كتاب الرياضيات الثالث متوسط PDF

‫جمهورية العراق‬ ‫‪9‬‬ ‫وزارة التربية‬ ‫المديرية العامة للمناهج‬ ‫ سل سلة كتب الريا ضيات للمرحلة المتو سطة‬ ‫الريا ضيات‬ ‫لل صف الث...

‫جمهورية العراق‬ ‫‪9‬‬ ‫وزارة التربية‬ ‫المديرية العامة للمناهج‬ ‫ سل سلة كتب الريا ضيات للمرحلة المتو سطة‬ ‫الريا ضيات‬ ‫لل صف الثالث المتو سط‬ ‫تنقيح لجنة متخ ص صة في وزارة التربية‬ ‫‪144٥‬هـ ‪ 202٣ /‬م‬ ‫الطبعة الرابعة المنقحة‬ ‫المتخ ص صين‬ ‫ّ‬ ‫فريق من‬ ‫المتو سطة) على أيـــــدي ٍ‬ ‫ِ‬ ‫للمرحلة‬ ‫ِ‬ ‫ات‬ ‫الريا ض ّي ِ‬ ‫ُ‬ ‫( سل سلة ُك ُت ِب ّ‬ ‫و ص ِّم َمتْ‬ ‫ُبنِيتْ ُ‬ ‫الجامعات في‬ ‫ِ‬ ‫م شاركة َ‬ ‫متخ ّ ص صينَ من أ ساتذ ِة‬ ‫ِ‬ ‫للمناهــج و ِب‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫العامة‬ ‫ُ‬ ‫‪/‬المديرية‬ ‫ّربية‬ ‫في وزار ِة الت ِ‬ ‫المنهج‬ ‫ِ‬ ‫العالمية ِل ُتحق َِّق َ‬ ‫أهداف بناءِ‬ ‫ِ‬ ‫والبحث العلمي على وفق المعايير‬ ‫ِ‬ ‫ّعليم العالي‬ ‫وزار ِة الت ِ‬ ‫الب‪:‬‬ ‫الط ِ‬ ‫جعل ّ‬‫لة في ِ‬ ‫الحديث المتم ِّث ِ‬ ‫ِ‬ ‫ ُمتع ِّلميــنَ ناجحيــــنَ مـــــدى الحـيــــا ِة‪.‬‬ ‫ أفـــــــراد ًا واثـقـيـــــــــنَ ب أنـ ُف ِ س ِهــــم‪.‬‬ ‫ مواطنينَ عراقيينَ ي ش ُعرونَ بال َف ِ‬ ‫ـخر‪.‬‬ ‫الفني على ّ‬ ‫الطبع‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫الم شرف‬ ‫العلمي على ّ‬ ‫الطبع‬ ‫ُّ‬ ‫ُ‬ ‫الم شرف‬ ‫م‪.‬م يا سر منذر محمد سعيد حبه‬ ‫م‪.‬م‪.‬مروة فليح ح سن‬ ‫استنادا ً إىل القانون يوزّع مجاناً ومينع بيعه وتداوله يف األسواق‬  ‫المقدمة‬ ‫ت‬ ‫ب الكفايا ِ‬ ‫الطالب على اكتسا ِ‬ ‫َ‬ ‫ت ِم َن الموا ِد الدراسي ِة األساسي ِة التي تُساع ُد‬ ‫تُ َع ُّد مادةُ الرياضيا ِ‬ ‫المواقف‬ ‫ِ‬ ‫التعامل مع‬ ‫ِ‬ ‫ت‪ ،‬ويساعدهُ على‬ ‫التفكير َوح ّل المشكال ِ‬ ‫ِ‬ ‫التعليمية الالزم ِة لهُ‪ ،‬لتنمي ِة قُدرات ِه على‬ ‫الحياتي ِة المختلف ِة‪.‬‬ ‫لتطوير المناهج‬ ‫ِ‬ ‫للمناهج‬ ‫ِ‬ ‫االهتمام الذي تُولي ِه وزارةُ التربي ِة متمثلةً بالمديري ِة العام ِة‬ ‫ِ‬ ‫من ُمنطَلَ ِ‬ ‫ق‬ ‫َو ْ‬ ‫ت‬ ‫ت العلميةَ والتكنولوجيةَ في مجاال ِ‬ ‫تواكب التطورا ِ‬ ‫َ‬ ‫ت لكي‬ ‫مناهج الرياضيا ِ‬ ‫ِ‬ ‫بصور ٍة عامة والسيّما‬ ‫ث‪،‬‬ ‫للمراحل الدراسي ِة الثال ِ‬ ‫ِ‬ ‫ت‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫لتأليف سلسل ِة ُكت ِ‬ ‫ِ‬ ‫ضعت خطةٌ‬ ‫الحيا ِة المختلفة‪ ،‬فَق ْد ُو ِ‬ ‫ب المرحل ِة‬ ‫بتأليف كت ِ‬ ‫استكمال السلسل ِة‬ ‫ت منها كتبُ المرحل ِة االبتدائي ِة َوبَدأ العم ُل على‬ ‫نجز ْ‬ ‫ُ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫وأ ِ‬ ‫المتوسط ِة‪.‬‬ ‫اإلطار العام للمناهج تُعز ُز القي َم‬ ‫ِ‬ ‫ت العراقي ِة الجديد ِة ومن ضمن‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫إن سلسلةَ كت ِ‬ ‫ّ‬ ‫واحترام الرأي والرأي اآلخر والعدال ِة‬ ‫ِ‬ ‫والتسامح‬ ‫ِ‬ ‫بااللتزام بالهوي ِة العراقي ِة‬ ‫ِ‬ ‫األساسيةَ التي تتمث ُل‬ ‫التفكير والتعلّ ِم‬ ‫ِ‬ ‫ت‬ ‫تعزيز كفايا ِ‬ ‫ِ‬ ‫للتميز واإلبداع‪ ،‬كما تعم ُل على‬ ‫ِ‬ ‫ص متكافئ ٍة‬ ‫وتوفير فر ٍ‬ ‫ِ‬ ‫االجتماعية‪،‬‬ ‫والعمل‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ت المواطن ِة‬ ‫ت الشخصي ِة واالجتماعية وكفايا ِ‬ ‫والكفايا ِ‬ ‫ت العراقي ِة على محوري ِة الطالب في عمليتَي التعلي ْم والت َعلُ ْم َو َعد ُّه‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫ت سلسلةُ كت ِ‬ ‫بُنيَ ْ‬ ‫المعايير العالمي ِة‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫وفق‬ ‫ِ‬ ‫الرئيس في العملي ِة التربوي ِة على‬ ‫َ‬ ‫المحو َر‬ ‫ت‬‫الدروس على س ِ‬ ‫ِ‬ ‫تنظيم‬ ‫ِ‬ ‫ت العراقي ِة للمرحل ِة المتوسط ِة في‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫ت سلسلةُ كت ِ‬ ‫تمي َز ْ‬ ‫وح ّل مسائ َل حياتيةً ‪ ،‬فَ ِّكرْ ‪ ،‬اُكتبْ ‪.‬‬ ‫ك ‪ ،‬تدرّبْ َو ِح ّل التمرينات‪ ،‬تدرّبْ ِ‬ ‫من فِه ِم َ‬ ‫ت‪ :‬ت َعلَّ ْم ‪ ،‬تأك ْد ِ‬ ‫فقرا ٍ‬ ‫المتوسط مشتمالً على أربعة محاور أساسية‪ :‬محو ُر‬ ‫ِ‬ ‫للصف الثالث‬ ‫ِ‬ ‫ت‬‫يأتي كتابُ الرياضيا ِ‬ ‫ت من‬ ‫والقياس ‪ ،‬ومحو ُر اإلحصا ِء واالحتماال ِ‬ ‫ِ‬ ‫الجبر‪ ،‬ومحور الهندسة‬ ‫ِ‬ ‫ت ‪ ،‬ومحو ُر‬ ‫األعدا ِد والعمليا ِ‬ ‫فصل تمريناته‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫فصول ولكلِّ‬ ‫ٍ‬ ‫ض َّم َن الكتابُ ستة‬ ‫ضمن األوزان النسبية لكل محور‪ ،‬وت َ‬ ‫ِ‬ ‫والتشويق‪ ،‬التي‬ ‫ِ‬ ‫ب‬ ‫بأساليب حديث ٍة‪ ،‬تتوف ُر فيها عناص ُر الجذ ِ‬ ‫َ‬ ‫تتميّ ُز هذ ِه الكتبُ بأنها تعرضُ المادةَ‬ ‫ت ومسائ َل حياتي ٍة‪،‬‬ ‫ت وتمرينا ٍ‬ ‫التفاعل معها‪ ،‬عن طريق ما تُق ِدمهُ من تدريبا ٍ‬ ‫ِ‬ ‫الطالب على‬ ‫َ‬ ‫تُساع ُد‬ ‫ت‬ ‫ت والتمرينا ِ‬ ‫تلف عن التدريبا ِ‬ ‫تخ ُ‬ ‫ب وهي ْ‬ ‫الفصول في نهاي ِة الكتا ِ‬ ‫ِ‬ ‫ُ‬ ‫تمرينات‬ ‫ض َعت‬ ‫إضافةً إلى ذلك ُو ِ‬ ‫اختيار من متع ّد ٍد وهذا بدور ِه‬ ‫ٍ‬ ‫الدروس وذلك لكونِها موضوعية فاإلجابة عنها تكون عن طريق‬ ‫ِ‬ ‫في‬ ‫ت الدولي ِة‪.‬‬ ‫الطالب للمشارك ِة في المسابقا ِ‬ ‫َ‬ ‫يهيِّئ‬ ‫دعائم‬‫ِ‬ ‫ت المط ّور ِة للمرحل ِة االبتدائي ِة ودعامةً من‬ ‫ب الرياضيا ِ‬ ‫يمث ُل هذا الكتابُ امتداداً لسلسل ِة ُكت ِ‬ ‫ب‬ ‫أن يُ ْس ِه َم تنفي ُذها في اكتسا ِ‬ ‫ّس‪ ،‬وعليه نأم ُل ْ‬ ‫دليل المدر ِ‬ ‫ب ِ‬ ‫ت إلى جان ِ‬ ‫المنهج المط ّو ِر في الرياضيا ِ‬ ‫ِ‬ ‫ت العلمي ِة والعملي ِة َوتنمي ِة ميولِهم لدراس ِة الرياضيات‪.‬‬ ‫ب المهارا ِ‬ ‫الطّال ِ‬ ‫العزيز وأبنائِ ِه ‪...‬‬ ‫ِ‬ ‫اللّه ّم وفّ ْقنا لخدم ِة عراقِنا‬ ‫المؤلفون‬  ‫الف ُصل‬ ‫‪1‬‬ ‫العالقات واملتباينات في األعداد احلقيقية‬ ‫‪Relations and Inequalities in Real Numbers‬‬ ‫ترتيب العمليات في األعداد الحقيقية‬ ‫الدرس ‪1-1‬‬ ‫الدرس ‪ 1-2‬التطبيقات‬ ‫الدرس ‪ 1-3‬المتتابعات‬ ‫الدرس ‪ 1-4‬المتباينات المركبة‬ ‫الدرس ‪ 1-5‬متباينات القيمة المطلقة‬ ‫ك موجةُ التسونامي في البحار العميقة بسرعة فائقة‪ ،‬لكنها حين تصل إلى الشاطئ تزداد سرعتها تحت تأثير‬‫تتحر ُ‬ ‫طاقتها الهائلة وتضربُ الشاط َئ بقو ٍة مخلفةً دمار شامل‪.‬ويمكن حساب سرعة التسونامي بالقانون ‪v = 9.6d‬‬ ‫متر في الثانية‪ ،‬حيث ‪ d‬تمثل عمق الماء بالمتر ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Pretest‬‬ ‫االختبا ُر القبل ّي‬ ‫صنّف العد َد من حيث كونه عدداً نسبيا ً أو غير نسب ّي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-6 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪- 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب عُش ٍر‪ ،‬ثم مثّلها على مستقيم ِاألعداد‪:‬‬ ‫قدّر الجذو َر التربيعيةَ التاليةَ بالتقريب ألقر ِ‬ ‫‪10 - 3 ≈.....‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2 ≈.....‬‬ ‫‪25 ≈.....‬‬ ‫‪49 ≈.....‬‬ ‫قارن بين األعداد الحقيقية مستعمالً الرموز ( > ‪:) = ، < ،‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪14 1.25‬‬ ‫‪2.25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ 17‬رتّب األعداد من األصغر إلى األكبر ‪7 , 2.25 , 5 :‬‬ ‫‪ 18‬رتّب األعداد من األكبر إلى األصغر ‪-3 1 , - 7 , -3.33 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ح ّل المتباينات التالية في ‪ R‬باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية‪:‬‬ ‫‪19 3x + 2 > 4x- 3‬‬ ‫‪20 3 > z- 9‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3y 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8 >7‬‬ ‫‪22 -4m < 9‬‬ ‫)‪23 6(z - 3) > 5(z + 1‬‬ ‫‪24 4 ( 1 v + 3 ) > 0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات على األعداد الحقيقية‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2 (1- 18 ) =...........‬‬ ‫‪26 3 12 + 2 3 - 4 3 =............‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪7- 8 7‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪6 44 ÷ 18 11‬‬ ‫‪=............‬‬ ‫‪2 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬  ‫ت في األعدا ِد الحقيقي ِة‬ ‫ترتيب العمليا ِ‬ ‫ُ‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫‪Ordering Operations in Real Numbers‬‬ ‫[‪]1-1‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫يُعد زلزال تسونامي الذي حدث في اليابان عام‬ ‫ تبسيط الجمل العددية التي‬ ‫تحتوي على أعداد حقيقية‬ ‫‪ 2011‬من أقوى الزالزل التي حدثت على م ّر‬ ‫باستعمال ترتيب العمليات‪.‬‬ ‫العصور‪.‬وتحسب سرعة التسونامي بالقانون‬ ‫المفردات‬ ‫‪ v= 9.6d‬متر بالثانية‪ ،‬حيث ‪ d‬تمثل عمق‬ ‫الحقيقي‬ ‫ُّ‬ ‫ العد ُد‬ ‫المياه‪.‬ما سرعة التسونامي التقريبية إذا كان‬ ‫ تنسيبُ (تجذير) المقام ِ‬ ‫عمق المياه ‪ 1000‬متر؟‬ ‫ُ‬ ‫المرافق‬ ‫ ‬ ‫[‪ ]1-1-1‬استعمال ترتيب العمليات لتبسيط جمل عددية‬ ‫‪Using ordering operations to simplify the numerical sentences‬‬ ‫تعرفت سابقا ً إلى األعداد الطبيعية والكلية والصحيحة والنسبية والحقيقية‪ ،‬ويمكن إدراجها بالترتيب اآلتي‪:‬‬ ‫‪ ،N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R‬وكذلك تعلمت كيفية تبسيط جمل عددية باستعمال ترتيب العمليات على هذه‬ ‫األعداد‪ ،‬وسوف تزيد مهارتك في تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على أعداد حقيقية مختلفة فيها جذور حقيقية‬ ‫وجذور مربعات كاملة وكذلك كسور تحتوي على جذور بتطبيق الخواص عليها مع استعمال ترتيب العمليات على‬ ‫األعداد الحقيقية وكذلك استعمال تنسيب المقام لتبسيط العبارات وذلك من خالل ضرب مقام الكسر بالعامل المنسب‬ ‫(المرافق) (العدد ‪ 2- 3‬هو العامل المنسب (المرافق) للعدد ‪ 2+ 3‬ألن حاصل ضربهما عدد نسبي)‪.‬‬ ‫جد سرعة التسونامي التقريبية إذا كان عمق المياه ‪ 1000‬متر‪.‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪v = 9.6d‬‬ ‫قانون حساب سرعة التسونامي حيث ‪ d‬تمثل عمق المياه‬ ‫‪= 9.6 × 1000 = 9600 ≈ 98 m/sec‬‬ ‫سرعة التسونامي التقريبية‬ ‫سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات على األعداد الحقيقية‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫) ‪i) ( 12 - 18 ) ( 12 + 18 ) = (2 3 - 3 2 ) (2 3 + 3 2‬‬ ‫باستعمال التوزيع‬ ‫‪= 2 3 (2 3 + 3 2 ) - 3 2 (2 3 + 3 2 ) = 12 + 6 6 - 6 6 - 18 = - 6‬‬ ‫× ‪ii) ( 3 8 - 2 )÷ ( 3 2- 2 3 )= ( 2 - 2 )÷ ( 3 2 -2 3 )= 2 3 - 3 2‬‬ ‫‪-3 3‬‬ ‫‪= -1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪2 3- 3 2‬‬ ‫سط الجمل العددية التالية باستعمال ترتيب العمليات على األعداد الحقيقية واكتب الناتج ألقرب عُشر‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪i) 12 ( 3 - 8 ) - 6 = 2 3 ( 3 - 2 2 ) - 6 = 2 3 × 3 - 2 3 × 2 2 - 6‬‬ ‫‪= 6 - 4 3×2 - 6 = - 4 6 ≈ - 4 × 2.4 = - 9.6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ii) (-27) ( 1‬‬ ‫‪7 - 1 28 ) = -27 ( 1‬‬ ‫‪7 - 2 7 ) = -3 ( 1‬‬ ‫‪7-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=- 1 7+ 2 7= 1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪7 ≈ 0.9‬‬ ‫مالحظة‪an = a m :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬  ‫سط الجمل العددية التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات على األعداد الحقيقية‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 (7- 5) 7 5 - 5 5‬‬ ‫‪7 5 -5‬‬ ‫‪i) 7-‬‬ ‫‪= 7-‬‬ ‫‪×1= 7-‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3+ 7‬‬ ‫)‪3 7 (2 3 + 7‬‬ ‫)‪ii‬‬ ‫=‬ ‫‪× 2‬‬ ‫=‬ ‫الضرب بالمرافق‬ ‫‪2 3- 7‬‬ ‫‪2 3- 7‬‬ ‫‪2 3+ 7‬‬ ‫)‪(2 3 - 7) (2 3 + 7‬‬ ‫‪7+7 3‬‬ ‫‪7+7 3‬‬ ‫‪= 6‬‬ ‫‪= 6‬‬ ‫المقام فرق بين مربعين‬ ‫‪12 - 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫[‪ ]1-1-2‬استعمال الحاسبة والتقريب لتبسيط جمل عددية‬ ‫‪Using calculator and approximation to simplify the numerical sentences‬‬ ‫تعلمت سابقا ً كيفية تبسيط جمل عددية تحتوي على قوى ( أسس ) سالبة صحيحة للعدد وصورة علمية للعدد باستعمال‬ ‫الحاسبة‪ ،‬واآلن سوف تزيد مهارتك بتبسيط الجمل العددية التي تحتوي على أعداد مرفوعة إلى قوى (أسس) نسبية‬ ‫إضافةً إلى األعداد الصحيحة مستعمالً الحاسبة لكتابة الناتج مقرَّباً‪.‬‬ ‫اِحسب األسس لكل مما يلي واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين إذا لم يكن عدداً صحيحاً‪:‬‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪i) 9 2 = (32) 2 = 3-3 = 313 = 27‬‬ ‫‪1 ≈ 0.04‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ii) ( 7 ) = ( 7 2 ) = 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪10+ 2- 9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪iii) 2 3 × 2 3 × 2 2 = 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= 2 2 = 2 ≈ 1.41‬‬ ‫‪iv) 52 ÷ 5 2 = 5 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 5 2 = 5 ≈ 2.24‬‬ ‫اِستعمل ترتيب العمليات واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين مستعمالً الحاسبة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v) ( 12 ) + 3-2 - 2 2 = 22 + 312 - 23 = 14 + 19 - 8 ≈ 0.25 + 0.11 - 2.83 = -2.47‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪iv) 8 3 - (-8)0 + 32 × 3 2 = 8 - 1 + 3 2 = 8 - 1 + 35 ≈ 2 - 1 + 9 × 1.73 = 16.57‬‬ ‫اِستعمل الحاسبة لتكتب الناتج بالصورة العلمية للعدد مقربا ً ألقرب مرتبتين عشريتين‪:‬‬ ‫مثال (‪)6‬‬ ‫‪i) 7.6 ×10-4 - 0.4135×10-3 = 7.6 × 10-4 - 4.135 × 10-4 = 3.465 × 10-4 ≈ 3.47 × 10-4‬‬ ‫‪ii) 0.052 ×104 + 7.13 × 102 = 5.2 × 102 + 7.13 × 102 = 12.33 × 102 ≈ 1.23 × 103‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪iii) (7.83 × 10-5) = (7.83 × 10-5) (7.83 × 10-5) = 61.3089 × 10-10 ≈ 6.13 × 10-9‬‬ ‫‪iv) 4.86 × 102 ÷ 0.55 × 105 = (4.86 ÷ 0.55) × 102 × 10-5 ≈ 8.84 × 10-3‬‬ ‫‪7‬‬  ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫سط الجمل العددية اآلتية‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( 5 - 3 ) ( 5 + 3 ) =......‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( 7 - 2 ) =......‬‬ ‫األسئلة (‪)1 - 4‬‬ ‫‪4 12 ÷ 2 24 =......‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( 125 - 20 ) ( 3 8 ) =......‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪5 -27‬‬ ‫‪8‬‬ ‫س ِط الجم َل العددية التالية واكتب الناتج ألقرب عُشر‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫األسئلة (‪)5 - 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 3 - 1 12 ) ≈......‬‬ ‫‪(-125) (10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 ( 28 - 2 ) - 5 ≈......‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)3‬‬ ‫س ِط الجم َل العدديةَ التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات على األعداد‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪1- 3 =......‬‬ ‫‪1- 20 =......‬‬ ‫األسئلة (‪)7 - 9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪50 - 3 - 10 - 6 =......‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)4‬‬ ‫استعمل ترتيب العمليات واكتب الناتج مقربا ً إلى مرتبتين عشريتين مستعمالً الحاسبة لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫األسئلة (‪)10 - 11‬‬ ‫‪10 ( 1 ) 2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪11 27 3‬‬ ‫‪- (-9)0 + 32 × 5 2 ≈......‬‬ ‫‪3 + 3 - 3 ≈......‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)5‬‬ ‫استعمل الحاسبة لتكتب الناتج بالصورة العلمية للعدد مقربا ً ألقرب مرتبتين عشريتين‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫األسئلة (‪)12 - 13‬‬ ‫‪12 6.43 × 10-5- 0.25 × 10-3 ≈.....‬‬ ‫‪13 (9.23 × 10-3) ≈......‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)6‬‬ ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫سط الجمل العددية اآلتية‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14 ( 18 -‬‬ ‫‪50) ( -27 ) 3 =......‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫÷‬ ‫‪5 8‬‬ ‫‪=......‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 125‬‬ ‫‪25‬‬ ‫سط الجملة العددية التالية واكتب الناتج ألقرب عُشر‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪16 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪18 ≈......‬‬ ‫‪49 - 3 81 +‬‬ ‫‪36‬‬ ‫سط الجمل العددية التالية باستعمال تنسيب المقام وترتيب العمليات على األعداد‪:‬‬ ‫ب ّ‬ ‫‪17‬‬ ‫‪7 -3 5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪33 - 11 -‬‬ ‫‪60 - 5 =......‬‬ ‫‪=......‬‬ ‫‪7+3 5‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪5 15‬‬ ‫‪8‬‬  ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫‪ 19‬األقما ُر االصطناعيةُ‪ :‬يستعمل القمرالصناعي بصفة أساسية في‬ ‫االتصاالت مثل إشارات التلفاز والمكالمات الهاتفية في جميع أنحاء‬ ‫العالم والتنبؤ بالطقس وتعقب األعاصير‪ ،‬إذ تدور هذه األقمار بسرعات‬ ‫محددة في مدارات خاصة بها حول األرض‪ ،‬وتحسب سرعة القمر‬ ‫‪14‬‬ ‫المدارية بالعالقة التالية‪ ، v= 4×10 m/sec :‬إذ ‪ r‬نصف قطر‬ ‫‪r‬‬ ‫المدار (بُعد القمرعن مركز األرض)‪.‬ما سرعة القمر إذا كان نصف‬ ‫قطر المدار ‪ 300km‬؟‬ ‫الحرائق‪ :‬تحسب سرعة تدفق الماء الذي يضخ من سيارات‬ ‫ِ‬ ‫‪ 20‬مكافحةُ‬ ‫الحريق بالقانون ‪ ، v = 2hg foot/sec‬إذ ‪ h‬تمثل أقصى ارتفاع‬ ‫للماء و ‪ g‬يمثل التعجيل األرضي ) ‪.(32 foot/sec2‬إلطفاء الحريق‬ ‫في الغابات تحتاج إدارة مكافحة الحرائق في الدفاع المدني إلى‬ ‫مضخة لتضخ الماء إلى ارتفاع ‪.80 foot‬فهل تفي بحاجتها مضخة‬ ‫‪1 foot = 30 cm‬‬ ‫تقذف الماء بسرعة ‪ 72 foot/sec‬؟‬ ‫وحدة قياس بالنظام الفرنسي‬ ‫‪ 21‬هندسةٌ‪ :‬جد مساحة المثلث الذي يعلو واجهة البيت إذا كان ارتفاعه‬ ‫‪ 18 - 3 m‬وطول قاعدته ‪. 3 2 + 3 m‬‬ ‫فَ ِّك ْ‬ ‫ـر‬ ‫ْ‬ ‫أثبت صحةَ مايأتي‪:‬‬ ‫‪ 22‬تح ًّد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(7 3 - 5 3 ) (7 3 + 7 3 5 3 + 5 3 ) = 2‬‬ ‫جمع العددين كاآلتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫كتب شاكر نات َج‬ ‫‪ 23‬أُ ِّ‬ ‫صح ُح الخطأ‪َ :‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪8.4 × 10 + 0.52 × 10 = 1.36 × 10‬‬ ‫ح ّدد خطأ َ شاكر وصحِّحهُ ‪.‬‬ ‫عددي‪ :‬هل أن العد َد ‪ 125‬يقع بين العددين ‪ 10.28‬و ‪ 11.28‬؟‬ ‫ٌّ‬ ‫حس‬ ‫ٌّ‬ ‫‪24‬‬ ‫ب ُعشر‪:‬‬ ‫ب ألقر ِ‬ ‫الجمع بالتقري ِ‬ ‫ِ‬ ‫نات َج‬ ‫اُ ْ‬ ‫كتب‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪≈.....‬‬ ‫‪9‬‬  ‫التطبيقات‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫‪Mappings‬‬ ‫[‪]1-2‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫ تعرف التطبيق وأنواعه‬ ‫مجموعة ‪ X‬تمثل بعض المناطق األثرية في‬ ‫وكيفية تمثيله بيانيا ً في‬ ‫العراق {باب عشتار‪ ،‬أور‪ ،‬الحضر} = ‪X‬‬ ‫المستوي اإلحداثي وتعرف‬ ‫بعض المدن العراقية‬ ‫َ‬ ‫ولتكن المجموعة ‪ Y‬تمثل‬ ‫تركيب التطبيقات‪.‬‬ ‫{بغداد‪ ،‬الحلة‪ ،‬الناصرية‪ ،‬الموصل‪ ،‬أربيل}= ‪Y‬‬ ‫المفردات‬ ‫ العالقة‬ ‫‪ R:X‬التي تمثل اقتران كل‬ ‫العالقة ‪Y‬‬ ‫ الزوج المرتب‬ ‫منطقة أثرية إلى المدينة التي تقع فيها‪:‬‬ ‫ الضرب الديكارتي‬ ‫‪(،‬الناصرية ‪ ،‬أور) ‪(،‬الموصل ‪ ،‬الحضر)}= ‪R‬‬ ‫ التطبيق‬ ‫ المجال والمجال المقابل‬ ‫{(بابل ‪ ،‬باب عشتار) تسمى تطبيق مجاله ‪X‬‬ ‫والمدى‬ ‫ومجاله المقابل ‪.Y‬‬ ‫ تركيب التطبيقات‬ ‫[‪ ]1-2-1‬التطبيق وتمثيله في المستوي اإلحداثي‬ ‫‪Mapping and its representation in the coordinate plane‬‬ ‫تعرفت سابقا ً إلى العالقة من المجموعة ‪ X‬إلى المجموعة ‪ Y‬وهي المجموعة الجزئية (مجموعة من األزواج المرتبة (‪ )x,y‬إذ ينتمي‬ ‫المسقط األول «األحداثي األول» إلى المجموعة ‪ X‬والمسقط الثاني «اإلحداثي الثاني» إلى المجموعة ‪ )Y‬من حاصل الضرب الديكارتي‬ ‫‪ R: X‬وكيفية تمثيله بمخطط سهمي وتمثيله‬ ‫‪ X×Y‬الذي يمثل مجموعة كل األزواج المرتبة‪ ،‬وسوف تتعرف على التطبيق ‪Y‬‬ ‫بالمستوي (بيانياً) والتعرف على أنواعه‪.‬‬ ‫التطبيق‪ :‬لتكن ‪ R‬عالقة من المجموعة ‪ X‬إلى المجموعة ‪ Y‬وكان لكل عنصر في ‪ X‬صورة واحدة في ‪ Y‬عندئذ تسمى العالقة ‪R‬‬ ‫‪ R: X‬وتسمى المجموعة ‪ X‬بمجال التطبيق (‪ ،)Domain‬والمجموعة ‪ Y‬بالمجال المقابل للتطبيق‬ ‫تطبيق من ‪ X‬إلى ‪Y , Y‬‬ ‫(‪ ،)Co-domain‬ويسمى كل عنصر في ‪ Y‬مرتبط بعنصر من ‪ X‬صورة لذلك العنصر‪ ،‬وتسمى مجموعة كل الصور في المجال المقابل‬ ‫بالمدى (‪ ،)Range‬وتسمى القاعدة التي تنقل العنصر إلى صورته بقاعدة االقتران (قاعدة التطبيق) ويرمز لها (‪. R(x( ، )x,y‬‬ ‫‪ R: X‬تمثل تطبيقا ً بقاعدة اقتران )‪ (y = 1 x‬من المجموعة {‪ X=}4,6,8‬إلى‬ ‫إذا كانت ‪Y‬‬ ‫مثال (‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المجموعة {‪. Y={2,3,4,5‬اكتب التطبيق على شكل مجموعة أزواج مرتبة ثم مثّل التطبيق بمخطط‬ ‫سهمي‪ ،‬وح ّدد المجال والمدى للتطبيق ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يوضّح المخطط السهمي عالقة ارتباط عناصر المجموعتين‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ضمن قاعدة االقتران ‪ y = R(x) = 1 x‬أي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 , 6‬‬ ‫‪3 , 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫{(‪R = {(4,2) , (6,3) , (8,4‬‬ ‫ولذا مجموعة التطبيق‬ ‫المجال‪ :‬وهومجموعة اإلحداثيات األولى من األزواج المرتبة في ‪R‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫وهو المجموعة {‪}4,6,8‬‬ ‫المدى‪ :‬وهومجموعة اإلحداثيات الثانية من األزواج المرتبة في ‪ ، R‬وهو المجموعة {‪}2,3,4‬‬ ‫مالحظة‪ :‬المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل للتطبيق‬ ‫نالحظ هنا المدى ≠ المجال المقابل‬ ‫‪10‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫بين الوزن (كغم) وسعر السمك ( ‪  .)f(x) = y‬‬ ‫مثال (‪ )2‬الجدول التالي يمثل العالقة‬ ‫‪8  ‬‬ ‫‪Y  ‬‬ ‫هل تمثّل العالقة تطبيقا ً ؟‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪7  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪6  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫الوزن‪/‬كغم ‪   X‬‬ ‫‪ Y‬السعر بأُلوف الدنانير‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪5  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا كانت تطبيقا ً فاكتب قاعدة االقتران‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪4  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪3  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪            ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫وحدِّد المجال والمدى ومثِّله بالمستوي‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قاعدة االقتران ‪y = 2x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   1‬‬ ‫‪   2‬‬ ‫‪   3‬‬ ‫‪   4   5‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫المجال {‪ , }1,2,3,4‬المدى {‪}2,4,6,8‬‬ ‫[‪ ]1-2-2‬أنواع التطبيقات‬ ‫‪The kind of mappings‬‬ ‫‪: f: X‬‬ ‫يكون التطبيق ‪Y‬‬ ‫‪ )ii‬التطبيق المتباين ‪Injective mapping‬‬ ‫‪ )i‬التطبيق شامل ‪Surjective mapping‬‬ ‫‪∀ x1 , x2 ∈ X ; x1 = x2‬‬ ‫(‪f(x1) = f(x2‬‬ ‫إذا كان المدى = المجال المقابل‪.‬‬ ‫‪ )iii‬التطبيق تقابل (‪)Bijective mapping‬‬ ‫إذا كان التطبيق شامل ومتباين في آن واحد‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫تطبيق متباين‬ ‫تطبيق شامل‬ ‫عالقة وليست تطبيق‬ ‫تطبيق تقابل (شامل ومتباين)‬ ‫وغيرشامل‬ ‫وغيرمتباين‬ ‫‪ f: Z‬حيث ‪ ، f(x) =2x2 - 3‬بيّن نوع التطبيق حيث ‪ Z‬مجموعة األعداد الصحيحة‪.‬‬ ‫إذا كانت ‪Z‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪f(x) = 2x2 - 3 , f(-2)= 5 , f(-1) = -1 , f(0)= -3 , f(1) = -1 , f(2) = 5‬‬ ‫‪... , -2 , -1 , 0 ,1 , 2 , 3 ,...‬‬ ‫أوالً‪ :‬التطبيق ليس شامالً ألن المدى اليساوي المجال المقابل‪.‬‬ ‫ثانياً‪ :‬ليس متباينا ً ألن ‪ f(-1) = f(1) = -1‬بينما ‪.1 = -1‬‬ ‫‪... , -3 , -2 , -1 , 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5,...‬‬ ‫[‪ ]1-2-3‬تركيب التطبيقات‬ ‫‪The composition of mappings‬‬ ‫ندرس طريقة إليجاد تطبيق جديد من تطبيقين معلومين إذ هما‬ ‫))‪(fog)(x) = f(g(x‬‬ ‫(‪ g(x) ، f(x‬وهي‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ )i‬التطبيق ((‪ )fog)(x( = f )g(x‬ويُقرأ ‪ f‬تركيب ‪ f( g‬بعد ‪)g‬‬ ‫وهو ناتج إيجاد (‪ g(x‬أوالً ثم إيجاد صورته في التطبيق ‪. f‬‬ ‫‪ )ii‬التطبيق ((‪ )gof)(x( = g )f(x‬ويُقرأ ‪ g‬تركيب ‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫))‪f(g(x‬‬ ‫وهو ناتج إيجاد (‪ f(x‬أوالً ثم إيجاد صورته في التطبيق ‪. g‬‬ ‫‪11‬‬  ‫‪. g:N‬‬ ‫‪N ، g(x) = x2 ، f:N‬‬ ‫إذا كان ‪N ، f(x) = 2x + 1‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫جد‪ ،)gof)(3) (ii ، (fog)(3( )i :‬ماذا تالحظ؟ ‪ )iii ،‬جد قيمة ‪ x‬إذا كان ‪.)fog)(x( = 33‬‬ ‫)‪i) (fog)(3‬‬ ‫نجد‬ ‫)‪ii) (gof)(3‬‬ ‫نجد‬ ‫)‪(fog)(3) = f(g(3)) = f(32‬‬ ‫))‪(gof)(3) = g(f(3‬‬ ‫‪= f(9) = 2 × 9 + 1‬‬ ‫)‪= g(2 × 3 + 1‬‬ ‫‪= 19‬‬ ‫‪= g(7) = 72 = 49‬‬ ‫الحظ أن )‪(fog)(3) = (gof)(3‬‬ ‫‪iii) (fog)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2 + 1‬‬ ‫⇒ ‪2x2 + 1 = 33‬‬ ‫يهمل ‪2x2 = 32 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 or x = -4‬‬ ‫اكتب قاعدة اقتران للتطبيق ومثّله بمخطط سهمي واكتب المجال والمدى له‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫األسئلة (‪)1 - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫})‪f ={(1,2), (2,3), (3,4), (4,5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫})‪g ={(1,3), (2,5), (3,7), (4,9‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)1‬‬ ‫اكتب قاعدة االقتران للتطبيقات التالية ومثّلها في المستوي اإلحداثي واكتب المجال والمدى لها‪:‬‬ ‫األسئلة (‪)3 - 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫})‪f ={(1,0), (2,0), (3,0), (4,0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫})‪g ={(0,0), (1,-1), (2,-2), (3,-3‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)2‬‬ ‫السؤال (‪)5‬‬ ‫مشابه للمثال (‪)3‬‬ ‫‪ f: N‬إذ ّ‬ ‫إن ‪. f(x) = 3x + 2‬بيِّن هل أن التطبيق شامل أم ال؟‬ ‫إذا كان التطبيق ‪N‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ g : Z‬حيث ‪. g(x) = 2x + 5‬‬ ‫ّ‬ ‫وان ‪Z‬‬ ‫‪ f : Z‬حيث ‪f(x) = 3x + 1‬‬ ‫ليكن التطبيقان ‪Z‬‬ ‫‪6‬‬ ‫األسئلة (‪)6 - 7‬‬ ‫جد قيمة ‪ x‬إذا كان ‪. )fog()x) = 28‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ g:N‬إذ ‪. g(x) = x + 3‬‬ ‫‪ f: N‬حيث ‪ f(x) = 5x+2‬و ّ‬ ‫ان ‪N‬‬ ‫إذا كانت ‪N‬‬ ‫اكتب التطبيق ‪ fog‬بكتابة األزواج المرتبة له‪.‬‬ ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫‪ f: A‬معرّف كاآلتي‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫وان ‪B‬‬ ‫إذا كان {‪ A={1,2,3‬و {‪B={4,5,6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫{(‪ ، f = {(1,4), (2,5), (3,6‬ارسم المخطط السهمي للتطبيق ومثِّله بالمستوي اإلحداثي‪.‬‬ ‫‪ f: A‬حيث ‪ f(x) = x2‬والمجموعة {‪ ، A={-2,-1,0,1,2‬مثِّل التطبيق في المستوي‬ ‫إذا كان ‪Z‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اإلحداثي وبيّن هل أنه تطبيق متباين أم ال ؟‬ ‫‪ g: N‬إذ ‪. g(x) = x + 1‬والمطلوب إيجاد‪:‬‬ ‫‪ f: N‬إذ ّ‬ ‫إن ‪N , f(x) = x2‬‬ ‫‪ 10‬ليكن ‪N‬‬ ‫)‪i) (gof)(x) , (fog)(x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪ii) (fog)(2) , (gof)(2‬‬ ‫‪12‬‬  ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫‪ 11‬درجات الحرارة‪ :‬سجلت درجات الحرارة في أحد أيام الشتاء‬ ‫بالعالقة التالية {(‪ R ={(6,-2), (9,-3), (12,-4), (15,-5‬إذ‬ ‫يمثل اإلحداثي األول الوقت بالساعة واإلحداثي الثاني درجة الحرارة‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫اإلحداثي‪   ،‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫بالدرجات السيليزية‪.‬مثّل العالقة بجدول ومثّلها بالمستوي‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫هل تمثّل العالقة تطبيقا ً أم ال؟ معلالً إجابتك‪.‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪     Y‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪          ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪ 12‬المستوي اإلحداثي‪ :‬الشكل البياني المجاور يمثل التطبيق‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪          ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ّ ‪    ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. f:N‬اكتب إحداثيات األزواج المرتبة التي تمثلها نقاط‬ ‫‪N‬‬ ‫‪   1      ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫متباين ‪  ‬‬ ‫التطبيق في البياني‪ ،‬اكتب قاعدة اقتران التطبيق‪ ،‬هل التطبيق ‪  ‬‬ ‫‪       1  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫أم ال؟‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪ 13‬صحة‪ :‬العالقة ( ‪ Wr= 2) b‬تمثل وزنَ الماء في جسم اإلنسان‪ ،‬و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ Wb‬تمثل وزنَ اإلنسان‪.‬وزن حسان ‪ ،150kg‬استعم َل نظام خاص‬ ‫بإنقاص الوزن لمدة ثالثة أشهر ففقَ َد من وزنه ‪ 6kg‬في الشهراألول‬ ‫ثم ‪ 12kg‬في الشهر الثاني‪ 12kg ،‬في الشهر الثالث‪.‬اكتب جمع‬ ‫األزواج المرتبة للعالقة بين وزن حسان ووزن الماء في جسمه‪ ،‬هل‬ ‫تمثّل تطبيقا ً أم ال ؟‬ ‫فَ ِّك ْ‬ ‫ـر‬ ‫‪ g: A‬معرّفان كما يلي‪:‬‬ ‫‪ f: A‬و ‪A‬‬ ‫‪ 14‬تح ًّد‪ :‬إذا كان {‪ A={1 ,2 ,3‬وكان ‪A‬‬ ‫{(‪g = {(3,1) , (1,2) , (2,3)} , f = {(1,3) , (3,3) , (2,3‬‬ ‫بيِّن هل أن ‪ fog = gof‬؟‬ ‫‪ f: Z‬حيث ‪ f(x(= x3‬ال تمثّل تطبيقا ً متبايناً‪.‬‬ ‫‪ 15‬أُ ِّ‬ ‫صح ُح الخطأ‪ :‬قال ياسين إن العالقة ‪Z‬‬ ‫ح ّدد خطأ ياسين وصحّحهُ‪.‬‬ ‫‪ f: X‬فيما يلي تمثل تطبيقا ً أم ال؟ فسِّر ذلك‪.‬‬ ‫عددي‪ :‬حدِّد ما إذا كانت كل عالقة ‪Y‬‬ ‫ٌّ‬ ‫حس‬ ‫ٌّ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪x 1 2 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y 3 5 7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ f: N‬يمثل تطبيقا ً حيث ‪ّ ، f(x) = 4x - 3‬‬ ‫وأن ‪.)fof)(x) = 33‬‬ ‫قيمة ‪ x‬إذا كان ‪N‬‬ ‫اُ ْ‬ ‫كتب‬ ‫‪13‬‬  ‫المتتابعات‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫‪The Sequences‬‬ ‫[‪]1-3‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫ التعرف إلى المتتابعة‬ ‫يعمل بشار في المرسم خمسة أيام في‬ ‫األسبوع وينتج لوحةً فنيةً ك َّل ثالثة أيام‪.‬ن ِّ‬ ‫والمتتابعة الحسابية وخواصها‬ ‫ظ ْم‬ ‫جدوالً يربط بين عدد األيام وعدد اللوحات‬ ‫المفردات‬ ‫ المتتابعة‬ ‫التي رسمها بشار إذا عمل ‪ 4‬أسابيع في‬ ‫ المتتابعة الحسابية‬ ‫المرسم‪.‬اكتب مجموعة األزواج المرتبة‬ ‫ الحد العام‬ ‫من الجدول‪.‬هل يمثل الجدول نمطاً؟ هل‬ ‫ المتتابعة الثابتة‬ ‫يمثل متتالية؟‬ ‫ أساس المتتابعة‬ ‫[‪ ]1-3-1‬المتتابعة والدالة‬ ‫‪The sequence and function‬‬ ‫تعرفت سابقا ً إلى الدالة وكيفية تحديد مجالها ومداها واآلن سوف تتعرف إلى المتتابعة كدالة وكيفية التعبيرعنها وكتابة‬ ‫‪ )Sequence) f:N‬هي دالة تمثلها مجموعة األزواج المرتبة‬ ‫حدودها وكما يأتي‪ :‬إن المتتابعة ‪R‬‬ ‫}… ‪ {(1,f(1)) , (2,f(2)) , (3,f(3)) , … ,(n,f(n)),‬إذ ّ‬ ‫إن المساقط األولى هي مجموعة األعداد الطبيعية‬ ‫(متتابعة غير منتهية ‪ infinite sequence‬ويرمز لها ‪ }f(n({ n = 1‬أو ‪ )}un{ n = 1‬أو مجموعة جزئية منها (متتابعة‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫منتهية ‪ finite sequence‬ويرمز لها ‪ }f(n({mn = 1‬أو ‪ ،)}un{mn = 1‬ولذا اكتُف َي بكتابة المساقط الثانية (الصور)‬ ‫{‪ }))f(1)) , (f(2)) , (f(3)) ,…, (f(n( ,...‬ويسمى ‪ un‬بالحد العام للمتتابعة وأن (‪.un = f(n‬‬ ‫والمتتالية تكتب {‪ ،}u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,... ,ui ,...‬أو ‪. u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,... ,ui ,...‬‬ ‫مثال (‪ )1‬نظّم جدوالً يربط بين عدد األيام وعدد اللوحات‪.‬اكتب مجموعة األزواج المرتبة من الجدول‪.‬‬ ‫عدد اللوحات ‪6 5 4 3 2 1‬‬ ‫هل يمثل الجدول نمطاً؟ هل يمثل متتابعة؟‬ ‫عدد األيام ‪18 15 12 9 6 3‬‬ ‫األزواج المرتبة })‪{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18‬‬ ‫نعم يمثل نمطا ً والعالقة تمثل “ثالثة أمثال” والعالقة تمثل متتابعة ح ّدها العام هو‬ ‫{‪ ، un = 3n , n ∈ {1,2,3,4,5,6‬وتكتب بالشكل اآلتي‪}un{ = }3n{ = }3,6,9,12,15, 18{ :‬‬ ‫اكتب األزواج المرتبة الخمسة األولى للمتتابعة {‪ }un‬ومثّلها في المستوي اإلحداثي‪:‬‬ ‫مثال (‪)2‬‬ ‫‪                  ‬‬ ‫‪i) {n}= {1,‬‬ ‫}… ‪2, 3, 4, 5,‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫}…‪ii) { 1n }= { 1,     12   , 13    , 14   ,   15   ,  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪                    ‬‬ ‫‪                    ‬‬ ‫‪{(1,1),‬‬ ‫‪                    ‬‬ ‫‪(2,2),‬‬ ‫} )‪(3,3), (4,4), (5,5‬‬ ‫‪{(1,1), (2, 1 ),     (3,‬‬ ‫‪     1       1         1‬‬ ‫}) ‪), (4, ), (5,  ‬‬ ‫‪                        ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪     3       4          5‬‬ ‫‪1 Y‬‬ ‫‪     Y                      ‬‬ ‫‪                          ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪                        un   =  n‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪          ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪u =1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   n  ‬‬ ‫‪   n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪                    ‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1                    ‬‬ ‫‪                    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪     1   2   3   4   5 X‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   1‬‬ ‫‪   2‬‬ ‫‪   3‬‬ ‫‪   4‬‬ ‫‪   5 X‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪14‬‬  ‫[‪ ]1-3-2‬المتتابعة الحسابية‬ ‫‪Arithmetic sequence‬‬ ‫‪ )i‬المتتابعة الحسابية‪ :‬هي المتتابعة التي يكون فيها ناتج طرح كل حد من الحد الذي يليه مباشرةً عدداً ثابتا ً ويسمى أساس‬ ‫المتتابعة (الفرق المشترك ‪ ،)Common Difference‬ويرمز له ‪. d= un+1 - un‬ويمكن كتابة المتتابعة بمعرفة حدها األول‬ ‫‪ u1 = a‬وأساسها ‪.d‬وقانون الحد العام للمتتابعة الحسابية هو ‪ un= a + (n-1) d‬حيث ‪. n ∈ N‬‬ ‫ويمكن تحديد نوع المتتابعة بصورة عامة كما يلي‪:‬‬ ‫‪ )i‬المتتابعة المتزايدة وفيها ‪ d < 0‬مثال }… ‪.{1, 3, 5, 7, 9,‬‬ ‫‪ )iii‬المتتابعة الثابتة وفيها ‪. d = 0‬‬ ‫‪ )ii‬المتتابعة المتناقصة‪ :‬وفيها ‪ d < 0‬مثال }… ‪.{4, 2, 0, -2, -4,‬‬ ‫مثال }… ‪.{5, 5, 5, 5, 5,‬‬ ‫اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة من المتتابعات الحسابية اآلتية‪:‬‬ ‫مثال (‪)3‬‬ ‫‪ )i‬متتابعة حسابية الحد األول فيها ‪ 3‬وأساسها ‪. 6‬‬ ‫}‪{3, 9, 15, 21, 27‬‬ ‫‪ )ii‬متتابعة حسابية الحد األول فيها ‪ 1‬وأساسها ‪. -3‬‬ ‫}‪{1, -2, -5, -8 , -11‬‬ ‫‪ )iii‬متتابعة حسابية حدها السابع ‪ 36‬وأساسها ‪. 4‬‬ ‫‪u7 = a + (n-1) d ⇒ u7 = a + 6d ⇒ 36 = a + 6 × 4 ⇒ a = 12‬‬ ‫}‪{ 12, 16, 20, 24, 28‬‬ ‫‪+d‬‬ ‫‪+d‬‬ ‫‪+d‬‬ ‫‪u1 ⇒ u2 ⇒ u3 ⇒........ ⇒ un‬‬ ‫اكتب حدود للمتتابعات اآلتية‪:‬‬ ‫مثال (‪)4‬‬ ‫‪ )i‬متتابعة حسابية حدها الثالث ‪ 8‬و ‪. d = -3‬جد الحدود بين ‪ u7‬و ‪. u11‬‬ ‫‪un = a + (n-1) d ⇒ u3 = a + 2d ⇒ 8 = a - 6 ⇒ a = 8 + 6 = 14‬‬ ‫‪un = a + (n-1) d ⇒ u7 = a + 6d ⇒ u7 = 14 + 6(-3) ⇒ u7 = -4‬‬ ‫{ }‬ ‫نجد قيمة ‪ a‬ومنها نحصل‬ ‫على قيمة الحد ‪ 7‬والحدود‬ ‫التي تليه‬ ‫‪u8 = 47 + d = - 4 - 3 = -7 , u9 = u8 + d = - 7 - 3 = -10‬‬ ‫}‪u10 = 49 + d = - 10 - 3 = -13 , {-7 , -10, -13‬‬ ‫حدود المتتالية‬ ‫‪ )ii‬اكتب الحد العشرين من المتتابعة الحسابية }… ‪ {6, 1, -4, -9,‬وحدِّد ما إذا كانت المتتابعة متناقصة أم متزايدة‪.‬‬ ‫‪d = un+1 - un ⇒ d =1- 6 = -5 , a = 6‬‬ ‫‪un = a + (n-1) d ⇒ u20 = a + 19d ⇒ u20 = 6 + 19 (-5) ⇒ u20 = -89‬‬ ‫بما أن ‪ d‬أصغر من صفر‪ ،‬لذا ّ‬ ‫ان المتتابعة متناقصة‪.‬‬ ‫اكتب الحدود الخمسة األولى لكل من المتتابعات اآلتية‪:‬‬ ‫مثال (‪)5‬‬ ‫}‪i) {2n -1} = {1, 3, 5, 7, 9‬‬ ‫}‪, ii) {(-1)n}= {-1, 1, -1, 1, -1‬‬ ‫}‪iii) {7} = {7, 7, 7, 7, 7‬‬ ‫} ‪, iv) { n } = { 1 , 2 , 1, 4 , 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫}‪v) {n2} = {1, 4, 9, 16, 25‬‬ ‫}‪, vi) {n3}= {1, 8, 27, 64, 125‬‬ ‫‪15‬‬  ‫اكتب األزواج المرتبة األربعة األولى للمتتابعة التي حدها العام معطى‪:‬‬ ‫تأ َّكـ ْد من فه ِمـ َك‬ ‫‪1‬‬ ‫‪un= 3n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪un = n - 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪un = 3n2‬‬ ‫األسئلة (‪)1 - 5‬‬ ‫‪4 un = 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪un = 3n – 1‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫األسئلة (‪)6 - 8‬‬ ‫اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة من المتتابعات اآلتية‪:‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)3‬‬ ‫متتابعة حسابية الحد األول فيها ‪5‬ـ وأساسها ‪.2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫متتابعة حسابية الحد األول فيها ‪ 1‬وأساسها ‪.5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫متتابعة حسابية الحد األول فيها ‪3‬ـ وأساسها ‪ 4‬ـ ‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫اكتب حدود للمتتابعات اآلتية‪:‬‬ ‫جد الحدود بين ‪ u8‬و ‪ u12‬لمتتابعة حسابية حدها الثالث ‪ 9‬و ‪. d = -2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫األسئلة (‪)9 - 11‬‬ ‫‪ 10‬جد الحدود بين ‪ u6‬و ‪ u10‬لمتتابعة حسابية حدها الثاني ‪ -11‬و ‪. d = -3‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)4‬‬ ‫‪ 11‬اكتب الحد الثالث والعشرين من المتتابعة الحسابية }… ‪.{3, -1, -5, -9,‬‬ ‫اكتب الحدود الخمسة األولى لكل من المتتابعات اآلتية‪:‬‬ ‫………= }‪12 {4n‬‬ ‫………= }‪13 {2n - 5‬‬ ‫األسئلة (‪)12 - 15‬‬ ‫…‪14 { 1 } =.....‬‬ ‫………= }‪15 {9‬‬ ‫مشابهة للمثال (‪)5‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫اكتب األزواج المرتبة األربعة األولى للمتتابعة التي حدها العام معطى‪:‬‬ ‫ت‬ ‫تدرب وح ّل التمرينا ِ‬ ‫ْ‬ ‫‪16 un = 10 - 4n‬‬ ‫= ‪17 un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3n+1‬‬ ‫‪ 18‬اكتب الحدود الخمسة األولى للمتتابعة اآلتية‪:‬‬ ‫متتابعة حسابية الحد السابع فيها ‪ 1‬وأساسها ‪. 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪24‬‬ ‫اكتب حدود للمتتابعات اآلتية‪:‬‬ ‫‪ 19‬جد الحدود بين ‪ u10‬و ‪ u13‬لمتتابعة حسابية حدها السابع ‪ 13‬و ‪. d = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 20‬جد الحدود بين ‪ u20‬و ‪ u23‬لمتتابعة حسابية حدها الثاني ‪ 0‬و ‪. d = -1‬‬ ‫حدِّد نوع المتتابعة (متزايدة ‪ ،‬متناقصة ‪ ،‬ثابتة) لكل مما يأتي‪:‬‬ ‫}‪21 {un} = {3 - 2n‬‬ ‫}‪22 {un} = {n3 -1‬‬ ‫‪16‬‬  ‫تدرب وح ّل مسائ َل حياتيةً‬ ‫ْ‬ ‫‪ 23‬رياضة الجري‪ :‬في إحدى مسابقات الجري‪ُ ،‬سجِّلت أوقات‬ ‫الفائز األول وفقا ً للجدول اآلتي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المسافة بالكيلومتر‬ ‫الوقت بالدقيقة والثانية ‪15.92 12.72 9.52 6.32 3.12‬‬ ‫اكتب مجموعة األزواج المرتبة من الجدول‪.‬هل يمثل الجدول‬ ‫نمطاً؟ هل يمثل متتابعة؟ علل إجابتك‪.‬‬ ‫رياضة القفز بالزانة‪ :‬يبيِّن الجدول التالي محاوالت أحد‬ ‫‪24‬‬ ‫أبطال العالم في رياضة سباق القفز بالزانة‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المحاولة‬ ‫االرتفاع بالمتر ‪6.10 6.05 6.00 5.95 5.90‬‬ ‫اكتب مجموعة األزواج المرتبة من الجدول‪.‬هل يمثل الجدول‬ ‫نمطاً؟ هل يمثل متتابعة؟ علل إجابتك‪.‬‬ ‫‪ 25‬زراعة‪ :‬اشترى حسّان مزرعة لتربية األبقار وبعد سنة أصبح‬ ‫فيها ‪ 20‬بقرةً‪ ،‬وبدأت تزداد ك َّل سنة نتيجة الوالدات بمعدل ثابت‬ ‫حتى أصبح عددها الضعف بعد مضي ست سنوات‪.‬مثِّل المسألة‬ ‫بجدول واكتب األزواج المرتبة فيه‪.‬هل يمثل الجدول نمطاً؟ هل‬ ‫يمثل متتابعة؟ علِّل إجابتك‪.‬‬ ‫فَ ِّك ْ‬ ‫ـر‬ ‫‪ 26‬تح ًّد‪ :‬جد قيمة ‪ x‬التي تجعل الحدود الثالثة األولى للمتتابعة الحسابية كما يأتي‪:‬‬ ‫}‪{2x, x + 1, 3x + 11,.....‬‬ ‫‪ 27‬أُ ِّ‬ ‫صح ُح الخطأ‪ :‬قالت رابحة ّ‬ ‫أن المتتابعة التي حدها العام ‪ un = 8 - 2n‬متتابعة متزايدة ألن ‪. d < 0‬‬ ‫اكتشف خطأ رابحة وصحّحه‪.‬‬ ‫عددي‪ :‬ماهو الحد الحادي عشر لمتتابعة حدها الثالث ‪ 4‬وأساسها ‪ - 1‬؟‬ ‫ٌّ‬ ‫حس‬ ‫ٌّ‬ ‫‪28‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحد الذي ترتيبه ‪ 101‬في المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس ‪ - 4‬وأساسها ‪. 2‬‬ ‫اُ ْ‬ ‫كتب‬ ‫‪17‬‬  ‫المتباينات المركبة‬ ‫الدرس‬ ‫ُ‬ ‫‪Compound Inequalities‬‬ ‫[‪]1-4‬‬ ‫تعلم‬ ‫فكرةُ الدرس‬ ‫ حل المتباينات التي تحتوي‬ ‫تقاس درجات حرارة الجو خالل اليوم الواحد‬ ‫أدوات الربط (و) ‪( ،‬أو) وتمثيل‬ ‫بدرجة الحرارة السيليزية الصغرى والكبرى‬ ‫الحل على مستقيم األعداد‪.‬‬ ‫لكونها متغيرة من وقت آلخر‪.‬فإذا كانت درجة‬ ‫المفردات‬ ‫الحرارة السيليزية الصغرى في مدينة بغداد‬ ‫ المتباينة المركبة‬