Resumen Teoría Álgebra I PDF

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA I 8 de enero de 2025 1 Índice TEMA 1: Conjuntos y Aplicaciones 5 1. Conjuntos y conceptos básicos...

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA I 8 de enero de 2025 1 Índice TEMA 1: Conjuntos y Aplicaciones 5 1. Conjuntos y conceptos básicos 5 2. Definiciones importantes 5 2.1. Definición 1: Conjunto Vacı́o............................... 5 2.2. Definición 2: Conjunto Finito............................... 5 2.3. Definición 3: Relaciones de Inclusión........................... 5 2.4. Definición 4: Intervalos Finitos.............................. 6 2.5. Definición 5: Intervalos Infinitos.............................. 6 2.6. Definición 6: Conjunto Potencia/Conjunto partes de un conjunto........... 7 3. Operaciones básicas con conjuntos 8 4. Leyes de Morgan 11 5. Paradoja de Russell 11 6. Aplicaciones entre conjuntos 12 7. Clasificación general de las aplicaciones 14 8. Composición de aplicaciones y aplicación inversa 16 8.1. Aplicación identidad.................................... 17 9. Relaciones de equivalencia 20 10.Cardinalidad 22 TEMA 2: Estructuras Algebráicas. 25 1. Operación Interna 25 2. Grupos 25 2.1. Definición 1: Grupo..................................... 25 2.2. Definición 2: Grupo Abeliano............................... 26 2.3. Definición 3: Subgrupo................................... 27 3. Grupo de Permutaciones 28 4. Grupo de Permutaciones 28 5. Homomorfismos de Grupos 29 5.1. Definición 4: Homomorfismo/Isomorfismo........................ 29 6. Anillos 30 TEMA 3: Espacios vectoriales. 32 2 1. Definición: Espacio Vectorial 32 1.1. Definición de subespacio................................... 33 1.2. Subespacios tipos, propiedades:.............................. 33 1.3. Coordenadas de un vector................................. 33 1.3.1. Isomorfismo de coordenadas............................ 34 1.4. Cambio de coordenadas.................................. 34 2. Suma de subespacios 35 2.1. Suma de varios subespacios................................ 35 2.2. Caso de suma directa.................................... 35 3. Base de un Espacio Vectorial 35 3.1. Definición 1: Base..................................... 36 4. Espacios Vectoriales Finitamente Generados y Dimensión 37 4.1. Teorema 1.......................................... 37 4.2. Lema 1........................................... 37 5. Teorema 2 39 5.1. Definición 2: Dimensión.................................. 39 6. Teorema 3 39 7. Coordenadas de un Vector y Matriz de Cambio de Base 40 8. Coordenadas de un Vector y Matriz de Cambio de Base 40 8.1. Definición 3: Coordenadas de un Vector......................... 40 8.2. Definición 4: Matriz Cambio de Base........................... 42 TEMA 4: Aplicaciones lineales 43 1. Definición y primeras propiedades: 43 1.1. Conjunto de las aplicaciones lineales:........................... 44 1.2. Terminologı́a empleada:.................................. 44 1.2.1. Propiedades de los isomorfismos:......................... 45 1.3. Ejemplos a tener en cuenta:................................ 45 2. Núcleo e imagen: 46 2.1. Núcleo............................................ 46 2.2. Imagen............................................ 46 2.3. Teorema del Núcleo y de la imagen:........................... 46 2.4. Primer teorema de isomorfı́a:............................... 46 2.5. Teorema del rango de la imagen:............................. 47 3. Determinación de una aplicación lineal: 47 3.1. Ecuaciones de una aplicación lineal............................ 47 3 4. Matrices de las aplicaciones lineales 48 4.1. Apuntes ADÁN....................................... 48 4.2. Matriz asociada a una aplicación lineal.......................... 51 4.3. Rango de la matriz asociada................................ 52 4.4. Cambio de la matriz al cambiar las bases:........................ 52 4.5. Matrices equivalentes:................................... 53 4.5.1. Caso de endomorfismos: matrices semejantes:.................. 53 4.6. Determinante de un endomorfismo:............................ 53 5. Operaciones con aplicaciones lineales: 54 5.1. Suma y producto por un escalar............................. 54 5.2. Composición de las aplicaciones lineales:......................... 55 6. Endomorfismos de un espacio: 57 7. Movimientos rı́gidos en el plano: 58 7.1. Proyección sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas........... 58 7.2. Reflexión con respecto a una recta que pasa por el origen............... 59 7.3. Rotaciones en el plano................................... 60 8. Subespacios vectoriales inducidos por aplicaciones lineales 61 8.1. Definición 1 (Núcleo e Imagen).............................. 62 9. Conservación de la dependencia/independencia lineal 63 9.1. Proposición 3........................................ 63 9.2. Proposición 4........................................ 63 9.3. Proposición 5........................................ 64 10.Teorema del Núcleo y la Imagen 65 11.Dimensión del espacio suma 67 12.Primer teorema de isomorfı́a 69 4  TEMA 1: Conjuntos y Aplicaciones 1. Conjuntos y conceptos básicos Un conjunto puede ser definido de dos formas: por comprensión o por extensión. Comprensión: significa que describimos el conjunto enumerando, uno por uno, sus elementos. Ejemplo: A = {1,2,3,4,5} Extensión: significa que describimos el conjunto determinando sus elementos por las propiedades que los caracterizan. Ejemplo: B = {x / x ∈ R y x2 - 3x +2 0} Ejemplo 1. El conjunto G = {α, β, γ}, formado por las 3 primeras letras del alfabeto griego, está definido por comprensión. Por otro lado, el conjunto de los números racionales:   p Q= | p ∈ Z, q ∈ Z∗ y mcd(p, q) = 1 q está definido por extensión. 2. Definiciones importantes 2.1. Definición 1: Conjunto Vacı́o El conjunto vacı́o es definido por: ∅ = {x | x ̸= x}. Es decir, es un conjunto que carece de elementos. 2.2. Definición 2: Conjunto Finito Un conjunto A se dice que es finito si existe un número n ∈ N tal que los elementos de los conjuntos A e In = {1, 2,... , n} se pueden emparejar uno a uno, sin que sobre ningún elemento en ninguno de los dos conjuntos. 2.3. Definición 3: Relaciones de Inclusión Sean A y B dos conjuntos: (i) A ⊂ B si, dado a ∈ A, entonces a ∈ B. (ii) A = B si A ⊂ B y B ⊂ A. (iii) A ⊊ B si A ⊂ B y A ̸= B. 5 Observación 1 (a) ∅ ⊂ A para cualquier conjunto A. (b) Un subconjunto A ⊂ B descrito por una propiedad P se escribe como: A = {x ∈ B | propiedad P }. Por ejemplo: A = {x ∈ R | |x − 1| > 2}. 2.4. Definición 4: Intervalos Finitos Sean a, b ∈ R tales que a < b. Se denomina intervalo finito de R a cualquiera de los siguientes conjuntos: (i) (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (intervalo abierto). (ii) [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha). (iii) (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} (intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha). (iv) [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado). 2.5. Definición 5: Intervalos Infinitos Dado a ∈ R, se denomina intervalo infinito de R a cualquiera de los siguientes conjuntos: (i) (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}. (ii) (−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}. (iii) (a, ∞) = {x ∈ R | x > a}. (iv) [a, ∞) = {x ∈ R | x ≥ a}. Ejemplo 2 Sea Q el conjunto definido por Q = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 < 0}. Mostramos a continuación que Q ⊂ [1, 3]. En efecto, si x ∈ Q, entonces x2 −3x+2 = (x−1)(x−2) < 0. Por tanto, hay apenas dos posibilidades: x − 1 < 0 y x − 2 > 0, lo que equivale a x < 1 y x > 2 (imposible). x − 1 > 0 y x − 2 < 0, lo que equivale a 1 < x < 2. Entonces, se concluye que: Q = {x ∈ R | 1 < x < 2} = (1, 2) ⊂ [1, 3]. 6 Ejemplo 3 Sean Q∗ el conjunto de los números racionales no nulos y A = {a ∈ Q∗ | a2 + 1 a2 ≥ 2}. Se tiene que A = Q∗. En efecto: La inclusión A ⊂ Q∗ es consecuencia de la definición de A. Para justificar la inclusión contraria, tomamos a ∈ Q∗ y verificamos que:  2  2 1 1 1 a2 + = a2 + −2+2= a− + 2 ≥ 2. a2 a a Por tanto, a ∈ A y ası́ queda probado que Q∗ ⊂ A. 2.6. Definición 6: Conjunto Potencia/Conjunto partes de un conjunto Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A, también llamado conjunto de las partes de A, se define por: P (A) = {X | X ⊂ A}. Ejemplo 4 Sea X = {1, 2, 3}. Entonces: P (X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X}. En este ejemplo, se muestra que el conjunto de las partes de un conjunto con 3 elementos tiene 8 elementos. Existe una fórmula que expresa el número de elementos del conjunto de las partes de un conjunto finito: #P (A) = 2n Ejercicio 1 Use el método de inducción para mostrar que si un conjunto X tiene n elementos, entonces P (X) tiene 2n elementos. Demostración por inducción de que el conjunto potencia de un conjunto con n elementos tiene 2n elementos Queremos demostrar que si un conjunto X tiene n elementos, entonces el conjunto potencia P (X) tiene 2n elementos. Utilizaremos el método de inducción matemática. Paso 1: Base de la inducción Comenzamos demostrando el caso base, que corresponde al valor más pequeño de n, es decir, n = 0. Si X es un conjunto con n = 0 elementos, entonces X = ∅ (el conjunto vacı́o). El conjunto potencia de X es P (X) = {∅}, es decir, contiene solo un subconjunto: el conjunto vacı́o. 7  Por lo tanto, |P (X)| = 1 = 20. Ası́ que la base de la inducción se cumple. Paso 2: Hipótesis de inducción Supongamos que la afirmación es cierta para algún n = k, es decir, supongamos que si un conjunto X tiene k elementos, entonces su conjunto potencia P (X) tiene 2k elementos. Es decir, la hipótesis de inducción es: |P (X)| = 2k cuando |X| = k. Paso 3: Paso inductivo Queremos demostrar que la afirmación es cierta para n = k + 1, es decir, que si un conjunto X tiene k + 1 elementos, entonces P (X) tiene 2k+1 elementos. Sea X un conjunto con k + 1 elementos. Podemos escribirlo como X = A ∪ {x}, donde A es un conjunto con k elementos y x es un elemento distinto de A. El conjunto potencia de X se puede dividir en dos partes: 1. Los subconjuntos de X que no contienen el elemento x. Estos subconjuntos son exac- tamente los subconjuntos de A, y el número de tales subconjuntos es |P (A)| = 2k (por hipótesis de inducción). 2. Los subconjuntos de X que contienen el elemento x. Estos subconjuntos pueden escribirse como {x} ∪ S, donde S es un subconjunto de A. Dado que A tiene k elementos, el número de subconjuntos de A es 2k , y por lo tanto, hay 2k subconjuntos de X que contienen x. Por lo tanto, el número total de subconjuntos de X es la suma de los subconjuntos que no contienen x y los que contienen x: |P (X)| = 2k + 2k = 2 × 2k = 2k+1. Paso 4: Conclusión Hemos demostrado que si un conjunto X tiene k + 1 elementos, entonces P (X) tiene 2k+1 elementos. Como hemos demostrado el caso base para n = 0 y hemos mostrado que si la afirmación es cierta para n = k, entonces también es cierta para n = k + 1, concluimos que por inducción, la afirmación es cierta para todos los valores de n. Por lo tanto, si un conjunto X tiene n elementos, entonces su conjunto potencia P (X) tiene 2n elementos. 3. Operaciones básicas con conjuntos Definición 7: Producto Cartesiano Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A con B es la colección de pares: A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. 8 Cuando A = B, se usará la notación A2 = A × A. Ejemplo 5 Sean A = {1, 2, 3} y B = {α, β}. Entonces: A × B = {(1, α), (1, β), (2, α), (2, β), (3, α), (3, β)}. B 2 = {(α, α), (α, β), (β, α), (β, β)}. Por tanto, A × B tiene 6 elementos y B 2 tiene 4 elementos. Observación 2 Si A es un conjunto de m elementos y B es un conjunto de n elementos, entonces A × B tiene m · n elementos. Este hecho está asociado al llamado principio multiplicativo del conteo. Definición 8: Unión e Intersección Sean A y B dos conjuntos. La unión de A con B es el conjunto: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}, y la intersección de A con B es el conjunto: A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. Proposición 1 Sean A, B y C conjuntos. Valen las siguientes propiedades: (a) A ∪ A = A y A ∩ A = A (idempotencia). (b) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad). (c) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B. (d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociatividad). (e) A ∪ (A ∩ B) = A y A ∩ (A ∪ B) = A (absorción). (f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributividad). Demostración Presentamos la prueba del primer caso de (f) y dejamos los apartados restantes como ejercicio. Para probar la inclusión: A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) escogemos un elemento x ∈ A ∪ (B ∩ C). Entonces, x ∈ A o x ∈ B ∩ C. Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C. Por tanto, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 9  Si x ∈ B ∩ C, entonces x ∈ B ⊂ A ∪ B y x ∈ C ⊂ A ∪ C. Por tanto, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Ası́, en cualquier caso, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Demostración- Ejercicio: todas las propiedades. (a) A ∪ A = A y A ∩ A = A (idempotencia). Demostración: Para la unión: Si x ∈ A ∪ A, entonces x ∈ A, y por lo tanto x ∈ A. Esto muestra que A ∪ A = A. Para la intersección: Si x ∈ A ∩ A, entonces x ∈ A y x ∈ A, por lo que x ∈ A. Esto muestra que A ∩ A = A. (b) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad). Demostración: Para la unión: Si x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B. Como la unión es conmutativa, también se cumple que x ∈ B ∪ A. Para la intersección: Si x ∈ A ∩ B, entonces x ∈ A y x ∈ B. Como la intersección es conmutativa, también se cumple que x ∈ B ∩ A. (c) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B. Demostración: Para A ⊂ A∪B: Si x ∈ A, entonces x ∈ A∪B porque la unión incluye todos los elementos de A. Para B ⊂ A∪B: Si x ∈ B, entonces x ∈ A∪B porque la unión incluye todos los elementos de B. Para A ∩ B ⊂ A: Si x ∈ A ∩ B, entonces x ∈ A por definición de intersección. Para A ∩ B ⊂ B: Si x ∈ A ∩ B, entonces x ∈ B por definición de intersección. (d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociatividad). Demostración: Para la unión: Si x ∈ A ∪ (B ∪ C), entonces x ∈ A o x ∈ B ∪ C. Si x ∈ B ∪ C, entonces x ∈ B o x ∈ C. En cualquier caso, x ∈ (A ∪ B) ∪ C. Para la intersección: Si x ∈ A ∩ (B ∩ C), entonces x ∈ A y x ∈ B ∩ C, lo que implica que x ∈ B y x ∈ C. Por lo tanto, x ∈ (A ∩ B) ∩ C. (e) A ∪ (A ∩ B) = A y A ∩ (A ∪ B) = A (absorción). Demostración: Para A ∪ (A ∩ B) = A: Si x ∈ A ∪ (A ∩ B), entonces x ∈ A o x ∈ A ∩ B. Si x ∈ A, entonces x ∈ A. Si x ∈ A ∩ B, entonces x ∈ A. Por lo tanto, A ∪ (A ∩ B) = A. Para A ∩ (A ∪ B) = A: Si x ∈ A ∩ (A ∪ B), entonces x ∈ A y x ∈ A ∪ B. Dado que x ∈ A, se sigue que x ∈ A. Por lo tanto, A ∩ (A ∪ B) = A. 10  (f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributividad). Demostración: Para A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C): A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Escogemos un elemento x ∈ A ∪ (B ∩ C). Entonces, x ∈ A o x ∈ B ∩ C. ◦ Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C. Por tanto, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ◦ Si x ∈ B∩C, entonces x ∈ B ⊂ A∪B y x ∈ C ⊂ A∪C. Por tanto, x ∈ (A∪B)∩(A∪C). Ası́, en cualquier caso, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), por lo que A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Para la otra inclusión, A ∪ (B ∩ C) ⊃ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C): Si x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C. Esto implica que x ∈ A o x ∈ B, y x ∈ A o x ∈ C. ◦ Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C). ◦ Si x ∈ B y x ∈ C, entonces x ∈ B ∩ C, y por lo tanto x ∈ A ∪ (B ∩ C). Por lo tanto, x ∈ A ∪ (B ∩ C), lo que demuestra la igualdad. 4. Leyes de Morgan Definición 9: Complementario de un conjunto Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊂ B. El conjunto complementario de A con respecto a B es definido por: AcB = {b ∈ B | b ∈ / A}. Ejemplo 6 Sean A = {(x, y) ∈ R2 | x ̸= y} y B = R2. Entonces, AcB = {(x, y) ∈ R2 | x = y}. 5. Paradoja de Russell La paradoja de Russell consiste en que al definir el conjunto: R = {C | C es un conjunto y C ∈ / C}, se llega a una contradicción lógica al preguntarse: ¿R pertenece a R? En efecto: Si la respuesta fuera afirmativa, es decir, R ∈ R, entonces, por la descripción de R, se tendrı́a que R ∈ / R (lo que es contradictorio). Si la respuesta fuera negativa, es decir, R ∈ / R, entonces, por la descripción de R, se tendrı́a que R ∈ R (lo que es contradictorio). R recibe el nombre de clase de Russell y no se puede considerar como un conjunto. 11 6. Aplicaciones entre conjuntos Definición 10: Grafos y Aplicaciones Sean A y B dos conjuntos no vacı́os. Un subconjunto G ⊂ A × B recibe el nombre de grafo. Un grafo es llamado de aplicación si para todo a ∈ A existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ G. Los grafos que son aplicaciones se distinguen con la simbologı́a: f : A → B, donde A recibe el nombre de dominio, B de codominio y f de regla de correspondencia que establece la asociación de un único elemento b ∈ B a cada a ∈ A (b es denotado por b = f (a)). Ejemplo 7 En R2 = R × R se tiene que: G1 = {(x, x2 ) | x ∈ R} es un grafo, dado por la aplicación f : R → R con f (x) = x2. G2 = {(x2 , x) | x ∈ R} no es un grafo. Basta observar que (1, −1) ∈ G2 y (1, 1) ∈ G2 , es decir, 1 tiene dos elementos asociados (−1 y 1). Definición 11: Imagen de Aplicaciones y Imagen Inversa de un Conjunto Sea f : A → B una aplicación entre los conjuntos A y B. La imagen de f es el conjunto definido por: Im(f ) = {f (a) | a ∈ A} = {b ∈ B | b = f (a) para algún a ∈ A}. También se suele denotar la imagen de f por f (A) en lugar de Im(f ). De igual modo, si X ⊂ A, se tiene: f (X) = {f (x) | x ∈ X}. Dado Y ⊂ B, la imagen inversa de Y es el conjunto: f −1 (Y ) = {a ∈ A | f (a) ∈ Y }. Cuando Y = {b} (formado por un único elemento), escribimos: f −1 (b) = {a ∈ A | f (a) = b}. Una observación importante es que el conjunto f −1 (Y ) puede ser vacı́o en algunos casos. Ejemplo 8 Sea f : R → R definida por la correspondencia f (x) = sin(x). sin−1 (1) = {x ∈ R | sin(x) = 1} = π2 + 2kπ | k ∈ Z.  sin−1 ([2, 3]) = {x ∈ R | sin(x) ∈ [2, 3]} = ∅. sin−1 ({0, 1}) = {x ∈ R | sin(x) ∈ {0, 1}} = {nπ | n ∈ Z} ∪ π 2 + 2mπ | m ∈ Z. 12 Proposición 2 Sean f : A → B una aplicación entre los conjuntos A y B. Valen las siguientes propiedades: (a) Si A1 ⊂ A2 ⊂ A, entonces f (A1 ) ⊂ f (A2 ). (b) Si A1 ⊂ A y A2 ⊂ A, entonces f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ). (c) Si A1 ⊂ A y A2 ⊂ A, entonces f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ). (d) Si B1 ⊂ B2 ⊂ B, entonces f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ). (e) Si B1 ⊂ B y B2 ⊂ B, entonces f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). (f) Si B1 ⊂ B y B2 ⊂ B, entonces f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). Demostración La demostración de esta proposición se deja como ejercicio. Sin embargo, observamos que en muchos casos, en la propiedad (b), no se satisface la igualdad f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ). Por ejemplo, considerando la aplicación: f : R → R, x 7→ f (x) = x2 y los conjuntos A1 = (−∞, 0] y A2 = [0, +∞), se tiene que: A1 ∩ A2 = {0}. Además: f (A1 ∩ A2 ) = {0}, f (A1 ) = [0, +∞), f (A2 ) = [0, +∞). Por tanto: {0} = f (A1 ∩ A2 ) ⊊ f (A1 ) ∩ f (A2 ) = [0, +∞). Demostración de la proposición 2: (a) Si A1 ⊂ A2 ⊂ A, entonces f (A1 ) ⊂ f (A2 ). Demostración: Sea x ∈ f (A1 ), lo que significa que existe un a1 ∈ A1 tal que f (a1 ) = x. Como A1 ⊂ A2 , entonces a1 ∈ A2. Por lo tanto, x = f (a1 ) ∈ f (A2 ). Esto demuestra que f (A1 ) ⊂ f (A2 ). (b) Si A1 ⊂ A y A2 ⊂ A, entonces f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ). Demostración: Sea x ∈ f (A1 ∩A2 ). Entonces, existe un a ∈ A1 ∩A2 tal que f (a) = x. Como a ∈ A1 y a ∈ A2 , se sigue que x = f (a) ∈ f (A1 ) y x = f (a) ∈ f (A2 ). Por lo tanto, x ∈ f (A1 ) ∩ f (A2 ), lo que demuestra que f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ). (c) Si A1 ⊂ A y A2 ⊂ A, entonces f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ). Demostración: (⊂) Sea x ∈ f (A1 ∪ A2 ). Entonces, existe un a ∈ A1 ∪ A2 tal que f (a) = x. Si a ∈ A1 , entonces x ∈ f (A1 ). Si a ∈ A2 , entonces x ∈ f (A2 ). En ambos casos, x ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ). Por lo tanto, f (A1 ∪ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∪ f (A2 ). 13  (⊃) Sea x ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ). Entonces, x ∈ f (A1 ) o x ∈ f (A2 ). Si x ∈ f (A1 ), existe un a1 ∈ A1 tal que f (a1 ) = x. Si x ∈ f (A2 ), existe un a2 ∈ A2 tal que f (a2 ) = x. En ambos casos, a1 ∈ A1 ∪ A2 o a2 ∈ A1 ∪ A2 , por lo tanto, x ∈ f (A1 ∪ A2 ). Esto demuestra que f (A1 ) ∪ f (A2 ) ⊂ f (A1 ∪ A2 ). (d) Si B1 ⊂ B2 ⊂ B, entonces f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ). Demostración: Sea x ∈ f −1 (B1 ), lo que significa que f (x) ∈ B1. Como B1 ⊂ B2 , entonces f (x) ∈ B2 , por lo que x ∈ f −1 (B2 ). Esto demuestra que f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ). (e) Si B1 ⊂ B y B2 ⊂ B, entonces f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). Demostración: (⊂) Sea x ∈ f −1 (B1 ∩B2 ). Entonces, f (x) ∈ B1 ∩B2 , lo que significa que f (x) ∈ B1 y f (x) ∈ B2. Por lo tanto, x ∈ f −1 (B1 ) y x ∈ f −1 (B2 ), lo que implica que x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). Ası́, f −1 (B1 ∩ B2 ) ⊆ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). (⊃) Sea x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ). Entonces, f (x) ∈ B1 y f (x) ∈ B2 , lo que implica que f (x) ∈ B1 ∩ B2. Por lo tanto, x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ), y esto demuestra que f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) ⊆ f −1 (B1 ∩ B2 ). (f ) Si B1 ⊂ B y B2 ⊂ B, entonces f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). Demostración: (⊂) Sea x ∈ f −1 (B1 ∪ B2 ). Entonces, f (x) ∈ B1 ∪ B2 , lo que significa que f (x) ∈ B1 o f (x) ∈ B2. Si f (x) ∈ B1 , entonces x ∈ f −1 (B1 ). Si f (x) ∈ B2 , entonces x ∈ f −1 (B2 ). En ambos casos, x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ), por lo que f −1 (B1 ∪ B2 ) ⊆ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). (⊃) Sea x ∈ f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). Entonces, x ∈ f −1 (B1 ) o x ∈ f −1 (B2 ). Si x ∈ f −1 (B1 ), entonces f (x) ∈ B1. Si x ∈ f −1 (B2 ), entonces f (x) ∈ B2. En ambos casos, f (x) ∈ B1 ∪ B2 , por lo que x ∈ f −1 (B1 ∪ B2 ). Ası́, f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) ⊆ f −1 (B1 ∪ B2 ). 7. Clasificación general de las aplicaciones Sea f : A → B una aplicación de A en B, recordamos que: A: se denomina dominio de f , B: se denomina codominio de f , Im(f ) := f (A) se denomina imagen de f. Es decir: Im(f ) := {f (a) | a ∈ A} = {b ∈ B | b = f (a) para algún a ∈ A}. Observación 1 Una aplicación puede ser vista como una terna (A, B, f ). Particularmente, si A′ ⊂ A, las ternas (A, B, f ) y (A, B, f ′ ) representan aplicaciones distintas. 14 Definiciones de tipos de aplicaciones Definición 1: Aplicación inyectiva Una aplicación f : A → B se dice que es inyectiva si: a1 , a2 ∈ A y a1 ̸= a2 ⇒ f (a1 ) ̸= f (a2 ), o, equivalentemente: a1 , a2 ∈ A y f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2. Definición 2: Aplicación sobreyectiva Una aplicación f : A → B se dice que es sobreyectiva si: Im(f ) := f (A) = B. Definición 3: Aplicación biyectiva Una aplicación f : A → B se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Ejemplos de tipos de aplicaciones Ejemplo de una aplicación inyectiva Considera la función f : R → R definida por: f (x) = 2x. Esta función es inyectiva porque si f (a1 ) = f (a2 ), es decir, 2a1 = 2a2 , entonces a1 = a2. No existen dos elementos diferentes de R que tengan la misma imagen bajo f. Ejemplo de una aplicación sobreyectiva Considera la función g : R → R definida por: g(x) = x3. Esta función es sobreyectiva porque para cualquier valor y ∈ R, siempre existe un x ∈ R tal que √ g(x) = y. De hecho, si g(x) = x3 , basta con tomar x = 3 y para obtener cualquier y ∈ R, cubriendo toda la imagen R. Ejemplo de una aplicación biyectiva Considera la función h : R → R definida por: h(x) = x + 1. Esta función es biyectiva porque es tanto inyectiva como sobreyectiva: Inyectiva: Si h(a1 ) = h(a2 ), es decir, a1 + 1 = a2 + 1, entonces a1 = a2. 15  Sobreyectiva: Para cualquier y ∈ R, existe un x ∈ R tal que h(x) = y. De hecho, si h(x) = x + 1 = y, entonces x = y − 1. Por lo tanto, h es biyectiva porque cubre toda R y es inyectiva. 8. Composición de aplicaciones y aplicación inversa Sean f : A → B y g : C → D aplicaciones tales que la imagen de f está contenida en el dominio de g, es decir, Im(f ) ⊂ C. En ese caso, se puede definir la aplicación compuesta: g ◦ f : A → D, que consiste en aplicar primero f y después g. De manera más especı́fica: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) para todo x ∈ A. Observación 2 Si dos aplicaciones f : A → B y g : C → D son tales que B ⊆ C, entonces tiene sentido la composición g ◦ f. Ley asociativa de la composición Dadas tres aplicaciones f : A → B, g : B → C y h : C → D, es válida la ley asociativa: (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ). En efecto, para cada x ∈ A se tiene: (h ◦ g) ◦ f (x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h ◦ (g ◦ f )(x). Proposición 1 Dadas dos aplicaciones f : A → B y g : B → C, las siguientes afirmaciones son válidas: (a) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f : A → C es inyectiva. (b) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f : A → C es sobreyectiva. (c) Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f : A → C es biyectiva. Demostración (a) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f : A → C es inyectiva. Para demostrar que g ◦ f es inyectiva, supongamos que existen dos elementos a1 , a2 ∈ A tales que (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ). Es decir: g(f (a1 )) = g(f (a2 )). 16 Dado que g es inyectiva, esto implica que: f (a1 ) = f (a2 ). Ahora, como f también es inyectiva, se tiene que: a1 = a2. Por lo tanto, g ◦ f es inyectiva. (b) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f : A → C es sobreyectiva. Para demostrar que g◦f es sobreyectiva, tomemos cualquier elemento c ∈ C. Como g es sobreyectiva, existe un b ∈ B tal que g(b) = c. Como f es sobreyectiva, existe un a ∈ A tal que f (a) = b. Entonces: (g ◦ f )(a) = g(f (a)) = g(b) = c. Por lo tanto, g ◦ f es sobreyectiva. (c) Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f : A → C es biyectiva. Para demostrar que g ◦ f es biyectiva, necesitamos probar que es tanto inyectiva como sobreyectiva. - Inyectividad: Como hemos demostrado en el punto (a), g ◦ f es inyectiva si f y g son inyectivas. - Sobreyectividad: Como hemos demostrado en el punto (b), g ◦ f es sobreyectiva si f y g son sobreyectivas. Por lo tanto, g ◦ f es biyectiva. Observación 3 De manera general, la operación composición no es conmutativa. Por ejemplo, si consideramos las aplicaciones f : R → R y g : R → R, definidas por las reglas de correspondencia: f (x) = x2 y g(x) = 3x, entonces, tenemos: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = 3x2 , y (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x) = (3x)2 = 9x2. Claramente, (g ◦ f )(x) ̸= (f ◦ g)(x), por lo que la composición no es conmutativa. Continuación de la Proposición 1 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = 3x2 , (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x) = (3x)2 = 9x2. 8.1. Aplicación identidad Dado un conjunto X, denotaremos por IX la aplicación identidad de X, lo que significa: IX : X → X, x 7→ IX (x) = x. 17 Definición 4: Inversas laterales Sea f : A → B una aplicación. (i) Se dice que f es invertible a la izquierda si existe una aplicación g : B → A tal que g ◦ f = IA , es decir, g(f (x)) = x para todo x ∈ A. En ese caso, la aplicación g es llamada inversa a la izquierda para f. (ii) Se dice que f es invertible a la derecha si existe una aplicación h : B → A tal que f ◦h = IB , es decir, f (h(y)) = y para todo y ∈ B. En ese caso, la aplicación h es llamada inversa a la derecha para f. Proposición 2 Sea f : A → B una aplicación. Las siguientes afirmaciones son válidas: (a) f posee inversa a la izquierda si, y sólo si, es inyectiva. (b) f posee inversa a la derecha si, y sólo si, es sobreyectiva. Demostración Se dará la prueba del apartado (a). El (b) se deja como ejercicio. Para probar (a), supongamos primero que f admite una inversa g a la izquierda; por tanto: g(f (x)) = x, para todo x ∈ A. Entonces, si x1 y x2 son tales que f (x1 ) = f (x2 ), podemos concluir que: x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2. Conseguimos que x1 = x2 , lo que demuestra que f es inyectiva. Recı́procamente, supongamos que f : A → B es inyectiva y consideremos el conjunto: B \ f (A) = {y ∈ B | y ∈ / f (A)}. Fijamos ahora un elemento a ∈ A cualquiera y definimos g : B → A del siguiente modo:  x si y = f (x), g(y) = a si y ∈ B \ f (A). Observamos que g está bien definida debido a que f es inyectiva. Además, la propia construcción de g nos da que: g(f (x)) = x, para todo x ∈ A. Por último, observamos que si el conjunto B \ f (A) es vacı́o (es decir, B = f (A)), la inversa a la izquierda queda definida de forma única. En caso contrario, se puede definir más de una inversa a la izquierda. 18 Demostración de la proposición (b) Para probar (b): f posee inversa a la derecha si, y sólo si, es sobreyectiva. Parte 1: Si f es sobreyectiva, entonces tiene inversa a la derecha. Supongamos que f : A → B es sobreyectiva. Es decir, para todo b ∈ B, existe un a ∈ A tal que f (a) = b. Queremos demostrar que f tiene una inversa a la derecha. Definimos la función g : B → A por: g(b) = a donde f (a) = b. Dado que f es sobreyectiva, tal a existe para cada b ∈ B, y ası́ g está bien definida. Ahora verificamos que g es una inversa a la derecha de f , es decir, que f (g(b)) = b para todo b ∈ B. Como f es sobreyectiva, existe un a ∈ A tal que f (a) = b. Entonces, por la definición de g, tenemos g(b) = a, y por lo tanto: f (g(b)) = f (a) = b. Esto muestra que f tiene inversa a la derecha. Parte 2: Si f tiene inversa a la derecha, entonces es sobreyectiva. Supongamos ahora que f : A → B tiene inversa a la derecha. Es decir, existe una función g : B → A tal que f (g(b)) = b para todo b ∈ B. Queremos demostrar que f es sobreyectiva. Tomemos un elemento arbitrario b ∈ B. Sabemos que f (g(b)) = b, por lo que b es la imagen de g(b) bajo f. Es decir, existe un a = g(b) ∈ A tal que f (a) = b. Como hemos mostrado que para todo b ∈ B existe un a ∈ A tal que f (a) = b, concluimos que f es sobreyectiva. Conclusión: Hemos demostrado que f posee inversa a la derecha si, y sólo si, es sobreyectiva. Proposición 2 (Continuación) De la Proposición 2 se concluye que toda aplicación biyectiva f : A → B admite una inversa a la izquierda g y una inversa a la derecha h. Además, se tiene que: g(y) = (g ◦ IB )(y) = [g ◦ (f ◦ h)](y) = [(g ◦ f ) ◦ h](y) = (IA ◦ h)(y) = h(y) para todo y ∈ B. Por tanto, para una biyección se tiene que las inversas laterales coinciden, es decir, g = h. En ese caso, diremos que g = h es la aplicación inversa de f y se usará la notación f −1 : B → A para representarla (alertamos para no confundir f −1 con 1f ). 19 9. Relaciones de equivalencia Dado un conjunto A ̸= ∅, un subconjunto R ⊂ A × A define una relación binaria en A. De manera más especı́fica, si (a1 , a2 ) ∈ R diremos que a1 está relacionado con a2 , lo que simbolizamos por a1 ∼ a2. Ejemplo 1 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y considere R ⊂ A × A, definido por la siguiente relación binaria en A: a1 ∼ a2 si a1 divide a a2. En ese caso: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}. Notemos que R tiene 11 elementos y A × A tiene 36 elementos. Definición 5: Relación de equivalencia Una relación binaria R ⊂ A×A se dice que es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: (i) R es reflexiva: (a, a) ∈ R, es decir, a ∼ a, para todo a ∈ A. (ii) R es simétrica: Si (a1 , a2 ) ∈ R, entonces (a2 , a1 ) ∈ R, es decir, a1 ∼ a2 ⇒ a2 ∼ a1. (iii) R es transitiva: Si (a1 , a2 ) ∈ R y (a2 , a3 ) ∈ R, entonces (a1 , a3 ) ∈ R, es decir, a1 ∼ a2 y a2 ∼ a3 ⇒ a1 ∼ a3. Definición 6: Clases de equivalencia Sea R ⊂ A × A una relación de equivalencia. Dado a ∈ A, se define su clase de equivalencia como el conjunto: [a] = {x ∈ A | a ∼ x}. Observación 4 Dados a1 , a2 ∈ A, valen las siguientes propiedades: (i) [a1 ] = [a2 ] ⇐⇒ a1 ∼ a2. (ii) a1 ̸∼ a2 ⇐⇒ [a1 ] ∩ [a2 ] = ∅. Definición 7: Conjunto cociente El conjunto cociente de A por una relación de equivalencia ∼ definida en A es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia y lo denotaremos por A/ ∼. De manera más especı́fica: A/ ∼= {[a] | a ∈ A}. 20 Observación 5 Si ∼ es una relación de equivalencia definida en A, se tiene que: A/ ∼⊂ P (A) = {X | X ⊂ A}, S A = a∈A [a]. Ejemplo 2 Sea A = N y consideremos la relación binaria en N: a1 ∼ a2 si a1 y a2 tienen la misma paridad. Esta relación binaria es de equivalencia y tenemos que: = {1, 3, 5, 7,... , 2k + 1,... }, = {2, 4, 6, 8,... , 2k,... }. Observamos que la clase de cualquier número impar coincide con la clase del 1, ası́ como la clase de cualquier número par coincide con la clase del 2. Por tanto: N/ ∼= {, } ⊂ P (A) y N = ∪. Ejemplo 3 Sea A = R2 (recordar que R2 = R × R) y consideremos la relación binaria en R2 : (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) si x21 + y12 = x22 + y22. (a) Dejamos como ejercicio mostrar que esta relación es de equivalencia. Para mostrar que esta relación es de equivalencia, debemos verificar que cumple con las tres propie- dades de una relación de equivalencia: Reflexividad: Para cualquier (x, y) ∈ R2 , tenemos que (x, y) ∼ (x, y). Es decir, x2 + y 2 = x2 + y 2 , lo cual es cierto. Por lo tanto, la relación es reflexiva. Simetrı́a: Si (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ), entonces x21 +y12 = x22 +y22. Esto implica que x22 +y22 = x21 +y12 , por lo que (x2 , y2 ) ∼ (x1 , y1 ). Ası́, la relación es simétrica. Transitivida: Si (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) y (x2 , y2 ) ∼ (x3 , y3 ), entonces x21 + y12 = x22 + y22 y x22 + y22 = x23 + y32. De la transitividad de la igualdad, obtenemos x21 + y12 = x23 + y32 , por lo que (x1 , y1 ) ∼ (x3 , y3 ). Ası́, la relación es transitiva. Como la relación es reflexiva, simétrica y transitiva, concluimos que es una relación de equivalencia. (b) Describiremos a continuación la clase de equivalencia correspondiente al elemento (3, 4) ∈ R2. 21 La clase de equivalencia de (3, 4) es: (3, 4) = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) ∼ (3, 4)} = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 32 +42 } = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 25}. Por tanto, la clase de equivalencia de (3, 4) es una circunferencia de radio 5 en el plano cartesiano. 10. Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto finito es simplemente el número de sus elementos. Para extender la noción más precisa de ”número de elementos.en el caso de conjuntos infinitos, necesitamos introducir la noción de comparación en conjuntos arbitrarios. Definición 8: Cardinal Dos conjuntos A y B se dicen que tienen el mismo cardinal si existe una aplicación biyectiva entre ambos. En ese caso, se dice también que los conjuntos son equipotentes. Escribiremos: #A = #B Figura 1: La circunferencia verde de radio 5 representa geométricamente el conjunto definido por la clase (3, 4). Comparación de cardinales Sean A y B dos conjuntos no vacı́os. Definición 9: Comparación de cardinales (i) Se dice que el cardinal de A es menor o igual que el de B si existe una aplicación inyectiva con dominio A y codominio B. Indicamos esta situación con la siguiente notación: #A ≤ #B. (ii) Se dice que el cardinal de A es estrictamente menor que el de B si existe una aplicación inyectiva con dominio A y codominio B, pero no existe una aplicación biyectiva entre A y B. 22  En ese caso, se usa la notación: #A < #B. Ejemplo 4 Sea N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... } el conjunto de los números naturales y sea Np = {2, 4, 6,... , 2k,... } el conjunto de los números naturales que son pares. La aplicación: f : N → Np , x 7→ f (x) = 2x es una aplicación biyectiva. Con efecto: Si x1 , x2 ∈ N son tales que f (x1 ) = f (x2 ), entonces 2x1 = 2x2 y por consiguiente x1 = x2. Por tanto, f es inyectiva. Para cada y ∈ Np se puede encontrar un x ∈ N tal que f (x) = y. De hecho, la ecuación f (x) = 2x = y tiene como solución x = y2 ∈ N (observe que y es par, luego es divisible por 2). Por tanto, para todo y ∈ Np se tiene que f y2 = y; consecuentemente, f es sobreyectiva.
Ejemplo 5 Sea Aκ = {1, 2, 3,... , κ} el conjunto finito formado por los primeros κ números naturales y sea N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... }. Se puede mostrar que: κ = #Aκ < #N. Dejamos como ejercicio justificar esta afirmación. Ejemplo 6 Sean A = [2, 6] y B = [1, 2]. La aplicación: x 1 g : [2, 6] → [1, 2], x 7→ g(x) = + 4 2 es una aplicación biyectiva. En efecto: Si x1 , x2 ∈ [2, 6] son tales que g(x1 ) = g(x2 ), se tiene: x1 1 x2 1 + = + , 4 2 4 2 lo que implica que x1 = x2. Por tanto, g es inyectiva. Para cada y ∈ [1, 2] se puede encontrar un x ∈ [2, 6] tal que g(x) = y. En efecto, la ecuación x 1 g(x) = + =y 4 2 tiene como solución: x = 4y − 2 ∈ [2, 6]. 23  Por tanto, para todo y ∈ [1, 2] se tiene que: g(4y − 2) = y; consecuentemente, g es sobreyectiva. Siendo g una biyección entre [2, 6] y [1, 2], concluimos que: #[2, 6] = #[1, 2]. La idea para construir la aplicación g fue observar la ecuación de la recta que transforma el intervalo [2, 6] en el intervalo [1, 2]. Ver la Figura 2. Figura 2 Observación 6 En algunas ocasiones no es tan simple mostrar la existencia de una biyección entre conjuntos con la misma cardinalidad. En ese sentido, un resultado muy importante de la Teorı́a de Conjuntos es el conocido como Teorema de Cantor-Bernstein, que afirma lo siguiente: Si A y B son conjuntos tales que #A ≤ #B y #B ≤ #A, entonces #A = #B. En otras palabras, el teorema nos afirma que si existen aplicaciones f : A → B y g : B → A tales que f y g son inyectivas, entonces existe una biyección de A a B. 24  TEMA 2: Estructuras Algebráicas. 1. Operación Interna Sea A un conjunto no vacı́o (A ̸= ∅). Una operación interna en A es cualquier aplicación: ∗ : A × A → A, (a1 , a2 ) 7→ a1 ∗ a2. Dependiendo de las propiedades que tenga la operación ∗, se dará lugar a distintas estructuras algebraicas. Observación 1 Muchas veces, siempre que sea más conveniente, se usarán los sı́mbolos de suma (+) o producto (·) en lugar de ∗ para simbolizar la operación interna. Son operaciones internas, por ejemplo, la suma usual (+) y el producto usual (·) de números reales en R y en Z. 2. Grupos 2.1. Definición 1: Grupo Un conjunto no vacı́o G dotado de una operación interna ∗ se dice que tiene estructura de grupo si se verifican los siguientes axiomas: (i) La operación ∗ es asociativa: g1 ∗ (g2 ∗ g3 ) = (g1 ∗ g2 ) ∗ g3 , para todo g1 , g2 , g3 ∈ G. (ii) Existencia de un elemento neutro: ∃e ∈ G tal que e ∗ g = g ∗ e, para todo g ∈ G. (iii) Existencia de un elemento inverso (simétrico): para cada g ∈ G existe g0 ∈ G tal que g ∗ g0 = g0 ∗ g = e. Usaremos la notación (G, ∗) para expresar que G ̸= ∅ con la operación interna ∗ es un grupo. Ejemplo 1 (Z, +) y (R, +) son grupos donde ∗ = + (suma usual), e = 0 y x0 = −x para todo x ∈ Z. Ejemplo 2 Z∗ = Z \ {0} = {−1, 1, −2, 2, −3, 3,... } no es grupo con el producto usual (·). De hecho, x · e = x, ∀x ∈ Z, 25 implicarı́a que e = 1. Por otro lado, dado x ∈ Z∗ , tendrı́amos que el inverso x0 deba satisfacer x · x0 = x0 · x = 1. Por tanto, x0 = x1 , pero 1 x / Z∗. ∈ Ejemplo 3 ( ! ) a b Sea M2 (R) = | a, b, c, d ∈ R dotado de la suma usual de matrices: c d ! ! ! a1 b1 a2 b2 a1 + a2 b1 + b2 + =. c1 d1 c2 d2 c1 + c2 d1 + d2 Tenemos que (M2 (R), +) es un grupo con ! 0 0 e= 0 0 y !0 ! a b −a −b =. c d −c −d 2.2. Definición 2: Grupo Abeliano Decimos que un grupo (G, ∗) es abeliano si se verifica que g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1 , cualesquiera sean g1 , g2 ∈ G. Es decir, la operación ∗ es conmutativa. Proposición 1 Sea (G, ∗) un grupo. Valen las siguientes propiedades: (a) Leyes de cancelación: Sean g, g1 , g2 ∈ G. Si g ∗ g1 = g ∗ g2 , entonces g1 = g2 (cancelación a la izquierda). Si g1 ∗ g = g2 ∗ g, entonces g1 = g2 (cancelación a la derecha). (b) El elemento neutro e de G es único. (c) Cada a ∈ G tiene un único elemento inverso. Demostración Probaremos cada una de las propiedades de forma separada. 26 Prueba de (a) Sean g, g1 , g2 ∈ G tales que g ∗ g1 = g ∗ g2. Multiplicando por el inverso de g en ambos lados se tiene: g0 ∗ (g ∗ g1 ) = g0 ∗ (g ∗ g2 ). Usamos ahora la propiedad asociativa de ∗ para obtener: (g0 ∗ g) ∗ g1 = (g0 ∗ g) ∗ g2 , es decir: e ∗ g1 = e ∗ g2 , luego g1 = g2. La prueba de la ley de cancelación a la derecha es análoga. Prueba de (b) Supongamos la existencia de más de un elemento neutro, digamos ẽ. En ese caso, de la definición de neutro serı́an válidas las igualdades: ẽ = e ∗ ẽ = e. Consecuentemente, e = ẽ. Prueba de (c) Supongamos que un elemento g ∈ G posee dos elementos inversos g0 y g00. En ese caso, g ∗ g0 = g ∗ g00 = e. Entonces, usando la ley de cancelación a la izquierda se tiene que g0 = g00. 2.3. Definición 3: Subgrupo Un subconjunto Ge ⊂ G de un grupo (G, ∗) se dice que es subgrupo de G si: (i) Para cualesquiera g1 , g2 ∈ Ge se tiene que g1 ∗ g2 ∈ Ge , (ii) Para todo g ∈ Ge ⊂ G se tiene que su inverso g0 ∈ Ge. Observación 2 Todo grupo (G, ∗) tiene dos subgrupos triviales: {e}, ∗ y el propio (G, ∗). Ejemplo 4 Sea 2Z := {2k | k ∈ Z}. Se tiene que (2Z, +) es subgrupo de (Z, +). 27 3. Grupo de Permutaciones Dado un conjunto A ̸= ∅, denotaremos por S(A) el conjunto de todas las biyecciones definidas en A, es decir, S(A) = {f : A → A | f es biyectiva}. Observamos que la composición usual de funciones (denotada por ◦) es una operación interna en S(A). Además, se puede verificar que (S(A), ◦) es un grupo cuyo elemento neutro es la aplicación identidad. Si A es finito, o sea, |A| = n, el grupo S(A) tiene n! elementos y cada uno de sus elementos puede ser visto como una permutación de los n elementos de A. 4. Grupo de Permutaciones S(A) es llamado el grupo de permutaciones de A. Sin perder generalidad, podemos considerar An = {1, 2,... , n}, y en ese caso, simplemente usaremos la notación Sn para referirnos al grupo de permutaciones de los primeros n naturales. Ejemplo 5 Si A3 = {1, 2, 3}, el grupo de permutaciones de A3 tiene 6 = 3! elementos, es decir: S(A3 ) = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }, donde fi : A3 → A3 (i = 1, 2, 3) son las biyecciones definidas de la siguiente forma: f1 (1) = 1, f1 (2) = 2, f1 (3) = 3. f2 (1) = 1, f2 (2) = 3, f2 (3) = 2. f3 (1) = 2, f3 (2) = 1, f3 (3) = 3. f4 (1) = 2, f4 (2) = 3, f4 (3) = 1. f5 (1) = 3, f5 (2) = 1, f5 (3) = 2. f6 (1) = 3, f6 (2) = 2, f5 (3) = 1. Cada biyección fi representa una permutación (σi ) diferente de los elementos de A3 y las simboli- zamos de la siguiente forma: ! ! 1 2 3 1 2 3 f1 = σ1 := y f2 = σ2 :=. 1 2 3 1 3 2 ! ! 1 2 3 1 2 3 f3 = σ3 := y f4 = σ4 :=. 2 1 3 2 3 1 28  ! ! 1 2 3 1 2 3 f5 = σ5 := y f6 = σ6 :=. 3 1 2 3 2 1 Además, la composición de dos biyecciones será simbolizada mediante la realización de dos permu- taciones sucesivas (en el orden especificado). Por ejemplo, ! ! ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f5 = f2 ◦ f3 := σ2 σ3 = = = σ5 , 1 3 2 σ2 2 1 3 σ3 3 1 2 lo que significa que primero se aplica f3 y después f2 , lo que quiere decir que primero se realiza la permutación σ3 y enseguida, a cada elemento, se le hará corresponder el obtenido al aplicar σ2. A modo de ilustración, observamos que en σ3 se tiene la correspondencia 1 → 2 y en σ2 se tiene la correspondencia 2 → 3; por tanto, en σ2 σ3 se tiene la correspondencia: 3σ 2 σ 5 σ 1 −→ 2 −→ 3 = 1 −→ 3. 5. Homomorfismos de Grupos 5.1. Definición 4: Homomorfismo/Isomorfismo Sean (G, ∗) y (H, ∼) dos grupos. (i) Una aplicación f : G → H se dice que es un homomorfismo si f (g1 ∗ g2 ) = f (g1 ) ∼ f (g2 ) para cualesquiera que sean g1 , g2 ∈ G. (ii) Si un homomorfismo f es biyectivo, entonces se dice que es un isomorfismo. En ese caso, se dirá que los grupos G y H son isomorfos (es decir, coinciden estructuralmente). Ejemplo 6 Considere los grupos (M2 (R), +) y (R, +). La aplicación ! a b τ : M2 (R) → R, M= 7→ τ (M ) = a + b c d es un homomorfismo. Proposición 2 Sea f : G → H un homomorfismo entre los grupos (G, ∗) y (H, ∼) y sean Ge y He subgrupos de G y H, respectivamente. Entonces: (a) f (Ge ) es un subgrupo de H. (b) f −1 (He ) es un subgrupo de G. 29 Demostración Denotemos por eG y eH los elementos neutros de G y H, respectivamente. Una observación impor- tante es que, dado que f es un homomorfismo, se tiene que f (eG ) = eH (verifique esto como ejercicio). Prueba de (a) Sean h1 , h2 ∈ f (Ge ), entonces existen g1 , g2 ∈ Ge tales que h1 = f (g1 ) y h2 = f (g2 ). Siendo f un homomorfismo, se tiene que h1 ∼ h2 = f (g1 ) ∼ f (g2 ) = f (g1 ∗ g2 ) ∈ f (Ge ). Por otro lado, si h ∈ f (Ge ) con h = f (g), donde g ∈ Ge , se tiene que f (g) ∼ f (g0 ) = f (g ∗ g0 ) = f (eG ) = eH. Entonces, f (g0 ) ∼ f (g) = f (g0 ∗ g) = f (eG ) = eH. Por tanto, las igualdades anteriores muestran que f (Ge ) goza de las propiedades de un subgrupo de H. Prueba de (b) Ejercicio. Observación 3 Si f : G → H es un homomorfismo entre los grupos (G, ∗) y (H, ∼), el conjunto Ker(f ) := {g ∈ G | f (g) = eH } = f −1 ({eH }) es un subgrupo de G que recibe el nombre de núcleo de f. 6. Anillos Un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto R con dos operaciones, llamadas suma (+) y producto (·), que cumplen las siguientes propiedades: 1. (R, +) es un grupo abeliano: a) Cerradura: a + b ∈ R. b) Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c). c) Existe un elemento neutro 0 ∈ R tal que a + 0 = a. d ) Todo elemento tiene un inverso aditivo −a ∈ R tal que a + (−a) = 0. e) Conmutatividad: a + b = b + a. 30  2. (R, ·) es cerrada y asociativa: a) Cerradura: a · b ∈ R. b) Asociatividad: (a · b) · c = a · (b · c). 3. Distributividad: a) a · (b + c) = a · b + a · c (distributividad izquierda). b) (a + b) · c = a · c + b · c (distributividad derecha). Subtipos de anillos 1. Anillo conmutativo: Un anillo conmutativo es un anillo R donde el producto también es conmutativo, es decir: a · b = b · a, ∀a, b ∈ R. 2. Anillo con identidad: Un anillo tiene identidad multiplicativa si existe un elemento 1 ∈ R, distinto de 0, tal que: 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ R. Ejemplo: Z, Q, R, C. 3. Dominio de integridad: Un dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad 1 ̸= 0 que no tiene divisores de cero, es decir, si: a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0. Ejemplo: Z es un dominio de integridad. 4. Cuerpo: Un cuerpo es un dominio de integridad donde todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo, es decir: ∀a ∈ R, a ̸= 0, ∃a−1 ∈ R tal que a · a−1 = 1. Ejemplo: Q, R, y C. 5. Anillo con división (casi cuerpo): Un anillo con división es un anillo (no necesariamente conmutativo) en el que todos los elementos no nulos tienen un inverso multiplicativo. La diferencia clave con los cuerpos es que los anillos con división no requieren que el producto sea conmutativo. Ejemplo: el conjunto de matrices invertibles GL(n, R) forma un anillo con división. 6. Anillos no conmutativos: Un anillo es no conmutativo si el producto no satisface a·b = b·a para todos a, b ∈ R. Ejemplo: el anillo de matrices cuadradas M (n, R). Resumen de relaciones Todos los cuerpos son dominios de integridad. Todos los dominios de integridad son anillos conmutativos con identidad. No todos los anillos conmutativos tienen identidad. No todos los anillos tienen inversos multiplicativos (no todos son cuerpos). 31  TEMA 3: Espacios vectoriales. 1. Definición: Espacio Vectorial (V, +, ·) es un espacio vectorial si: 1. (V,+) es un grupo abeliano 2. (αβ)v = α(β · v) 3. (α + β)v = αv + βv ∀α, β ∈ R, v ∈ V 4. α(v1 + v2 ) = αv1 + αv2 5. 1 · v = v, ∀v ∈ V Ejemplo de espacio vectorial en R2 Consideremos el espacio vectorial V = R2 , que se define como: V = R2 = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}, donde cada elemento (x, y) está compuesto por dos coordenadas reales x y y. Operaciones en R2 : 1. Suma de vectores: Dados dos vectores (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 , la suma se define como: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ). Esto significa que la suma de dos vectores en R2 se realiza sumando las componentes corres- pondientes. 2. Elemento neutro aditivo: El neutro aditivo en R2 es: 0R2 = (0, 0), ya que para cualquier (x, y) ∈ R2 , se cumple: (x, y) + (0, 0) = (x, y). 3. Multiplicación por un escalar: Sea α ∈ R un escalar y (x, y) ∈ R2 , entonces el producto por un escalar se define como: α(x, y) = (αx, αy). Esto significa que multiplicamos cada componente del vector (x, y) por el escalar α. 32  4. Propiedad del escalar α = 1: Si tomamos α = 1, entonces para cualquier vector (x, y) ∈ R2 , se cumple: 1 · (x, y) = (x, y). Resumen de propiedades: R2 es un espacio vectorial porque cumple las propiedades asociadas a la suma y al producto por escalares. El neutro aditivo es 0R2 = (0, 0). El producto por escalares está definido de manera estándar, multiplicando cada componente del vector por el escalar. 1.1. Definición de subespacio. Definición de subespacio vectorial en V Sea V un espacio vectorial (sobre el cuerpo K = R o C) y sea U un cierto subconjunto de V. Se dice que U ⊂ V es subespacio vectorial de V si: 1. las operaciones de V también son operaciones para U , y 2. con estas operaciones, U es un espacio vectorial (sobre K). Caracterización de los subespacios. U ⊂ V es subespacio vectorial de V si, y sólo si: 1. U ̸= ∅, y 2. se verifica que: ∀ ū, v̄ ∈ U, λ, µ ∈ K =⇒ [λū + µv̄ ∈ U ]. Ejemplo. Un ejemplo de subespacio vectorial es el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que seis, que forma un subespacio del espacio vectorial de todos los polinomios (sobre K = R o C). 1.2. Subespacios tipos, propiedades: Subespacio de intersección: La intersección de cualquier subespacio de un espacio vectorial V, es a su vez un subespacio de V. Subespacio de combinaciones lineales: Es el conjunto de todas las combinaciones lineales, que resulta ser un subespacio de V. 1.3. Coordenadas de un vector Sea V un espacio vectorial de dimensión finita (sobre el cuerpo K = R o C) y sea B = (e1 ,... , en ) una base de V. 33 Decir que B = (e1 ,... , en ) es una base de V equivale a decir que cualquier vector x̄ ∈ V se puede expresar de manera única como combinación lineal de los vectores de B, es decir, existen unos únicos escalares x1 ,... , xn ∈ K tales que: n X x̄ = x1 e1 + · · · + xn en = xi ei (I) i=1 Se dice que (x1 ,... , xn ) es el sistema de coordenadas de x̄ en la base B y, para expresarlo, se suele escribir en lugar de (I): x̄(x1 ,... , xn ) o abreviadamente x̄(xi ). 1.3.1. Isomorfismo de coordenadas P A la vista de lo que se acaba de decir, se suele identificar cada vector x̄ = i xi ei (de V ) con el vector x̄∗ = (x1 , x2 ,... , xn ) de K n. Esta correspondencia x̄ 7→ x̄∗ (de V en K n ) es obviamente biyectiva y tal que, para λ, µ ∈ K: ū = λx̄ + µȳ se transforma en ū∗ = λx̄∗ + µȳ ∗. 1.4. Cambio de coordenadas En un espacio vectorial V (sobre el cuerpo K = R o C) se consideran dos bases B = (e1 ,... , en ) y B ′ = (e′1 ,... , e′n ), por lo que para cada vector x̄ ∈ V se dispone de dos sistemas de coordenadas: (x1 , x2 ,... , xn ) en B y (x′1 , x′2 ,... , x′n ) en B ′ (esto es, x̄ = i xi ei y x̄ = j x′j e′j ). Si se conoce e′j P P en función de B = (ei ), entonces se hallan con facilidad las (xi ) en función de las (x′j ); en concreto, se verifica que: n X e′j = qij ei (j = 1,... , n) i=1 n X xi = qij x′j (i = 1,... , n). j=1 En notación simbólica: E ′ = QE y en notación matricial: X = QX ′. A Q se le llama matriz de cambio de coordenadas; Q es regular. Notación matricial Se ha usado la notación matricial siguiente (en E y E ′ se deben tratar a los componentes ej y e′j como si fuesen escalares):             ′ ′ q11... q1n q11... q1n x1 x′1 e1 e′1 ..... ......  .  .  . . Q′ =  X′ =  E′ =   Q=.. ,. , X=. . .. .. .. . , . , E= . , . .   ′ ′ qn1... qnn qn1... qnn xn x′n en e′n 34 2. Suma de subespacios 2.1. Suma de varios subespacios En un espacio vectorial V (sobre el cuerpo K = R o C), se consideran varios subespacios U1 ,... , Up. Se llama suma de los subespacios Ui , para i = 1,... , p, al conjunto U1 + · · · + Up definido ası́: ( p ) X U1 + · · · + Up = ui | ui ∈ Ui. i=1 En particular: U1 + U2 = {u1 + u2 | u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 }. Esta suma es un subespacio vectorial de V ; es más, se trata del menor de los subespacios de V que incluye a todos los Ui. 2.2. Caso de suma directa Introducción. En el ejemplo anterior, un vector de la suma, como u = (3, 1, 2), se puede expresar como suma de dos vectores, uno de U1 y otro de U2 , de muchas maneras. Por ejemplo, si u1 = (0, 2, 0) ∈ U1 y u2 = (3, −1, 2) ∈ U2 , entonces: u = u1 + u2. Sin embargo, si hay una única manera de descomponer un vector en suma de elementos de U1 y U2 , esta descomposición se dirá que la suma es directa. Sea V un espacio vectorial (sobre el cuerpo K = R o C). Sean U1 ,... , Up subespacios de V. 3. Base de un Espacio Vectorial Dado un espacio vectorial (E, +, ·) con cuerpo de escalares K = R, recordamos que un subconjunto U ⊂ E es un generador de (E, +, ·) si   Xn  E = lin(U ) = λj uj | λj ∈ R, uj ∈ U, n ∈ N.   j=1 Además, se dice que U es un conjunto libre, o linealmente independiente (L.I.), si no es lineal- mente dependiente (L.D.), lo cual es equivalente a la siguiente propiedad: si una combinación lineal de elementos ui ∈ U (con i = 1, 2,... , n ∈ N) satisface que λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn un = 0E , entonces λ1 = λ2 = · · · = λn = 0. 35 3.1. Definición 1: Base Sea (E, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjunto B ⊂ E se dice que es una base (o base de Hamel) de (E, +, ·) si satisface las siguientes propiedades: (i) B es un conjunto generador del espacio vectorial; es decir, lin(B) = E. (ii) B es un conjunto L.I.; es decir, es linealmente independiente. Consideremos el espacio vectorial de todos los polinomios con coeficientes reales: ∞ ( ) X k R[x] = ak x | ak ∈ R, k ∈ N ∪ {0} , k=0 con la suma y el producto por un escalar usuales. Invitamos al lector a probar que el conjunto P = {xn | n ∈ N ∪ {0}} = {1, x, x2 , x3 ,... , xk , xk+1 ,... } es una base de (R[x], +, ·). En este caso, la base es un conjunto infinito enumerable. Observación 1 En estas notas se tendrá como foco principal los espacios vectoriales que admiten bases con un número finito de elementos. Ejemplo 1: Base canónica de Rn En (R2 , +, ·), el conjunto C2 = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} es una base. En efecto, todo vector (x, y) ∈ R2 se puede expresar como la combinación lineal: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), lo que muestra que C2 es un conjunto generador. De la misma manera, resulta que (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0) si y solo si x = y = 0. Por tanto, C2 es también L.I. La base C2 de R2 se llama base canónica. De manera más general, dado n ∈ N, el conjunto Cn = {e1 , e2 ,... , en }, donde e1 = (1, 0, 0,... , 0), e2 = (0, 1, 0,... , 0),... , en = (0, 0,... , 1), es una base de (Rn , +, ·), llamada la base canónica. Observación 2 Se puede mostrar que en todo espacio vectorial existe una base. En estas notas se justificará este resultado en el caso de espacios vectoriales que son finitamente generados. 36 4. Espacios Vectoriales Finitamente Generados y Dimensión Un espacio vectorial (E, +, ·) finitamente generado es aquel que posee un subconjunto U ⊂ E que genera el espacio vectorial y que está formado por un número finito de vectores, es decir, existen m∈Ny U = {u1 , u2 ,... , um } ⊂ E tales que lin(U ) = E. 4.1. Teorema 1 Si (E, +, ·) es un espacio vectorial finitamente generado, entonces E posee una base formada por un número finito de vectores. Demostración Sea U0 = {u1 , u2 ,... , um } ⊂ E \ {0E } un conjunto generador de E de m vectores. (1a) Si U0 es L.I., una vez que es generador por hipótesis, es una base de E y la demostración acabarı́a aquı́. (1b) En caso contrario, si U0 es L.D. Existe algún vector de U0 que es combinación lineal de los restantes. Retirando ese vector de U0 , obtenemos un conjunto U1 ⊂ U0 , con |U1 | = m − 1, tal que U1 continúa siendo generador de E. (2a) Si U1 es L.I. Una vez que es generador, es una base de E y la demostración acabarı́a aquı́. [(2b)] En caso contrario, si U1 es L.D. Existe algún vector de U1 que es combinación lineal de los restantes. Retirando ese vector de U1 , obtenemos un conjunto U2 ⊂ U1 , con |U2 | = m − 2, tal que U2 continúa siendo generador de E. Realizando sucesivamente este procedimiento, en un número finito de k pasos (0 ≤ k ≤ m − 1), se llega a un conjunto Uk ⊂ U tal que Uk tiene m − k vectores y es una base de E. Observe que el caso k = m − 1 (si se llegara a éste) significa que el proceso finaliza cuando apenas resta un único vector en E \ {0E }, que es L.I. El Teorema 1 nos dice que si partimos de dos conjuntos generadores diferentes de un mismo espacio vectorial (E, +, ·), podemos reducir cada uno de ellos a una base, pero no es claro que cada una de esas bases tenga el mismo cardinal. El objetivo principal de este apartado es mostrar que en un espacio vectorial finitamente generado, todas las bases tienen el mismo cardinal, es decir, siempre tienen el mismo número de vectores. Como punto de partida, establecemos una propiedad importante que satisfacen los conjuntos gene- radores de un espacio vectorial. 4.2. Lema 1 Sea (E, +, ·) un espacio vectorial. Si U = {u1 , u2 ,... , um } es un conjunto generador de E, entonces cualquier conjunto finito V = {v1 , v2 ,... , vn } ⊂ E con n > m es un conjunto L.D. (linealmente dependiente). 37 Demostración Como U es un conjunto generador, cada vector de V se escribe como combinación lineal de los vectores de U , es decir, v1 = a11 u1 + a21 u2 + · · · + am1 um , v2 = a12 u1 + a22 u2 + · · · + am2 um ,... vn = a1n u1 + a2n u2 + · · · + amn um , donde los escalares aij ∈ R (i = 1, 2,... , m y j = 1, 2,... , n). Dada una combinación lineal nula x 1 v1 + x 2 v 2 + · · · + x n vn = 0 E , con xj ∈ R (j = 1, 2,... , n), mostraremos que siempre existe algún xj ̸= 0. En efecto, a partir de las ecuaciones anteriores se tiene: x1 v1 = a11 x1 u1 + a21 x1 u2 + · · · + am1 x1 um , x2 v2 = a12 x2 u1 + a22 x2 u2 + · · · + am2 x2 um ,... xn vn = a1n xn u1 + a2n xn u2 + · · · + amn xn um. De la igualdad (2) y sumando cada miembro de las ecuaciones de (3) se tiene: 0E = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn = y1 u1 + y2 u2 + · · · + ym um , (4) donde los coeficientes yi (1 ≤ i ≤ m) verifican las igualdades: y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ,... ym = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn. (5) Si consideramos y1 = y2 = · · · = ym = 0 en (5), llegamos al sistema de ecuaciones lineales homogéneo: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0, a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0,... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, (6) que tiene n incógnitas xj (j = 1,... , n) y m ecuaciones. Como n > m, el sistema tiene infinitas soluciones; por tanto, existe solución (x1 , x2 ,... , xn ) ̸= (0, 0,... , 0) de (6). Esto significa, usando 38 (4), que existen combinaciones lineales que verifican (2) con algún coeficiente xj ̸= 0. Por tanto, el conjunto V es L.D. El Lema 1 implica de forma inmediata el resultado que enunciamos a continuación. Corolario 1 Sea (E, +, ·) un espacio vectorial. Si U = {u1 , u2 ,... , um } es un conjunto generador de E y V = {v1 , v2 ,... , vn } ⊂ E es un conjunto L.I., entonces n ≤ m. 5. Teorema 2 Si B = {v1 , v2 ,... , vm } y B ′ = {v1′ , v2′ ,... , vn′ } son dos bases distintas de un espacio vectorial (E, +, ·), entonces m = n. Demostración Teniendo en cuenta que B es un conjunto L.I. en E y que B ′ es un conjunto generador de E, el Corolario 1 implica en la desigualdad m ≤ n. De manera análoga, se concluye que n ≤ m. Por tanto, n = m. El Teorema 2 permite definir el concepto de dimensión de un espacio finitamente generado. 5.1. Definición 2: Dimensión Sea (E, +, ·) un espacio vectorial finitamente generado. Se denomina dimensión de E al número de vectores de una base de E. Este número se denota por dim E. 6. Teorema 3 Sea (E, +, ·) un espacio vectorial de dimensión finita dim E = n. Las siguientes afirmaciones son válidas: (a) Todo conjunto U = {u1 , u2 ,... , um } ⊂ E que sea L.I. está contenido en una base. (b) Todo subespacio vectorial F ⊂ E tiene dimensión finita y dim F ≤ n. (c) Si F ⊂ E es un subespacio vectorial con dim F = n, entonces F = E. Demostración Comenzamos por (a). Sea Ue = {u1 , u2 ,... , um , um+1 ,... , uk } un conjunto L.I. con el número máximo posible de vectores L.I. (Por el Corolario 1 se tiene que k ≤ n). Si existiese algún vector v ∈ E que no sea combinación lineal de los vectores de Ue , entonces el conjunto Ue ∪ {v} serı́a L.I. y tendrı́a k + 1 vectores, lo que contradice la maximalidad de k. 39 Prueba de (b) Sea U = {u1 , u2 ,... , um } ⊂ F un subconjunto de F que es L.I. y tiene el número máximo posible de vectores. Entonces U genera F , pues en caso contrario, si algún elemento v ∈ F no fuera combinación lineal de los vectores de U , el conjunto Ue = {u1 , u2 ,... , um , v} ⊂ F serı́a L.I., contradiciendo la maximalidad de m. Entonces, U es una base de F y además m ≤ n, pues ningún conjunto con más de n elementos en E puede ser L.I. (ver Lema 1). Prueba de (c) Si dim F = dim E = n, entonces toda base B de F es un subconjunto L.I. con n vectores en E. Ası́, B es un generador de E, pues en caso contrario, si algún elemento v ∈ E no fuera combinación lineal de los vectores de B, el conjunto B ∪ {v} serı́a un conjunto L.I. con n + 1 vectores en E, lo que es imposible por el Lema 1. 7. Coordenadas de un Vector y Matriz de Cambio de Base Si (E, +, ·) tiene una base B = {v1 , v2 ,... , vn } formada por un número finito de vectores, entonces cada vector v ∈ E se puede expresar de manera única como una combinación lineal de esa base. En efecto, si suponemos la existencia de dos combinaciones lineales distintas: n X v= λi vi = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn , i=1 n X v= λ′i vi = λ′1 v1 + λ′2 v2 + · · · + λ′n vn , i=1 haciendo la diferencia de ambas representaciones se tendrı́a que n X 0E = v − v = (λi − λ′i )vi = (λ1 − λ′1 )v1 + (λ2 − λ′2 )v2 + · · · + (λn − λ′n )vn. i=1 Como B es L.I., se tiene que λ1 − λ′1 = λ2 − λ′2 = · · · = λn − λ′n = 0, es decir: λ1 = λ′1 , λ2 = λ′2 ,... , λn = λ′n. 8. Coordenadas de un Vector y Matriz de Cambio de Base 8.1. Definición 3: Coordenadas de un Vector Sea (E, +, ·) un espacio vectorial de dimensión finita n y B = {v1 , v2 ,... , vn } una base de E. Dado un vector v ∈ E, las coordenadas de v en la base B es el vector de escalares [v]B ∈ Rn establecido 40 por la combinación lineal de v en esa base: v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn. Por conveniencia, representaremos [v]B como un vector columna, es decir:  λ1  λ2    .. . [v]B =   .  λn Cuando se consideran dos bases distintas B = {v1 , v2 ,... , vn } y B ′ = {v1′ , v2′ ,... , vn′ } de un espacio vectorial (E, +, ·), las coordenadas de un vector v ∈ E en cada una de las bases están relaciona- das a través de una matriz Q ∈ Mn×n (R) denominada matriz cambio de base. Explicamos a continuación esta relación. Si   λ1  λ2    [v]B =  ..   .  λn y λ′1    ′  λ2  [v]B ′ = ..   .  λ′n son las coordenadas de v en las bases B y B ′ , respectivamente, entonces n X v= λj vj = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn , j=1 n X v= λ′i vi′ = λ′1 v1′ + λ′2 v2′ + · · · + λ′n vn′. (7) i=1 Escribimos cada vector de la base vj de la base B como combinación lineal de la base B ′ : n X vj = aij vi′ = a1j v1′ + a2j v2′ + · · · + anj vn′ , (j = 1, 2,... , n). (8) i=1 A partir de (8) se deducen las siguientes igualdades: n X λ j vj = aij λj vi′ = a1j λj v1′ + a2j λj v2′ + · · · + anj λj vn′ , (j = 1, 2,... , n). (9) i=1 41 De (7) y sumando las igualdades de (9) se tiene: !   n X n X n X n X n X n X v= λ′i vi′ = λj vj = aij λj vi′ =  aij λj  vi′. (10) i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 De donde se concluyen las igualdades: n X λ′1 = a1j λj = a11 λ1 + a12 λ2 + · · · + a1n λn , (i = 1) j=1 n X λ′2 = a2j λj = a21 λ1 + a22 λ2 + · · · + a2n λn , (i = 2) j=1... n X λ′n = anj λj = an1 λ1 + an2 λ2 + · · · + ann λn , (i = n). (11) j=1 Notamos ahora que (11) tiene la siguiente representación matricial: λ′1      a11 a12... a1n λ1  ′   λ2   a21 a22... a2n   λ2    [v]B ′ ..  = .. =....  .  = Q · [v]B ,..  (12)     .  ....  ..  λ′n an1 an2... ann λn donde Q = (aij ) ∈ Mn×n (R) es la matriz cambio de base de la base B para la base B ′. Para indicar que estamos expresando el cambio de B para B ′ usamos la simbologı́a QB→B ′. Observamos además que la columna j de la matriz Q está formada por los coeficientes de la combinación lineal en (8) para el respectivo valor de j, por lo que esa es la manera práctica de construirla. 8.2. Definición 4: Matriz Cambio de Base La matriz Q = (aij ) ∈ Mn×n (R) es denominada matriz cambio de base de la base B para la base B ′. Para indicar que estamos expresando el cambio de B a B ′ , usamos la simbologı́a QB→B ′. 42  TEMA 4: Aplicaciones lineales 1. Definición y primeras propiedades: Sean dados dos espacios vectoriales V y W ambos sobre el mismo cuerpo K = R o C y una aplicación de la forma f : V → W. Definición: Se dice que f : V → W es una aplicación lineal o homomorfismo si se cumple la siguiente condición: f (λu + µv) = λf (u) + µf (v) ∀u, v ∈ V ; ∀λ, µ ∈ K (1) Observación: Dicha condición es sustituible por la siguiente condición: (CONDICIÓN USADA POR ADÁN) f (u + v) = f (u) + f (v) ; f (λu) = λu Propiedades: Si f : V → W , entre espacios vectoriales entonces podemos verificar que: 1. U subsespacio de V =⇒ f(U) es subespacio de W 2. Z subespacio de W =⇒ f −1 (Z) es subespacio de V 3. Si tenemos el conjunto {ui } (de vectores linealmente dependientes de V), donde {ui } =⇒ f({ui }) es un sistema de vectores linealmente dependientes de W. 4. {ui } ⊆ V,U = lin{(ui )} =⇒ lin{V } =⇒ f(U) = lin{f (ui )} 5. Si f : V → W y g : W → U son lineales =⇒ g ◦ f : V → U es lineal. 6. f (0V ) = 0W , 7. f (−u) = −f (u) ∀ u ∈ V , 8. f (u − v) = f (u) − f (v) ∀ u, v ∈ V. Demostración de las tres últimas propiedades: Usando las propiedades del espacio vectorial W y la linealidad de f , se tiene f (0V ) = f (2 · 0V ) = 2f (0V ), 43 luego f (0V ) = 2f (0V ) − f (0V ) = 0W , con lo que queda probado (1). Las propiedades (2) y (3) se dejan como ejercicio. 1.1. Conjunto de las aplicaciones lineales: Denotaremos por L(V ; W ) el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W ; o sea, L(V ; W ) = {f : V → W | f es lineal}. (1) Adoptaremos la siguiente notación simplificada: L(V ) = L(V ; V ) (caso en que V = W ), V ∗ = L(V ; R) (recibe el nombre de espacio dual de V ). Observación: L(V ; W ) es un espacio vectorial con las operaciones definidas a continuación. Dados f, g ∈ L(V ; W ) y α ∈ R: (f + g)(u) = f (u) + g(u), ∀u ∈ V , (αf )(u) = αf (u), ∀u ∈ V. 1.2. Terminologı́a empleada: Adoptaremos la siguiente terminologı́a: f es isomorfismo lineal si es biyectiva. Lo podemos explicar como, que para que sea isomor- fismo lineal se deben de cumplir una de estas dos condiciones: 1. Im f = W y ker f = 0 2. dim V = dim (Im f) = dim W (si las dimensiones son finitas) f es endomorfismo lineal si E = F. f es automorfismo lineal si es biyectiva y E = F. f es una forma lineal si F = R. f es una aplicación lineal inyectiva si se cumplen las siguientes condiciones 1. ker (f) = 0 2. dim(Im f) = dim(V) 3. (e1 , e2 ,..., en ) es una base de V =⇒ f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ) es una base de f(V) 44 1.2.1. Propiedades de los isomorfismos: Proposición. Si f : V → W y g : W → U son isomorfismos =⇒ gof : V → U Si f : V → W es un isomorfismo =⇒ f −1 : W → V también lo es Si V y W son espacios de dimensión finita entonces serán isomorfos ⇐⇒ tienen la misma dimensión (si y solo si) 1.3. Ejemplos a tener en cuenta: Ejemplo 1 (Aplicación Identidad). Un endomorfismo lineal de L(V ) que es especial es la apli- cación identidad: I : V → V, u 7→ I(u) = u. Cuando sea necesario mayor precisión, escribiremos IV en lugar de I. Ejemplo 2 (Formas Lineales). Si f ∈ (R2 )∗ = L(R2 , R), o sea, f : R2 → R es lineal, entonces existen números a, b ∈ R tales que f (x, y) = ax + by. En efecto, considerando la base canónica C2 = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} de R2 , basta tomar a = f (e1 ) y b = f (e2 ), pues debido a la linealidad de f , se tiene: f (x, y) = f (xe1 + ye2 ) = xf (e1 ) + yf (e2 ) = ax + by. De manera análoga, si f ∈ (Rn )∗ = L(Rn , R), entonces existen números ai ∈ R (1 ≤ i ≤ n) tales que n X f (x1 , x2 ,... , xn ) = ai xi = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn. i=1 para todo (x1 , x2 ,... , xn ) ∈ Rn. Ejemplo 3. Si f ∈ L(Rn , Rm ), entonces para todo u = (x1 , x2 ,... , xn ) se tiene f (u) = (f1 (u), f2 (u),... , fm (u)), tal que cada fi : Rn → R, con 1 ≤ i ≤ m, es lineal. Por tanto, fi ∈ (Rn )∗ para todo 1 ≤ i ≤ m; o sea, fi (u) = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn , 1 ≤ i ≤ m, donde aij ∈ R. 45 2. Núcleo e imagen: Sea f : V → W una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K = R o C. Se le llama núcleo de f Ker(f) o Nuc(f), e imagen de f a Im(f): 2.1. Núcleo. Definción: ker(f ) = {v ∈ V | f (v) = 0} (2) Dónde el núcleo es subespacio de V. 2.2. Imagen. Definción: Im(f ) = {w ∈ W | w = f (v) para algún v ∈ V }. (3) = {f (v) | v ∈ W } (4) Dónde la imagen será subespacio de W. 2.3. Teorema del Núcleo y de la imagen: Para saber la dimensión del kernel sabiendo la de la imagen y el espacio de salida, podemos usa