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Questions and Answers

Qu'est-ce que la quasi-convexité?

  • La positivité de la fonction sur tout intervalle entre deux points donnés (correct)
  • La négativité de la fonction sur tout intervalle entre deux points donnés
  • La négativité de la fonction sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés
  • La positivité de la fonction sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés

    • Quelle est la caractéristique de la quasi-concavité?

  • La négativité de la fonction sur tout intervalle entre deux points donnés
  • La positivité de la fonction sur tout intervalle entre deux points donnés
  • La positivité de la fonction sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés (correct)
  • La négativité de la fonction sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés

    • Qu'est-ce que la forme quadratique h D 2 f x h si f est quasi-convexe?

  • Semi-définie positive sous la contrainte Df x h 0 (correct)
  • Indéfinie sous la contrainte Df x h 0
  • Définie positive sous la contrainte Df x h 0
  • Définie négative sous la contrainte Df x h 0

    • Qu'est-ce que la forme quadratique h D 2 f x h si f est strictement quasi-concave?

    <p>Définie négative sous la contrainte Df x h 0 (D)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la forme quadratique h D 2 f x h si f est strictement quasi-convexe?

    <p>Définie positive sous la contrainte Df x h 0 (C)</p> Signup and view all the answers

    Comment est utilisée la matrice hessienne bordée pour déterminer la quasi-convexité ou la quasi-concavité de f?

    <p>Les sous-matrices principales de la matrice hessienne bordée sont utilisées (A)</p> Signup and view all the answers

    Si toutes les sous-matrices principales sont positives pour tout x D, alors f est...

    <p>strictement quasi-convexe (B)</p> Signup and view all the answers

    Si toutes les sous-matrices principales sont négatives pour tout x D, alors f est...

    <p>strictement quasi-concave (C)</p> Signup and view all the answers

    Pourquoi les critères de matrice bordée sont-ils utiles?

    <p>Pour résoudre les problèmes d'optimisation en économie, en finance, en ingénierie et en physique (C)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la quasi-convexité?

    <p>La positivité de la fonction sur tout intervalle entre deux points donnés (D)</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la caractéristique de la quasi-concavité?

    <p>La positivité de la fonction sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés (D)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la forme quadratique h D 2 f x h si f est quasi-convexe?

    <p>Semi-définie positive sous la contrainte Df x h 0 (B)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la forme quadratique h D 2 f x h si f est strictement quasi-concave?

    <p>Définie négative sous la contrainte Df x h 0 (B)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la forme quadratique h D 2 f x h si f est strictement quasi-convexe?

    <p>Définie positive sous la contrainte Df x h 0 (C)</p> Signup and view all the answers

    Comment est utilisée la matrice hessienne bordée pour déterminer la quasi-convexité ou la quasi-concavité de f?

    <p>Les sous-matrices principales de la matrice hessienne bordée sont utilisées (D)</p> Signup and view all the answers

    Si toutes les sous-matrices principales sont positives pour tout x D, alors f est...

    <p>strictement quasi-convexe (D)</p> Signup and view all the answers

    Si toutes les sous-matrices principales sont négatives pour tout x D, alors f est...

    <p>strictement quasi-concave (D)</p> Signup and view all the answers

    Pourquoi les critères de matrice bordée sont-ils utiles?

    <p>Pour résoudre les problèmes d'optimisation en économie, en finance, en ingénierie et en physique (D)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la quasi-convexité?

    <p>Une fonction qui est positive sur tout intervalle entre deux points donnés (C)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la quasi-concavité?

    <p>Une fonction qui est positive sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés (B)</p> Signup and view all the answers

    Comment est caractérisée une fonction strictement quasi-concave?

    <p>La forme quadratique est définie négative sous la contrainte Df x h = 0 (C)</p> Signup and view all the answers

    Comment est caractérisée une fonction strictement quasi-convexe?

    <p>La forme quadratique est définie positive sous la contrainte Df x h = 0 (B)</p> Signup and view all the answers

    Comment est construite la matrice hessienne bordée?

    <p>À partir de la matrice hessienne de f et des contraintes Df x h ≥ 0 (B)</p> Signup and view all the answers

    Comment les sous-matrices principales de la matrice hessienne bordée sont-elles utilisées pour déterminer la quasi-convexité ou la quasi-concavité de f?

    <p>Si toutes les sous-matrices principales sont négatives pour tout x D, alors f est strictement quasi-convexe (D)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la condition du 2e ordre pour la concavité ou la convexité d'une fonction?

    <p>La matrice hessienne est définie positive (C)</p> Signup and view all the answers

    Quelles sont les propriétés équivalentes pour une fonction quasi-concave ou quasi-convexe?

    <p>L'ensemble de niveau supérieur d'une fonction quasi-convexe est convexe (B)</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que la matrice hessienne pour la concavité et la convexité?

    <p>Une matrice qui caractérise la quasi-convexité et la quasi-concavité d'une fonction (B)</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Analyse 2 : Concavité-convexité et quasi-concavité-quasi-convexité

    1. Définition d'une fonction concave sur un ensemble convexe C.

    2. Définition d'une fonction strictement concave sur un ensemble convexe C.

    3. Propriété : multiplication de fonctions concaves et convexes.

    4. Théorème : ensemble de niveau d'une fonction concave ou convexe.

    5. Condition du 2e ordre pour la concavité ou la convexité d'une fonction.

    6. Propriétés de la matrice hessienne pour la concavité et la convexité.

    7. Définition d'une fonction quasi-concave et quasi-convexe.

    8. Propriétés équivalentes pour une fonction quasi-concave ou quasi-convexe.

    9. Théorème : propriétés de classe C1 pour les fonctions quasi-concaves et quasi-convexes.

    10. Propriétés de classe C2 pour les fonctions quasi-concaves et quasi-convexes.

    11. Remarque : une fonction concave est quasi-concave, et une fonction convexe est quasi-convexe.

    12. Propriétés de la forme quadratique pour les fonctions quasi-concaves et quasi-convexes.Quasi-concavité - quasi-convexité : critères et matrices

    13. La quasi-convexité et la quasi-concavité sont des concepts mathématiques importants dans l'optimisation.

    14. La quasi-convexité est caractérisée par la positivité de la fonction sur tout intervalle entre deux points donnés.

    15. La quasi-concavité est caractérisée par la positivité de la fonction sur tout intervalle dont les extrémités sont des points donnés.

    16. La forme quadratique h D 2 f x h est semi-définie positive sous la contrainte Df x h 0 si f est quasi-convexe.

    17. La forme quadratique h D 2 f x h est définie négative sous la contrainte Df x h 0 si f est strictement quasi-concave.

    18. La forme quadratique h D 2 f x h est définie positive sous la contrainte Df x h 0 si f est strictement quasi-convexe.

    19. La matrice hessienne bordée est utilisée pour déterminer si la forme quadratique est définie positive ou négative.

    20. La matrice hessienne bordée est construite à partir de la matrice hessienne de f et des contraintes Df x h 0.

    21. Les sous-matrices principales de la matrice hessienne bordée sont utilisées pour déterminer la quasi-convexité ou la quasi-concavité de f.

    22. Si toutes les sous-matrices principales sont positives pour tout x D, alors f est strictement quasi-convexe.

    23. Si toutes les sous-matrices principales sont négatives pour tout x D, alors f est strictement quasi-concave.

    24. Les critères de matrice bordée sont utiles pour résoudre les problèmes d'optimisation en économie, en finance, en ingénierie et en physique.

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