TEMA 11. CONCEPTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS. PDF

# Tema 11. Conceptos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas. ## Índice - Introducción - Conceptos de la teoría de conjuntos - Operaciones entre conjuntos - Axiomatica Zermelo-Fraenkel - Relaciones entre conjuntos - Producto cartesiano - Relación binaria, relación de...

# Tema 11. Conceptos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas. ## Índice - Introducción - Conceptos de la teoría de conjuntos - Operaciones entre conjuntos - Axiomatica Zermelo-Fraenkel - Relaciones entre conjuntos - Producto cartesiano - Relación binaria, relación de equivalencia - Relación de orden - Leyes de composición - Ley de composición interna - Ley de composición externa - Estructuras algebraicas - Grupos - Anillos - Cuerpos - Conclusiones - Bibliografía - Normativa aplicable ## 1. Introducción No se encuentran relaciones directas entre este tema y el currículo de Matemáticas de Secundaria. A lo largo de este tema se desarrollará la conceptualización de la teoría de conjuntos, sus operaciones y la importancia de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la construcción de conjuntos. Se enumerarán las propiedades de los conjuntos: relación binaria, equivalencia y de orden y leyes de composición. Seguidamente nos adentraremos en las estructuras algebraicas a través de los conceptos de: grupo, anillo y cuerpo. La noción de conjunto aparece en 1º de (Matemáticas generales) Bachillerato. Sin embargo, podemos mencionar que este tema fomenta las competencias específicas correspondientes al currículo de Matemáticas de la ESO y al de Bachillerato, tales como: - Modelar y resolver problemas de la vida cotidiana, la ciencia y la tecnología aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento para deducir posibles soluciones. - Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación para sustentar su idoneidad. Se ha utilizado como referencia en este apartado el libro "Bases teóricas del currículo de Matemáticas en Educación Secundaria", Rico, L. (Editor), Editorial Sintesis, (1999). ## 2. Conceptos de la teoría de conjuntos En matemáticas, el concepto de conjunto es básico y previo a todos los restantes pues todos ellos se basan en conocer correctamente el concepto de conjunto. Sin embargo, este concepto no mereció un estudio atento hasta finales del s. XIX. El creador de la teoría de conjuntos fue el matemático alemán G. Cantor, aunque no hay que olvidar a Bolzano como su predecesor quien visionó el estudio de los conjuntos infinitos, pero de una manera más filosófica que matemática. Cantor definió el concepto de conjunto como "una colección de objetos determinados y perfectamente diferenciables en nuestra contemplación o en nuestro pensamiento, que constituyen una totalidad". Resalta que esta intuitiva definición dio lugar a una serie de paradojas. La paradoja más famosa fue la de Bertrand Russell, conocida como la 'paradoja del barbero' y decía así: 'Un barbero se de afeitar a todos aquellos y solo aquellos habitantes que no se afeitan a si mismos, ¿Se de afeitarse a si mismo el barbero? Fruto de esta y otras paradojas, se desarrollaron una serie de axiomatizaciones, algunas de las cuales se desarrollarán en este tema. ### 2.1 Conjuntos. Operaciones Como se ha comentado anteriormente, el concepto de conjunto o una noción primaria, por lo que no posee una noción conveniente, pues los términos para definirla: colección, clase, familia... son sinónimos de conjunto. A los objetos de un conjunto se les denomina elementos. Los conjuntos se simbolizan mediante letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Ejemplo: El conjunto A, formado por los elementos x, 4, 7; se representa como: A={x,4,7} Un conjunto puede estar formado por extensión, si se enumeran todos sus elementos, por comprensión; si se describe a partir de la propiedad que caracteriza sus elementos. En el conjunto A, formado por x, 4, 7; podemos decir que x pertenece a A, esta relación se le denomina de pertenencia. Se puede establecer también la relación de inclusión, que se da entre conjuntos, cuando los elementos de un conjunto A pertenecen a otro conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B y se denota como ACB. Nótese que si ACB y SCA, ambos conjuntos son iguales, y se expresa por A=B El conjunto que no contiene ningún elemento se denomina conjunto vacío, y se simboliza por Ø. Si A es un conjunto, denominaremos conjunto de las partes de A, y lo representaremos por P(A), al conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Todas estas operaciones presentan las siguientes propiedades: #### **Propiedades (Unión e Intersección)** Sean los conjuntos A, B, y C, entonces se verifica: 1. Idempotencia: AUA=A, ANA=A 2. Conmutatividad: AUB=BUA, ANB = BRA 3. Asociatividad: (AUB) UC = AU (BUC), (ARB)NC = An (BAC) 4. Distributividad: bu(BNC) = (ANB) u (AUC), An(BUC) = (ANB) u (Anc) 5. Identidad: AU$ = A, AUU=U, AND= Φ. ANU = A 6. Complementa: A VÁ, ANA= 7. Leyes de Morgan; (DUB) = ÁNB", (AMB): AUBC ### 2.2 Axiomatica Zermelo-Fraenkel Atendiendo a la paradoja de Russell: 'El conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de si mismos', observamos que no toda propiedad permite definir un conjunto. Gola paradoja surge entre otras por la necesidad de axiomatización de la teoria de conjuntos. Los axiomas, de basis de los conjuntos; conceptos primitivos, axiomas o postulados y teoremas. Los conceptos primitivos son aquellos que no se pueden definir, las cuales son proposiciones, y las axiomas son los teoremas que se dan por definición, y los teoremas son preposiciones derivables a través de los axiomas dados. **CONCEPTO PRIMITIVO → AXIOMA → TEOREMA** La primera axiomatización que responde al primer interrogante, fue desarrollada por Bernays en 1908 y posteriormente refutada por Fraenkel. La axiomatización, Bernays-Fraenkel prescribe, a partir de una serie de axiomas, excepto el primero, un conjunto de herramientas para construir conjuntos. 1. **Axioma de extensión**: Los conjuntos A y B son iguales, si todos los elementos de A pertenecen a B y viceversa. Estructura del concepto de igualdad 2. **Axioma de existencia**: Existe al menos un conjunto. Esto se puede interpretar como la existencia de al menos un elemento, ya que si no hay elementos no hay conjunto. 3. **Axioma de especificación**: Sean un conjunto A y una propiedad P(x); Existe un conjunto B formado por los elementos de A que verifican P(x). Este axioma permite definir las operaciones de diferencia e intersección entre conjuntos. 4. **Axioma del par**: Sean los conjuntos A y B. Entonces (A, B) es un conjunto dado por (A,B)={x/ x∈A V x∈B}. Este axioma hace que el número de conjuntos sea ilimitado. 5. **Axioma de la unión**: Dada una familia de conjuntos, existe un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a esa familia. Este axioma permite definir la operación de unión. 6. **Axioma de la potencia**: Sea un conjunto A. P(A) también es un conjunto. Este axioma da salida al conjunto complementario. 7. **Axioma de infinito**: Existe un conjunto A que contiene a Ø y tal que si a∈A, el conjunto a∪{a} también es elemento de A. Este axioma permite la definición de un elemento y el conjunto formado por ese elemento. 8. **Axioma de Reemplazo**: El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacía, no es vacía. Este axioma exige escoger un elemento de cada familia, para hacer el producto cartesiano. 9. **Axioma de sustitución**: Si S(x,y) es una función proposicional tal que para todo x del conjunto A existe el conjunto {y/S(x,y)}, entonces existe una función f definida sobre A tal que la imagen de cada elemento x es f(x)={y/S(x,y)}. Este axioma define conjuntos manipulados razonablemente sobre los elementos de un conjunto (operación de sustitución). 10. **Axioma de regularidad**: Para todo conjunto A existe al menos un T tal que T∈A, X∈T, X∉A. Este axioma permite construir cualquier conjunto a partir del conjunto vacío. ## 3. Relaciones entre conjuntos ### 3.1 Producto cartesiano (¿Concepto de par?) Antes de introducirnos en las relaciones de los conjuntos, definiremos la noción de producto cartesiano que se mencionará en el desarrollo de la relación de orden. **Definición de producto cartesiano**: Dados dos conjuntos A y B se denota producto cartesiano de A y B, y lo denotamos por AxB, al conjunto: AxB = {(a,b)/a∈A y b∈B} . ### 3.2 Relación binaria. Relación de equivalencia Sea un conjunto A, una relación binaria sobre A es un subconjunto AxA, xRy; x,y∈A y (x,y) cumple la relación, esto se expresa por xRy. Para la relación binaria R sobre A, esta cumple las propiedades: 1. **Reflexiva**: Si ∀x∈A, xRx 2. **Simétrica**: Si ∀x,y ∈A, (xRy→ yRx) 3. **Antisimétrica**: Si ∀x,y∈R, (xRy nyRx)→x=y 4. **Transitiva**: Si ∀x,y,z∈A, (xRy^yRz→xRz) Dentro de las relaciones binarias, la relación de equivalencia es una de las más destacables. **Definición** **de relación de equivalencia**: Sea una relación binaria R sobre A. R se denomina relación de equivalencia sobre A si satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Siendo R una relación de equivalencia sobre A, aRb puede leerse como "a es equivalente a b". ### 3.3 Relación de orden La relación de orden es otra relación binaria notable, la cual nos permite establecer una orden entre los elementos de un conjunto. **Definición de relación de orden**: Sean un conjunto A y una relación binaria R, se llama relación de orden sobre A, si R satisface las propiedades reflexiva, asimétrica y transitiva. En el caso de que la relación de orden sobre A, entonces el par (A, R) es un conjunto ordenado. (A, R) puede ser totalmente ordenado o un orden parcial si la cadena se cumple para todos sus elementos o algunos, respectivamente. ## 4. Ley de Composición Es una ley fundamental para desarrollar el concepto de operación y para la definición de estructuras algebraicas. **Definición de Ley de composición**: Dados los conjuntos A y B, se denomina ley de composición sobre los elementos de A y B a cualquier aplicación J: AxB→C donde C es el conjunto de los elementos que se obtienen en operando elementos de los conjuntos distintos, K y A para dar un elemento que puede pertenecer a ellos o a otros conjuntos distintos. Cuando A=B la ley de composición se suele llamar operación. Es habitual que las operaciones se suplen una simbología más general que de tipo +, − , × , / , etc. ### 4.1 Ley de composición interna **Definición de Ley de composición interna**: Decimos que f es una operación o ley de composición interna sobre el conjunto A, si f es una aplicación de la forma f: AXA→A, f(a,b)=ab. Sean las leyes de composición interna f: AxA→A, f (a,b) = a, g: AXA - A, g(x)=xOy. Entonces: 1. La operación + es asociativa en A, si ∀a,b,c ∈ A, (eb)+oc=ao(boc) 2. La operación es conmutativa en A, si ∀a,b ∈ A, ab=ba 3. La operación ∘ es distributiva con respecto a +, si ∀a, b, c ∈ A, a∘(b+c) = (a∘b)+(a∘c) En el conjunto A, con una ley de composición interna, puede poseer ciertos elementos con características especiales: - **Elemento idempotente de la operación**: K∈A, si K⊙K = K - **Elemento neutro de la operación**: H∈A, si ∀a∈A, a⊙H=a - **El elemento a'∈A es simétrico de a ∈A para la operación ®, si a ® a' = a' ® a = e, donde e es el neutro de la operación ®**. ### 4.2 Ley de composición externa **Definición de ley de composición externa**: Se denomina Ley de composición externa a toda aplicación de la forma f: KxA→B La diferencia con la ley de composición interna es que operamos elementos de dos conjuntos distintos, K y A para obtener un elemento que puede pertenecer a ellos o a otros conjuntos distintos. ## 5. Estructuras algebraicas. Las estructuras algebraicas son una parte fundamental del álgebra moderna, estudiadas a lo largo de las siglas XX XX Las estructuras algebraicas emergen cuando se analizan las propiedades que satisfacen las operaciones definidas sobre un conjunto. ### 5.1 Grupos Vamos a centrar el estudio de las estructuras con una ley de composición interna: los grupos. **Definición de Grupo**: Sea un conjunto G dotado de una operación ⊙ Decimos que G tiene estructura de grupo respecto de ⊙, o que (G, ⊙) es un grupo, si dicha operación es asociativa, posee elemento neutro y todo elemento posee simétrico. Si la operación ⊙ es conmutativa, se dice que (G, ⊙) es un grupo conmutativo o abeliano #### **Propiedades de los grupos**: 1. ∀x,y,z∈G, x⊙y = z→x=z⊙y^-1 , y^-1⊙x = z 2. Las ecuaciones de la forma a ⊙ x = b admitan la solución x = b⊙a^-1. 3. ∀x,y∈G, (x⊙y)^-1 = y^-1 ⊙ x^-1 4. ∀x∈G, (x^-1)^-1 = x Si (G, ⊙) es un grupo y S es un subconjunto no vacío de G y además cumple las propiedades de grupo: (S, ⊙), a S se le denomina subgrupo. ### 5.2 Anillos Abordamos ahora las estructuras con dos leyes de composición. **Definición**: Dados el conjunto A y dos leyes de composición interna ⊗ y ⊕. Diremos que la terna (A, ⊗, ⊕) es un anillo si se verifica que: a) ⊗, ⊕ son leyes asociativas con respecto a la operación ⊗ b) La operación ⊗ es distributiva con respecto a la operación ⊕ Si la segunda operación ⊕ es conmutativa, el anillo se denomina anillo conmutativo. Además de poseer las propiedades de los grupos, el anillo posee las siguientes: - ∀x∈A, x⊕e = e⊕x = e - ∀x,y∈A, x⊕y^-1 = x⊕y = (x⊕y)^-1 Sea (A, ⊕, ⊗) un anillo íntegro (que no posee divisores de cero): - ∀x,y∈A, x⊗y = c , solo se verifica para x = 0 o y=0 - ∀x,y∈A, (x⊕y)^-1= x^-1⊕y^-1 Sea (A, ⊕,⊗) un anillo unitario (posee elemento neutro respecto a ⊗): - ∀x∈A, (x)^-1 es inversible, también lo será x⊕y (x⊕y)^-1=x^-1⊕y^-1 - ∀x∈A, Si x es inversible también lo será x^-1 (x^-1)^-1=x - ∀x∈A, el elemento e es no inversible. Igual que con los subgrupos, los subconjuntos de anillos que heredan su estructura algebraica se denominan subanillos. **Definición de subanillo**: Sean (A, ⊕, ⊗) un anillo, SCA, S posee las propiedades que se enumeran en el anillo (A, ⊕, ⊗). S posee, a su vez, estructura de anillo. ### 5.3 Cuerpos **Definición de cuerpo**: Un cuerpo es una terna (K, ⊕, ⊗) formada por un conjunto K y dos leyes de composición interna ⊕ y ⊗ que: a) (K, ⊕) es un grupo abeliano b) (K*, ⊗) es un grupo c) la operación ⊗ es distributiva respecto de la operación ⊕ Nótese que un cuerpo es realmente un anillo unitario tal que cualquier elemento, exceptuando 'e', posee elemento simétrico respecto la operación ⊗. Ejemplos de cuerpos son: (Q, +, .), (R,+,.), (C,+,.) Para definir un subcuerpo seguimos la misma línea que para subanillos y subgrupos. **Definición de subcuerpo**: Diremos que un subconjunto no vacío S es un subcuerpo de cuerpo (K, ⊕,⊗) si la terna (S, ⊕, ⊗) posee estructura de cuerpo ## 6. Conclusiones En este tema que trata sobre teoría de conjuntos y estructuras algebraicas, se justifica con un breve introducción histórica que define la definición y estudio de conjuntos y la necesidad previa de axiomatización. En este tema continua, tratamos las operaciones entre conjuntos, con la axiomatización más notable, la de Zermelo-Fraenkel. Tras esto se muestran algunas relaciones entre conjuntos y la Ley de composición, fundamental esta última para desarrollar el concepto de operación y para definir y definir las estructuras algebraicas. Por último, se enumeran y definen las distintas estructuras algebraicas, grupo, anillo y cuerpo; a través de sus operaciones y se enumeran sus propiedades: | ESTRUCTURA | PROPIEDADES | |------------------------|--------------------------------------------------------------------------| | **GRUPO** | (G, ⊙), (⊙, 0), (R,⊙), (0,⊙) | | **GRUPO ABELIANO** | (G,⊙) | | **SUB GRUPO** | (S,⊙) | | **ANILLO** | (A, ⊕, ⊙), (⊙, 0), (R,⊙), (0,⊙), (G,⊕,⊙) | | **SUBANILLO** | (S, ⊕, ⊙) | | **CUERPO** | (A, ⊕, ⊙), (R, ⊕, ⊙), (C, ⊕, ⊙), (Z₂, ⊕, ⊗) | | **SUBCUERPO** | (S, ⊕ , ⊙)→a + b rz; a, b ∈ @ | ## 7. Bibliografía - Cresswen, 8. 2. e Thara, 5., 'Algebra lineal, McGraw Hill, México, 2015. - Herrández, E., Vázquer, M. 5. y Zurra. M.A, Álgebra lineal y geometría, Pearsen, Madrid, 2012. - Rico, L. (editor), Bases teóricas del currículo de Matemáticas en Educación Secundaria, Ed. Sintesis, Madrid, 1999. ## 8. Normativa aplicable - Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, BOE núm. 106 de 4 de mayo de 2006. - Ley Orgánica 3/2020, de 11 de diciembre, por la que se modifica la ley orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. BOE núm. 3/B de 30 de diciembre de 2020. - Orden 30 de mayo de 2025 por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la etapa de Bachillerato en Andalucía, BOE núm. 104, 2 de Junio de 2023. ## Diagrama This diagram shows the relationship between the concepts of set theory and algebraic structures: - **Definición de conjunto (Cantor)** - **Axiomatica Zermelo-Fraenkel** - **Teoría de conjuntos** - **Operaciones** - **Unión** - **Intersección** - **Diferencia** - **Complemento** - **Producto cartesiano** - **Relaciones binarias** - **Equivalencia** - **Orden** - **Ley de composición (operación)** - **Estructuras algebraicas** - **Grupo** - **Anillo** - **Cuerpo**