الإحصاء الوصفي والتمثيل البياني - جامعة عبد المالك السعدي

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫جامعة عبد املالك السعدي‬ ‫املدرسة العليا لألساتذة‬ ‫مسلك اإلجازة في التربية تخصص التعليم الثانوي ‪ -‬تاريخ وجغر افيا‬...

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫جامعة عبد املالك السعدي‬ ‫املدرسة العليا لألساتذة‬ ‫مسلك اإلجازة في التربية تخصص التعليم الثانوي ‪ -‬تاريخ وجغر افيا‬ ‫‪ -‬الفصل األول ‪-‬‬ ‫‪ -‬اإلحصاء الوصفي والتمثيل املبياني ‪-‬‬ ‫السنة الجامعية‪2025-2024 :‬‬ ‫‪1‬‬  ‫فهرسة املحتوى‬ ‫المحور األول‪:‬‬ ‫تعريف المبادئ األساسية لإلحصاء‬ ‫‪ -1‬املجتمع اإلحصائي ‪4................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2‬العينة ‪4.............................................................................................................................‬‬ ‫أ‪ -‬عوامل اختيار حجم العينة ‪4....................................................................................................‬‬ ‫ب‪ -‬مراحل اختيار حجم العينة ‪5...................................................................................................‬‬ ‫ج‪ -‬االستعانة بصيغ رياضية لدراسة العينة النموذجية‪5..........................................................................‬‬ ‫د‪ -‬أعمال تطبيقية تخص طرق تحديد العينات ‪7..................................................................................‬‬ ‫المحور الثاني‪:‬‬ ‫تصنيف البيانات اإلحصائية‬ ‫‪ -1‬املتغيرات النوعية أو اللفظية (الصفات الكيفية) ‪8...............................................................................‬‬ ‫‪ -2‬املتغيرات الكمية أو القيمية ‪8......................................................................................................‬‬ ‫‪ -3‬تقديم املتغيرات في جداول إحصائية ‪8.............................................................................................‬‬ ‫المحور الثالث‪:‬‬ ‫المق اييس اإلحصائية‬ ‫‪ -1‬مقاييس النزعة املركزية‪12.........................................................................................................‬‬ ‫أ‪ -‬املتوسط الحسابي (‪12........................................................................)La Moyenne Arithmétique‬‬ ‫ب‪ -‬املنوال (‪12......................................................................................................... )Le Mode‬‬ ‫ج‪ -‬الوسيط (‪12................................................................................................... )La Médiane‬‬ ‫‪ -2‬مقاييس نزعة التشتت‪13..........................................................................................................‬‬ ‫أ‪ -‬املدى (‪13.......................................................................................................... )L'Étendue‬‬ ‫ب‪ -‬الربيعات والعشيرات (‪13............................................................................... )Quartile et Décile‬‬ ‫ج‪ -‬التباين واالنحراف املعياري (‪17...................................................................)Variance et Écart-type‬‬ ‫د‪ -‬املدى الربيعي (‪18.......................................................................................................... )IIQ‬‬ ‫‪2‬‬  ‫أهداف الوحدة‬ ‫التعرف على بعض العناصر األولية لعلم اإلحصاء؛‬ ‫التفتح على علم اإلحصاء كأحد األدوات الكمية املساعدة على التحليل الجغرافي؛‬ ‫تقديم‬ ‫ظهر اإلحصاء منذ زمن بعيد في تاريخ البشرية‪ ،‬ذلك أن الرغبة في الحصول على املعلومات الكمية والنوعية كانت متجلية‬ ‫عند الحضارات اإلنسانية القديمة‪ ،‬املصرية والصينية واإلغريقية ‪،...‬‬ ‫يمكن إرجاع أصل اإلحصاء الوصفي إلى العصور القديمة من روما القديمة والصين‪ ،‬كما أجرى البابليون واملصريون‬ ‫تعدادات في ‪ 3000 - 4500‬قبل امليالد‪.‬ومن املعروف أنه تم إجراء تعداد سكاني في الصين خالل ‪ 5‬آالف عام قبل امليالد‪.‬‬ ‫كما أجرى اإلمبراطور الروماني أوغسطس ‪ 27‬قبل امليالد ‪ 17 -‬م مسوحات حول املواليد والوفيات ملواطني اإلمبراطورية‪،‬‬ ‫باإلضافة إلى حجم املاشية التي يمتلكها كل منهم واملحاصيل التي تم حصادها‪.‬‬ ‫وفي العصور الوسطى تم إجراء تعدادات السكان والسلع املنزلية واألراض ي‪ ،‬فخالل القرن الرابع عشر بدأ الناس في‬ ‫االحتفاظ بسجالت املواليد والوفيات والحوادث‪.‬‬ ‫‪3‬‬  ‫املحوراألول‪ :‬تعريف املبادئ األساسية لإلحصاء‬ ‫أهم املفاهيم األساسية‬ ‫املتغير‬ ‫العينة اإلحصائية‬ ‫املجتمع اإلحصائي‬ ‫‪Variable‬‬ ‫‪Sample‬‬ ‫‪Population‬‬ ‫‪ -1‬املجتمع اإلحصائي‬ ‫يمثل املجتمع بمعناه اإلحصائي مجموعة من األفراد أو األشياء أو الظواهر املعاينة‪ ،‬التي تتوفر على خاصية مشتركة والتي‬ ‫تتم دراستها بهدف الوصول إلى نتيجة معينة (مثل‪ :‬سكان املغرب طلبة املدرسة العليا لألساتذة‪ ،‬مراكب صيد ميناء املضيق‪.).... ،‬‬ ‫يشكل حجم املجتمع عامال أساسيا خالل عملية البحث اإلحصائي‪ ،‬ويعبر عنه بعدد األفراد املكونة للمجتمع املدروس‪،‬‬ ‫وحسب عدد هذه العناصر يمكن أن نميز بين مجتمع محدود ومجتمع غير محدود‪.‬‬ ‫حينما يكون عدد األفراد كبيرا جدا فإنه من الصعب أن تتم دراسته ومتابعة جميع أفراده‪ ،‬كما تصبح الدراسة اإلحصائية‬ ‫حين إذن شاقة وطويلة ومكلفة؛ في هذه الحالة يتم دراسة جزء صغير من املجتمع عوض دراسة املجتمع بأكمله‪ ،‬ونسمي هذا الجزء‬ ‫الصغير من املجتمع بـ "العينة"‪.‬‬ ‫‪ -2‬العينة‬ ‫تعرف العينة على أنها مجموعة من العناصر املنتمية للمجتمع اإلحصائي‪ ،‬أي أنها جزء من املجتمع اإلحصائي‪ ،‬بحيث يتم‬ ‫اختيارها كي تمثل جميع أفراد املجتمع تمثيال جيدا‪.‬وتعتبر دراسة العينة أسهل بكثير من دراسة املجتمع بأكمله‪ ،‬كما أنها تتطلب‬ ‫مجهودا ووقتا وتكاليف أقل‪.‬‬ ‫أ‪ -‬عوامل اختيارحجم العينة‬ ‫ كلما زادت درجة‬ ‫ كلما زاد التباين‪،‬‬ ‫الثقة املطلوبة‪،‬‬ ‫يزيد حجم العينة‬ ‫زاد حجم العينة‬ ‫درجة الثقة‬ ‫درجة التباين في‬ ‫املطلوبة في‬ ‫خصائص‬ ‫الدراسة املراد‬ ‫املجتمع؛‬ ‫إنجازها؛‬ ‫هامش الخطأ‬ ‫مدى الدقة‬ ‫الذي يسمح به‬ ‫املطلوبة في‬ ‫في نتائج العينة؛‬ ‫نتائج العينة؛‬ ‫ كلما قل هامش‬ ‫ كلما زادت درجة‬ ‫الخطأ املسموح به‬ ‫الدقة املطلوبة‪،‬‬ ‫زاد حجم العينة‬ ‫زاد حجم العينة‬ ‫‪4‬‬  ‫ب‪ -‬مراحل اختيارحجم العينة‬ ‫االستعانة‬ ‫تحديد‬ ‫لضبط أكبر‬ ‫تحديد‬ ‫لتمييز املجتمع‬ ‫تحديد‬ ‫بصيغ رياضية‬ ‫العدد‬ ‫عدد ممكن من‬ ‫متغيرات‬ ‫املدروس من‬ ‫مجتمع‬ ‫معتمدة‬ ‫املناسب‬ ‫املتغيرات‬ ‫الدراسة‬ ‫غيره‬ ‫الدراسة‬ ‫وموثوق فيها‬ ‫يتم اللجوء إلى هذا النوع من العينات في املجتمعات غير املتجانسة والتي تتباين عناصرها وفقا لخواص معينة‪ ،‬مثل‬ ‫املستوى التعليمي ملجتمع الدراسة‪ ،‬الجنس‪ ،‬نوع التخصص‪.‬بحيث يمكن تقسيم مجتمع الدراسة إلى عدة طبقا ت منظمة‪ ،‬مع‬ ‫الحرص على أن يكون االنتقاء متكافئا بين هذه الطبقات‪.‬‬ ‫ج‪ -‬االستعانة بصيغ رياضية لدراسة العينة النموذجية‬ ‫تجب اإلشارة إلى أن جودة الدراسة اإلحصائية تعتمد على ما يسمى بالعينة النموذجية‪ ،‬وهي عينة تحتوي على الخصائص‬ ‫البارزة للمجتمع وبنسب مساوية لتلك املوجودة في املجتمع املدروس‪.‬ومن الصيغ الرياضية األساسية لدراسة عينة نموذجية نذكر‪:‬‬ ‫الصيغة األولى‪:‬‬ ‫𝐴‬ ‫=𝑋‬ ‫𝐴‬ ‫) (‪1+‬‬ ‫𝑁‬ ‫بحيث‪:‬‬ ‫𝑋 = تمثل عدد وحدات العينة؛‬ ‫𝑁 = تمثل الحصيص اإلجمالي (عدد أفرا د املجتمع اإلحصائي)‪.‬‬ ‫𝐴 = يتم حسابها اعتماد ا على املعادلة التالية‪:‬‬ ‫فسحة الثقة × التباين × التجانس‬ ‫=𝐴‬ ‫نسبة احتمال الخطأ‬ ‫بحيث‪:‬‬ ‫فسحة الثقة = ‪ 1.962‬؛‬ ‫نسبة احتمال الخطأ = ‪. 0.052‬‬ ‫ويتم حساب التباين والتجانس انطالقا من استحضار املتغيرات املعبرة واملتحكمة في تطور الظاهرة املدروسة‪ ،‬وذلك باعتماد‬ ‫املعادلتين التاليتين‪:‬‬ ‫عدد العناصر التي تحقق املتغير‬ ‫عدد العناصر التي تحقق املتغير‬ ‫التباين =‬ ‫التجانس =‬ ‫الحصيص اإلجمالي‬ ‫الحصيص اإلجمالي‬ ‫‪5‬‬  ‫الصيغة الثانية‪:‬‬ ‫في حالة صعوبة إيجاد التجانس والتباين على مستوى مجال ومجتمع الدراسة‪ ،‬يمكن االعتماد على معادالت أخرى موثوقة‪،‬‬ ‫من أبرزها معادلة ريتشارد جيجر‪:‬‬ ‫‪(𝑑𝑧 ) × (0.5)2‬‬ ‫=𝑥‬ ‫‪1 𝑧 2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫([‬ ‫]‪× (0.5)2 − 1‬‬ ‫)𝑑 𝑁‬ ‫بحيث‪:‬‬ ‫𝑁 = تمثل الحصيص اإلجمالي (عدد أفرا د املجتمع اإلحصائي)؛‬ ‫𝑧 = فسحة الثقة (‪ ) 1.962‬؛‬ ‫𝑑 = نسبة احتمال الخطأ (‪.) 0.052‬‬ ‫بعد حساب هذه املعطيات نحصل على ما يلي‪:‬‬ ‫‪384.16‬‬ ‫=𝑥‬ ‫‪384.16‬‬ ‫) 𝑁 ‪(1 +‬‬ ‫‪6‬‬  ‫د‪ -‬أعمال تطبيقية تخص طرق تحديد العينات‬ ‫التمرين األول‪:‬‬ ‫لنفترض أن موضوع بحث سيعالج "االستهالك املائي بحي الديسة بالجماعة الحضرية ملارتيل"‪ ،‬وأن االستمارة ستوجه لعينة‬ ‫من أرباب أسر هذا الحي‪ ،‬علما أن عدد األسر به بلغ ‪ 2433‬أسرة خالل إحصاء ‪.2014‬‬ ‫ويمكن اعتبار مؤشر نسبة الربط باملاء الصالح للشرب ‪ %94‬أهم املتغيرات املتحكمة في تطو ر الظاهرة املدروسة (مؤشري‬ ‫التجانس والتباين)‪.‬‬ ‫املطلوب حساب حجم العينة باعتماد العادلة املوالية‪:‬‬ ‫𝐴‬ ‫=𝑋‬ ‫𝐴‬ ‫) (‪1+‬‬ ‫𝑁‬ ‫التجانس = ‪0.94‬‬ ‫بحيث‪:‬‬ ‫التباين = ‪0.06‬‬ ‫فسحة الثقة = ‪1.962‬‬ ‫املجتمع اإلحصائي = ‪2433‬‬ ‫نسبة احتمال الخطأ = ‪0.052‬‬ ‫جواب التمرين األول‬ ‫‪1.962 × 0.94 × 0.06‬‬ ‫‪0.22‬‬ ‫=𝐴‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 86.67‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.0025‬‬ ‫‪86.67‬‬ ‫=𝑋‬ ‫‪= 84‬‬ ‫‪1 + (86.67‬‬ ‫) ‪2433‬‬ ‫عدد وحدات العينة هو ‪ 84‬أسرة‪.‬‬ ‫التمرين الثاني‪:‬‬ ‫لنفترض أن موضوع بحث سيعالج " اإلكراهات البيئية بأحد دواوير الجماعة الحضرية" حالة الدواوير التالية‪:‬‬ ‫عدد األسر‬ ‫اسم الدوار‬ ‫‪285‬‬ ‫أ‬ ‫‪1402‬‬ ‫ب‬ ‫‪717‬‬ ‫ج‬ ‫املطلوب حساب عينة كل دوار على حدة باعتماد معادلة ريتشارد جيجر‪:‬‬ ‫جواب التمرين الثاني‬ ‫نسبة العينة (‪)%‬‬ ‫عدد وحدات العينة‬ ‫املعادلة‬ ‫عدد األسر‬ ‫اسم الدوار‬ ‫‪384.16‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪164‬‬ ‫‪384.16‬‬ ‫‪285‬‬ ‫أ‬ ‫‪(1 +‬‬ ‫)‬ ‫‪285‬‬ ‫‪384.16‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪303‬‬ ‫‪384.16‬‬ ‫‪1402‬‬ ‫ب‬ ‫) ‪(1 + 1402‬‬ ‫‪384.16‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪251‬‬ ‫‪384.16‬‬ ‫‪717‬‬ ‫ج‬ ‫) ‪(1 + 717‬‬ ‫‪7‬‬  ‫املحورالثاني‪ :‬تصنيف البيانات اإلحصائية‬ ‫‪ -1‬املتغيرات النوعية أو اللفظية (الصفات الكيفية)‬ ‫املتغيرات النوعية هي مجموع البيانات غير القابلة للقياس‪ ،‬والتي ال يمكن التعبير عنها بواسطة األعداد‪ ،‬ولكن يمكن التعبير‬ ‫عنها بواسطة الكلمات؛ أي تكون املعطيات نوعية حينما تكون الفوارق بين هذه املعطيات غير قابلة للعد (الحالة العائلية‪،‬‬ ‫الجنسية‪ ،‬املهنة‪.)... ،‬‬ ‫‪ -2‬املتغيرات الكمية أو القيمية‬ ‫املتغيرات الكمية هي مجموع البيانات التي يمكن التعبير عنها بواسطة أعداد كما يمكن قياسها وتقديرها‪ :‬الطول‪ ،‬السن‪،‬‬ ‫الوزن ‪...‬؛ أي تكون املعطيات كمية حينما تتخذ هذه املعطيات قيما ومقادير مختلطة (املساحة‪ ،‬السن‪ ،‬الطول‪ ،‬الوزن‪.)... ،‬بصيغة‬ ‫أخرى إذا اعتبرنا أن صفة الطول ملجتمع مكون من الطلبة‪ ،‬فإن هذه الصفة هي عنصر بارز مشترك بين جميع أفراد هذا ملجتمع‬ ‫غير أن قيمتها تتغير عندهم‪.‬‬ ‫"بهذا املعنى فإن جميع قيم الطول عند هؤالء الطلبة تسمى قيما متغيرة بينما تسمى صفة الطول باملتغير"‪.‬‬ ‫‪ -3‬تقديم املتغيرات في جداول إحصائية‬ ‫تعريفات‬ ‫هي املعيار الذي يصنف وفقه أفراد الساكنة اإلحصائية وهي نوعان؛ نوعية وكمية‬ ‫امليزة اإلحصائية‬ ‫وهي التي يمكن التعبير عنها بأعداد (السن‪ ،‬الطول‪ ،‬الوزن‪).... ،‬‬ ‫امليزة الكمية‬ ‫ال يمكن التعبير عنها بأعداد (اللغة‪ ،‬الجنسية‪ ،‬اللون‪)... ،‬‬ ‫امليزة النوعية‬ ‫الحصيص املوافق لقيمة ميزة معينة‪ ،‬هو عدد أفراد املجتمع اإلحصائي التي تتوفر فيهم هذه‬ ‫الحصيص‬ ‫القيمة‬ ‫‪EFFICTIFE‬‬ ‫الحصيص اإلجمالي‬ ‫الحصيص اإلجمالي لسلسة إحصائية هو مجموع الحصيصات‬ ‫‪E. TOTAL‬‬ ‫هو املرتبط بقيمة من قيم امليزة الكمية وهو عدد أفراد املجتمع اإلحصائي الذين يتوفرون على‬ ‫الحصيص املتراكم‬ ‫ميزة أصغر من أو يساوي هذه القيمة‬ ‫‪E. CUMULATIF‬‬ ‫املنوال‬ ‫منوال متسلسلة إحصائية هو قيمة امليزة التي لها أكبر حصيص‬ ‫‪MODE‬‬ ‫𝑀‬ ‫التردد لقيمة ميزة معينة ( 𝑖𝑥) هو خارج الحصيص املوافق لهذه القيمة على الحصيص اإلجمالي‪:‬‬ ‫التردد‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫‪Frequence‬‬ ‫= 𝑖𝑓‬ ‫𝑁‬ ‫𝑖𝑓‬ ‫‪8‬‬  ‫النسب املئوية‬ ‫املوافقة لقيمة ميزة معينة هي‬ ‫‪Pourcentage‬‬ ‫𝑖𝑃‬ ‫𝑖𝑓 × ‪= 100‬‬ ‫𝑖𝑃‬ ‫املوافق لقيمة ميزة معينة ( 𝑖𝑥) هو خارج حصيصها املتراكم ( 𝑖𝑁) على الحصيص اإلجمالي‬ ‫للمتسلسلة اإلحصائية‬ ‫التردد املتراكم‬ ‫𝑖𝑁‬ ‫𝑖𝐹‬ ‫= 𝑖𝐹‬ ‫𝑁‬ ‫إذا كانت متسلسلة إحصائية ذات ميزة كمية فإن املتوسط الحسابي هو خارج مجموع جداءات‬ ‫قيمة امليزة ( 𝑖𝑥) في حصيصها (‪ )𝑛1‬على الحصيص اإلجمالي (𝑁)‪.‬‬ ‫) 𝑘𝑛 ‪(𝑥1. 𝑛1 ) + (𝑥2. 𝑛2 ) + ⋯ + (𝑥𝑅.‬‬ ‫=𝑚‬ ‫املتوسط الحسابي‬ ‫𝑁‬ ‫وفي حالة إذا كانت متسلسلة إحصائية معبر عنها بأصناف‪ ،‬فإن حساب املتوسط الحسابي يأخذ‬ ‫‪Moyenne‬‬ ‫‪Arithmétique‬‬ ‫مركز األصناف كقيمة لها‪ ،‬مثال إذا كان الصنف هو [ ‪ [𝑎1 − 𝑎2‬فإننا نأخذ 𝑖𝑥 مركزا للصنف‬ ‫𝑚‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫‪𝑎1 + 𝑎2‬‬ ‫= 𝑖𝑥‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أجريت تجربة على ‪ 200‬مصباح لتحديد مدة صالح هذه النوعية من املصابيح فحصلنا على النتائج التالية‪:‬‬ ‫مدة املصباح‬ ‫[‪[11 – 9‬‬ ‫[‪[9 – 7‬‬ ‫[‪[7 – 5‬‬ ‫[‪[5 – 3‬‬ ‫𝑖𝑥‬ ‫عدد املصابيح‬ ‫‪80‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪20‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫‪ -‬أحسب املتوسط الحسابي‪.‬‬ ‫جواب املثال‪:‬‬ ‫‪ -‬حساب املتوسط الحسابي‪:‬‬ ‫) 𝑘𝑛 ‪(𝑥1. 𝑛1 ) + (𝑥2. 𝑛2 ) + ⋯ + (𝑥𝑅.‬‬ ‫=𝑚‬ ‫𝑁‬ ‫)‪(4 × 20) + (6 × 46) + (8 × 54) + (10 × 80‬‬ ‫=𝑚‬ ‫‪200‬‬ ‫‪1588‬‬ ‫=𝑚‬ ‫‪200‬‬ ‫‪𝑚 = 7.94‬‬ ‫إذن املتوسط الحسابي ملدة صالح هذه النوعية من املصابيح هو ‪ 7,94‬يوم‪.‬‬ ‫‪9‬‬  ‫التمرين األول‪:‬‬ ‫يقدم الجدول توزيع عدد الطلبة الحاصلين على النقط التالية‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫النقط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫عدد الطلبة الحاصلين على النقطة‬ ‫قم باإلجابة على ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -5‬ما هو منوال هذه املتسلسلة اإلحصائية؟‬ ‫‪ -1‬ماهي القيمة املعتمدة في هذه السلسلة اإلحصائية؟‬ ‫‪ -6‬ما هو تردد كل قيمة؟‬ ‫‪ -2‬ماهي قيمة امليزة؟‬ ‫‪ -7‬أحسب التردد املتراكم والتردد اإلجمالي‪.‬‬ ‫‪ -3‬ما هو حصيص كل قيمة؟‬ ‫‪ -8‬أحسب 𝑖𝑃لكل قيمة ميزة‪.‬‬ ‫‪ -4‬ما هو الحصيص املتراكم لكل قيمة؟ وما هو الحصيص‬ ‫‪ -9‬أحسب املتوسط الحسابي للمتسلسلة اإلحصائية (𝑚)‪.‬‬ ‫اإلجمالي؟‬ ‫جواب التمرين األول‪:‬‬ ‫النقط‬ ‫‪18‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) 𝑖𝑥(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫( 𝑖𝑛)‬ ‫عدد الطلبة الحاصلين على النقطة‬ ‫‪40‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪7‬‬ ‫( 𝑖𝑁)‬ ‫الحصيص املتراكم‬ ‫‪0.025‬‬ ‫‪0.125‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.325‬‬ ‫‪0.250‬‬ ‫‪0.175‬‬ ‫( 𝑖𝑓)‬ ‫التردد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.975‬‬ ‫‪0.85‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.425‬‬ ‫‪0.175‬‬ ‫( 𝑖𝐹)‬ ‫التردد املتراكم‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪32.5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪17.5‬‬ ‫( 𝑖𝑃)‬ ‫النسبة املئوية‬ ‫‪ -1‬املعيار الذي تم اعتماده في هذه السلسلة اإلحصائية من أجل تصنيف املجتمع اإلحصائي هو النقطة‪ ،‬هذه األخيرة إذن هي‬ ‫القيمة املعتمدة‪.‬‬ ‫‪ -4‬الحصيص اإلجمالي في هذه السلسلة اإلحصائية هو ‪.40‬‬ ‫‪ -5‬منوال املتسلسلة هو قيمة امليزة التي لها أكبر حصيص‪ ،‬الذي هو ‪.10‬‬ ‫‪ -7‬التردد اإلجمالي في هذه السلسلة اإلحصائية هو ‪.1‬‬ ‫‪ -9‬املتوسط الحسابي للمتسلسلة اإلحصائية هو‪:‬‬ ‫) 𝑘𝑛 ‪(𝑥1. 𝑛1 ) + (𝑥2. 𝑛2 ) + ⋯ + (𝑥𝑅.‬‬ ‫=𝑚‬ ‫𝑁‬ ‫)‪(5 × 7) + (7 × 10) + (10 × 13) + (12 × 4) + (14 × 5) + (18 × 1‬‬ ‫=𝑚‬ ‫‪40‬‬ ‫‪371‬‬ ‫=𝑚‬ ‫‪40‬‬ ‫‪𝑚 = 9.275‬‬ ‫إذن املتوسط الحسابي للنقط التي حصل عليها الطلبة هي ‪.9,275‬‬ ‫‪10‬‬  ‫التمرين الثاني‪:‬‬ ‫يقدم الجدول التالي عدد األطفال بالنسبة لعدد األسر داخل حي ‪:X‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫عدد األطفال‬ ‫‪20‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫عدد األسر‬ ‫قم باإلجابة على ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -5‬أحسب النسبة املئوية‪.‬‬ ‫‪ -1‬ما هو عدد األسر التي لها طفالن على األكثر؟‬ ‫‪ -6‬حدد املنوال‪.‬‬ ‫‪ -2‬ما هو عدد األسر التي لها ‪ 3‬أطفال على األقل؟‬ ‫‪ -7‬أحسب املتوسط الحسابي للسلسلة اإلحصائية‪.‬‬ ‫‪ -3‬أحسب الحصيصات املتراكمة‪.‬‬ ‫‪ -4‬أحسب الترددات املتراكمة‪.‬‬ ‫جواب التمرين الثاني‪:‬‬ ‫‪ -2‬عدد األسر التي لها ‪ 3‬أطفال على األقل هي ‪ 40‬أسرة‪.‬‬ ‫‪ -1‬عدد األسر التي لها طفالن على األكثر هي ‪ 30‬أسرة‪.‬‬ ‫‪ -6‬منوال هذه املتسلسلة اإلحصائية هو قيمة امليزة التي لها أكبر حصيص وهو ‪.5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑖𝑥‬ ‫‪20‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑖𝑛‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑖𝑁‬ ‫‪0.286‬‬ ‫‪0.129‬‬ ‫‪0.157‬‬ ‫‪0.143‬‬ ‫‪0.171‬‬ ‫‪0.114‬‬ ‫𝑖𝑓‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.714‬‬ ‫‪0.586‬‬ ‫‪0.429‬‬ ‫‪0.286‬‬ ‫‪0.114‬‬ ‫𝑖𝐹‬ ‫‪28.6‬‬ ‫‪12.9‬‬ ‫‪15.7‬‬ ‫‪14.3‬‬ ‫‪17.1‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫𝑖𝑃‬ ‫‪ -7‬املتوسط الحسابي للمتسلسلة اإلحصائية هو‪:‬‬ ‫‪(0 × 8) + (1 × 12) + (2 × 10) + (3 × 11) + (4 × 9) + (5 × 20) 201‬‬ ‫=𝑚‬ ‫=‬ ‫‪= 2.871‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪70‬‬ ‫التمرين الثالث‪:‬‬ ‫يبن الجدول عدد السنوات التي قضاها ‪ 40‬تلميذ (ة) في أحد مؤسسة الثانوية اإلعدادية قبل التحاقهم بمؤسسة الثانوية التأهيلية‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫قم باإلجابة على ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -3‬أحسب 𝑚 لهذه املتسلسلة اإلحصائية‬ ‫‪ -2‬أنش ئ جدول 𝑖𝑃‪.‬‬ ‫‪ -1‬أنش ئ جدول 𝑖𝐹‪.‬‬ ‫جواب التمرين الثالث‪:‬‬ ‫حساب املتوسط الحسابي‪:‬‬ ‫‪ 1 -‬و‪:2‬‬ ‫‪(3 × 27) + (4 × 8) + (5 × 5) 138‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝒊𝒙‬ ‫=𝑚‬ ‫=‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪27‬‬ ‫𝒊𝒏‬ ‫‪𝑚 = 3.45‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪27‬‬ ‫𝒊𝑵‬ ‫‪0.125‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.675‬‬ ‫𝒊𝒇‬ ‫‪ -3‬إذن املتوسط الحسابي للسنوات التي يقضيها كل تلميذ في‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.875‬‬ ‫‪0.675‬‬ ‫𝒊𝑭‬ ‫املرحلة اإلعدادية هي ‪ 3.45‬سنة‪.‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪67.5‬‬ ‫𝒊𝑷‬ ‫‪11‬‬  ‫املحورالثالث‪ :‬املقاييس اإلحصائية‬ ‫‪ -1‬مقاييس النزعة املركزية‬ ‫مقاييس عددية تعين موقع التوزيع‪ ،‬وهي مهمة في حالة املقارنة بين التوزيعات املختلفة بوجه عام‪.‬وتكون فائدتها أكثر في‬ ‫حالة التوزيعات املتشابهة في طبيعتها وأشكالها‪ ،‬ولكنها مختلفة في مواقعها‪.‬‬ ‫وسنتطرق هنا إلى دراسة مقاييس نزعة التركيز األكثر شيوعا واستعماال‪:‬‬ ‫أ‪ -‬املتوسط الحسابي (‪)Mean‬‬ ‫ب‪ -‬املنوال (‪)Mode‬‬ ‫ج‪ -‬الوسيط (‪)Median‬‬ ‫أ‪ -‬املتوسط الحسابي (‪)La Moyenne Arithmétique‬‬ ‫يعتبر من أهم مقاييس نزعة التركز واألكثر استخداما في اإلحصاء والحياة العلمية‪ ،‬إذ يستخدم عادة في الكثير من املقارنات‬ ‫بين الظواهر املختلفة‪.‬‬ ‫مميزات الوسط الحسابي‪ :‬مقياس سهل الحساب حيث يخضع للعمليات الحسابية بسهولة كما يأخذ بعين االعتبار جميع القيم‬ ‫املدروسة ويعد كذلك من أكثر املقاييس استخداما في اإلحصاء‪.‬‬ ‫سلبيات الوسط الحسابي‪ :‬مقياس يتأثر بالقيم املتطرفة وهي القيم الكبيرة جدا أو الصغيرة جدا مقارنة بباقي القيم‪ ،‬كما أنه ال‬ ‫يمكن حسابه في حالة البيانات الوصفية‪.‬‬ ‫ب‪ -‬املنوال (‪)Le Mode‬‬ ‫منوال متسلسلة إحصائية هو قيمة امليزة التي لها أكبر حصيص‪.‬‬ ‫مميزات املنوال‪ :‬مقياس سهل الحساب وال يتأثر بالقيم املتطرفة كما يمكن إيجاده في حالة البيانات الوصفية‪.‬‬ ‫سلبيات املنوال‪ :‬عند حساب املنوال ال تأخذ جميع القيم بعين االعتبار‪ ،‬وقد تكون لبعض املتسلسالت اإلحصائية أكثر من منوال‪،‬‬ ‫وبذلك ال يمكن تحديد قيمة وحيدة للمنوال‪.‬‬ ‫ج‪ -‬الوسيط (‪)La Médiane‬‬ ‫إذا رتبت عينة من البيانات حسب قيمتها تصاعديا أو تنازليا فإن القيمة التي تكون في املنتصف والتي تقسم العينة إلى‬ ‫مجموعتين متساويتي العدد هي القيمة الوسطية كما سبق تعريفها‪.‬‬ ‫مميزات الوسيط‪ :‬ال تتأثر بالقيم املتطرفة ويمكن إيجادها في حالة البيانات الوصفية التي يمكن ترتيبها‪.‬‬ ‫سلبيات الوسيط‪ :‬ال تأخذ جميع القيم بعين االعتبار عند حسابها‪ ،‬كما يصعب التعامل معها في التحاليل اإلحصائية والرياضية‪.‬‬ ‫‪12‬‬  ‫‪ -2‬مقاييس نزعة التشتت‬ ‫سبق التطرق ملقاييس دراسة نزعة التركز وذلك لوصف بيانات بطريقة عددية‪ ،‬ولكن تبقى هذه املقاييس غير كافية‬ ‫للمقارنة بين عدة متسلسالت إحصائية‪.‬ولتوضيح ذلك نأخذ مثاال لدراسة ثالث مجموعات مختلفة من الطلبة (ة) كانت نقطهم‬ ‫على الشكل التالي‪:‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪60‬‬ ‫نقط املجموعة األولى‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪70‬‬ ‫نقط املجموعة الثانية‬ ‫‪39‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪72‬‬ ‫نقط املجموعة الثالثة‬ ‫اعتمادا على املدى نالحظ أن املجموعة األولى من نقط الطلبة هي األكثر تجانسا وتقاربا (‪ ،)𝑅 = 62−58 = 4‬بينما املجموعة‬ ‫الثانية هي أقل تقاربا (‪ ،)𝑅 = 70−50 = 20‬كما نالحظ أن املجموعة الثالثة أكثر تباعدا وتشتتا (‪.)𝑅 = 78−39 = 39‬وعليه فإننا‬ ‫إذا اعتمدنا على املدى من أجل دراسة هذه املجموعات الثالث فإننا نالحظ أن املجموعة األولى من الطلبة هي األكثر تجانسا من‬ ‫حيث مستوياتهم‪ ،‬بينما املجموعة الثالثة هي األقل تجانسا من حيث مستوياتهم‪.‬‬ ‫وبحساب املتوسط الحسابي للمجموعات الثالث نجده يساوي ‪ 60‬لكل منها‪ ،‬ولكن عند النظر لنقط املجموعة األولى نجدها‬ ‫متقاربة‪ ،‬ونقط املجموعة الثانية أقل تقاربا‪ ،‬بينما نقط املجموعة الثالثة من الطلبة هي األكثر تباعدا‪.‬هذا يعني أن املجموعات‬ ‫الثالثة مختلفة التجانس رغم أن املتوسط الحسابي لها متساوي‪.‬وبذلك تكون مقاييس نزعة التركز وحدها غير كافية للمقارنة بين‬ ‫املعطيات اإلحصائية السابقة لذلك نشأت الحاجة إلى إيجاد مقاييس توضح درجة تباعد وتشتت البيانات بعضها ببعض‪.‬‬ ‫أ‪ -‬املدى (‪)Étendue/ Range‬‬ ‫يعرف املدى بأنه املقياس الذي يتم استخدامه لحساب الفرق بين أكبر قيمة وأقل قيمة في مجموعة البيانات‪ ،‬كما يعد‬ ‫ً‬ ‫مقياسا يمكن‬ ‫ً‬ ‫وشيوعا بين مقاييس التشتت األخرى‪ ،‬ومع أنه سهل الحساب إال أنه ال يعد‬ ‫املدى بأنه مقياس التشتت األكثر سهولة‬ ‫ً‬ ‫االعتماد عليه في مقاييس التشتت‪ ،‬إذ إنه يعتمد على القيمتين األكثر تطرفا‪:‬‬ ‫في حالة البيانات غير املبوبة فإن املدى = أكبر قيمة ‪-‬أصغر قيمة‪.‬‬ ‫أما في حالة البيانات املبوبة فإن املدى = مركز الفئة العليا ‪ -‬مركز الفئة الدنيا‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬أحسب املدى بالنسبة للمجموعات الثالث املذكورة في املثال السابق‪:‬‬ ‫ب‪ -‬الربيعات والعشيرات (‪)Quartile et Décile‬‬ ‫إذا رتبت عينة من البيانات حسب قيمتها تصاعديا أو تنازليا فإن القيمة التي تكون في املنتصف والتي تقسم العينة إلى‬ ‫مجموعتين متساويتي العدد هي القيمة الوسطية كما سبق تعريفها‪.‬‬ ‫وبتعميم هذه الفكرة يمكن تقسيم البيانات بعد ترتيبها إلى أربعة أجزاء متساوية مقسمة اعتمادا على ثالثة قيم‪ :‬الربيعي‬ ‫األول (‪ )𝑄1‬والربيعي الثاني ( ‪ )𝑄2‬والربيعي الثالث ( ‪.)𝑄3‬‬ ‫وكذلك يمكن إيجاد القيم التي تقسم املجموعة إلى عشرة أقسام وتسمى هذه القيم بالعشيرات ويرمز لها بـ ‪ 𝐷1‬بالنسبة‬ ‫للعشيري األول‪ 𝐷9 ،... ،‬للعشيري التاسع‪.‬‬ ‫الربيعي األول (‪ ) 𝑄1‬ملتسلسلة إحصائية مرتبة تزايديا هو أصغر قيمة من قيم هذه املتسلسلة بحيث يكون ربع البيانات‬ ‫(‪ )25%‬أصغر أو يساوي هذه القيمة‪.‬‬ ‫الربيعي الثالث (‪ )𝑄3‬ملتسلسلة إحصائية هو أصغر قيمة ملتسلسلة إحصائية بحيث تكون ثالثة أرباع البيانات (‪)75%‬‬ ‫أصغر من أو تساوي هذه القيمة‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫املثال األول‪:‬‬ ‫نأخذ املتسلسلة اإلحصائية التالية‪:‬‬ ‫‪.23 ،22 ،20 ،19 ،18 ،17 ،17 ،16 ،16 ،15 ،13 ،12 ،12 ،11‬‬ ‫بحيث حصيصها اإلجمالي يساوي ‪.14‬‬ ‫قم باإلجابة على ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -2‬أحسب القيمة الوسطية‬ ‫‪ -1‬أحسب الربيعي األول والثالث‬ ‫‪23‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫𝒊𝒙‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝒊𝒏‬ ‫‪14‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝒊𝑵‬ ‫جواب املثال األول‪:‬‬ ‫‪ -‬حساب الربيعي األول (𝟏𝑸)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪14‬‬ ‫وبالتالي‪ :‬ربعه هو ‪14 × 0,25 = 3,5‬‬ ‫إذن‪ :‬الربيعي األول هو قيمة امليزة التي حصيصها املتراكم أكبر من أو يساوي ‪.3,5‬‬ ‫في هذه الحالة الحصيص املتراكم األكبر من أو يساوي ‪ 3,5‬هو ‪ 4‬والذي يوافق قيمة امليزة ‪.13‬‬ ‫‪ -‬حساب الربيعي الثالث (𝟑𝑸)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪14‬‬ ‫وبالتالي‪ :‬ثالثة أرباعه هو ‪14 × 0,75 = 10,5‬‬ ‫إذن‪ :‬الربيعي الثالث هو قيمة امليزة التي حصيصها املتراكم أكبر من ‪.10,5‬‬ ‫في هذه الحالة الحصيص املتراكم األكبر من ‪ 10,5‬هو ‪ 11‬والذي يوافق قيمة امليزة ‪.19‬‬ ‫املثال الثاني‪:‬‬ ‫نأخذ املتسلسلة اإلحصائية التالية والتي تمثل نقط ‪ 27‬طالب‪:‬‬ ‫‪.17 ،15 ،15 ،14 ،14 ،13 ،13 ،13 ،12 ،11 ،11 ،11 ،10 ،10 ،9 ،9 ،9 ،9 ،8 ،8 ،7 ،6 ،6 ،5 ،5 ،5 ،4‬‬ ‫أحسب العشيري األول والتاسع‬ ‫‪17‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝒊𝒙‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝒊𝒏‬ ‫‪27‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝒊𝑵‬ ‫جواب املثال الثاني‪:‬‬ ‫‪ -‬حساب العشيري األول (𝟏𝑫)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪27‬‬ ‫وبالتالي‪27 × 0,1 = 2,7 :‬‬ ‫إذن‪ :‬الحصيص املتراكم األكبر من ‪ 2,7‬هو ‪ 4‬وقيمة امليزة التي وافقته هي ‪.5‬‬ ‫‪ -‬حساب العشيري التاسع (𝟗𝑫)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪27‬‬ ‫وبالتالي‪27 × 0,9 = 24,3 :‬‬ ‫إذن‪ :‬الحصيص املتراكم األكبر من ‪ 24,3‬هو ‪ 26‬والذي يوافق قيمة امليزة ‪ 15‬والتي تمثل في هذه الحالة ‪.𝐷9‬‬ ‫‪14‬‬  ‫تمرين‪:‬‬ ‫لذينا املعطيات التالية حول أوزان مجموعة من األشخاص في حي معين‪.‬‬ ‫‪ -1‬أنش ئ جدول الحصيصات املتراكمة والترددات املتراكمة والنسب املئوية‪.‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪40‬‬ ‫األوزان‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫عدد األشخاص‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪993‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪960‬‬ ‫‪897‬‬ ‫‪732‬‬ ‫‪522‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪16‬‬ ‫𝒊𝑵‬ ‫‪ -4‬مثل برسم بياني الحصيصات املتراكمة (خط منكسر)‪.‬‬ ‫‪ -2‬جد قيمة الربيعي األول والثالث‪.‬‬ ‫‪ -3‬جد العشيري األول والتاسع‪.‬‬ ‫جواب التمرين‪:‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪40‬‬ ‫𝒊𝒙‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫𝒊𝒏‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪993‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪960‬‬ ‫‪897‬‬ ‫‪732‬‬ ‫‪522‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪16‬‬ ‫𝒊𝑵‬ ‫‪0.007‬‬ ‫‪0.012‬‬ ‫‪0.021‬‬ ‫‪0.063‬‬ ‫‪0.165‬‬ ‫‪0.21‬‬ ‫‪0.27‬‬ ‫‪0.141‬‬ ‫‪0.075‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.016‬‬ ‫𝒊𝒇‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.993‬‬ ‫‪0.981‬‬ ‫‪0.96‬‬ ‫‪0.897‬‬ ‫‪0.732‬‬ ‫‪0.522‬‬ ‫‪0.252‬‬ ‫‪0.111‬‬ ‫‪0.036‬‬ ‫‪0.016‬‬ ‫𝒊𝑭‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫‪16.5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪14.1‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫𝒊𝑷‬ ‫‪2.52‬‬ ‫‪4.32‬‬ ‫‪7.56‬‬ ‫‪22.68‬‬ ‫‪59.4‬‬ ‫‪75.6‬‬ ‫‪97.2‬‬ ‫‪50.76‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪7.2‬‬ ‫‪5.76‬‬ ‫‪°360‬‬ ‫‪ -2‬حساب الربيعي األول (𝟏𝑸)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪1000‬‬ ‫وبالتالي‪ :‬ربعه هو ‪1000 × 0,25 = 250‬‬ ‫إذن‪ :‬الربيعي األول هو قيمة امليزة التي حصيصها املتراكم أكبر من أو يساوي ‪.250‬‬ ‫في هذه الحالة الحصيص املتراكم األكبر من أو يساوي ‪ 250‬هو ‪ 252‬والذي يوافق قيمة امليزة ‪.55‬‬ ‫𝟓𝟓 = 𝟏𝑸‬ ‫‪ -‬حساب الربيعي الثالث (𝟑𝑸)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪14‬‬ ‫وبالتالي‪ :‬ثالثة أرباعه هو ‪1000 × 0,75 = 750‬‬ ‫إذن‪ :‬الربيعي الثالث هو قيمة امليزة التي حصيصها املتراكم أكبر من ‪.750‬‬ ‫في هذه الحالة الحصيص املتراكم األكبر من ‪ 750‬هو ‪ 897‬والذي يوافق قيمة امليزة ‪.70‬‬ ‫𝟎𝟕 = 𝟑𝑸‬ ‫‪ -‬حساب العشيري األول (𝟏𝑫)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪1000‬‬ ‫وبالتالي‪1000 × 0,1 = 100 :‬‬ ‫إذن‪ :‬الحصيص املتراكم األكبر من ‪ 100‬هو ‪ 111‬وقيمة امليزة التي وافقته هي ‪.50‬‬ ‫𝟎𝟓 = 𝟏𝑫‬ ‫‪ -‬حساب العشيري التاسع (𝟗𝑫)‪:‬‬ ‫لذينا‪ :‬الحصيص اإلجمالي ‪1000‬‬ ‫وبالتالي‪1000 × 0,9 = 900 :‬‬ ‫إذن‪ :‬الحصيص املتراكم األكبر من ‪ 900‬هو ‪ 960‬والذي يوافق قيمة امليزة ‪.75‬‬ ‫𝟓𝟕 = 𝟗𝑫‬ ‫‪15‬‬  ‫مبيان توزيع الحصيصات املتراكمة لعدد األشخاص حسب الوزن‬ ‫𝟓𝟓 = 𝟏𝑸‬ ‫𝟎𝟕 = 𝟑𝑸‬ ‫𝟓𝟔 = 𝑴‬ ‫𝟎𝟓 = 𝟏𝑫‬ ‫𝟓𝟕 = 𝟗𝑫‬ ‫𝟓𝟏 = 𝑸𝑰𝑰‬ ‫‪16‬‬  ‫ج‪ -‬التباين واالنحراف املعياري (‪)Variance et Écart-type‬‬ ‫يعرف التباين على أنه متوسط مربع انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي ويرمز له بالرمز ‪ V‬والجدر املربع للتباين ينتج‬ ‫عنه مقياس من أهم وأدق مقاييس التشتت وهو يسمى باالنحراف املعياري ويرمز له بالرمز ‪.S‬‬ ‫ويسمح االنحراف املعياري بإعطاء فكرة جيدة عن كيفية تباعد قيم مجتمع إحصائي عن متوسطه الحسابي‪.‬فكلما كان‬ ‫االنحراف املعياري صغيرا كلما كانت قيم املجتمع اإلحصائي متركزة حول متوسطه الحسابي‪.‬‬ ‫‪(𝑥1 − 𝑚)2 + (𝑥2 − 𝑚)2 + ⋯ + (𝑥𝑖 − 𝑚)2‬‬ ‫معادلة حساب التباين‬ ‫=𝑉‬ ‫𝑖𝑛 ‪𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ +‬‬ ‫(‪)Variance‬‬ ‫معادلة حساب االنحراف املعياري‬ ‫𝑉√ = 𝑆‬ ‫(‪)Standard Deviation‬‬ ‫تمرين‪:‬‬ ‫لنأخذ معطيات التمرين السابق‬ ‫‪90‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪40‬‬ ‫𝒊𝒙‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪165‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪16‬‬ ‫𝒊𝒏‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪993‬‬ ‫‪981‬‬ ‫‪960‬‬ ‫‪897‬‬ ‫‪732‬‬ ‫‪522‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪16‬‬ ‫𝒊𝑵‬ ‫‪0.007‬‬ ‫‪0.012‬‬ ‫‪0.021‬‬ ‫‪0.063‬‬ ‫‪0.165‬‬ ‫‪0.21‬‬ ‫‪0.27‬‬ ‫‪0.141‬‬ ‫‪0.075‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.016‬‬ ‫𝒊𝒇‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.993‬‬ ‫‪0.981‬‬ ‫‪0.96‬‬ ‫‪0.897‬‬ ‫‪0.732‬‬ ‫‪0.522‬‬ ‫‪0.252‬‬ ‫‪0.111‬‬ ‫‪0.036‬‬ ‫‪0.016‬‬ ‫𝒊𝑭‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪6.3‬‬ ‫‪16.5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪14.1‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫𝒊𝑷‬ ‫‪2.52‬‬ ‫‪4.32‬‬ ‫‪7.56‬‬ ‫‪22.68‬‬ ‫‪59.4‬‬ ‫‪75.6‬‬ ‫‪97.2‬‬ ‫‪50.76‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪7.2‬‬ ‫‪5.76‬‬ ‫‪°360‬‬ ‫قم باإلجابة على ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬أحسب املتوسط الحسابي لهذه املتسلسلة اإلحصائية‪.‬‬ ‫‪ -2‬أحسب التباين واالنحراف املعياري‪.‬‬ ‫جواب التمرين‪:‬‬ ‫‪ -1‬حساب املتوسط الحسابي‬ ‫)‪(40 × 16) + (45 × 20) + (50 × 75) + (55 × 141) + (60 × 270) + (65 × 210) + (70 × 165) + (75 × 63) + (80 × 21) + (85 × 12) + (90 × 7‬‬ ‫=𝑚‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪62500‬‬ ‫=𝑚‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪𝑚 = 62,5‬‬ ‫في هذه الحالة املتوسط الحسابي يمثل الوزن املتوسط لهؤالء األشخاص املدرجون في املجتمع املدروس‪.‬‬ ‫‪ -2‬حساب التباين‬ ‫تذكير‪:‬‬ ‫‪(𝑥1 − 𝑚)2 + (𝑥2 − 𝑚)2 + ⋯ + (𝑥𝑖 − 𝑚)2‬‬ ‫=𝑉‬ ‫𝑖𝑛 ‪𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ +‬‬ ‫‪27.5‬‬ ‫‪22.5‬‬ ‫‪17.5‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪-2.5‬‬ ‫‪-7.5‬‬ ‫‪-12.5‬‬ ‫‪-17.5‬‬ ‫‪-22.5‬‬ ‫𝒎 ‪𝒙𝒊 −‬‬ ‫‪756.25‬‬ ‫‪506.25‬‬ ‫‪306.25‬‬ ‫‪156.25‬‬ ‫‪56.25‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪56.25‬‬ ‫‪156.25‬‬ ‫‪306.25‬‬ ‫‪506.25‬‬ ‫‪(𝒙𝒊 − 𝒎)2‬‬ ‫‪17‬‬  ‫)‪(506.25) + (306.25) + (156.25) + (56.25) + (6.25) + (6.25) + (56.25) + (156.25) + (306.25) + (506.25) + (756.25‬‬ ‫=𝑉‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪2818.75‬‬ ‫=𝑉‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪𝑉 = 2.82‬‬ ‫‪ -‬حساب االنحراف املعياري‬ ‫𝑉√ = 𝑆‬ ‫‪𝑆 = √2.82‬‬ ‫‪𝑆 = 1.68‬‬ ‫بما أن االنحراف املعياري صغير فإن قيم األوزان في هذا املجتمع متركزة حول املتوسط الحسابي (الوزن املتوسط ألفراد‬ ‫املجتمع اإلحصائي)‪ ،‬وبالتالي فهذا املجتمع اإلحصائي متجانس من حيث أوزان األفراد املكونين لهذا املجتمع‪.‬‬ ‫د‪ -‬املدى الربيعي (‪)IIQ‬‬ ‫هو املدى بين الربيعي األول والثالث وهو يسمح بحذف ربع املعطيات (‪ )%25‬و‪ %25‬من نهايتها مع التركيز على ‪ %50‬من‬ ‫املعطيات التي توجد في منتصف املجتمع‪.‬وهو بذلك يسمح بمعرفة جيدة لتشتت املعطيات في مجتمع إحصائي معين‪.‬‬ ‫خاصية‪ :‬كلما كبر املدى الربيعي كلما كان التشتت كبيرا‬ ‫قاعدة املدى الربيعي‬ ‫𝟏𝑸 ‪𝑰𝑰𝑸 = 𝑸𝟑 −‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫املدى الربيعي ملعطيات التمرين السابق هو‪:‬‬ ‫𝟓𝟓 ‪𝑰𝑰𝑸 = 𝟕𝟎 −‬‬ ‫𝟓𝟏 = 𝑸𝑰𝑰‬ ‫املدى الربيعي في هذه الحالة صغير مقارنة باملدى وبالتالي التشتت صغير‪ ،‬مما يعني أن تجانس هذا املجتمع كبير‪.‬‬ ‫واجب منزلي‬ ‫أظهرت دراسة مستقبلية بأحد مراكز االستقبال الهاتفي النتائج التالية لعدد عاملي االستقبال الهاتفي حسب عدد املكاملات‬ ‫املستقبلة كل ساعة‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫عدد املكاملات‬ ‫‪20‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪174‬‬ ‫‪308‬‬ ‫‪393‬‬ ‫‪416‬‬ ‫‪261‬‬ ‫‪93‬‬ ‫عدد العاملين‬ ‫قم باإلجابة على ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬ضع جدوال للحصيصات املتراكمة والترددات املتراكمة والنسب املئوية‪.‬‬ ‫‪ -2‬أحسب مقاييس نزعتي التركز والتشتت‪.‬‬ ‫‪ -3‬مثل مبيانيا 𝒊𝑷 بمخطط قطاعي دائري‪ ،‬و 𝒊𝑵 بخط منكسر مع تمثيل الربيعات والعشيرات واملدى الربيعي‪.‬‬ ‫‪ -4‬حلل النتائج املحصل عليها‪.‬‬ ‫‪18‬‬