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Ejercicios 3.8 Función de gasto Mientras que el problema de maximización de utilidad nos ayuda a encontrar el nivel de felicidad que nos dan ciertos precios e ingreso, el problema de minimización de gasto nos da el gasto mínimo necesario para alcanzar un nivel de felicidad/utilidad deseada a ciert...

Ejercicios 3.8 Función de gasto Mientras que el problema de maximización de utilidad nos ayuda a encontrar el nivel de felicidad que nos dan ciertos precios e ingreso, el problema de minimización de gasto nos da el gasto mínimo necesario para alcanzar un nivel de felicidad/utilidad deseada a ciertos precios o en otras palabras, alcanzar un nivel de utilidad de la manera más barata posible a unos precios dados. Problema de maximización de U Problema de minimización de m 𝑚𝑖𝑛 𝑚 = 𝑃1𝑋1 +𝑃2𝑋2 𝑠. 𝑎. 𝑈(𝑋1, 𝑋2) max 𝑈 𝑋1, 𝑋2 𝑠. 𝑎. 𝑚 = 𝑃1𝑋1 + 𝑃2𝑋2 X2 X2 Lo que varía es el 𝑚∗ Lo que varía es el nivel de utilidad (m 𝑃2 ingreso (el nivel de es fija) utilidad es fijo) X2* X2* U* U* U’ U° X1 X1 𝑚∗ X1* X1* 𝑃1  Principales diferencias entre cada una Problema de maximización de U Problema de minimización de m - Obtenemos demandas - Obtenemos demandas ordinarias/marshalianas que dependen compensadas/hicksianas que dependen de precios e ingreso. de precios y utilidad. 𝑋1∗ = 𝑋1(𝑚, 𝑃1, 𝑃2) 𝑋1ℎ = 𝑋1(𝑈, 𝑃1, 𝑃2) 𝑋2∗ = 𝑋2(𝑚, 𝑃1, 𝑃2) 𝑋2ℎ = 𝑋2(𝑈, 𝑃1, 𝑃2) - 𝜆 es la utilidad que me genera el - 𝜆 es el gasto mínimo necesario para último peso gastado (en obtener un útil extra (sin importar a cualquiera de los dos bienes). cuál de los dos bienes se desee incrementar la utilidad). 𝑈𝑖 𝑃𝑖 𝜆= 𝜆= 𝑃𝑖 𝑈𝑖 ¿Cómo obtenemos la función de gasto? Sustituimos las funciones de demanda compensadas/hicksianas en la función de gasto, para al final obtener una función de precios y utilidad en lugar de canastas de consumo y precios. 𝑋1ℎ = 𝑋1(𝑈, 𝑃1, 𝑃2) 𝑋2ℎ = 𝑋2(𝑈, 𝑃1, 𝑃2) 𝑚 𝑃, 𝑋 = 𝑃1𝑋1ℎ + 𝑃2𝑋2ℎ 𝑚 = 𝐸(𝑃, 𝑈) *Importante* La función de gasto y la función de utilidad indirecta son inversas, si despejamos m de la FUI, obtenemos la función de gasto; y si despejamos U de la función de gasto obtenemos la FUI. despejamos m 𝑉 = 𝑈(𝑚, 𝑃) 𝑚 = 𝐸(𝑃, 𝑈) despejamos U Ejercicios 4.1 Efecto ingreso y efecto sustitución de Slutsky  Ley de la demanda: cuando el precio de un bien sube, disminuye su cantidad demandada SI se mantiene constante el poder de compra. Para mantener el poder de compra fijo cuando aumentan los precios, se necesita hacer un ejercicio de abstracción conocido como la identidad de Slutsky. 1. Le damos una compensación tal que, ante el cambio en el X2 precio, siga siendo capaz de 𝐶 = 𝑋1(𝑃1′ − 𝑃1°) comprar su canasta óptima 𝑚+𝑐 𝑃2 original (compensación de 𝑚 Slutsky). 𝑃2 U>U>U 2. Calculamos la variación de la X2s cantidad demandada del bien con la compensación y los ES: 𝑋1𝑠 − 𝑋1° X2° nuevos precios (efecto sustitución). 3. Calculamos la variación de la cantidad demandada del bien cuando le quitamos la X1’X1sX1° 𝑚 𝑚 + 𝑐 𝑚 X1 compensación y dejamos los EI: X1′ − 𝑋1𝑠 𝑃1′ 𝑃1′ 𝑃1° nuevos precios (efecto ingreso).  El efecto sustitución nunca es positivo Explicación para X2: - Cuando el precio del bien 2 aumenta, la relación de X2 𝑃1 precios 𝑃2 disminuye, por lo que para (para problemas 𝑃1 con solución de tangencia) seguir estando en el óptimo 𝑃2° 𝑈1 𝑃1 tenemos que adecuar nuestra RMS tal que 𝑈2 = 𝑃2. Como La relación de precios disminuyó, la RMS X2° X2’ también tiene que disminuir, por lo que disminuimos U1 U’’ U° (aumentando X1) y/o aumentamos U2 (disminuyendo U’ 𝑃1 X2). 𝑃2′ X1 𝑚 𝑚+𝑐 𝑃1 𝑃1′ Prácticamente querremos consumir más del bien más barato cuando se mantiene constante el poder de compra. El efecto ingreso depende de qué tipo de bien sea Cuando el bien es normal Cuando el bien es inferior 𝜕𝑋1 ( 𝜕𝑚 ≥ 0) al aumentar el precio 𝜕𝑋1 ( < 0), al aumentar el precio 𝜕𝑚 de un bien nos sentimos más de un bien nos sentimos más pobres, llevándonos a comprar pobres lo que nos lleva a menos cantidad de ese bien, consumir mayor cantidad de tal por lo que el efecto ingreso va a bien, por lo que el efecto ser negativo. ingreso es positivo. 𝑋1′ − 𝑋1𝑠 ≤ 0 𝑋1′ − 𝑋1𝑠 > 0 𝜕𝑋1 𝜕𝑋1 (la cantidad ≥0 (la cantidad