فصل في الإحصاء: التوزيعات الإحصائية PDF

‫‬ ‫ا  اول ‪ :‬ه  إ‬ ‫ﺘﻤﻬﻴﺩ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﺘﺸﺭ ﻓﻲ ﻤﺠﺘﻤﻌﺎﺘﻨﺎ ﺍﻝﻤﻌﺎﺼﺭﺓ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻻﺴﺘﻘﺼﺎﺀ‪ ،‬ﻓﻔﻲ ﻋﺎﻝﻡ ﺍﻷﻋﻤﺎل ﺘﻘﻭﻡ ﺍﻝﻤﺅﺴﺴﺎﺕ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ‬ ‫ﻤﺼﺎﻝﺢ ﺍﻝﺘﺴﻭﻴﻕ ﻭﻤﺼﺎﻝﺢ ﺍﻝﺒﺤﻭﺙ ﻭﺍﻝﺘﻁﻭﻴﺭ ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﺴﺘﻘﺼﺎﺀﺍﺕ ﻝﻺﻁﻼﻉ ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺠﻬﺎﺕ ﺍ...

‫‬ ‫ا  اول ‪ :‬ه  إ‬ ‫ﺘﻤﻬﻴﺩ‪:‬‬ ‫ﺘﻨﺘﺸﺭ ﻓﻲ ﻤﺠﺘﻤﻌﺎﺘﻨﺎ ﺍﻝﻤﻌﺎﺼﺭﺓ ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﺍﻻﺴﺘﻘﺼﺎﺀ‪ ،‬ﻓﻔﻲ ﻋﺎﻝﻡ ﺍﻷﻋﻤﺎل ﺘﻘﻭﻡ ﺍﻝﻤﺅﺴﺴﺎﺕ ﻋﻥ ﻁﺭﻴﻕ‬ ‫ﻤﺼﺎﻝﺢ ﺍﻝﺘﺴﻭﻴﻕ ﻭﻤﺼﺎﻝﺢ ﺍﻝﺒﺤﻭﺙ ﻭﺍﻝﺘﻁﻭﻴﺭ ﺒﺈﺠﺭﺍﺀ ﺍﺴﺘﻘﺼﺎﺀﺍﺕ ﻝﻺﻁﻼﻉ ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺠﻬﺎﺕ ﺍﻝﻤﺴﺘﻬﻠﻜﻴﻥ‪،‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻭﺴﺎﺌل ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻻ ﻴﻤﺭ ﻴﻭﻡ ﺩﻭﻥ ﺃﻥ ﻴﻌﻠﻥ ﻋﻥ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﺴﺘﻘﺼﺎﺀ ﺃﺠﺭﺘﻪ ﻤﺠﻠﺔ ﺃﻭ ﺠﺎﻤﻌﺔ ﺤﻭل‬ ‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺴﻴﺎﺴﻴﺔ ﺃﻭ ﺍﺠﺘﻤﺎﻋﻴﺔ ﻤﺘﻌﺩﺩﺓ‪ ،‬ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻻﺴﺘﻘﺼﺎﺀﺍﺕ ﺍﻝﻤﺜﻴﺭﺓ ﻝﻠﺠﺩل ﺤﻭل ﺍﻵﺭﺍﺀ ﺍﻝﺴﻴﺎﺴﻴﺔ‬ ‫ﻝﻠﻤﻭﺍﻁﻨﻴﻥ ﺃﺜﻨﺎﺀ ﺍﻝﺤﻤﻼﺕ ﺍﻻﻨﺘﺨﺎﺒﻴﺔ‪.‬ﻓﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻷﺴﺱ ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﺴﺘﻨﺩ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻻﺴﺘﻘﺼﺎﺀﺍﺕ‬ ‫ﺍﻝﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ؟ ﺃﻭ ﻜﻴﻑ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﻤﻥ ﺨﻼل ﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻝﺫﻱ ﺃﺨﺫﺕ ﻤﻨﻪ؟‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﻭ ﻏﻴﺭﻫﺎ ﺘﺘﻁﻠﺏ ﻓﻬﻡ ﺍﻝﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻝﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﻤﺜل ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ‪ ،‬ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﻏﻴﺭﻫﺎ‪ ،‬ﻭﺍﻝﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻝﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ﻝﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻭﻫﻭ ﻤﺎ ﺴﻨﺘﻨﺎﻭﻝﻪ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻔﺼل‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻔﺼﻭل ﺍﻝﻤﻘﺒﻠﺔ ﺴﻨﺩﺭﺱ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ﻝﻬﺫﻩ ﺍﻝﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﻭﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻝﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﺎﻝﻡ ﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫‪ 1‬ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪Population et échantillon‬‬ ‫ﻨﺸﺭﺡ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻝﻤﺼﻁﻠﺤﻴﻥ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ ﻗﺩ ﺘﺭﻏﺏ ﺍﻹﺩﺍﺭﺓ ﺍﻝﻌﺴﻜﺭﻴﺔ ﻓﻲ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻝﻭﺯﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻝﻠﺠﻨﺩﻱ‪ ،‬ﻓﺘﻘﻭﻡ ﺃﺨﺫ ﺃﻭﺯﺍﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻥ ‪100‬‬ ‫ﺠﻨﺩﻱ ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻝﺠﻨﻭﺩ )ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ(‪.‬‬ ‫ ﺘﺭﻏﺏ ﻫﻴﺄﺓ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻝﺒﺤﻭﺙ ﺍﻝﺴﻴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻨﺎﺨﺒﻴﻥ ﺍﻝﻤﺴﺎﻨﺩﻴﻥ ﻝﻤﺭﺸﺢ ﻤﻌﻴﻥ ﻓﻲ ‪10‬‬ ‫ﺍﻝﻭﻻﻴﺎﺕ‪ ،‬ﻓﺘﻘﻭﻡ ﺒﺎﺴﺘﺠﻭﺍﺏ ‪ 100‬ﻨﺎﺨﺏ ﻤﻥ ﻜل ﻭﻻﻴﺔ‪.‬ﺍﻝﻨﺎﺨﺒﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻝﻭﻻﻴﺎﺕ ﺍﻝﻌﺸﺭ ﻴﻤﺜﻠﻭﻥ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍل ‪ 1000‬ﻨﺎﺨﺏ ﺍﻝﻤﺴﺘﺠﻭﺒﻭﻥ ﻴﻤﺜﻠﻭﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﺩﻯ ﺩﻗﺔ ﺼﻨﻊ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﺘﺭﻤﻰ ﺍﻝﻘﻁﻌﺔ ‪ 100‬ﻤﺭﺓ ﻭﻨﺤﺴﺏ ﻋﺩﺩ ﻤﺭﺍﺕ‬ ‫ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺼﻭﺭﺓ ﻭﺍﻝﻜﺘﺎﺒﺔ‪ ،‬ﺤﺠﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻫﻨﺎ ﻫﻭ ‪.100‬‬ ‫ ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻜﺭﺍﺕ ﺩﺍﺨل ﺼﻨﺩﻭﻕ‪ ،‬ﺍﻝﺘﻲ ﻤﻥ ﻝﻭﻥ ﻤﻌﻴﻥ‪ ،‬ﻨﻘﻭﻡ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺭﺍﺕ ﺒﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ‬ ‫ﻨﺴﺠل ﻝﻭﻨﻬﺎ ﺜﻡ ﻨﻌﻴﺩﻫﺎ‪.‬ﻋﺩﺩ ﺍﻝﻜﺭﺍﺕ ﺍﻝﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻴﻤﺜل ﺤﺠﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻤﺼﻁﻠﺢ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻴﻘﺼﺩ ﺒﻪ ﺍﻝﻘﻴﺎﺴﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻝﻘﻴﻡ ﻭﻝﻴﺱ ﺍﻷﻓﺭﺍﺩ ﺃﻭ ﺍﻷﺸﻴﺎﺀ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻡ ﻗﻴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫)ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻷﻭﺯﺍﻥ‪ ،‬ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺁﺭﺍﺀ ﺍﻝﻨﺎﺨﺒﻴﻥ‪ ،(..‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﺤﺩﻭﺩﺍ ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ )ﻨﺘﺎﺌﺞ‬ ‫ﺭﻤﻴﺎﺕ ﻗﻁﻌﺔ ﺍﻝﻨﻘﺩ(‪ ،‬ﺃﻤﺎ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻓﻬﻲ ﻋﺎﺩﺓ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﺤﺩﻭﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻋﺎﺩﺓ ﻝﺤﺠﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺏ ‪ ،N‬ﻭﻝﺤﺠﻡ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺏ ‪.n‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﻭﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﺍﻝﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ‪Echantillon exhaustif et non exhaustif‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻝﺴﺤﺏ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ ﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻅﻬﺭ ﺍﻝﻤﻔﺭﺩﺓ ﺃﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﻤﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻨﺴﻤﻲ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﻷﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻝﻌﻤﻠﻴﺔ ﻻ ﻴﺅﺩﻱ ﺇﻝﻰ ﺘﻘﻠﻴﺹ ﻋﺩﺩ ﺍﻝﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﻭﺍﻝﻌﻜﺱ ﻨﺴﻤﻲ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‪.‬ﻫﻨﺎﻙ ﻓﺭﻀﻴﺘﺎﻥ ﺘﺘﻜﺭﺭﺍﻥ ﻓﻲ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻝﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺍﻝﺘﻲ‬ ‫ﺴﻨﺭﺍﻫﺎ ﻻﺤﻘﺎ‪ ،‬ﻫﻤﺎ ﻓﺭﻀﻴﺔ ﺃﻥ ﻗﻴﻡ ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻭﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻻﻨﻬﺎﺌﻲ‪.‬ﻴﺘﺤﻘﻕ ﺸﺭﻁ ﺍﻻﺴﺘﻘﻼل ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺫﻝﻙ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺠﺘﻤﻌﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ‪.‬‬ ‫‪1‬‬  ‫‪ 3‬ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪Echantillon aléatoire‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﺃﺤﺩ ﺍﻝﻁﺭﻕ ﺍﻝﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻫﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪.‬ﻨﻅﺭﻴﺎ )ﻗﺩ‬ ‫ﻴﺼﻌﺏ ﺘﺤﻘﻴﻕ ﺫﻝﻙ ﻓﻲ ﺍﻝﻭﺍﻗﻊ(‪ ،‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻝﻜل ﻤﻔﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻨﻔﺱ‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻷﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻝﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬ﻹﻨﺠﺎﺯ ﺫﻝﻙ ﺇﻤﺎ ﺃﻥ ﻨﺴﺤﺏ‬ ‫ﺍﻝﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺃﻭ ﻨﺭﻗﻡ ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺜﻡ ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺘﺅﺨﺫ ﻤﻥ ﺍﻝﺠﺩﺍﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻝﻸﻋﺩﺍﺩ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪.1‬‬ ‫‪ 4‬ﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪Paramètre d’une population‬‬ ‫ﻨﻘﺼﺩ ﺒﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺨﺼﺎﺌﺼﻪ ﻤﺜل ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ‪ ،‬ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻝﺘﻤﺎﺜل‪... ،‬ﻤﻥ ﺨﺼﺎﺌﺹ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺃﻴﻀﺎ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺘﻭﺯﻴﻌﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ )‪ f(x‬ﻜﺄﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺃﻭ ﻏﻴﺭﻩ‪.‬‬ ‫‪ 5‬ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ‪Statistique de l’échantillonnage‬‬ ‫ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ )ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ ،µ‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ ²σ‬ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ ‪ (... p‬ﻨﻨﻁﻠﻕ ﻤﻥ ﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪،‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﻝﻰ ﺤﺴﺎﺏ ﻤﻌﺎﻝﻡ ﻤﺜل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪ ، m‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪ ،S²‬ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ’‪.p‬ﺒﺼﻔﺔ‬ ‫ﻋﺎﻤﺔ‪ ،‬ﻨﺴﻤﻲ ﻜل ﻗﻴﻤﺔ ﺘﺤﺴﺏ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﺒﻴﺎﻨﺎﺕ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‪.‬ﻨﻅﺭﻴﺎ )ﺭﻴﺎﻀﻴﺎ( ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻫﻲ ﻜل ﺩﺍﻝﺔ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺍﻝﻘﻴﻡ‬ ‫ﺍﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻧﻈﺮ ﺟﺪﻭﻝ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫ﺍﻝﻔﺼل ‪ :2‬ﺘﻭﺯﻴﻌﺎﺕ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ‪Sampling Distributions‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻤﻬﻴﺩ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻲ ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺍﻝﺘﻲ ﻴﻬﻤﻨﺎ ﺩﺭﺍﺴﺘﻬﺎ ‪.‬ﻭﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﻝﻪ ﺒﻌﺽ ﺍﻝﻤﻌﺎﻝﻡ ﺃﻭ ﺍﻝﺨﺼﺎﺌﺹ ﻤﺜل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ µ‬ﻭﺍﻨﺤﺭﺍﻓﻪ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ‪ σ‬ﻭﻨﺴﺒﺔ ﺼﻔﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﻻ ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ ،‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻤﺜﻠﺔ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪. p‬ﻭﺒﺩ ﹰ‬ ‫‪ ،‬ﺜﻡ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺩﺭﺍﺴﺔ ﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻭﺤﺴﺎﺏ ﺒﻌﺽ ﺍﻝﻤﻘﺎﻴﻴﺱ )ﺍﻹﺤﺼﺎﺀﺍﺕ( ﻤﻨﻬﺎ ﻤﺜل ﺍﻝﻭﺴﻁ ﺍﻝﺤﺴﺎﺒﻲ‬ ‫ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ ‪ x‬ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ ‪ s‬ﻭﻨﺴﺒﺔ ﺼﻔﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪. r‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﺤﺴﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻜﺘﻘﺩﻴﺭ ﻝﻠﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ‪.‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻔﺼل ﻨﺴﺘﻌﺭﺽ ﺒﻌﺽ ﺍﻝﻁﺭﻕ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻝﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻌﺎﺕ ﺍﻝﺘﻲ ﺍﺨﺘﻴﺭﺕ ﻤﻨﻬﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ‪.‬‬ ‫أو‪ ! -‬ز ا &*)( '&‪#$ %‬ت‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻠﻤﺘﻮﺳﻄﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻤﺴﺄﻝﺔ‪ :‬ﻝﻴﻜﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.8 ،6 ،5 ،3 ،1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ ﻤﻜﻭﻨﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﻤﻔﺭﺩﺘﻴﻥ )‪(m‬؟ ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.µ‬ﻗﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ‪ m‬ﻭ ‪.µ‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺫﻝﻙ ﺃﺤﺴﺏ ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺍﻝﺤﺎﻻﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ mi‬ﺤﺴﺏ ﻜل ﻋﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﺤﺠﻡ ‪ n = 2‬ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺤﺠﻤﻪ ‪ 5‬ﻋﺩﺩﻫﺎ‪25= 5*5 :‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫)ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻍ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ(‬ ‫‪mi‬‬ ‫)‪(1, 1‬‬ ‫)‪(3, 1‬‬ ‫)‪(5, 1‬‬ ‫)‪(6, 1‬‬ ‫)‪(8, 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 3,5 4,5‬‬ ‫)‪(1, 3‬‬ ‫)‪(3, 3‬‬ ‫)‪(5, 3‬‬ ‫)‪(6, 3‬‬ ‫)‪(8, 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 4,5 5,5‬‬ ‫)‪(1, 5‬‬ ‫)‪(3, 5‬‬ ‫)‪(5, 5‬‬ ‫)‪(6, 5‬‬ ‫)‪(8, 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 5,5 6,5‬‬ ‫)‪(1, 6‬‬ ‫)‪(3, 6‬‬ ‫)‪(5, 6‬‬ ‫)‪(6, 6‬‬ ‫)‪(8, 6‬‬ ‫‪3,5 4,5 5,5 6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪(1, 8‬‬ ‫)‪(3, 8‬‬ ‫)‪(5, 8‬‬ ‫)‪(6, 8‬‬ ‫)‪(8, 8‬‬ ‫‪4,5 5,5 6,5 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ‪ m‬ل ‪ mi‬ﻫﻲ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻭﻫﻲ ‪. m = (∑i mi) / 25 = 4,6‬‬ ‫‪µ = (1 + 3 + 5 + 6 + 8)/5 = 4.6‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :2‬ﺃﻭﺠﺩ ﻨﻔﺱ ﻤﻁﺎﻝﺏ ﺍﻝﻤﺜﺎل ‪ ،1‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﺴﺤﺏ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‪.‬ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻋﺩﺩﻫﺎ‪C25 = :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬  ‫ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ ﺃﻭ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ )ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ(‬ ‫‪mi‬‬ ‫)‪(1, 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1, 5‬‬ ‫)‪(3, 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(1, 6‬‬ ‫)‪(3, 6‬‬ ‫)‪(5, 6‬‬ ‫‪3,5‬‬ ‫‪4,5‬‬ ‫‪5,5‬‬ ‫)‪(1, 8‬‬ ‫)‪(3, 5‬‬ ‫)‪(5, 8‬‬ ‫)‪(6, 8‬‬ ‫‪4,5‬‬ ‫‪5,5‬‬ ‫‪6,5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ‪ m‬ل ‪ mi‬ﻫﻲ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻭﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪E(m) = µm = (∑i mi) / 10 = 4,6‬‬ ‫‪µ = (1 + 3 + 5 + 6 + 8)/5 = 4.6‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪.1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻭ‪ m‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪،‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ )‪ E(M‬ﺘﻜﺘﺏ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪E(M) = µm = µ :‬‬ ‫ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ :‬ﻝﻨﺭﻤﺯ ﺏ ‪ Xi‬ﻝﻘﻴﻡ ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪. X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E ( X ) = E  ∑ i Xi  = ∑ i E ( Xi) = ∑ i µ = nµ = µ.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺗﺒﺎﻳﻦ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻠﻤﺘﻮﺳﻄﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﺑﺎﻹﺭﺟﺎﻉ‬ ‫ﻤﺜﺎل‪.‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺄﻝﺔ ‪ ،1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ )ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ( ﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ‪ σ²m‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ )ﻍ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ(‪ ،‬ﻗﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ )ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ(‪.‬‬ ‫‪mi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫;‪3,5 4,5 σ²m = [∑i (mi – m)² ]/25 = 2.92‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4,5 5,5‬‬ ‫‪σ² = [∑i (xi – µ)² ]/5 = 5.84‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5,5 6,5‬‬ ‫‪3,5 4,5 5,5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2.92 = 5.84 / 2‬‬ ‫‪4,5 5,5 6,5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻤﺜﺎل ﻴﻤﻬﺩ ﻝﻠﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪.2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻭ‪ mi‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫‪σ²‬‬ ‫= ‪σ m2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ‪) mi‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ( ﻴﻜﺘﺏ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﺤﺠﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪4‬‬  ‫ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ‪ :‬ﻝﻨﺭﻤﺯ ﺏ ‪ Xi‬ﻝﻘﻴﻡ ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ‪. X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫= ‪V ( X ) = V  ∑ i Xi  = ∑ i V ( Xi) = ∑ i σ ² = nσ ²‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n²‬‬ ‫‪n²‬‬ ‫‪n²‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﺑﺪﻭﻥ ﺇﺭﺟﺎﻉ‪.‬‬ ‫ﻤﺴﺄﻝﺔ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺄﻝﺔ ‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ ‪ σ²m‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‪،‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ ﺃﻭ‬ ‫‪σ²m = [∑i (mi – m)² ]/10 = 2.19‬‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ )ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫‪σ² = [∑i (xi – µ)² ]/5 = 5.84‬‬ ‫ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪:‬‬ ‫ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ(‬ ‫) ﺃﻭ ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺜﺎﻨﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪mi‬‬ ‫‪σ² = E(X²) – E(X)²‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪= (1 + 9 + 25 + 36 + 64) / 5 - 4.6² = 5.84‬‬ ‫‪3,5‬‬ ‫‪4,5‬‬ ‫‪5,5‬‬ ‫ﺍﻝﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﺒﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻭ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪:‬‬ ‫‪4,5‬‬ ‫‪5,5‬‬ ‫‪6,5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5.84  5 − 2 ‬‬ ‫= ‪2.19‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  5 −1 ‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﻴﻤﻬﺩ ﻝﻠﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪.3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ X‬ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﺤﺠﻤﻪ ‪ N‬ﻭ‪ mi‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻋﻴﻨﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪n‬‬ ‫ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ‪) mi‬ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ( ﻴﻜﺘﺏ ﻜﻤﺎ‬ ‫‪σ² N −n‬‬ ‫= ‪σ m2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  N −1 ‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪N −n‬‬ ‫‪ N − 1‬ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻹﺭﺠﺎﻉ‪.‬‬ ‫ﻭﺘﺴﻤﻰ ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻃﺒﻴﻌﺔ ﺗﻮﺯﻳﻊ ‪m‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻨﺩﺭﺱ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪.4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻭﺯﻉ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺒﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ µ‬ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ σ²‬ﻓﺈﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻨﻪ ﻴﺘﺒﻊ‬ ‫ﺃﻴﻀﺎ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ µ‬ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ ،σ²/n‬ﻭﻨﻜﺘﺏ )‪m ≈ N(µ, σ²/n‬‬ ‫‪5‬‬  ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪).5‬ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻝﻤﺭﻜﺯﻴﺔ(‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻝﺫﻱ ﺘﺴﺤﺏ ﻤﻨﻪ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺫﻭ ﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ µ‬ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ‪σ²‬‬ ‫‪m−µ‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫ﺘﺅﻭل ﺇﻝﻰ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻝﻜﻥ ﻝﻴﺱ ﺒﺎﻝﻀﺭﻭﺭﺓ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ل ‪ m‬ﺃﻱ ‪σ / n‬‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻜﺒﻴﺭﺍ )‪ (n ≥ 30‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫)‪.z ≈ N(0, 1‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪N −n‬‬ ‫= ‪σm‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N −1‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻭﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﻨﺴﺘﺒﺩل ﺍﻝﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ σ/√n‬ﺏ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎ ﻴﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﻴﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺼﻴﻐﺔ ﺍﻝﻤﻌﺩﻝﺔ ﺒﻤﻌﺎﻤل ﺍﻹﺭﺠﺎﻉ ﻝﻼﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻋﻨﺩﻤﺎ ≥ ‪n/N‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺤﺠﻤﻪ ‪ 900‬ﺒﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ µ =20‬ﻭ‪. σ =12‬ﻨﺴﺘﺨﺭﺝ ﻜل ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ‪.‬ﺃﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ‪ (1) :‬ﺤﺠﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪n (2) ،n = 36‬‬ ‫‪.= 64‬‬ ‫‪(1) n = 36 : n/N = 36/900 = 0.04 < 0.05 => σm = σ/√n = 12/√36 = 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪64‬‬ ‫)‪( 2‬‬ ‫⇒ ‪n = 64 : N = 900‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.071 > 0.05‬‬ ‫‪N 900‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪900 − 64‬‬ ‫= ‪⇒σm‬‬ ‫‪= 1.92‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪900 − 1‬‬ ‫‪E(m) = µ = 20‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :2‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻝﻤﺜﺎل ﺍﻝﺴﺎﺒﻕ )‪ (n = 36‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ m‬ﻤﺤﺼﻭﺭﺍ ﺒﻴﻥ ‪18‬‬ ‫ﻭ‪.22‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪.n = 64‬‬ ‫‪m1 - µ‬‬ ‫‪18 - 20‬‬ ‫= ‪Z1‬‬ ‫=‬ ‫‪= - 1 , Z 2 = 1 => P(18 < m < 22) = P(Z1 < Z < Z 2 ) = 0.6827‬‬ ‫‪σ/ n‬‬ ‫‪12/ 36‬‬ ‫‪m1 - µ  N − n  18 - 20‬‬ ‫= ‪Z1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪= - 1.04 , Z 2 = 1.04 => P(18 < m < 22) = P(-1.04 < Z < 1.04) = 0.70‬‬ ‫‪σ / n  N − 1  1.92‬‬ ‫‪6‬‬  ‫ﺧﻼﺻﺔ‬ ‫‪9‬‬ ‫ﺍﻝﺠﺩﻭل ﺍﻝﺘﺎﻝﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﺃﻫﻡ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫‪E(M) = µm = µ‬‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ ﺃﻭ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ‬ ‫‪σ²‬‬ ‫= ‪σ m2‬‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪σ² N −n‬‬ ‫‪σ m2 = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﺤﺠﻤﻪ ‪N‬‬ ‫‪n  N −1 ‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻭﺯﻉ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺒﻤﺘﻭﺴﻁ‬ ‫)‪m ≈ N(µ, σ²/n‬‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ ﺃﻭ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‬ ‫‪ µ‬ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ‪σ²‬‬ ‫‪m−µ‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ µ‬ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ‪σ²‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ n‬ﻜﺒﻴﺭﺍ )‪(n ≥ 30‬‬ ‫)‪σ / n ≈ N(0, 1‬‬ ‫ﻝﻜﻥ ﻝﻴﺱ ﺒﺎﻝﻀﺭﻭﺭﺓ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪ ! - /0‬ز ا &*( '(‪: 12‬‬ ‫ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﺔ ﺘﺒﻴﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ‪ ،‬ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﻭ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ '‪ : p‬ﻨﺴﺒﺔ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 6‬ﻝﺘﻜﻥ ‪ X‬ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻭﻤﻭﺯﻉ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺤﻴﺙ ‪ p‬ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺫﺍﺕ ﺼﻔﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻭﻝﺘﻜﻥ ’‪ p‬ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻤﻔﺭﺩﺍﺕ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﺼﻔﺔ ﺍﻝﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻝﻺﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ’‪ p‬ﺤﻴﺙ ﻤﻌﺎﻝﻤﻪ )'‪ E(p‬ﻭ'‪ ،σp‬ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻤﻌﺎﻝﻡ‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪E ( p' ) = µ p' = p‬‬ ‫;‬ ‫= '‪σ ² p‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻭﻱ ‪n :‬‬ ‫)'‪p’ ≈ N (p, σp‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪: n ≥ 30‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤﺩﻭﺩﺍ ﻭﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﻪ ﻨﻀﺭﺏ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﻤل ﺍﻹﺭﺠﺎﻉ ﻋﻨﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪.‬ﻻﺤﻅﺕ ﺇﺩﺍﺭﺓ ﺍﻝﺠﺎﻤﻌﺔ ﺃﻨﻪ ﻓﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻥ ‪ 100‬ﻁﺎﻝﺏ‪ 40 ،‬ﺤﺼﻠﻭﺍ ﺃﺨﻴﺭﺍ ﻋﻠﻰ ﺸﻬﺎﺩﺓ‪.‬ﺘﺭﻴﺩ‬ ‫ﺍﻹﺩﺍﺭﺓ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻁﻠﺒﺔ ﺍﻝﺫﻴﻥ ﻴﺤﺼﻠﻭﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺸﻬﺎﺩﺓ ﺩﺍﺨل ﻤﺠﺎل ﻴﻜﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎﻝﻪ ‪ 90‬ﺒﺎﻝﻤﺎﺌﺔ‪.‬‬ ‫‪P(p1< p’< p2) = 0.9 ; n ≥ 30,‬‬ ‫ﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ‪ N‬ﻜﺒﻴﺭ ﺒﺤﻴﺙ ‪n/N < 0.05 :‬‬ ‫‪7‬‬  ‫) ‪p (1 − p‬‬ ‫) ‪0.4 ( 0.6‬‬ ‫= '‪=> p' ~ N (p, σ p' ) , σ p‬‬ ‫=‬ ‫‪≅ 0.05‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪P( p1 < p ' < p 2 ) = 0.9 = P( z1 < Ζ < z 2 ) => z1 = − 1.64,‬‬ ‫‪z 2 = 1.64‬‬ ‫)‪( p1 - p‬‬ ‫= ‪Ζ1‬‬ ‫‪⇒ p = p' ± z (σ p' ) = 0.4 ± 1.64(0.05) = 0.4 ± 0.082‬‬ ‫'‪σ p‬‬ ‫‪⇒ P(0.318 < p < 0.482) = 0.9.‬‬ ‫‪ ! -3 0‬ز ا &*( '‪6‬وق وا &‪ 4‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻭﺍﻟﺘﺒﺎﻳﻦ‬ ‫ﻝﻴﻜﻥ ﻝﺩﻴﻨﺎ ﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ ،‬ﻨﺤﺴﺏ ﻓﻲ ﻜل ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺤﺴﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﺍﻷﻭل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ S1‬ﻭﻨﺤﺴﺏ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻤﺜﻼ ﺃﻭ ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ‪ (...‬ﻓﻲ ﻜل ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﺍﻝﺜﺎﻨﻲ ﻭﻨﺴﻤﻴﻬﺎ ‪.S2‬ﺇﻥ ﺍﻝﻔﺭﻕ ‪ S1 – S2‬ﻴﺸﻜل ﺒﺩﻭﺭﻩ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻝﻬﺎ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻭﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﺘﺎﻝﻴﻴﻥ‪:‬‬ ‫‪σ²S1 – S2 = σ²S1 + σ²S2‬‬ ‫‪µS – S2 = µS1 – µS2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪.1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫= ‪σ²m1 – m2 = σ²m1 + σ²m2‬‬ ‫‪µm1 – m2 = µm1 – µm2 = µ1 – µ2‬‬ ‫‪σ²/n1 + σ²/n2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪.2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫= ‪σ²p1 – p2 = σ²p1 + σ²p2‬‬ ‫‪µp1 – p2 = µp1 – µp2 = p1 – p2‬‬ ‫‪p1q1/n1 + p2q2 / n2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﻫﻭ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺘﻴﻥ ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ﺍﻝﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪σ²S1 + S2 = σ²S1 + σ²S2‬‬ ‫‪µS1 + S2 = µS1 + µS2‬‬ ‫‪ -2‬ﻃﺒﻴﻌﺔ ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻠﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﻣﺘﻮﺳﻄﲔ‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 7‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ n1 ≥ 30‬ﻭ‪ ، n2‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻴﺔ ﻝﻠﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁﻴﻥ ﻤﻥ‬ ‫) ‪µm1 - m2 ≈ N(0, 1‬‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ‪.‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻝﻴﻜﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.8 ،7 ،3 : U1‬ﻭﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.4 ،2 : U2‬ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫; ‪µU1 – U2 = µU1 – µU2‬‬ ‫‪σ²U1 – U2 = σ²U1 + σ²U2‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪8‬‬  ‫– ‪U1‬‬ ‫>= ‪µU1 = (3 + 7 + 8)/3 = 6 ; µU2 = (2 + 4)/2 = 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪µU1 – µU2 = 6 – 3 = 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪µU1 – U2 = (1 + 5 + 6 – 1 + 3 + 4)/6 = 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫; ‪σ²U1 = (3² + 7² + 8²)/3 - 6² = 14/3‬‬ ‫= ‪σ²U2 = (2² + 4²)/2 - 3² =1 => σ²U1 + σ²U2‬‬ ‫‪17/3‬‬ ‫= ‪σ²U1 – U2 = (1² + 5² + 6² + 1² + 3² + 4²) / 6 - 3²‬‬ ‫‪(1 + 25 + 36 + 1 + 9 + 16) / 6 - 9 = 17/3‬‬ ‫را)*‪ ! -‬ز ا &*( '‪ 81%‬و! ز ا &*( (‪8 %(  9(1! 12‬‬ ‫‪ -1‬ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﺑﺎﻹﺭﺟﺎﻉ‬ ‫ﻤﺴﺄﻝﺔ‪ :‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺄﻝﺔ ‪ ،1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻌﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ‪ ،‬ﻗﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ‬ ‫ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ‪S²i‬‬ ‫ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6,25 12,3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2,25 6,25 (∑i S²i)/25 = 73/25 = 2.92 =>E(S²) = 2.92‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0,25 2,25‬‬ ‫‪6,25 2,25 0,25‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12,3 6,25 2,25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪σ² = E(X²) – E(X)²‬‬ ‫‪= [(1 + 9 + 25 + 36 + 64)/5] - 4.6² = (135/5) - 21 = 5.84‬‬ ‫)‪σ² (1/n‬‬ ‫=‬ ‫‪E(S²) = 2.92 = 5.84/2‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 8‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻭ‪ S²‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻉ ﺘﻤﺜل ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ )ﺃﻭ ﺒﺩﻭﻥ‬ ‫‪ n −1‬‬ ‫‪E ( S ²) = µ S ² = σ ²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫ﺇﺭﺠﺎﻉ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ( ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ ،n‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫)ﻋﻨﺩ ‪( E(S²) ≈ σ² : n ≥ 30‬‬ ‫ﺍﻝﺒﺭﻫﺎﻥ‪:‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫)‪E ( S ²) = E  ∑i (xi − x )²  = E  ∑i xi ² − x ²  = ∑i E ( x i ²) − E ( x ²‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪ n −1‬‬ ‫‪= ∑i ( V ( X ) + µ ² ) − [V ( x ) + E ( x )²] = σ ² + µ ² −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− µ ² = σ ²(1 − ) = σ ²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪S²‬‬ ‫‪E S ²‬‬ ‫‪ =σ²‬‬ ‫‪  n − 1 ‬ﻭﻨﻘﻭل ﻋﻥ ‪ n − 1‬ﺃﻨﻪ ﻤﻘﺩﺭ "ﻏﻴﺭ ﻤﻨﺤـﺭﻑ" ل‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪ :‬ﻤﻥ ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺔ ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪ σ²‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻝﻪ ﺏ ‘‪ S²‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Sˆ ² = S ²‬‬ ‫‪n −1‬‬ ‫‪nS ² ( n − 1) Sˆ ²‬‬ ‫=‬ ‫‪~ χ n2−1‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 9‬ﺇﺫﺍ ﺃﺨﺫﻨﺎ ﻋﻴﻨﺎﺕ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻝﻴﻜﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺤﺠﻤﻪ ‪ 100‬ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻨﻪ ﻋﻴﻨﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪. n = 16‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪ S²‬ﺃﻗل ﻤﻥ ﺃﻭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 10‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.80‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪nS ²‬‬ ‫‪P ( S ² ≤ 10) = P ( χ ²15 ≤ 2) = P ( S ²‬‬ ‫⇒ )) ‪≤ X ~ N ( µ , σ‬‬ ‫‪~ χ ² n −1‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻝﺠﺩﻭل ‪P(X²15 ≤ 2) < 0.005‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﺑﺪﻭﻥ ﺇﺭﺟﺎﻉ‪:‬‬ ‫ﻤﺴﺄﻝﺔ‪ :‬ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺴﺄﻝﺔ ‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ ‪ σ²m‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ‪،‬‬ ‫ﻗﺎﺭﻥ ﺒﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﺍﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ‪S²i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫; ‪(∑i S²i) = 36.5‬‬ ‫= )‪(∑i S²i)/10 = 3.65 => E(S²‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3.65‬‬ ‫‪6,25 2,25 0,25‬‬ ‫‪12,3 6,25 2,25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪σ² = E(X²) – E(X)²‬‬ ‫‪= [(1 + 9 + 25 + 36 + 64)/5] - 4.6² = 5.84‬‬ ‫)‪E(S²) = 3.65 = 5.84*(5/4) (1/2‬‬ ‫])‪= σ² * [(n-1)/ n] [N/ (N-1‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 10‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﻭ‪ S²‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻉ ﺘﻤﺜل ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪ n − 1  N ‬‬ ‫‪E ( S ²) = µ S ² = σ ²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺫﺍﺕ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﺘﻭﻗﻌﺔ ﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺘﻜﺘﺏ‪ n  N − 1  :‬‬ ‫)ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ‪ N‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ )‪ N/ (N-1‬ﺘﺅﻭل ﺇﻝﻰ ‪(1‬‬ ‫‪10‬‬  ‫‪ -2‬ﺗﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻨﺴﺒﺔ ﺗﺒﺎﻳﻨﲔ‪:‬‬ ‫‪X 1 /ν 1‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺘﺎﻥ ﺍﻝﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ‬ ‫‪X 2 /ν 2 ~Fν1, ν2‬‬ ‫ﺭﺃﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻔﺼل ﺍﻝﺴﺎﺒﻕ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﻭ‪ X1 ~ χν1²‬ﻭ ‪. X2 ~ χν2²‬ﻤﻥ ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ 9‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 12‬ﻝﻴﻜﻥ ﻝﺩﻴﻨﺎ ﻤﺠﺘﻤﻌﺎﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺘﺒﺎﻴﻨﺎﻫﻤﺎ ‪. σ²1 , σ²2‬ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ‬ ‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺘﻴﻥ ﺤﺠﻤﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ ‪: n1 , n2‬‬ ‫‪ S 12 n1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 − 1  σ 12‬‬ ‫‪Sˆ12 / σ 12‬‬ ‫= ‪F‬‬ ‫=‬ ‫‪→ Fn1 −1; n2 −1‬‬ ‫‪ S 22 n 2  1‬‬ ‫‪Sˆ 22 / σ 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ n2 − 1 σ 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪.‬ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﺤﺠﻤﻬﻤﺎ ‪ 8‬ﻭ‪ 10‬ﻤﺴﺤﻭﺒﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻨﺎﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ ‪ 20‬ﻭ‪.36‬ﻤﺎ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻷﻭﻝﻰ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﻀﻌﻑ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﺜﺎﻨﻴﺔ؟‬ ‫‪ 2  n1  1‬‬ ‫‪ n1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  n1  1‬‬ ‫‪ 8  1 ‬‬ ‫‪ S1 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ S1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n1 − 1  σ 1‬‬ ‫‪n1 − 1  σ 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n1 − 1  σ 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 20 ‬‬ ‫‪>2 ‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪P( S1 > 2 S 2 ) = P ( 2 > 2) = P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪>2‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n2  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 2  n −1 σ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  n −1 σ 2‬‬ ‫‪ 9  36 ‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ n2 − 1  σ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪= P(F7, 9 > 3.7‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻝﺠﺩﻭل ﻨﺠﺩ ‪ 0.05 > P(F7, 9 > 3.7) > 0.01‬ﻭ ﻓﻲ ﺍﻝﺤﻘﻴﻘﺔ ‪P(F7, 9 > 3.7) = 0.036‬‬ ‫ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻠﺘﺒﺎﻳﻦ‬ ‫ﻨﻅﺭﻴﺔ ‪ : 11‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ X‬ﻡ ﻉ ﺘﻤﺜل ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻭ‪ S²‬ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻉ ﺘﻤﺜل ﺘﺒﺎﻴﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻥ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪σ ² 2 / n si X ~ N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪σ S²‬‬ ‫‪=  µ4 −σ 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sinon‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ،n ≥ 100‬ﺘﻭﺯﻴﻊ ‪ S²‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪11‬‬  ‫ﺍﻻﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ ﻟﺘﻮﺯﻳﻊ ﺍﳌﻌﺎﻳﻨﺔ ﻟﻼﳓﺮﺍﻑ ﺍﳌﻌﻴﺎﺭﻱ‬ ‫‪ σ‬‬ ‫‪ 2 / n si X ~ N ou‬‬ ‫‪X ≈N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪σS = ‬‬ ‫‪ µ −σ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 4nσ ²‬‬ ‫‪sinon‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ ،n ≥ 100‬ﺘﻭﺯﻴﻊ ‪ S‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻜﺜﻴﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﻭ‪µs ≈ S‬‬ ‫‪12‬‬  ‫‪ -3‬ﺨﻼﺼﺔ‪:‬‬ ‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪E ( p' ) = µ p' = p‬‬ ‫;‬ ‫= '‪σ ² p‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻭﺯﻉ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ‬ ‫)'‪p’ ≈ N (p, σp‬‬ ‫‪n ≥ 30‬‬ ‫ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻤﻌﺎﻤل‬ ‫ﻝﺤﺴﺎﺏ '‪ σp‬ﻨﻀﺭﺏ ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺍﻹﺭﺠﺎﻉ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﻪ‬ ‫ﻤﺤﺩﻭﺩ‬ ‫‪µS – S2 = µS1 – µS2‬‬ ‫‪µS1 + S2 = µS1 + µS2‬‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ‬ ‫ﺍﻝﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ‬ ‫‪σ²S1 – S2 = σ²S1 + σ²S2‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ‬ ‫ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺘﻴﻥ‬ ‫‪σ²S1 + S2 = σ²S1 + σ²S2‬‬ ‫ﻤﺎ‪.‬‬ ‫) ‪µm1 - m2 ≈ N(0, 1‬‬ ‫‪ n1 ≥ 30‬ﻭ‪n2‬‬ ‫ﺴﺤﺏ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ )ﺃﻭ‬ ‫‪ n −1‬‬ ‫ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ﻤﻥ‬ ‫‪E (S ²) = µ S ² = σ ²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻭﺘﺒـﺎﻴﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ(‬ ‫ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪n‬‬ ‫ﻋﻴﻨﺔ ‪S²‬‬ ‫‪E(S²) ≈ σ²‬‬ ‫‪n ≥ 30‬‬ ‫‪nS ² (n − 1) Sˆ ²‬‬ ‫ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ‬ ‫=‬ ‫‪~ χ n2−1‬‬ ‫ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪n‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪ n − 1  N ‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ ﻤﺤﺩﻭﺩ‬ ‫‪E ( S ²) = µ S ² = σ ²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‬ ‫‪ n  N − 1 ‬‬ ‫ﻭ‪ S²‬ﺘﻤﺜل ﺘﺒﺎﻴﻥ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫)‪ N/ (N-1‬ﺘﺅﻭل ﺇﻝﻰ ‪1‬‬ ‫‪ N‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ‬ ‫‪ S 12 n1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺘﻴﻥ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻌﺎﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 − 1  σ 12‬‬ ‫‪Sˆ12 / σ 12‬‬ ‫= ‪F‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪→ Fn1 −1; n2 −1‬‬ ‫ﺤﺠﻤﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﺘﺒﺎﻴﻨﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻨﺎﻫﻤﺎ ‪σ²1 , σ²2‬‬ ‫‪ S 22 n 2  1‬‬ ‫‪Sˆ 2 / σ 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪n1 , n2‬‬ ‫‪ n2 − 1 σ 2‬‬ ‫‪13‬‬  ‫ﺍﻝﻔﺼل ﺍﻝﺜﺎﻝﺙ‪ :‬ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ‬ ‫ﺘﻤﻬﻴﺩ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻝﻔﺼل ﺍﻝﺴﺎﺒﻕ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺍﻝﻌﻼﻗﺔ ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺒﻴﻥ ﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﻭﺍﻝﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ﻝﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺜل ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ‪ ،‬ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ‪ ،‬ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ‪...‬ﻜﻤﺎ ﺩﺭﺴﻨﺎ ﺍﻝﻌﻼﻗﺔ ﺒﻴﻥ ﺸﻜل ﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻭﺸﻜل ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ ﻝﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﺘﻅﻬﺭ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻌﻼﻗﺎﺕ ﻜﺘﻭﺼﻴﻑ ﻝﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﻭﻤﻌﺎﻝﻤﻬﺎ ﻭﻝﻜﻨﻬﺎ ﺘﺴﺘﺨﺩﻡ ﺃﻜﺜﺭ ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﻭﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤل ﺍﻝﺩﺭﺍﺴﺔ‪ ،‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﺎ ﺴﻨﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻔﺼل‪.‬‬ ‫ﺃﻭ ﹰﻻ‪ :‬ﻤﻔﺎﻫﻴﻡ ﺃﺴﺎﺴﻴﺔ‬ ‫‪ 10‬ﺒﻌﺽ ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻝﻤﻘﺩﺭ)‪:(Estimator‬‬ ‫ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﻠﻤﺔ ﻤﻥ ﻤﻌﺎﻝﻡ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤل ﺩﺭﺍﺴﺔ‪ ،‬ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﻝﻰ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﻠﻤﺔ‪ ،‬ﻭ ﻏﺎﻝﺒﺎ ﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻫﻲ ﺃﺤﺴﻥ ﻤﻘﺩﺭ‪ ،‬ﻜﺄﻥ ﻨﻘﺩﺭ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪µ‬‬ ‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪ ،µ m‬ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺍﻝﻤﺴﺘﺨﺩﻤﺔ ﻓﻲ ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻝﻤﻘﺩﺭ‪.‬‬ ‫)ﺃ( ﺍﻝﻤﻘﺩﺭ ﻏﻴﺭ ﺍﻝﻤﺘﺤﻴﺯ‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻤﺎ ﺒﺄﻨﻬﺎ ﻤﻘﺩﺭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﻴﺯ ‪ sans biais‬ﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁﻬﺎ ﺃﻭ ﺘﻭﻗﻌﻬﺎ‬ ‫ﺍﻝﺭﻴﺎﻀﻲ ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ‪ m‬ﺃﻨﻪ ﻤﻘﺩﺭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﻴﺯ ﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ µ‬ﻷﻥ ‪. E(m) = µ‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻝﻤﻘﺎﺒل ﻨﺴﻤﻲ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪ S²‬ﻓﻲ ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﻘﺩﺭ ﻤﺘﺤﻴﺯ ل ‪ σ²‬ﻷﻥ ≠ ‪E(S²) = σ² (n-1)/n‬‬ ‫‪ ،σ²‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻻﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪ S’² = S²n/(n-1‬ﻤﻘﺩﺭﺍ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﻴﺯ ﻓﻲ ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﺒﺎﻹﺭﺠﺎﻉ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﻜﻔﺎﺀﺓ‬ ‫)ﺏ(‬ ‫ﺘﺘﻌﻠﻕ ﻜﻔﺎﺀﺓ )‪ (efficacité‬ﻤﻘﺩﺭ ﻤﺎ ﺒﻤﻘﺩﺍﺭ ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻺﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪ ،‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻝﻤﻘﺩﺭﻴﻥ‬ ‫)ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺘﻴﻥ( ﻨﻔﺱ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻝﻤﻘﺩﺭ ﺫﻭ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﺍﻷﻗل ﺘﺒﺎﻴﻨﺎ ﺃﻨﻪ ﺍﻷﻜﺜﺭ ﻜﻔﺎﺀﺓ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻝﻜل ﻤﻥ ﺘﻭﺯﻴﻌﻲ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁ ﻭﺍﻝﻭﺴﻴﻁ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﻫﻭ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ ، µ‬ﻝﻜﻥ ﻴﻌﺘﺒﺭ‬ ‫ﺍﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ m‬ﻤﻘﺩﺭﺍ ﺃﻜﺜﺭ ﻜﻔﺎﺀﺓ ﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ µ‬ﻤﻥ ﺍﻝﻭﺴﻴﻁ ﻷﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ‬ ‫‪ V(m) = σ²/n‬ﺃﻗل ﻤﻥ ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻭﺴﻴﻁ ‪:‬‬ ‫‪.V(méd) = σ²π/2n = (σ²/n) (3.14159/2) > σ²/n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻝﺒﺩﻴﻬﻲ ﺃﻥ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﻤﻘﺩﺭﺍﺕ ﻓﻌﺎﻝﺔ ﻭﻏﻴﺭ ﻤﺘﺤﻴﺯﺓ ﻫﻭ ﺍﻷﻓﻀل‪ ،‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻗﺩ ﻴﻠﺠﺄ ﻝﻤﻘﺩﺭﺍﺕ ﺃﺨﺭﻯ‬ ‫ﻝﺴﻬﻭﻝﺔ ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺍﻝﺘﻘﺎﺭﺏ ‪convergeance‬‬ ‫)ﺝ(‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻤﻘﺩﺭ ﺃﻨﻪ ﻤﺘﻘﺎﺭﺏ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻴﺅﻭل ﺇﻝﻰ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﻘﺩﺭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ﺤﺠﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺇﻝﻰ ﻤـﺎ ﻻ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻴﻌﺘﺒﺭ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﻘﺩﺭﺍ ﻤﺘﻘﺎﺭﺒﺎ ﻝﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪E ( m) = µ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= )‪V ( m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪→ 0.‬‬ ‫∞ →‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪14‬‬  ‫‪ 11‬ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻝﻨﻘﻁﻲ ﻭﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺒﻤﺠﺎل )‪.(Point Estimation and Confidence Interval Estimation‬‬ ‫ﻗﺩ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﻝﻰ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﻘﻴﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺃﻨﻪ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻨﻘﻁﻲ‪ ،‬ﻭ ﺃﺤﻴﺎﻨﺎ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﻝﻰ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﻨﻘﻁﺘﻴﻥ ﻴﺤﺩﺩﺍﻥ ﻤﺠﺎل ﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﻭﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻨﻭﻉ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺃﻨﻪ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺒﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻗﺩﺭﻨﺎ ﺩﺨل ﺍﻷﺴﺭﺓ ﻓﻲ ﻤﻨﻁﻘﺔ ﻤﺎ ﺏ ‪ 18000‬ﺩﺝ‪ ،‬ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﻗﺩﺭﻨﺎ ﺩﺨل ﺍﻷﺴﺭﺓ ﺘﻘﺩﻴﺭﺍ ﻨﻘﻁﻴﺎ‪.‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭﻨﺎ ﺒﻤﺠﺎل ﺇﺫﺍ ﻗﻠﻨﺎ ﻤﺜﻼ ﺃﻥ ﺍﻝﺩﺨل ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 2000 ± 18000‬ﺃﻱ ﺃﻨﻪ ﻴﺘﺭﺍﻭﺡ ﺒﻴﻥ ‪16000‬‬ ‫ﻭ‪20000‬ﺩﺝ‪.‬‬ ‫)ﺃ( ﺩﺭﺠﺔ ﺍﻝﺘﺄﻜﺩ‬ ‫ﻝﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﻋﻠﻤﻴﺎ ﻴﻨﺒﻐﻲ ﺘﻘﻴﻴﻡ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻓﻌﻼ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻤﺠﺎل ﺍﻝﻤﺤـﺩﺩ‪ ،‬ﻝـﺫﻝﻙ‬ ‫ﻨﻠﺤﻕ ﺒﺎﻝﻤﺠﺎل ﻤﺎ ﻴﺴﻤﻰ ﺒﺩﺭﺠﺔ ﺃﻭ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﺜﻘﺔ‪ ،‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻝﻪ ﺏ ‪.p‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻝﻤﻌﺎﻜﺱ ﻴﺴـﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤـﺎل‬ ‫ﺍﻝﺨﻁﺄ ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻝﻪ ﺏ ‪ ، α‬ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺃﻴﻀﺎ ""ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﻤﻌﻨﻭﻴﺔ"‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﺩﺨل ﺍﻷﺴﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﻨﻁﻘﺔ )ﺃ( ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻤﺠﺎل ]‪ [20000 ،16000‬ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ‪ % 5‬ﺃﻱ‬ ‫ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ ‪. % 95‬ﻭﺘﺴﻤﻲ ﺍﻝﺤﺩﻭﺩ ‪ 16000‬ﻭ‪ 20000‬ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ‬ ‫)ﺏ(‬ ‫ﺘﺤﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺒﺩﻭﺭﻫﺎ ﺘﺤﺩﺩ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﻤﻌﻨﻭﻴﺔ )ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﺜﻘﺔ(‪.‬‬ ‫ﻓﻔﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﻝﻠﺘﻘﺩﻴﺭ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻝﻘﻴﻤﺘﻴﻥ ‪ 1.96 ±‬ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ‬ ‫‪ %95‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﺍﻝﻘﻴﻤﺘﻴﻥ ‪ ±2.58‬ﺘﻤﺜﻼﻥ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ ‪. % 99‬‬ ‫)‪f(z‬‬ ‫ﳎﺎﻝ ﺍﻟﺜﻘﺔ‬ ‫‪1-α‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪-z1-α/2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z1-α/2‬‬ ‫‪4‬ل ا ‪ %' ;3‬ز ا ‪9* 1#‬‬ ‫ر‪1 $‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻝﻴﻜﻥ ‪ µ s‬ﻭ‪ σs‬ﻤﺘﻭﺴﻁ ﻭﺍﻨﺤﺭﺍﻑ ﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻤﺎ ‪ s‬ﺤﻴﺙ ‪. µ s = µ‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ل ‪ s‬ﺘﻭﺯﻴﻌﺎ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ )ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻝﺤﺎل ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ ﻷﻏﻠﺏ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩﻤﺎ )‪ ( (n ≥ 30‬ﻓﺈﻨﻨﺎ‬ ‫ﻨﻘﺩﺭ ﻤﺜﻼ ﻭﺒﺎﻝﻨﻅﺭ ﺇﻝﻰ ﺘﻭﺯﻴﻊ ‪ s‬ﺇﻥ‪:‬‬ ‫ﺍﻝﻘﻴﻤﺘﻴﻥ ‪ µ s ± 1.96σs‬ﺘﻤﺜﻼﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺏ ‪ ،% 95‬ﻭ ‪ µ s ± 2.58σs‬ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺏ ‪.% 99‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﻴﺭﻤﺯ ﻝﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺏ ‪ Zc‬ﺃﻭ ‪) Z1-α/2‬ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻝﺭﺴﻡ(‪.‬‬ ‫‪15‬‬  ‫ﺜﺎﻨﻴﹰﺎ‪ :‬ﺍﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺒﻤﺠﺎل‬ ‫‪ -1‬ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁ‪:‬‬ ‫ﻴﻘﺩﺭ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ µ‬ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ‪.m‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ µ‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﻝﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺇﺫﺍ ﻋﻠﻤﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺍﻝﺫﻱ ﺴﺤﺒﺕ ﻤﻨﻪ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻴﺘﺒﻊ‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻤﻤﺘﺩﺓ )‪ (n ≥ 30‬ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺫﻝﻙ ﺍﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻝﻤﺭﻜﺯﻴﺔ ﺃﻥ ‪ m‬ﺘﺘﺒﻊ‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﺘﻜﺘﺏ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫'‪S‬‬ ‫⋅ ‪m ± zc‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪m ± zc‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫⋅ ‪m ± zc‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ σ‬ﻤﺠﻬﻭل‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺼﻴﻐﺔ ﺇﻻ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤﺩﻭﺩ )ﺫﺍ ﺤﺠﻡ ‪ (N‬ﻭﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﺤﻴﺙ ﺘﺼﺒﺢ‬ ‫ﺍﻝﺼﻴﻐﺔ ﻜﺎﻵﺘﻲ‪:‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪N −n‬‬ ‫‪m ±‬‬ ‫⋅ ‪zc‬‬ ‫⋅‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N −1‬‬ ‫ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻏﺎﻝﺒﺎ ﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ σ‬ﻤﺠﻬﻭﻻ‪ ،‬ﻭﻝﺫﻝﻙ ﻨﻌﻭﺽ ‪ σ‬ﻓﻲ ﺍﻝﺼﻴﻎ ﺍﻝﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺒﺎﻝﻤﻘﺩﺭ ’‪ S‬ﺃﻭ ‪.S‬‬ ‫ﺍﻝﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ﻴﺒﻴﻥ ﻗﻴﻡ ‪ zc‬ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺒﺤﺴﺏ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﺜﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻝﺜﻘﺔ‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.90‬‬ ‫‪0.95‬‬ ‫‪0.98‬‬ ‫‪0.99‬‬ ‫‪1-α‬‬ ‫‪ α‬ﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.10‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫ﺍﻝﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪0.95‬‬ ‫‪0.975‬‬ ‫‪0.99 0.995‬‬ ‫‪1- α/2‬‬ ‫‪0.674‬‬ ‫‪1.282 1.645‬‬ ‫‪1.96‬‬ ‫‪2.326‬‬ ‫‪82.5‬‬ ‫‪Z1-α/2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻨﻘﺩﺭ ﺃﻥ ‪ µ‬ﻴﻭﺠﺩ ﺩﺍﺨل ﺍﻝﻤﺠﺎل ‪ m ± 1.96σm‬ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ ‪ (0.95) 95%‬ﺃﻱ ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ ‪ ،(0.05) % 5‬ﻭﺩﺍﺨل ﺍﻝﻤﺠﺎل ‪ m ± 2.58σm‬ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ ‪ 99%‬ﺃﻱ ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻌﻨﻭﻴﺔ‬ ‫‪...0.01‬‬ ‫‪16‬‬  ‫ﺏ‪ -‬ﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ µ‬ﺒﺎﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ‪: t‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﺼﻐﻴﺭﺓ )‪(n < 30‬ﻭ‪ σ‬ﻤﺠﻬﻭل ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺴﺘﻴﻭﺩﻨﺕ ﻝﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ل‬ ‫‪.µ‬ﻤﺜﻼ ﺍﻝﻘﻴﻡ ‪ -t0.975‬؛ ‪ t0.975‬ﺘﺤﺩ ‪ % 95‬ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺴﺎﺤﺔ ﺘﺤﺕ ﺍﻝﻤﻨﺤﻨﻰ ﻭﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪-t0.975 ; t0.975‬‬ ‫ﺘﻤﺜل ﺍﻝﻘﻴﻡ ﺍﻝﺤﺭﺠﺔ ﺃﻭ ﻤﻌﺎﻤﻼﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻋﻨﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ ‪ % 95‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪m−µ‬‬ ‫< ‪− t 0.975‬‬ ‫‪< t 0.975‬‬ ‫‪Sˆ / n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ل ‪ µ‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ˆ‪S‬‬ ‫ˆ‪S‬‬ ‫‪m −‬‬ ‫⋅ ‪t 0.975‬‬ ‫‪< µ‬‬ ‫⋅ ‪< m + t 0.975‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ -2‬ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻨﺴﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪.1‬ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﺃﻭ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻤﻤﺘﺩﺓ )‪: (n ≥ 30‬‬ ‫ﻝﺘﻜﻥ ‪ s‬ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﻤﺜل ﻨﺴﺒﺔ "ﻨﺠﺎﺤﺎﺕ" ﻓﻲ ﻋﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﺤﺠﻡ ‪ n ≥ 30‬ﻤﺴﺘﺨﺭﺠﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ p‬ﻫﻲ ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻨﺠﺎﺤﺎﺕ‪.‬ﺘﺴﺘﻌﻤل ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ p‬ﻓﻨﻌﻴﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ ل ‪ p‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ p’ ± zcσp‬ﺃﻴﻥ’‪ p‬ﻨﺴﺒﺔ ﺍﻝﻨﺠﺎﺤﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻌﻠﻡ ﻤﻥ ﺍﻝﻔﺼل ﺍﻝﺴﺎﺒﻕ ﺃﻥ ‪ σ p = pq‬ﻭﻤﻨﻪ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ل ‪ p‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪p(1 − p‬‬ ‫⋅ ‪p' ± z c‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻜﻭﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﺫﺍ ﺤﺠﻡ ‪ N‬ﻭﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‪:‬‬ ‫) ‪p(1 − p‬‬ ‫‪N −n‬‬ ‫⋅ ‪p' ± z c‬‬ ‫⋅‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N −1‬‬ ‫‪ -3‬ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﺘﺒﺎﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﺍﻻﻨﺤﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻌﻴﺎﺭﻱ ﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪. nS ² = ( n − 1) S ² ~ χ ² n −1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﺏ‪ % 95‬ﻴﺤﺩﺩ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪nS ² ( n − 1) Sˆ ²‬‬ ‫≤ ‪χ ² 0.025‬‬ ‫=‬ ‫‪≤ χ ² 0. 975‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪17‬‬  ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ل ‪ σ‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪nS‬‬ ‫‪nS‬‬ ‫ˆ‪n − 1S‬‬ ‫ˆ‪n − 1S‬‬ ‫≤ ‪≤ σ‬‬ ‫‪ou‬‬ ‫‪≤ σ‬‬ ‫≤‬ ‫‪χ 0.975‬‬ ‫‪χ 0.025‬‬ ‫‪χ 0.975‬‬ ‫‪χ 0.025‬‬ ‫ﻨﻅﺭﺍ ﻷﻥ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻙ‪ 2‬ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻤﺎﺜل ﻓﺈﻥ ﺍﻝﻤﺠﺎل ﺃﻋﻼﻩ ﻝﻴﺱ ﺍﻷﻤﺜل‪ ،‬ﺇﺫ ﺘﻭﺠﺩ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻝﺘﻀﻴﻴﻕ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ‬ ‫ﺃﻜﺜﺭ ﺇﺫﺍ ﻝﻡ ﻨﺸﺄ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺃﻁﺭﺍﻑ ﺍﻝﻤﻨﺤﻨﻰ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ‪ ،‬ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺨﻼﻑ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻌﺎﺕ ﺍﻝﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻜﺎﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻭﺴﺘﻴﻭﺩﻨﺕ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻨﺴﺒﺔ ﺘﺒﺎﻴﻨﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﺭﺃﻴﻨﺎ ﺴﺎﺒﻘﺎ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻝﺩﻴﻨﺎ ﻤﺠﺘﻤﻌﺎﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺘﺒﺎﻴﻨﺎﻫﻤﺎ ‪ σ²1 , σ²2‬ﻭﺴﺤﺒﻨﺎ ﻤﻨﻬﻤﺎ ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺘﻴﻥ‬ ‫‪ S 12 n1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 − 1  σ 12‬‬ ‫‪Sˆ12 / σ 12‬‬ ‫= ‪F‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫ﺤﺠﻤﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﻭﺍﻝﻲ ‪ n1 , n2‬ﻓﺈﻥ ‪→ Fn1 −1; n2 −1 :‬‬ ‫‪ S 22 n 2  1‬‬ ‫‪Sˆ 2 / σ 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ n2 − 1 σ 2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻜﻭﻴﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺒﻤﺠﺎل ل ‪ F‬ﻋﻨﺩ ﻤﺴﺘﻭﻯ ﺜﻘﺔ ‪ 0.98‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪Sˆ12 / σ 12‬‬ ‫‪F0.01‬‬ ‫‪≤ 2 2 ≤ F0.99‬‬ ‫‪Sˆ / σ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺜﻡ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻨﻲ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ -5‬ﺨﻼﺼﺔ‬ ‫ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‪.‬ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﺘﺘﻨﺎﻭل ﺨﺼﺎﺌﺹ ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﺍﻝﻨﺴﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪... ،‬ﻭ ﻋﻼﻗﺘﻬﺎ ﺒﺎﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺎﺕ ﺍﻝﻤﻨﺎﻅﺭﺓ ﻝﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺤﺴﺏ ﻁﺒﻴﻌﺔ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﻤﻌﻠﻭﻤﻴﺔ ﺍﻝﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭ ﺤﺠﻡ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺠﺩﻭل‪1‬‬ ‫ﺘﺒﺎﻴﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ‪x‬‬ ‫‪σx‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(σ²‬‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫‪ n < 30‬ﺃﻭ ‪n ≥ 30‬‬ ‫)‪N(µ ; σ/√n‬‬ ‫‪σ/√n‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻭﻡ‬ ‫)‪N(µ ; S’/√n‬‬ ‫‪S’/√n‬‬ ‫‪n ≥ 30‬‬ ‫ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﻠﻭﻡ‬ ‫‪tα; n-1‬‬ ‫‪S’/√n‬‬ ‫‪n < 30‬‬ ‫)‪N(µ ; σ/√n‬‬ ‫‪σ/√n‬‬ ‫‪n ≥ 30‬‬ ‫ﻤﻌﻠﻭﻡ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﻠﻭﻡ‬ ‫)‪N(µ ; S’/√n‬‬ ‫‪S’/√n‬‬ ‫‪n ≥ 100‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﻠﻭﻡ‬ ‫‪18‬‬  ‫ﺠﺩﻭل ‪ 2‬ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻨﺴﺒﺔ‪ ،‬ﻝﻠﺘﺒﺎﻴﻥ ﻭﻝﻠﻨﺴﺒﺔ ﺒﻴﻥ ﺘﺒﺎﻴﻨﻴﻥ‬ ‫ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ ﻝﻺﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩ‬ ‫) ‪p(1 − p‬‬ ‫ﺃﻭ ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻏﻴﺭ ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‬ ‫⋅ ‪p' ± zc‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻭ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻤﺘﺩﺓ ≥ ‪(n‬‬ ‫)‪30‬‬ ‫) ‪p(1 − p‬‬ ‫‪N −n‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤﺩﻭﺩ ﺫﺍ‬ ‫⋅ ‪p' ± z c‬‬ ‫⋅‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N −1‬‬ ‫ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﺤﺠﻡ ‪ N‬ﻭﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫ﻨﻔﺎﺩﻴﺔ‬ ‫‪nS‬‬ ‫‪nS‬‬ ‫≤ ‪≤ σ‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪χ 0.975‬‬ ‫‪χ 0.025‬‬ ‫‪nS ² ( n − 1) Sˆ ²‬‬ ‫=‬ ‫‪~ χ ² n −1‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﻠﻭﻡ‬ ‫ˆ‪n − 1S‬‬ ‫ˆ‪n − 1S‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪≤ σ‬‬ ‫≤‬ ‫‪χ 0.975‬‬ ‫‪χ 0.025‬‬ ‫‪:0.98‬‬ ‫ﺜﻘﺔ‬ ‫ﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫ﻋﻨﺩ‬ ‫ﻤﺜﻼ‬ ‫‪ S 12 n1  1‬‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﻴﻥ‪،‬‬ ‫‪nS ² ( n − 1) Sˆ ²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫≤ ‪χ ² 0.025‬‬ ‫=‬ ‫‪≤ χ ² 0. 975‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1 − 1  σ 12‬‬ ‫‪Sˆ12 / σ 12‬‬ ‫ﺃﻭ ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻤﺴﺤﻭﺒﺘﻴﻥ‬ ‫‪σ²‬‬ ‫‪σ²‬‬ ‫= ‪F‬‬ ‫=‬ ‫‪→ Fn1 −1; n2 −1‬‬ ‫‪ S 22 n 2  1‬‬ ‫‪Sˆ 22 / σ 22‬‬ ‫ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪1 Sˆ12‬‬ ‫‪σ 12‬‬ ‫‪1 Sˆ12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫≤‬ ‫≤‬ ‫‪ n2 − 1 σ 2‬‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫‪F0.99 Sˆ 22‬‬ ‫‪σ 22‬‬ ‫‪F0.01 Sˆ 22‬‬ ‫‪ -6‬ﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻔﺭﻭﻕ ﻭﺍﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ s1‬ﻭ‪ s2‬ﺇﺤﺼﺎﺌﻴﺘﺎ ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻬﺎ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻝﻁﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬ﻭﺍﻝﻌﻴﻨﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﺎﻥ‪ ،‬ﺘﻜﺘﺏ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻔﺭﻭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻝﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻤﺜﻠﻬﺎ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺘﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪S1 − S 2 ± z c ⋅ σ S 1 − S 2 = S1 − S 2 ± z c ⋅ σ ² S1 + σ ² S 2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺍﻝﻤﺠﻤﻭﻉ ‪:‬‬ ‫‪S1 + S 2 ± z c ⋅ σ S 1 − S 2 = S1 + S 2 ± z c ⋅ σ ² S 1 + σ ² S 2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺘﺎﻥ ﻫﻤﺎ ﻤﺘﻭﺴﻁﺎ ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻤﺴﺤﻭﺒﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺤﺩﻭﺩﻴﻥ‪،‬‬ ‫ﻨﺤﺩﺩ ﻤﺠﺎل ﺍﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻔﺭﻕ )ﻭ ﻝﻠﻤﺠﻤﻭﻉ( ﺒﻴﻥ ﻤﺘﻭﺴﻁﻲ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ‪ µ 1 - µ 2‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪σ 12‬‬ ‫‪σ 22‬‬ ‫⋅ ‪m1 − m 2 ± z c ⋅ σ m1 − m 2 = m1 − m 2 ± z c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺘﺎﻥ ﻫﻤﺎ ﻨﺴﺒﺘﺎﻥ ﻓﻲ ﻋﻴﻨﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻘﻠﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻤﺴﺤﻭﺒﺘﺎﻥ ﻤﻥ ﻤﺠﺘﻤﻌﻴﻥ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﻤﺤﺩﻭﺩﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪pq1 pq 2‬‬ ‫⋅ ‪p '1 − p '2 ± z c ⋅ σ p ' 1 − p ' 2 = p '1 − p '2 ± z c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪19‬‬  ‫ﺜﺎﻝﺜ ﹰﺎ‪ :‬ﺒﻌﺽ ﻁﺭﻕ ﺍﻝﻘﺩﻴﺭ)‪(Estimation Methodes‬‬ ‫ﺃﺤﺩ ﺍﻝﻁﺭﻕ ﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﻤﻘﺩﺭ ﻤﻌﻠﻤﺔ ﻤﺎ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ ﺃﻥ ﻨﺄﺨﺫ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻨﻅﻴﺭﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻝﻤﻘﺩﺭ ﻻ‬ ‫ﻴﺘﺼﻑ ﺒﺎﻝﺨﺼﺎﺌﺹ ﺍﻝﻤﻁﻠﻭﺒﺔ ﻨﺠﺭﻱ ﻋﻠﻴﻪ ﺘﻌﺩﻴﻼ )ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ‪ S’²‬ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ‪ S²‬ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ‪.(σ²‬ﺘﻭﺠﺩ ﻁﺭﻕ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ ﻝﺘﺤﺩﻴﺩ ﺍﻝﻤﻘﺩﺭ ﺍﻷﻨﺴﺏ ﻤﻨﻬﺎ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻤﻌﻘﻭﻝﻴﺔ ﺍﻝﻌﻅﻤﻰ ﻭﺍﻝﺘﻲ ﺘﺩﻋﻰ ﺃﻴﻀﺎ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻷﻜﺒﺭ‬ ‫ﻭﺍﻝﺘﻲ ﺘﻨﺴﺏ ﺇﻝﻰ ﺍﻝﻌﺎﻝﻡ ﻓﻴﺸﺭ ﻭﻜﺫﺍ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻌﺯﻭﻡ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻌﺯﻭﻡ ‪:‬‬ ‫ﻝﻴﻜﻥ ﺍﻝﻤﻁﻠﻭﺏ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻋﺩﺩ ‪ K‬ﻤﻥ ﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.θ1, θ2,.. , θk :‬ﻨﻜﻭﻥ ﺠﻤﻠﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻋﺩﺩﻫﺎ‬ ‫‪.K‬ﺘﺘﻀﻤﻥ ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻝﻌﺯﻡ ﺍﻝﻤﺭﺘﺒﻁ ﺒﺎﻷﺼل ﻤﻥ ﺍﻝﺩﺭﺠﺔ ‪ k‬ﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪µ’k = : X‬‬ ‫)‪ ،E(Xk‬ﺒﻨﻅﻴﺭﻩ ﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ‪: x‬‬ ‫‪m’k = (1/n)∑ixik‬‬ ‫‪k = 1, 2, , K‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻝﻴﻜﻥ )‪. X ~ B(20; p‬ﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ p‬ﺒﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻌﺯﻭﻡ ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﻴﺘﻡ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻝﺩﻴﻨﺎ ﻋﺩﺩ ﺍﻝﻤﻌﺎﻝﻡ ﺍﻝﻤﺭﺍﺩ ﺘﻘﺩﻴﺭﻫﺎ ‪ K = 1‬ﺇﺫﺍ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺇﻝﻰ ﻤﻌﺎﺩﻝﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪. µ = 20p :‬ﻭﻤﻨﻪ = ‪p‬‬ ‫‪ ،20/µ‬ﻨﺄﺨﺫ ﺇﺫﺍ ﻜﻤﻘﺩﺭ ل‪ p‬ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ‪ p’ :‬ﻭﻨﺤﺴﺒﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪.p’ = m/20 :‬‬ ‫‪µ = m , µ’2 = m’2‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﻠﻤﺘﻴﻥ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ ﻨﺤﺘﺎﺝ ﺃﻥ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺠﻤﻠﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ : 2‬ﻝﺘﻜﻥ )‪.X ~ N(µ; σ²‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﻤﺘﻭﺴﻁ ‪ ،m‬ﻭﺘﺒﺎﻴﻥ ‪.S²‬ﻝﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ µ‬ﻭ‪ σ²‬ﻨﺤﺘﺎﺝ‬ ‫‪ µ ' 2 = m' 2‬‬ ‫‪µ ' 2 = µ ² + σ ²‬‬ ‫‪µˆ = m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪la solution est‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ = m‬‬ ‫‪m ' 2 = m ² + S ²‬‬ ‫‪σˆ ² = S ²‬‬ ‫ﺇﻝﻰ ﺤل ﺠﻤﻠﺔ ﺍﻝﻤﻌﺎﺩﻝﺘﻴﻥ‪:‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻁﺭﻴﻘﺔ ﻗﺩ ﺘﻌﻁﻲ ﻤﻘﺩﺭﺍﺕ ﻤﺘﺤﻴﺯﺓ ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﺤﺎﻝﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻤﻌﻘﻭﻝﻴﺔ ﺍﻝﻌﻅﻤﻰ )ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻷﻜﺒﺭ(‪:‬‬ ‫ﺤﺎﻝﺔ ﻜﻭﻥ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺘﻘﻁﻌﺔ ‪ :‬ﻨﺭﻴﺩ ﺘﻘﺩﻴﺭ ﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ θ‬ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬ﻭﻝﺩﻴﻨﺎ ﻋﻴﻨﺔ ﻏﻴـﺭ ﻨﻔﺎﺩﻴـﺔ‬ ‫)ﺍﻝﻤﺘﻐﻴﺭﺍ ﺕ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻗﻴﻡ ﺍﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ( ﻝﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻝﺘﻭﺯﻴﻊ ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬ﻤﻥ ﺍﻝﺒـﺩﻴﻬﻲ‬ ‫ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺘﺤﻘﻕ ﻋﻴﻨﺔ ﺒﺫﺍﺘﻬﺎ ﻤﺭﺘﺒﻁ ﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻝﻤﻌﻠﻤﺔ ﺍﻝﻤﺠﻬﻭﻝﺔ ‪.P(x1, x2, …,xn) = L(θ) :‬ﻫﻨـﺎﻙ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ل ‪ θ‬ﺘﻌﻅﻡ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻝﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺍﻝﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ‪ ،‬ﻭﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﺘﻠﻙ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﻫﻲ ﺍﻝﺼـﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻝﻌﻴﻨﺔ ﺤﺼﻠﺕ ﺒﺎﻝﻔﻌل‪.‬ﺘﺘﻤﺜل ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻤﻌﻘﻭﻝﻴﺔ ﺍﻝﻌﻅﻤﻰ ﻓﻲ ﺍﻝﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ‪.‬ﺃﻱ ﺍﻝﺒﺤـﺙ‬ ‫ﻋﻥ ‪ θ‬ﺍﻝﺘﻲ ﺘﻌﻅﻡ )‪ ، L(θ‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫)‪.L(θ) = f(x1,... , xn ; θ) = f(x1). f(x2)... f(xn‬‬ ‫‪20‬‬  ‫ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻝﻤﻌﻘﻭﻝﻴﺔ ﺍﻝﻌﻅﻤﻰ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﻅﻴﻡ ﺩﺍﻝﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻝﻤﺸﺘﺭﻜﺔ )‪. L(θ‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪ :‬ﻝﻴﻜﻥ )‪ ،X ~ B(p‬ﺤﻴﺙ ﺍﻝﻨﺠﺎﺡ ﻫﻭ ﻭﺠﻭﺩ ﺍﻝﺨﺎﺼﻴﺔ " ﺃ " ﻝﺩﻯ ﻓﺭﺩ ﻤﺴﺤﻭﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻤﻥ ﺍﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫ﻨﺭﺩ ﺘﻘﺩﻴﺭ ‪ p‬ﻤﻥ ﺨﻼل ﻋﻴﻨﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪.2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ’‪ p‬ل ‪ p‬ﺍﻝﺘﻲ ﺘﺠﻌل ﺍﻝﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ 0 ،1‬ﻫـﻲ ﺍﻷﻜﺜـﺭ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎﻻ؟ ﺃﻱ ﻤﺎ ﻫﻲ ’‪ p‬ﺍﻝﺘﻲ ﺘﺠﻌل ‪ p(0.1) = pq‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﺎ ﻴﻤﻜﻥ؟‬ ‫)‪P(0.1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻝﻭﺍﻀﺢ ﺃﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻗﻴﻤﺔ ل)‪ p(0.1‬ﻫﻲ ¼‬ ‫ﻭﺍﻝﻘﻴﻤﺔ ﺍﻝﺘﻲ ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ ﻫﻲ ‪ ، p’ = 1/2‬ﻭﺒﻬـﺫﺍ‬ ‫ﻨﺠﻴﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻝﺘﺴﺎﺅل‪.‬‬ ‫‪1/4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ 2‬أ>? > & ل )‪P(0,1‬‬ ‫ر‪$‬‬ ‫‪21‬‬