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Partie I Outils mathématiques 1 Logique, quantificateurs 1.1 Raisonnement logique 1.1.1 Vocabulaire Définition Une relation ou une proposition est une phrase affirmative qui est vraie ou fausse (V ou F en abrégé). Exemples 1 5 + 7 = 11 (F) L’auteur de ce cours es...

Partie I Outils mathématiques 1 Logique, quantificateurs 1.1 Raisonnement logique 1.1.1 Vocabulaire Définition Une relation ou une proposition est une phrase affirmative qui est vraie ou fausse (V ou F en abrégé). Exemples 1 5 + 7 = 11 (F) L’auteur de ce cours est beau (V). 1.1.2 Table de vérité Définitions Etant données deux assertions P et Q, on définit de nouvelles assertions par leur valeurs de vérité selon le tableau suivant: P V V F F Q V F V F non P F F V V P et Q V F F F P ou Q V V V F Table 1.1. Table de vérité Lecture du tableau (première colonne): Si P est V alors non P est F. Si P et Q sont V alors P et Q est V. Si P et Q sont V alors P ou Q est V. CHAPITRE 1. LOGIQUE, QUANTIFICATEURS 3 Propriétés non (non P ) = P. non (P ou Q) = (non P ) et (non Q). non (P et Q) = (non P ) ou (non Q). Exemples 2 "Paul est beau et intelligent" a pour négation "Paul est laid ou il est bête". "Jean est beau ou intelligent" a pour négation "Jean est laid et il est bête". Définition On définit l’implication =⇒ : P =⇒ Q par non(P )ou Q. (on lit P implique Q.) Exercice 1.1. À quoi est équivalent P =⇒ Q ? 1. P =⇒ non(Q) 2. non(P ) =⇒ non(Q) 3. non(Q) =⇒ non(P ) 4. non(Q) =⇒ P Solution. Exercice 1.2. Quelle est la négation de P =⇒ Q ? 1. non(P ) =⇒ non(Q) 2. non(Q) =⇒ non(P ) 3. non(P ) ou Q 4. P ou non(Q) 5. P et non(Q) Solution. Exercice 1.3. Rendez cette régle fausse: Je passe un examen alors je stresse: 1. Je ne passe pas un examen donc je ne stresse pas. 2. Je stresse c’est que je ne passe pas un examen. 3. Je passe un examen et je ne stresse pas. 4. Je ne stresse pas sauf quand je passe un examen. 5. Aucune des propositions précédentes n’est vraie. Solution. Exercice 1.4. Donnez la négation de la proposition suivante: S’il n’y a pas de carré rouge à gauche alors il y a un cercle jaune à droite. INTRODUCTION À LA DATA SCIENCE Fouad MEDJAHED CHAPITRE 1. LOGIQUE, QUANTIFICATEURS 4 1. S’il y a un carré rouge à gauche alors il n’y a pas un cercle jaune à droite. 2. S’il y a un carré rouge à gauche alors il y a un cercle jaune à droite. 3. il n’y a pas de carré rouge à gauche et il n’y a pas un cercle jaune à droite. 4. Aucune des propositions précédentes n’est vraie. Solution. Exercice 1.5. On considère la proposition : "Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas souvent". Cette proposition est équivalente à: 1. Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas. 2. Les personnes qui réfléchissent souvent ne parlent pas trop. 3. Les personnes qui réfléchissent souvent parlent trop. 4. Les personnes qui ne parlent pas trop réfléchissent souvent. 5. Aucune des propositions précédentes n’est vraie. Solution. 1.2 Quantificateurs Notations Les symboles suivants sont appelés quantificateurs et on les note: ∀: quel que soit. ∃: il existe. Exemples 3 L’assertion ∀n ∈ N, n ≥ 3 est fausse. En effet, tous les entiers naturels ne sont pas plus grands que 3. ∃n ∈ N, n ≥ 3 est vraie. En effet, on peut trouver un entier plus grand ou égal à 3 (par exemple 4). On peut encore ajouter le symbole ∃! qui signifie "il existe un unique". 1.2.1 Ordre et négations des quantificateurs Propriété Dans une assertion comportant plusieurs quantificateurs, leur ordre est primordial. INTRODUCTION À LA DATA SCIENCE Fouad MEDJAHED CHAPITRE 1. LOGIQUE, QUANTIFICATEURS 5 Exemples 4 ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y > x est vrai (il suffit de prendre y = x + 1). ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y > x est fausse (il n’existe pas de réel supérieur à tous les autres). Propriété Pour obtenir la négation d’une assertion comportant des quantificateurs, on remplace tous les ∀ par ∃, tous les ∃ par ∀ et la dernière assertion par sa négation. Exemple 5 La négation de ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y > x est: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, y ≤ x. Exercice 1.6. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies? 1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0. 2. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y > 0. 3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0. 4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x. Solution. Rappel sur la valeur absolue: si x ≥ 0  x Exercice 1.7. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies? |x| = −x si x < 0 1. ∃x ∈ R, (x + 1 = 0 et x + 2 = 0) Ex: |3| = 3 et | − 2| = 2. 2. (∃x ∈ R, x + 1 = 0) et (∃x ∈ R, x + 2 = 0) 3. ∀x ∈ R, (x + 1 6= 0 ou x + 2 6= 0) 4. ∃a ∈ R∗ , ∀ > 0, |a| <  5. ∀ > 0, ∃a ∈ R, |a| <  6. Aucune des réponses précédentes. Solution. INTRODUCTION À LA DATA SCIENCE Fouad MEDJAHED 2 Ensembles et parties 2.1 Définitions Définitions Un ensemble est une "collection" d’objets qui sont appelés éléments de l’ensemble. Si l’ensemble E contient l’élément x, on note x ∈ E. A est une partie ou sous-ensemble de E si tout élément de A appartient à E, c’est à dire x ∈ A ⇒ x ∈ E. On note A ⊂ E ou encore E ⊃ A. A E x L’ensemble vide qui ne contient aucun élément est noté ∅. Remarque: On a ainsi A = B ⇐⇒ A ⊂ B et B ⊂ A. Exemple 6 A ⊂ B ⊂ C signifie que A est inclus dans B qui est lui même inclus dans C: A B C CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET PARTIES 7 Notations N = {0, 1, 2, 3,...} ensemble des entiers naturels Z = {. .. , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} ensemble des entiers relatifs p Q= ; p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0 ensemble des nombres rationnels q R ensemble des nombres réels C ensemble des nombres complexes Ces ensembles sont construits de façon que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 2.2 Opérations sur les parties Définitions Soit A et B deux parties de E. On définit les parties de E suivantes: Réunion : A ∪ B} = {x ∈ E; x ∈ A ou x ∈ B}. | {z A union B B A Intersection : A ∩ B} = {x ∈ E; x ∈ A et x ∈ B}. | {z A inter B B A Complémentaire dans E, CE (A) = {x ∈ E; x 6∈ A} (noté aussi Ac ou E \ A) ou encore Ā. Ac A Différence : A \ B = {x ∈ E; x ∈ A et x 6∈ B} = A ∩ B c = CA (A ∩ B) | {z } A privé de B B A\B INTRODUCTION À LA DATA SCIENCE Fouad MEDJAHED CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET PARTIES 8 Exemples 7 CN {1, 2} = {0, 3, 4, 5,...} CR {1, 2} =] − ∞, 1[∪]1, 2[∪]2, +∞[ Définitions Deux parties A et B de E sont disjointes si A ∩ B = ∅. Elles sont complémentaires dans E si de plus A ∪ B = E. Propriétés A et B deux parties non vides d’un même ensemble, alors: A ⊂ B ⇒ B c ⊂ Ac B Bc Ac A Propriétés Pour A, B deux parties d’un même ensemble, (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Exercice 2.1. Pour A et B deux parties non vides d’un même ensemble X , l’assertion A ⊂ B équivaut à : 1. ∀x ∈ X, x ∈ B =⇒ x ∈ A 2. B ⊂ Ac 3. A ∩ B 6= ∅. 4. A ∪ B = B 5. ∀x ∈ X, x 6∈ B =⇒ x 6∈ A Solution. Exercice 2.2. Soit E un ensemble non vide contenant 3 ensembles A, B et C non vides tels que C ⊂ (A ∩ B). Les assertions suivantes sont-elles vraies? 1. A ∩ B 6= ∅ 2. A ∩ C 6= ∅ 3. B ∩ C = C 4. B ∪ C = B 5. (Ac ∪ B c ) ⊂ C c 6. ∃a ∈ A, a ∈ (B ∪ C) 7. X = Ac ∪ B ∪ C c 8. (Ac ∩ (B ∪ C c ))c = A ∪ (B c ∩ C) INTRODUCTION À LA DATA SCIENCE Fouad MEDJAHED CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET PARTIES 9 Solution. 2.3 Produit cartésien Un point du plan peut être repéré par ses coordonnées par exemple (−2, 3). L’ordre des nombres est important. Puisque chacun de ces deux nombres sont des réels, on note (−2, 3) ∈ R × R ou (−2, 3) ∈ R2. Définitions Soit E et F deux ensembles. On définit le produit cartésien E × F par E × F = {(a, b); a ∈ E, b ∈ F } L’élément (a, b) de E × F est appelé un couple. Si E = F , on note E 2 = E × E. Remarque: ATTENTION: {a, b} = {b, a} mais (a, b) 6= (b, a). Définition Soit E1 ,... , Ep des ensembles (avec p entier non nul). E1 × · · · × Ep = {(x1 ,... , xp ); ∀i ∈ {1, 2,... , p}, xi ∈ Ei }. L’élément (x1 ,... , xp ) de E1 ×· · ·×Ep est appelé un p-uplet alors que les éléments xi des Ei sont appelés les composantes du p-uplet. Exemple 8 L’ensemble contenant tous les triplets (3-uplets) de nombres réels est noté R3. On écrit : R3 = {(x, y, z)/x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R} est l’ensemble des triplets de la forme (x, y, z) tels que x, y et z représentent n’importe quels nombres réels. Ainsi (−2, 1, 3) est un élément de R3. Exercice 2.3. On considère le diagramme de Venn suivant, avec A, B, C trois parties d’un ensemble E et a, b, c, d, e, f, g, h des élements de E. Les assertions suivantes sont-elles vraies? 1. g ∈ A ∩ B̄ 2. g ∈ Ā ∩ B ×c 3. g ∈ Ā ∪ B̄ 4. f ∈ C\A ×b ×d 5. e ∈ A ∩ B ∩ C 6. {h, b} ⊂ Ā ∩ B̄ B ×e 7. {a, f } ⊂ A ∪ C 8. {a, f } ⊂ A ∩ C ×a ×f ×g 9. {h, c} ⊂ B ∪ C 10. (h, c) ∈ B × C A ×h 11. (h, c) ∈ C × B 12. (e, f ) ∈ C 2. C E Solution. INTRODUCTION À LA DATA SCIENCE Fouad MEDJAHED 3 Notations et P Q 3.1 Généralités Notations Soit deux entiers m ≤ n et xm ,... , xn des éléments de R. On note n xi la somme xm + · · · + xn. X i=m n xi le produit xm × · · · × xn. Y i=m Remarque: i est une variable "muette" qui n’a aucune signification en dehors du symbole ou. En particulier, on peut lui substituer n’importe quelle autre P Q variable (non affectée précédemment) n n n xi = xj = xk = · · · X X X i=m j=m k=m 3.2 Applications Exemples 9 n i2 = 12 + 22 · · · + n2. X i=1 n i = 1 × 2 × · · · × n que l’on note n!. Y i=1 Soit le 7-uplet x = (x1 ,... , x7 ) = (2, 3, 5, 9, −1, 2, 7.4), calculons avec le logiciel R: 7 1. X xk k=1 7 2. Y xi i=1 x