Mathematiques II Analyse 2 Notes PDF

10/05/2021 MATHEMATIQUES II Troisième partie: ANALYSE 2 Cours de M. Jean-Paul CHAZE et de Dr emarta # ETTAHANNO . Concavité – convexité Définitions: Une fonction f : C est concave sur un n ensemble convexe C si, x, y C , t 0,1 , on a: f tx 1 t y Une fonction f : C ensemble convexe C a: f tx 2...

10/05/2021 MATHEMATIQUES II Troisième partie: ANALYSE 2 Cours de M. Jean-Paul CHAZE et de Dr emarta # ETTAHANNO . Concavité – convexité Définitions: Une fonction f : C est concave sur un n ensemble convexe C si, x, y C , t 0,1 , on a: f tx 1 t y Une fonction f : C ensemble convexe C a: f tx 2 tf x 1 t f y est strictement concave sur un n si, x, y C , x y, t 0,1 , on 1 t y tf x 1 t f y Math II c •D. Royer 0-60 f [!x + (1-!)y] f(y) f(x) !f(x) + (1-!)f(x) y x !x + (1-!)y Figure 4 – Graphe d’une fonction concave Concavité – convexité Définitions: Une fonction f : C est convexe sur un n ensemble convexe C si, x, y C , t 0,1 , on a: f tx 1 t y Une fonction f : C ensemble convexe C a: f tx f- 3 1 t f y est strictement convexe sur un n si, x, y C , x y, t 0,1 , on 1 t y convexe tf x HS tf x - f 1 t f y concave Concavité – convexité Propriété: Soit f1 , f 2 , , f m des fonctions concaves (respectivement convexes), définies sur un même ensemble n convexe C . Si a1 , a2 , , am sont des nombres réels positifs, alors la fonction a1 f1 a2 f 2 am f m est également concave (respectivement convexe). Ha scolaire pour multiplicationconcavité un conserve la positif . ftp.aixouplussgener.alement Remarque ff4 car 4 = : aise + le les fonctions linéaires les functions affines couver# et b sont à la fois concaves se de droite reliant 2 points segmentla confond avec fonction . Concavité – convexité Théorème: Soit f : C ensemble convexe C une fonction définie sur un n . } Ensemble Si f est concave, alors pour tout x C, l'ensemble deniveau Uf x x C f x f x est convexe. supérieur à ff¥ŒQ * Si f est convexe, alors pour tout x C, l'ensemble Ensemble de niveau Uf x x C f x f x est convexe. . 3.anfêroeurâ flxtq . EILaf.fm#tionfpzpgf--xs-xEesteoneave ff90) DENI EKO assaini (parabole) - 5 Définit - .am : eaubedéniveauc A ÷:÷üËËÏÆïµ | : :* G. - .ly?-o-11- ençeomexe :* Ex : - fzpgf , Æ-§zq .ae#---oEsDMfgyzfzmod-efinil.-unens NUE EI La fonction fonction convexe ffzpgf f134 courbe de d' utilité - aérage est 1ers niveau y - 1 concave xérès feerdef ï¥ËËËË¥#Ë*÷ "" :* courbe d' indifference . : connexe ÏÆ xK Concavité – convexité Théorème: Soit f : C ensemble convexe C une fonction de classe C1 sur un n . Alors: f est concave si et seulement si, pour tout x, y C , on a: f y f x Df x y x f est convexe si et seulement si, pour tout x, y C , on a: f y f x Df x y x Condition du 2e ordre pour la e.mx#iiak-E$ ŒwæüÆÉ Très important (voir condition . pour extremum global du 2e ordre xD 6 libre entière mais condition à verifier plus simple EI : ffxqagf = age + of convexe M ftp.ftef-D.ffafly-xf-lyi-iyf-tz-zy-f.zzzxg µ f102 - - :*+ à - ai - â¥E¥Ë!÷:¥Ë yé-yé Zagaje 2xzyz-iag-ZZ-lys-xsf-lyz-xdfs.co = xp - - f convexe - SEJ Concavité – convexité Théorème: Soit f : C une fonction de classe C2 sur un n ensemble ouvert convexe C . Alors: f est concave si et seulement si, pour tout x C, la matrice hessienne D 2 f x est semi-définie négative. f est convexe si et seulement si, pour tout x C, la matrice hessienne D 2 f x est semi-définie positive. Si, pour tout x C, la matrice hessienne D 2 f x est définie négative, alors f est strictement concave. Si, pour tout x C, la matrice hessienne D 2 f x est définie positive, alors f est strictement convexe. 7 EI : fpqzf-xz.AE Effy D' - ffxf EI : - _ f1 | ] -2m ! % ] EDF : semi-définie négative concave ffzpgjz-3ett-5-E-lnxzsurlRF.at Dffaf :[ 3ème 20*-23 Égo ] _ :/ § 3eme Daffy 00 0 60¥ 0 0 Êç | définie positive f strictement / Eigil sa convexe fsemo de-fpos.at convexe f) : - EI : ( Rttautrendstoonqeeekp.IQ f Ritter : ffzpgt-kzkzkk.pgpzparanetxs.jo .DE#ssf2f[acteurs)tDfffgpgff-----} fonction 'ŒbŒ _ Bougé kppgfbzkkqagpzg.BE Ï-Üf kpdpz.sfxfbzk-1-ddetBffgzf.KZ papiste .EE?-Zflpz.sflpz..Y-pypif--K2pzfzsz2lB [k[ psfpa-sfzk-kkkpzpzzk-1.gr flagadas gym - . - YxjŒY[ 11 - Ps Pa] - detkffxgqfs.cl#D1-Be-pzd0O--DBs-Pze-1 Bat Pz ? 1 ED Êtes - Donc - tapsf KO Pat Pz 2- 1 Et pz-q.BZ > 1, f. Si Par Pa 1ff00 ex. , et et Pz 120 - Effets zfeo fe-onc-avepstnde-mentsipst.PK 1$ n' est ni ffzpgf-szkag.MG est cancaner ni concave . g.IR#-gIRde-foniepargfyf=y4 geftzpsf-fzkixfaf-ag.az est pas Soit n' est pas préservée : g est moissanite . concave n' La concavité convexe par monotone croissante: c'est une une transformation propriété Cardinale.ms proprieté trop restrictive d' utilité pour les fonctionne En transformation effet, Et c'est une . une monotone croissante d'une fonction représente les mêmes propreté préférences 00mm veut d' utilité une . cardinale : quasi - concavité . Quasi-concavité – quasi-convexité Définition: Une fonction f : C est quasi-concave sur un n ensemble convexe C si, x, y C , t 0,1 , on a: f tx 1 t y min f x , f y f est strictement quasi-concave si, x, y C , x f tx 1 t y min f x , f y y, t 0,1 , Propriété: Les formulations suivantes sont équivalentes: est une fonction quasi-concave. f :C x, y C , t 0,1 , on a: f x f y f tx 1 t y c , Uc & 8 x C f x f y c est un ensemble convexe. Ensemble de mineur supérieur . • the quasi f g transformation - concave est croissante d'une quasi - concave - concave xD _ ED NÆhEŒ f : fftx-k.tfyfzmu.tn {ffdifly)} croissante xD go flltx + la tfyifzgfmonszfffflyB) {g. f14,88181} quasi = • fonction fonction concave go of qaso concave est - mon concave qaso . - concave : ftp.tx-i-H-tfy/Ztffy*ts--tfffyf7t{ff4 FIN} -111.4min{f14,814 } nos mon = ED min { ftdflyl} of quasi - come . Exd : On ( EI : a Cable - Douglas Pose Pas : 4 n' est avec K - _ pas concave pipe 1ers . Par contre concave EI fpzpgf que gfgpzf-JEE.org?ExE- dans est RÉ ffzpzf-hogfzpgfauechlyf-y.ae f- croissante xD f qasi - concave dans RÉ Math II c •D. Royer 0-66 z x ensembles Uc Figure 6 – Graphe d’une fonction quasiconcave Quasi-concavité – quasi-convexité Définition: Une fonction f : C est quasi-convexe sur un n ensemble convexe C si, x, y C , t 0,1 , on a: f tx 1 t y max f x , f y f est strictement quasi-convexe si, x, y C , x f tx 1 t y max f x , f y y, t 0,1 , Propriété: Les formulations suivantes sont équivalentes: est une fonction quasi-convexe. f :C x, y C , t 0,1 , on a: f x f y f tx 1 t y c 9 , Uc x C f x f y c est un ensemble convexe. f • • quasi Une transfo est quasi Une crois convexe fonction . - of quasi d'une cancane foret quasi - . convexe . convexe est quasi - convexe . ftagagf-fxa-3xds-h.glxgzf EI : avec g ¥D convexe gfgpzf lineaire ms =D la xD f = g g croissante : est à la 2oz +3oz est est à la quasi et fois hfyf ys = concave concave et et quasi - convexe convexe yqekygzr-EEYEPK.yz.ES fois quasi - concave et quasi - convexe f.LU f Par contre , Dlflxf D' ff4 [ - • pas -13¥? [ = Semi - concave ni convexe 9km321 " 36/2%-1-34 pogpzxf 541271-34 * _ ni 24µg -13kf - Sæmimâ n' est déf déf . . pas meg . . ;] } , si Zxz -130g > 0 si 2oz + 3oz €0 dans IR? Quasi-concavité – quasi-convexité Remarque: Une fonction concave est quasi-concave, et une fonction convexe est quasi-convexe. Théorème: Soit f : C une fonction de classe C1 sur un n ensemble convexe C . Alors: f est quasi-concave si et seulement si, f y f x , on a: Df x y x f est quasi-convexe si et seulement si, f y f x , on a: Df x y x 10 x, y C tels que 0 x, y C tels que 0 Quasi-concavité – quasi-convexité Propriétés: Soit f : C une fonction de classe C2 sur un n ensemble ouvert convexe C . Alors: Par eonséqent Si f est quasi-concave, alors pour tout x C, la forme , 2 laforest quadratique h D f x h est semi-définie négative sous la sous indéfinie contrainte Df x h 0. contr jalous Si f est quasi-convexe, alors pour tout x C , la forme fniestmi 2 quadratique h D f x h est semi-définie positive sous la contrainte Df x h 0. Dans les deux cas, la réciproque est vraie si Df x 0, pour tout x C. } qiss-i.conoavgmqssi-eenveae.WS on . EN CNS : 11 ÈTÈ? estompaient cette condition soee critère delabhes.es#-emnea bordée estmonconelusaiflseignes respectés avec un mineur Regarder :o) ' =D essayer derésoudreparsdrstrtatoen . Quasi-concavité – quasi-convexité (suite) ces es Si, pour tout x C, la forme quadratique h D 2 f x h est définie négative sous la contrainte Df x h 0, alors f est strictement quasi-concave. Si, pour tout x C, la forme quadratique h D 2 f x h est définie positive sous la contrainte Df x h 0, alors f est strictement quasi-convexe. On peut reformuler ces 2 es avec les critères de matrice bordée en 12 algèbre xD . nus Quasi-concavité – quasi-convexité Pour déterminer si la forme quadratique h D 2 f x h est définie positive ou négative sous la contrainte Df x h 0, on construit la matrice hessienne bordée, d'ordre n 1, comme suit: 0 H x Cas ( particulier ¥0de ces coeff ID 13 f x . m - ) so sont = 1 des avec -1 Df x D2 f x critères vu en etis lineaire dont les donnés par le gradient → H algèbre est d'ordre mtd Quasi-concavité – quasi-convexité On considère H p x , p 3, , n 1, les n 1 sous-matrices principales dans lesquelles on a supprimé les n 1 p dernières lignes et colonnes de H x , et les mineurs principaux correspondants p x det H p x . Alors: p Si 1 0, p 3, , n 1, pour tout x D, alors f p x est strictement quasi-concave. Si p x 0, p 3, , n 1, pour tout x D, alors f est strictement quasi-convexe. 14 l' Reprenons ffzpgf ex . de la Kaspbrak = fot Celle Douglas 0 1¥ Pas Pq , . _ t.gg-1 : EIR?* - La matrice hessienne bordée est: Mpeg xd :[ - Sym kppgfibgkkpdpa.sfxfib.EE Sym Sym 0 KPzagP1-z.B-1-kpzpiafibgk.ie - xD un seul mineur principal à ED f . . . . = quasi - came . . kpdpz.dz?zzk , calculer: !.EE?Y:-pfPpg!fRj. Bpgp??p?- KPA -"Zé" ↳ pq dette Et ED Ddaf > → ff113420 strictement dÆ . . . - Pappas 0 MIETTESff22022111