89cW1ErB5wnHA/ogMl+oJRtFKz1stwOOkVy27FnYOsE29JytXC7bT02Q7rveJXN4xZGnGFTFJjOp6boJ9RjYJJPsl3U8MTykZ0wDuWKhpx42fzayfk3Coh6cfalkIyV39PZDQyZhwFtjOiODSr3kz8z+uk2L/xM6GSFLlii0X9VBKMyex1EgrNGcqxJZRpYW8lbEg1ZWgDshl4qx+vk+ZlxXMr3r0N4woWyEEJzuACPLiGKtxBHRrA4BGeYQqvjnJenDfnfdG64SxnTuEPnI8f2EGR0w== tini AAAB7XicbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dBIvgqsy4UJcFNy4r2Ae0Q8mkmTY0kwzJHaEM/QgXblTc+j0u/RvTdhbaeiBwOOdecs+JUiks+v63V9rY3NreKe9W9vYPDo+qxydtqzPDeItpqU03opZLoXgLBUreTQ2nSSR5J5rczf3OEzdWaPWI05SHCR0pEQtG0UkdHORCidmgWvPr/gJknQQFqUGB5qD61R9qliVcIZPU2l7gpxjm1KBgks8q/czylLIJHfGeo4om3Ib54twZuXDKkMTauKeQLNTfGzlNrJ0mkZtMKI7tqjcX//N6Gca3oQuUZsgVW34UZ5KgJvPsZCgMZyinjlBmhLuVsDE1lKFryHUQrCZeJ+2reuDXgwe/1rgu2ijDGZzDJQRwAw24hya0gMEEnuEV3jztvXjv3sdytOQVO6fwB97nDyl6j6s= sha1_base64="Dsa18znoCZQGBbKqq/GuyCvTDu8=">AAAB7XicbVDLSgMxFL3js7Y+qi7dBIvgqsy4UJcFF7qsYB/QDiWTZtrQTDIkd4Qy9CNcuPCBW7/HpX9j+lho64HA4Zx7yT0nSqWw6Pvf3tr6xubWdmGnWNrd2z8oHx41rc4M4w2mpTbtiFouheINFCh5OzWcJpHkrWh0M/Vbj9xYodUDjlMeJnSgRCwYRSe1sJcLJSa9csWv+jOQVRIsSKVWun0Bh3qv/NXta5YlXCGT1NpO4KcY5tSgYJJPit3M8pSyER3wjqOKJtyG+ezcCTlzSp/E2rinkMzU3xs5TawdJ5GbTCgO7bI3Ff/zOhnG16ELlGbIFZt/FGeSoCbT7KQvDGcox45QZoS7lbAhNZSha8h1ECwnXiXNi2rgV4N7V8YlzFGAEziFcwjgCmpwB3VoAIMRPMErvHnae/bevY/56Jq32DmGP/A+fwC8bpDW sha1_base64="OpsjkWjm+Y1byQ6xPdaBL9lnvJU=">AAAB7XicbVC7SgNBFL0bXzHxEbVMsxgEq7BroZYBCy0jmAckS5idnU2GzM4sM3eFsOQjLCx8YOuX+AGW/o2TR6HRAwOHc+5l7jlhKrhBz/tyCmvrG5tbxe1SeWd3b79ycNg2KtOUtagSSndDYpjgkrWQo2DdVDOShIJ1wvHVzO/cM224knc4SVmQkKHkMacErdTBQc4lnw4qNa/uzeH+Jf6S1Brl66fqRzdqDiqf/UjRLGESqSDG9HwvxSAnGjkVbFrqZ4alhI7JkPUslSRhJsjn507dE6tEbqy0fRLdufpzIyeJMZMktJMJwZFZ9Wbif14vw/gysIHSDJmki4/iTLio3Fl2N+KaURQTSwjV3N7q0hHRhKJtyHbgryb+S9pndd+r+7e2jHNYoAhVOIZT8OECGnADTWgBhTE8wDO8OMp5dF6dt8VowVnuHMEvOO/f4e+Scg== tini AAAB7XicbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dBIvgqsy4UJcFNy4r2Ae0Q8mkmTY0kwzJHaEM/QgXblTc+j0u/RvTdhbaeiBwOOdecs+JUiks+v63V9rY3NreKe9W9vYPDo+qxydtqzPDeItpqU03opZLoXgLBUreTQ2nSSR5J5rczf3OEzdWaPWI05SHCR0pEQtG0UkdHORCidmgWvPr/gJknQQFqUGB5qD61R9qliVcIZPU2l7gpxjm1KBgks8q/czylLIJHfGeo4om3Ib54twZuXDKkMTauKeQLNTfGzlNrJ0mkZtMKI7tqjcX//N6Gca3oQuUZsgVW34UZ5KgJvPsZCgMZyinjlBmhLuVsDE1lKFryHUQrCZeJ+2reuDXgwe/1rgu2ijDGZzDJQRwAw24hya0gMEEnuEV3jztvXjv3sdytOQVO6fwB97nDyl6j6s= 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Estimation de paramètres du modèle de Collepardi  Estimation de paramètres + Objectif : déterminer les paramètres d’un modèle à partir de données expérimentales ou d’informations issues d’une expertise Modèle : Données 𝑥 expérimentales 𝐶!" 𝑥, 𝑡 = 𝐶# 1 − erf 2 𝐷" 𝑡 Mesure Cs Concentration Modèle Comment trouver les valeurs des paramètres du modèle qui minimisent l’écart entre les valeurs expérimentales et les prédictions du modèle ? profondeur 37  Méthodes + Moindres carrées + Maximum de vraisemblance + Méthodes bayésiennes 38  Moindres carrées pour des profiles en ions chlorure + Trouver les valeurs des paramètres du modèle (𝐶# et 𝐷" ) qui minimisent l’écart carré entre les valeurs expérimentales (𝐶-!" 𝑥$ , 𝑡 ) et les prédictions d’un modèle (𝐶!" 𝑥$ , 𝑡 ): ' (. 𝐶!" 𝑥$ , 𝑡 − 𝐶-!" 𝑥$ , 𝑡 $%& Avec : > 𝑡 : temps pour l’extraction des carottes > 𝑥! : profondeur à laquelle la concentration à été mesurée + Restrictions : > Valeurs physiquement possibles pour 𝐶" et 𝐷# + La méthode des moindres carrées ne fonctionne pas lorsque le nombre de paramètres à estimer est supérieur au nombre de mesures 39  EXEMPLE Estimation des paramètres du modèle de Collepardi  Exemple : estimation de paramètres Un maître d’ouvrage a décidé d’effectuer une inspection avec des carottages pour estimer les profiles en ions chlorure et donc les risques d’initiation de la corrosion pour une structure en béton armé après 20 ans de construction. Les données issues des mesures sont présentées dans le tableau ci-dessous : Profondeur Concentrations d’ions moyenne (m) chlorure (kg/m3) 0.005 4.2 0.015 3.5 0.025 2.4 0.035 1.8 0.045 0.9 0.055 0.6 En utilisant le modèle de Collepardi : Q1) Estimer les valeurs des paramètres 𝐶# et 𝐷" à partir des mesures Q2) Estimer le temps d’initiation de la corrosion pour une teneur critique en chlorures de Cth = 2 kg/m3 pour un enrobage de 3 cm 41  Code Python (1/2) # Librairies nécessaires from scipy import special # librairie pour la fonction d'erreur import numpy as np from scipy import optimize # librairie pour l'estimation de paramètres import matplotlib.pyplot as plt # Données d’entrée # profondeurs x=np.array([0.005,0.015,0.025,0.035, 0.045,0.055]) # concentrations y=np.array([4.2,3.5,2.4,1.8,0.9,0.6]) #temps de prélévement des carrotes t_e=20 42  Code Python (2/2) # Modèle de collepardi def f(x, Cs, Dc): return Cs*(1-special.erf(x/(2*np.sqrt(Dc*t_e*365*24*3600)))) # Valeurs initiales pour Cs et Dc x0=np.array([5, 1E-11]) 𝐶% 𝐷& # Fonction pour chercher les paramètres params = optimize.curve_fit(f, x, y, x0) Modèle Valeurs Vecteur avec les initiales Variable x paramètres du mesurée Variable y modèle recherchés mesurée 43  Résultats pour la question 1 + Paramètres estimés (params) > 𝐶" = 4.85 kg/m3 > 𝐷# = 1.07 10-12 m2/s 44 Le modèle Duracrete  Modèle Duracrete Pénétration des ions chlorure : Modèle Duracrete (2000) 2 0 13 x C(x, t) = Cs 41 erf @ q A5 t o nD 2 ke kt kc D o t t avec : Cs : concentration de chlorures à la surface Do : coefficient de diffusion effective des ions chlorures nD : vieillissement ke : type d’environnement kt : méthode de détermination de Do kc : temps de cure t0 : temps → mesure de Do 46  Modèle Duracrete 2 0 13 Facteur de vieillissement nD: x C(x, t) = Cs 41 erf @ q A5 Modèle Duracrete (2000) 2 ke kt kc D o to nD t t Ciment Environnement Moyenne Ecart- a b type OPC Immergé 0.30 0.05 0 1 Types de ciment : OPC : Portland OPC Marnage/éclaboussur 0.37 0.07 0 1 PFA : Portland + cendres es volantes OPC Atmosphérique 0.65 0.07 0 1 GGBS : Portland + laitier PFA Immergé 0.69 0.0