Introducción a la Matemática PDF

Introducción a la Matemática Compilador Juan Lancioni Autores Juan Lancioni l Nilda Dumont Carreras Contador Público Lic. en Administración de Empresas Ingeniería en Sistemas...

Introducción a la Matemática Compilador Juan Lancioni Autores Juan Lancioni l Nilda Dumont Carreras Contador Público Lic. en Administración de Empresas Ingeniería en Sistemas Ingeniería Mecánica Ingeniería Civil Ingeniería en Computación Ingeniería Industrial Ingeniería Electrónica  Haciendo CLICK AQUÍ puedes acceder a a colección completa de más de 3.500 libros gratis en infolibros.org l Rector Dr. Alfonso José Gómez S.J. Vicerrector Académico Dr. Diego Osvaldo Fonti Vicerrector de Economía Dr. Jorge Orlando Pérez Vicerrector de Medio Universitario Esp. Arturo Eduardo Sandiano S.J. Coordinación y Asesoramiento pedagógico Gabriela Eugenia Giordanengo Mónica Binimelis Corrección de estilo Verónica Miriam Alvarez Diseño gráfico María Celeste Kulifay Estimados alumnos, bienvenidos a la Universidad Católica de Córdoba. Para comenzar esta nueva etapa de estudiantes universitarios, compartiremos estas clases donde vamos a recordar algunos conceptos de la matemática elemental para contar con herramientas que les permitan afrontar desafíos que se les presenten en el futuro. Pretendemos acompañarlos en la recuperación de estos conocimientos previos y que descubran el para qué y porqué de los mismos, y su aplicabilidad en las diferentes áreas del conocimiento de la carrera universitaria que los formará como futuros profesionales de “Ciencia, Conciencia y Compromiso”. Hemos elaborado estas clases comenzando desde un nivel elemental, el cual se irá complejizando a medida que avancemos. También hemos pensado en ayudarlos con algunos interrogantes para recordar conceptos y modos de trabajar, por lo que es fundamental que leamos con detenimiento y esmero cada una de las consignas y/o ejercicios. Estamos seguros que abordando este material con responsabilidad y esfuerzo, se pueden resolver por cuenta propia las actividades de cada clase y así autoevaluarse con las respuestas correspondientes y reconocer las propias capacidades. Lo importante es el trabajo individual para analizar y resolver los temas propuestos. Esto permitirá recuperar razonamiento lógico, hábitos de estudio, habilidad en el manejo de resolución de problemas y lenguaje apropiado. Puede suceder que la primera vez que se trate de resolver un ejercicio o problema, no se logre llegar al resultado correcto, no hay que desanimarse, sino comenzar de nuevo, y confiar en sí mismo. El camino lo haremos juntos, ¡estamos para acompañarlos! Les compartimos un lindo pensamiento para que reflexionemos: “Si das pescado a un hombre hambriento, lo alimentas por un día. Si le enseñas a pescar lo alimentarás para toda la vida”. Lao Tsé (s. IV a.c.) Todo el equipo de docentes que los acompañará en estos días está inspirado en ese pensamiento. Finalmente, queremos agradecer a todas aquellas personas que confiaron en nosotros para este desafío. En primer lugar a las autoridades de la Universidad y en particular a las autoridades de las Facultades correspondientes. Como conformamos un equipo de profesionales que nos guiaron y corrigieron este trabajo, para ellos también un merecido reconocimiento, como así para los docentes involucrados en esta labor por su apoyo incondicional. ¡¡¡Suerte chicos, y adelante que confiamos en sus capacidades!!! NILDA ELSA DUMONT - TITULOS - ∎∎ BIOQUÍMICA - 1975 Facultad de Ciencias Químicas. Universidad Nacional de Córdoba. ∎∎ MASTER BUSSINESS ADMINISTRATION - 2001 ESADE. España. - ACTIVIDADES ACADÉMICAS Y PUBLICACIONES - Docente de Matemática I y Matemática II, en la Facultad de Ciencias Químicas. U.N.C. 1973-1994. Docente de Análisis Matemático I y Análisis Matemático II, en la Facultad Regional Córdoba. U.T.N. 1985-1998. Docente de Análisis Matemático, en la Facultad de Ciencias Económicas y de Administración. U.C.C. 1975-Continuo. Docente de Matemática I, Matemática II y Bioestadística, en la Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C. 1995-Continuo. Docente de Estadística en post grado, en la Maestría en Alimentos. Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C. 1998-1999-2001. Miembro de la Comisión de Autoevaluación para CONEAU. Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C. 2004-2008-2014. Coordinadora de Área Básica. Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C.1998- hasta la actualidad. Coordinadora Área Matemática. Facultad de Ciencias Económicas y de Administración. U.C.C. 1986-2001. Miembro del consejo de Profesores. Facultad de Ciencias Económicas y de Administración. U.C.C. desde 2004- hasta la actualidad. Autora del libro “Introducción a la Matemática. Aprendiendo a pensar”. 1ª Ed. 2005. Córdoba. ISBN: 987-43-9591-5. Autora del libro “Introducción a la Matemática. Aprendiendo a pensar”. 2ª Ed. 2010. Córdoba. Editorial Universidad Católica de Córdoba, 2011.ISBN: 978-987-626-006-0. JUAN NOLBERTO LANCIONI - TITULOS - ∎∎ INGENIERO CIVIL - 1987 Facultad de Ingeniería. Universidad Católica de Córdoba. ∎∎ ESPECIALISTA EN DOCENCIA UNIVERSITARIA - 2000 Facultad Regional Córdoba. Escuela de Cuarto Nivel. Universidad Tecnológica Nacional. ∎∎ MAGISTER EN DOCENCIA UNIVERSITARIA - 2011 Facultad Regional Córdoba. Dirección de Posgrado de la Universidad Tecnológica Nacional. - ACTIVIDADES ACADÉMICAS Y PUBLICACIONES - Profesor universitario en el área de Física y Matemática, en la Universidad Católica de Córdoba. 1988-Continuo. Docente universitario de Física I, en la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Córdoba. 2009-Continuo. Secretario Técnico de la Facultad de Ingeniería, en la Universidad Católica de Córdoba. 2002 – 2005. Secretario Académico de la Universidad, en la Universidad Católica de Córdoba. 2006 - 2007. Miembro de la Comisión de Evaluación Periódica del Personal Docente de Ingeniería, de la Universidad Católica de Córdoba. 2012. Miembro del Consejo de Profesores de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Católica de Córdoba. 2002-2003 y 2010-2014. Miembro de la Comisión de Seguimiento y Revisión del Plan de Estudios de la carrera de Ingeniería en Computación, en la Universidad Católica de Córdoba. 2014-Continuo. Miembro de un grupo de investigación en el marco de la Maestría de Docencia Universitaria de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Córdoba, Escuela de Cuarto Nivel. 2008-2011. Co-autor del libro “Álgebra Elemental / Alfredo Soletti… [et.al.]”, 2ª Ed. Córdoba: Editorial Universidad Católica de Córdoba, 2011, ISBN 978-987-626-156-2. Co-autor del libro “Ingreso a la Educación Superior Universitaria, Docencia y Currículo por Competencias / María Carolina Ávila… [et.al.]”, compilado por María Carolina Ávila y Enrique Bambozzi. 1ª. Ed. Córdoba: Ediciones del Copista, 2011, ISBN 978-987-563-301-8.Córdoba 2010-2011. Capítulo nº 7, páginas 105 a 129.  Sobre la utilización de este material. Iconografía Importante Texto de profundización Actividad Bibliografía Para pensar y reflexionar Actividad individual Unir conceptos Relacionar  Clase 1 Números Reales y operaciones matemáticas básicas Objetivos específicos: ∎∎ Recuperar los conceptos fundamentales del álgebra elemental. ∎∎ Internalizar las reglas de los signos. ∎∎ Afianzar la destreza en resolución de ejercicios y problemas sencillos. ∎∎ Utilizar la terminología adecuada. ∎∎ Interpretar consignas. ∎∎ Lograr la estima entre compañeros y docente. Contenidos de la Clase: ∎∎ Conjuntos numéricos – Los números reales. ∎∎ Operaciones aritméticas básicas. ∎∎ Suma, resta, producto y cociente. ∎∎ Potencia y radicación. ∎∎ Símbolos de comparación. ∎∎ Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. ∎∎ Ejercicios y problemas. Esquema conceptual de la vinculación de los contenidos de la Clase 1: Programa de Ingreso - UCC 9  Conjuntos numéricos los números reales Iniciemos la clase 1 recordando qué es un conjunto: “es una colección de objetos, cada uno de los cuales recibe el nombre de elemento del conjunto”. Si esos elementos son números, entonces se los denomina “conjuntos numéricos”. Los números reales 0, 1, 2, 3, etc. se denominan números naturales N. Son los que habitualmente usamos para contar. Para su representación gráfica se utiliza una recta donde se considera un punto cualquiera como el origen 0 (cero) y se utiliza un segmento arbitrario como unidad. 0 1 2 3 Cabe aclarar que algunos autores no consideran el cero (0) dentro del conjunto de los números naturales y otros sí, lo incluyen. Nosotros adoptamos la segunda posición, es decir, incluir el cero (0) dentro del conjunto de los números naturales: “Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es otro número natural. Por ej: 8 + 5 = 13 9 ⋅ 3 = 27 En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ej: 8−3 = 5 9÷3 = 3 son números naturales, pero: 5 − 8 =... 2 ÷ 7 =... no dan como resultado un número natural”. (Arya -Larder, 2009) Para salvar esta dificultad se extiende el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros Z, en donde se les agrega a los naturales los enteros negativos, es decir, los naturales precedidos por el signo menos. Si utilizamos la misma recta anterior, y teniendo en cuenta que cada número negativo equidista del origen, respecto de su correspondiente número natural, podemos representarlos de la siguiente manera: Programa de Ingreso - UCC 10 -2 -1 0 1 2 Si bien con esto se resuelve que la suma, multiplicación o resta de dos enteros cualesquiera es otro entero, ¿qué ocurre con la división?. Por ejemplo: 8 ÷ ( −4) = −2 9 ÷ 7 =... Esta limitación la podemos salvar incorporando nuevos números como los números racionales Q. Se definen a los números racionales como fracciones periódicas o no periódicas; o también como el cociente de dos números enteros, a/b, en donde: “a” y “b” siendo enteros, representan el numerador y el denominador de esa fracción. Por ejemplo: 3 8 −2 1 ;− ; ; ; etc. 4 3 9 3 Pero cuidado, ¡“b” debe ser siempre distinto de cero! Cuando en las divisiones de números enteros, el dividendo no es múltiplo del divisor, surge este nuevo conjunto. Un número fraccionario también puede escribirse como una expresión decimal. Ésta puede ser finita o infinita. Esto es: 1 Expresión decimal finita. = 0,25 4 1 = 0,333... Expresión decimal infinita. 3 Estos números fraccionarios pueden representarse sobre la recta, construyendo las fracciones sobre la misma, como se muestra a continuación. Recordemos que el numerador de la fracción indica la cantidad de unidades que debe tomar sobre la recta y el denominador la cantidad de particiones que se debe realizar sobre ese segmento: “Estos números son muy usados a la hora de medir longitudes, pesos, voltajes, etc. ¿Sirven los números racionales para medir todas las magnitudes? La respuesta es, no. Este sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos Programa de Ingreso - UCC 11 griegos varios siglos antes de Cristo. Demostraron que a pesar de que mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes unitarias, no pueden escribirse como el cociente de dos números enteros. Por lo tanto no es un número racional, si no irracional”. (Purcell- Varberg, 1993) Entonces los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, como por ejemplo: y una gran cantidad de números más. Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como fracciones periódicas o no periódicas, con lo cual tienen infinitas cifras decimales y sin embargo no forman período. Estos números también pueden ser graficados en la recta, intercalándose entre los números racionales, formando un conjunto bastante denso. El conjunto de números racionales junto con el conjunto de números irracionales forman el conjunto de los números reales R, que representados gráficamente se corresponden con todos los puntos de la recta. Puede recordar una correspondencia biunívoca que dice: a cada número real le corresponde un punto sobre la recta y viceversa, a cada punto en la recta le corresponde un número real. Una característica del conjunto de número reales es que éstos conforman un conjunto denso, es decir que entre un número real y otro, existen infinitos números. Todos estos números conforman el conjunto de los números reales. A modo de síntesis podemos decir: También existen los números complejos que completan todo el sistema de números que utilizaremos a lo largo de este curso. Recordemos que los números complejos están formados por una parte real y otra imaginaria. Por ejemplo: Para poder graficarlos se necesita de los ejes de coordenadas cartesianas. Sobre el eje “x” (abscisa) se determina el componente real y sobre el eje “y” (ordenada) el coeficiente imaginario. La intersección de ambos valores muestra el punto correspondiente al número complejo. Observa el gráfico: Programa de Ingreso - UCC 12 En algunas ecuaciones de segundo grado suelen presentarse estos números complejos como raíces de la ecuación cuando el discriminante de la fórmula correspondiente es negativo. ¡Este tema que abordaremos más adelante! Para pensar y reflexionar Ahora la pregunta es: ¿todos estos conjuntos numéricos son importantes en Matemática? Si la respuesta es sí, es que nos estamos amigando con esta ciencia formal y de hecho, ¡haremos uso de ellos en todo momento, si hacemos camino en alguna carrera de Ingeniería o de Ciencias Económicas! ¿Vamos por más? OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS Se entiende por operaciones básicas: la suma, la sustracción, el producto y el cociente, aunque no son las únicas. Lo que debe tener presente en cada caso son las reglas de los signos correspondientes, que se detallan y especifican a continuación: ∎∎ Un signo (+) que precede a un paréntesis, corchete o llave, no cambia los signos interiores. Por ej: − 3 + ( 4 + 7 ) = −3 + 4 + 7 = 8 ∎∎ Un signo (-) que antecede a un paréntesis, corchete o llave, cambia los signos interiores. Por ej: − 3 − (− 4 + 8) = −3 + 4 − 8 = −7 El siguiente ejercicio plantea las operaciones básicas (suma y resta) con el conjunto de los números enteros: − 6 − {2 + [− 9 + 4 − (− 7 + 1) − 2] } + 5 = Observemos cómo fue resuelto: Programa de Ingreso - UCC 13 IMPORTANTE: para llegar al resultado final, primero debemos eliminar los paréntesis, luego los corchetes y por último la llave; en ese orden, para no cometer errores. También podemos calcular el resultado parcial de los elementos encerrados en el paréntesis, respetando el signo que lo antecede, y así sucesivamente con el corchete y llave. Observemos el ejemplo: Para resolver los siguientes ejercicios elegiremos la manera con la que nos sintamos más seguros. Usaremos las respuestas para la autoevaluación. Actividad En el caso del producto, se cumple: Por ejemplo: Programa de Ingreso - UCC 14 Para el cociente, se cumple: Por ejemplo: Otros ejemplos de operaciones sencillas 2  1  14 − 3 11 2 3 2 + −  = = ⋅ = 3  7 21 21 9 5 15 4  1  32 + 3 35 1 14 2 − −  = = − ⋅ =− 3  8 24 24 7 3 3 Para los dos últimos ejemplos de productos de fracciones, es aconsejable simplificar numeradores con denominadores (si se puede) y luego operar aritméticamente. Observemos en los dos siguientes ejemplos como un cociente de fracciones, o una fracción de fracción, se puede resolver transformando el cociente en un producto, multiplicando por la recíproca del denominador. 4 4 8 3 4 3 1 ÷ = = ⋅ = 3 3 8 3 8 2 3 1 1 1 1 − ÷4 = − ⋅ = − 3 3 4 12 Importante Es fundamental recordar el orden de las operaciones. Los paréntesis indican prioridades, las multiplicaciones o divisiones también. El pasaje de términos de un lado a otro del signo igual es también importante y es la causa más frecuente de errores. En operaciones de suma y resta, si un término cambia de miembro, cambia el signo de la operación. En operaciones de multiplicación o división, si un término cambia de miembro, cambia la operación. Programa de Ingreso - UCC 15 Analicemos a continuación varios ejemplos válidos y no válidos: 2 ⋅ (4 + 6) = 2 ⋅ (10) = 20 ( 3 ⋅ ( −2)) + 4 = −6 + 4 = −2 En estos ejercicios conviene separar en términos a la hora operar matemáticamente: 7−3 4 −2= −2=0 2 2 (2 ⋅ 3) − 12 = 6 − 4 = 2 3 Si se trata de transponer términos: 7 + (− 2 ) = 5 o bien 7 = 5 + 2 o bien: 8 − 2 = 3 es lo mismo que: 8 − 2 = 3 ⋅ 4 4 2 2 1 7 7 2+ = pero no vale hacer: 2 + 1 ≠ ⋅3 3 3 3 Observemos detenidamente el siguiente ejemplo y nuevamente notaremos la importancia del uso de paréntesis y/o corchetes. Recordemos que no se debe escribir dos signos seguidos. Estos deben estar separados por alguna de estas herramientas: paréntesis, corchetes, etc. 72: [18 + ( −2).3] − [ 4. ( −5) − 9:3] = 72: [18 − 6] − [ −20 − 3] = [ 72:12] − [ −23] = 6 + 23 = 29 Los siguientes ejercicios combinan todas las operaciones elementales con los conjuntos de números presentados hasta ahora. No olvidemos respetar todos los conceptos anteriores para lograr el resultado correcto. Como en los ejercicios anteriores, usaremos las respuestas para autoevaluarnos. Programa de Ingreso - UCC 16 Actividad Para pensar y reflexionar Hemos avanzado hasta esta instancia; nos podemos formular otra pregunta: ¿existen otras operaciones básicas del álgebra elemental que se pueden realizar con los conjuntos numéricos? Si la respuesta es afirmativa, ¡podemos seguir avanzando! POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Las operaciones de bastante relevancia usando números reales tienen que ver con raíces y potencias. En general algunas de las propiedades más usadas son: a m ⋅ a n = a m+n (a )m n = a m⋅ n (a.b )n = an ⋅ bn n am 1 1 = a m−n a −n =  = n an a a a0 = 1 0 0 = ind. matematica n a ⋅b = n a ⋅ n b a n a n = b n b Importante Tanto la radicación y como la potenciación no son distributivas respecto de la suma o resta. Programa de Ingreso - UCC 17  n a+b ≠ n a +n b n a −b ≠ n a −n b (a + b )n ≠ an + bn (a − b )n ≠ an − bn Otra propiedad muy importante que vincula la potenciación con la radicación es: m a n = n am Entonces, toda potencia fraccionaria se trasforma en raíz y viceversa. También en estas operaciones es conveniente recordar ciertas reglas de los signos que se aplican para cada caso: ( −) par = ( +) par ( +) = ( +) ( +) par = ( +) par ( −) = num.imaginario ( −) impar = ( −) impar ( +) = ( +) ( +) impar = ( +) impar ( −) = ( −) Veamos los siguientes ejemplos: 6 4 = (2 ⋅ 3) = 2 4 ⋅ 34 4 32 = 3 ⋅ 3 = 9 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 43 = 4 3− ( − 2 ) = 4 3+ 2 = 4 5 4 −2 (3 ) 3 2 = 33⋅2 = 36 1 9 2 ⋅ 9 −3 = 9 −1 = 9 1 (2 ) −2 3 = 2 −6 = 26 ( ) 3 3 16 = 4 16 3 = 4 4 16 = 23 = 8 (− 2)2 = (− 2) ⋅ (− 2) = 4 3 − 8 = −2 5⋅5 = 5 4 − 16 = −2i 4 16 = 2 Programa de Ingreso - UCC 18 Importante “Aunque 2 y -2 son raíces cuadradas de 4, la raíz cuadrada principal de 4 es 2, no -2”. (Haeussler-Paul, 1997). Por lo tanto: 4 =2 Actividad En base a los ejemplos brindados en el párrafo anterior, resolveremos los siguientes ejercicios. Las respuestas las utilizaremos para autoevaluarnos. SÍMBOLOS DE COMPARACIÓN Con estos símbolos se forman desigualdades y tienen mucho uso para realizar comparaciones. Básicamente estos símbolos son cuatro: > mayor; < menor; > mayor e igual; < menor e igual. Por ejemplo: Más adelante trabajaremos con desigualdades al solo efecto de comparar un miembro con otro de la desigualdad. En un curso de Matemática del grado, es decir, en primer año de nuestra carrera nos propondrán transponer elementos de un miembro a otro de una desigualdad y para ello nos ofrecerán las reglas pertinentes. Programa de Ingreso - UCC 19 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO En los conceptos de M.C.D. y m.c.m., se utiliza la descomposición de números en sus factores primos. Las definiciones en cada caso son: M.C.D.: es el producto de los factores primos comunes elevados al mínimo exponente. m.c.m.: es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al máximo exponente. A modo de ejemplo, se pide calcular el M.C.D. y el m.c.m. entre los números: 48, 280 y 720. Programa de Ingreso - UCC 20 ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE LA CLASE 1 1 3 5 1→ 3− − + = 3 4 6 11 R: 4 1 2 − 2 → −4 + 3 5+4= 3 3 2 122 R:− 45   5 4  3→ 2− + + 3 = 3 2+ 1   3  92 R:− 21 2    5  4 → (4 − 3) +  2  +4= 1− 2  3    3 682 R: 3 1 1 5→ + = 3 5 2+ 11 4 R: 5 2  1  2 1 6 → 4⋅−  +  −  =  3  5 4 107 R: 180 Programa de Ingreso - UCC 21  2  1 3  2  7→ ÷ −  + ⋅−  = 3  3 4  9  13 R:− 6  1 3  5  1   1 1 8 → −1 − − + + −2 + −  − 1  −  − =  2 4  6  3   6 3 11 R:− 12   1  3  ⋅ 1 +  3  1 −  4 − 1 = 9→   3 1 3  2⋅ +  2 3 − 1  4 2 12 R:− 25 2  3 1  5 10 →  ⋅  ÷ −  =  5 6  4 1 R:− 75 1 2 1 3 1+ − 1− 11 → 3⋅ 3 5− 1 ÷ 4 = 1 1 1 1 1 ⋅ 2+ 5+ 9+ 4 5 3 9 5 26 R: 15  15 1   − 71 12 → 3  4 5 ÷  ⋅ 100 + 43 =  1 3  20  R:7 −2    1  1−   1 2−  2 13 →  = 1     1+ 2   2 1 −   3 225 R: 4 Programa de Ingreso - UCC 22  5 1 4⋅ − 14 → 4 5 = 11 4 4⋅ + 10 25 R :1 3 16 1− ÷5 1 2 1 5 15 → ⋅ + ÷ = 2 13 5 5 −2 2− 9 11 R:− 25 5 1 − 3 6 ⋅ 10 16 → 3 −2 = 3 1  3  2 3 −1+   + 4 8 2 3 R : −3 1 3 7 + 17 → 2 4 − 2 = 1 3 7 − 4 2 4 R : −3 3  3 2   3 4 18 →     ÷   =  5    5    9 R: 25 2  1 1 5 19 → 3  +  ⋅ =  2 3 6 5 R: 6  2   2 20 →  − 1 ⋅  1 −  ⋅ ( −1) = 3   3 1 R: 3 −7 −5  5  5 21 →   ÷  =  3  3 9 R: 25 12 3 3 1 50 3 22 → ÷ − ⋅ − + = 5 5 7 6 7 14 R:−3 Programa de Ingreso - UCC 23  −2  7 3 1   5  − −  ⋅ 1 −   5 5 2   6 23 → = −2  1 2 3 ( −3) ⋅  −  ⋅ ⋅6  3 3 9 R:− 10 24. Un obrero puede hacer un trabajo en 10 días, otro en 9 y un tercero en 5. ¿Qué parte del trabajo pueden hacer los tres juntos en un día? R: 37/90 25. Una persona gastó 1/5 y luego 2/3 de una suma de dinero. ¿Qué parte del total gastó y que parte le queda? R: 13/15; 2/15 26. Se vendió las 3/4 partes de un lote de mercadería, y luego la cuarta parte del resto. ¿Cuánto queda aún? R: 3/16 27. Un obrero que debe abrir una zanja de 65 metros de largo, hizo primero los 2/13 de la misma y luego el duplo de lo ya hecho. ¿Qué longitud debe abrir aún? R: 35 metros 28. ¿Cuántos días hay en los 3/5 de una año de 365 días? R: 219 días 29. Obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre los números: a) 81 540 162 243 b) 84 189 210 105 R: a) 27 4860 b) 21 3780 30. Se desean repartir 180 libros, 240 cuadernos y 360 lápices entre cierto número de alumnos, de tal manera que cada uno reciba una cantidad exacta de libros, cuadernos y lápices. ¿Cuál es el mayor número de alumnos que cumplen con lo pedido? R: 60 31. Dos engranajes giran uno sobre el otro; el primero tiene 48 dientes y da una vuelta cada 4 segundos; el segundo tiene 104 dientes. ¿Cada cuántos segundos pasan por la misma posición? R: 52 seg. Programa de Ingreso - UCC 24 32. Se quiere fabricar cajones para guardar 1830 latas de aceite y 1170 latas de alcohol de tal manera que cada cajón tenga el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las latas. ¿Cuál es el mayor número posible de latas que pueden ponerse en cada cajón? ¿Qué cantidad de cajones se necesitan? R: 30; 100 Verificar las siguientes desigualdades: 2 5 5 7 4⋅ − 2+ − 33 → 3 2  7 4 2 4 5 7 3+ − 4− + 5 7 6 8 R: si 2 8 3  3 25 + − 2 2 + +   4 4 2 34 → ≤ 100 − 3 ⋅ 4 5− 3 R: si Estimados estudiantes, juntos hemos avanzado hasta esta instancia. Es muy importante que practiquemos y resolvamos los ejercicios y problemas que quedaron pendientes en este encuentro de hoy con la intención de afianzar todos los conceptos trabajados en esta clase. Les sugerimos que anoten todo lo que no entiendan o no puedan resolver solos, ya que en el próximo encuentro tendremos un tiempo al comienzo de la clase para evacuar todo tipo de dudas y preguntas que quieran formular. ¡Mucha suerte y buena semana! Programa de Ingreso - UCC 25 Clase 2 Expresiones algebráicas Objetivos específicos ∎∎ Recuperar los conceptos expresiones algebraicas y polinomios. ∎∎ Afianzar la destreza en resolución de operaciones polinómicas. ∎∎ Aprender a utilizar reglas matemáticas sencillas. ∎∎ Utilizar la terminología adecuada. ∎∎ Interpretar consignas. ∎∎ Lograr estima entre compañeros y docente. Contenidos ∎∎ Expresiones algebraicas: conceptos generales. ∎∎ Monomios, binomios, trinomios, polinomios. ∎∎ Suma algebraica. ∎∎ Producto entre expresiones algebraicas. ∎∎ Cociente entre expresiones algebraicas. ∎∎ Casos particulares. Regla de Ruffini y Teorema del Resto. ∎∎ Concepto de divisibilidad. Esquema conceptual: vinculación de contenidos de la Clase 2. Programa de Ingreso - UCC 27  Expresiones algebráicas Son expresiones en las cuales se encuentran cifras numéricas y letras, o bien sólo letras, ligadas en un número finito de veces por las operaciones suma; multiplicación; división; potenciación y radicación. Ejemplos: a) 5 x 4 monomios ( b) 3 y 3 − 2ax ) binomios Estas expresiones algebraicas pueden clasificarse según el siguiente diagrama: 2 x 2 − 3x + 7 Los bloques de construcción de una expresión algebraica se llaman términos. 2 En el ejemplo: 2 x − 3 x + 7 ,se reconocen tres términos: 2 x 2 ; −3x y 7. A su vez, cada término en general cuenta con una parte numérica y/o literal. En el 2 2 término 2 x , el factor 2 se denomina coeficiente numérico y el factor x se llama parte literal del mismo. (Arya-Larder, 2009) Observemos los siguientes ejemplos y tratemos de ubicarlos en la clasificación anterior: 1 3 5x 2x + 3 a) 3x 3 y 2 − yz + 2a b) 4 x 5 − + c) d ) 3 xy 5 x y y+2 Programa de Ingreso - UCC 28 Recordemos que su nombre (expresiones algebraicas) se debe a que además de elementos numéricos en ellas existe una parte literal. Y es justamente debido a la ubicación de estos elementos que se las puede clasificar. Para pensar y relfexionar ¿Cuáles son las características que presentan los elementos y que permiten ubicarlos en el diagrama mencionado? Las expresiones algebraicas enteras reciben nombres tales como monomio, binomio, trinomio, y en general polinomio. Intentemos recordar a qué característica responden dichos nombres. Observemos los ejemplos e identifiquémoslos: a) 3x 2 b) 3 x 2 + x c) 3 + 4 x − x 2 A estas expresiones algebraicas enteras las llamaremos de ahora en adelante polinomios. Con estos polinomios también se pueden realizar operaciones como suma, producto, división. Para abordar estas operaciones, es necesario recordar algunos conceptos como: Grado de un monomio: está dado por el número de factores literales que posee. Recordemos que en los factores literales debe considerar la potencia de cada uno de ellos. ¿Cómo indicaríamos el grado de los siguientes monomios? ¿Lo intentamos? a) 5 x4 y b) 6 y z c) -2 x3 y z2 Grado de un polinomio: está dado por el grado, del término de mayor grado que está presente en él. Por ejemplo el grado del polinomio: - 1/3 x4 y + 3 x2 y6 – 5 a x es: 8 Valor numérico: es aquel valor que se obtiene cuando se reemplaza la parte literal por un valor numérico prefijado, para cada una de las letras que la componen. De esta manera queda una expresión numérica, que debe resolverse mediante las operaciones aritméticas indicadas en la misma. Para realizar estos cálculos deberá recurrir a varios de los conceptos vistos en la clase1. Ejemplo: 2 a2 + 5 a b – 3 b2 c con: (a = 1; b = 2; c = - 1) 2 (1)2 + 5.1.2 – 3 (1)2 (- 1) 2 + 10 + 3 = 15 Programa de Ingreso - UCC 29 SUMA ALGEBRAICA Observemos detenidamente el ejemplo que se presenta a continuación en donde se efectuó la suma entre dos polinomios. 1 1 (−5 x 2 y + xy − 2 z + 3a ) + (2 xy − 3x 2 y + 5 z − b) = 2 5 ¿Cómo fue realizada esta operación? ¿Qué se tuvo en cuenta para efectuarla? ¿Qué caracteriza a los términos de un polinomio que fueron sumados con cada término del otro? Recordemos que para poder sumar polinomios sólo se pueden sumar los términos semejantes. Tratemos de explicar con terminología pertinente qué significa “términos semejantes”. Para que dos términos sean semejantes entre sí ¿qué deben tener en común? Veamos los siguientes ejercicios y controlemos con los resultados propuestos. Actividad 1 3 1 a ) 5 y 2 z + 4 xy − 3 xz con xy − xz − y 2 z 2 5 8 39 2 9 18 Rta : y z + xy − xz 8 2 5 1 3 3 1 2 8 3 b) 4 x 2 + 3 x − con x − x + x+ 5 4 4 9 7 3 3 15 2 35 8 Rta : x + x + x+ 4 4 9 35 Programa de Ingreso - UCC 30 PRODUCTO ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para pensar y reflexionar Observemos los ejemplos desarrollados y saquemos conclusiones. Tratemos de explicar, con lenguaje pertinente, cómo se debe realizar esta operación. a) (3x y ). − 12 ax 3  2 3 y − 3  = − ax 5 y − 2 2    1  5 3 b) ( ) − 5 xz − 2 + 3a. − ax  = ax 2 z − 2 − a 2 x  2  2 2 1 2 3 2 c)  ( 3  − 2ay − a . 2 x + 3 y = −4ax y − 6ay 3  ) 2 − a 2 x3 − a 2 y 3  Recordemos que en el producto de potencias de igual base, los exponentes se suman entre sí. Es decir: a3. a2 = a5 Es importante destacar que este tipo de operación cumple con la propiedad distributiva. Es decir, que cada término de un polinomio debe multiplicar a cada uno de los términos del otro polinomio. Si estas consignas no fueron descubiertas cuando observamos los ejercicios resueltos, volvamos sobre ellos e intentemos nuevamente. A continuación, tenemos otros desafíos para aplicar lo visto. Utilicemos las respuestas para la auto-evaluación. Actividad a) (4 xz + 2 x + 3z ) ⋅  1 x + 3 z + 2  = 2 4  9 2 Rta : 2 x 2 z + 3 xz 2 + x 2 + 11xz + z + 4x + 6z 4 1 b) (5x 2 )  + 3x + 2 ⋅  x − 3  = 2  5 27 2 Rta : x 3 − x − 8x − 6 2 2 c) (x 2 )( −1 ⋅ x3 + 2 = ) Rta : x 5 − x 3 + 2 x 2 − 2 d) (x + 3) ⋅ (2 x 2 − 5 x + 7 ) = Rta : 2 x 3 + x 2 − 8 x + 21 2 5  e) ( x + 3a ) ⋅  a + x + 2  = 3 2  49 5 Rta : xa + x 2 + 2 x + 2a 2 + 6a 6 2 Programa de Ingreso - UCC 31 COCIENTE ENTRE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS Analicemos estos dos ejemplos resueltos para que a través de ellos recordemos esta operación y saquemos nuestras propias conclusiones. Programa de Ingreso - UCC 32 Observemos detenidamente el polinomio dividendo del ejemplo b). En él hay términos que fueron incorporados para completar las potencias decrecientes que no existían en un principio. Los coeficientes de dichos términos siempre deben ser cero. Además, los términos del polinomio dividendo y divisor deben estar ordenados en potencias decrecientes para simplificar las operaciones involucradas. Recordemos que en el cociente de potencias de igual base, los exponentes se restan entre sí, es decir, el exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Analicemos el ejemplo: x5: x2 = x3 Importante Una forma de comprobar si las divisiones realizadas fueron correctas, es haciendo la prueba la división, es decir: C⋅d + R = D ¿Lo comprobamos en los ejemplos dados? Sólo deberemos recordar el concepto de suma y producto de polinomios vistos hasta el momento. Para afianzar los conceptos analicemos las siguientes situaciones con sus respectivas respuestas. Actividad a) (6a 4 b 2 + 4a 2 b 4 + ab 5 + 7 a 3b 3 ) : (2ab 2 + b 3 ) = Rta : C = 3a 3 + 2a 2 b + ab 2 R=0 b) (4a 3b 2 c + 12ab 2 c 3 − 18a 4 b 4 c 4 ) : (2abc) = Rta : C = 2a 2 b + 6bc 2 − 9a 3 b 3 c 3 R=0 c) ( x 4 − 3 x 2 + 1) : ( x 2 − 2 x + 2) = Rta : C = x 2 + 2 x − 1 R =(−6 x + 3) 1 1 d ) (3 x + 2 x 2 − x 3 + 5) : ( x + ) = 3 5 2 x 31 194 1681 Rta : C = − + x+ R=( ) 3 15 75 375 REGLA DE RUFFINI Como hemos visto, el polinomio que resulta después de realizar la división se denomina polinomio cociente y se lo simboliza como C(x) y al resto como R(x). La división termina cuando el polinomio resto es de un grado menor que el polinomio divisor. Programa de Ingreso - UCC 33 Importante Recordemos que no siempre se obtiene un polinomio resto igual a cero. Si ocurre esto último, ¡se dice que la división es exacta! El procedimiento que acabamos de ver es general para cualquier tipo de división entre polinomios. No obstante, existe una regla práctica para resolver el cociente que se puede aplicar cuando los polinomios dividendo y divisor son en una sola indeterminada y el polinomio divisor es de la forma x ± a , ( ) siendo “a” un número real. Dicha regla se conoce como Regla de Ruffini, es la que nos permite calcular de una manera más simple y directa los coeficientes del polinomio cociente y el resto de la división. Analicemos el ejemplo siguiente. Después intentemos la explicación de cómo operar: 1 3 2   1  x − 1 − 3x + 3x  :  x −  2   3 Primero ordenamos y completamos si hiciera falta, el polinomio dividendo. (Recordemos que para completar debemos hacerlo con coeficiente cero, por x elevada a la potencia faltante).  3 2 1   1  − 3 x + 3 x + x − 1 :  x −   2   3 El esquema que se muestra a continuación, es utilizado frecuentemente como una manera práctica de obtener los coeficientes del polinomio cociente y el resto de la división. Entonces el resultado a explicitar será: 7 C( x ) = −3 x 2 + 2 x + 6 1 R( x ) = − 18 Programa de Ingreso - UCC 34 ¿Cómo se opera con esta regla práctica? En la fila superior colocamos los coeficientes del polinomio dividendo, de manera ordenada, completa y decreciente respecto de “x”. En el vértice exterior izquierdo ubicamos el valor de “a”, del binomio divisor, cambiado de signo. Debajo de la línea horizontal, pondremos de forma ordenada los coeficientes que resulten para el polinomio cociente y el resto de la división. El primer coeficiente del polinomio cociente es siempre igual al del dividendo, por lo tanto lo colocamos directamente debajo de la línea horizontal. Para obtener el segundo coeficiente del polinomio cociente, multiplicamos el primer coeficiente por “a” cambiado de signo, como ya figura en el vértice antes mencionado, y ese resultado se suma con el segundo coeficiente del dividendo (ubicado en la fila superior). Una vez que obtuvimos el segundo coeficiente del cociente, repetimos la operación anterior (multiplicamos por “a” cambiado de signo y sumamos con el siguiente coeficiente) y así sucesivamente hasta terminar. Observemos que sólo hemos calculado coeficientes, por lo tanto aún, nos falta determinar el polinomio cociente, y el resto de la división. ¿De qué grado será el polinomio cociente? El grado del divisor siempre es uno (1) y además deberá tener en cuenta que en la división de potencias de igual base los exponentes se restan entre sí. Con todos estos elementos y un pequeño esfuerzo, estaremos en condiciones de plantear el polinomio cociente completo y determinar el resto o residuo de la división. Intentémoslo en la actividad propuesta más adelante. Utilizaremos el ejemplo anterior para ayudarnos. Para saber más Para conocer más a Ruffini, podemos visitar esta dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffini La regla de Ruffini es muy útil para factorizar polinomios de grado “n” cuando se conoce una de las raíces del mismo. Con la raíz se puede formar el binomio ( ) de la forma x ± a según corresponda, obtener el polinomio cociente, y de esta manera plantear su forma factorizada, ya que siempre el resto es cero. Observemos el ejemplo. 3 2 Dado el polinomio x + x − 4 x + 2 , se sabe que una de sus raíces es uno, esto es x1 = 1. Por lo tanto el binomio (x − 1) es divisor exacto del polinomio dado. Aplicando la regla de Ruffini se determina el polinomio cociente, según: Programa de Ingreso - UCC 35 Importante A esta problemática de factoreo la retomaremos en la siguiente clase, ya que es un concepto muy importante, ¡y merece más desarrollo! Vamos con alguna ejercitación interesante para aplicar la Regla de Ruffini y al realizarla controle sus respuestas con la información dada. Actividad a) ( x 2 − 2 x + 1) : ( x + 1) = Rta : C = x − 3 R = (4)  1  b)  4 x 3 − x 2 + 3 x − 2  : ( x − 3) =  2  23 75 Rta : C = 4 x 2 + x+ R = (221 2) 2 2 c) ( x 4 + 3 x 3 − 2 x 2 + 7 x + 39) : ( x + 3) = Rta : C = x 3 − 2 x + 13 R = (0) d) (5 x + 7 x 3 − 13) : ( x + 1 2) = 7 27 Rta : C = 7 x 2 − x+ R = (−131 8) 2 4 Programa de Ingreso - UCC 36 TEOREMA DEL RESTO Del mismo modo que existe la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de una división entre polinomios de una manera rápida y sencilla, cuando se cumplen las mismas exigencias descritas anteriormente, es decir, que el polinomio dividendo y divisor son en una sola indeterminada y el polinomio divisor es de la forma: ( x ± a ) , también es posible calcular sólo el resto de la división, utilizando el Teorema del Resto. Como su nombre lo indica, nos permite sólo conocer directamente el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma: (.x ± a ) ¿Cómo se calcula dicho resto? El resto es igual al “valor numérico” del polinomio dividendo cuando la variable es sustituida por el valor de “a” cambiado de signo. Observemos el ejemplo y luego resolvamos los ejercicios planteados en la guía de ejercitación. Calculemos el resto de la siguiente división: (5 x2 - 2 x + 4): (x + 3) R=D (-a)=D (-3)=5. (- 3)2 - 2. (- 3) + 4 R=5.9 + 6 + 4 = R=45 + 10 = 55 Para pensar y reflexionar ¿Qué importancia o utilidad puede tener el conocimiento de este procedimiento conocido como teorema del resto? Pensemos en el término “divisibilidad”. ¿Qué nos sugiere el significado matemático de dicho término? ¿Qué entendemos cuando expresamos que un polinomio es divisible por otro? ¿Cuál sería el resto de esa división? La respuesta a estos interrogantes o mejor aún la aplicabilidad de este teorema la encontraremos cuando trabajemos con factorización o factoreo de expresiones algebraicas y se presente el caso “divisibilidad”. Veamos algunas aplicaciones del Teorema de resto. Actividad Para ello realizaremos el mismo cuadro de ejercicios propuestos en la última actividad, relacionada con la Regla de Ruffini. ¡¿Lo hacemos?! Actividad individual Determinar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: Programa de Ingreso - UCC 37 1 → 5 x 2 y + 3 xy 2 + 7 xy = para : x = 1 y = −1 R = −9 2 1 2 → 4 xy 3 + 9 x 2 y − x = para : x = 2 y = 3 2 53 R= 3 x + y x + 2y x − y 3→ + − = para : x = −2 y =1 x −1 x − 2 x 7 R=− 6 Efectuar la suma de los siguientes polinomios: 4 → (8 xy − 2 yz ) ; (2 xy − z + 6 yz ) ; (9 yz − 7 xy − 3 z ) R = 3 xy + 13 yz − 4 z  2  5 1 1  5 →  4 xy + 3 x 2 y − xy 2  ;  xy 2 + xy − x 2 y   3  2 5 3  8 21 11 R = x 2 y + xy + xy 2 3 5 6 Realizar las operaciones indicadas, con los siguientes polinomios: P( x ) = 2 x 4 + 3 x 3 − x 2 + 4 Q( x ) = 6 x 3 + 2 x 2 − 8 x 7 2 3 R( x ) = − x 3 − x + x 2 2 6 → (P( x ) + Q( x ) − R( x ) ) = 9 2 19 R = 2 x 4 + 10 x 3 + x − x+4 2 2 7 → Q( x ) − (P( x ) + R( x ) ) = 13 2 19 R = −2 x 4 + 4 x 3 + x − x−4 2 2 Completar los siguientes cuadros: Programa de Ingreso - UCC 38 Dados los siguientes polinomios, efectuar las operaciones indicadas: P( z ) = z 2 − 1 M ( x ) = −7 x 2 + 1 1 1 3 H (y) = y + y2 − y3 S ( z , y ) = 2 zy + 2 z 2 2 4 4 10 → P( z ).S ( z , y ) = 1 → H ( y ).M ( x ) = P(x z) = 1/3 x5 z – 2/.3 x4 z2 + 3 x z3 +1/2 x z W(x z) = -1/2 x2 z S(x , y) = 36 x y6 – 6 x y3 + 18 x y5 – 12 x y4 T(x ,y) = 3 x y + 6 x y2 R(x) = 2 x4 + x – 3 x3 U(x) = 3 x2 + x 12. P(x , z) : W(x , z) 13. S(x,y) : T(x,y) 14. R(x) : U(x) Completar los siguientes cuadros: Programa de Ingreso - UCC 39 Resolver los siguientes cocientes aplicando la regla de Ruffini: 19. (x2 – 4) : (x + 2)= 20. (x3 – a3) : (x – a)= 21. (x4 + 2 x2 – x) : (- 2 + x)= 22. (-2x + 3x2 – 2x4 – x3 + x5) : (x – 4)= 23. (1/2 a3 + 2 a – a2 + 2 ) : (a – 2) = 24. ¿El polinomio (x2 + 4 – 4 x) es divisible por (x + 2)? Si. No ¿Por qué? 25. El resto de realizar (2 x2 +1/5 x – c) : (x – 3), es R=7. ¿Cuál es el valor del polinomio cociente C?. Sugerencia: utilizar la prueba de la división. 26. Obtener el valor de “m” para que la división siguiente sea exacta. (Utilizar el teorema del resto). (2 x 4 + 3x 3 − mx − 6):( x + 2) = R = −1 27. ¿Cuál es el polinomio que dividido por (2x+3) tiene por cociente y por resto 37? R = 2 x 3 + 3x 2 − 6 x + 46 Estimados estudiantes, tenemos siete días hasta la próxima clase para revisar los contenidos trabajados hoy, y poder registrar todas las dudas que se presenten trabajando solos, sin la ayuda del docente. Anotemos todo lo que no entendamos o no podamos resolver solos, ya que en el próximo encuentro tendremos un tiempo al comienzo de la clase para salvar todo tipo de dudas. Podemos trabajar con las actividades que quedaron pendientes de hacer en clase, o con cualquier libro que tengamos a nuestro alcance. ¡Confiamos en su capacidad para analizar y ejercitar lo visto en clase! ¡Buena semana y a trabajar! Programa de Ingreso - UCC 40 Clase 3 Factorización de expresiones algebráicas Objetivos específicos ∎∎ Comprender la importancia de factorear una expresión algebraica. ∎∎ Afianzar la destreza en las diferentes metodologías. ∎∎ Utilizar factoreo para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias. ∎∎ Manejar la terminología adecuada. ∎∎ Interpretar consignas. ∎∎ Lograr estima entre compañeros y docente. Contenidos ∎∎ Factorización de expresiones algebraicas. ∎∎ Factor común. ∎∎ Factor común por grupo. ∎∎ Trinomio cuadrado perfecto. ∎∎ Cuatrinomio cubo perfecto. ∎∎ Ecuación de segundo grado. Esquema conceptual: vinculación de contenidos de la Clase 3. Programa de Ingreso - UCC 42 Factorización de expresiones algebráicas ¿Cómo podemos explicar el significado matemático de la palabra factoreo? ¿Qué reflexión nos propone el término factor? Observemos atentamente el ejemplo siguiente: Para pensar y reflexionar ¿Cuál es la operación algebraica presente en cada uno de los miembros de la igualdad anterior? ¿Cuál es la operación que vincula a todos los términos del primer miembro de la igualdad y cuál la que vincula a los términos encerrados entre paréntesis del segundo miembro de la igualdad? Realicemos este análisis y respondamos a las cuestiones planteadas, nos podemos ayudar con las siguientes ideas… Si el producto de dos enteros “a” y “b” es “c”, c=a. b, entonces “a” y “b” se llaman factores de “c”. Esta terminología también se utiliza en expresiones algebraicas. Si dos o más expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto: por ejemplo, la expresión 2xy se obtuvo multiplicando 2, x e y, de modo que 2, x e y son los factores de 2xy. 2 De manera similar, x es un factor de la expresión 2 x + 3x puesto que podemos escribir 2 x 2 + 3x = x ⋅ (2 x + 3) y x 2 es un factor de 6 x 2 + 9 x 3 , dado que podemos escribir x 2 ⋅ (6 + 9 x ). (Arya-Larder, 2009) Los distintos métodos de factoreo requieren de un análisis e interpretación pertinente, por lo tanto a continuación desarrollaremos cada uno de ellos Programa de Ingreso - UCC 43 FACTOR COMÚN Comencemos con estos ejemplos: Después de observar detenidamente los ejercicios resueltos, ¿pudimos recordar qué significa factor común? Analicemos cada uno de los términos del título, factor común, y tratemos de enunciar una regla para este caso. Es importante que las diferentes metodologías de factorización se manejen con la terminología correcta y no por número de caso, como tal vez lo hacíamos en el nivel medio de educación. Los nombres de cada uno nos ayudarán a interpretar cómo debemos operar para lograr transformar una suma algebraica en producto. A continuación, tenemos algunos casos para trabajar: Actividad 3  3  a ) 2a + 2ab − ac = Rta : a ⋅  2 + b − c  5  5  8 6 5  4  b) 4 x 3 y 2 − 2 x 2 y + x y z= Rta : 2 x 2 y ⋅  2 xy − 1 + x 4 y 4 z  9  9  c) 169a 5 b 3 c − 13ab 3 c 5 = ( Rta : 13ab 3 c ⋅ 13a 4 − c 4 ) 7 3 4  1  d ) 14a 3 b 2 n + a bn + 21a 3 bn 2 = Rta : 7 a 3 bn ⋅  2b + n 3 + 3n  2  2  FACTOR COMÚN POR GRUPOS No olvidemos analizar el significado de cada uno de los términos del tema planteado. En los siguientes ejemplos visualicemos cómo han sido agrupados los términos del primer miembro y analicemos cuál es el factor común entre ellos, y finalmente, relacionemos estas ideas con el segundo miembro de la igualdad. En esta instancia aún no se ha factorizado completamente. Recordemos que los signos (+) y (-) dividen términos. En cada uno de los sumandos, el factor común es (x 2 + 2) para a) y (x+1) para b), respectivamente. Programa de Ingreso - UCC 44 Después de observar atentamente estos ejemplos, podemos trabajar como se indicó en el punto anterior relacionando la idea ya formada de factor común con el término grupo. Intentemos hacer conclusiones, de enunciar con terminología pertinente como operar en este caso de factoreo. ¿Realizamos la siguiente propuesta de trabajo? ¡No olvidemos controlar los resultados con las respuestas! Actividad a) 2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b = Rta : (a + b) ⋅ (2 x − y + 5) 1 2 1 1  b) a x − 2ax 2 + ax − ab + 2bx − b = Rta :  a − 2 x + 1 ⋅ (ax − b ) 2 2 2  c) a 2 x + b 2 x + a 2 + b 2 = ( Rta : ( x + 1) ⋅ a 2 + b 2 ) d ) 7 x + y − xy − 7 − z 2 + xz 2 = ( Rta : ( x − 1) ⋅ 7 − y + z 2 ) Programa de Ingreso - UCC 45 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Esta operación también responde al nombre de binomio al cuadrado, ó cuadrado de un binomio, cuyo desarrollo nos lleva a obtener el primer miembro. Analicemos los ejemplos que continúan, y relacionemos cada uno de los términos que hacen al nombre de este caso: Para pensar y reflexionar ¿Por qué trinomio? ¿A qué se refiere cuando expresa cuadrado perfecto? ¿Cómo es el enunciado del desarrollo del binomio al cuadrado? ¿Cómo relacionamos el signo que vincula los dos términos del binomio con los signos que corresponden al polinomio desarrollado? Recordemos que en la potencia de potencia los exponentes se multiplican entre sí, es decir: (a ) 2 3 = a6 Programa de Ingreso - UCC 46 Importante En general, escribimos como trinomio cuadrado perfecto: (a + b )2 = a 2 + 2.a.b + b 2 (a − b )2 = a 2 − 2.a.b + b 2 Observemos en el segundo caso la alternancia de signo. A continuación tenemos ejercitación para que vayamos afianzando este caso de factoreo. Actividad CUATRINOMIO CUBO PERFECTO El ejemplo x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 = (x + y ) , expone un caso sencillo que se 3 presenta en este apartado. A partir del cual podemos enunciar el desarrollo de un binomio elevado al cubo, ¿lo intentamos? Para pensar y relfexionar ¿Cuántos términos contiene el primer miembro de esa igualdad? ¿Por qué el nombre de cuatrinomio? ¿Por qué cubo perfecto? ¿Cuántos términos de ese primer miembro son cubos perfectos? ¿Cuántos términos de ese primer miembro no son cubos perfectos y cómo se relacionan con las bases de esos cubos perfectos? Si logramos contestar todos los interrogantes planteados, entonces estamos en condiciones de elaborar un enunciado que se corresponda con él. Importante Cuatrinomio cubo perfecto: Intentemos utilizar los términos apropiados. Observemos en el segundo caso la alternancia de signo. Programa de Ingreso - UCC 47 Al segundo miembro de la igualdad, también se lo conoce con el nombre de binomio al cubo, cuyo desarrollo nos lleva a obtener el primer miembro de la misma. Si aún no logramos establecer una correcta relación entre el nombre cuatrinomio cubo perfecto con la forma de factorearlo, analicemos el próximo ejemplo desarrollado, donde se indica cómo debemos proponer a cada uno de los términos del primer miembro de la igualdad, para luego expresarlo en forma factoreada. ¿Realizamos las siguientes actividades? Luego de trabajar con ellas, controlemos los resultados obtenidos con las respuestas brindadas. Actividad Programa de Ingreso - UCC 48 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO La expresión: se denomina ecuación de 2º grado. En donde: a, b y c ∈ℜ y a ≠ o La misma también puede factorearse conociendo sus raíces. Para pensar y relfexionar Recordemos: ¿qué significa el término raíz de una ecuación? Las raíces de la ecuación pueden determinarse a partir con la siguiente fórmula: − b ± b 2 − 4.a.c x1, 2 = 2a Como podemos observar, esta fórmula sólo depende de los coeficientes de la variable “x”. Teniendo en cuenta los signos + que figuran delante de la raíz cuadrada de la fórmula precedente, deducimos que los valores a determinar de “x” son siempre dos: x1 y x.2 Dichos valores son las raíces de la ecuación cuadrática, es decir, aquellos valores que hacen cero (0) a la ecuación. Importante Entonces, una ecuación de 2º grado se factorea como se indica en la siguiente expresión: Observemos el ejemplo: Programa de Ingreso - UCC 49 Una vez determinadas las raíces de la ecuación, esta puede factorearse como se indica: Esta forma de factorear se puede usar entonces, tanto para trinomios cuadrados imperfectos como perfectos. Unir conceptos A modo de conclusión: Factorizar un polinomio es expresarlo como un producto de una constante por uno o más factores primos o bien por factores primos entre sí, utilizando una o más metodologías. A continuación tenemos algunos ejercicios para practicar este caso de factoreo. ¿Los resolvemos? Actividad x2 + x − 2 = Rta : ( x − 1)(. x + 2) x 2 + 4x + 3 = Rta : ( x + 3)(. x + 1) x 2 − 3x − 4 = Rta : ( x + 1)(. x − 4) 2 x 2 + 5x + 2 = Rta : (2 x + 1)(. x + 2) Importante Recordemos que sólo podemos simplificar una expresión algebraica fraccionaria cuando las mismas están factoreadas y siempre debemos llegar a la mínima expresión. Si logramos recordar y fijar lo expuesto hasta aquí, estaremos en condiciones de aplicarlo en ejercicios combinados. Veamos entonces un par de ejemplos: Programa de Ingreso - UCC 50 Actividad individual 1. Transformar las siguientes expresiones algebraicas en producto: Programa de Ingreso - UCC 51 2. Indicar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas: 3. Tranformar las siguietntes expresiones algebráicas en producto: Programa de Ingreso - UCC 52 4. Tranformar las siguietntes expresiones algebráicas en producto: 5. Reducir o simplificar las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias: 2x 3 2 a) − 2 + = x −1 x −1 x +1 2x 2 + 4x − 5 Rta = x2 −1 ( x 3 + 8) ( x + 1) 1 b) ⋅ 2 ⋅ = ( x + 2) ( x − 2 x + 4) ( x − 1) x +1 Rta = x −1 2 x2 −1 3  5x 2  c) ⋅ ⋅  = 15 x 3 − x  x − 1 5x 3 Rta = ( x − 1) 2  y2   x y d ) x +  ⋅  −  =  x  y x x4 − y4 Rta = x2 y (5 − x) ( y + x) 2x e) ⋅ ⋅ = ( x + y ) ( x − 5) ( x + 2) 2x Rta = − ( x + 2) 3a 2 b 2 ab e) : = 4 xy xy 2 3 Rta = aby 4 ( x + y) 2 x+ y f) ÷ = x− y ( x − y) 2 Rta = x 2 − y 2 Programa de Ingreso - UCC 53  x2 x g) : = 8+ x 6+ x 3 Rta = x.(6 + x) /( x 3 + 8) 1 x2 + x y3 h) = 1 1 x − + x y y2 Rta = ( x + y ) / y 3 x +1 4 x −1 i) : − ⋅ = x 2x + 1 x + 1 x − 3 2 x 2 − 11x − 9 Rta = x( x + 1)( x − 3)  x x + 1   2x + 1  j)  − : =  x +1 x   x2 + x  Rta = −1 x 2 + 8 x + 16 k) 2 = x + x − 12 Rta = ( x + 4) /( x − 3) x3 − 8 l) = x2 − 4 Rta = ( x 2 + 2 x + 4) /( x + 2) x 2 + 3 x − 10 m) = x 2 + 6x + 5 Rta = ( x − 2) /( x + 1) x2 − x − 2 n) 2 = 2 x − 5x + 2 Rta = ( x + 1) /(2 x − 1) Estimados alumnos, nos espera una semana con bastante trabajo por realizar, pero a no desanimarse que juntos lo podremos hacer con esfuerzo y dedicación. No olvidemos de anotar todas las inquietudes que se nos presenten a la hora de trabajar solos, para poder resolverlas en el próximo encuentro. Nos despedimos con un pensamiento para reflexionar… “Los libros son maestros que no riñen y amigos que no piden” Programa de Ingreso - UCC 54 Clase 4 Divisibilidad y Racionalización Objetivos específicos. ∎∎ Comprender el concepto de divisibilidad y método de factorización en sumas y diferencias de cubos. ∎∎ Aprender a factorear diferencias de cuadrados. ∎∎ Afianzar la destreza en las diferentes metodologías de racionalización. ∎∎ Utilizar la terminología adecuada. ∎∎ Interpretar consignas. ∎∎ Lograr estima entre compañeros y docente. Contenidos ∎∎ Divisibilidad. ∎∎ Suma y diferencia de binomios de potencia impar. ∎∎ Suma y diferencia de binomios de potencia par. ∎∎ Racionalización. Esquema conceptual: vinculación de contenidos de la Clase 4. Programa de Ingreso - UCC 56  Divisibilidad DIVISIBILIDAD ¿Qué pensamiento nos propone el término divisibilidad? ¿Cuándo dos polinomios son divisibles? Observemos los ejemplos y luego intentemos definir matemáticamente el significado del título. 1.a) Si aplicamos el teorema del resto al cociente indicado en la expresión anterior, ¿Qué ocurrirá? R(-a) = R(-3) = (-3)3 + 27 = 0 ¿Qué relación guarda este resultado con el término divisibilidad? ¿Son o no divisibles entre sí, estos binomios? 1.b) Si aplicamos nuevamente el teorema del resto, ¿qué ocurre? R(-a) = R (3) = 33 + 27 = 54 Para pensar y reflexionar ¿Qué podemos concluir del binomio dividendo respecto del divisor? ¿Son o no divisibles entre sí? Observemos atentamente el binomio dividendo y divisor en ambos ejemplos, compáralos y saquemos conclusiones. Relacionemos la potencia (par o impar) de los términos del polinomio dividendo, el signo que los vincula a dichos términos (negativo o positivo) y comparemos con el divisor en cada caso. ¿Cómo son los divisores respecto al dividendo? ¿Qué se puede deducir? ¿Cuándo es divisible la suma de potencias de exponente impar? ¿Es divisible por la suma o diferencia de sus bases? Importante La suma de potencias de exponente impar, sólo es divisible por la suma de sus bases. Programa de Ingreso - UCC 57 Tengamos en cuenta que sólo hemos analizado la divisibilidad de la suma de potencias de exponente impar, no hemos factoreado. Para ello debemos encontrar primero el polinomio cociente, el cual puede calcularse rápidamente utilizando la Regla de Ruffini para (x3 + 27), con el binomio divisor correspondiente, es decir ( x + 3) Aplicando la Regla de Ruffini: Observemos que en la primera fila del esquema aparecen algunos coeficientes 0 (ceros), esto se debe a que el polinomio dividendo debe estar siempre ordenado y completo en potencias decrecientes de “x” (es lo que habíamos visto en la Regla de Ruffini). Con los coeficientes calculados se forma el polinomio cociente: C(x) = x2 - 3 x + 9 Entonces, para poder factorizar la expresión (x3 + 27) debemos recordar que, cualquier polinomio dividendo siempre es igual al producto del polinomio cociente por el divisor, cuando el resto es cero. Esto es: P(x)=(x3+27)= (x2 - 3 x + 9).( x + 3) == Expresión factorizada Analicemos de la misma manera qué ocurre cuando se trata de la diferencia de potencias de índice impar. ¡Observemos, reflexionemos y elaboremos conclusiones! 2.a) 2.b) Si trabajamos igual que en el punto anterior y aplicamos Teorema del Resto para ambos ítems, ¿qué ocurre? 2.a) R(3)=(3)3 - 27 = 0 2.b) R(-3)=(-3)3 - 27 = - 54 Programa de Ingreso - UCC 58 Para pensar y reflexionar ¿Qué terminología podemos utilizar para relacionar estos binomios entre sí, tanto en el ítem 2.a), como en el 2.b)? ¿Qué podemos decir del dividendo respecto del divisor? Recordemos que para factorizar una expresión siempre debemos ser divisible por el binomio divisor. Es decir que el resto debe ser cero. Una vez elegido el divisor correcto, entonces, trabajamos utilizando la regla de Ruffini y continuamos como en el caso anterior, hasta que logremos factorizar la expresión: (x3 - 27). Esto es: (x3 - 27) = (x2 + 3x + 9).(x - 3) Observemos que en los dos últimos ítems hemos trabajado con la diferencia de potencias de índice impar, relacionándolas con la suma y diferencia de sus bases. Para pensar y reflexionar ¿La diferencia de potencias de índice impar es divisible por la suma o diferencia de sus bases? Intentemos elaborar conclusiones y enunciarlas en base lo visto anteriormente, utilizando lenguaje pertinente. ¿Podremos asegurar lo siguiente? Importante La resta de potencias de exponente impar, sólo es divisible por la resta de sus bases. Analicemos ahora la diferencia de potencias de índice par. ¿Cuándo son divisibles y cuál es su divisor? 3.a) 3.b) Observemos que en ambos casos, las potencias de los términos del dividendo son de orden par, y el signo que los relaciona, es negativo. Asimismo los divisores a analizar son la diferencia y suma de sus bases, respectivamente. Importante Para poder factorizar el dividendo, utilice los conceptos y reglas correspondientes (Teorema del Resto y Regla de Ruffini). Debemos averiguar primero por cuál de los dos binomios es divisible, (suma o diferencia de las bases), luego calcular el polinomio cociente y recién concluir en la expresión factoreada. Programa de Ingreso - UCC 59 La cual responde a: Para pensar y reflexionar ¿Por qué (x4 - 16) puede factorearse de dos maneras? Enunciemos las conclusiones con lenguaje apropiado. ¡Ya contamos con herramientas para hacerlo! Ahora analicemos que ocurre con la suma de potencias de exponente par: 4.a) 4.b) En ambos casos, aplicamos Teorema del Resto. ¿Son divisibles estos polinomios por la suma o diferencia de sus bases? ¿Qué podemos concluir del dividendo respecto de los divisores? ¿Puede ser factorizada la expresión (x4 + 16)? Justifiquemos nuestra respuesta. Importante Estos binomios, tan particulares, que hemos usado en los cuatro ítems anteriores pueden generalizarse como: (x n ± a n ) Donde “n” puede ser par ó impar y los divisores exactos pueden ser la suma o diferencia de las bases, es decir(x ± a ). Utilizando estas expresiones generales, podemos enunciar una regla para cada uno de los casos, refiriéndonos a la divisibilidad de cada uno de ellos, por la suma o diferencias de las bases respectivas. Actividad Intentemos realizar un esquema explicativo, donde figuren todos los casos planteados de divisibilidad. DIFERENCIA DE CUADRADOS Leamos detenidamente el nombre que recibe este caso particular de divisibilidad. Relacionémoslo con el punto anterior y observemos el ejemplo como ayuda memoria. Importante a 2 − b 2 = (a − b )(. a + b) Es muy importante reconocer los factores encerrados entre paréntesis del segundo miembro de la igualdad. Programa de Ingreso - UCC 60 Intentemos recordar el nombre que los identifica, y luego tratemos de enunciar, con lenguaje pertinente, cómo se descompone en factores, una diferencia de cuadrados. ¡Lo podemos hacer! Ejemplo: Es importante que tengamos en cuenta que las potencias se distribuyen a cada uno de los factores de la base correspondiente, para determinarlas correctamente. RACIONALIZACIÓN ¿Qué sugiere el título? Expliquemos con nuestras palabras qué significa racionalizar. A continuación encontraremos algunos ejemplos para orientarnos, y contestar los interrogantes planteados. 3 4 4 22 4.3 2 2 4.3 4 4.3 4 a) = ⋅ = = = = 2.3 4 3 2 3 2 3 22 3 2.2 3 3 23 2 b) 1 = 1 ⋅ (1 − 2 ) = (1 − 2 ) = 1− 2 1− 2 = = −1 + 2 1+ 2 (1 + 2 ) (1 − 2 ) 1 − ( 2 ) 2 2 1− 2 −1 Existen diferentes metodologías para racionalizar. Sin embargo en este curso plantearemos sólo dos, que se relacionan directamente con los ejemplos anteriores: Cuando el término irracional es único (como en el primer ejemplo). Cuando uno o ambos términos del binomio son irracionales (como en el segundo ejemplo). Programa de Ingreso - UCC 61 Volvamos a observar el primer ejemplo. Existe un único término irracional en el denominador de la fracción planteada. Para eliminar esa raíz procedemos a multiplicar y dividir a la fracción por el mismo término irracional de tal manera que podamos simplificar el índice de la raíz con la potencia adecuada que surge al multiplicar términos iguales. En el segundo ejemplo, la raíz se presenta en uno de los dos términos, pero también podría ser en ambos términos; entonces debemos multiplicar y dividir por el conjugado de esa expresión. ¿A qué se le denomina conjugado? Observemos y tratemos de enunciarlo con nuestras palabras. Importante La expresión (a + b ) tiene como conjugado a (a − b ). ( ) ( En el ejemplo, la expresión 1 + 2 tiene por conjugado a 1 − 2 y cuando ) multiplicamos esos términos conjugados entre sí, obtenemos una diferencia de cuadrados, la cual nos permitirá simplificar índice con la potencia y lograr así eliminar la raíz. Si aún no hemos logrado recordar este conocimiento, veamos otro ejemplo para nuestro análisis: 2 = 2 ⋅ ( x+ y ) = 2.( x + y ) = 2. ( x+ y ) x− y ( x− y) ( x+ y) ( x) − ( y) 2 2 x−y Unir conceptos Si prestas atención, en este caso de racionalización donde se multiplica y divide por el conjugado, siempre se construye una diferencia de cuadrados y, a través de ese caso de factoreo es que se puede eliminar la raíz. Importante La importancia de manejar estos conceptos tendrá más sentido cuando cursemos Análisis Matemático I, en primer año de la carrera de nuestra elección. Programa de Ingreso - UCC 62 Actividad individual 1. Factorear las siguientes expresiones algebraicas: 2. Racionalizar las siguientes expresiones: Programa de Ingreso - UCC 63 Estimados estudiantes: hemos llegado a la mitad del camino que comenzamos a recorrer juntos hace algunas semanas atrás. Esperamos que después de tan arduo trabajo que hemos realizado, hayamos podido recuperar los conocimientos previos y recobrar la confianza en nuestras capacidades para la resolución de las diferentes problemáticas trabajadas. ¡Hasta el próximo encuentro! Programa de Ingreso - UCC 64  Clase 5 Ecuación de primer grado y función lineal Objetivos específicos ∎∎ Comprender el concepto de Ecuación. ∎∎ Afianzar la destreza en la resolución de ecuaciones de 1° grado. ∎∎ Utilizar la terminología adecuada. ∎∎ Reconocer una función lineal. ∎∎ Graficar una función lineal. ∎∎ Reconstruir el modelo matemático a partir del gráfico de una función lineal. ∎∎ Interpretar consignas. ∎∎ Lograr estima entre compañeros y docente. Contenidos ∎∎ Ecuaciones. ∎∎ Ecuación de primer grado. ∎∎ Función lineal. ∎∎ Reconstrucción de una función lineal. ∎∎ Paralelismo y perpendicularidad. ∎∎ Actividades individuales de ejercitación y problemas. ∎∎ Palabras de cierre. Esquema conceptual: vinculación de contenidos de la Clase 5. Programa de Ingreso - UCC 66  Ecuaciones Cuando se utiliza el término ecuación, ¿qué idea nos sugiere? Para pensar y reflexionar Observemos los diferentes casos que se nos pueden presentar. Todos ellos tienen algo en común que hace que se denominen en general ecuaciones. a) x+5= 0 b) x+3 c) log 2 ( x + 2) = 3 =4 x−2 d) x 2 − 4x + 4 = 0 e) 3 x = 27 f) sen( x) = 1 Tratemos de elaborar una conclusión que nos permita definir el término “ecuación”, teniendo en cuenta los casos anteriores, su análisis e interpretación. Las ecuaciones pueden clasificarse, según el tipo de operación que vincula a la incógnita “x” con el resto de la expresión, en: Actividad Intentemos ubicar cada uno de los ejemplos en la clasificación correspondiente. Programa de Ingreso - UCC 67 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Para pensar y reflexionar A partir de los siguientes ejemplos, confiaremos en nuestra capacidad de observación y análisis: ¿Por qué se denominarán ecuaciones de 1º grado? ¿Qué supone resolver una ecuación de 1º grado con una incógnita? Analicemos, interpretemos y enunciemos las respuestas con terminología adecuada. Pueden además presentarse otras situaciones especiales, como por ejemplo: 3.( x + 2) − 3 = 3.( x + 1) 3x + 6 − 3 = 3x + 3 3x + 3 = 3x + 3 0=0 En realidad esto se comporta como una identidad, ya que se verifica para cualquier valor de la variable. Esto en matemática se conoce con el nombre de compatibilidad pero con muchas soluciones posibles. Programa de Ingreso - UCC 68 Veamos este otro caso: Es imposible de cumplir porque nos da un absurdo matemático. Esto recibe el nombre de incompatibilidad. Muchas veces nos ocurre esto como ingenieros, contadores o administradores, ya que al modelizar una determinada situación problemática, se pueden plantear ecuaciones que finalmente no admiten solución. ¿Resolvemos algunas de estas ecuaciones lineales, despejando el valor de “x” mediante el pasaje términos de un miembro a otro? Actividad Importante La utilidad del manejo de ecuaciones de primer grado, no es simplemente su resolución, sino que muchos problemas pueden resolverse planteando este tipo de ecuaciones. Programa de Ingreso - UCC 69 Para lograr el planteo correcto en la solución de los mismos, leamos atentamente los enunciados tres veces (mínimo): ∎∎ la primera vez, simplemente nos dará una idea general de qué trata la problemática. ∎∎ la segunda lectura nos permitirá tomar los datos correctos que el enunciado te brinda y cuál es el objetivo que persigue. ∎∎ recién en la tercera lectura lograremos relacionar los datos entre sí para llegar al planteo de la ecuación (modelo matemático) que nos permitirá lograr el objetivo deseado. Analicemos los siguientes ejemplos resueltos: a) ¿Cuántos clavos tiene un cajón, si se sabe que puede vaciarse sacándole la primera vez, la mitad de los clavos, quitando luego, la mitad de los que quedan más un clavo y finalmente quitándole nueve clavos más? b) Para llegar a la ecuación que permitirá conocer la cantidad total de clavos presentes en el cajón, se debe asignar una variable, por ejemplo “x”, que represente la totalidad de clavos. A partir de ahí, relacionar los datos presentes en el enunciado, de acuerdo a esta variable “x” que representa el total. Analicemos: x: cantidad total de clavos x mitad de los clavos (primera vez) : 2 x 2 + 1 = x + 1 :la mitad de los que quedan más uno (segunda extracción) 2 4 9: clavos que finalmente se sacan. Recién cuando se tiene claro cómo indicar en función de la variable “x” cada uno de los pasos que propone el problema, estás en condiciones de plantear la ecuación completa para su solución definitiva, es decir, ¡armar el famoso modelo matemático! Entonces, la ecuación es: Rta: El cajón tiene 40 clavos en total Programa de Ingreso - UCC 70 b) Encontrar un número sabiendo que su duplo es igual a su mitad más nueve. ¿Leímos el enunciado varias veces?. Entones…¡a pensar! x: número a determinar x : duplo del número 2.x: 2 mitad del número Entonces, la ecuación es: Rta: el número es 6. c) Para poder pagar el viaje a Bariloche, los alumnos del colegio ZZ entregan el 40% del total como anticipo, pagan en cuotas el 20% del resto y aún les falta abonar $2800. Cuánto le cuesta el viaje a cada alumno? Pensemos…si: x: total del costo del viaje Rta: el costo del viaje es de $ 5833,33. Programa de Ingreso - UCC 71 FUNCIÓN LINEAL A partir de la siguiente expresión: y = −2 x + 1 ¿Cuántas incógnitas hay en ella? ¿Podríamos escribirla de otra manera? ¿Cómo? ¿Representa la misma expresión anterior? Analicemos ahora, cómo podemos plantear una solución a dicha ecuación, teniendo en cuenta que las incógnitas que presenta son dos. Si le adjudicamos a “x” valores del conjunto de los números reales, ¿qué ocurre con “y”? Se puede apreciar que “y” depende de los valores que puede asumir “x”; o bien que para cada valor de “x”, se obtiene un sólo valor de “y”. A este tipo de relación se la denomina “función”; “x” recibe el nombre de variable independiente e “y” variable dependiente o función, ya que esta depende de los valores que asuma “x”. Retomando el ejemplo, podemos observar que el exponente de la variable independiente es uno por lo que esta función es de 1º grado, análogamente a la ecuación vista anteriormente. Este tipo de funciones se denominan “funciones lineales”, donde además, para cada valor de “y” le corresponde un solo valor de “x”, es decir que existe una correspondencia entre las variables, “uno a uno”. Para estas funciones, como para cualquier tipo de función es posible definir el Dominio de las mismas como todos los valores que puede asumir la variable independiente “x”, tal que la función exista. Su símbolo es D. De la misma manera se define la imagen de la función como todos los valores que asume la variable dependiente o función. Se simboliza con I. En las funciones lineales, el Dominio está formado por el conjunto de los números reales, debido que la función existe, para cualquier número real. Por lo tanto, la Imagen también es el conjunto de los números reales. Importante Ahora bien, a estos valores de “x” e “y” que satisfacen la relación planteada, podemos expresarlos como un par ordenado (x ; y), donde el primer elemento del par, corresponde al valor asignado arbitrariamente a la variable “x” y el segundo elemento del par, corresponde al valor que toma la variable “y”, que depende del anterior. Estos pares ordenados representan puntos del plano. Reflexionemos acerca del porqué de esta afirmación. Analicemos: los valores arbitrarios de la variable “x”, independientemente de los valores de “y”, pertenecen al conjunto de los números reales. Por lo tanto dichos valores necesitan de una recta para ser representados geométricamente. Otro tanto ocurre con los valores que asume la variable dependiente “y”. Se necesita, entonces, una recta que represente al conjunto de valores de “x” Programa de Ingreso - UCC 72 y otra recta para representar los valores de “y”. Surgen así las coordenadas cartesianas, donde cada eje representa a un conjunto de números reales. Retomando el ejemplo planteado anteriormente: y = −2 x + 1 podemos confeccionar una tabla de valores que represente a los pares ordenados que cumplen con la relación planteada, y graficarlos en el sistema de coordenadas antes mencionada. De esta manera, surgen los puntos en el plano que representan a cada uno de esos pares ordenados. Se podrían plantear infinidad de pares ordenados, que satisfacen la “función”. Si a todos esos puntos representados en el plano, los unimos, surge así la línea recta que caracteriza el gráfico de esta función. Dicha recta es la representación geométrica de la relación: y = −2 x + 1 ; llamada “función lineal”. Para pensar y reflexionar Observemos y analicemos detenidamente el gráfico, y vinculémoslo con lo expuesto anteriormente. Nota: observemos que la recta corta en la abscisa x=1/2 y en la ordenada y= 1 Programa de Ingreso - UCC 73 Importante En general: y = a.x +b Representa una función lineal y gráficamente es una recta, donde “a” y “b” son coeficientes constantes. El coeficiente “b” se denomina “ordenada al origen”. ¿Podríamos explicar el porqué de su nombre y qué representa gráficamente? Para pensar y reflexionar ¡Somos capaces de deducir el interrogante planteado! Para ello nos podemos ayudar observando el ejemplo anterior. El coeficiente “a” recibe el nombre de “coeficiente angular”, también denominado “pendiente” de la recta. Recordemos el porqué de su nombre. Observemos los siguientes gráficos: 1 y = −x − y = x−5 3 En general todas las rectas, salvo casos particulares que analizaremos más adelante, cortan al eje “x” (abscisas), formando con el sentido positivo del eje “x” (sentido hacia la derecha o antihorario), un ángulo: (β). El coeficiente “a” es la tangente trigonométrica de ese ángulo. Recordemos que las funciones trigonométricas de un ángulo, son valores numéricos que pueden determinarse en tablas específicas o bien en la calculadora. Si ese tema no lo conocemos, no hay problema, pues lo retomaremos más adelante. Para graficar la función lineal es suficiente con determinar dos puntos en el plano, que respondan a la relación planteada entre “x” e “y”. Hacemos mención a esta relación de: a = tag (β), ya que es importante tener en cuenta esta igualdad porque nos permite analizar el signo de ese coeficiente con el tipo de inclinación que presenta la recta gráficamente. Si el ángulo β Programa de Ingreso - UCC 74 está comprendido entre 0º y 90 º, es decir 0º < β < 90º, los valores de las tangentes trigonométricas correspondientes, son siempre positivas. De allí que el coeficiente angular o pendiente “a” es positivo o mayor que cero y las rectas presentan el tipo de inclinación que muestra la figura 2 de la página anterior. Ahora bien, si el ángulo β está comprendido entre 90º y 180º, es decir 90º < β < 180º, los valores de las tangentes trigonométricas correspondientes a dichos ángulos son de signo negativo. Entonces, el coeficiente angular “a” es negativo, y las rectas presentan el tipo de inclinación que muestra la figura 1 de la página anterior. Es importante que analicemos y tengamos presente la relación que existe entre el signo del coeficiente angular o pendiente “a” y la inclinación que debe presentar la recta cuando se grafica. Esto nos permite formar una idea previa de cómo se debe ver la recta graficada antes de realizar algún tipo de cálculo. De esta manera, si incurrimos en algún error en los cálculos de los puntos (pares ordenados) que satisfacen la relación del modelo matemático, y el gráfico no se corresponde con esa idea previa, entonces podemos revisar dichos cálculos y corregirlos nosotros mismos. Lograremos así tener un gráfico que concuerde con la función dada. Importante Recordemos que para graficar una recta es suficiente con dos puntos del plano. “Dos puntos del plano determinan una y solo una recta”. Un concepto útil y también de mucha aplicación para otras funciones se refiere a “los puntos de corte a los ejes”. Es decir en qué puntos sobre los ejes cartesianos corta la función. Para pensar y reflexionar ¿Cómo encontrar los puntos de corte? Reflexionemos: Para que una recta corte al eje “y” (ordenada) ¿Qué variable debe valer cero? Para que una recta corte al eje “x” (abscisa) ¿Qué variable debe valer cero? Observemos el gráfico siguiente y respondamos los interrogantes. ¡Contamos con herramientas para hacerlo! Determinemos los puntos de corte a los ejes. Programa de Ingreso - UCC 75 El concepto de puntos de corte a los ejes y el razonamiento que este incluye, es importante para muchas aplicaciones. Como por ejemplo función Costo total y función Ingreso total en una empresa. Conceptos tan válidos para las ciencias económicas como para ingenierías. Casos particulares: A continuación tenemos planteadas algunas expresiones como: x = 3 x = - 2 o bien y = 4 y=-1 Dichas expresiones también representan rectas que manifiestan una particularidad en su gráfica. Recordemos ¿cuál es dicha particularidad? Observemos que tanto “x” como “y” están igualadas a una constante. Eso quiere decir que esas rectas son paralelas a los ejes. ∎∎ En el caso en que “x” sea igual a una constante, entonces la recta es paralela al eje “y” (Recta vertical). ∎∎ En el caso que “y” sea igual a una constante, entonces la recta es paralela el eje de las “x” (Recta horizontal) Observemos los siguientes gráficos y eso nos ayudará a reflexionar al respecto… Programa de Ingreso - UCC 76 A continuación tenemos algunas rectas para graficar. Podemos controlar con las claves de respuestas dadas. Actividad a) y = 2x − 3 Rta : corta en x = 3 / 2 e y = −3 1 b) y =− x+4 Rta : corta en x = 8 e y = 4 2 c) 2 x − 4 y = 1 Rta : corta en x = 1 2 e y = −1 4 d ) 4 y − 3x = 2 Rta : corta en x = − 2 3 e y = 1 2 RECONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL En muchas ocasiones se tiene que determinar la función lineal a partir de dos puntos conocidos. Una de las maneras de lograr la función correspondiente, es utilizando el mismo modelo matemático, es decir y = ax + b Conocer los puntos por donde pasa la recta supone conocer los pares ordenados correspondientes (x ;y). Por lo tanto, si se reemplazan dichos valores en el modelo planteado, según corresponda, queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: “a” y “b” que puede ser resuelto por cualquier método que conozca: sustitución, igualación, suma o resta, etc, dichos métodos se plantean más adelante. Observemos que los datos son justamente, valores de las variables “x” e “y” (pares ordenados). Por lo tanto para llegar al modelo lineal se debe determinar sus coeficientes “a” y “b”. Analicemos el ejemplo siguiente: determinar y graficar la función lineal que pasa por los puntos P1( -1; 2) y P2( 1; 3). Siempre es conveniente plantear los puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y trazar la recta previa a los cálculos aritméticos para determinar los valores de los coeficientes “a” y “b”. Esto nos permitirá ver claramente el signo del coeficiente angular que debe obtener de acuerdo a la inclinación de la recta, y además el valor de “b” (ordenada al origen), aproximadamente. Siempre debe realizar los cálculos en forma analítica. Programa de Ingreso - UCC 77 Entonces, sustituyendo los valores de las variables “x” e “y” en el modelo lineal, ( y = ax + b ) nos queda el siguiente sistema: Para resolver este tipo de sistema, el método más adecuado es restando una ecuación de otra, miembro a miembro. Recordemos cómo debe efectuarse la resta en expresiones algebraicas (términos semejantes). Restando miembro a miembro como corresponde De donde se puede despejar “a” coeficiente angular o pendiente 1 a= 2 Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores, se obtiene analíticamente el valor de “b” (ordenada al origen). Una vez obtenidos los valores de los coeficientes “a” y “b”, sólo queda armar la función. Entonces, el modelo lineal que corresponde es: Programa de Ingreso - UCC 78 El modelo lineal se utiliza mucho en ciencias económicas e ingeniería para representar diferentes situaciones que hacen a la operatoria de la empresa. Es por esta razón que debe manejarse con idoneidad para poder comprender y sacar conclusiones cuando se transfiere a estas ciencias. El problema que a continuación se plantea persigue ese objetivo. La empresa Betta S.A , de acuerdo a la Legislación de Riesgo del Trabajo, paga en concepto de ART un monto fijo mensual de $ 2000, y a su vez una tasa variable de $ 35 por empleado. a) Determinar la función lineal que representa el costo en concepto de ART de esta empresa. b) Graficar dicha función. c) ¿Qué representa la ordenada al origen de dicha función? d) ¿Cuál es el costo si el staff de la empresa está compuesto por 100 empleados? e) ¿Cuántos empleados trabajan en la empresa si el costo de ART es de $12500? Para resolver los diferentes ítems, primero deberemos asignar una variable que represente la cantidad de empleados que puede llegar a tener la empresa. A esta variable la simbolizamos “x”, y a la función costo la representamos con “y”. Tengamos en cuenta que en el modelo deben figurar no sólo los costos variables por empleado sino también el monto fijo. Entonces, si x: cantidad de empleados y se abona $35 por cada empleado, más el monto fijo, el modelo lineal puede ser planteado como: a) b) Gráfico: c) Observemos el gráfico y analicemos: el valor de la ordenada al origen corresponde al monto fijo que debe pagar la empresa. d) Para determinar el costo de 100 empleados, sólo debemoss tener en cuenta cuál es la variable que representa al número de empleados, en este caso “x”. Programa de Ingreso - UCC 79 Entonces, valuando la función, según corresponde, se tiene: e) En este ítem la pregunta es sobre la cantidad de empleados que debería tener la empresa para afrontar un costo de $ 12500. Entonces se debe tener bien claro qué variable del modelo representa a ese costo. Por lo tanto: Por lo tanto, cuando el costo en ART es de $ 12.500, la cantidad de empleados es 300. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Los términos del título se refieren a la relación que guardan dos rectas entre sí. Para pensar y reflexionar La pregunta es: ¿Cuándo dos rectas son paralelas entre sí? ¿Qué c