Chapter 4 - Real and Sequences PDF

BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 4 – Réels et suites pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Ensemble des nombres réels Valeur absolue . . . . . . . . . ....

BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 4 – Réels et suites pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Ensemble des nombres réels Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Maximum, minimum et intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Bornes supérieures et inférieures (appro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 in e TC H AT AG BA 1.1 6 Sa br 2 Suites réelles Définition et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Suites arithmétiques, suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 BA Ex em pl ai re de 2.1 10 AG 3 Convergence des suites réelles Définition de la limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Passage à la limite et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re de Sa br in e TC H AT 3.1 14 Ex em pl ai 4 En Python 14 17 6 Blind-test 18 H AT AG BA 5 Méthodes « Les mathématiques, science de l’éternel et de l’immuable, sont la science de l’irréel. » 1 Ernest Renan 1 Remarque. On ne prétend pas définir formellement l’ensemble des réels R, car cela dépasse largement le BA programme. On se satisfera de la définition suivante : un réel est un nombre pouvant s’écrire de la forme 7 3 = 2, 3333... est un réel. Valeur absolue Sa br in e 1.1 TC H (potentiellement infinie), est la partie décimale. Par exemple AT AG n + d, où n ∈ Z est dite la partie entière et 0 ⩽ d < 1, d formant une suite de chiffres après la virgule de Définition (Min et max) Ex em pl ai re Soient x et y deux réels. On note max(x, y) la plus grande valeur et min(x, y) la plus petite. AT AG BA Exemple 1. max(5, π) = 5, min(5, π) = π. e . ai re de Sa br in  x si x ⩾ 0 Soit x ∈ R. On définit la valeur absolue de x par |x| = max(x, −x) = −x si x < 0 TC H Définition (Valeur absolue) Ex em pl Proposition AG BA Soit (x, y) ∈ R2 H TC |y| y = x |x| in e 4. ∀n ∈ N, |xn | = |x|n br 3. Si x ̸= 0, 2. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 AT 1. |xy| = |x||y| 6. |x| ⩽ r ⇐⇒ −r ⩽ x ⩽ r de Sa 5. −|x| ⩽ x ⩽ |x| 8. √ x2 = |x| et si x ⩾ 0, BA Ex em pl ai re 7. x2 = |x|2 AT AG Proposition (Inégalités triangulaires) TC H Soit (a, b) ∈ R2 . Soit (xi )i∈J1,nK ∈ Rn . 2. br in e 1. ||a| − |b|| ⩽ |a + b| ⩽ |a| + |b| n X n X i=1 ai re de Sa i=1 xi ⩽ pl Ex em 1.2 Partie entière AG BA Proposition (Existence et unicité de la partie entière) AT H Ensemble des nombres réels ∀x ∈ R, ∃!n ∈ Z, n ⩽ x < n + 1 2 |xi | √ 2 x =x Définition (Partie entière) AT AG BA L’entier n défini par la proposition ci-dessus est appelé la partie entière de x, notée ⌊x⌋. TC H Proposition Sa br in e 1. On a pour tout x ∈ R, ⌊x⌋ ⩽ x < ⌊x⌋ + 1 et x − 1 < ⌊x⌋ ⩽ x. pl ai re de 2. La fonction partie entière est croissante. AT AG TC H Proposition de Sa br in e ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, ⌊n + x⌋ = n + ⌊x⌋ re Attention. ⌊x + y⌋ ̸= ⌊x⌋ + ⌊y⌋ et ⌊nx⌋ ̸= n⌊x⌋ pour n ∈ Z. pl em Ex ⌊nx⌋ n AG BA lim n→+∞ ai Par exemple ⌊2 × 0, 6⌋ = ⌊1, 2⌋ = 1 tandis que 2 × ⌊0, 6⌋ = 0 Exercice 1. Soit x ∈ R. Calculons br in e TC H AT ⌊nx⌋ ⌊nx⌋ nx 1 nx − 1 < ⩽ . On a donc x − < ⩽x n n n n n Donc en passant à la limite, la suite converge vers x par théorème d’encadrement. Maximum, minimum et intervalle de Sa 1.3 pl ai re Définition (Majorant, minorant d’un ensemble) em Soit A un sous-ensemble de R. un majorant (resp. minorant) de A est un élément M de R AG BA Ex tel que : ∀x ∈ A, x ⩽ M (resp. x ⩾ M ) br in e TC H AT Si A possède un majorant (resp. minorant) on dit que A est majoré (resp. minoré). E1 =] − ∞, 2] ; E2 = [0, 5[ ; E3 =] − 3, 2] ∪ [3, +∞[. Ex em pl ai re de Sa Exercice 2. Donnons, s’ils existent, des majorants et minorants des ensembles suivants : BA E1 n’est pas minoré mais est majoré, par exemple par 2. E2 est minoré et majoré (par exemple 0 et 5 resp.). E3 est minoré, par exemple par −3, mais pas majoré. H AT AG Ex BA les nombres négatifs, il y a un décalage de 1. em Attention. On a ⌊2, 5⌋ = 2 ; ⌊1⌋ = 1 mais ⌊−1, 3⌋ = −2 et ⌊−4, 26⌋ = −5. Ainsi pour les nombres positifs, la partie entière est bien la partie «entière» du nombre, tandis que pour 3 Définition (Maximum, minimum) Soit A ⊂ R. On dit que M est le maximum (resp. minimum) de A si M ∈ A et : AT AG BA ∀x ∈ A, x ⩽ M (resp. x ⩾ M ) Sa br in e TC H On note ce maximum (resp. minimum) max A (resp . min A). de Proposition AT AG tent, il ne sont pas uniques. H • De même, A n’admet pas nécessairement de maximum ou minimum. Par contre, s’ils existent, ils e TC sont uniques (voir ci-dessus). Sa br in Proposition de Si A ⊂ R n’est pas majoré, il n’admet pas de maximum. S’il est pas minoré, il n’admet pas de Ex em pl ai re minimum. AG BA Exercice 3. Donnons, s’ils existent, les maximums et minimums des ensembles suivants : TC H AT E1 =] − ∞, 2] ; E2 = [0, 5[ ; E3 =] − 3, 2] ∪ [3, +∞[. br in e • E1 n’est pas minoré donc n’a pas de minimum, son maximum est 2 puisque 2 ∈ E1 et ∀x ∈ E1 , x ⩽ 2. Sa • E2 a un minimum, c’est 0, mais n’a pas de maximum puisque 5 ∈ / E2 . ai re de • E3 n’a pas de minimum puisque −3 ∈ / E3 , et n’est pas majoré donc n’a pas de maximum. em pl Intuition. Un intervalle est un ensemble de réels n’ayant «pas de trous». Si deux nombres sont dans un AT AG BA Ex intervalle, tous les nombres entre les deux le sont. C’est la définition ci-dessous. Définition (Intervalles) H • Soient a ⩽ b des réels ou l’infini. On note [a, b] l’ensemble des réels x tels que a ⩽ x ⩽ b. e TC On note de même ]a, b], [a, b[ et ]a, b[, en remplaçant ⩽ par <. ∀(x, y) ∈ I 2 tel que x ⩽ y, ∀z ∈ R, (z ∈ [x, y] ⇒ z ∈ I) Ex em pl ai re de Sa br in • Un ensemble I ⊂ R est un intervalle si AG BA Proposition Pour tous a ⩽ b, avec a et b des réels ou l’infini, les ensembles de la forme [a, b], ]a, b], [a, b[ ou ]a, b[ sont des intervalles. H AT Ex BA • Un ensemble A ne possède pas nécessairement de majorant ou minorant, et s’ils exis- Remarque. em pl ai re Soit A ⊂ R. Si max(A) existe, il est unique. Si min(A) existe, il est unique. Exemple 2. [0, 1 [, [2, 14], R+ , R sont des intervalles. R∗ n’est pas intervalle puisque 0 ∈ / R∗ alors que −1 ∈ R∗ et 1 ∈ R∗ . 4 1.4 Théorème (Théorème de la borne supérieure – admis) BA Tout sous-ensemble A de R non vide et majoré (resp. minoré) admet un plus petit majorant Sa br in e TC H AT AG (resp. un plus grand minorant). Remarque. Ce théorème est une propriété fondamentale de l’ensemble R. Il n’est pas vrai pour Q par de exemple. pl ai re Définition (Borne supérieure, borne inférieure) Ex em Soit A ⊂ R non vide et majoré (resp. minoré). On appelle borne supérieure de A (resp. BA borne inférieure) et on note sup A (resp. inf A ) le plus petit (resp. plus grand) majorant de TC H AT AG A (resp. minorant). in e Remarque. On peut voir dans certains manuels que quand A n’est pas majoré (resp. minoré), on pose Sa br sup A = +∞ (resp. inf A = −∞). C’est un abus de notation, et on considérera même ici que A «n’admet re de pas de borne supérieure» (resp. inférieure). em pl ai Proposition BA Ex 1. Si A ⊂ R admet un maximum, il admet une borne supérieure et max(A) = sup(A). AG 2. Si A ⊂ R admet un minimum, il admet une borne inférieure et min(A) = inf(A). AT 3. Si A ⊂ R n’est pas majoré (resp. minoré), il n’admet pas de borne supérieure (resp. TC H inférieure). br in e 4. Un intervalle I de la forme ]a, b[ ou [a, b[ ou ]a, b] ou [a, b] avec a, b ∈ R, a < b admet une pl ai re de Sa borne supérieure et une borne inférieure, et inf(I) = a, sup(I) = b. em Attention. La réciproque sup(A) existe ⇒ max(A) existe est fausse. Par exemple sup(]0, 1[) = 1 mais il BA Ex n’y a pas de maximum puisque 1 ∈]0, / 1[. H AT AG Exercice 4. Donnons les bornes inférieures et supérieures des ensembles suivants : br in e TC E1 =] − ∞, 2] ; E2 = [0, 5[ ; E3 =] − 3, 2] ∪ [3, +∞[. de Sa • E1 n’a pas de borne inférieure puisqu’il n’est pas minoré. sup E1 = max E1 = 2. ai re • inf E2 = min E2 = 0. E2 est non vide et majoré (par 5) donc sup E2 existe, et par le cours sup E2 = 5. AG BA Ex em pl • E3 est non vide et minoré (par −3) donc inf E3 existe. Pour l’exemple, montrons que inf E3 = −3. AT H Bornes supérieures et inférieures (appro) Supposons inf E3 > −3. Il est clair que inf E3 < 2, donc inf E3 ∈ E3 . −3 + inf E3 , on a −3 < x < inf E3 < 2 donc x ∈ E3 . On pose x = 2 inf E3 ne minore donc pas E3 , absurde. D’où inf E3 ⩽ −3, et par définition de inf, on a inf E3 = −3. E3 n’est pas majoré donc n’a pas de borne supérieure. 5 Proposition (Caractérisation de la borne supérieure, de la borne inférieure) Soit A une partie non vide de R. Alors : BA TC Sa br in e Remarque. En cas d’existence, sup(A) et inf(A) sont uniques, puisqu’on ne peut pas avoir deux plus de petits majorants (resp. minorants) distincts. sup(A) et inf(A) ne sont pas forcément dans A, par exemple em BA 2.1 Ex Suites réelles Définition et opérations AT AG 2 pl ai re sup(]0, 1[) = 1 ∈]0, / 1[. TC H Définition (Suite réelle) br in e Soit n0 ∈ N. Une suite réelle est une application u de E = Jn0 , +∞J dans R. On la note Sa (un )n∈E , (un )E ou encore (un ). de Il existe plusieurs grandes catégories de suites. On note à chaque fois f une fonction de I ⊂ R ai re dans R (ou U ⊂ R2 dans R pour la récurrence double), on suppose f toujours bien définie peu em pl importe n ∈ E. BA Ex • les suites définies explicitement : ∀n ∈ E, un = f (n) AG • les suites définies par récurrence simple : un0 ∈ R et ∀n ∈ E, un+1 = f (un ) AT • les suites définies par récurrence double : un0 , un0 +1 ∈ R et ∀n ∈ E, un+2 = TC H f ((un , un+1 )) br in e • les suites définies par récurrence triple, quadruple etc. de même. Sa • les suites définies implicitement : pour tout n ∈ E, on définit un comme l’unique BA Ex  N → R n 7→ 2n2 − 3en est une suite définie sur N. On peut la noter (un )n∈N , (un )N , (un ) AG Exemple 3. u : em pl ai re de solution de fn (x) = 0, où fn est une certaine fonction paramétrée par n. H AT ou tout simplement u. in e TC Définition (Opérations) Sa br Soient u et v deux suites réelles définies sur E ⊂ N. Soit λ ∈ R. de • u + v est la suite définie sur E par ∀n ∈ E, (u + v)n = un + vn • uv est la suite définie sur E par ∀n ∈ E, (uv)n = un vn AG BA Ex em pl ai re • λu est la suite définie sur E par ∀n ∈ E, (λu)n = λun AT H
H 2. m = inf A ⇐⇒ M est un majorant de A, et ∀ε > 0, ∃a ∈ A, M − ε < a
m est un minorant de A, et ∀ε > 0, ∃a ∈ A, m + ε > a AT AG 1. M = sup A ⇐⇒ Remarque. On définit de même u − v, comme pour les fonctions ! u v , u etc. tant qu’on peut les définir sans problème. Bref, c’est v 6 Proposition Si deux suites ont les mêmes premiers termes et vérifient la même relation de récurrence, elles TC H Remarque. Dans toute la suite, on considère une suite (un ) définie sur N, mais cela reste valable pour Sa br in e toute suite définie sur E ⊂ N. de Définition (Variations d’une suite) pl ai re Une suite réelle (un )n∈N est dite : em • croissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 ⩾ un . BA Ex • décroissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 ⩽ un . AT AG • monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante. • constante lorsque pour tout entier n, un+1 = un , i.e il existe c ∈ R tel que pour tout TC H entier n, un = c. Sa de • strictement décroissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 < un . br in e • strictement croissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 > un . re • strictement monotone lorsqu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante. BA Ex em pl ai • stationnaire lorsqu’il existe c ∈ R et n0 ∈ N tels que pour tout entier n ⩾ n0 , un = c. AT AG Définition (Suites majorées, minorées, bornées) TC H Une suite (un ) est dite : in e • majorée si ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un ⩽ M (on dit que M est un majorant de la suite). Sa br • minorée si ∃m ∈ R, ∀n ∈ N, un ⩾ m (on dit que m est un minorant de la suite). Ex em pl ai re de • bornée si elle est à la fois majorée et minorée, i.e ∃B > 0, ∀n ∈ N, |un | ⩽ B. Suites arithmétiques, suites géométriques BA 2.2 H AT AG Définition (Suites arithmétiques et géométriques) TC • Une suite (un ) est arithmétique s’il existe r ∈ R tel que pour tout n ∈ N, un+1 = un +r. br in e r est appelé raison de la suite. Sa • Une suite (un ) est géométrique s’il existe q ∈ R tel que pour tout n ∈ N, un+1 = q × un . Ex em pl ai re de q est appelé raison de la suite. AG BA Proposition (Terme général des suites arithmétiques et géométriques) AT H AT AG BA sont égales. 1. Soit (un ) une suite arithmétique de raison r. Alors ∀p ∈ J0, nK, un = up + (n − p)r. En particulier, un = u0 + nr. 2. Soit (un ) une suite géométrique de raison q. Alors ∀p ∈ J0, nK, un = up q n−p . En particulier, un = u0 q n . 7 2.3 Définition (Suite arithmético-géométriques) BA On dit que la suite (un ) est arithmético-géométrique lorsqu’il existe deux réels a ̸= 1 et b TC H AT AG tels que ∀n ∈ N, un+1 = aun + b Sa br in e Proposition (Terme général d’une suite géométrique) de Soit (un ) une suite arithmético-géométrique qui vérifie pour tout n ∈ N, un+1 = aun + b, avec em b 1−a AT AG BA avec c = Ex un = an−p (up − c) + c pl ai re (a, b) ∈ R\{1} × R. Alors, pour tous entiers n et p tels que p ⩽ n, H Remarque. On peut retenir ce résultat, même s’il est à la limite du programme. Si l’énoncé le demande, in e TC on fera la méthode ci-dessous sans utiliser directement la formule. Sa br Méthode (Retrouver le terme général d’une suite arithmético-géométrique) re de Soit (un ) une suite vérifiant ∀n ∈ N, un+1 = aun + b, avec a ̸= 1. Pour trouver son terme pl ai général : Ex em 1. On résout x = ax + b, on note c son unique solution. BA 2. On pose la suite auxiliaire (vn ) telle que ∀n ∈ N, vn = un − c. AT AG On montre que ∀n ∈ N, vn+1 = avn br in e TC H 3. Puisque (vn ) est géométrique, vn = an−p vp d’où la formule ci-dessus. de Sa Exercice 5. Soit (un ) la suite vérifiant u0 = 4 et ∀n ∈ N, un+1 = −2un + 3. Exprimons un en fonction ai re de n. em pl (un ) est une suite arithmético-géométrique. On a x = −2x + 3 ⇐⇒ 3x = 3 ⇐⇒ x = 1 BA Ex Posons (vn ) telle que ∀n ∈ N, vn = un − 1. Donc pour n ∈ N, AT AG vn+1 = un+1 − 1 = −2un + 3 − 1 = −2(vn + 1) + 2 = −2vn TC H donc (vn ) est géométrique de raison −2. Sa br in e Ainsi ∀n ∈ N, vn = v0 (−2)n , d’où un = (u0 − 1)(−2)n + 1 = 3(−2)n + 1 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 re de 2.4 Ex em pl ai Définition (Suite récurrente linéaire d’ordre 2) AG BA On dit que la suite (un ) est récurrente linéaire d’ordre 2 lorsqu’il existe (a, b) ∈ R2 \{(0, 0)} AT H Suites arithmético-géométriques tels que : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun On dit que son équation caractéristique est (Ec ) : x2 = ax + b. 8 Théorème (Étude d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2) On suppose que pour tout n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun . Soit ∆ le discriminant de l’équation AT AG 1. Si ∆ > 0, en notant q1 et q2 les solution de (Ec ), alors Sa br in e TC H ∃!(α, β) ∈ R2 , ∀n ∈ N, un = αq1n + βq2n 2. Si ∆ = 0, en notant q l’unique solution de (Ec ), alors em pl ai re de ∃!(α, β) ∈ R2 , ∀n ∈ N, un = (αn + β)q n BA Ex Remarque. Sachez par curiosité, même si c’est hors-programme, qui si ∆ < 0, on a : AT AG ∃!(α, β, ρ, θ) ∈ R2 × R∗+ × [0, 2π[, ∀n ∈ N, un = ρn (α cos(nθ) + β sin(nθ)) e TC H Méthode (Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2) br in Soit (un ) une suite vérifiant u0 , u1 ∈ R et ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun , où (a, b) ∈ R2 \{(0, 0)} de Sa Pour expliciter cette suite : ai re 1. On résout x2 = ax + b en calculant ∆. em pl 2. Si ∆ > 0, on pose q1 et q2 ses racines et on trouve α et β en résolvant BA i.e AG 1   u0 = α + β u1 = αq1 + βq2 Ex  u0 = αq 0 + βq 0 1 2 u1 = αq 1 + βq 1 AT 2 e in br Sa i.e   u0 = β u1 = (α + β)q pl ai re de  u0 = (α × 0 + β)q 0 u1 = (α × 1 + β)q 1 TC H Si ∆ = 0, on pose q son unique racine, et on trouve α et β en résolvant Ex em Remarque. Il peut arriver parfois que (un ) soit définie à partir de n ⩾ 1 (ou n ⩾ p quelconque). On BA utilise dans ce cas la même méthode, mais le système pour trouver α et β sera plus compliqué à résoudre AG puisqu’on remplacera n par 1 et 2, et non 0 et 1. e TC H AT  u0 = 1, u1 = 3 Exercice 6. Déterminer le terme général de la suite (un ) définie par ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + 2un br in C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. On résout son équation caractéristique x2 = x + 2, i.e Sa x2 − x − 2 = 0. de 1−3 1+3 = 2 et q2 = = −1 2 2 n n D’après  un = α2 + β(−1)  le cours, il existe α, β réels tels que ∀n ∈ N, 1 + 3 = 3α 1 = u0 = α20 + β(−1)0 = α + β (L1 ← L1 + L2 ) donc α = 34 ⇐⇒ Ainsi β = 1 − α 3 = u1 = α21 + β(−1)1 = 2α − β (L2 ← L1 ) donc β = 1 − 43 = − 31 4 1 D’où ∀n ∈ N, un = 2n − (−1)n 3 3 AG BA Ex em pl ai re ∆ = 9 > 0 donc on a deux solutions : q1 = AT H BA caractéristique. Astuce. Pour être sûr qu’on a trouvé le bon résultat, on vérifie au brouillon si l’équation marche pour n = 0 et n = 1. Démonstration avec l’exercice précédent : 4 0 1 4 1 2 − (−1)0 = − = 1 = u0 3 3 3 3 et 9 4 1 1 8 1 2 − (−1)1 = + = 3 = u1 3 3 3 3 3 Convergence des suites réelles 3.1 Définition de la limite d’une suite AT AG BA Définition (Convergence d’une suite) TC H • Soit ℓ ∈ R. On dit que la suite (un ) converge (ou tend) vers ℓ si On dit que (un ) admet une limite finie. On note Sa br in e ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ⩾ N, |un − ℓ| < ε lim un = ℓ ou un −→ ℓ. n→+∞ n→+∞ pl ai re de • Si une suite n’admet pas de limite finie, on dit qu’elle diverge. em • On dit que (un ) admet +∞ pour limite (ou tend vers +∞) lorsque BA Ex ∀A > 0, ∃N ∈ N, ∀n ⩾ N, un ⩾ A AT AG • On dit que (un ) admet −∞ pour limite (ou tend vers +∞) lorsque Sa br in e TC H ∀A < 0, ∃N ∈ N, ∀n ⩾ N, un ⩽ A de Remarque. |un − ℓ| < ε ⇐⇒ ℓ − ε < un < ℓ + ε. Quand (un ) converge vers ℓ, on a donc de façon pl em ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ⩾ N, ℓ − ε < un < ℓ + ε ai re équivalente BA Ex Cette forme est généralement plus pratique pour les calculs. AG Attention. Evitons de dire «converge vers +∞» puisque si une suite tend vers +∞, rigoureusement elle TC H AT ne converge pas. in e Exercice 7. Montrons formellement que la suite (un ) définie par un = 3n − 5 diverge vers +∞. Sa br Soit A > 0. On cherche N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, un ⩾ A re de En posant N = ⌊A⌋ + 5, on est certain de vérifier cela. En effet : em pl ai ∀n ⩾ N, un = 3n − 5 ⩾ uN = 3(⌊A⌋ + 5) − 5 = 3⌊A⌋ + 10 > ⌊A⌋ + 1 > A BA Ex Remarque. Dans toutes les définitions de limites (à l’exception de ε > 0), on peut remplacer les > par AG des ⩾, et inversement. Cela donne des définitions équivalentes. TC H AT Remarque. Il y a 3 cas possibles pour la limite d’une suite. in e • La limite existe et est finie : on dit que la suite est convergente. Sa br • La limite existe et est infinie : on dit que la suite est divergente. re de • La suite n’admet pas de limite : on dit à nouveau que la suite est divergente. Ex em pl ai Théorème (Unicité de la limite) Proposition H AT AG BA Lorsque la limite de la suite (un ) existe, elle est unique. Soit (un ) une suite et ℓ ∈ R. Alors lim un = ℓ ⇐⇒ n→+∞ 10 lim un −ℓ = 0 ⇐⇒ n→+∞ lim |un − ℓ| = 0 n→+∞ Proposition AT AG BA Toute suite convergente est bornée. TC H Attention. La réciproque est fausse : ((−1)n ) est bornée et diverge. Sa br in e Proposition Soit (un )n∈N une suite réelle. pl ai re de 1. Si (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N convergent vers une même limite ℓ, (un ) converge vers ℓ. 2. Si (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N ne convergent pas vers la même limite ou si l’une ne converge H Opérations sur les limites TC 3.2 AT AG BA Ex em pas, (un ) ne converge pas. in e Remarque. Tous les tableaux qui suivent sont pour l’essentiel faciles à retenir quand on garde en tête les • lim λu = λ lim u • lim(uv) = lim u × lim v • lim de • lim(u + v) = lim u + lim v Sa br opérations suivantes : Ex em pl ai re lim u u = v lim v On manipulera cependant ces formules avec grande prudence. Elles sont en effet toutes vraies à l’exception BA de tous les cas de forme indéterminée, ce qui fait beaucoup d’exceptions ! Au lieu de les invoquer telles AT AG quelles sur votre copie, écrivez plutôt «Par somme/produit/quotient de limites, ...» in e TC H Proposition (Limite de (un + vn ) – admis) lim vn = ℓ′ lim un = +∞ de ℓ + ℓ′ −∞ +∞ +∞ F.I. −∞ F.I. −∞ em ai re +∞ H AT AG BA lim un = −∞ n→+∞ Ex n→+∞ lim vn = −∞ n→+∞ pl lim un = ℓ n→+∞ lim vn = +∞ n→+∞ Sa n→+∞ br lim (un + vn ) n→+∞ br in e TC Proposition (Limite de (un vn ) – admis) Sa lim (un vn ) lim vn = ℓ′ > 0 n→+∞ = ℓ′ < 0 =0 = +∞ = −∞ lim un = ℓ > 0 ℓℓ′ ℓℓ′ 0 +∞ −∞ lim un = ℓ < 0 ℓℓ′ ℓℓ′ 0 −∞ +∞ lim un = 0 0 0 0 F.I. F.I. lim un = +∞ +∞ −∞ F.I. +∞ −∞ lim un = −∞ −∞ +∞ F.I. −∞ +∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ H AT AG BA Ex em pl ai re de n→+∞ n→+∞ 11  lim un lim 1 un   0+ 0− +∞ −∞ 1 ℓ +∞ −∞ 0+ 0− 0 +∞ −∞ 0 −∞ +∞ ℓ′ ℓ ℓ′ ℓ lim un = 0+ +∞ −∞ F.I. +∞ +∞ lim un = 0− −∞ +∞ F.I. −∞ +∞ lim un = +∞ 0+ 0− 0 F.I. F.I. lim un = −∞ 0− 0+ 0 F.I. F.I. n→+∞ Ex em pl ai re n→+∞ de Sa n→+∞ e n→+∞ br lim un = ℓ < 0 n→+∞ H ℓ′ ℓ ℓ′ ℓ lim un = ℓ > 0 n→+∞ de = −∞ pl ai re = +∞ em =0 Ex = ℓ′ < 0 BA lim vn = ℓ′ > 0 n→+∞ AT AG vn un – admis) TC lim n→+∞ vn un in Proposition (Limite de Sa br in e TC H n→+∞ ℓ ̸= 0 BA – admis) AT AG 1 un n→+∞ AG BA Proposition (Linéarité de la limite – admis) AT Si (un ) converge vers ℓ ∈ R et si (vn ) converge vers ℓ′ ∈ R, alors pour tout (α, β) ∈ Sa br in e TC H R2 , (αun + βvn ) converge vers αℓ + βℓ′ . de Exemple 4. Si u et v sont deux suites telles que u tend vers −3 et v tend vers +∞, alors u + v tend vers u v tend vers 0 et tend vers −∞. v u pl ai re +∞, u − v et uv tendent vers −∞, Passage à la limite et relation d’ordre Ex em 3.3 AG BA Attention. Ne jamais écrire «lim ...» si on ne sait pas qu’elle existe. TC H AT Proposition (Passage à la limite) e Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes, vérifiant à partir d’un certain rang l’inégalité lim un ⩽ lim vn . br in un ⩽ vn . Alors n→+∞ ai re de Sa n→+∞ AG BA Ex em pl Remarque. On ne peut  des inégalités strictes. Ceci est donc faux :  pas tout remplacer par 1 1 (∀n ⩾ n0 , un < vn ) ⇒ lim un < lim vn . Par exemple 0 < et lim 0 = lim . n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n AT H  Proposition (Limite de Théorème (Théorème d’encadrement) Soient u, v et w trois suites réelles telles que, à partir d’un certain rang, un ⩽ vn ⩽ wn . Si (un ) et (wn ) convergent vers une même limite ℓ réelle alors (vn ) converge et 12 lim vn = ℓ. n→+∞ Remarque. Ce théorème donne à la fois l’existence et la valeur de la limite. Exercice 8. Étudions la limite de (un ) définie par ∀n ∈ N∗ , un = BA 1 1 = lim − = 0, on a par encadrement l’existence n→+∞ n n n→+∞ H de la limite et lim n→+∞ AT AG 1 1 ⩽ un ⩽ . Comme n n lim un = 0. On a ∀n ∈ N, − (−1)n . n Sa br in e TC Théorème (Théorème de comparaison) Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que, à partir d’un certain rang, un ⩽ vn . pl ai re de 1. Si (un ) diverge vers +∞ alors (vn ) diverge vers +∞. Exercice 9. Montrons que la suite (un ) définie par ∀n ∈ N, un = (−1)n + n diverge vers +∞. H lim (n − 1) = +∞ donc par comparaison, u diverge vers +∞. TC n→+∞ e On a ∀n ∈ N, un ⩾ n − 1 or AT AG BA Ex em 2. Si (vn ) diverge vers −∞ alors (un ) diverge vers −∞. Sa br in Définition (Borne supérieure et inférieure d’une suite – appro) de Soit (un )N une suite majorée. On appelle borne supérieure de u, notée sup(u), la borne Ex em pl ai re supérieure de l’ensemble {un | n ∈ N}. On définit de même la borne inférieure inf(u) de u. AG BA Théorème (Théorème de la limite monotone) TC H AT 1. Soit u une suite croissante. in e • Si elle est majorée, elle converge vers une limite ℓ (appro : ℓ = sup(u)). Sa br • Sinon, elle diverge vers +∞. re de 2. Soit u une suite décroissante. em pl ai • Si elle est majorée, elle converge vers une limite ℓ (appro : ℓ = inf(u)). AT AG BA Ex • Sinon, elle diverge vers −∞. H Attention. Si (un ) est croissante et majorée par M , cela ne signifie pas que sa limite est M . On peut TC seulement conclure que (un ) converge, et par passage à la limite lim un ⩽ M . n→+∞ br in e Ce serait en effet complètement absurde : si (un ) est majorée par 1, elle est aussi majorée par 2, donc de Sa lim u = 1 et 2 ? Impossible par unicité de la limite. Suites adjacentes pl ai re 3.4 Soient (un ) et (vn ) deux suites. On dit qu’elles sont adjacentes lorsque les 3 conditions suivantes sont remplies : (un ) est croissante, (vn ) est décroissante et (un − vn ) converge vers 0. H AT AG BA Ex em Définition (Suites adjacentes) Attention. Dire «u et v sont des suites adjacentes» ne signifie pas que c’est u qui est croissante et v décroissante, ou l’inverse. Le préciser si besoin. 13 Théorème (Théorème des suites adjacentes) Soient (un ) et (vn ) deux suites adjacentes telles que (un ) est croissante et (vn ) est décroissante. sont adjacentes. Que peut-on en déduire? AT AG TC H n X 1 1 et vn = un + k! n! k=0 Sa br in e Exercice 10. Montrons que les suites (un ) et (vn ) définies pour tout n ∈ N par un = BA Alors (un ) et (vn ) convergent vers une même limite réelle ℓ avec ∀n ∈ N, un ⩽ ℓ ⩽ vn . 1 ⩾ 0. (n + 1)! v est décroissante à partir de 1 car ∀n ∈ N∗ , pl ai re Ex em 1 1 1 2−n−1 1−n + − = = ⩽ 0. (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)! (n + 1)! 1 −→ 0 n! n→+∞ Les deux suites sont donc adjacentes. Par théorème, elles convergent vers une même limite ℓ. H AT AG v − u tend vers 0 car ∀n ∈ N, vn − un = BA vn+1 − vn = de u est croissante car ∀n ∈ N, un+1 − un = Croissances comparées de 3.5 Sa br in e TC Remarque. On verra plus tard dans l’année que ℓ = e. q =0 n! 4. Ex BA 2. ∀a > 0, ∀q > 1, lim n→+∞ lim n→+∞ na =0 qn n! =0 nn AG lim n→+∞ (ln(n))b =0 na in e TC H 3. ∀q > 1, lim n→+∞ n AT 1. ∀a > 0, ∀b > 0, em pl ai re Théorème (Croissances comparées – admis) ai re de Sa br Notation. On note parfois lnb (n) << na << q n << n! << nn avec a > 0, b > 0, q > 1, où un << vn signifie un lim =0 n→+∞ vn Ex em pl Méthode (Résoudre des F.I ∞ − ∞) BA Dès qu’il y a une forme indéterminée impliquant des + ou des - (de la forme ∞ − ∞), on AG factorise par le terme le plus fort, et on utilise si besoin les croissances comparées pour conclure in e TC H AT par produit (cf. ci-dessous). n→+∞ 4 En Python H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br Exercice 11. Calculons la limite de la suite (un ) définie par : ∀n ∈ N, un = n! − en   en On a ∀n ∈ N, un = n! 1 − n! en −→ 1 par croissances comparées. Or n! −→ +∞ et 1 − n→+∞ n! n→+∞ Donc par produit de limites, un −→ +∞. Introduisons quelques commandes de la bibliothèque NumPy. Il faut au préalable l’importer en écrivant import numpy as np 14 Remarque. Comme pour toutes les importations, il vous suffit de la lancer une fois au début du TP. A l’écrit, mieux vaut prendre la (mauvaise) habitude de l’importer à chaque script. AT AG BA Commandes (Fonctions usuelles) Soient des nombres (i.e entiers ou flottants) x et y. Soit L une liste de nombres correspondant TC H à un ensemble L. Sa br in e • np.abs(x) renvoie |x|. • np.floor(x) renvoie ⌊x⌋. de • np.round(x) renvoie l’entier le plus proche de x. pl ai re • np.round(x,1) renvoie la valeur à 1 décimale la plus proche de x, etc. Ex em • np.max(x,y) renvoie max(x, y) et np.min(x,y) renvoie min(x, y). • np.max(L) renvoie max L, i.e max{x} et np.min(L) renvoie min L, i.e min{x} x∈L BA x∈L x e TC H AT AG • np.exp(x) renvoie e et np.log(x) renvoie ln(x) (si x > 0). • np.round(np.pi,3) affiche 3.142, soit la valeur de π arrondie à 3 décimales. Sa br in Exemple 5. de • np.max(2,-0.3) renvoie 2 alors que np.min(2,-0.3) renvoie -0.3. em pl ai re Méthode (Calculer un grâce à une relation de récurrence simple) Ex Si (un ) est une suite définie par u0 et une relation de récurrence du type un+1 = f (un ) et qu’on BA souhaite afficher un , on a deux méthodes. AG Pour définir une fonction : Dans un simple programme : AT H in e #fixer n #rel. réc. #u_0 for i in range(n): #rel. réc. return(u) print(u(...)) #fixer n Ex em pl ai re de print(u) u = ... u = ...u Sa u = ... u TC #u_0 for i in range(...): br u = ... def u(n): AG BA Exercice 12. Soit (un ) définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = H AT u = 1 TC for i in range(100): br in e u = u**2/3 H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa print(u) 15 u2n . Ecrire un programme calculant u100 . 3 Méthode (Calculer un grâce à une relation de récurrence double) Si (un ) est une suite définie par u0 , u1 et une relation de récurrence du type un+2 = f (un , un+1 ) AT AG H TC Sa br in e de pl ai re em Ex BA AT AG TC H Exercice 13. Soit (un ) définie par u0 = 1, u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 = un + un+1 . Ecrire un programme br in e calculant u100 . Sa u0,u1 = 1,1 re pl #relation de récurrence Ex u1 = u0 + u1 ai #variable temporaire em v = u1 de for i in range(99): BA u0 = v H AT AG print(u) TC Astuce. Observez bien la première ligne : u0,u1 = 1,1. Les deux variables ont été déclarées en même br in e temps ! Une élégance du langage Python. Sa Intuition. La méthode suivante cherche à savoir à quel point la suite converge rapidement vers sa limite ai re de : jusqu’à quel rang il faut calculer u pour obtenir une précision donnée. BA Ex em pl Méthode (Calculer n pour lequel |un − ℓ| < ε) AG Soit (un ) une suite convergeant H AT vers ℓ connu. On cherche à déter- TC miner le premier n pour lequel on eps = ... #u_0 l = ... #déterminer la limite n = 0 while np.abs(u - l) >= eps: in u = ...u br où ε est donné. On écrit : #rel. réc. Sa n += 1 print(n) Ex em pl ai re de #fixer epsilon u = ... e a |un −ℓ| < ε, i.e ℓ−ε ⩽ un ⩽ ℓ+ε, 1 un − 1 converge vers −2. 2 près. AG BA Exercice 14. On admet que (un ) définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = AT H BA et qu’on souhaite afficher un , on a deux méthodes. Pour définir une fonction : Dans un simple programme : def u(n): n = ... #le fixer >= 2 u0 = ... #u_0 u0 = ... #u_0 u1 = ... #u_1 u1 = ... #u_1 for i in range(n-1): for i in range(n-1): v = u1 #variable temporaire v = u1 #variable temporaire u1 = ... u0 ... u1 #rel. réc. u1 = ... u0 ... u1 #rel. réc. u0 = v u0 = v return(u) print(u1) print(u(...)) #fixer n >= 2 Déterminer le premier rang n pour lequel u s’approche de sa limite à 10−5 u = 0 n = 0 while (np.abs(u + 2) >= 10**(-5)): u = 1/2*u-1 #relation de récurrence 16 n += 1 print(n) Soient deux suites adjacentes u u,v = ..,.. croissante et v décroissante con- while (v - u) >= eps: AT AG H #fixer epsilon TC #u_0 et v_0 w = ... #var. temp. si nécessaire cherche à calculer à une précision u = ... #relation de récurrence ε donnée. On écrit : v = ... #idem pl ai re #ou u, peu importe  un+1 = 2 un + 1 vn 3 3 AT AG Exercice 15. Soient u et v définies par u0 = 0, v0 = 1 et ∀n ∈ N, BA Ex em print(v) de vergeant vers une limite ℓ qu’on Sa br in e eps = ... . On admet vn+1 = 31 un + 23 vn que u et v sont adjacentes, que u est croissante et v est décroissante. Ecrire un programme affichant leur TC H  #u_0 et v_0 de u,v= 0,1 Sa br in e limite ℓ au millième près. ai em #relation de récurrence v = 1/3*w + 2/3*v Ex u = 2/3*u + 1/3*v pl #ancienne valeur de u #idem BA w = u re while (v-u) >= 10**(-3): TC H AT AG print(u) br in e Méthodes −→ En général, séparer les cas ... ⩾ 0 et ... ⩽ 0 Mq ⌊...⌋ −→ ... −→ Encadrement : x − 1 < ⌊x⌋ ⩽ x Mq ⌊...x⌋ = ... −→ On pose n = ⌊x⌋. On a n ⩽ x < n + 1 donc ... donc ... ⩽ ...x < ... −→ Prendre x ⩽ y, conclure par symétrie des rôles −→ Mq M majorant et prendre un majorant M ′ , mq M ⩽ M ′ em pl ai re Mq |...| = ... BA Ex n→+∞ AT AG Mq max(x, y) = .. ou min in e TC H ♢ Mq sup A = M OU Mq M majorant et supposer M − ε majore, mq absurde br Sa OU Mq M majorant et supposer un majorant M ′ < M , mq absurde Soit n ∈ N. On a un+1 = ... = un + r OU un+1 − un = ... = cste −→ Soit n ∈ N. On a un+1 = ... = λun OU Mq u est une suite ari-géom −→ Soit n ∈ N. On a un+1 = ... = aun + b u ari-géom, expliciter un −→ Méthode usuelle OU formule directement (vitesse 3) u SRL2, calculer un −→ Méthode usuelle avec l’équation caractéristique Mq u croissante −→ Soit n ∈ N, un+1 − un = ... ⩾ 0 re de −→ Ex em Mq u est une suite arithmétique BA pl ai Mq u est une suite géométrique AG de Sa 5 AT H BA Méthode (Approcher ℓ avec des suites adjacentes) OU (avec des puissances et factorielles) 17 un+1 un un+1 un = ... = cste = ... ⩾ 1 −→ Mq croissante ou décroissante (séparer les cas ?) Mq u constante −→ Soit n ∈ N, un = ... = cste BA OU Soit n ∈ N, on a un+1 = ... = un AT AG OU Soit n ∈ N, on a un+1 − un = ... = 0 −→ Posons M = .... On a ∀n ∈ N, un ⩽ ... ⩽ M Mq u bornée −→ Majorée et minorée OU ∀n ∈ N, |un | ⩽ ... ⩽ M OU u converge Mq u = v −→ Mq ∀n, un − vn = 0 OU Mq mêmes 1ers termes et même rel. réc. Mq u converge −→ Croissante et majorée / décroissante et minorée Mq u et v convergent −→ Suites adjacentes ? Calculer un+1 − un et vn+1 − vn , mq un − vn → 0 Mq u et v cvg vers même lim −→ Suites adjacentes ! Mq un −→ +∞ −→ Mq u converge vers ℓ −→ AT AG BA Ex em OU Si un = (−1)n ..., mq (u2n ) et (u2n+1 ) ont même limite pl ai re de Sa br in e TC H Mq u majorée Comparaison : un ⩾ ... −→ +∞ n→+∞ OU Mq u croissante, supposons M tq ∀n, un ⩽ M , ... absurde. TC H n→+∞ in e Suite usuelle : géom, ari-géom, SRL2 ... Sa br OU Mq croissante et majorée, puis un+1 = ...un passé à la limite de OU Mq |un − ℓ| = |...| ⩽ ... −→ 0 n→+∞ re OU Encadrement : ... ⩽ un ⩽ ... −→ ℓ ai n→+∞ pl OU Si un = (−1)n ..., mq u2n −→ ℓ et u2n+1 −→ ℓ n→+∞ AG Blind-test AT 6 BA Ex em n→+∞ un intervalle de la forme ... ♢ Ppst : M = supA ⇐⇒ ... Ppst : ... ⩽ |a + b| ⩽ ... P | | ⩽ ... Dfnt : suite = ... Ppst : limite de (un + vn ) (voir tableau ?) Dfnt : croissante etc = ... (8) Ppst : limite de  (un vn ) (voir tableau ?) Ppst : limite de u1n (voir tableau ?)   Ppst : limite de uvnn (voir tableau ?) Dfnt : majorée, minorée, bornée = ... Ppst : passage à la limite Dfnt : suite ari = ... Thm : d’encadrement in e Dfnt : |x| = ... re Sa AG la fonction ... est ... AT suite géom = ... Ppst : terme général suites ari, géom Ppst : toute suite convergente ... Ppst : si (u2n ) et ..., alors ... (2) Ppst : linéarité de la limite Thm : de comparaison (2) ♢ Dfnt: sup u, inf u = ... Ppst : si ..., unique (2) Ppst : terme général suite ari-géom Dfnt : suties adjacentes = ... Ppst : si ... pas majoré, ... Mtd : retrouver ce terme général Thm : des suites adjacentes Dfnt : SRL2 = ... Thm : croissances comparées (4) Dfnt : [a, b] = ... Thm : étude d’une SRL2 (2) intervalle = ... Mtd : terme général SRL2 (2) Mtd : résoudre des F.I ∞ − ∞ Ppst : ... sont des intervalles (4) Dfnt : un → ℓ = ... Mtd : calculer un par rel. réc. simple e Dfnt : suite ari-géom = ... de Sa br in Dfnt : maximum, minimum = ... Ex em pl ai re si ... pas minoré, ... BA Ppst : si ..., égales H TC majoré = ... pl BA Ex Ppst : ⌊x⌋ ⩽ ... < ... Dfnt : majorant = ... Dfnt : opérations sur les suites (3) em Dfnt : ⌊x⌋ = ... 4 types de suites ai Ppst : existence et unicité de ⌊.⌋ Ppst : ⌊n + x⌋ = ... M = infA ⇐⇒ ... br Ppst : propriétés de |.| (8) AG Ppst : un → ℓ ⇐⇒ ... ⇐⇒ ... de TC H Dfnt : min et max = ... AT H Mq u monotone ♢ Thm : de la borne supérieure diverge = ... ♢ Dfnt : sup, inf = ... ♢ Ppst : si max / min, ... si pas majoré / minoré, ... un → +∞ = ... un → −∞ = ... Thm : unicité de la limite 18 Thm : de la limite monotone (2) Cmd : fonctions usuelles (7) Mtd : calculer un par rel. réc. double Mtd : calculer n tq |un − ℓ| < ε Mtd : approcher ℓ avec suites adj.