Cours d’algèbre 1 (séances 14 & 16 octobre 2024) PDF

Cours d’algèbre 1 ( séances 14 & 16 octobre 2024) Module 113 ó LEM-S1 K. Abdelmoumen Copyright © 2023 U NIVERSITÉ S IDI M OHAMED B EN A BDELLAH É COLE N ORMALE S UPÉRIEURE DE F ÈS D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES & INFORMATIQUE A NNÉE UNIVERSITAIRE : 2024-2025  Table des mati...

Cours d’algèbre 1 ( séances 14 & 16 octobre 2024) Module 113 ó LEM-S1 K. Abdelmoumen Copyright © 2023 U NIVERSITÉ S IDI M OHAMED B EN A BDELLAH É COLE N ORMALE S UPÉRIEURE DE F ÈS D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES & INFORMATIQUE A NNÉE UNIVERSITAIRE : 2024-2025  Table des matières 1 Éléments de logique et vocabulaire ensembliste.................... 5 1.1 Éléments de logique 5 1.1.1 Assertions............................................................ 5 1.1.2 Connecteurs logiques.................................................. 5 1.1.3 Raisonnement par l’absurde............................................. 7 1.1.4 Raisonnement par équivalences successives................................ 7 1.1.5 Raisonnement par disjonction des cas..................................... 7 1.1.6 Raisonnement par analyse-synthèse....................................... 7 1.1.7 Quantificateurs....................................................... 7 1.2 Opérations sur les ensembles 8 1.2.1 Inclusion............................................................. 8 1.2.2 Ensemble des parties d’un ensemble...................................... 9 1.2.3 Intersection et réunion.................................................. 9 1.2.4 Différence et différence symétrique....................................... 9 1.2.5 Couple, produit cartésien.............................................. 10  1. Éléments de logique et vocabulaire ensembliste 1.1 Éléments de logique 1.1.1 Assertions Définition 1.1 — Assertion. On appelle assertion (ou proposition) un énoncé mathématique, sans variable, auquel on peut attribuer une valeur de vérité (vrai : V (ou 1) ou faux : F (ou 0)). Exemples 1.1 1. «√7 est un entier pair » est une assertion fausse. 2. « 2 est un nombre irrationnel » est une assertion vraie. 3. « 2 = 5+ » n’est pas une assertion. 4. « n est un entier pair »n’est pas une assertion car sa valeur de vérité dépend de la valeur de n. Conventions Si P est une assertion : — on écrit la plupart du temps « on a P » ou «...donc P » au lieu de « on a P est vraie » ou « donc P est vraie ». — de même on écrit « supposons P » au lieu de « supposons P vraie ». Définition 1.2 — Négation. A une assertion P, on peut associer sa négation notée non P ou ¬P et qui est définie par la table de vérité suivante : P ¬P V F F V 1.1.2 Connecteurs logiques Définition 1.3 — Connecteurs logiques. A deux assertions P et Q on peut associer leur conjonction (P et Q), leur disjonction (P ou Q), l’implication (P ⇒ Q) et l’équivalence (P ⇔ Q) qui sont définies par la table de vérité suivante : 6 Chapitre 1. Éléments de logique et vocabulaire ensembliste P Q P et Q P ou Q P⇒Q P⇔Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Remarques 1.1 1. — P ⇒ Q est toujours vraie sauf dans le cas où P est vraie et Q est fausse. — Si P est fausse alors P ⇒ Q est vraie. — L’implication P ⇒ Q se lit aussi : si P alors Q. — Lorsque P ⇒ Q est vraie, on dit : « Q est une condition nécessaire de P » ou encore : « pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie ; mais on dit aussi : « P est une condition suffisante de Q » ou encore : « pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie ». 2. P ⇔ Q est vraie uniquement lorsque P et Q portent la même valeur de vérité. Exemples 1.2 √1. « 3 est un entier pair ⇒ 3 = 5 » est une assertion vraie. 2. « π ∈ / Q ⇒ 2 < 1 » est une assertion fausse. Proposition 1.2 Principe de non-contradiction : La proposition : (P et ¬P) est fausse. Toute assertion de cette forme est appelée une contradiction. Principe du tiers exclu : L’assertion : (P ou ¬P) est vraie. Propriétés 1.3 Soient P , Q et R trois assertions. Les assertions suivantes sont toujours vraies : (I) 1. (P et Q) ⇔ (Q et P) ; (P ou Q) ⇔ (Q ou P). 2. [(P et Q) et R] ⇔ [P et (Q et R)] ; [(P ou Q) ou R] ⇔ [P ou (Q ou R)]. 3. [P et (Q ou R)] ⇔ [(P et Q) ou (P et R)] ; [(P ou Q) et R] ⇔ [(P et R) ou (Q et R)]. 4. [P ou (Q et R)] ⇔ [(P ou Q) et (P ou R)] ; [(P et Q) ou R] ⇔ [(P ou R) et (Q ou R)]. (II) 1. ¬(¬P) ⇔ P. 2. ¬(P et Q) ⇔ (¬P ou ¬Q). 3. ¬(P ou Q) ⇔ (¬P et ¬Q). (III) 1. (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ou Q). 2. ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P et ¬Q). 3. (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) contraposée. 4. [(P ⇒ Q) et (Q ⇒ R)] ⇒ (P ⇒ R) transitivité. (IV) (P ⇔ Q) ⇔ [(P ⇒ Q) et (Q ⇒ P)]. Remarque 1.4 Pour montrer P ⇒ Q on a trois méthodes : 1. méthode directe : on suppose que P est vraie et on montre que Q est vraie. 2. méthode par contraposée : on suppose que Q est fausse et on montre que P est fausse. 3. méthode par l’absurde : à voir bien tôt. Exemple 1.1 Soit n ∈ N. Montrer : n est pair ⇔ n2 est pair.  1.1 Éléments de logique 7 1.1.3 Raisonnement par l’absurde On cherche à montrer qu’une assertion P est vraie, pour cela, on suppose que P est fausse et on montre que cela entraîne une contradiction avec une assertion Q qu’on sait déjà qu’elle est vraie. √ Exemple 1.2 Montrer : 2 ∈ / Q. Remarque 1.5 Pour montrer P ⇒ Q par l’absurde : on suppose le contraire de P ⇒ Q, c’est-à-dire on suppose « P et ¬Q »(i.e. P est vraie et Q est fausse). On montre alors que ceci conduit à une contradiction. √ Exemple 1.3 On rappelle que 2 est un nombre irrationnel. Soient a et b deux entiers √ relatifs. Montrer que : a + b 2 = 0 =⇒ a = b = 0. 1.1.4 Raisonnement par équivalences successives Le raisonnement par équivalences successives repose sur l’équivalence suivante : [(P ⇔ Q) et (Q ⇔ R)] ⇔ (P ⇔ R). Exemple 1.4 Cherchons les solutions réelles de l’équation : (E) x3 − 9x = 0 1.1.5 Raisonnement par disjonction des cas Exemple 1.5 — Raisonnement par disjonction des cas. Soit x ∈ R. montrer que : | x − 2 |≤ x2 − x + 2 1.1.6 Raisonnement par analyse-synthèse Le raisonnement par analyse-synthèse est utilisé lorsqu’on cherche la ou les solutions à un problème. Il se déroule en deux étapes : l’analyse : on suppose que l’on a une solution du problème et on cherche à en déduire toutes les propriétés possibles de cette solution, l’objectif étant d’essayer de l’identifier au mieux ; la synthèse : elle consiste à déterminer parmi tous les objets mathématiques ayant les propriétés requises (obtenues lors de l’analyse), ceux qui sont effectivement solutions du problème. Exemple 1.6 Prouver que toute fonction f définie sur R s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire g et d’une fonction impaire h.. 1.1.7 Quantificateurs Ensembles — Un ensemble E est une collection d’objets, chaque objet x de E est dit un élément de E et on écrit x ∈ E. — L’ensemble vide est celui qui ne contient aucun élément et il est noté 0. / — Un ensemble qui contient un seul élément x est appelé un singleton et est noté {x}. Prédicats Un prédicat est un énoncé mathématique qui contient (au moins) une variable d’un certain ensemble tel que lorsqu’on attribue une valeur à chacune des variables y figurant, on obtient une assertion. Exemples 1.3 1. « n2 + 1 est un nombre premier » est un prédicat dont la variable n appartient à N. 2. x2 + x + 1 + y2 = 0 est un prédicat à deux variables, chacune d’entre elles appartient à C.  8 Chapitre 1. Éléments de logique et vocabulaire ensembliste Quantificateurs Soit P(x) un prédicat à une variable x d’un ensemble E. On peut alors construire : — l’assertion : (∀x ∈ E) P(x) * qui se lit « pour tout x de E, on a P(x) », * qui, par définition, vraie lorsque l’assertion P(a) est vraie pour tout élément a de E ; le symbole « ∀ » est appelé quantificateur universel ; — l’assertion : (∃x ∈ E) P(x) * qui se lit « il existe un x de E tel que P(x) », * qui, par définition, est vraie lorsqu’il existe (au moins) un élément a de E tel que l’assertion P(a) soit vraie ; le symbole « ∃ » est appelé quantificateur existentiel. Remarque 1.6 L’assertion (∃!x ∈ E) P(x) se lit « il existe un unique x ∈ E tel que P(x) » et elle est vraie lorsqu’il existe un et un seul élément a de E tel que l’assertion P(a) soit vraie. Exemples 1.4 1. L’assertion « (∀x ∈ R) x2 + 1 ≥ 0 » est vraie. 2. L’assertion « (∀x ∈ R) x2 − 1 ≥ 0 » est fausse. 3. L’assertion « (∃x ∈ R) x2 − 1 ≥ 0 » est vraie. La négation de « (∀x ∈ E) P(x) » est « (∃x ∈ E) ¬P(x) » et la négation de « (∃x ∈ E) P(x) » est « (∀x ∈ E) ¬P(x) ». Exemple 1.7 Écrire la négation de : A : (∀x ∈ R)(∃n ∈ N) n > x. B : (∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ R) (|x − 1| ≤ α ⇒ |x2 − 1| ≤ ε). Remarque 1.7 L’ordre des quantificateurs de nature différente est essentiel. Exploiter une hypothèse du type « ∀x ∈ E, P(x) » Exercice 1.1 Soient α, β ∈ R. On suppose que : ∀x ∈ R, α cos x + β sin x = 0. Montrer : α = β = 0. Montrer une assertion de la forme « ∃x ∈ E, P(x) » Exercice : Soient a et b deux réels tels que a < b. Montrer qu’il existe un réel tel que a < x < b. 1.2 Opérations sur les ensembles 1.2.1 Inclusion Soient E et F deux ensembles quelconques. On écrit — E ⊂ F pour signifier : ∀x, x ∈ E ⇒ x ∈ F; — E = F pour signifier : ∀x, x ∈ E ⇔ x ∈ F. Propriétés 1.8 Soient E, F et G trois ensembles. 1. 0/ ⊂ E ; E ⊂ E. 2. (E = F) ⇔ (E ⊂ F et F ⊂ E). 3. (E ⊂ F et F ⊂ G) ⇒ (E ⊂ G).  1.2 Opérations sur les ensembles 9 1.2.2 Ensemble des parties d’un ensemble Soit E un ensemble quelconque, l’ensemble des parties de E, noté P(E), est défini par : X ∈ P(E) ⇔ X ⊂ E. Exemple1.8 E = {a, b, c}.  P(E) = 0, / {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E. Remarque 1.9 P(E) n’est jamais vide car 0/ ∈ P(E) et E ∈ P(E). 1.2.3 Intersection et réunion Soient E et F deux ensembles. On définit l’intersection E ∩ F et la réunion E ∪ F de E et F par : E ∩ F = {x | x ∈ E et x ∈ F} ; E ∪ F = {x | x ∈ E ou x ∈ F}. E ∩ 0/ = 0/ ; E ∪ 0/ = E; E ∩E = E ; E ∪ E = E; Remarque 1.10 E ∩F = F ∩E ; E ∪ F = F ∪ E; E ∩ F ⊂ E et E ∩ F ⊂ F ; E ⊂ E ∪ F et F ⊂ E ∪ F. Définition 1.4 On dit que deux ensembles E et F sont disjoints si E ∩ F = 0. / Propriétés 1.11 Soient E, F et G trois ensembles. Alors 1. E ∩ F = E ⇔ E ⊂ F ; E ∪ F = E ⇔ F ⊂ E. 2. (E ∩ F) ∩ G = E ∩ (F ∩ G) ; (E ∪ F) ∪ G = E ∪ (F ∪ G). 3. E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ (E ∩ G) ; (E ∪ F) ∩ G = (E ∩ G) ∪ (F ∩ G). 4. E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G) ; (E ∩ F) ∪ G = (E ∪ G) ∩ (F ∪ G). 1.2.4 Différence et différence symétrique Définition 1.5 — Différence, complémentaire. Soient E et F deux ensembles. — On appelle différence de E et F, l’ensemble, noté E\F, des éléments qui sont dans E mais pas dans F; on a donc x ∈ E\F ⇔ (x ∈ E et x ∈ / F.) — Lorsque F ⊂ E, l’ensemble E\F s’appelle complémentaire de F dans E, et il se note CFE ou F. Propriétés 1.12 Soient A et B deux parties d’un même ensemble Ω, A = CAΩ et B = CBΩ. Alors 1. A = A ; A ∩ A = 0/ ; A ∪ A = Ω. 2. A ⊂ B ⇔ B ⊂ A. 3. A ∩ B = 0/ ⇔ B ⊂ A ⇔ A ⊂ B. 4. A ∪ B = A ∩ B ; A ∩ B = A ∪ B. 5. A\B = A ∩ B.  10 Chapitre 1. Éléments de logique et vocabulaire ensembliste Définition 1.6 — Différence symétrique. Soient E et F deux ensembles. On appelle différence symétrique de E et F, l’ensemble, noté E∆F, défini par : E∆F = (E\F) ∪ (F\E). Propriétés 1.13 Soient A, B et C trois ensembles. Alors 1. A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B). 2. (A∆B)∆C = A∆(B∆C). (∆ est associative) Démonstration. À faire en ex. 1.2.5 Couple, produit cartésien À partir de deux éléments x, y, on peut construire le couple (x, y) avec, si x1 , y1 , x2 et y2 sont des éléments, la propriété fondamentale : (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ (x1 = x2 et y1 = y2 ). Définition 1.7 — Produit cartésien. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F, l’ensemble, noté E × F, des couples (x, y) avec x ∈ E et y ∈ F. On a donc E × F = {(x, y) | x ∈ E et y ∈ F}. Ainsi, on a : z ∈ E × F ⇐⇒ (∃x ∈ E , ∃y ∈ F / z = (x, y)). Exercice 1.2 Décrire E × F lorsque E = {1, 2} et F = {1, 2, 3}. Propriétés 1.14 Soient E, F et G trois ensembles. Alors 1. E × F = 0/ ⇔ (E = 0/ ou F = 0). / 2. E × (F ∪ G) = (E × F) ∪ (E × G) ; (E ∪ F) × G = (E × G) ∪ (F × G). 3. E × (F ∩ G) = (E × F) ∩ (E × G) ; (E ∩ F) × G = (E × G) ∩ (F × G). Remarque 1.15 Si x ̸= y, alors (x, y) ̸= (y, x). E ×F = ̸ F × E, lorsque E et F sont distincts et non vides. Définition 1.8 Soient n ∈ N∗ , n ≥ 2 et E1 , E2 ,... , En des ensembles. — On définit le produit cartésien E1 × E2 ×... En par : E1 × E2 ×... En = {(x1 , x2 ,... , xn ) | x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 ,... , xn ∈ En }. — (x1 , x2 ,... , xn ) s’appelle un n-uplet. — Si E1 = E2 = · · · = En = E, alors E1 × E2 ×... En est noté E n. Exemple 1.9 Soit E = {0, 1}. Décrire E 3.