Álgebra de Conjuntos - Logica PDF

"AÑO DEL BICENTENARIO, DE LA CONSOLIDACIÓN DE NUESTRA INDEPENDENCIA, Y DE LA CONMEMORACIÓN DE LAS HEROICAS BATALLAS DE JUNÍN Y AYACUCHO" **UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRIGUEZ** **DE MENDOZA** **DE AMAZONAS** ALGEBRA DE CONJUNTOS Docente: Rimachi Rodas, Mario Estudiante: Avellaneda Silva,...

"AÑO DEL BICENTENARIO, DE LA CONSOLIDACIÓN DE NUESTRA INDEPENDENCIA, Y DE LA CONMEMORACIÓN DE LAS HEROICAS BATALLAS DE JUNÍN Y AYACUCHO" **UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRIGUEZ** **DE MENDOZA** **DE AMAZONAS** ALGEBRA DE CONJUNTOS Docente: Rimachi Rodas, Mario Estudiante: Avellaneda Silva, Dharagy Lizeht Chachapoyas, 23 de Octubre **ALGEBRA DE CONJUNTOS** En [matemáticas](https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas), álgebra de conjuntos​ es el estudio de las [operaciones](https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binaria) básicas que pueden realizarse con [conjuntos](https://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos), como la [unión](https://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos), [intersección](https://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos) y [complementación](https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_complementario). El álgebra de conjuntos, que no debe confundirse con la estructura matemática de un álgebra de conjuntos, define las propiedades y leyes de los conjuntos, las operaciones teóricas de conjuntos de unión, intersección, y complementación y las relaciones de igualdad de conjuntos e inclusión de conjuntos. También proporciona procedimientos sistemáticos para evaluar expresiones y realizar cálculos que involucran estas operaciones y relaciones. El álgebra de conjuntos es una parte fundamental de la teoría de conjuntos y sirve como una herramienta clave en matemáticas, informática, lógica y muchas otras disciplinas. A continuación, te presento un resumen detallado del tema con los principales conceptos, propiedades y teoremas importante **Tabla de las leyes de álgebra de conjuntos** Ley Descripción Expresión Matemática -------------------------------- ------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ley de Idempotencia Un conjunto operado consigo mismo permanece igual. (A ∪ A = A), (A ∩ A = A) Ley Conmutativa El orden de los conjuntos no afecta el resultado. (A ∪ B = B ∪ A), (A ∩ B = B ∩ A) Ley Asociativa La agrupación de conjuntos no cambia el resultado. ((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)), ((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)) Ley Distributiva Distribuye una operación sobre otra. (A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)), (A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)) Ley de Morgan Relaciona la complementariedad de la unión e intersección. (complemento de A ∪ B = complemento de {A} ∩ complemento de {B}), (complemento de {A ∩ B} = complemento de {A} ∪ complemento de {B}) Ley de la Diferencia Simétrica Elementos únicos en ambos conjuntos. (A △ B = (A -- B) ∪ (B -- A)) Ley del Complemento Un conjunto y su complemento cubren el universo. (A ∪ complemento de {A} = U), (A ∩ complemento de {A} = ∅) Ley de la Absorción Simplifica expresiones al absorber conjuntos. (A ∪ (A ∩ B) = A), (A ∩ (A ∪ B) = A) **Definición de Leyes del Álgebra de Conjuntos** Las leyes del álgebra de conjuntos forman la base para manipular y entender las relaciones entre diferentes conjuntos. Estas leyes son aplicables en diversos campos como la lógica, la teoría de la computación, y más allá. **Ley de Idempotencia** La ley de idempotencia explica que si tienes una caja de crayones de tu color favorito, si juntas dos cajas iguales, aún tienes crayones del mismo color, no cambia nada. Formalmente, esta ley establece que un conjunto unido o intersectado consigo mismo es igual al conjunto original. Matemáticamente, esto se expresa como (A ∪ A = A) y (A ∩ A = A). Esta ley subraya la estabilidad de un conjunto cuando se opera sobre sí mismo. **Ley Conmutativa** La ley conmutativa explica que, si tienes una fruta en la mano derecha y otra en la izquierda, y luego las cambias de mano, sigues teniendo las mismas frutas. Formalmente, esta ley indica que el orden de los conjuntos en una operación de unión o intersección no afecta el resultado. En otras palabras, matemáticamente: (A ∪ B = B ∪ A) y (A ∩ B = B ∩ A). Esta propiedad es esencial para simplificar expresiones complejas de conjuntos. **Ley Asociativa** La ley asociativa indica que si estás juntando bloques de construcción, no importa si primero agrupas algunos y luego añades los demás, o si empiezas con diferentes bloques, al final el resultado es el mismo gran montón de bloques. Formalmente, indica que la manera en que los conjuntos se agrupan en operaciones de unión o intersección no cambia el resultado final. Matemáticamente, se expresa como: ((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)) y ((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)). Esta ley permite reorganizar los conjuntos sin alterar el conjunto resultante. **Ley Distributiva** La ley distributiva nos dice que si tienes grupos de amigos en diferentes juegos y quieres unirte a ellos, puedes ir juego por juego o traer a todos a un juego grande. Al final, todos terminan jugando juntos de todas formas. Formalmente, esta ley conecta las operaciones de unión e intersección, mostrando cómo se pueden distribuir a través de otra. Se expresa como (A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) y viceversa para la unión sobre la intersección. Esta ley es útil para desglosar conjuntos complejos en componentes más manejables. **Ley de Morgan** La ley de Morgan nos dice que, si no te gusta el brócoli ni las espinacas, y tu amigo tampoco, es como decir que ambos prefieren evitar esas verduras juntas. Formalmente, es una manera de expresar la complementariedad de la unión e intersección de conjuntos. Se formula como: (complemento de A ∪ B = complemento de {A} ∩ complemento de {B}), (complemento de {A ∩ B} = complemento de {A} ∪ complemento de {B}). Esta ley es fundamental en la lógica y la teoría de conjuntos. **Ley de la Diferencia Simétrica** La ley de la diferencia simétrica dice que si tú tienes algunos libros y tu amigo tiene otros; si intercambian, al final cada uno tendrá libros que el otro no tiene. Formalmente, nos define una operación que encuentra elementos que están en uno de los conjuntos, pero no en ambos. Se denota (A \\triangle B) y es equivalente a ((A -- B) ∪ (B -- A)). Esta operación es especialmente útil en la teoría de la probabilidad y estadística. **Ley del Complemento** La ley del complemento indica que si en tu caja de crayones faltan algunos colores, los colores que no tienes son todos los demás colores que existen fuera de tu caja. Formalmente, nos afirma que el complemento de un conjunto (A) dentro de un universo (U), denotado como (complemento de {A}), y (A) unidos dan como resultado el conjunto universal, y su intersección es el conjunto vacío: (A ∪ complemento de {A} = U) y (A ∩ complemento de {A} = ∅). La ley del complemento es especialmente útil en la teoría de probabilidad, permitiendo calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. **Ley de la Absorción** La ley de la absorción dice que si tienes una pizza y te aseguras de tener una porción, no necesitas preocuparte por tener una porción de una porción; ya tienes parte de la pizza. Formalmente, permite simplificar expresiones al absorber conjuntos mediante operaciones combinadas de unión e intersección: (A ∪ (A ∩ B) = A) y (A ∩ (A ∪ B) = A). Esta ley es útil para reducir la complejidad en la representación de conjuntos. **Propiedades del álgebra de conjuntos** Es importante mencionar que el álgebra de conjuntos es una herramienta fundamental en muchos campos de la matemática y la lógica. Desde la teoría de conjuntos, que es la base de toda la matemática, hasta la teoría de la probabilidad, el análisis matemático, la teoría de grafos y muchas otras áreas, el álgebra de conjuntos proporciona las herramientas necesarias para manipular y entender las estructuras matemáticas **BLIBLIOGRAFIA**