Capítulo 29: Campos magnéticos (PDF)

29 C A P Í T U L O Campos magnéticos 29.1 Análisis de modelo: partícula en un campo (magnético) 29.2 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme 29.3 Aplicaciones del movimiento de par...

29 C A P Í T U L O Campos magnéticos 29.1 Análisis de modelo: partícula en un campo (magnético) 29.2 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme 29.3 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 29.4 Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta corriente 29.5 Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme 29.6 El efecto Hall Una ingeniera realiza una prueba Muchos historiadores de la ciencia creen que la brújula, que utiliza una aguja magnética, de la electrónica asociada con uno de fue usada en China desde el siglo XIII a. C., y que su invención es de origen árabe o indio. los imanes superconductores del Gran Desde el año 800 a. C. los griegos ya tenían conocimientos sobre el magnetismo. Descubrie- Colisionador de Hadrones (LHC, por ron que la magnetita (Fe3O4) atrae fragmentos de hierro. La leyenda adjudica el nombre mag- sus siglas en inglés) en el Laboratorio netita al pastor Magnes, que atraía trozos de magnetita con los clavos de sus sandalias y el Europeo de Física de Partículas, casquillo de su bastón mientras pastoreaba sus rebaños. operado por la Organización Europea En el año 1269, un francés de nombre Pierre de Maricourt descubrió que las direc- para la Investigación Nuclear (CERN, por sus siglas en inglés). Los ciones a las que apuntaba una aguja al acercársele un imán natural esférico formaban imanes se utilizan para controlar el líneas que rodeaban a la esfera y pasaban a través de ésta en dos puntos diametralmente movimiento de partículas cargadas opuestos uno del otro, a los que llamó polos del imán. Experimentos consecutivos demos- en el acelerador. En este capítulo traron que todo imán, cualquiera que fuera su forma, tiene dos polos, uno norte (N) y otro estudiaremos los efectos de los sur (S), que ejercen fuerzas sobre otros polos magnéticos de manera similar a como las car- campos magnéticos en partículas gas eléctricas ejercen fuerzas entre sí. Esto es, polos iguales (N-N o S-S) se repelen y polos cargadas en movimiento. (CERN) opuestos (N-S) se atraen. 868  29.1 Análisis de modelo: partícula en un campo (magnético) 869 Los polos son llamados así por la forma en que un imán, como el de una brújula, se com- porta en presencia del campo magnético de la Tierra. Si a un imán en forma de barra se le © North Wind/North Wind Picture Archives -- suspende de su punto medio de manera que oscile con libertad en un plano horizontal, girará hasta que su polo norte apunte al Polo Norte geográfico de la Tierra y su polo sur señale al Todos los derechos reservados. Polo Sur geográfico de la Tierra.1 En el año 1600, William Gilbert (1540-1603) amplió el experimento de Maricourt aplicán- dolo a una diversidad de materiales. Con base en que la aguja de una brújula se orienta en direcciones preferenciales, sugirió que la Tierra misma es un imán permanente gigantesco. En 1750, en otros experimentos se utilizó una balanza de torsión para demostrar que los polos magnéticos ejercen entre sí fuerzas de atracción o de repulsión y que estas fuerzas varían en función del inverso del cuadrado de la distancia entre los polos que interactúan. A pesar Hans Christian Oersted Físico y químico danés (1777-1851) de que la fuerza entre polos magnéticos es de otro modo similar a la fuerza entre dos cargas Oersted es más conocido por haber eléctricas, estas últimas pueden aislarse (recuerde el electrón y el protón), considerando que observado que la aguja de una brújula nunca ha sido posible aislar un solo polo magnético. Es decir, los polos magnéticos siempre se desvía cuando se le coloca cerca de un alambre que lleva corriente. Este se encuentran en pares. Hasta ahora todos los intentos hechos para detectar la presencia de importante descubrimiento fue la primera un polo magnético aislado han sido desafortunados. Independientemente de cuántas veces se evidencia de la relación entre fenómenos divida un imán, cada trozo resultante tendrá siempre un polo norte y un polo sur.2 eléctricos y magnéticos. Oersted también fue el primero en obtener aluminio puro. La relación entre la electricidad y el magnetismo fue descubierta en 1819, cuando en el transcurso de una demostración en una conferencia, el científico danés Hans Christian Oersted descubrió que una corriente eléctrica en un alambre desviaba la aguja de una brújula cercana.3 Durante 1820, Faraday y Joseph Henry (1797-1878) demostraron, de manera independiente, relaciones adicionales entre la electricidad y el magnetismo. Mostraron que es posible crear una corriente eléctrica en un circuito ya sea moviendo un imán cerca de él o variando la corriente de algún circuito cercano. Estas observaciones demuestran que una variación en un campo magnético crea un campo eléctrico. Años después, el trabajo teórico de Maxwell demostró que lo contrario también es cierto: un campo eléctrico que varía crea un campo magnético. En este capítulo se examinan las fuerzas que actúan sobre las cargas en movimiento y sobre los alambres que conducen una corriente en presencia de un campo magnético. En el capítulo 30 se describe la fuente del campo magnético. 29.1 Análisis de modelo: partícula en un campo (magnético) Cuando se estudió la electricidad, se describieron las interacciones entre objetos con carga en función de campos eléctricos. Recuerde que cualquier carga eléctrica está rodeada por un campo eléctrico. Además de contener un campo eléctrico, el espacio que rodea a cualquier carga eléctrica en movimiento, también contiene un campo magnético. N S También cualquier sustancia magnética que forma parte de un imán permanente está rodeada por un campo magnético. S Históricamente, el símbolo B ha sido utilizado para representar el campo magnético, S y ésta es la notación utilizada en este libro. La dirección del campo magnético B en cualquier sitio es la dirección a la cual apunta la aguja de una brújula colocada en dicha posición. Igual que en el caso del campo eléctrico, es posible representar el campo mag- Figura 29.1 Con la aguja de la nético gráficamente utilizando líneas de campo magnético. brújula pueden trazarse las líneas La figura 29.1 muestra cómo pueden trazarse las líneas del campo magnético de un de campo magnético en la región imán de barra con ayuda de una brújula. Observe que las líneas de campo magnético externa de un imán de barra. 1Observe que el Polo Norte geográfico de la Tierra es magnéticamente un polo sur, en tanto que su Polo Sur geográfico es su polo norte. Dado que los polos magnéticos opuestos se atraen, el polo de un imán que es atraído por el Polo Norte geográ- fico de la Tierra es el polo norte del imán, y el polo atraído por el Polo Sur geográfico de la Tierra es el polo sur del imán. 2Existen bases teóricas para especular que en la naturaleza es posible encontrar monopolos magnéticos, es decir, polos norte y sur aislados. Es un campo activo de investigación el intentar detectarlos. 3Este mismo descubrimiento fue publicado en 1802 por un jurista italiano, Gian Domenico Romognosi, pero no fue tomado en consideración, probablemente porque se publicó en un periódico de poca difusión. 870 Capítulo 29 Campos magnéticos Figura 29.2 Patrón de campo Patrón del campo Patrón de campo Patrón de campo magnético desplegado con limadu- magnético que rodea a un magnético entre polos magnético entre polos ras de hierro espolvoreadas en un imán de barra utilizando opuestos (N–S) de dos iguales (N–N) de dos papel cerca de un imán. limaduras de hierro imanes de barra imanes de barra Henry Leap and Jim Lehman a b c en el exterior del imán apuntan alejándose del polo norte y hacia el polo sur. Es posible mostrar los patrones de campo magnético de un imán de barra utilizando pequeñas limaduras de hierro, como se muestra en la figura 29.2. Cuando se dice que un imán de brújula tiene un polo norte y un polo sur, es más ade- cuado decir que tiene un polo “que busca el norte” y un polo “que busca el sur”. Al decir esto se expresa que un polo del imán busca o apunta hacia el polo norte geográfico de la Tierra. En vista de que el polo norte de un imán es atraído hacia el Polo Norte geográfico de la Tierra, se concluye que el polo sur magnético de la Tierra está localizado cerca del Polo Norte geográfico, y el polo norte magnético de la Tierra está localizado cerca del Polo Sur geográfico. De hecho, la configuración del campo magnético de la Tierra, que se ilustra en la figura 29.3, se parece mucho al que se lograría enterrando profun- damente en el interior de la Tierra un imán de barra gigantesco. Si se suspende la aguja de una brújula en cojinetes que permitan que gire tanto en el plano vertical como en el horizontal, la aguja queda colocada horizontalmente respecto de la superficie de la Tie- rra sólo cuando está cerca del Ecuador. Conforme la brújula es movida hacia el Norte, la aguja gira de forma que apunta cada vez más hacia la superficie de la Tierra. Finalmente, en un punto cerca de la Bahía de Hudson, en Canadá, el polo norte de la aguja apunta directamente hacia abajo. Este sitio, descubierto en 1832, se considera como la ubicación del polo sur magnético de la Tierra. Está a 1 300 millas del Polo Norte geográfico, y su Eje magnético Un polo sur magnético está Eje de rotación cerca del Polo Polo sur Polo Norte Norte geográfico. magnético geográfico 11 Ecuador geográfico S Ecuador magnético N Un polo norte magnético está Polo Sur Polo norte cerca del Polo Figura 29.3 Líneas de campo geográfico magnético Sur geográfico. magnético de la Tierra.  29.1 Análisis de modelo: partícula en un campo (magnético) 871 posición exacta varía lentamente con el transcurso del tiempo. De manera similar, el polo norte magnético de la Tierra está alrededor de 1 200 millas lejos del Polo Sur geo- gráfico de la Tierra. A pesar de que el patrón del campo magnético de la Tierra es similar al que se esta- blecería utilizando un imán de barra enterrado a una gran profundidad en el interior de la Tierra, es fácil entender por qué la fuente del campo magnético de la Tierra no puede estar compuesta por grandes masas de material permanentemente magnetizado. Es cierto que la Tierra tiene grandes depósitos de hierro por debajo de su superficie, pero las elevadas temperaturas en el núcleo de la Tierra impedirían que el hierro retuviera cualquier magnetización permanente. Los científicos piensan que es más probable que el verdadero origen del campo magnético de la Tierra se deba a corrientes de convec- ción en su núcleo. Iones cargados o electrones circulando en el interior líquido podrían producir un campo magnético igual a como ocurre en una espira de corriente, como veremos en el capítulo 30. También existe una fuerte evidencia de que la magnitud del campo magnético de un planeta está relacionada con su velocidad de rotación. Por ejem- plo, Júpiter gira más rápido que la Tierra, y las sondas espaciales indican que el campo magnético de Júpiter es más fuerte que el terrestre. Venus, por otro lado, gira más des- pacio que la Tierra, y su campo magnético es más débil. Actualmente se investigan las causas del magnetismo de la Tierra. La dirección del campo magnético de la Tierra se ha invertido varias veces durante el último millón de años. La evidencia de este fenómeno se encuentra en el basalto, un tipo de roca que contiene hierro y que se forma con base en el material expulsado por activi- dad volcánica en el fondo del océano. Conforme la lava se enfría, se solidifica y conserva una huella de la dirección del campo magnético de la Tierra. Mediante otros medios se determina la edad de estas rocas a fin de tener un calendario de estas inversiones perió- dicas del campo magnético. S Podemos cuantificar el campo magnético B mediante el uso de nuestro modelo de una partícula en un campo, igual que con el modelo para la gravedad analizado en el capítulo 13 y el de la electricidad en el capítulo 23. La existencia de un campo magnético en algún punto en el espacio puede determinarse midiendo la magnitud de la fuerza S magnética FB que ejerce el campo sobre una partícula de prueba ubicada en ese punto. Este proceso es el mismo que seguimos en la definición del campo eléctrico en el capí- tulo 23. Si realizamos un experimento colocando una partícula cargada q en el campo magnético, nos encontramos con los siguientes resultados, que son similares a los de los experimentos con las fuerzas eléctricas: La fuerza magnética es proporcional a la carga q de la partícula. La fuerza magnética ejercida sobre una carga negativa tiene dirección opuesta a la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre una carga positiva que se mueva en la misma dirección. La fuerza magnética es proporcional a la magnitud del vector de campo mag- S nético B. También encontramos los siguientes resultados, que son totalmente diferentes de los de los experimentos con las fuerzas eléctricas: La fuerza magnética es proporcional a la rapidez v de la partícula. Si el vector velocidad forma un ángulo u con el campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional al seno de u. Cuando una partícula cargada se mueve paralela al vector de campo magnético, la fuerza magnética que actúa sobre ella es igual a cero. Cuando una partícula cargada se mueve de forma no paralela al vector de campo S magnético, la fuerza magnética actúa en dirección perpendicular a Sv y a B , es S decir, la fuerza magnética es perpendicular al plano formado por S v y B. Estos resultados muestran que la fuerza magnética sobre una partícula es más compli- cada que la fuerza eléctrica. La fuerza magnética es distintiva porque depende de la velo- S cidad de la partícula y porque su dirección es perpendicular tanto a S v como a B. La figu- 872 Capítulo 29 Campos magnéticos Figura 29.4 (a) Dirección S de la fuerza magnética FB que actúa sobre una partícula cargada que se La fuerza magnética es per- S mueve con una velocidad S v en pre- S pendicular tanto a v como a B. S S S v FB sencia de un campo magnético B. S (b) Fuerzas magnéticas sobre una FB Sobre dos partículas carga positiva y una negativa. Las S cargadas de signos v  líneas discontinuas muestran la tra- opuestos que se mueven yectoria de las partículas, las cuales S a la misma velocidad en investigaremos en la sección 29.2. B un campo magnético se  ejercen fuerzas S magnéticas en B direcciones opuestas.  u S FB S v a b ra 29.4 muestra los detalles de la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada. A pesar de este complicado comportamiento, estas observaciones pueden ser resumidas en una forma compacta al escribir la fuerza magnética como S S Expresión vectorial de X FB 5 qS v 3B (29.1) la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula que por definición del producto vectorial (vea la sección 11.1) es perpendicular tanto a S S cargada en movimiento en un v como a B. Esta ecuación es una definición operacional del campo magnético en algún campo magnético punto en el espacio. Esto es, el campo magnético está definido en función de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada en movimiento. La ecuación 29.1 es la representación matemática de la versión magnética del análisis del modelo de la partícula en un campo. La figura 29.5 analiza dos reglas de S la mano derecha para determinar la dirección del S producto cruz S v 3 B y la dirección de FB. La regla de la figura 29.5a depende de la regla de la mano derecha para el producto cruz de la figura 11.2. Dirija los cuatro dedos de su S mano derecha a lo largo de la dirección de S v , manteniendo la palma de cara a B , y cierre S los dedos hacia B. El pulgar extendido, S que forma S S un ángulo recto con los dedos, apunta S S en la dirección de S v 3 B. Ya que FB 5 q v 3 B , FB queda en la dirección del pulgar si q es positiva y en la dirección opuesta si q es negativa. (Si necesita más elementos para comprender el producto cruz, sería útil repasar la sección 11.1, incluyendo la figura 11.2.) En la figura 29.5b se muestra una regla alterna. En este caso el pulgar apunta en la S S dirección de S v y los dedos extendidos en la dirección de B. Ahora la fuerza FB que se ejerce sobre una carga positiva se extiende hacia afuera desde la palma de la mano. La ventaja de esta regla es que la fuerza sobre la carga está en la dirección en que se debería (2) Su pulgar en posición vertical muestra la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula positiva. (1) Apunte los dedos S en la dirección de B, S Figura 29.5 Dos reglas de la con v saliendo de su (1) Apunte sus dedos en dedo pulgar. mano derecha para determinar la S S la dirección de v, y a FB dirección de la fuerza magnética S S continuación enróllelos S FB 5 q S v 3 B que actúa sobre una S B hacia la dirección de B. partícula cargada q que se mueve con una velocidad S v en un campo S v (2) La fuerza S magnética sobre una magnético B. (a) En esta regla, la S v partícula positiva fuerza magnética está en la direc- está en la dirección ción en la cual su dedo pulgar que empuja con la apunta. (b) En esta regla, la fuerza S palma. S magnética está en dirección de la B FB palma, como si se estuviera empu- jando la partícula con la mano. a b  29.1 Análisis de modelo: partícula en un campo (magnético) 873 empujar con la mano, es decir, hacia afuera de la palma. La fuerza ejercida sobre una carga negativa está en la dirección opuesta. Utilice libremente cualquiera de estas dos reglas. La magnitud de la fuerza magnética sobre una partícula cargada es FB 5 |q |vB sen u (29.2) WMagnitud de la fuerza mag- S nética ejercida sobre una par- donde u es el menor ángulo entre S v y B. Por esta expresión puede ver que FB será igual tícula cargada que se mueve S a cero cuando Sv es paralela o antiparalela a B (u 5 0 o 180°), y es máxima cuando S v es en un campo magnético S perpendicular a B (u 5 908). Comparemos las diferencias importantes entre las versiones eléctrica y magnética del modelo de partícula en un campo: El vector fuerza eléctrica actúa a lo largo de la dirección del campo eléctrico, en tanto que el vector fuerza magnética actúa perpendicularmente al campo magnético. La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada sin importar si ésta se encuentra en movimiento, en tanto que la fuerza magnética actúa sobre una partícula cargada sólo cuando está en movimiento. La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en tanto que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no efectúa trabajo cuando se desplaza una partícula, debido a que la fuerza es perpen- dicular al desplazamiento de su punto de aplicación. Con base en este último enunciado y también con el teorema trabajo-energía cinética, se concluye que la energía cinética de una partícula cargada que se mueve a través de un campo magnético no puede ser modificada sólo por el campo magnético. El campo magnético puede modificar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez ni la energía cinética de la partícula. En la ecuación 29.2 se observa que la unidad del SI del campo magnético es newton por coulomb-metro por segundo, o tesla (T): N 1T51 WLa tesla C # m/s Dado que 1 ampere se define como 1 coulomb por segundo, N 1T51 A#m El gauss (G), una unidad que no es del SI y que se usa comúnmente para el campo mag- nético, se relaciona con la tesla mediante la conversión 1 T 5 104 G. La tabla 29.1 propor- ciona algunos valores representativos de los campos magnéticos. E xamen rápido 29.1 Un electrón se mueve en el plano del papel de este libro hacia la parte superior de la página. Además, en el plano de la página existe un campo mag- nético que está dirigido hacia la derecha. ¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética sobre el electrón? (a) Hacia la parte superior, (b) hacia la parte inferior, (c) hacia el borde izquierdo, (d) hacia el borde derecho, (e) hacia arriba alejándose de la página, (f) hacia adentro de la página. Tabla 29.1 Algunas magnitudes aproximadas del campo magnético Fuente del campo Magnitud del campo (T) Poderoso imán de laboratorio superconductor 30 Poderoso imán de laboratorio convencional 2 Unidad médica MRI (resonancia magnética) 1.5 Imán de barra 1022 Superficie del Sol 1022 Superficie de la Tierra 0.5 3 1024 Interior del cerebro humano (debido a impulsos nerviosos) 10213 874 Capítulo 29 Campos magnéticos Análisis de modelo Partícula en un campo (magnético) Imagine que una fuente (que inves- z Ejemplos: tigaremos más adelante) establece un ion se mueve en una trayectoria circular en el campo S un campo magnético B a través S S S magnético de un espectrómetro de masas (sección 29.3) FB  q v B del espacio. Ahora imagine que se una bobina en un motor gira en respuesta al campo coloca una partícula cargada q en magnético en el motor (capítulo 31) ese campo. La partícula interactúa q y un campo magnético se usa para separar partículas S con el campo magnético de modo B emitidas por fuentes radiactivas (capítulo 44) S que la partícula experimenta una v en una cámara de burbujas, partículas creadas en las fuerza magnética dada por colisiones siguen trayectorias curvas en un campo x S S magnético, permitiendo que las partículas puedan ser S FB 5 q v 3 B (29.1) identificadas (capítulo 46) Ejemplo 29.1 Electrón que se mueve en un campo magnético AM z Un electrón en un cinescopio de una televisión se mueve hacia el frente del cinescopio con una rapidez de 8.0 3 106 m/s a lo largo del eje x (figura 29.6). Rodeando el cuello del tubo hay bobinas de alambre que crean un campo magnético de 0.025 T de magnitud, dirigidas en un ángulo de 60° con el eje x y se encuentran en el e plano xy. Calcule la fuerza magnética sobre el electrón. S y 60 B SOLUCIÓN Figura 29.6 (Ejemplo 29.1) S S v La fuerza magnética FB que Conceptualizar Recuerde que la fuerza magnética sobre una par- actúa sobre el electrón está en x tícula cargada es perpendicular al plano formado por los vectores la dirección z negativa cuando S S S FB velocidad y campo magnético. Use la regla de la mano derecha en v y B están en el plano xy. la figura 29.5 para convencerse de que la dirección de la fuerza sobre el electrón es hacia abajo en la figura 29.6. Categorizar La fuerza magnética se evalúa utilizando la versión magnética del modelo de partícula en un campo. Analizar Use la ecuación 29.2 para encontrar la magnitud de la FB 5 |q|vB sen u fuerza magnética 5 (1.6 3 10219 C)(8.0 3 106 m/s)(0.025 T)(sen 608) 5 2.8 3 10214 N Finalizar Para practicar el uso del producto vectorial, evalúe esta fuerza en notación vectorial con la ecuación 29.1. La mag- nitud de la fuerza magnética le puede parecer pequeña, pero recuerde que se está actuando en una partícula muy pequeña, el electrón. Para convencerse de que esto es una fuerza sustancial para un electrón, calcule la aceleración inicial del electrón debida a esta fuerza. 29.2 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme Antes de continuar con la explicación se requiere cierta aclaración de la notación usada S en este libro. Para indicar la dirección de B en las ilustraciones, a veces se presentan S vistas en perspectiva, como en la figura 29.6. Si B se encuentra en el plano de la página o está presente en un dibujo en perspectiva, se usan vectores verdes o líneas de campo verdes con puntas de flechas. En las ilustraciones que no están en perspectiva se bosqueja un campo magnético perpendicular a y dirigido alejándose de la página con una serie de puntos verdes, que representan las puntas de flechas que vienen hacia usted (vea la figu- S S ra 29.7a). En este caso, el campo se etiqueta B afuera. Si B se dirige perpendicularmente  29.2 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme 875 Las líneas de campo Figura 29.7 Representación de Las líneas de campo magnético magnético que van hacia el las líneas de campo magnético per- que van hacia afuera del papel se indican mediante puntos, papel se indican mediante pendiculares a la página. que representan las puntas de cruces, que representan las las flechas que van hacia plumas de las flechas que afuera. van hacia adentro. S S Bafuera Badentro a b hacia adentro de la página, se usan cruces, que representan la colas emplumadas de las flechas disparadas alejándose de usted, como en la figura 29.7b. En este caso, el S campo se etiqueta B adentro, donde el subíndice “adentro” indica “hacia la página”. La mis- ma notación con cruces y puntos también se usa para otras cantidades que pueden ser perpendiculares a la página, como direcciones de fuerzas y corrientes. En la sección 29.1 encontramos que la fuerza magnética que actúa sobre una par- tícula cargada que se mueve en un campo magnético es perpendicular a la velocidad de la partícula y, en consecuencia, el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre la par- tícula es igual a cero. Ahora considere el caso especial de una partícula cargada positiva que se mueve en un campo magnético uniforme, estando el vector de velocidad inicial de la partícula en posición perpendicular al campo. Suponga que la dirección del campo magnético es hacia la página, igual que en la figura 29.8. El modelo de partícula en un campo nos dice que la fuerza magnética sobre la partícula es perpendicular a las líneas de campo magnético y a la velocidad de la partícula. El hecho de que haya una fuerza sobre la partícula indica que se debe aplicar el modelo de partícula bajo una fuerza neta. Conforme la partícula cambia la dirección de su velocidad como respuesta a la fuerza magnética, ésta se mantiene en posición perpendicular a la velocidad. Como se apuntó en la sección 6.1, si la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, la trayectoria de la partícula ¡es una circunferencia! La figura 29.8 muestra la partícula en movimiento circular en un plano perpendicular al campo magnético. Aunque por ahora las fuerzas del magnetismo y magnéticas pueden ser nuevas y desconocidas para usted, se observa un efecto magnético que se traduce en algo con lo que está familiarizado: ¡el modelo de partícula en movimiento circular uniforme! S La partícula se mueve en círculo porque la fuerza magnética F B es perpendicular a S S v y B y tiene una magnitud constante igual a qvB. Como se ilustra en la figura 29.8, la S La fuerza magnética FB que actúa sobre la carga lo hará siempre dirigida hacia el centro del círculo. S Badentro S v q  S FB r S FB S  v q S Figura 29.8 Cuando la velocidad FB de una partícula cargada es per- pendicular a un campo magnético S v uniforme, la partícula se mueve  siguiendo una trayectoria circular en S q un plano perpendicular a B. 876 Capítulo 29 Campos magnéticos rotación para una carga positiva en un campo magnético es en dirección contraria a las manecillas del reloj hacia el interior de la página. Si q fuera negativa, la rotación sería en dirección de las manecillas del reloj. Use el modelo de una partícula bajo una fuerza neta para escribir la segunda ley de Newton para la partícula: oF5F B 5 ma Ya que la partícula se mueve en un círculo, también se representa como una partícula en movimiento circular uniforme y se sustituye la aceleración con la aceleración centrípeta: mv 2 FB 5 qvB 5 r Esta expresión conduce a la siguiente ecuación para el radio de la trayectoria circular: mv r5 (29.3) qB Es decir, el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movimiento lineal mv de la partícula e inversamente proporcional a la magnitud de la carga sobre la partícula y a la magnitud del campo magnético. La rapidez angular de la partícula (según la ecua- ción 10.10) es v qB v5 5 (29.4) r m El periodo del movimiento (el intervalo de tiempo que necesita la partícula para comple- tar una revolución) es igual a la circunferencia del círculo dividido entre la rapidez de la partícula: 2pr 2p 2pm T5 5 5 (29.5) v v qB Estos resultados demuestran que la rapidez angular de la partícula y el periodo del movi- miento circular no dependen de la rapidez de la partícula ni del radio de la órbita. La rapidez angular v se denomina frecuencia de ciclotrón, porque las partículas cargadas circulan con esta frecuencia angular en un tipo de acelerador conocido como ciclotrón, el cual se explica en la sección 29.3. Si una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme con su veloci- S dad orientada en algún ángulo arbitrario respecto de B , su trayectoria será una espiral. Por ejemplo, si el campo está dirigido en la dirección x, como se observa en la figura 29.9, no existe componente de la fuerza en la dirección x. Como resultado, ax 5 0, y la componente en x de la velocidad se mantiene constante. La partícula cargada es una S partícula en equilibrio en esa dirección. La fuerza magnética qS v 3 B hace que cambien las componentes vy y vz en relación con el tiempo, y el movimiento resultante es una espiral cuyo eje es paralelo al campo magnético. La proyección de la trayectoria sobre el plano yz (visto a lo largo del eje de las x) es un círculo. (¡Las proyecciones de la trayec- toria sobre los planos xy y xz son sinusoidales!) Las ecuaciones 29.3 y 29.5 siguen siendo aplicables, siempre y cuando se reemplace v por v ' 5 !v y2 1 v z2.. y Trayectoria q helicoidal S  Figura 29.9 Una partícula B con carga, con un vector de velocidad que tenga una com- ponente paralela a un campo magnético uniforme, se mueve z en una trayectoria helicoidal. x  29.2 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme 877 E xamen rápido 29.2 Una partícula cargada se mueve en dirección perpendicular a un campo magnético con una trayectoria circular de radio r. (i) Una partícula idéntica S entra en el campo, con S v perpendicular a B , pero con una rapidez más elevada que la primera partícula. En comparación con el radio del círculo que recorre la primera partícula, ¿el radio de la trayectoria circular que traza la segunda partícula es: (a) menor, (b) mayor o (c) igual en tamaño? (ii) La magnitud del campo magnético se incrementa. De las mismas opciones, compare el radio de la nueva trayectoria cir- cular de la primera partícula con el radio de su trayectoria inicial. Ejemplo 29.2 Protón con movimiento perpendicular a un campo magnético uniforme AM Un protón se mueve en una órbita circular de 14 cm de radio en un campo magnético uniforme de 0.35 T, perpendicular a la velocidad del protón. Encuentre la rapidez del protón. SOLUCIÓN Conceptualizar A partir de la discusión en esta sección, se sabe que el protón sigue una trayectoria circular cuando se mueve perpendicular a un campo magnético uniforme. En el capítulo 39 aprendió que la rapidez más alta posible para una partícula es la de la luz, 3.00 3 108 m/s, por lo que la rapidez de la partícula en este problema debe ser menor que este valor. Categorizar El protón es descrito tanto por el modelo de partícula en un campo, como por el modelo de partícula en movimiento circular uniforme. Estos modelos llevaron a la ecuación 29.3. Analizar qBr Resuelva la ecuación 29.3 para la rapidez de la partícula: v5 mp 1 1.60 3 10219 C 2 1 0.35 T 2 1 0.14 m 2 Sustituya valores numéricos: v5 1.67 3 10227 kg 5 4.7 3 106 m/s Finalizar La rapidez es de hecho menor que la de la luz, como se requería. ¿Q U É PA S A R Í A S I ? ¿Y si un electrón, en lugar de un protón, se mueve en una dirección perpendicular al mismo campo magnético con esta misma rapidez, el radio de su órbita será diferente? Respuesta Un electrón tiene una masa mucho menor que la del protón, así que la fuerza magnética debe ser capaz de cam- biar su velocidad mucho más fácilmente que la del protón. Por lo tanto, se espera que el radio sea más pequeño. La ecuación 29.3 muestra que r es proporcional a m con q, B y v iguales para el electrón y para el protón. En consecuencia, el radio será más pequeño por el mismo factor que la razón de masas me/mp. Ejemplo 29.3 Flexión de un haz de electrones AM En un experimento diseñado para medir la magnitud de un campo magnético uniforme, los electrones se aceleran desde el reposo a causa de una diferencia de potencial de 350 V, y después entran a un campo magnético uniforme que es perpendicular al vector velocidad Henry Leap and Jim Lehman de los electrones. Los electrones viajan a lo largo de una trayectoria curva debido a la fuerza magnética que se ejerce sobre ellos, y se observa que el radio de la trayectoria es de 7.5 cm. (En la figura 29.10 se muestra el haz de electrones curvo.) (A) ¿Cuál es la magnitud del campo magnético? Figura 29.10 (Ejemplo 29.3) Flexión de un haz de electrones continúa en un campo magnético. 878 Capítulo 29 Campos magnéticos ▸ 29.3 c o n t i n u a c i ó n SOLUCIÓN Conceptualizar Este ejemplo involucra electrones que se aceleran desde el reposo debido a una fuerza eléctrica y después se mueven en una trayectoria circular debido a una fuerza magnética. Con la ayuda de las figuras 29.8 y 29.10, visualice el movi- miento circular de los electrones. Categorizar La ecuación 29.3 muestra que se necesita la rapidez v del electrón para encontrar la magnitud del campo mag- nético y no se conoce v. En consecuencia, se debe encontrar la rapidez del electrón según la diferencia de potencial a través de la que se acelera. Para hacerlo, la primera parte del problema se clasifica al modelar un electrón y el campo eléctrico como un sistema aislado en términos de energía. Una vez que el electrón entra al campo magnético, la segunda parte del problema se clasi- fica como uno que involucra una partícula en un campo y una partícula en movimiento circular uniforme, estudiadas en esta sección. Analizar Escriba la reducción adecuada de la ecuación de DK 1 DU 5 0 conservación de energía (ecuación 8.2) para el sistema elec- trón-campo eléctrico: Sustituya las energías inicial y final adecuadas: 1 12m e v 2 2 0 2 1 1 q DV 2 5 0 22q DV Resuelva para la rapidez del electrón: v5 Å me 22 1 21.60 3 10219 C 2 1 350 V 2 Sustituya valores numéricos: v5 5 1.11 3 107 m/s Å 9.11 3 10231 kg Ahora imagine que el electrón entra al campo magnético m ev B5 con esta rapidez. Resuelva la ecuación 29.3 para la magni- er tud del campo magnético: 1 9.11 3 10 231 kg 2 1 1.11 3 107 m/s 2 Sustituya valores numéricos: B5 5 8.4 3 1024 T 1 1.60 3 10 219 C 2 1 0.075 m 2 (B) ¿Cuál es la rapidez angular de los electrones? SOLUCIÓN v 1.11 3 107 m/s Use la ecuación 10.10: v5 5 5 1.5 3 108 rad/s r 0.075 m Finalizar La rapidez angular se puede representar como v 5 (1.5 3 108 rad/s)(1 rev/2p rad) 5 2.4 3 107 rev/s. ¡Los electrones viajan alrededor del círculo 24 millones de veces por segundo! Esta respuesta es consistente con la muy alta rapidez que se encontró en el inciso (a). ¿Q U É PA S A R Í A S I ?¿Y si un súbito exceso de voltaje ori- igual. La ecuación 29.4 es una expresión para la frecuencia gina que el voltaje acelerador aumente a 400 V? ¿Cómo afecta de ciclotrón, que es la misma que la rapidez angular de los a la rapidez angular de los electrones, si supone que el campo electrones. La frecuencia de ciclotrón depende sólo de la magnético permanece constante? carga q, el campo magnético B y la masa me , ninguna de las cuales cambió. Por lo tanto, el exceso de corriente no tiene Respuesta El aumento en el voltaje acelerador DV origina efecto sobre la rapidez angular. (Sin embargo, en realidad el que los electrones entren al campo magnético con una mayor sobrevoltaje también puede aumentar el campo magnético si rapidez v. Esta mayor rapidez los hace viajar en un círculo el campo magnético es activado por la misma fuente que el con un radio más grande r. La rapidez angular es la razón de voltaje acelerador. En este caso, la rapidez angular aumenta v a r. Tanto v como r aumentan en el mismo factor, de modo de acuerdo con la ecuación 29.4.) que los efectos se cancelan y la rapidez angular permanece Cuando las partículas cargadas se mueven en un campo magnético no uniforme, su movimiento es complejo. Por ejemplo, en un campo magnético intenso en sus extremos y débil en su parte media, como el que se muestra en la figura 29.11, las partículas pueden oscilar entre dos posiciones. Una partícula cargada sale de un extremo de la espiral a lo largo de las líneas de campo hasta llegar al otro extremo, donde invierte su trayectoria de regreso en la espiral. Este esquema se conoce como botella magnética, ya que las partículas cargadas pueden quedar atrapadas en su interior. Se ha utilizado esta botella magnética  29.3 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 879 La fuerza magnética ejercida sobre la partícula cerca de cualquiera de los dos extremos tiene una componente que la hace girar en espiral de regreso hacia el centro. Trayectoria de la partícula  Figura 29.12 Los cinturones de Van Allen están constituidos por partículas cargadas atrapadas por el campo magnético no uniforme de la Tierra. Las líneas de campo Figura 29.11 Una partícula car- magnético están representadas en gada que se mueve en un campo color verde y las trayectorias de las magnético no uniforme (una partículas en color negro. botella magnética) se mueve en espiral respecto del campo osci- lando entre los extremos. para confinar plasma, un gas formado por iones y electrones. Este esquema de confina- miento de plasma podría jugar un papel crucial en el control de la fusión nuclear, proceso que podría suministrar en el futuro una fuente de energía casi infinita. Por desgracia, la botella magnética tiene sus problemas. Si un gran número de partículas está atrapado, las colisiones que se presentan entre ellas hacen que finalmente se fuguen del sistema. Los cinturones de radiación de Van Allen están formados de partículas cargadas (en su mayor parte electrones y protones) que rodean la Tierra en regiones toroida- les (figura 29.12). Las partículas atrapadas por el campo magnético no uniforme de la Tierra giran en espiral alrededor de las líneas de campo de un polo al otro, cubriendo la distancia en apenas unos cuantos segundos. Estas partículas se originan principal- mente en el Sol, aunque algunas provienen de las estrellas y otros objetos celestes. Por esta razón las par tículas se conocen como rayos cósmicos. La mayor parte de los rayos cósmicos son desviados por el campo magnético de la Tierra y nunca llegan a la atmós- fera. Sin embargo, algunas de las partículas quedan atrapadas; son estas partículas las que forman los cinturones de Van Allen. Cuando las partículas se encuentran sobre los polos, a veces colisionan con los átomos de la atmósfera, haciendo que éstos emitan una luz visible. Estas colisiones son el origen de la bella aurora boreal; es decir, las luces del norte, cuando se trata del hemisferio norte, y las auroras australes si se trata del hemisferio sur. Las auroras normalmente se presentan sólo en las regiones polares, ya que los cinturones de Van Allen en estas regiones están a menor distancia de la Tierra. Sin embargo, en ocasiones la actividad solar hace que más partículas cargadas entren en los cinturones y distorsionen de manera significativa las líneas de campo magnético normal asociadas con la Tierra. En esta situación, es posible observar a veces auroras en latitudes más bajas. 29.3 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético S Una carga móvil con una velocidad S v , en presencia tanto de un campo eléctrico E como S de un campo magnético B es descrito por dos modelos de partícula en un campo. Expe- S S rimenta a la vez una fuerza eléctrica q E y una fuerza magnética qS v 3 B. La fuerza total (conocida como fuerza de Lorentz) que actúa sobre la carga es S S S F 5 q E 1 qS v 3 B (29.6) 880 Capítulo 29 Campos magnéticos S B0, adentro S E     r S v  S S  S FB  Fe  Badentro   P         Arreglo detector     S S v Badentro Rendija   q Fuente Selector de   velocidad S E Figura 29.13 Un selector de velocidad. Cuando una partícula Figura 29.14 Espectrómetro cargada positiva se mueve con de masas. Las partículas cargadas velocidad S v ante la presencia de un positivas se lanzan primero a tra- campo magnético dirigido hacia la vés de un selector de velocidad y página y un campo eléctrico diri- después en una región donde el S gido hacia la derecha, experimenta campo magnético B 0 hace que S una fuerza eléctrica q E hacia la recorran una trayectoria semicir- derecha y una fuerza magnética cular y se impacten en la película S qS v 3 B hacia la izquierda. fotográfica en P. Selector de velocidad En muchos experimentos que incluyen partículas cargadas en movimiento, es impor- tante que todas las partículas se muevan a la misma velocidad, esto se puede lograr apli- cando la combinación de un campo eléctrico con uno magnético orientados como se ilustra en la figura 29.13. Un campo eléctrico uniforme se dirige a la derecha (en el plano de la página en la figura 29.13) y se aplica un campo magnético uniforme en dirección perpendicular al campo eléctrico (hacia adentro de la página en la figura 29.13). Si q es S positiva y la velocidad Sv está dirigida hacia arriba, la fuerza magnética qS v 3 B se dirige S hacia la izquierda y la fuerza eléctrica q E hacia la derecha. Cuando se escogen las mag- nitudes de los dos campos, de forma que qE 5 qvB, la partícula cargada se modela como una partícula en equilibrio y se mueve en línea recta vertical a través de la región de los campos. Por la expresión qE 5 qvB, se encuentra que E v5 (29.7) B Sólo aquellas partículas que tengan esta rapidez pasarán sin desviarse a través de los campos eléctrico y magnético mutuamente perpendiculares. La fuerza magnética que se ejerce sobre partículas que se mueven con magnitudes de velocidad más elevadas es mayor a la fuerza eléctrica, lo que desvía las partículas hacia la izquierda. Las que se muevan con magnitudes de velocidad menores se desviarán hacia la derecha. Espectrómetro de masas Un espectrómetro de masas separa iones según su razón masa a carga. En una versión de este dispositivo, conocido como espectrómetro de masas Bainbridge, el haz de iones pasa primero a través de un selector de velocidad y después entra a un segundo campo mag- S nético uniforme B 0 que tiene la misma dirección que el campo magnético en el selector (figura 29.14). Al entrar en el segundo campo magnético, los iones se mueven en un semicírculo de radio r antes de que se impacten en la película fotográfica en P. Si los iones tienen carga positiva, el haz se desviará hacia la izquierda, como se observa en la figura 29.14. Si los iones tienen carga negativa, el haz se desviará hacia la derecha. Por la ecuación 29.3, la razón m/q se expresa de la forma m rB 0 5 q v  29.3 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético 881 Desde el cátodo se aceleran los electrones, que pasan a través de dos ranuras y son desviados tanto por un campo eléctrico (formado por placas desviadoras cargadas) como por un campo magnético (dirigido perpendicularmente al campo eléctrico). El haz de electrones golpea después una pantalla fluorescente.   Lucent Technologies Bell Laboratory, cortesía de AIP  Bobina del campo magnético Haz de electrones Cátodo Ranura desviado Emilio Segre Visual Archives  Haz de electrones  sin desviación Placas desviadoras Recubrimiento fluorescente a b Figura 29.15 a) Aparato de Thomson para la medición de e/me. (b) J. J. Thomson (izquierda) en el Cavendish Laboratory, University of Cam- bridge. La persona a la derecha, Frank Baldwin Jewett, es un pariente lejano de John W. Jewett, Jr., coautor de este libro. La ecuación 29.7 da m rB 0 B 5 (29.8) q E Debido a esto, es posible determinar m/q midiendo el radio de curvatura y conociendo cuáles son los valores del campo B, B 0 y E. En la práctica, por lo general se miden las masas de diferentes isótopos de un ion conocido, con todos los iones de la misma carga q. De esta manera se pueden determinar las razones de masa, incluso si q es desconocido. Una variante de esta técnica fue utilizada en 1897 por J. J. Thomson (1856-1940) para medir la razón e/me para los electrones. La figura 29.15a muestra el aparato básico que utilizó. Los electrones se aceleran desde el cátodo y pasan a través de dos ranuras. A con- tinuación pasan a una región de campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí. Las magnitudes de los dos campos se ajustan inicialmente a fin de producir un haz sin desviación. Cuando se desactiva el campo magnético, el campo eléctrico produce una desviación medible en el haz que queda registrada sobre la pantalla fluorescente. A partir de la magnitud de la desviación y de los valores medidos para E y B, es posible determinar la razón carga a masa. El resultado de este experimento crucial representa el descubrimiento del electrón como una partícula fundamental de la naturaleza. El ciclotrón Un ciclotrón es un dispositivo que puede acelerar partículas cargadas a considerables Prevención de riesgos magnitudes de velocidad. Las partículas energéticas producidas son utilizadas para bom- ocultos 29.1 bardear los núcleos atómicos, produciendo así reacciones nucleares de interés para los El ciclotrón no es tecnología de investigadores. Varios hospitales utilizan este dispositivo para la producción de sustan- punta El ciclotrón es importante cias radiactivas para diagnóstico y tratamiento. históricamente, ya que fue el pri- mer acelerador de partículas que Tanto las fuerzas eléctricas como magnéticas desempeñan un papel fundamental en alcanzó magnitudes de velocidad la operación de un ciclotrón; en la figura 29.16a (página 882) se muestra el dibujo esque- elevadas. Los ciclotrones siguen mático. Las cargas se mueven en el interior de dos recipientes semicirculares, D1 y D2, siendo utilizados en aplicaciones que se conocen como des debido a que su forma es parecida a la letra D. A las “des” se médicas, y la mayor parte de los les aplica una diferencia de potencial alternante de alta frecuencia y se dirige un campo aceleradores actualmente en uso magnético uniforme en dirección perpendicular. Un ion positivo liberado en P, cerca en la investigación no son ciclotro- nes. Los aceleradores para la inves- del centro del imán en una “de”, sigue una trayectoria semicircular (lo cual se indica con tigación funcionan con base en un la línea discontinua de color negro del dibujo) y vuelve al espacio entre las “des” en un principio diferente, y en general se intervalo de tiempo T/2, donde T es el intervalo de tiempo necesario para hacer un reco- conocen como sincrotrones. rrido completo alrededor de dos “des”, y que se da en la ecuación 29.5. La frecuencia de 882 Capítulo 29 Campos magnéticos Las líneas curvas S negras representan B la trayectoria de las V alternante partículas. P D1 D2 Después de ser aceleradas, las Lawrence Berkeley National Lab partículas salen por aquí. Polo norte del imán a b Figura 29.16 (a) Un ciclotrón está constituido por una fuente de iones en P, dos “des” (D1 y D2), a las cuales se les aplica una diferencia de potencial alternante, y un campo magnético uniforme. (El polo sur del imán no se muestra.) (b) El primer ciclo- trón, inventado por E. O. Lawrence y M. S. Livingston en 1934. la diferencia de potencial aplicada se ajusta de manera que la polaridad de las “des” se invierta en el mismo intervalo de tiempo que utiliza el ion para recorrer una “de”. Si la diferencia de potencial aplicada se ajusta de manera que D1 esté a un potencial eléctrico inferior que D2 en una magnitud DV, el ion se acelerará a través del espacio hasta D1 y su energía cinética se incrementará en la cantidad q DV. Pasa después alrededor de D1 en una trayectoria semicircular de un radio más grande (porque su rapidez se ha incremen- tado). Después de un intervalo de tiempo T/2, otra vez llega al espacio entre las “des”. En este instante, la polaridad entre las “des” se ha invertido y se le da al ion otro “impulso” a través del espacio. El movimiento continúa, así que para cada mitad de recorrido de una “de”, el ion adquiere energía cinética adicional igual a q DV. Cuando el radio de su trayectoria es prácticamente el de las “des”, el ion sale del sistema a través de la ranura de salida. Observe que la operación del ciclotrón se basa en que T es independiente de la rapidez del ion y del radio de la trayectoria circular (ecuación 29.5). Se puede obtener una expresión para la energía cinética del ion cuando sale del ciclo- trón en función del radio R de las “des”. Por la ecuación 29.3 se sabe que v 5 qBR/m. Por tanto, la energía cinética es q 2B 2R 2 K 5 12 mv 2 5 (29.9) 2m Cuando la energía de los iones en un ciclotrón excede aproximadamente 20 MeV, entran en juego efectos relativistas. (Estos efectos se explican en el capítulo 39.) Estudios muestran que T aumenta y que los iones en movimiento no se quedan en fase con la dife- rencia de potencial aplicada. Algunos aceleradores superan este problema modificando el periodo de la diferencia de potencial aplicada, de manera que se conserve en fase con los iones en movimiento. 29.4 Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta corriente Si se ejerce una fuerza magnética sobre una partícula cargada cuando ésta se mueve a través de un campo magnético, no debería sorprendernos que un alambre que trans- porta una corriente también experimente una fuerza cuando se le coloca en un campo magnético. La corriente es un conjunto de muchas partículas cargadas en movimiento; de ahí que la fuerza resultante ejercida por el campo sobre el alambre sea la suma vecto- rial de las fuerzas individuales ejercidas sobre todas las partículas cargadas que confor- man la corriente. La fuerza ejercida sobre las partículas se transmite al alambre cuando colisionan con los átomos que constituyen el alambre.  29.4 Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta corriente 883 Cuando la co- Cuando la co- Figura 29.17 (a) Alambre sus- Cuando no pendido verticalmente entre los rriente se diri- rriente se dirige existe corriente polos de un imán. (b)–(d) El arre- ge hacia arriba, hacia abajo, el en el alambre, glo que se muestra en el inciso (a) el alambre se alambre se éste permanece mira hacia el polo sur del imán, de flexiona hacia flexiona hacia vertical. la izquierda. la derecha. manera que el campo magnético (cruces verdes) se dirige hacia den- tro de la página. S N S S S Badentro Badentro Badentro I 0 I I La fuerza magnética promedio ejercida sobre una carga que se mueve S en S a b c d el alambre es q vd ⴛ B. S FB Es posible demostrar la acción de una fuerza magnética sobre un conductor de S A corriente colgando un alambre entre los polos de un imán, como se observa en la figura Badentro 29.17a. Para facilitar la visualización, en el inciso (a) se ha eliminado una parte del imán S en forma de herradura, a fin de mostrar el polo sur en los incisos (b), (c) y (d) de la vd q  figura 29.17. El campo magnético está dirigido hacia la página y abarca la región entre las líneas sombreadas. Cuando la corriente en el alambre es igual a cero, el alambre se I mantiene vertical, como se puede ver en la figura 29.17b. Sin embargo, cuando el alam- bre conduce una corriente hacia arriba, como se ve en la figura 29.17c, el alambre se L flexiona hacia la izquierda. Si se invierte la dirección de la corriente, como muestra la figura 29.17d, el alambre se flexiona hacia la derecha. La fuerza magnética sobre el seg- S S Conviene cuantificar esta explicación considerando un segmento recto de alambre mento de longitud L es I L ⴛ B. de longitud L y de área de sección transversal A, que conduce una corriente I en un S campo magnético uniforme B , según se ve en la figura 29.18. De acuerdo con la versión Figura 29.18 Un segmento de un magnética de una partícula en un modelo de campo, la fuerza magnética que se ejerce alambre conduciendo corriente en S S S sobre una carga q en movimiento, con una velocidad de arrastre vd , es igual a q S vd 3 B. un campo magnético B. S S Para encontrar la fuerza total que actúa sobre el alambre, multiplique la fuerza q vd 3 B ejercida sobre una carga por el número de cargas en el segmento. Ya que el volumen del segmento es AL, el número de cargas en el segmento es igual a nAL, siendo n el número de cargas móviles por unidad de volumen. Por esto, la fuerza magnética total sobre el alambre de longitud L es S S FB 5 1 qS vd 3 B 2 nAL Es posible escribir esta expresión de una forma más conveniente al observar que, de la ecuación 27.4, la corriente en el alambre es igual a I 5 nqvdA. Por lo tanto, S S S Fuerza ejercida sobre un seg- FB 5 I L 3 B (29.10) W mento de alambre conductor S donde L es un vector que apunta en la dirección de la corriente I y tiene una magnitud que transporta corriente en un igual a la longitud L del segmento. Observe que esta expresión se aplica sólo a un seg- campo magnético uniforme mento de alambre recto en un campo magnético uniforme. Ahora considere un segmento de alambre de forma arbitraria de sección transversal uniforme en un campo magnético, según se observa en la figura 29.19 (página 884). De la ecuación 29.10 se concluye que la fuerza magnética que se ejerce sobre una longitud S dSs de un pequeño segmento de vector en presencia de un campo B es igual a S S d FB 5 I d S s 3 B (29.11) 884 Capítulo 29 Campos magnéticos Figura 29.19 Un segmento La fuerza magnética sobre de alambre de forma arbitraria cualquier segmento d S s es S que lleva una corriente I en un S igual a I d S s ⴛ B y se dirige campo magnético B experi- hacia fuera de la página. menta una fuerza magnética. S I B S ds S S donde d FB está dirigido hacia fuera de la página debido a las direcciones de B y de d S s en la figura 29.19. Es posible considerar la ecuación 29.11 como una definición alterna S S de B. Es decir, el campo magnético B se define en función de una fuerza medible ejer- S cida sobre un elemento de corriente, donde la fuerza es máxima cuando B es perpen- S dicular al elemento, y cero cuando S B es paralelo al elemento. Para calcular la fuerza total FB que actúa sobre el alambre que se muestra en la figura 29.19, se integra la ecuación 29.11 por toda la longitud del alambre: b S S FB 5 I 3 d S s 3 B (29.12) a donde a y b representan los puntos extremos del alambre. Cuando se efectúa esta inte- gración, la magnitud del campo magnético y la dirección que tiene el campo en relación con el vector d S s puede variar en diferentes puntos. E xamen rápido 29.3 Un alambre transporta corriente en el plano del papel en direc- ción a la parte superior de la página. El alambre experimenta una fuerza magnética hacia el borde derecho de la página. ¿La dirección del campo magnético que crea esta fuerza se localiza (a) en el plano de la página y con dirección hacia el borde izquierdo, (b) en el plano de la página y con dirección hacia el borde inferior, (c) hacia arriba y alejándose de la página, (d) hacia abajo y adentro de la página? Ejemplo 29.4 Fuerza sobre un conductor semicircular y S B Un alambre doblado en un semicírculo de radio R forma un circuito cerrado y trans- porta una corriente I. El alambre yace en el plano xy y un campo magnético uniforme I u se dirige a lo largo del eje y positivo, como en la figura 29.20. Encuentre la magnitud y S R ds dirección de la fuerza magnética que actúa sobre la porción recta del alambre y sobre la porción curva. du SOLUCIÓN u x Conceptualizar S Con la regla de la mano derecha para producto cruz, se ve que Sla I fuerza F 1 sobre la porción recta del alambre es alejándose de la página y la fuerza F 2 S S sobre la porción curva es hacia adentro de la página. ¿ F 2 es mayor en magnitud que F 1, Figura 29.20 (Ejemplo 29.4) La porque la longitud de la porción curva es mayor que la de la porción recta? fuerza magnética sobre la porción recta de la espira se dirige alejándose Categorizar Ya que se trata de un alambre portador de corriente en un campo magné- de la página, y la fuerza magnética tico en lugar de una sola partícula cargada, debe usar la ecuación 29.12 para encontrar sobre la porción curva se dirige hacia la fuerza total sobre cada porción del alambre. la página. b R S S S Analizar Note que d Ss es perpendicular a B en todas partes en la F1 5 I 3 d S s 3 B 5 I 3 B dx k^ 5 2IRB k^ a 2R porción recta del alambre. Use la ecuación 29.12 para encontrar la fuerza sobre esta porción:  29.5 Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme 885 ▸ 29.4 c o n t i n u a c i ó n S S Para hallar la fuerza magnética sobre la parte curva, pri- S (1) d F 2 5 Id S s 3 B 5 2IB sen u ds k^ mero escriba una expresión para la fuerza magnética d F 2 S sobre el elemento d s en la figura 29.20: A partir de la geometría en la figura 29.20, escriba una (2) ds 5 R d u expresión para ds: p p S p Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1) e integre res- F 2 5 23 IRB sen u d u k^ 5 2IRB 3 sen u d u k^ 5 2IRB 3 2cos u 4 0 k^ pecto al ángulo u, desde 0 a π: 0 0 5 IRB 1 cos p 2 cos 0 2 k^ 5 IRB 1 21 2 1 2 k^ 5 22IRB k^ Finalizar A partir de este ejemplo surgen dos enunciados generales muy importantes. Primero, la fuerza sobre la porción de curva es la misma en magnitud que la fuerza sobre un alambre recto entre los mismos dos puntos. En general, la fuerza mag- nética sobre un alambre curvo portador de corriente en un campo S magnético S uniforme es igual a la de un alambre recto que conecta los puntos finales y porta la misma corriente. Además, F 1 1 F 2 5 0 también es un resultado general: la fuerza magné- tica neta que actúa sobre cualquier espira cerrada de corriente en un campo magnétic